山东省临沂市高三数学下学期第二次模拟试卷 理(含解析

2015年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．2．设集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2）C．[0，3] D．（0，3]3．若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．（）a＜（）b D．+＞24．已知F（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣45．执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（9，10） B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）6．已知f（x）=e x﹣x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 B．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0 C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 D．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤07．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b9．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是（）A．[﹣1，] B．[﹣1，1] C．[0，] D．[0，]10．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f （x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．已知向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为．12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有种．13．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．14．已知f（n）=sin（nx）dx，若对于∀∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x ﹣1|恒成立，则正整数n的最大值为．15．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．17．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）18．一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4，顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．设M，N分别是AD，BC的中点．（I）证明：平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．19．已知{a n}满足2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），且a1，1，4a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}满足b n=sin（πa n），S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n ＜2+π．20．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2015年山东省临沂市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数为纯虚数，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，利用复数的基本概念，列出方程求解即可．解答：解：依题意．由复数为纯虚数可知，且，求得m=2．故选：A．点评：本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念．2．设集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2）C．[0，3] D．（0，3]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出M，N的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，则M∪N={x|0＜x≤3}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．（）a＜（）b D．+＞2考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质、函数的单调性即可判断出．解答：解：∵a＜b＜0，∴a2＞b2，ab＞b2，，=2．因此只有D正确．故选：D．点评：本题考查了不等式的性质、函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知F（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．﹣3 D．﹣4考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性化简求解即可．解答：解：F（x）=f（x）﹣x是偶函数，且f（2）=1，F（2）=f（2）﹣2=﹣1．则F（﹣2）=f（﹣2）+2=﹣1，∴f（﹣2）=﹣3．故选：C．点评：本题考查函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．5．执行如图的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（9，10） B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，n的值，当n=4时不满足条件n＜4，退出循环，输出数对（9，10）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=7，y=6n=1满足条件n＜4，x=7，y=8，n=2满足条件n＜4，x=9，y=8，n=3满足条件n＜4，x=9，y=10，n=4不满足条件n＜4，退出循环，输出数对（9，10）故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，n的值是解题的关键，属于基础题．6．已知f（x）=e x﹣x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），则（）A．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 B．p是真命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0C．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）＜0 D．p是假命题，￢p：∃x0∈R，f（x0）≤0 考点：命题的否定；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：判断命题的真假，然后利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：f（x）=e x﹣x，命题p：∀x∈R，f（x）＞（0），是真命题，它的否定是：∃x0∈R，f（x0）≤0．故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定，基本知识的考查．7．若f（x）=sin（2x+θ），则“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若f（x）的图象关于x=对称，则2×+θ=+kπ，解得θ=﹣+kπ，k∈Z，此时θ=﹣不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b考点：函数的零点．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析： f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，即可得到a，b，c的大小．解答：解：f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，由图象可得，a＜c＜b．故选：D．点评：本题考查函数的零点的判断和比较，运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键．9．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形区域（含边界），若点（x，y）∈D，则的取值范围是（）A．[﹣1，] B．[﹣1，1] C．[0，] D．[0，]考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出双曲线的两条渐近线为，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2，结合图象可得在点B （2，﹣1）时，=0，在点O（0，0）时，=1，由此求得目标函数的取值范围．解答：解：双曲线y2﹣=1的两条渐近线为y=，抛物线y2=﹣8x的准线为x=2．故可行域即图中阴影部分，（含边界）．目标函数z==2•﹣1中的表示（x，y）与（﹣1，﹣1）连线的斜率，故在点B（2，﹣1）时，=0，在点O（0，0）时，=1，∴2•﹣1∈[﹣1，1]故选：B．点评：本题主要考查抛物线、双曲线的标准方程，以及简单性质，简单的线性规划问题，属于中档题．10．若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f （x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（）①f（x）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”；③“λ～特征函数”至少有一个零点；④f（x）=e x是一个“λ～特征函数”．A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用新定义“λ～特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案解答：解：对于①，设f（x）=C是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，故①不正确；对于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴当λ=﹣1时，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1时，f（x+λ）+λf （x）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函数”，故②正确；对于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“λ～特征函数”至少有一个零点，故③正确．对于④，假设f（x）=e x是一个“λ～特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=e x是“λ～特征函数”，故④正确故结论正确的是②③④，故选：C点评：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ～特征函数的概念是关键，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．已知向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，则与的夹角为45°．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量垂直的体积转化为数量积为0，然后求解即可．解答：解：向量与满足||=2，||=，（﹣）⊥，可得（﹣）•=0，即，可得2﹣2=0，，所以=45°故答案为：45°．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．12．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有30 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可解答：解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有 36﹣6=30，故答案为：30点评：对于复杂一点的排列计数问题，有时要先整体再部分，有时排列组合和分步计数原理，分类计数原理一起出现，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．13．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．解答：解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d==，整理得a2+2b2=2，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．14．已知f（n）=sin（nx）dx，若对于∀∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x ﹣1|恒成立，则正整数n的最大值为 3 ．考点：函数恒成立问题；定积分．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：先根据定积分计算出f（n），再根据绝对值的几何意义求出|x+3|+|x﹣1|的最小值为4，继而得到n的最大值．解答：解：f（n）=sin（nx）dx=﹣cosnx=﹣（cosπ﹣cos0）=，根据绝对值的几何意义，得到|x+3|+|x﹣1|≥4，∵对于∀∈R，f（1）+f（2）+…+f（n）＜|x+3|+|x﹣1|恒成立，∴++++…+=3++++…+＜4，∴正整数n的最大值为3，故答案为：3．点评：本题考查了定积分的计算以及绝对值的几何意义，以及函数恒成立的问题，属于中档题．15．已知点A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值是，则球O的表面积为π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：确定∠ABC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D到平面ABC的最大距离，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．解答：解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=1，AC=，∴∠ABC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为，设球的半径为R，则12=×（2R﹣），∴R=，∴球O的表面积为4πR2=π．故答案为：π．点评：本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离是关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知函数f（x）=2cosxsin（x+）．（I）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，sinB=2sinA，且△ABC的面积为2，求c的值．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可确定出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由f（C）=1确定出C的度数，sinB=2sinA利用正弦定理化简得到b=2a，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC与已知面积代入求出ab的值，联立求出a与b的值，利用余弦定理求出c的值即可．解答：解：（I）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C+）+=1，∴sin（2C+）=，∵＜2C+＜，∴2C+=，即C=，∵sinB=2sinA，∴b=2a①，∵△ABC面积为2，∴absin=2，即ab=8②，联立①②，得：a=2，b=4，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=12，即c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．解答：解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．点评：本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二项分布的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．一个楔子形状几何体的直观图如图所示，其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4，顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．设M，N分别是AD，BC的中点．（I）证明：平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）根据线面平行的性质定理推断出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，推断出MN∥AB，进而可知EF∥MN，推断出E，F，M，N四点共面．根据FB=FC，推断出BC⊥FN，又BC⊥MN，根据线面垂直的判定定理推断出，BC⊥平面EFNM，即可证明平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（1）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，进而可知FH⊥平面ABCD，又因为FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F ﹣BC﹣A的平面角为∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，分别求得FN和HN，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．解答：（I）证明：∵EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，∴EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四点共面．∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∵BC⊥AB，∴BC⊥MN，∵FN∩MN=N，∴BC⊥平面EFNM，∵BC⊂平面ABCD，∴平面EFNM⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（I）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，∴FH⊥平面ABCD，又∵FN⊥BC，HN⊥BC，∴二面角F﹣BC﹣A的平面角为∠FNH．在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN=，HNHN=FNcos∠FNH=2，∴FH=8，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则F（0，0，8），S（2，0，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，﹣4，0），则=（2，2，﹣8），=（﹣2，2，﹣8），=（0，﹣6，0）设平面EFCD的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（﹣4，0，1），设直线BF与平面EFCD所成角为θ，则sinθ==．点评：本题主要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角的计算．考查学生的空间想象能力和运算能力．属于中档题．19．已知{a n}满足2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），且a1，1，4a3成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n}满足b n=sin（πa n），S n为数列{b n}的前n项和，求证：对任意n∈N*，S n ＜2+π．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），当n=1时，a2=a1；当n=2时，4a3=3a2．由a1，1，4a3成等差数列，解得a1．由2na n+1=（n+1）a n，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）证明：b n=sin（πa n）=，利用当x∈时，sinx＜x，可得S n＜2+++…+，令T=++…+，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（I）解：∵2na n+1=（n+1）a n（n∈N*），∴当n=1时，2a2=2a1，即a2=a1；当n=2时，4a3=3a2．∵a1，1，4a3成等差数列，∴2=a1+4a3，∴2=a1+3a1，解得a1=．由2na n+1=（n+1）a n，可得，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴a n=．（II）证明：b n=sin（πa n）=，∴S n=1+1+++…+，∵当x∈时，sinx＜x，∴S n＜2+++…+，令T=++…+，T=++…++=+﹣，化简可得：T=π﹣＜π．∴S n＜2+π．点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，，求导；从而求极值；（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），求导=；从而求a．解答：解：（Ⅰ）当时，，；由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；所以当x=2时，函数f（x）取得极大值；（Ⅱ）因f（x）图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可；由=；（ⅰ）当a=0时，，当x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立；（ⅱ）当a＞0时，由，令g′（x）=0，得x1=1或；①若，即时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；（ⅲ）当a＜0时，由，因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（1）=0成立．综上，数a的取值范围是a≤0．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．21．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2以及x1+x2的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2以及x1﹣x2的值，从而求得AB的斜率K的值．解答：解：设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），∴b=．再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．在+=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，∴x2+2=．同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K======．点评：本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．。