由两个转动定律导出平行轴定理和柯尼希定理

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由两个转动定律导出平行轴定理和柯尼希定理

（1 ）
式（1 ）中的（!N + L!i）恰为外力在纸面上的投影之
和. 今以!C表示刚体质心的速度（它必平行于纸面），以
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 表示刚体的质量，则由质心运动定理知
!N +
L!i=
n
d !C dI
=
n ddI（!>
$）=
（） n
ddI!>
$+
!>
d$ dI
=
［］ n dd!I> $+ !>（!> $） =
本文链接：/Periodical_dxwl200609004.aspx
（3 ）
刚体对定轴 O 与轴线C 的转动惯量分别为IO 与
IC，因转动定律对定轴 O 与轴线C 都成立，故有
#O = IOddI! L#C=ICddI! 将式（4 ）代入式（3 ）得
（4 ）
IOddI!= nD2ddI!+ ICddI!
故有
IO= nD2 + IC
此即平行轴定理.
用! 点乘式（5 ）得
表示谢意.
参考文献：
1998 .120 "123 . ［2 ］陆果. 基础物理学教程［M］. 北京：高等教育出版社，
1998 .68 "69 .
［1 ］卢德馨. 大学物理学［M］. 北京：高等教育出版社，
Parallel axis t heore m and K ni g t heore m deduced f ro m t he t wo l a ws of rot ati on
Abstract ：A ne w way of t hi nki ng f or t he arrange ment of t he t wo i nerti al syste ms S and S/ i n Lorentz transf or mati on is i ntroduced ，which causes xaxis and x/ axis to be i n opposite directi on ，t hen S and S/ syste ms are co mpletel y sy mmetrical ，and t he deducti on process beco mes easier . Accordi ng to t he arrange ment of S and S/ syste ms ，begi nni ng wit h t he t wo basic hypot heses of speci al relati vit y ，Lorentz transf or mati on is deduced strict-

柯尼希定理及其基本应用

柯尼希定理及其基本应用
赵娜
【期刊名称】《中学教学参考》
【年(卷),期】2018(000)017
【摘要】文章介绍了柯尼希定理及其三种基本应用:快速准确地理解一些物理过程中系统动能的变化;准确地梳理一些模型间动能的对应关系;简洁地表达一些复杂系统的总动能.
【总页数】2页(P38-39)
【作者】赵娜
【作者单位】江苏常州市北郊高级中学 213031
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
【相关文献】
1.狭义相对论中的质点组和柯尼希定理
2.由两个转动定律导出平行轴定理和柯尼希定理
3.推导柯尼希定理和平行轴定理的一种新方法
4.平行轴定理与柯尼希定理的兼容性
5.柯尼希定理在质点系中的应用
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什么是刚体转动惯量的平行轴定理

什么是刚体转动惯量的平行轴定理在物理学中，刚体转动惯量是描述刚体绕轴线旋转的难易程度的物理量。

对于一个给定的刚体，它的转动惯量可能会因为绕不同的轴旋转而发生变化。

在这种情况下，我们就需要用到平行轴定理，来方便地计算出刚体绕某个轴线的转动惯量。

那么，什么是刚体转动惯量的平行轴定理呢？1. 简介刚体的转动惯量可以用来描述刚体围绕某一轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。

而平行轴定理则是描述了这种转动惯量与刚体其他轴线转动惯量的关系。

平行轴定理为计算刚体围绕通过其质心的平行轴的转动惯量提供了一种便捷的方法。

2. 平行轴定理的表述刚体绕通过其质心的轴线的转动惯量可以通过以下公式得到：\[I = \sum m_i r_i^2\]其中，$m_i$ 是刚体的质量，$r_i$ 是每个质点到旋转轴的距离。

而根据平行轴定理，刚体绕与通过其质心平行且距离为$d$的轴线的转动惯量$I'$可以通过以下公式得到：这个公式说明了一个重要的性质，即刚体关于通过其质心的任意一条与初始轴平行的轴线的转动惯量恰好等于其关于质心轴的转动惯量与质量总和乘以平行距离的平方之和。

3. 应用举例为了更好地理解平行轴定理，我们可以通过一个简单的例子来说明其应用。

还是看一个在平行轴定理基础上的问题：求一组质点围绕一个与之共面的轴的转动惯量。

假设有一根长为$L$，均匀质量为$m$，质点在其上的刚直杆围绕其中心转轴竖直旋转。

竖直轴上有一组质点，每个质点的质量为$m_i$，距离竖直轴的水平距离为$r_i$。

我们需要求解这组质点围绕竖直轴的转动惯量。

根据平行轴定理，我们可以利用已知的关于质心轴的转动惯量和平行轴定理来解决这个问题。

我们需要计算关于质心轴的转动惯量。

\[I = \frac{1}{12}mL^2\]我们需要计算每个质点关于质心轴的转动惯量。

根据平行轴定理，我们可以得到这组质点关于竖直轴的转动惯量。

不对称验证平行轴定理

不对称验证平行轴定理平行轴定理是物理学中一个重要的定理，用于计算刚体绕某一轴的转动惯量。

然而，当刚体的形状不对称时，如何进行验证平行轴定理呢？本文将详细介绍不对称验证平行轴定理的方法和步骤。

首先，让我们来回顾一下平行轴定理的表达式。

平行轴定理表示，刚体绕与通过质心的轴的转动惯量与绕平行于该轴的任意轴的转动惯量之和是相等的。

换句话说，平行轴定理给出了刚体绕轴的转动惯量的计算方法。

在验证平行轴定理时，我们需要选择一个不通过刚体质心的轴，并计算刚体绕该轴的转动惯量。

接下来，我们需要计算刚体绕通过质心的轴的转动惯量。

如果两个计算结果相等，即可验证平行轴定理的准确性。

具体步骤如下：1. 确定刚体的形状和质量分布。

刚体可以是任何形状的物体，例如长方体、圆盘等。

质量分布需要考虑刚体的不对称性。

2. 找到通过刚体质心的轴和不通过质心的轴。

通过质心的轴可以是任意选择的轴，不通过质心的轴可以选择平行于通过质心轴的轴。

3. 计算刚体绕通过质心的轴的转动惯量。

转动惯量的计算公式为：I = Σm*r^2，其中m是刚体质量的微元，r是质点到轴的距离。

4. 计算刚体绕不通过质心的轴的转动惯量。

同样使用转动惯量的计算公式进行计算。

5. 对比两个计算结果。

如果通过两个轴计算得到的转动惯量相等，即可验证平行轴定理的准确性。

需要注意的是，计算刚体绕轴的转动惯量时，对刚体的质量分布要进行合理的假设。

在实际的实验中，可以使用天平来测量刚体的质量，使用卡尺来测量刚体的尺寸，从而计算出刚体的转动惯量。

此外，不对称验证平行轴定理的过程中还需要注意刚体的平衡问题。

为了保证实验的准确性，可以通过将刚体悬挂在细线上的方式，使刚体能够自由转动。

总结一下，不对称验证平行轴定理的步骤包括确定刚体的形状和质量分布、选择通过质心和不通过质心的轴、计算刚体绕两个轴的转动惯量，并比较两个结果是否相等。

这一过程需要合理假设刚体的质量分布，并进行实验测量，以保证结果的准确性。

全国中学生物理竞赛公式

全国中学生物理竞赛公式全国中学生物理竞赛力学公式一、运动学1.椭圆的曲率半径2.牵连加速度3.等距螺旋线运动的加速度二、牛顿运动定律三、动量1.密舍尔斯基方程〔变质量物体的动力学方程〕()dv dm m F u v dt dt=+-〔其中v 为主体的速度,u 为即将成为主体的一局部的物体的速度〕四、能量1.重力势能GMm W r=-〔一定有负号,而在电势能中,如果为同种电荷之间的相互作用的电势能,如此应该为正号,但在万有引力的势能中不存在这个问题,一定是负号！！！！〕2.柯尼希定理21''2k k c k kc E E M v E E =+=+〔E k ’为其在质心系中的动能〕 3.约化质量4.资用能〔即可以用于碰撞产生其他能量的动能〔质心的动能不能损失〔由动量守恒决定〕〕〕资用能常用于阈能的计算2212121122kr m m E u u m m μ==+〔u 为两个物体的相对速度〕 5.完全弹性碰撞与恢复系数（1）公式（2）恢复系数来表示完全弹性碰撞112211222112m v m v m u m u u u v v +=+-=-〔用这个方程解比用机械能守恒简单得多〕五、角动量 dL M I dtβ==〔I 为转动惯量〕 3.转动惯量4.常见物体的转动惯量（1）匀质球体225I mr = （2）匀质圆盘〔圆柱〕212I mr =（3）匀质细棒绕端点213I mr =（4）匀质细棒绕中点2112I mr = （5）匀质球壳223I mr =（6）薄板关于中心垂直轴221()12I m a b =+ 5.平行轴定理 2D C I I md =+〔I c 为相对质心且与需要求的轴平行的轴〕6.垂直轴定理（1）推论：一个平面分布的质点组,取z 轴垂直于此平面,x ,y 轴取在平面内,如此三根轴的转动惯量之间有关系 z x y I I I =+〔由此可以推出长方形薄板关于中心垂直轴的转动惯量221()12I m a b =+> 7.天体运动的能量 2GMm E a=-〔a 为椭圆轨道的半长轴,当然,抛物线轨道的能量为0,双曲线轨道的能量大于0〕 8.开普勒第三定律：2234T a GMπ= 六、静力学1.利用矢量的叉乘来解决空间受力平衡问题例如x 方向上的力矩：x y z z y M F r F r F r =⨯=-选一点为轴的话,可以直接列三个力矩平衡的方程来解决问题七、振动与波动1.简谐振动的判定方法2.简谐振动中的量的关系3.驻波min 2x λ=〔x 为相邻的波节或波腹间的距离,即驻波的图形中一个最小重复单位的长度〕4.多普勒效应（1）宏观物体的多普勒效应①观察者运动,波源不动②观察者不动,波源运动③观察者与波源都运动（2）光的多普勒效应注：多普勒效应中的速度的正负单独判断后带入公式中,其实只用记住观察者的运动影响在分子上,而波源运动的影响在分母下.5.有效势能与其应用22()()2eff L V r U r mr=+〔()U r 为传统意义的势能,如引力势能、静电势能、弹性势能,222L mr 是惯性离心力的势能〕振动的角频率满足：ω=〔物体在0r 附近振动,但应该满足''0eff V >,否如此轨道不稳定〕任意物体在0x 附近做简谐振动的条件为：00'()0,''()0U x U x =>其中求简谐振动的角频率的方法为：ω="()k U x =〕全国中学生物理竞赛电学公式一、静电场：1．高斯定理：4επ∑⎰∑==⋅q q k S d E 封闭面 2．安培环路定理：0=⋅⎰l d E3．均匀带电球壳外表的电场强度：22R kQE =〔在计算相互作用的时候应该用这个公式〕4．无限长直导线产生的电场强度：r k E η2=5．无限大带电平板产生的场强：022εσσπ==k E 6．电偶极矩产生的场强 ①沿着两点连线方向：33rp k r ql kE == ②垂直方向：3322r p k r ql k E ==其中p 为电偶极矩=ql 7．实心球内部电势：322123RQ r k R Q k -=ϕ 8．实心球内部场强：3Qr E kR = 9．同心球形电容器：介电常数指内外球壳之间充满的其中εε)(1221R R k R R C -=即电解质会使电场强度变小但让电容变大10．静电场的能量：2022228E 22121E k C Q QU CU W επω=====电场能量密度为11．电场的极化：kdSC r kQU r Q kQ F E E r r r r r πεεεεε4)1(2210===≥=平行板电容器的电容：点电荷的电势：库仑定律：对于平行板电容器有：000,Q Q CU S σ==〔不论是否有介质,用这个公式计算出的是自由电荷的密度,而极化电荷密度在平行板电容器中总是满足：01'r rεσσε-=,如果有多个介质在板中串联或并联,将它们分开为许多个电容,然后将电荷密度进展叠加就可以得到最终的自由电荷的密度与极化电荷的密度.〕12．电像法：无限大的接地平板的电像法略接地的球体：q hr q h r h -==','2可以看做将距离和电荷量都乘上一个比例系数hr 只不过电荷的性质相反！二、稳恒电流 1. 法拉第电解定律：为化合价）为摩尔质量，为电化当量）n M FnMq m k kq m (:)2((:)1(==2. 电阻定律：)1()1(00t R R t ααρρ+=+=即〔t 为摄氏温度〕 3. △-Y 变换：312312233133123121223231231231121YR R R R R R R R R R R R R R R R R R ++=++=++=−→−∆即△-Y 为下求和,Y-△为上求和电容的△-Y 变换与电阻的恰好相反,△-Y 为上求和,Y-△为下求和4. 电流密度的定义：n j SI ∆∆= 5. 欧姆定律的另一表达形式：)1(,ρσ==E σj 6. 焦耳定律的微分形式：ρσ222j j V R I V P p ==== 7. 微观电流neSujS I neuj === 8. 电阻率对电子产生的加速度：9. 晶体三极管的电流分布：三、磁场与电磁感应1. 洛伦兹力B v q F ⨯=2. 毕奥-萨伐尔定律：20cos 4r L I B ϕπμ∆∑= 3. 无限长直流导线产生的磁场：r I r I k B πμ20== 4. 无限长密绕螺线管内部磁场：为单位长度的匝数）n nI B (0μ=5. 安培环路定理：⎰∑=⋅)0内（L I l d B μ〔可用此轻易推出无限长直导线的磁场〕6. 高斯定理：0S (=∆⋅∑）封闭面S B7. 复阻抗：)(1i j Cj X Lj X RX C L R 学中的为单位复数，相当与数ωω===8. 安培力产生的力偶矩：((M m B m m NISn n =⨯=为磁矩）且：为线圈的法向量且方向满足电流的右手螺旋定则）当然力偶矩的大小与所旋转轴无关,甚至所选转轴可以不在线圈平面内,只要满足转轴与力偶矩的方向平行即可〔即与力的方向垂直〕即BISN M =9. 磁矩产生的磁感应强度：032mB x μπ=10. 自感：I L t ε∆=-∆自感磁场能量：212L W LI = 11. 变压器中阻抗变换：2112'()(n R R n n =为原线圈的匝数）全国中学生物理竞赛光学公式一、几何光学1.平面镜反射：2.平面折射〔视深公式〕''n n n n u v R-+=〔圆心在像方半径取正,圆心在物方半径取负〕以上所有：0,00,0u u v v ><><实物，，虚物实像，，虚像二、波动光学注意关注牛顿环干预的原理,尤其是注意是在球面上反射的光线〔没有半波损失〕与在最低的平面处反射的光线〔有半波损失〕进展干预,而不是在最上面的平面反射的光线进展干预！而且牛顿环作为一种特殊的等厚干预,光在空气层中的路径要计算两次！所以可以得到牛顿环的公式如下： ,3,2,1,0()21(=+=k R k r k λ……〕〔指的是第k 级明纹的位置,中央为暗纹〕22cos 2i h n =∆〔注意等倾干预的半波损失有两种情况〕〔2i 指的是第一次进入2n 介质的折射角〕6.等厚干预〔略〕''ff xx =〔其中x 与'x 为以焦距计算的物距和像距〕对于物方与像方折射率一样的透镜有牛顿公式的符号规如此为:以物方焦点的远离光心的距离为牛顿物距〔即当经典物距小于焦距的物体的牛顿物距小于零〕；以像方焦点的远离光心的距离为牛顿像距.x d D针对于玻璃球而言A 为齐明点,R n n AO 12=〔即从任何位置看A 点的像在同一位置〕1.22d λθ=〔即艾里斑〕全国中学生物理竞赛近代物理学公式一、洛伦兹变换与其推论：2222121222011''1cv c v t t t t t cv l l -∆=--=-=∆-=τ钟慢效应：尺缩效应：〔这两个公式最好不要用,最好用最根底的洛伦兹变换来进展推导,否如此容易在确定不变量的时候出现问题〕小心推导钟慢效应与尺缩效应的时候不要弄反了一定要分析到底在哪一个参考系中x 或者t 是不变的速度变换：〔这个可以由洛伦兹变换求导推出〕<系的速度系相对为S S v '> 正向：222222211'11'1'cvu c v u u c vu c v u u c vu vu u x z z x y y x x x --=--=--= 逆向：2222222'11''11''1'c v u c v u u cv u c v u u cv u v u u x z z xy y xx x +-=+-=++= 时间与空间距离变换：二、相对论力学：动量：0p mv m v γ===能量：2220=E mc m c γ== 动能满足：202c m mc E k -=又有：224202c p c m E +=全国中学生物理竞赛热学公式一、理想气体1.理想气体状态方程2.平均平动动能与温度的关系3.能均分定理二、固体液体气体和热传导方式4.热传导定律5.辐射6.膨胀7.外表X 力8.液体形成的球形空泡〔两面都是空气〕由于外表X 力产生的附加压强为：三、特殊准静态过程<1>状态方程〔泊松方程〕完整的应为：)(,111Const T P Const PT Const TVConstPV ====---γγγγγγ <2>做功 2122111d ()1V V W p V p V p V γ==--⎰〔整个方程实际的意义就是：V W nC T =∆,本来是很简单的,所以对于绝热过程来说,一般不要乱用泊松方程,否如此会误入歧途,因为泊松方程好似与热力学第一定律加上理想气体状态方程完全等效〕 W Q U +=∆〔Q 指系统吸收的热量,W 指外界对系统做的功〕开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量,使之完全变为有用功而不产生其他影响.〔第二类永动机是不可能造成的〕克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化.全国中学生物理竞赛原子物理公式1.波尔相关理论：o11212120.53A 53pm13.6n n r E eVn m r r ZMZ M E E n m ===-==〔m 为电子的质量,M 为相当于电子的粒子的质量,比如μ-子〕12212(th M M E Q M M M +=为运动粒子质量，为静止粒子的质量）〔最好用资用能来进展推导,这个比拟保险,公式容易记错〕1.p x h ∆∆≥2.E t h ∆∆≥ 〔另有说法为,44hhp x E t ππ∆∆>∆∆>〕 5.光电效应光子携带能量：E h ν= 光电子的动能：k E h W ν=-逸出功反向截止电压：k h W E V e eν-==逸出功[附]三角函数公式。

柯尼希定理及其基本应用

［例 1］如图 1，上表面光滑的平板车左端固定一劲度系数为 k 的轻质弹簧，平板车的质量为 M，以速度 v 在光滑地面上向右匀速运动。平板车上有一质量为 m 的小球以相对于地面向左的速度 v 冲向弹簧，求弹簧的最大压缩量。
于是
Ek =
1 2
m
1
v
2 1C
+
1 2
m
2
v
2 2C
+
1 2
Mv2C
为 vi，相对于质心的速度为 viC，则该质点系的总动能为
很多情况下会带来方便。
∑ Ek =
1 2
m
i
v
2 iC
+
1 2
Mv
2 C
应用一：理解物理过程中系统动能的变化近代高能物理中为了研究微观粒子的性质，通常使
证明：
用具有很大动能的高能粒子去轰击靶中粒子，以印证理
∑ ∑ ∑ Ek =
1 2
m
i
v
2 i
=
1 2
mi vi
⋅
vi
=
1 2
mi (
vC
+
v iC
)
⋅
(
vC
+
v iC
)
论结果。由于轰击过程高能粒子和靶粒子组成的系统质心速度不变，即整体平动动能 EkC不变，真正能对粒子
∑ ∑ ∑ =
1 2
mi vC
⋅
vC
+
1 2
mi
v iC
⋅
v iC
+
1 2
mi
⋅
2vC
⋅
v iC
间作用的能量只有二者相对运动的动能 Ekr，这部分能量

平行轴定理ppt课件

四、刚体的重力势能
EPi mi ghi
EP mi ghi mghc i
可看作是将质量集中在质心的质点所具有的重力势能。
§4-3 刚体的定轴转动定律
一、力矩
1、力在转动平面内：
Mr
d
F
φ
M rF
大小：
M rF sin
F
方向： M
Mr
d
φ
F
r
2、力不在转动平面内：
F1 F
dt
1
3
0
d
tk
0
2
0
I
dt
t 2I
k0
与一维质点动力学方法一致
§4-4 力矩的功刚体定轴转动的动能定理
一力矩的功
F
由功的定义式：
dAi Fi dri
Fi cosrid
0 0
d
dr
r
M rF
Fi sin rid
M rF sin
外力矩的元功 dAi Mid
Ai
T2 m2 g m2a2 T1R1 T2R2 I
m2 g
a1 R1 a2 R2
m1 T2 '
m1g
T1 '
解得
I
m1R1 m2R2 m1R12 m2R22
g
T1
I m2R22 m2R1R2 I m1R12 m2R22
m1g
T2
I m1R12 m1R1R2 I m1R12 m2R22
解
ml
dm
o x dx
dm dx m
x
l
I0
r 2dm
l 2
x 2dx
1
ml2
l2

转动惯量平行轴定理公式

转动惯量平行轴定理公式
转动惯量平行轴定理公式是用来计算物体绕不同轴旋转时转动惯量的变化的。

该定理表明，物体绕通过其质心的轴旋转的转动惯量等于物体绕平行于通过其质心的轴的轴的转动惯量加上物体质量乘以平行于这两个轴之间的距离的平方。

公式为：
I = Icm + md²
其中，I代表物体绕通过其质心的轴旋转的转动惯量，Icm代表物体绕通过其质心的轴旋转的转动惯量，m代表物体的质量，d代表平行于这两个轴之间的距离。

这个公式的应用非常广泛，例如在机械工程中，我们需要计算机械零件绕不同轴旋转时的转动惯量，以便确定机械运动的稳定性和可靠性。

在物理学中，该公式可以用来计算物体在空间中的旋转运动，以及计算刚体的运动状态和能量等。

需要注意的是，该公式只适用于质点系或刚体绕通过其质心的轴旋转的情况。

如果物体绕其他轴旋转，则需要使用其他公式进行计算。

设计用两种方法验证平行轴定理

设计用两种方法验证平行轴定理平行轴定理是力学中的基本原理之一，它被广泛应用于静力学、动力学、工程力学等领域。

平行轴定理指出，物体绕任意轴转动惯量等于物体绕通过质心且平行于该轴的轴转动惯量加上物体质量乘以轴距的平方。

本文将介绍用两种方法验证平行轴定理。

方法一：实验验证法实验验证法是验证平行轴定理最直接的方法之一。

该方法需要使用简单的实验仪器，如杆秤、直尺、平衡仪等。

下面将分为两个步骤介绍该方法。

步骤一：测量物体质心和惯量首先，需要测量物体的质心和惯量。

将物体悬挂在杆秤上，用直尺水平地测量物体的长度。

然后用平衡仪测量物体的质心。

最后，用转动惯量测量器测量物体绕通过质心的轴转动惯量。

步骤二：测量平行于轴的轴距其次，需要测量绕任意轴旋转时物体的平行于该轴的轴距。

将物体放在挂有刻度的直杆上，使其水平。

然后将直杆沿着某一竖直轴旋转一定的角度，分别记录同侧的两个刻度数，两个数的差就是平行于该轴的轴距。

步骤三：使用平行轴定理验证最后，使用平行轴定理验证。

将转轴放在物体的任意一点上，用转动惯量测量器测量物体绕该轴的转动惯量，并记录下来。

然后用平行轴定理计算绕该轴的转动惯量，如果两个值相等，则平行轴定理成立。

步骤一：推导公式首先，需要推导出平行轴定理的公式。

根据牛顿第二定律和基本运动方程，可以得到以下公式：M = Iα，其中M表示物体受到的力矩，I表示物体的转动惯量，α表示物体的角加速度。

将该公式代入平行轴定理的定义式中，可以推导出平行轴定理的公式：I' = I + md^2其中，I'表示绕通过质心且平行于该轴的轴转动惯量，I表示绕任意轴转动的转动惯量，m表示物体的质量，d表示物体质心到该轴的距离。

步骤二：计算结果其次，需要计算物体绕任意轴的转动惯量和绕通过质心且平行于该轴的轴转动惯量，并比较两个值是否相等。

如果两个值相等，则平行轴定理成立。

总结：通过以上两种方法，可以验证平行轴定理的正确性。

实验验证法可以直观地观察到物体的转动情况，而理论计算法则可以通过公式推导得到结论。

3_2转动定律转动惯量平行轴定理

平行轴定理质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为JC ，则对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
JP 1 2 mR mR
2 2
2
圆盘对P 轴的转动惯量 P
R
O m
四转动定律应用举例对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应用转动定律；建立平动与转动之间的关系。
对质量面分布的刚体： d m
dS

：质量面密度
对质量体分布的刚体：d m
dV
：质量体密度
第三章刚体的转动
3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理
例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。
O r
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O
O´
l
解: 设棒的线密度为，取一距离转轴 OO 为r 处的质量元dm=dr . d J r 2 d m r 2 d r
(m A m C 2)m B g mA mB mC 2
A
mA
FT1
C
F T1
F T2
mC F T2
mB B
如令 m C 0，可得
F T1 F T2
mAmBg mA mB
第三章刚体的转动
3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理
F T1 F T2
3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M
rj
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iF ri ij
F ji

柯尼希定理解决高中物理题

柯尼希定理解决高中物理题
一、柯尼希定理
质点系的动能在不同参考系中一般是不同的，若质点i在参考系S 和S`中的速度为vi和vi`，S`系对S系相对速度为u，于是vi=vi`+u。

在S系中質点系的动能为：
结论：质点系在任意参考系中的动能等于其在质点系的动能加上
质心动能。

此结论称为柯尼希定理。

二、两质点情形（两体问题）
其中Ekr表示折合质量对应的相对动能，Ekc表示质心动能。

由质心运动定理，当质点系内部发生碰撞时，合外力为零，质心速度保持
不变，故质心动能也不变。

因此碰撞过程中，只有相对动能可以转化
为其他能量形式。

以上理论准备完成，下面看几个例子。

我们会发现利用柯尼希定
理解释一些问题要比常规的解释方式更利于理解和计算。

三、应用举例
例1、如图，当弹簧压缩量最大时，求其弹性势能？
解：此为两道问题，且质心速度不变，当弹簧的压缩量达到最大时，两物体共速，相对动能完全转化为弹性势能。

例3、如图，求子弹打入木块后的最大摆角？
解：此为两道问题，且质心速度不变，子弹进入木块的过程中，相对动能完全转化为摩擦热，只有质心动能保留，且摆动时质心动能转化为系统的重力势能。

可得
这几个例子都可以从常规角度处理，但从相对动能的角度处理，理解起来更加清晰，计算也更加简洁。

柯尼希定理PPT

化简得：
r
2r 0kq1q2(ma mb) mambr 0(va vb)2 2kq1q2(ma
mb)
……………….(9)
此时两小球速度相等，方向相同，设速度为V‘，因为不受外力影响，两小球构成的整体动量守恒：
mava mbvb (ma mb)v '
解得：
v ' mava mbvb ma mb
r1
r 0mamb3 (va
vb)2
2kq1q2r m0 b2 (ma mb) r 0mamb(mava mbvb)2
2mb2 (ma
mb)kq1q 2
3，同理可计算出AB小球从开始运动到B球速度变为零时两球间距离为 r2：
r2
r 0ma3mb(va
vb)2
2kq1q2r m0 a2 (ma mb) r 0mamb(mava mbvb)2
2kq1q2 mAr 0v02
2，设A球初速度足够大，且A球能够无线接近B球，但不可能完全贴近，整个过程中没有能量损失，设A球速度变为零时两球间的距离为r1。
则：
r1
2kq1q2r 0
2kq1q2 mAr 0v02
……………..(2)
3，A球速度为零时，它的动能完全转化为电势能，根据能量守恒定律，
2
mbvb '2
1 2
mbvb '2
rb 0
kq1q2 dr (r r)2
有因为总能量守恒易得：
ra rb
…………………(20)
综上可得小球碰撞如上图所示：
谢谢观赏！！
ma mb
ma mb
再次对碰撞前使用动能定理：
1 uv '2 1 uv2 r1 kq1q2dr

用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理

用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理是指，一个物体在一根轴心附近转动的转动惯量，可以通过平移这个轴心到距离原轴心一定距离的地方，再绕新的轴心转动，计算得到。

用最小二乘法可以验证这个定理。

首先，需要测量物体在原轴心处的转动惯量，可以通过在原轴心处旋转物体并测量旋转周期来得到。

然后，需要测量新轴心与原轴心的距离。

接下来，按照平行轴定理，将物体平移并固定在新轴心处，然后在新轴心处旋转物体并测量旋转周期。

根据平行轴定理，新轴心处的转动惯量应该等于原轴心处的转动惯量加上物体质量乘以新轴心与原轴心距离的平方。

即 I_new = I_origin + m * d^2。

使用最小二乘法，可以通过拟合这个公式来验证平行轴定理的正确性。

将 I_new 和 I_origin 分别作为 Y 和 X 轴坐标，m 和 d^2 作为斜率和截距，画出拟合直线并计算相关系数。

如果相关系数接近于 1，则说明平行轴定理得到了验证。

- 1 -。

有关轴对称匀质刚体惯量主轴的几个定理

有关轴对称匀质刚体惯量主轴的几个定理第一大定理：刚体定轴转动定理：公式Mz=Jβ其中Mz表示对于某定轴的合外力矩，J表示刚体绕给定轴的转动惯量，β表示角加速度。

笫二定理：是刚体定轴转动的角动量守恒定理当M0时，得Jω=恒量。

即，如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的所用，物体的角动量不变。

第三定理：平行轴定理：平行轴定理反映了刚体绕不同轴的转动惯量之间的关系，它给出了刚体对任意转轴的转动惯量和对与此轴平行且通过质心的转轴的转动惯量之间的关系。

第八讲平行移轴定理、转轴定理

1、转轴定理
y
I y1
=
Iy
+ 2
Iz
+
Iy
− 2
Iz
cos2α+I yzsin2α
z
z1 dA
y y1
z
Iz1
=
Iy
+ 2
Iz
−
Iy
− 2
Iz
cos2α −
I yzsin2α
O
I y1 +Iz1 =I y +Iz =
( y2 + z2 ) dA =
A
A ρ2dA = I p
图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转
4、形心主轴、形心主矩
当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，他们就被称为该截面的形心主惯性轴，简称形心主轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩，简称形心主矩。
2.2.2 转轴定理
5、观察法确定形心主轴的位置
（1）如果平面图形有一条对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴，而另一条形心主惯性轴通过形心，并与此轴垂直。
2.2 平行移轴定理、转轴定理
2.2.1 平行移轴定理
平行移轴定理指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即
通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的
惯性矩与惯性积。
y yc
b C
zc dA yc
( yc + a )2 dA
=
A yc2dA + 2a A ycdA + a2
y
z
z1 dA
y y1
z
O
y1 = ycosα zsinα
I y1 = A z12dA Iz1 = A y12dA I y1z1 = A y1z1dA

柯尼希定理证明

质心运动定律之柯尼希定律详细推导质心位置 rc=sum miri/sum mi (1)变形一下 sum mi rc=sum miri (2)柯尼希定律：质心系所有质点的总动能等于质心动能与各质点相对质心动能之和。

说明：这里 rc为质心位置矢量，ri为第i个质点的位置矢量，mi为第i个质点的质量，sum为求和符号,ri'为第i个质点相对质心位置，ri'=ri-rc数学表达式为 1/2 sum mi vi^2=1/2sum mi rc^2+1/2 sum mi ri'^2（都是矢量）vi'为第i个质点相对质心速度，vc为质心速度，vi为第i个质点的速度矢量，sum 为求和；vi为质点速度，mi第i个质点质量。

证明：1/2 sum mi vi^2=1/2sum mi(vi'+vc)^2=1/2 sum (vi'^2+vc^2+2vi'vc)=1/2 sum vi'^2+1/2sum vc^2+vc sumvi'(直到这里各位学了向量的童鞋应该都看的懂，下面的可能是各位自学有没有合适的书籍童鞋困惑的地方，又是好多证明里没有说明的地方了)sum mivi'vc=vc(sum mivi')应为sum miri'=sum mi(ri-rc)=sum miri-sum mirc=sum mirc-sum mirc.....根据 2式得出=0；。

3这个地方搞清楚就懂了，sum miri'=0,两边对时间微分（除以一个非常非常小的时间）那么就变成 sum mi vi'=0 ;。

4将4式代入证明最后的式子就得出1/2 sum mi vi^2=1/2sum mi rc^2+1/2 sum mi ri'^2啦！！！运用：用柯尼希定理可以证明很多问题，如外力做功时为何要考虑内能。

设计用两种方法验证平行轴定理

设计用两种方案验证平行轴定理[实验目的]1、学会用三线摆测量圆柱体的转动惯量；2、学会用两种方案验证平行轴定理。

[实验仪器]自行决定。

[实验原理]同一物体绕不同转轴其转动惯量不同。

平行轴定理：对二平行转轴来说，物体绕任意转轴的转动惯量值I ，等于绕通过质心的平行转轴的转动惯量值0I ，加上该物体的质量m 和二轴间距离d 平方的积，即20md I I +=。

验证方案一：将两个形状相同、质量均为圆柱m 的圆柱体，对称地放在下盘上，距离圆盘中心为d ，则两圆柱体绕圆盘中心轴的的转动惯量为：下盘圆柱下盘圆柱）（I T HgRr m m I -+=2242π （1）理论上按平行轴定理所得的公式为： 22221d m D m I 圆柱圆柱圆柱理论）（+= （2）验证方案二：1、将完全相同的两圆柱体，对称地放在下盘中心两侧，测量其周期。

2、保持此二圆柱体对下盘中心对称，逐次把它们之间距离增加1cm ,2cm ,3cm ……直到移到下盘边缘为止，测量相应的周期。

根据平行轴定理，两圆柱体绕中心轴的转动惯量为)(22md I +自，自I 是每一圆柱体绕自身中心轴的转动惯量。

根据讲义中的公式，可得：)]2(2[2(40222I I d m Rrgm m H T +++=自身圆柱圆柱下盘）π （3）可见，2T 和2d 成正比。

3、用测得的各d 值所对应的T 值，作22d T -图，应为一条直线。

从图上求出截距和斜率，将二者比值和用m I I 220+自身算出的值进行比较，可作出结论。

[实验内容]一、用方案一验证平行轴定理。

1、按原理中所述自行设计步骤，测出公式（1）中的圆柱体绕下盘中心轴旋转的转动惯量圆柱I 。

2、用理论公式——公式（2）算出理论I ，并与测量值进行比较。

二、用方案二验证平行轴定理。

1、按原理中所述自行设计步骤，绘出22d T -图。

2、从22d T -图上求出截距和斜率，将二者比值和用m I I 220+自身算出的值进行比较，并作出结论。

平行轴定理——精选推荐

平行轴定理转动惯量与转动轴的位置有关。

绕着一个固定轴转动的物体的动能是2z I 21K ω= 之前我们可以将动能用质心的动能和相对于质心的内能之和的形式表示出来： int 2cm K Mv 21K +=一个刚体上的两个平行轴。

Z 轴是固定的，质心轴绕着z 轴运动。

相对于任意一个轴物体都处于运动状态。

考虑绕不经过质心的固定轴（假设是z 轴）的转动。

质心绕着这个固定轴转动，设它与轴之间的距离为d ：因此 ωd v cm =222cm Md 21Mv 21ω= 一个物体以角速度ω绕固定轴z 轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z 轴且通过质心的固定轴的转动。

也就是说，绕z 轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加。

绕通过质心的固定轴转动的动能为：2cm int I 21K ω=所以 222cm Md 21I 21K ωω+= 22cm 2z ]Md I [21I 21ωω+= 两相比较可得：2cm z Md I I +=，这就是平行轴定理。

例：木棒细木棒绕着它长度的中点转动，转动惯量为：2cm ML 121I = ——那么，当木棒绕着它的一端转动时，它的转动惯量是多少？3ML I )2L (M 12ML I 2Ld 222=+== 垂直轴定理一个薄平板，它可以绕着三个坐标轴中的任意一个转动。

表明了一个平板状物体绕着它的三个互相垂直的坐标轴转动的转动惯量之间的关系。

考虑一个薄板，它可以绕着它的三个垂直的坐标轴中的任意一个转动。

设与之相对应的转动惯量分别为z y x I I ,I 和假设平板处于xy 平面上，从z 轴到参考点P 的垂直距离为22y x R +=∫∫+==dV )y x (dV R I 222z ρρ∫=dV y I 2x ρ∫=dV x I 2y ρ所以，这便是垂直轴定理。

y x z I I I +=例：1）圆盘•处于xy 平面上的一个圆盘，其转动惯量为2z MR 21I = 由对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：x z 2I I =4MR 2I I I 2z y x === 2）正方形平板•正方形的变长为a通过对称性可知，y x I I =因此由垂直轴定理即可得到：2z x Ma 61I 2I == 例：当圆柱体转动时，绳子开始释放，物体m 向下落。

由两个转动定律导出平行轴定理和柯尼希定理