高一数学新学期同步学案：《指数函数与对数函数的关系》人教B版必修

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高中数学《指数函数与对数函数的关系》学案1 新人教B版必修1

指数函数和对数函数知识目标1.了解n 次根式，常见的幂函数，恒等式a log Na ＝N ，log a a b＝b 及其指数的积、商、幂运算.2.理解分数指数幂，有理数指数幂和指数函数、对数函数的定义.3.掌握指数函数、对数函数的图像和性质，会使用计算器求lg N ，ln N . 能力目标1.会求n 次根式、分数指数幂和有理数指数幂，灵活使用恒等式a log Na ＝N ，log a a b＝b 和指数的积、商、幂运算.2.利用计算器求lg N ，ln N ，log a c .3.能通过图像了解幂函数、指数函数、对数函数的性质.4.学会使用幂函数、指数函数、对数函数来解决简单的实际问题.4.1 指数4.1.1 指数幂对于任何复杂的问题我们总是从一些简单的问题开始入手，指数函数也不例外，在讨论指数函数之前我们有必要了解一些基础的知识，以利于今后对指数函数的学习，指数幂的提出就是基于这样的目的.一、整数指数幂正整数指数幂a n ＝a ×a ×…×a n 个(n ∈N *)即a n表示n 个a 的连乘积，称为a 的n 次幂，当m ，n ∈N *时，正整数指数幂有如下的运算性质：(1)a m a n＝am ＋n(2)(a m )n ＝a mn(3)(ab )n＝a n b n(4)a m an ＝a m －n(a ≠0，且m ＞n )当a ≠0，m ＝n 时，a m a n ＝1，则规定a 0＝1.当a ≠0，m ＜n 时，规定a n am ＝a n －m.特别地，当m ＝n ＋1时，可推出a －1＝1a.对于指数幂的运算可以由正整数扩展到整数指数幂的范畴. 对于整数指数幂有下面的运算性质： (1)a m·a n＝am ＋n(m ，n ∈Z )(2)(a m )n ＝a mn(m ，n ∈Z ) (3)(ab )n ＝a n b n(n ∈Z ) 二、根式如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根.一般地，如果一个数的n 次方等于a (n >1，且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根. 当n 为奇数，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；这时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 为偶数时，正数的n 次方根是一对相反数，这时正数a 的正的n 次方根用符号na 表示；负数没有偶次方根；0的任何次方根都为0，记作n0＝0.正的n 次方根和负的n 次方根可以合并写成±na (a ＞0).我们把形如na 的式子称为n 次根式，其中n 是大于1的正整数，称n 是根指数，a 称为被开方数.根据n 次方根的意义，可得：(na )n＝a例1 求下列各式的值.(1)5(－15)5 (2)2(－5)2(3)3(a －1)3 (4)4(m －n )4(5)4(15－b )4解 (1)5(－15)5＝－15 (2)2(－5)2＝5 (3)3(a －1)3＝a －1 (4)4(m －n )4＝|m －n | (5)4(15－b )4＝|15－b | 总结：当n 为奇数时，(na )n＝a ；当n 为偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a ＜0).三、分数指数幂同学们可能会发现，以前我们讨论的指数都是整数范围内的数，那么指数能不能扩展到有理数呢，如果能扩展，那么怎样扩展？这就是这一部分要讨论的内容.对于712，你可能会很迷惑，它究竟是什么东西？让我们来利用指数幂的性质来看看它到底是什么.如果把整数指数幂的运算法则推广到分数指数幂，那么应当有：(712)2＝712×2＝7 根据算术平方根的定义有：(7)2＝7从以上两式可以得到以下的关系：712＝7如果把整数指数幂的性质进行推广，我们就很容易得到如下规定：a 1n＝n a 类似地，当m ，n 都是正整数且n ＞1时，我们规定：a n m＝m a n 当a ≠0，m ，n 都是正整数且n ＞1时，我们规定：a －n m ＝1a n m通过以上的分数指数幂的定义，整数指数幂就被扩展到有理数指数幂.可以证明：对于有理数指数幂仍有整数指数幂的运算性质，只要其中出现的每个有理数指数幂都有意义，即：(1)a m a n＝am ＋n(m ，n ∈Q )(2)(a m )n ＝a mn(m ，n ∈Q )(3)(ab )n＝a n b n(a >0，b >0，n ∈Q ) 例2 计算下列分数指数幂的值. (1)2723 (2)10012(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2 (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫116－34解 (1)2723＝33×23＝32＝9(2)10012＝100＝10(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2＝(3－2)－2＝34＝81 (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫116－34＝(2－4)－34＝8例3 用分数指数幂的形式表示下列各式. (1)a3a (2)a 43a 6 (3)a 2a 3解 (1)a3a ＝a 3a 12＝a 72(2)a43a 6＝a 4a 63＝a 6(3)a2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 3212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7212＝a 74例4 计算3·49·681. 解3·49·681＝312·(32)14·(34)16＝312＋12＋23＝353例5 计算(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56).解 (2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a四、计算器在指数运算中的应用对于一些简单的问题我们可以采用手算的方法，但是对于一些复杂的计算过程，手算几乎是无法完成的，这时候就需要我们借助计算器和计算机来求得近似的结果.下面就如何通过计算器(以KENKO KK －88TL 型号为例)进行指数运算做一个简单介绍.例6 求下列各数的近似值.(1)15 (2)576 (3)4193(4)66152解 (1)依次按下列各键：AC 1 5 ＝屏幕显示结果3.872983346 因此，15≈3.872983346.(2)依次按下列各键：AC 5SHIFT ○xxy7 6 ＝屏幕显示结果2.377730992 因此，576≈2.377730992.(3)依次按下列各键：AC 4SHIFT ○xx y1 9 x 3＝屏幕显示结果9.100498883 因此，4193≈9.100498883.(4)依次按下列各键：AC 6 ÷ eq \x(() \x(6) \o(\s\up7(SHIFT),\s\do5(○))\o(\s\up7(\r(x ),\s\do5( ),\x(x y ))) \x(1) \x(5) \x(x 2) ) ＝屏幕显示结果2.432880798 因此，66152≈2.432880798.总结：例6中都出现SHIFT○这个键，它的作用是使紧跟在它后面的那个键按照该键上方标明的内容进行计算..(1)16 (2)0.25 (3)149 (4)64(5)181 (6)449 (7)9 (8)225 2.计算下列分数指数幂的值. (1)823 (2)1634 (3)24325 (4)32－25(5)432 (6)0.0001－14 (7)20－13 (8)23253.用根式的形式表示下列各式. (1)a 23 (2)a 53 (3)a －23 (4)a －53(5)a 27 (6)a 13 (7)a 29 (8)a 354.计算3·427.5.求下列各式的值.(1)3(－18)3 (2)(516)5 (3)(7－6)7(4)(26)2 (5)(236)2 (6)(561)5 (7)(3－76)3 (8)(626)66.利用计算器求下列各数的近似值.(1)158 (2)5193 (3)4233(4)629.63(5)5467(6)3364(7)7569(8)42621.求下列各式的值.(1)38125 (2)3－8125 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫25432(4)2532 (5)532243 (6)4163 (7)4625 (8)4812.计算下列各式. (1)a 12·a 14·a －54(2)2x －13(12x 13－2x －23)3.计算下列分数指数幂的值.(1)(－8)23 (2)0.0001－54 (3)(－32)25 (4)1634(5)(－96)25 (6)(－27)23 (7)1612 (8)(81)144.求下列各式的近似值. (1)615 (2)3(－9)5(3)5368 (4)1002540。

人教B版数学高一版必修1学案指数函数与对数函数的关系

课堂导学三点剖析一、求函数的反函数问题【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域.(1)y=2x -1(-1≤x≤0);(2)y=x 2-4x+7(x≤2).解析：(1)∵y=2x -1,∴x 2=1-y 2.又-1≤x≤0,∴0≤x 2≤1,0≤1-x 2≤1,0≤2x -1≤1,即0≤y≤1.∴x=2y -1-(0≤y≤1).∴所求反函数是y=-2x -1(0≤x≤1).(2)∵y=(x-2)2+3,x≤2,∴y≥3,x -2≤0.∴x-2=3-y -,x=3-y -+2(y≥3).∴所求反函数是y=3-x -+2(x≥3).温馨提示(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x 在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x 时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y 的取值范围,即反函数的定义域.(2)在交换x 、y 时,要将y 的限制条件换成x 的限制条件,并由此得到反函数的定义域.(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.二、指数函数与对数函数的图象关系【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是下图中的( )思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响.解法一:首先,曲线y=a x 只可能在上半平面,y=log a (-x)只可能在左半平面上,从而排除A 、C. 其次,从单调性着眼,y=a x 与y=log a (-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.解法二:若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x)上升且过点(-1,0),以上图象均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x)下降且过点(-1,0),只有B 满足条件. 解法三:如果注意到y=log a (-x)的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(图象关于直线y=x 对称),则可直接选定B.答案：B温馨提示(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.(2)y=a x 与y=log a x 为互为反函数关系,其图象关于y=x 对称.三、指数函数与对数函数性质的综合运用【例3】设函数f(x)是函数g(x)=x 21的反函数,则f(4-x 2)的单调递增区间为( ) A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］思路分析：f(x)=log 21x,f(4-x 2)=log 21(4-x 2),利用复合函数的单调性求单调区间.解：f(x)=log 21x,f(4-x 2)=log 21(4-x 2),它是由函数log 21u 和u=4-x 2(-2<x<2)复合而成的,当-2<x≤0时,u=4-x 2是增函数;当0≤x<2时,u=4-x 2是减函数.由复合函数的单调性知f(x)的递增区间是［0,2).故选C.答案：C温馨提示(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便.(2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性.各个击破类题演练1求下列函数的反函数:(1)y=7x ;(2)y=log 8x;(3)f(x)=lnx.解析：(1)∵y=7x ,x ∈R ,把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x=log 7y,y>0,通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则y=log 7x,x>0.∴y=7x 的反函数是y=log 7x(x>0).(2)∵y=log 8x,∴8y =x.∴y=8x .∴y=log 8x 的反函数是y=8x (x ∈R ).(3)设y=f(x)=lnx,∴x=e y .∴y=e x .∴f(x)=lnx 的反函数是f -1(x)=e x (x ∈R ).变式提升1求函数y=x x xx e e e e --+-的反函数. 解析：由y=x x xx ee e e --+-得y=1122+-x x e e . ∴ye 2x +y=e 2x -1.∴e 2x =y y -+11.∵e 2x >0,∴yy -+11>0.∴-1<y<1. ∴2x=lny y -+11(-1<y<1). ∴函数y=x x x x e e e e --+-的反函数为y=21ln xx -+11(-1<x<1). 类题演练2当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )解析：∵a>1,∴0<a 1<1. ∴y=a -x =(a1)x 是减函数. ∴选A 或D.而y=log a x 是增函数,∴选A 或B.∴选A.答案：A变式提升已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是( )解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a 3·log a 3<0.又∵a>0,∴log a 3<0.∴0<a<1.∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C.答案：C类题演练3函数f(x)=a x +log a (x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( )A.41B.21 C.2 D.4 解析：∵y=a x 与y=log a x 的单调性相同,∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1).从而f(1)+f(0)=a,∴log a 2+1=0.∴a=21. 答案：B变式提升3定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3x-m (m 是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f -1(x)］2-f -1(x 2)的值域为( )A.［2,5］B.［1,+∞)C.［2,10］D.［2,13］解析：由条件可知,32-m =1,∴m=2.∴f(x)=3x-2.∴f -1(x)=log 3x+2(1≤x≤9).∴F(x)=(log 3x+2)2-(log 3x 2+2)=log 32x+2log 3x+2=(log 3x+1)2+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min =2;当x=3时,F(x)max =5.∴F(x)的值域为［2,5］.答案：A。

37815_《指数函数与对数函数的关系》学案6(人教B版必修1)

表解指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数，特别是对数函数，是中学数学研究的重要函数，是高考的必考内容，常与其他知识相综合，对数函数是许多知识的交汇点，同时，要注意它们之间互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，下面对指数函数与对数函数的关系作简单的探讨. 一、表解指数函数、对数函数的图象及性质：二、例分析： 1、图象的对称性：例1、⑴（06⋅全国）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则（） A 、()()22x f x e x R =∈B 、()()2ln 2ln 0f x x x =⋅>C 、()()222x f x e x R =∈D 、()()2ln 2ln 0f x x x =+>解析：由函数()y f x =，则可得()1ln ,(0)f x x x -=>，∴()()2ln 2ln 2ln ,0f x x x x ==+>.⑵（07全国Ⅰ）函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =__________。

解析：由函数3log (0)y x x =>，可得()13()x f x x R -=∈，即关于直线y x =对称的()3()x f x x R =∈.点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称.2、函数解析式之间的转化：例2、⑴（06年广东）如图所示，设函数()y f x =的反函数()1y f x -=的图象与y 轴交于点()0,2P ，则方程()0f x =在[]1,4上的根x 是（）A 、4B 、3C 、2D 、1 解析：∵()102f -=，∴()20f =，即()0f x =，在[]1,4上的根为2x =，故选C.⑵已知函数()f x 的反函数：①()112007log ,0m fx m m x -+⎛⎫=+>⎪⎝⎭，则方程()2007f x =的解集为.②设函数()()log ,1a f x x a a =>≠，满足()92f =，则()19log 2f -=.解析：①由()2007f x =，知1(2007)x f -=，又()1112007(2007)log log 112007m m fm m -++⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，即1x =，∴则方程()2007f x =的解集为1x =.②由()92f =，∴log 92a =，∴29a =，即3a =，∴()13x x f x a -==，∴()9log 219log 23f -=，又∵293231log 2log 2log 2log 2===∴()log 19log 23f -==点评：本题考查了指数函数与对数函数互为反函数.。

新教材人教B版必修第二册指数函数与对数函数的关系学案

4.3 指数函数与对数函数的关系学习目标1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解,从而达成抽象逻辑的核心素养.2.从观察图像到引出概念,培养学生观察、分析、探究问题的能力,数形结合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力.从而达成数学抽象、数学运算的核心素养.3.引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系,并欣赏数形和谐的对称美.自主预习1.理解并掌握指数函数与对数函数的图像与性质.2.掌握同底数指数函数与对数函数的图像.3.数形结合,欣赏数形和谐的对称美.4.理解反函数的概念.知识梳理1.一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应,那么x是y的函数,这个函数称为y=f(x).2.一般地,函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同,y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.3.如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数也一定单调函数.如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数.课堂探究一、发现对称例1学生作图并判断函数y=2x与y=(12)x、函数y=log2x与y=lo g12x的对称关系.提出问题1:两个函数图像关系如何?提出问题2:函数y=2x与y=log2x图像的关系?提出问题3:观察两个对应值表,两组点的坐标,两组点的位置,两个函数图像之间各有什么关系?通过对比你得到什么结论?提出问题4:关于直线y=x对称的两个点的坐标有什么关系?提出问题5:根据函数y=(12)x与y=lo g12x在同一坐标系内的图像,你又得到什么结论?二、解释对称分析函数y=a x与y=log a x的内在联系,并解释对称原因,要求学生自由讨论.注由形的发现转入数的分析,是数形结合思想的重要体现,运用已有知识解释新问题,提高思维的深度.总结:y=a x x=log a y y=log a x要求学生思考:以上两步交换顺序是否可以,即y=a x x=a y y=log a x 强调:先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称,但本质原因是x,y互换.结论:指数函数与对数函数的图像关于直线y=x对称.此时,指数函数叫做对数函数的反函数,对数函数也叫做指数函数的反函数.三、明确定义指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的,有大量的函数之间具有这样的关系,我们称它们互为反函数.1.反函数的定义:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.函数f(x)的反函数通常用f-1(x)表示.说明:(1)本质:x,y互换 ;(2)记法:f-1(x);(3)注意:f(x)与f-1(x)互为反函数.2.举出一些有反函数的函数,如:一次函数,反比例函数.提问:函数y=5x是否有反函数?如果有,反函数是什么?课堂练习1.求下列函数的反函数.(1)f(x)=3x;(2)f(x)=log6x.2.已知函数f(x)的图像过(-2,1)点,则其反函数f-1(x)的图像过点.3.判断下列函数是否有反函数,若有,求出其反函数.(1)x 1 2 3 4y 3 5 7 9(2)x0 1 2 3y0 1 4 9(3)x 3 2 1 0 1 2 3y9 4 1 0 1 4 9核心素养专练1.在同一平面直角坐标系中,函数y1=a-x,y2=-log a x(其中a>0且a≠1)的图像可能是()2.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+13.已知函数y=f(x)与y=e x互为反函数,函数y=g(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称,若g(x)=1,则实数a的值为()A.-eB.-1e C.e D.1e4.已知点(2,9)在指数函数y=f(x)的图像上,则f-1(27)=()A.14B.13C.3D.45.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图像经过点(4,1),则实数a等于()A.1B.2C.3D.4参考答案课堂探究略课堂练习1.(1)f-1(x)=log3x (2)f-1(x)=6x2.(1,-2)3.(1)有反函数(2)有反函数(3)没有反函数核心素养专练1.B2.D3.D4.C5.C学习目标1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图像之间的对称关系,培养数学抽象的核心素养.2.利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题,提升数学抽象,数学计算的核心素养.自主预习复习指数函数和对数函数的图像和性质,完成课本30页表格.课堂探究任务一阅读课本30页,思考并完成以下问题.图一1.在图一中作出函数y=2x的图像并写出函数的定义域和值域:;.2.在值域中任取一个y值,是否有唯一的x值与之对应?如果是唯一的,这种对应关系是否是一个新的函数?如果是写出新函数的解析式:.3.在图一中作出新函数的图像,写出新函数的定义域和值域.4.写出反函数的定义.任务二合作探究:完成以下问题.5.y=f(x)与y=f-1(x)的定义域和值域之间存在什么关系?6.根据图一,说出y=a x和y=log a x图像之间的位置关系,并猜想y=f(x)与y=f-1(x)图像之间的位置关系.7.根据图一,说出y=a x和y=log a x两者单调性的关系,并猜想y=f(x)与y=f-1(x)单调性的关系.8.思考:若点(a,b)在y=f(x)图像上,则可以断定哪个点一定在它的反函数上?图二任务三在图二中作出函数y=x和y=(12)x及反函数的图像;验证任务一中的结论并完成以下练习.练习:课本32页习题A第1,2,5题,习题B第1,3题,习题C第1题.任务四阅读课本剩余内容,完成例题1,2.例1:分别判断下列函数是否存在反函数,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数.(1)x 1 2 3 4 5f(x) 0 0 1 3 5(2)x 1 2 3 4 5g(x) -1 0 1 -2 5变式训练课本32页习题A第3题.例2判断f(x)=2x+2的反函数是否存在,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数f-1(x)的解析式,并在同一平面直角坐标系中作出f(x)和f-1(x)的函数图像.变式训练课本32页习题A第4题,习题B第2题.总结求反函数的步骤任务五拓展例题函数y=f(x)的图像是过点(4,-1)的直线,其反函数的图像过点(-3,-2),求函数f(x)的表达式.变式训练(2019潍坊高一期末)已知点(2,9)在指数函数y=f(x)的图像上,求f-1(27).课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?1.知识层面2.思想方法层面课堂练习若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()A.log2xB.12x C.lo g12x D.2x-2布置作业A层:习题4—3A第1,2,5题,4—3B第1,3,4,5,6题.B层:习题4—3C.核心素养专练1.若函数y=f(x)的图像位于第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图像位于()A.第一、二象限B.第三、四象限C.第二、三象限D.第一、四象限2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(8)=()A.3B.13C.-3 D.-133.若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数的图像经过点(9,-2),则a= .4.若函数f(x)的图像和g(x)=ln(2x)的图像关于直线x-y=0对称,则f(x)的解析式为.5.函数f(x)=log a(x2-4x+3)(a>0,a≠1)在x∈[m,+∞)上存在反函数,则m的取值范围是.参考答案自主预习略课堂探究任务一 1.R (0,+∞) 2.是是 y=log 2x 3.图像略 (0,+∞) R 4.略任务二5.y=f (x )的定义域是y=f -1(x )的值域,y=f (x )的值域是y=f -1(x )的定义域. 6.关于y=x 对称关于y=x 对称 7.单调性相同单调性相同 8.(b ,a )任务三习题A1.y=log 3x2.y=6x5.(1)存在 (2)不存在习题B1.y=log 5x 3.(1)存在 (2)不存在习题C1.不一定一定任务四例1 解:(1)因为f (x )=0时,x=1或x=2,即对应的x 不唯一,因此f (x )的反函数不存在. (2)因为对g (x )的值域{-1,0,1,-2,5}中任意一个值,都只有唯一的x 与之对应,因此g (x )的反函数g -1(x )存在,而且反函数可以表示如下.x -2 -1 0 1 5 g -1(x ) 4 1 2 3 5变式训练 (2,1)例2 解:因为f (x )=2x+2是增函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x 与之对应,所以f (x )存在反函数.令y=2x+2,对调其中的x 和y 得x=2y+2,解得y=12x-1.因此f -1(x )=12x-1.图略变式训练习题A 4.存在 y=-13x+23 习题B 2.存在 y=1x x-x x总结:略任务五解:设所求的函数为f (x )=kx+b (k 不为0). 因为f (x )的图像过(4,-1),所以4k+b=-1.① 又因为其反函数的图像过点(-3,-2), 所以-2k+b=-3.② 由①②,得k=13,b=-73. 从而f (x )=13x-73. 变式训练 3 课堂练习 A核心素养专练1.D2.A3.134.y=12e x5.m>3。

人教B版数学高一版必修1教案指数函数与对数函数的关系

教学建议1.教学过程中要注意让学生掌握指数函数与对数函数的关系和它们之间的相互转化,掌握函数及其反函数的图象关于直线y=x 对称.在解决有关指数函数和对数函数的问题时,要注意数形结合,注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则,注意分类讨论.2.对于反函数概念的理解要注意以下几点:(1)反函数的定义域与值域恰好是原来函数的值域与定义域,由此我们在求一个函数的值域(或定义域)时,可改求它的反函数的定义域(或值域).(2)对于任意一个函数y=f(x)不一定总有反函数,只有当确定这个函数的映射是一一映射时,这个函数才存在反函数.y=f(x)只有存在反函数时,才可由y 0=f(x 0)得出x 0=f -1(y 0)〔或由b=f -1(a)得出a=f(b)〕.偶函数一般不存在反函数.(3)若y=f(x)的反函数为y=f -1(x),则 y=f(x)与y=f -1(x)在各自的定义域内具有相同的单调性.备用习题1.已知log 21b<log 21a<log 21c,则( )A.2b >2a >2cB.2a >2b >2cC.2c >2b >2aD.2c >2a >2b解析：∵0<21<1,log 21b<log 21a<log 21c, ∴b>a>c.又2>1,∴2b >2a >2c .故选A.答案：A2.若函数f(x)的反函数为f -1(x)=2x+1,则f(1)的值为( )A.4B.-4C.1D.-1解析：令f(1)=t,则f -1(t)=1,即2t+1=1.∴t+1=0.∴t=-1,即f(1)=-1.故选D.答案：D3.已知函数f(x)=log a (x-k)的图象过点(4,0),而且其反函数f -1(x)的图象过点(1,7),则f(x)是…( )A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数解析：∵函数f(x)=log a (x-k)的图象过点(4,0),∴log a (4-k)=0.∴k=3.∴f(x)=log a (x-3).又反函数f -1(x)的图象过点(1,7),∴f(x)过点(7,1).∴log a 4=1.∴a=4.∴f(x)为增函数.故选A.答案：A4.设f(x)=⎩⎨⎧>≤-,1,log ,1,281x x x x 则满足f(x)＝41的x 的值为________. 解析：由f(x)=41得⎪⎩⎪⎨⎧=>⎪⎩⎪⎨⎧=≤-,41log ,1412,181x x x x 或 ∴x=3.。

人教B版高中数学必修一【学案19】指数函数与对数函数的关系

学案二十指数函数与对数函数的关系
一、三维目标：
1. 理解反函数的概念，会求简单函数的反函数，提高归纳概括能力。

2. 通过自主学习、合作探究，体会互为反函数的函数间的关系。

3. 以极度的热情投入到课堂学习当中，体验数形和谐的对称美.
二、学习重、难点：
重点：反函数的概念以及指数函数对数函数的关系
. 难点：反函数概念的理解.；
【自主探究】
1.对数函数x y 2log 和指数函数x y
2的自变量与因变量的关系是怎样的？2.在同一坐标系内画出
x y 2log 和x
y 2的图像，3.在同一坐标系内画出x y 2
1l o g 和
x y ）（2
1的图像x
x y ）（2
1x x
y 2X
x
y 2log x 明确学习目标
研究学习目标明确学习方向课前自主预习
自主学习教材独立思考问题。

高中数学《指数函数与对数函数的关系》学案6 新人教B版必修1

表解指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数，特别是对数函数，是中学数学研究的重要函数，是高考的必考内容，常与其他知识相综合，对数函数是许多知识的交汇点，同时，要注意它们之间互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，下面对指数函数与对数函数的关系作简单的探讨. 一、表解指数函数、对数函数的图象及性质：二、例分析：1、图象的对称性：例1、⑴（06⋅全国）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则（） A 、()()22xf x ex R =∈ B 、()()2ln 2ln 0f x x x =⋅> C 、()()222xf x ex R =∈ D 、()()2ln 2ln 0f x x x =+>解析：由函数()y f x =，则可得()1ln ,(0)f x x x -=>，∴()()2ln 2ln 2ln ,0f x x x x ==+>.⑵（07全国Ⅰ）函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =__________。

解析：由函数3log (0)y x x =>，可得()13()x f x x R -=∈，即关于直线y x =对称的()3()xf x x R =∈.点评：本题考查了指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称. 2、函数解析式之间的转化：例2、⑴（06年广东）如图所示，设函数()y f x =的反函数()1y f x -=的图象与y 轴交于点()0,2P ，则方程()0f x =在[]1,4上的根x 是（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 解析：∵()102f-=，∴()20f =，即()0f x =，在[]1,4上的根为2x =，故选C. ⑵已知函数()f x 的反函数： ①()112007log ,0m fx m m x -+⎛⎫=+>⎪⎝⎭，则方程()2007f x =的解集为 .②设函数()()log ,1a f x x a a =>≠，满足()92f =，则()19log 2f -= .解析：①由()2007f x =，知1(2007)x f-=，又()1112007(2007)log log 112007m m fm m -++⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，即1x =，∴则方程()2007f x =的解集为1x =.②由()92f =，∴log 92a =，∴29a =，即3a =，∴()13x x fx a -==，∴()9log 219log 23f -=，又∵293231log 2log 2log 2log 2=== ∴()log19log 23f-==点评：本题考查了指数函数与对数函数互为反函数.)x。

高中数学《指数函数与对数函数的关系》学案2 新人教B版必修1

指数函数与对数函数一、知识回顾：1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 互为反函数，其图象关于直线x y =对称二、基本训练1、（1）)35lg(lg x x y -+=的定义域为_______；（2）312-=x y 的值域为_________；（3）)lg(2x x y +-=的递增区间为___________，值域为___________2、（1）041log 212≤-x ，则________∈x（2）函数)2(log )(π≤≤=x x x f a 的最大值比最小值大1，则__________∈a3、（1）若函数m y x +=+-12的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是（）（A ）2-≤m （B ）2-≥m （C ）1-≤m （D ）1-≥m （2）如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为（A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1 （C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<1（3）若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是（）（A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,21( （D ）),1(+∞（4）已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a c b <<三、例题分析例1（1）若02log 2log <>b a （D ）1>>a b（2）函数)0(1log 2≠-=a ax y 图象的对称轴为2=x ，则a 为（）（A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）2- （3）(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则a 的取值范围是（）（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）(]2,1 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21（4）已知函数3234+⋅-=x x y 的值域为[]7,1，则x 的范围是（）（A ）[]4,2 （B ）)0,(-∞ （C ）[]4,2)1,0(⋃ （D ）(][]2,10,⋃∞- 例2、比较大小（1）6.12.02.0224.0 （2）4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0（3）ab b a a a ,,- 其中10<<y 恒成立。

人教B版数学高一版必修1学案3对数函数指数函数与对数函数的关系

3.2.2 对数函数～3.2.3 指数函数与对数函数的关系1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)叫做对数函数，其中x 是自．变量．．，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对于对数函数的概念应注意以下三个方面：①定义域：因为对数函数y ＝log a x 是由指数函数y ＝a x 变化而来的，对数函数的自变量x 恰好对应指数函数的函数值y ，所以对数函数y ＝log a x 的定义域是指数函数y ＝a x 的值域，即x ∈(0，＋∞)．②底数：对数函数y ＝log a x 的底数a ＞0，且a ≠1.③形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1，x ＞0)中，log a x 前面的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则不是对数函数．【例1】下列函数是对数函数的序号是________．(1)y ＝4x ；(2)y ＝log x 2；(3)y ＝－log 3x ；(4)y ＝log 0.4x ；(5)y ＝log (2a －1)x1,12a a x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，是自变量；(6)y ＝log 2(x ＋1)．解析：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数，其中x 是自变量，a 是常数．易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中313=log =log y x x -是对数函数；(4)式中20.40.4log log y x ==是对数函数；(5)中对数的底数2a －1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只是自变量x ，而是关于x 的表达式x ＋1，故不是对数函数．由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数．答案：(3)(4)(5)点技巧利用概念准确判断对数函数判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不可． 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)的图象与性质(1)在同一直角坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，12=log y x ，13=log y x 的图象，如图所示，观察图象可以看出：①这些图象都在y 轴右侧，且向y 轴的正、负方向无限延伸；②图象都经过点(1,0)；③函数y ＝log 2x 和y ＝log 3x 的图象从左向右逐渐上升；函数12=log y x和13=log y x 的图象从左向右逐渐下降．(2)对数函数y＝log a x(a＞0，a≠1，x＞0)的图象和性质．0＜a＜1a＞1 图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是减．函数在(0，＋∞)上是增．函数析规律对对数log a x的值的符号判断由表格中的关系易知：当a，x在同一个区间(0,1)或(1，＋∞)取值时，log a x＞0；当a，x 分别取自不同的区间(0,1)和(1，＋∞)，log a x＜0，简记为“同正，异负”．【例2－1】函数y＝log11x的定义域和值域分别是()A．R，R B．R，(0，＋∞)C．(0，＋∞)，R D．(0，＋∞)，(0，＋∞)解析：函数y＝log11x的定义域是(0，＋∞)，值域是R.答案：C【例2－2】图中的曲线C1，C2，C3，C4都是对数函数y＝log a x的图象．已知a取3,2，1 3，15四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是()A ．3,2，13，15 B ．3,2，15，13 C ．2,3，13，15 D ．2,3，15，13解析：方法1：当a ＞1时，自左向右看，图象上升；当0＜a ＜1时，自左向右看，图象下降．又当a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴；0＜a ＜1时，a 越小，图象向右越靠近x 轴，所以曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次为2,3，15，13. 方法2：作直线y ＝1，设C 1，C 2，C 3，C 4与直线y ＝1的交点分别为(a 1,1)，(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，由图象知：a 3＜a 4＜1＜a 1＜a 2.所以a 1，a 2，a 3，a 4的值分别为2,3，15，13. 答案：D 3．反函数当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．一般地，如果函数y ＝f (x )存在反函数，那么它的反函数通常用y ＝f －1(x )表示，反函数也是函数，它具有函数的一切特性．反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数．(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． (2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线．．．．y ．＝．x ．对称．．．． (3)函数y ＝f (x )的反函数的求法 ①确定原函数的值域．因为函数是由定义域和对应法则构成的，一个函数的反函数是对换原函数的自变量和因变量而得到的新函数，新函数的自变量就是原函数的因变量，新函数的定义域就是原函数的值域，因此，只有确定了原函数的值域，才能确定新函数的定义域．②把原函数y ＝f (x )视为方程，用y 表示出x .因此y 是新函数的自变量，x 是它的函数值． ③把x ，y 互换，同时标明反函数的定义域．因为我们习惯用x 表示自变量，用y 表示函数值，所以把x ，y 互换．而反函数的定义域就是原函数的值域．也可简记为：反解—互换—求定义域．析规律理解反函数应注意的三点(1)只有一一映射确定的函数才有反函数．如一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)、反比例函数y ＝kx(k ≠0)、指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)、对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，它们都是一一映射确定的函数，因此都有反函数；像二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于对称轴x ＝－b2a对称的两个不同自变量对应同一函数值，它不是一一映射下的函数，所以没有反函数．(2)反函数也是函数，是相对而言的，一个函数与它的反函数互为反函数．(3)互为反函数的两个函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，因此，如果原函数的图象经过定点(a ，b )，则其反函数的图象经过定点(b ，a )．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，且y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(1,0)，而y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过定点(0,1)．【例3－1】函数12=1log y x +的反函数是( )A ．y ＝2xB ．1=2xy ⎛⎫⎪⎝⎭C ．y ＝log 2xD ．y ＝21－x解析：由12=1log y x +，得12log =1x y -且值域为R ，所以11=2y x -⎛⎫⎪⎝⎭.以x 代y ，以y 代x ，得11=2x y -⎛⎫⎪⎝⎭.故选D.答案：D【例3－2】若函数y ＝f (x )的反函数．．．的图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )图象必过点( ) A ．(5,1) B ．(1,5) C ．(1,1) D ．(5,5) 解析：由于原函数与反函数的图象关于y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过(5,1)．答案：A【例3－3】已知函数f (x )＝1＋lg x (x ＞0)，f (x )的反函数为f －1(x )，则f (1)＋f －1(1)＝______. 解析：令y ＝f (x )＝1＋lg x ，∴y －1＝lg x .∴x ＝10y －1.∴f －1(x )＝10x －1.∴f (1)＋f －1(1)＝(1＋lg 1)＋101－1＝2. 答案：24．对数函数的解析式及求值问题对数函数的解析式y ＝log a x 中仅含有一个参数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x ，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n ，则解得a ＝k ＞0.还可以直接写出1=na m ，再利用指数幂的运算性质化简1nm .例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于4＝⎝⎛⎭⎫12－2.所以a ＝±12，又a ＞0，所以a ＝12.当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得124a -=＝122(2)-＝2－1＝12.【4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝( ) A ．e 5 B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：方法1：令t ＝e x ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5. 方法2：令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5. 答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， ∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11=log =299af ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴21=9a .∴11222111===933a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.∴13()=log f x x .∴111331(3)=log 3=log =13f -⎛⎫- ⎪⎝⎭.5．对数函数的定义域、值域的应用(1)利用对数函数的定义域、值域求形如y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)型的函数的定义域和值域．对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，由于对数函数y ＝log a x 的定义域是(0，＋∞)，值域是R ，则利用换元法，设log a x ＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (t )有意义的解集是f (log a x )的定义域，函数f (t )(t ∈R )的值域就是f (log a x )的值域．(2)利用对数函数的定义域、值域，求形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的函数的定义域、值域．对于函数y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)，由于对数函数y ＝log a x 的定义域是(0，＋∞)，因此满足f (x )＞0的解集是函数log a f (x )的定义域．设u ＝f (x )，求出函数u ＝f (x )的值域E ，则函数y ＝log a u (u ∈E )的值域是函数log a f (x )的值域．【例5－1】求下列函数的定义域：(1)y ＝log x －1(5＋x )；(2)y .解：(1)要使函数有意义，需10,11,50,x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪+>⎩即1,2,5,x x x >⎧⎪≠⎨⎪>-⎩∴x ＞1，且x ≠2.∴所给函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数有意义，需0.1430,log (43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩即430,431,x x ->⎧⎨-≤⎩解得34＜x ≤1.∴所给函数的定义域为3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦. 点技巧如何求对数函数的定义域求与对数函数有关的函数的定义域时，除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外，对这种函数自身还有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．【例5－2】求函数y ＝log a (a －a x )(a ＞1)的值域．解：令u ＝a －a x ，∵u ＞0，a ＞1，∴a x ＜a ，即x ＜1. ∴y ＝log a (a －a x )的定义域为(－∞，1)． ∵a x ＜a ，且a x ＞0，∴u ＝a －a x ＜a . ∴y ＜log a a ＝1.∴所求函数的值域为(－∞，1)． 6．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝1的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)； ②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)； ③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――-------------------------→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)； ④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)．【例6－1】若a ＞0，且a ≠1，则函数f (x )2log a (5x －10)＋2恒过定点P 的坐标是__________．解析：令5x －10＝1，解得11=5x ，所以函数f (x )恒过定点11,25⎛⎫⎪⎝⎭. 答案：11,25⎛⎫⎪⎝⎭【例6－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图①.第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②.第三步：将y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③.第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④.7．对数函数单调性的应用(1)比较两个对数式的大小比较两个对数式大小的方法有以下几种：①单调法：比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．②中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助于中间值0进行比较．利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号．对于对数log a x，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，log a x大于0，否则log a x小于0.③分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；分类讨论对数函数的底数与1的大小；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)复合函数单调区间的求法求复合函数的单调区间时，一要注意定义域，二要利用“同增异减”法则，三要注意某些情况下区间端点的取舍．(3)利用函数单调性求解简单的对数不等式根据对数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有①log a f(x)＝log a g(x)⇔f(x)＝g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；②当a＞1时，log a f(x)＞log a g(x)⇔f(x)＞g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)；③当0＜a＜1时，log a f(x)＞log a g(x)⇔f(x)＜g(x)(f(x)＞0，g(x)＞0)．辨误区注意对数自身的性质解对数不等式时，要注意保证真数大于0，另外，为了方便解题，要尽量统一底数．【例7－1】比较下列各组数的大小：(1)log2π与log29；(2)log20.3与log0.20.3；(3)log a 2.7与log a 2.8(a ＞0，且a ≠1)；(4)148log 7与156log 5. 解：(1)因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，又π＜9，所以log 2π＜log 29.(2)因为log 20.3＜log 21＝0，log 0.20.3＞log 0.21＝0，所以log 20.3＜log 0.20.3.(3)当a ＞1时，由函数y ＝log a x 的单调性知log a 2.7＜log a 2.8；当0＜a ＜1时，由函数y ＝log a x 的单调性知log a 2.7＞log a 2.8.(4)设148=log 7m ，156=log 5n ，则1816=,=4755m n⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以754=,5=86mn .因为75>86，所以4m ＞5n ，两边取常用对数得m ·lg 4＞n ·lg 5.因为lg 4＞0，所以lg5>>lg 4m n n ⋅，即114586log >log 75. 【例7－2】函数f (x )＝log 2(x 2－x －6)的单调递减区间是__________．分析：将所给函数分解为两个简单函数，利用复合函数的单调性求解．解析：令u ＝x 2－x －6，则y ＝log 2u . ∵y ＝log 2u 为(0，＋∞)上的增函数，∴当u ＝x 2－x －6为x 的减函数时，y 为x 的减函数．为使函数有意义，需x 2－x －6＞0，即定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．由二次函数u ＝x 2－x －6的对称轴为直线1=2x ，知当x ∈(－∞，－2)时，u ＝x 2－x －6是减函数，于是原函数的单调递减区间为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)【例7－3】若22log <13a⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的取值范围．解：∵22log <13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴21<log <13a -，即12log <log <log 3a a a a a .当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数． ∴12<<3a a ，∴3>2a ，结合a ＞1，可知3>2a . 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数．∴12>>3a a ，∴2<3a ，结合0＜a ＜1，知20<<3a . ∴a 的取值范围是23032a a a ⎧⎫⎫<<>⎨⎬⎪⎭⎩⎭或.8．互为反函数的两个函数所遵循的原则和规律(1)定义域与值域互换、对应法则互逆的原则，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，反映到解析式上，即f －1(a )＝b f (b )＝a .(2)图象关于直线y ＝x 对称的原则．(3)单调性相同的原则，即若原函数是增函数(或减函数)，它的反函数一定是增函数(或减函数)．(4)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数；若一函数为偶函数，则它没有反函数．奇函数不一定有反函数，偶函数一定没有反函数．【例8】已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图象如图所示，则不等式－1≤f －1(x )≤12的解集是( )A ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．[－2,0)∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．[－1,0]∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解析：由题意可得f －1(x )的图象如图所示．由图象知－1≤f －1(x )＜0的解为－2≤x ＜0,0≤f－1(x )≤12的解为12≤x ≤1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 答案：C9．对数函数与函数单调性、奇偶性的综合问题(1)判断与对数函数有关的函数的奇偶性也是根据奇、偶函数的定义进行判断．(2)对数函数的单调性与底数的大小有关系，因此讨论对数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与对数函数有关的函数的单调性往往也与底数有关系，其解决手段就是函数单调性的定义．判断或证明函数单调性的步骤是：①在所给的区间上任取两个自变量x 1和x 2，通常令x 1＜x 2； ②比较f (x 1)和f (x 2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、判断正负．③再归纳结论．(3)对形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的单调性，通常要根据a 的取值进行讨论： ①当a ＞1时，函数y ＝log a f (x )在定义域内的单调性与函数y ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性相同．②当0＜a ＜1时，函数y ＝log a f (x )在定义域内的单调性与函数y ＝f (x )(f (x )＞0)单调性相反．【例9－1】下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( )A ．(－∞，1]B ．413⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．302⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．[1,2) 答案：D【例9－2】已知函数1()=log 1amxf x x --(a ＞0，a ≠1，m ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性，并给出证明．解：(1)由已知条件得f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立．∴11log log =011aa mx mxx x +-+---，即11=111mx mx x x +-⋅---， ∴m 2x 2－1＝x 2－1对定义域中的x 均成立． ∴m 2＝1，即m ＝1(舍去)或m ＝－1.(2)由(1)得1()=log 1a xf x x +-. 设1122===1111x x t x x x +-++---， ∴当x 1＞x 2＞1时， t 1－t 2＝2112122()22=11(1)(1)x x x x x x ------＜0， ∴t 1＜t 2.当a ＞1时，log a t 1＜log a t 2，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴当a ＞1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数．同理当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．。

精选人教B版高中数学必修一学案：3.2.3 指数函数与对数函数的关系

3.2.3.指数函数与对数函数的关系[学习目标].1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.[知识链接]在同一坐标中，作出函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象，两图象关于直线y ＝x 对称.[预习导引]1.反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.称这两个函数互为反函数.(2)反函数的记法：函数y ＝f (x )的反函数通常用y ＝f －1(x )表示. 2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数.(2)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的图象关于y ＝x 对称.要点一.求反函数例1.写出下列函数的反函数：(1)y ＝lg x ；(2)y ＝log 31x ；(3)y ＝(2)x ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫23x .解.(1)y ＝lg x 的底数为10，它的反函数为指数函数y ＝10x .(2)y ＝log 31x 的底数为13，它的反函数为指数函数 y ＝⎝⎛⎭⎫13x .(3)y ＝(2)x 的底数为2，它的反函数为对数函数y ＝x (x ＞0).(4)y ＝⎝⎛⎭⎫23x 的底数为23，它的反函数为对数函数 y ＝log 23x (x ＞0).规律方法.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数.跟踪演练1.求下列函数的反函数：(1)y ＝log 2x ；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫13x ；(3)y ＝5x ＋1.解.(1)由y ＝log 2x ，得y ∈R ，x ＝2y ，∴f －1(x )＝2x ，x ∈R . (2)由y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，得x ＝log 13y 且y ＞0. ∴f －1(x )＝log 31x (x ＞0). (3)由y ＝5x ＋1，得x ＝y －15且y ∈R ， ∴f －1(x )＝x －15，x ∈R . 要点二.互为反函数的性质应用例2.已知函数y ＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a ，b 的值.解.∵y ＝a x ＋b 的图象过点(1,4)，∴a ＋b ＝4.①又∵y ＝a x ＋b 的反函数图象过点(2,0)，∴点(0,2)在原函数y ＝a x ＋b 的图象上.a 0＋b ＝2.②联立①②得a ＝3，b ＝1.规律方法.互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y ＝x 对称，所以若点(a ，b )在函数y ＝f (x )图象上，则点(b ，a )必在其反函数y ＝f －1(x )图象上. 跟踪演练2.已知f (x )＝log 3x ，则f －1(4)＝________. 答案.81解析.由log 3x ＝4，得x ＝34＝81.即f －1(4)＝34＝81. 要点三.指、对数函数的图象性质应用例3.设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值.解.将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标.由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).而A、B都在直线y＝－x＋3上，∴b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3，故a＋b＝3.规律方法.形如a x＋kx＝b(a＞0且a≠0)或log a x＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象的交点.跟踪演练3.函数f(x)＝lg x＋x－3的零点所在区间为(..)A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3，＋∞)答案.C解析.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象.它们交点的横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观很难做出判断.实际上这是要比较x0与2的大小.当x＝2时，lg x＝lg 2，－x＋3＝1，由于lg 2＜1，因此x0＞2，从而得到x0∈(2,3)，故选C.1.函数y ＝log 21x (x ＞0)的反函数是(..)A.y ＝x 21，x ＞0B.y ＝(12)x ，x ∈RC.y ＝x 2，x ∈RD.y ＝2x ，x ∈R答案.B 解析.互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.2.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )等于(..)A.log 2xB.12xC.log 21x D.2x －2 答案.A解析.y ＝a x 的反函数f (x )＝log a x ，则1＝log a 2，∴a ＝2.3.已知函数y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，下列说法不正确的是(..)A.两者的图象关于直线y ＝x 对称B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C.两函数在各自的定义域内的增减性相同D.y ＝a x 的图象经过平移可得到y ＝log a x 的图象答案.D解析.由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知A 、B 、C 选项均正确.4.已知y ＝(14)x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0等于(..) A.－2 B.－1 C.2 D.12答案.C解析.y ＝(14)x 的反函数是f (x )＝log 14x ， ∴f (x 0)＝log 14x 0＝－12. ∴x 0＝(14)21-＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12221-＝2. 5.已知f (x )＝a －22x ＋1是R 上的奇函数，则f －1⎝⎛⎭⎫35的值是________. 答案.2解析.由f (x )为奇函数知a ＝1，∴f (x )＝2x －12x ＋1由2x －12x ＋1＝35，得x ＝2.1.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称.2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成：(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；(2)从y ＝f (x )中解出x ；(3)x 、y 互换并注明反函数定义域.3.反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x 的集合.。

人教B版高中数学必修一指数函数与对数函数的关系学案(2)

指数函数和对数函数典例剖析知识梳理一、指数函数：对三个指数函数的图象特征与函数性质的认识。

（1）所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如和相交于，当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有及。

（2）与的图象关于y 轴对称。

（3）通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数（）的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭也由关于y 轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

二、对数函数： 1、对三个对数函数的图象的认识：（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是与在点（1,0）曲线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方；而时，的图象在的图象的下方，故有：；。

（2）的图象与的图象关于x 轴对称。

（3）通过，，三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如作的图象，它一定位于和两个图象的中间，且过点（1,0），时，在的上方，而位于的下方，时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。

2、对数常用公式：log log log a b a N N b =； lg lg ln 2.303lg lg 0.4343N NN N e ===； 1log log a b b a =；；；。

典例剖析题型一函数的单调性判断例1、讨论函数的单调性（1）1log 2log 22221+-=x x y ；（2）49231-+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 。

剖析：（1）易知函数定义域为),0(+∞。

令x x g u 21log )(==，1222)(2--==u u u f y ，则原函数y=f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而x x g u 21log )(==在),0(+∞∈x 时是减函数，1222)(2--==u u u f y 212122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=u ，在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,u 时是减函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21u 时是增函数。

人教新课标版数学高一人教B版必修1学案指数函数与对数函数的关系

3.2.3指数函数与对数函数的关系一、教学目标：1、了解反函数的概念。

2、理解互为反函数图象间的关系。

3、掌握对数函数与指数函数互为反函数。

重点：反函数的概念及互为反函数图象间的关系。

难点：反函数的概念。

二、知识梳理1、当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的而把这个函数的自变量作为新的函数的我们称这两个函数为即)(x f y =的反函数记作。

2、互为反函数的图象关于直线对称；互为反函数的图象同增同减。

3、指数函数与对数函数有何内在关系①xa y =反解出x = ② x 和y 互换位置。

4、什么样的函数没有反函数?5、当a>1时，在区间[1,)+∞内，指数函数y=x a 随着x 的增加，函数值的增长速度，而对数函数y=log a x 增长的速度。

三、例题解析例1、求x y 5=,（R x ∈）的反函数.例2、求x y lg =的反函数.例3、求xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32的反函数.结论：根据以上几个题目,求反函数的一般步骤：①、由()x f y =,解出()y f x 1-=;②、交换y x ,得()x f y 1-=;③、根据()x f y =的值域,写出()x f y 1-=的定义域.变式训练：课本106页练习A 、练习B 。

限时训练：1、已知函数y=e x 的图像与函数y=f （x ）的图像关于直线y=x 对称，则A 、f （2x ）=e 2x x ∈RB 、f （2x ）=ln2 lnx （x>0）C 、f （2x ）=2e x x ∈RD 、f （2x ）=ln2 +lnx （x>0）2、已知函数y=log a x 与其反函数的图像有交点，设交点的横坐标为x 0，则A 、a>1且x 0>1B 、0<a<1且0< x 0<1C 、a>1且0< x 0<1D 、0<a<1且x 0>13、设a>0，a ≠1，函数f （x ）= x a ，g （x ）= x b 的反函数分别是1()f x -和1()g x -。

人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.3 指数函数与对数函数的关系学案

指数函数与对数函数的关系【学习目标】1．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系。

2．利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题。

【学习重难点】1．反函数。

2．指数、对数函数的图像与性质的应用。

【学习过程】问题导学预习教材P30－P31的内容，思考以下问题：1．反函数是如何定义的？2．互为反函数的函数有哪些性质？【新知初探】1．一般地，如果在函数y ＝f （x ）中，给定值域中任意一个y 的值，只有唯一的x 与之对应，那么x 是y 的函数，这个函数称为y ＝f （x ）的反函数。

2．一般地，函数y ＝f （x ）的反函数记作y ＝f －1（x ）。

y ＝f （x ）的定义域与y ＝f －1（x ）的值域相同，y ＝f （x ）的值域与y ＝f －1（x ）的定义域相同，y ＝f （x ）与y ＝f －1（x ）的图像关于直线y ＝x 对称。

3．如果y ＝f （x ）是单调函数，那么它的反函数一定存在。

如果y ＝f （x ）是增函数，则y ＝f －1（x ）也是增函数；如果y ＝f （x ）是减函数，则y ＝f －1（x ）也是减函数。

【自我检测】1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的反函数是y ＝log x 12。

（）（2）函数y ＝log 3x 的反函数的值域为R 。

（）（3）函数y ＝e x 的图像与y ＝lg x 的图像关于直线y ＝x 对称。

（）2．函数f （x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的反函数为g （x ），那么g （x ）的图像一定过点________。

3．函数y ＝x ＋3的反函数为________。

探究一、求反函数1．写出下列函数的反函数：（1）y＝lg x；（2）y＝5x＋1；（3）y＝（2）x；（4）y＝x2（x≤0）。

[规律方法]求反函数的一般步骤（1）求值域：由函数y＝f（x）求y的范围。

人教新课标版数学高一数学人教B版必修一指数函数与对数函数的关系学案

3.2.3 指数函数与对数函数的关系自主学习学习目标1．理解反函数的定义．2．知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)．3．通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质．自学导引1．反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的____________，而把这个函数的自变量作为新的函数的____________．称这两个函数互为反函数．(2)反函数的记法：函数y ＝f (x )的反函数通常用____________表示．2．指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x ____________.(2)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 的图象关于________对称．对点讲练知识点一求函数的反函数问题例1 求下列函数的反函数．(1)y ＝⎝⎛⎭⎫14x ；(2)y ＝log 2x ，x ∈(1,8)；(3)y ＝x 2＋1，x ∈(0，＋∞)．规律方法求函数y ＝f (x )的反函数的步骤为：(1)由y ＝f (x )解出x ＝f －1(y )；(2)由函数y ＝f (x )求y 的范围；(3)x 、y 互换得y ＝f －1(x )，注明定义域，即函数y ＝f (x )的值域．变式迁移1 求下列函数的反函数．(1)y ＝log 2x ； (2)y ＝(13)x ； (3)y ＝5x ＋1.知识点二互为反函数的图象间的关系例2 设方程2x ＋x －3＝0的根为a ，方程log 2x ＋x －3＝0的根为b ，求a ＋b 的值．规律方法根据指数函数与对数函数的图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题．变式迁移2 本例中若将题干中的两个方程分别改为x ＋lg x ＝3和x ＋10x ＝3，结果怎样？知识点三指数函数与对数函数图象及性质的综合应用例3 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c规律方法比较数的大小问题，方法灵活，就本题而言，把方程的解看作两函数图象交点的横坐标，从而利用数形结合比较简单，若几个数在不同的范围内，亦可通过求这些数的范围来比较大小．变式迁移3 三个数60.7,0.76，log 0.76的大小关系为( )A ．0.76<log 0.76<60.7B ．0.76<60.7<log 0.76C ．log 0.76<60.7<0.76D ．log 0.76<0.76<60.7学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y ＝x 对称．在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x 值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用．求反函数的一般步骤：(1)将y ＝f (x )看作方程，解出x ＝f －1(y )；(2)将x 、y 对称，得y ＝f －1(x )；(3)写出反函数的定义域(即原函数的值域).课时作业一、选择题1．函数f (x )＝3x (0<x ≤2)的反函数的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1,99，＋∞)2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( )A ．f (x )＝x 2，x ∈方法一由函数y ＝2x ，y ＝(12)x ， y ＝log 2x ，y ＝log 12x 的图象知：0<a 0，∴2a >1，∴log 12a >1， ∴0<a <12. 又∵b >0，∴0<(12)b <1， ∴0<log 12b <1，∴120，∴log 2c >0， ∴c >1，∴0<a <121， ∴选D.f (x )的值域即为其反函数定义域．互为反函数图象关于y ＝x 对称，(1,5)点关于直线y ＝x 对称点为(5,1)，∴选C.∵f (3)＝a 3>0，由f (3)·g (3)<0，得g (3)<0， ∴0<a <1，∴f (x )与g (x )均为单调递减函数，选C.由f (27)＝3，得a ＝3， ∴f －1(x )＝3x ，∴f －1(log 92)＝3log 92＝3log 32＝ 2.选C.解析求函数y ＝3＋log 12x (x ≥1)的反函数的定义域，即求原函数的值域． ∵x ≥1，∴log 12x ≤0.∴3＋log 12x ≤3. 8．②③解析根据题意，得g (x )＝log 12x ， ∴h (x )＝g (1－|x |)＝log 12(1－|x |)(1<x <1)． ∴h (x )是偶函数，h (x )不关于原点对称．∴①不正确；②正确．∵h (x )＝log 12(1－|x |)≥log 121＝0， ∴③正确．9．解 ∵y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a 应与函数y ＝3－bx 为同一函数， ∴－2a ＝3，且2＝－b ，∴a ＝－32，b ＝－2. 10．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1＝(a b)0. ∵a b>1，∴x >0. ∴函数的定义域为(0，＋∞)．(2)先证明f (x )是增函数．对于任意x 1>x 2>0，∵a >1>b >0，∴ax 1>ax 2，bx 1<bx 2.∴ax 1－bx 1>ax 2－bx 2.∴lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)．∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．∴y ＝f (x )的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴．。