参数当变量的理念与解题初探
参数法在解题中的妙用
参数法在解题中的妙用参数法是一种常用的解题方法，主要是通过引入参数来简化问题或者进行推导。
这种方法常用于数学和物理等科学领域中，可以减少计算量，简化问题结构，提高解题效率。
本文将详细介绍参数法的妙用，并以数学题目为例进行说明。
参数法的基本原理是通过引入一个或多个参数，将原始问题转化为一个较简单的问题或者新的等价问题。
这样一来，问题可能会变得更易解，同时也能从不同的角度得到问题的解。
参数法的核心思想是灵活运用数学概念和原理，并将其应用于具体问题中。
1.简化问题结构。
通过引入参数，可以将原始问题转化为一个更加简单的问题。
例如，问题中需要计算一个函数的局部极值点，可以通过引入参数将问题转化为计算函数的导数等于零的点，从而简化计算过程。
2.减少计算量。
有些问题可能存在大量的计算，通过参数法可以减少计算的规模。
例如，问题中需要计算一个较复杂的表达式的值，可以通过引入参数将表达式转化为一个较简单的形式，从而减少计算量。
3.推导出新的等价问题。
参数法有时可以将原始问题转化为一个和原问题等价的新问题，通过求解新问题可以得到原问题的解。
这种方法常用于证明问题中，通过推导出一个等价的定理或者命题，从而证明问题的解存在。
下面以几个数学题目为例进行详细说明：1.求解最值问题。
考虑一个问题，要求证明对于任意正整数n，有n^3-n是3的倍数。
我们可以使用参数法进行证明。
首先引入参数k，将原问题转化为证明对于任意正整数k，有k(k^2-1)是3的倍数。
然后我们可以将k讨论为三种情况，k=3m，k=3m+1，k=3m+2，其中m是整数。
通过进行这三种情况的逐一验证，可以得出结论，从而证明了原问题。
2.求解函数极值问题。
考虑一个问题，要求寻找函数y=3x^4-4x^3-12x^2+x+6的极值点。
我们可以使用参数法进行求解。
首先引入参数t，将函数转化为y=t^4-4t^3-12t^2+t+6、然后，我们可以求函数的导数，得到y'=4t^3-12t^2-24t+1、将导数等于零，即4t^3-12t^2-24t+1=0，转化为一个新的等价问题。
高中数学解题学科方法-参数法
学科方法·参数法参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现．参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法．解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点．(一)参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决．例1 已知抛物线y2=2px(p＞0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1⊥OP2．【解】如图2－5，设M(m，0)(m＞0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2)．∵ OP1⊥OP2，即y1y2=-x1x2．∴ (y1y2)2＝4p2x1x2．从而(-x1x2)2=4p2x1x2．∵ x1≠0，x2≠0，∴ x1x2=4p2①设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0．由韦达定理，得x1x2=m2②把②代入①中，得m2=(2p)2．∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．于是所求的点M的坐标为(2p，0)．【解说】本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p 的关系式，消去参数，求得m的值．OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2．当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．(1995年全国高考理科压轴题)【解】如图2－6，设动点Q(x，y)(x，y不同时为零)．又设|OR|=λ|OQ|，|OP|=u|OQ|，(λ，u＞0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(λx，λy)、点P(ux，uy)．∵ |OQ|·|OP|=|OR|2，∴ u|OQ|2=λ2|OQ|2．又|OQ|≠0，同理，由P在l上，可得于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点．利用已知条件|OQ|·|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用．这种解法比高考命题者提供的答案简明．(二)解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数．其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个．1．设而不求例3 如图2－7，过圆外一点P(a，b)作圆x2＋y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程．【解】设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1y ＝R2，x2x+y2y＝R2．∵这两条切线都过点P(a，b)，∴ ax1＋by1=R2，ax2＋by2=R2．由以上二式可以看出，点A、B在直线ax＋by=R2上，又过A、B只有一条直线，∴直线AB的方程为ax＋by=R2．【解说】本例中把A、B的坐标作为参数．虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”．2．代点法例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程．【解法1】设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得y1＋y2＝4①即(y1＋y2)(y1-y2)=12(x1-x2)．②即直线AB的斜率k=3．故直线AB的方程为y-2=3(x-1)．即 3x-y-1=0．【解法2】∵弦的中点为M(1，2)，∴可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y)．∵ A、B在抛物线上，∴ y2=12x，(4-y)2=12(2-x)．以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x)，即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程．【解说】以上两种解法都叫做代点法．它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果．习题2．2用参数法解证下列各题：1．已知椭圆9x2＋16y2=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为． [ ]A．9x-8y＋26＝0B．9x＋8y-26＝0C．8x-9y+26=0D．8x＋9y-26=02．点D(5，0)是圆x2＋y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程．且OP⊥OQ，求m的值．4．已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60的轨迹．5．已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x．设长为程．(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)6．已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x＋1与习题2．2答案或提示1．仿例4，选(B)．2．设M(x，y)，A(x＋x0，y＋y0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B=0．3．仿例1，可得m=3．5．设A(t，t)，B(t＋1，t＋1)，又设直线PA、PB的斜率分别x2-y2＋2x-2y＋8=0．6．设椭圆的方程为ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)，A、B、C的坐学科方法·待定系数法(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．习题2．3用待定系数法解证下列各题：1．求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程．2．求双曲线x2-2y2-6x＋4y＋3=0的焦点坐标．3．若方程ax3＋bx2y＋cxy2＋dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a2＋ac＋bd＋d2=0．4．求圆系2x2+2y2-4tx-8ty＋9t2=0(t≠0)的公切线方程．5．试证圆系x2+y2-4Rxcosα-4Rsinα+3R2=0(R是正的常数，α为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程．6．若在抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上有一个定点Q，过Q的任习题2．3答案或提示1．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8，E=-2，F=12．3．设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为px＋qy=0，则ax3＋bx2y＋cxy2+dy3=(lx2＋mxy-ly2)(px＋qy)，从而a=lp，b=lq＋mp，c=mq-lp，d=-lp．于是可得a2＋ac＋bd＋d2=0．4．y=x或y=7x．5．圆系方程为(x-2Rcosα)2+(y-2Rsinα)2=R2，设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcosα)2＋(b-2Rsinα)2=(R±r)2，整理，可得a2＋b2-2R即a=b=0．从而r2-3R2±2Rr=0，解得r1=R，r2=3R．6．设Q(x0，0)，直线AB的参数方程为x=x0＋tcosα，y=tsinα．代任一值，所以x0=p．学科方法·判别式法(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？(1988年全国高考理科试题)点、l为准线的抛物线方程为y2=2px．椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组y2=2px有四个不同的实数解．显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根．设方程①的两个根为x1、x2，则x1＞0、x2＞0的充要条件为又由已知，得p＞⑤【解说】本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即Δ(二)求极值例2 过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求△AOB面积S 的最小值．【解】如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k＜0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为从而9k2+2(S-6)k+4=0．∵Δ=[2(S-6)]2-4×4×9≥0，∴ S(S-12)≥0．∵ S＞0，∴S≥12．∴ S min=12．例3 在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值．【解】设x+y=u，则y=u-x．把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(u2-9)=0．∵ x是实数，∴Δ≥0即(-8u)2-4×13×4(u2-9)≥0．解之，得-(三)求参数的取值范围例4 已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围．【解法1】如图2-22，设点P(x0，y0)关于直线l对称的点为Q(-y0，-x0)，则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得以上两式相减，得x0+y0=a(x0+y0)(x0-y0)．∵点P不在直线x+y=0上，∴x0+y0≠0．从而a(x0-y0)=1，即y0=x0-∵ P、Q两点恒存在，∴x0是实数，即方程(*)恒有两个不等实学科方法·综合几何法(一)利用平面几何知识解题例1 已知⊙O的方程为x2＋y2=r2，点A(-r，0)、B(r，0)，M是⊙O上任一点，过A 作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P，求动点P的轨迹方程．【解】如图2－12，连MO，则OM⊥MQ，从而OM∥AP．∵ |BO|=|OA|∴ |AP|＝2|MO|＝2r．于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆．设P(x，y)，则P的轨迹方程为(x+r)2+y2＝(2r)2．【解说】本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷．例2 已知圆O′：(x-14)2＋(y-12)2=362内一点C(4，2)和圆周上两动点A、B，使∠ACB=90°，求斜边AB的中点M的轨迹方程．【解】如图2－13，连结MO′、MC、BO′，则O′M⊥MB，|MC|=|AM|=|MB|．设M(x，y)，则在Rt△BMO′中，|O′M|2+|BM|2=|O′B|2，又|BM|=|CM|，∵ |O′M|2＋|CM|2=|O′B|2，即(x-14)2+(y-12)2＋(x-4)2+(y-2)2=362，∴动点M的轨迹方程为x2＋y2-18x-14y-468＝0．【解说】本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用．(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题例3 已知一动圆P与圆O1：(x+1)2＋y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程．【解】如图2－14．设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r．由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，r2=3．∵动圆P与⊙O1外切，与⊙O2内切，∴ |PO1|=1+r，|PO2|=3-r，∴ |PO1|+|PO2|=4．即动点P到两点O1、O2的距离之和等于4．从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点O1、O2为焦点，长轴长为4的椭圆．由于⊙O1与⊙O2内切于点M(-2，0)，所以轨迹中不包括点M．故动点P的轨迹方程为【解说】本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件．例4 如图2-15，F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数(即焦点到准线的距离|FF1|)，求证【证明】如图2-15，过P1、P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q1、Q2．由圆锥曲线的定义，得【解说】本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式．习题2．5用综合几何法解证下列各题：焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m，则△ABF2的周长是____．2．已知△ABC的两个顶点A(-a，0)、B(a，0)(a＞0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b 是定值)，求BC中点P的轨迹方程．3．已知ABCD的相对两个顶点A(-4，6)、C(8，2)，过原点O作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程．焦点也是F2，C1的准线与C2的准线重合，P是C1与C2的一个交点，求证：5．已知椭圆的两个焦点是F1、F2，Rt△PF2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率．6．从过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂习题2．5答案或提示1．周长=(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m．3．设AC与BD交于G，则平面几何知识可得，所求的直线l过点G．l的方程为y=2x．4．设C2：y2=2px、C1的离心率为e，点P到C1的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PF2|=d，6．(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1∥y轴∥BB1，所以∠AFA1=学科方法·坐标法坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系(直角坐标系或极坐标系等)，把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题)，从而利用代数知识(或解析几何知识)使问题得以解决．(一)坐标法解证几何题例1 在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面【证明】如图2－1，以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m，0)、(m，0)、(p，q)(m＞0，q＞0)，则a2=|BC|2=(m-p)2＋q2=m2+p2＋q2-2mp，b2=|AC|2=(p＋m)2＋q2=p2＋m2＋q2-2mp，c2=4m2，S＝mq．例2 已知：AB是半圆的直径，且AB=2r，直线L与BA的延长与L的距离分别为MP、NQ，且MP=MA，NQ=NA．求证：AM＋AN=AB．【分析】由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N 是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解．【证法1】如图2－2，以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系．∵ |MA|＝|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点．∵ p=|AT|=2a，∴抛物线的方程y2=4ax①由已知，得半圆的方程为[x-(a+r)]2＋y2=r2(y≥0)②把①代入②中，整理，得x2-2(r-a)x＋a2+2ar=0．设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2=2r-2a．∵ |AM|+|NA|=a＋x1＋a＋x2＝2a＋2r-2a＝2r，∴ |AM|＋|AN|=|AB|．【证法2】如图2－2，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为∵ |MA|=|MP|，|NA|=|NQ|，∴ M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上．又p=|AT|=2a，从①、②中消去cosθ，得ρ2-2rρ+4ar＝0．从而由韦达定理，得|MA|＋|NA|=ρ1＋ρ2=2r．故 |AM|＋|AN|＝|AB|．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为：(二)坐标法解证代数题【证明】由已知条件，得在平面直角坐标系xOy中，直线x＋y直线的距离不大于半径，即∴ (z-a)2≤a2-2z2，又a＞0，【解说】本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离公式，使问题获解．【证明】如图2－3，建立直角坐标系，设圆O的半径为1．∵α、β是方程acosθ＋bsinθ=c在(0，π)内的两个根，∴ acosα＋bsinα=c，acosβ＋bsinβ=c，从而点A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)是直线ax+by=c与⊙O的两个交点．【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证代数题的思路模式为：习题2．1用坐标法解证下列各题：1．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，且|AD|=|BC|，M是BC的中点，H是垂心，求证：|MH|＋|HD|=|BM|．2．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为AD上一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证：∠EDA=∠ADF．3．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，M是DE的中点，求证：AM⊥BE．6．关于θ的方程 acosθ＋bsinθ=0(a2＋b2≠0)有两个相异实根α、β，m、n∈R，求证：习题2．1答案或提示1．以D为坐标原点，DC为x轴，DA为y轴，设点B(b，0)、2．以D为原点，DC为x轴，DA为y轴，设点A、B、C、H坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，h)，则直线AC的方程为3．以D为原点，DC为x轴、DA为y轴，设A、B、C的坐标如图2－4，当直线y=x-u过点A(1，0)时，u=1．当直线与半圆相切5．在直角坐标系中，设M(1，2)、P(sinθ，cosθ)，则P为⊙O：x2+y2=1上任一点，f(θ)为MP的斜率，由图(图由读者自画)易知，过M作⊙O的两条切线中，斜率存在的那一条直线的斜率，即为所求的最小值．设这切线的方程为y-2=k(x-1)，则由点到直线的距离公式，可得k=3／46．由已知可得，直线 ax＋by=0与单位圆x2＋y2=1有两个不同的交点A(cosα，sin α)、B(cosβ，sinβ)，又P(m，n)是任一点，则|PA|＋|PB|≥|AB|＝2，即。
例谈参数在小学数学解题中的运用
例谈参数在小学数学解题中的运用数学在我们学习中占有重要的地位，学习数学的过程中，参数是最为难于把握的论点之一。
尤其是在小学阶段，学生们普遍只能解决单变量的问题，而参数问题却很难完全把握，使学生们认识参数和学习如何运用参数解题，成为学生们学习数学的知识点。
首先，学生们要学习参数的概念和含义。
从定义上来看，参数是一个变量，它与其他变量有关，用来描述变量间的关系。
参数有多种类型，如果学生们能够深入了解参数，能够更好地运用参数。
其次，学生们要掌握运用参数解题的思路和方法。
一般情况下，学生们要先定义参数，然后根据问题要求阐释参数的含义，再考虑问题的数学模型，最后运用数学模型来解决参数问题。
这种方法不仅可以使学生们学习如何运用参数，而且也能够更好地掌握和理解参数的概念。
此外，学生们可以通过一些案例来学习如何运用参数解决问题，以便将参数与数学问题联系起来。
例如，假设现在有一个长方形的面积为24，可以通过定义参数a和b来描述这个长方形的面积，即a*b=24。
这里的参数a和b就是运用参数解题的典型例子。
还有一个参数方程：y=2x+1，这里可以定义参数x来描述y的值，也可以将其看作一个解决参数问题的例子。
此外，学生们还可以运用实际案例，如根据一个多边形的边长和角度计算它的面积，这就是一个运用参数解题的例子。
最后，学生们要掌握如何利用参数解决实际问题。
如，应用参数解决有关水流的问题，参数的变化会影响水的流速和流量，我们可以运用参数来解决这些问题，如采用流量-流速曲线，进行参数分析，确定水流的流量和流速等。
以上就是参数在小学数学解题中的运用。
参数是一个复杂但重要的概念，如果学生们能够掌握和运用参数，就可以更好地解决参数问题，进而更好的学习数学。
求解高中数学含参变量函数问题的思路和方法
通过分析，我们知道该问题属于上述类型的第一种， 即已知参变量的取值范围，关于主变量和参变量的表达式 恒成立，求主变量的取值范围。现在我们采用参变元与主 变元转化法来解答该题。首先把参变量m视为该函数的自 变量，即h(m)=(x-2)m+x2-4x+4，那么问题就转化成对于任
意的m [-1,1]，h(m)>0恒成立，即
通过统计研究，我们很容易发现常见的含参变量函数 问题主要有哪些。首先设不等式f(x,m)≥0，或f(x,m)≤0，为 式（*），其中m为多项式f(x,m)的参变量。那么常见的求解 含参变量问题的类型主要有以下几种：（1）对于任意的 参变量m M，使式子（*）恒成立，求解主变量x的取值范 围；（2）对于任意的主变量x X，使式子（*）恒成立， 求解参变量m的取值范围；（3）存在参变量m M，使式子 （*）成立，求解主变量x的取值范围；（4）存在主变量x X，使式子（*）成立，求解参变量m的取值范围。当然，其 中X，M R。无论是填空、选择题，还是压轴的解析题，当出 现含参变量问题时，其实其本质都是以上四种类型的一个。所 以分析出题目到底是哪种类型，再顺着针对相应类型问题的解 题思路，就可以较轻松的把问题解出来了。 二 含参变量函数问题的求解思路和方法
3.数形结合法。数形结合法也是解决含参变量函数问题 较常用的方法之一，主要是在坐标系中将函数图像画出，再 结合题目中给出的已知条件，从而得出答案。我们还结合 2.2小节中的例子，采取数形结合的方法求解问题，首先我 们可以设f(x)=|m-2x|，g(x)=x-1；然后在同一个坐标系中画出 这两个函数的图像；再根据题目中的条件，对于区间[0,2]中 任意的x，都有f(x)>g(x)，从而得出在此我们又将主变量转化为了自变量，
浅谈中学数学函数参数的解题思想与方法
浅谈中学数学函数参数的解题思想与方法新世纪的中学数学教育是一个有着深厚历史底蕴的学科领域。
在过去的几十年里，中学数学的发展经历了不断演进的历程，在经过不断的理论研究和课堂实践中，函数参数的解题思想和方法也有着不断更新的发展。
本文将重点介绍中学数学函数参数的解题思想与方法，以便让学生更好地理解并有效应用。
一、什么是函数参数？首先，什么是函数参数呢？函数参数是一种数学模型，它由变量和参数组成，并用来描述数据的变化规律。
它可以帮助学生分析函数表达式中不同参数的作用，可以更清楚地理解函数的特点，掌握函数的特定性。
二、函数参数的解题思想解决函数参数问题的解题思想主要包括：1. 从解决函数参数问题入手，先弄清楚问题提出的函数参数的类型，再对问题进行深入分析，梳理出问题的处理思路；2.分析函数参数时，要把握参数的特点，分析函数的增减变化，把握函数的整体规律；3.习解决函数参数问题的解题方法，如求范围、求最大最小值、求最优解、绘制函数的图像等；4.练运用数学计算工具，按照解题思路分步计算，有效节约计算时间，提高解题效率；5.够善于运用建模思想，利用相应的数学模型将问题抽象出来，把解决函数参数问题转化为给定模型的参数优化问题。
三、函数参数的解题方法1.范围法：通过分析函数的性质，结合函数的变化趋势，确定函数的取值范围；2.最大最小值法：通过分析函数的一阶导数和二阶导数，确定函数中极大值极小值的取值范围；3.制函数图像法：根据函数表达式，通过绘制函数图像，分析函数的取值范围及其特点；4.解最优解：利用最优化理论，求出函数的最优解；5.用数学建模思想：利用相应的数学模型将问题抽象出来，把求解函数参数的问题转化为给定模型的参数优化问题。
四、结语总之，函数参数是数学解题中重要的一环，解决函数参数问题需要综合运用多种数学知识和解题思想。
正确理解函数参数的特点及其解题思想与方法，不仅可以让学生更清楚地理解函数的特性，更可以增强学生的解题能力，从而使学生走向成功。
2020高考数学 考前解题基本方法六 参数法
六、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
Ⅰ、再现性题组：1. 设2x＝3y＝5z>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。
2. （理）直线x ty t=--=+⎧⎨⎪⎩⎪2232上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。
（文）若k<－1，则圆锥曲线x2－ky2＝1的离心率是_________。
3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z2＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。
4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。
5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。
(填“增”或“减”)6. 椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。
A. 3B. 11C. 10D. 22【简解】1小题：设2x＝3y＝5z＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝11+k，所以e＝－1kk k2+；3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b2＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；4小题：设三条侧棱x、y、z，则12xy＝6、12yz＝4、12xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。
参数当变量的理念与解题初探
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试 题全解》人民 日报出版社 ２０ ０ ７年 ６月第 ４版）反
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参 数 当 变 量 的 理 念 与 解 题 初 探
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解决参数问题的方法探讨
解决参数问题的方法探讨作者：蔡丽菊来源：《文理导航》2017年第11期内容摘要：在高考数学试卷中，不管是全国统一试卷，还是地方自主命题的高考数学试卷，对参数考查的题量越来越多，由此可见参数问题在高中数学教学中的地位。
参数在高中数学教学的牵涉面比较广泛，那么该用什么样的方法来解决参数问题呢？笔者在本文从三个方面作了浅显的探讨：1、分类讨论法；2、数字与图形结合法；3、分类和数形结合法。
这向种方法在参数教学只能起着抛砖引玉的作用，希望执教在一线的高中数学老师能够提出富贵的意见。
关键词：高中数学参数苏教版对于参数含义的理解，并没有一个固定的、标准的概念。
通常来说，参数是一个变量，当我们解决生活当中某个实际问题时，可以利用函数加以计算解决，我们可以假设一些变量来描述事物之间的变化，则引入的变量可以理解为参变量或参数。
这样的参数不会改变函数的性质，只是能够较为方便地帮助我们利用函数来研究实际问题。
参数问题广泛应用于高中数学教学的各个问题当中。
在高考数学试卷中，不管是全国统一试卷，还是地方自主命题的高考数学试卷，对参数考查的题量越来越多。
其类型通常分为两种：第一种是给定预设的结论，然后根据此结论去计算参数的取值范围；第二种为给定参数的取值范围，然后去计算可能出现的结论。
那么，该用什么样的方法解决参数问题呢？笔者在本文根据自己的教学经验，浅谈参数问题的解决方法。
一、分类讨论法分类讨论是解决一个比较复杂或者带有不确定性的问题的方法，这时需要把问题划分为几种可能性，然后针对每一种出现的可能性给出不同的解答。
使用分类讨论法解决参数问题时，通常会对问题中所包含的条件、概念进行仔细的分析，然后根据解决问题的需要，把问题进行科学的分类，逐步加以讨论，得出正确的结论。
如下题：动点A到原点O的距离为a，到直线L的距离为b（b=x-2），并且a+b=4，求点A的轨迹方程。
根据题目当中的已知条件，我们很快就能列出方程：设点A所在的坐标为（x，y），根据a+b=4的题意可得出方程 + =4。
例谈参数在小学数学解题中的运用
例谈参数在小学数学解题中的运用在小学数学教学中，参数的概念和应用是至关重要的。
参数是必不可少的一个概念，它能够帮助学生深入探究和体验数学，理解所学与自身之间的联系，培养综合运用数学知识和技能的能力。
本文将重点介绍参数定义和在小学数学解题中的运用，为小学数学教学提供参考。
首先，参数被定义为可以改变数学函数关系的任何量，它能够帮助学生通过改变参数值来探究函数关系，从而把数学改变成一种互动的学习体验。
在小学数学中，参数的理解和应用是重要的环节，主要是为培养学生的数学思维和运用问题解决的能力而重要的。
参数可以帮助学生提高数学推理和抽象思维能力，掌握数学模型和解决实际问题的方法。
小学数学教学中，参数的运用可以帮助学生更好地理解数学原理，以及学会进行数学推理和抽象思维的能力。
在解题时，参数能够帮助学生探究和分析相关问题，有助于深入理解问题的内涵。
举例来说，学生在学习直角三角形的定理时，可以使用参数的改变，用粗暴的解法求出三个角的总和，然后用精细的解法，把三角形的一边等于其它两边之和，最后得出直角三角形三角形角之和等于180°的结论，从而加深对定理本质的理解。
另外，参数还能够帮助学生掌握和学习数学模型，从而能够更好地去解决相关问题。
例如，学生在学习概率论中，可以使用参数来表述概率实验中概率的关系，从而能够更清晰地理解概率的概念，并更好地解决实际问题。
总的来说，参数是必不可少的概念，它能够帮助学生学习和理解数学，培养学生的数学思维和能力，并为学生的学习和解题提供技巧与思路。
通过上述案例可以看出，参数在小学数学教学中有着重要的地位，应该被更多地重视和使用。
关于参数在小学数学解题中的运用，本文仅是简单介绍，并未涉及所有方面。
未来，还有很多需要深入研究，比如如何进一步使用参数加强学生的数学思维；如何利用参数帮助学生更好地解决实际问题；如何更有效地使用参数来改进数学教学等等。
参数在小学数学教学中有着重要的作用，未来应有更多的学者去研究和立论，以更好地指导小学数学教学。
关于初中数学函数参数解题理念及方法研究
作者： 张培炜
作者机构： 重庆市巴蜀中学校,400013
出版物刊名： 数理化解题研究：初中版
页码： 8-8页
年卷期： 2016年 第12期
主题词： 初中数学 函数 参数
摘要：函数是初中数学中考的考点，教师在教学的过程中需要注重对这一知识点的讲解．而函数是比较抽象的数学概念，因此让学生了解参数解题的理念，掌握参数解题的方法，能有效增强学生对数学抽象化的理解和数学思维能力，最终提高学生的数学解题能力．本文通过几道例题来分析初中数学函数参数解题理念及方法．。
高中数学 参数法的解题思想素材
参数法在数学解题中的应用数学问题中有这样的量，它本身不是题目所求的最终结果，通常题目并未给出，但它在解题过程中参与运算，起着连结与未知，转化问题形式，替代复杂式子，充当待定因子等作用，这样的量称为参变量.应用参变量解数学题的方法称为参数法.参数法在解题过程中常表现为“设而不求〞，“整体替代〞，“换元法〞，“待定系数法〞等.引入参数便于揭示变量之间的内在联系，变与不变在一定条件下可以相互转化，表现出较大的能动作用和活力，从而沟通题中各量之间的内在联系或改变数量关系的结构，进而求出所需要确定的常数或变量.应用参数法首先要选取恰当参数，引进参数后，要能使问题获解，这是选取参数最基本的原那么.其次，引进参数必须合理，除了要考虑条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论.另外，要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只起“桥梁〞和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解.-下面通过一些例题解析，以帮助同学们体会参数法的思想. 一、 参数法在函数问题中的应用例1 2211()f x x x x -=+，求(1)f x +解 设1x t x -=，那么22212x t x -+=，即22212x t x+=+，从而2()2f t t =+，因此22(1)(1)223f x x x x +=++=++.评析 此题引进了参数t 代替1x x-，先求出2()2f t t =+，而后进一步求出(1)f x +.例2 〔2006 江苏高考试题〕设a 为实数，设函数()f x =()g a .〔1〕设t =t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()m t . 〔2〕求()g a . (3)略解 〔1〕∵t =∴要使t 有意义必须1010x x +≥-≥且，即11x -≤≤.又∵[]222,4,0t t =+≥ ， ① ∴t 的取值范围是,2⎤⎦.2112t =-,∴2211()(1)22m t a t t at t a =-+=+-，,2t ⎤∈⎦.〔2〕由题意知()g a 为函数21()2m t at t a =+-，,2t ⎤∈⎦的最大值.注意到直线1t a =-是抛物线21()2m t at t a =+-的对称轴，分以下几种情况讨论：〔Ⅰ〕当0a >时，函数()y m t =，,2t ⎤∈⎦的图象是开口向上的抛物线的一段，由10t a=-<知()m t在,2⎤⎦上单调递增，∴()(2)2g a m a ==+. 〔Ⅱ〕当0a =时，()m t t =，,2t ⎤∈⎦，∴()2g a =.〔Ⅲ〕当0a <时，函数()y m t =，,2t ⎤∈⎦的图象是开口向下的抛物线的一段.假设1(0t a =-∈，即2a ≤-，那么()g a m ==假设1t a =-∈，即1(,]2a ∈-，那么11()()2g a m a a a =-=--. 假设1(2,)t a =-∈+∞，即1(,0)2a ∈-，那么()(2)2g a m a ==+.综上有12,,211(),,22,.2a a g a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪=--<≤-⎨⎪≤- 评析 此题利用参数t，使复杂的()f x 表达式得以化成简单的()m t 的表达式，利用熟悉的二次函数()m t 的性质求出()f x 的最大值()g a .例3 实数x 、y 满足224x -5xy+4y =5 ①，设22S=x +y ，求maxmin11S S +的值. 解法1设x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入①式得：4S-5Ssin cos 5αα=，解得1085sin 2S =-α ，∵ 1sin21α-≤≤∴385sin 213α≤-≤ ∴max 103S =，min 1013S = ∴ max min 1185S S += . 解法2 设22S x t =+，22S y t =-，[,]22S S t ∈-，那么xy =45S ±=，移项平方整理得22100391601000t S S +-+=，∴24100(39160100)0S S ∆=-⨯⨯-+≥解得1010133S ≤≤，即有max min 1185S S +=. 解法3 设x m n y m n=+⎧⎨=-⎩代入①式得：223m +13n =5，∴2225-13n 5m =0313n ≤≤且.从而22210S=2(m +n )(12)3n =-，∴1010133S ≤≤，即有max min 1185S S +=.评析 解法1引进参数α，采用了“三角换元法〞，将问题转化为熟悉的简单三角函数问题；解法2引进参数t ，采用了“均值换元法〞，将问题转化为用判别式求解的问题；解法3引进两个参数m ,n ，采用了“对偶换元法〞，将问题转化为熟悉的二次函数问题.二、参数法在不等式问题中的应用例4 设2351xyz==>，试比较2x 、3y 、5z 的大小.解 设2351xyzt ===>，那么2log x t =，3log y t =，5log z t =，从而2x =，3y t =，5z =,∴230x y t t -==>，23x y >，同理，520z x t -=>，52z x >,故：523z x y >>.评析 此题通过引进中间参数t ，使2x 、3y 、5z 都表示为t 的关系式，而后通过熟悉的作差〔或作商〕比较，使大小比较问题得以解决.例 5 设a R ∈，R θ∈，求证：sin (cos )a θθ+≤⎝指出等号成立的条件.证明 令sin (cos )y a θθ=+，引入参数λ得：22221sin (cos )y a θλλθλ=+22222222222222222211sin cos 11sin (cos )()()()()()22a a a θλθλθλθλλλλλλ+++≤++≤+=+ ①, 等号当且仅当2222cos sin cos a λθθλθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即221)41cos )4a a λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，将221)4a λ=代入①式，即得24sin (cos )8a a θθ⎛++≤ ⎝评析 此题通过引进待定“调和〞参数λ，使两次不等成立的条件能同时成立，从而证得不等式成立.这是一种非常有效的不等式证明方法，多加体会，在不等式证明过程中充分加以利用，常能起到化难为易的效果.例6 设a ，b ，c 为三角形三边，求证：3a b cb c a a c b a b c++≥+-+-+-.证明 设,,b c a x a c b y a b c z +-=+-=+-=，因为a ，b ，c 为三角形三边，所以0,0,0x y z >>>，且有,,222y z z x x ya b c +++===.从而a b c b c a a c b a b c+++-+-+-11[()()()]322222y z z x x y y x x z z y x y z x y z x y z +++=++=+++++≥= 原不等式得证.评析 此题通过引进参数x ,y ,z ，将不等的分母进行整体代换，进一步将不等的左边化为三对互为倒数的式子的和，应用基本不等式，使问题轻松解决.三、参数法在数列问题中的应用例7 数列{}n a 中，11a =，21a =且21n n n a a a ++=+，求{}n a 的通项公式.分析 这是求斐波拉契数列的通项问题.给出了数列{}n a 相邻三项之间的关系，假设能求出相邻两项间的关系，问题便有所改善，于是设想211()n n n n a ta a ta λ++++=+，通过求出参数t ，λ，从而得到1{}n n a ta ++是公比为λ的等比数列，再进一步求解.解 令211()n n n n a ta a ta λ++++=+，那么21()n n n a t a ta λλ++=-+，比较21n n n a a a ++=+得11t t λλ-=⎧⎨=⎩，解得111212t λ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或221212t λ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩所以令11n n n b a t a +=+，那么11n n b b λ+=，即{}n b 是首项为1211111b a t a t λ=+=+=，公比为λ1的等比数列，从而111111n n n n n b a t a λλλ-+=+=⋅=①，同理，令12n n n c a t a +=+，那么122n n n n c a t a λ+=+= ②. ①-②得：1212()n nn t t a λλ-=-即：121211[((]22n nn nn a t t λλ-==--.评析 此题通过引入待定参数t ，λ，并用换元法求出两个等比数列{}n b 、{}n c 的通项，进一步求出了{}n a 的通项.四、参数法在三角中的应用例8sin cos x y θθ= ①，且222222cos sin 103()x y x y θθ+=+ ②，求x y 的值. 解 由①式，设sin cos k x yθθ==，那么sin kx θ=，cos ky θ=且22222sin cos ()1k x y θθ+=+=,即2221x y k +=. 代入②式得：2222222103k y k x k x y +=，即：2222103y x x y +=.设22x t y =，那么1103t t +=,解得：133t =或，所以x y =或评析 此题通过引进中间参数k ，将条件中的正弦、余弦方便地消去，再利用整体代换22x t y=，直接求出xy的值. 五、参数法在解析几何中的应用例9 〔2006 福建高考试题〕椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕略 ；〔Ⅱ〕设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆与A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.解 由题设有(1,0)F -，〔如图1〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ， (,0)G G x ，那么221112x y +=，222212x y +=，两式相减得：21212121()()()()02x x x x y y y y -++-+=，从而21210021210022()222y y x x x xx x y y y y -+=-=-=--+⋅，即直线AB 亦FM 的斜率为002x y -，其方程为00(1)2x y x y =-+.进一步MG 的斜率为002yx ，其方程为：00002()y y y x x x -=-.因为G 点的坐标适合MG 的方程，所以00002()G yy x x x -=-，即02G x x =.又因为点00(,)M x y 的坐标适合FM 的方程，所以0000(1)2x y x y =-+，即20001(1)02y x x =-+> ① .由点M 在椭圆内，得220012x y +< ② .由①②得010x -<<，从而102G x -<<，即G 点横坐标的范围为1(,0)2-. 评析 此题引进了A 、B 、M 点的坐标作为参数，从而最终将G 点横坐标表示成M 点的横坐标0x 的关系式，利用M 点的横坐标的范围，求出了G 点横坐标的范围.例10 设0a b <<，过两定点(,0)A a 和(,0)B b 分别引直线l 和m ，使与抛物线2y x =有四个不同的交点，当这四点共圆时，求直线l 和m 的交点P 的轨迹.解 设直线l 和m 的交点为00(,)P x y ，其倾角分别为1θ和2θ，l 交抛物线2y x =于A 1和A 2，m 交抛物线2y x =于B 1和B 2. 于是：l ：0101cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕 ① m ：0202cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕 ②将①代入抛物线2y x =得： 222101100sin(2sin cos )()0t t y y x θθθ+-+-= ③图 1设③的两根为1t ，2t ，由韦达定理， 2001221sin y x t t θ-=，根据参数的几何意义得 2001221sin y x PA PA θ-= 同理，由②代入抛物线y 2=x 后可得 2001222sin y x PB PB θ-=.∵A 1，A 2，B 1，B 2四点共圆，由圆幂定理得 1212PA PA PB PB =，∴2212sin sin θθ=，即12sin sin θθ=.故12θθ=或12θπθ=-.但当12θθ=时，l ‖m ∴只能12θπθ=- .于是，过定点(,0)A a 和(,0)B b 的直线的交点P 的轨迹为线段AB 的中垂线〔除去其与x 轴及抛物线2y x =的交点〕.评析 此题通过引进表示有向线段数量的参数t ，方便地将四点共圆的条件转化为两直线的倾斜角互补，从而根据几何意义，得知交点P 的轨迹.六、参数法在平面几何中的应用例11 〔如图2〕P 是△ABC 的BC 边上的一点，过P 作PQ ‖BA 交AC 于Q ，作PR ‖CA 交AB 于R ，问P 点在什么位置时，△PQR 的面积达到最大？分析：由题设不难看出P 点在BC 上的位置将决定△PQR 面积的大小，而点P 将BC 分为以BP 与PC 两段，从而点P 的位置将以BP ：CP 的大小来表示，因此我们将线段比BP mCP n=作为参数，计算△PQR 的面积〔以△ABC 的面积为单位〕解 令△ABC 的面积为S ，BP mCP n=. ∵ PQ ‖BA ，∴△BPR ∽△ABC ，∴2()BPRm S S m n=+.同理2()CPQ n SS m n =+，∴222111[()()]22()4PQR PQARm n mn S S S S S S S m n m n m n ==--=≤=+++ 〔当且仅当m n =时取等号〕.即当P 点是BC 中点时△PQR 的面积达到最大，此时它的面积为△ABC 面积的14. 评析 此题通过引进两个参数m ,n ，而后将△PQR 的面积表示为m ,n 的函数，通过基本不等式，方便地求出了△PQR 的面积的最大值.七、参数法在立体几何中的应用.例12 (如图3)三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC =BC ，G 、D 分别是AB ，AP 的中点，E 为PB 上的点，且BP =3BE ，假设:AP AB =〔1〕求证：EG ⊥平面DGC ；〔2〕求截面CDE 分棱锥P -ABC 所成两部分的体积之比. 〔1〕证明 ∵:AP AB =，∴设AP k =，AB ，从而BAPRQ图 2CBPE图 3CAD GPB ，cos 3ABP ∠=.在△BGE 中，3BE k =，2BG k =，∴22221)()2226EG k k k =+-⨯=.因此 222222211)()622EG BE k k k BG +=+===,∴△BEG 是Rt △， ∴EG ⊥EB . 又∵G 、D 是AB ，AP 的中点，∴GD ‖PB ，∴EG ⊥GD .∵PA ⊥底画ABC ，∴PA ⊥CG ，又∵AC =BC ，在等腰△ABC 中G 是底边AB 的中点,∴CG ⊥AB ，∴CG ⊥平面PAB ，∴CG ⊥EG∵CG GD G =,∴EG ⊥平面DGC ； 〔2〕解 设△PBC 面积为S ，点A 、D 到平面PBC 的距离分别为h ，h 1， 那么32PECS S =，12h h =.进一步，三棱锥A -PBC 的体积为：111131()(2)3()33323A PBC PECPEC D PEC V Sh S h Sh V --====∴截面CDE 分棱锥P -ABC 所成两部分体积之比:1:2P ECD ED ABC V V --=.评析 第〔1〕题中引入了比例参数k ，使各边长度统一用k 表示，从而算得关键的结论EG ⊥BE .第〔2〕中引入△PBC 面积参数S 及距离参数h ，h 1 ，使体积转换灵活简捷.从以上的例题可以看到，在数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样.由于综合性强，牵涉知识面较广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当地选取参数，使运算简便，问题得以迎刃而解.。
参数范围问题处理的额一般策略
参数范围问题的处理策略江苏省南京市溧水县第二高级中学 王俊胜 211200求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围．分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。
例2．若对于任意角θ总有sin cos 22410θθ++-<m m 成立，求m 的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<， 又cos θ+>20，则原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立． 根据边界原理知，2m 必须小于cos cos 22θθ+的最小值，这样问题化归为怎样求cos cos 22θθ+的最小值．因为cos cos 22θθ+2cos 4)2(cos 4)2(cos 2+++-+=θθθ 4cos 24440cos 2θθ=++-≥-=+ 即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) ⇔ [f(x)]min ≥g(k)②f(x)> g(k) ⇔ g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) ⇔ [f(x)] max ≤g(k)④f(x)<g(k) ⇔ [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设]04[，-∈x ，若不等式a x x x -+<--134)4(恒成立，求a 的取值范围．分析与解：若设函数)4(1x x y --=，则)0(4)2(1212≥=++y y x ，其图象为上半圆． 设函数a x y -+=1342，其图象为直线． 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离25|338|>-+-=a d 且01>-a 时成立，即a 的取值范围为5-<a ． 四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
高中数学解题中的参数思想
高中数学解题中的参数思想有关参数问题的解法是高中数学教与学和难点之一.由参数引起的讨论，一般说来无非两种情形：要么给定命题结论，由此去探求参数的取值范围；要么由参数的取值范围去探求命题在参数的制约下可能出现的各种结果，从而归纳出原命题的正确结论.“数学概念是以定义的方式表述的，巧妙的解法常来源于对定义的理解和使用. ” [2]在有关参数问题中，同样要重视定义解题.由“最值”的定义可知“Mx f M x f =⇔=)()(max 有实根且f (x ) ≤M 恒成立，m x f m x f =⇔=)()(min 有实根，且f (x ) ≥m 恒成立.” [3] 据此定义可简单处理一些有关最值的题目.例1 已知函数12++=x bax y 的最大值为4，最小值为1-，试求b a ,的值.解：⇔=4max y 方程412=++x b ax ，即0442=-+-b ax x 有实根，且不等式412≤++x bax ，即0442≥-+-b ax x 恒成立，于是有0≥∆且0≤∆，⇒0=∆，即0)4(162=--b a ；同样由0)1(412min =+-⇒-=b a y .最后解得3,4=±=b a .由此可见与二次函数有关的逆向最值问题利用最值的定义都可归为其判别式“0=∆”，由此可使问题获解.一些含参数问题的题目往往隐晦生疏难以入手，但是若把某些字母或代数式实施变量代换，往往就可化难为易，化繁为简.例2 设对所有的实数x ，不等式04)1(log 12log 2)1(4log 222222>+++++a a a a x a a x恒成立，求a 的取值范围.解：设t aa =+21log 2，所给不等式大于0恒成立022)3(2>+-+⇔t xt x t 恒成立，即0)22(322>+-+t x x x 恒成立0>⇔t 恒成立，即021log 2>+a a ，则有121>+aa 恒成立，故有)1,0(∈a .本题的常规解法要用02>++c bx ax 恒成立的条件进行分类讨论，十分繁琐.这里先对原式作变量代换进行转化，得到精巧别致的解法.有些参数问题，若能将已知式中的未知数和参数分离开来，就可把求参数范围的问题转化为求函数的值域或最值问题，从而快速求解. 例3[4]设函数nan n x f x x x +-+⋅⋅⋅++=)1(21lg )(（N n R a ∈∈,且2≥n ），若)(x f 在]1,(-∞∈x 上有意义，求a 的取值范围.解：)(x f 在]1,(-∞∈x 上有意义，则0)1(21>+-+⋅⋅⋅++a n n x x x 在2≥n ，]1,(-∞∈x 时恒成立，即])1()2()1[(xx x nn n n a -+⋅⋅⋅++->能恒成立，于是只需求])1()2()1[()(xx x nn n n x g -+⋅⋅⋅++-=在2≥n ，]1,(-∞∈x 时的最大值，由)(x g 是增函数可知：当1=x 时)1(21)(max n x g -=，故}2,,21|{≥∈->∈n N n na a a .此题通过分离从那参数n 使得解题速度和难度都得到了质的变化.数形结合是一种常用的数学思想方法，用的是通过“数”与“形”之间的对应与转化来解决数学问题的思想.在某些参数问题中，只要善于把问题的数量特征结合图形进行分析，往往能借助图像性质而有利于解决问题.例 4 已知方程)(|2|N n x k n x ∈=-在区间]12,12(+-n n 上有两个不相等的实根，求k 的取值范围.解：由题意可知：0>k .两边平方得：x k n x 22)2(=-，原命题可转化为抛物线2)2(n x y -=与直线x k y 2=在区间]12,12(+-n n )(N n ∈上有两个不同的交点.结合图形分析得到：当12-=n x 时，有x k n x 22)2(>-，从而有1212-<n k ；当12+=n x 时，有x k n x 22)2(≥-，从而有1212+≤n k ，故有)](1212,0(N n n n k ∈++∈. 本题的常规解法是运用一元二次方程有关实根的分布来求解，过程较为复杂.运用这一数形结合的解法，转化为抛物线与直线的交点个数的讨论.正难则反法有些含参数问题从正面不易入手或不能解决，而它的反面情况则较为简单，这时根据“正难则反”的原则，应用补集的思想逆向思维，从反面寻求解决，则往往容易凑效. 例5若关于x 的方程03442=+-+a ax x ，0)1(22=+-+a x a x ，0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围. 解：当三个方程均无实数根有：⎪⎩⎪⎨⎧<+<--<+--08404)1(0)34(4162222a a a a a a ，解之得：123-<<-a ，视R 为全集，用“补集法”易得),1[]23,(+∞---∞∈ a 时至少有一个方程有实数根.本题若从正面入手，讨论较为繁琐，则从反面思考、解决.正是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.3 几种常见的含参数的数学问题上面简单介绍了几种常见的关于解含参数数学问题的常用方法，同时也明确了参数思想的运用对于解决某些特殊数学问题有着极为便捷的效果，那么下面我们就重点分析几种常见的含参数的数学问题. 含参数的二次函数含参数二次函数区间最值问题是一种常见的题型，解这类问题的常规方法是根据函数图像的对称轴与定义域区间的相对位置队参数进行讨论.例6[5] 已知函数21()2f x x x =--，问是否存在实数m 、n 使()f x 的定义域和值域都为[],m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，说明理由.分析：211()(1)22f x x =-++，按常规需分1,1,1m n m n m n <-<<<--<<等三种情况论证，但考虑到2111()(1)222f x x =-++≤，则有12n ≤，所以区间[],m n 恒在对称轴左侧，因为()f x 在[],m n 为增函数[]min ()()f x f m n == []min ()()f x f m n ==即2211,22m m m n n n --=---=，又12m n <<，故4,0m n =-=先对定义域区间与对称轴的位置做出判断，是避免分类讨论论的有效策略.例7[6]：已知二次函数2()(21)1f x ax a =+-+，在区间2[,2]3-上的最大值为3，求实数a 的值.分析：因为二次函数在闭区间上有最大值，所以函数的最值只可能在312,2,22aa-- 处取得.若3()32f -=，则23a =-，这时227()133f x x x =--+，此时对称轴7243x =-<-，且0a <，所以在3[,2]2-上单调递减，故当32x =-时，min ()3f x =，故23a =-符合题意若(2)3f =，则12a =，这时21()12f x x =+，符合题意若12()32a f a -=，则12a =-，这时21()212f x x x =--+，但此时应该在32x =-处()f x 取得最大值，与122a a -取得最大值矛盾，所以12a =-不符合题意又易知0a =不符合题意综上可得12a =或23a =-为所求本解法能透过现象看清本质，抓住二次函数在闭区间上的最值所在，一举切中要害.例8[7]：设函数(),(0,1].f x x a x a R +=-+∈∈（1） 若()f x 在(0,1]上是增函数，求a 的取值范围 （2） 求()f x 在(0,1]上的最大值 解析：当(0,1]x ∈时，'()1f x =-+（1） 要使()f x 在上是增函数，应用'()10f x a=-+≥，在(0,1]x ∈恒成立，即a x ≤=(0,1]上恒成立，(0,1]又a R +∈，所以0a <<（2）当a >'()0f x =得(0,1]x =当0x <<'()0f x >1x <≤，'()0f x < 所以[]max ()f x f a ==含参数的一元二次方程例9[8] 当m 满足什么条件时，方程2cos sin 20m x x --=在[]0,2π内只有两个解.分析：设sin x t =，则原方程化为2()20f t mt t m =++-=，当且仅当()0f t =在[]1,1-内有两个不相等的实根时，原方程在[]0,2π内有四个解，所以14(2)112(1)30(1)0m m m m f m m f m =--⎧⎪⎪<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩m ⇒>例10关于x 的方程22210x x a a +⋅++=有实根，求实数a 的取值范围.分析：作变换2x t =，原方程有实根，等价于新方程210t at a +++=有正跟.此时有两可能：有两正跟，或一正跟一负根∴ 212124(1)0010a a t t a t t a ⎧∆=-+≥⎪+=->⎨⎪⋅=+≥⎩ 或12010t t a ∆≥⎧⎨⋅=+<⎩解得2a ≤-若二次方程在区间(,)a b 或(,)a +∞内有解，我们可以作变换x at b a-=-或t x a =-即得关于t 的新二次方程有正跟，然后再用韦达定理求解.含参数的不等式含参数不等式的问题，是中学数学中最为常见的提醒之一.例11 [9] 已知2m ≤时不等式221(1)x m x ->-恒成立，求x 的取值范围.分析：若分210x ->，210x -=，210x -<三种情况讨论，在运用条件2m ≤得出x 的范围，过程复杂且有一定的思维难度.我们不妨改变解法，换种思维，设2()(1)21,f m m x x =--+，问题即为求关于m 的函数()f m 在2m ≤恒负的条件.当210x -=时，即1x =±时，()1(1)f m x =-=，()3(1)f m x ==-当210x -≠时，由(2)0(2)0f f -<⎧⎨<⎩ 得1122x -+<< 综合得出x <<例12[10] 已知关于x 的不等式()(23)0a b x a b ++-<的解为1(,)3-∞-，解关于x 的不等式(3)(2)0a b x b a -+->.分析：因为不等式的解为1(,)3-∞-，所以0a b +>且3213b a a b -=-+，由此得2a b = 且30a b b +=>，从而0b >，于是不等式(3)(2)0a b x b a -+->化为30bx b --> 解之得3x <-利用方程中参数间的关系，巧妙的消去参数，不失为一种妙法. 参数方程和含参数的方程此种类型我们以曲线的参数方程与含参数的曲线方程为例，这也是解析几何中的两类即相互区别又相互联系的常见问题. 例13[11]已知两定点()()1,0,1,0A B -,P 是圆C ()()22344x y -+-=上的任意一点，求使22AP BP +的最小值以及点P 的坐标.分析：若设点P 坐标为(),x y ，则22AP BP +是x 与y 的二次函数式，不利于求最小值，若将圆C 写成参数方程形式，则22AP BP +关于参数的一元函数.有利于求其最小值，圆C的参数方程是3cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，可设点P 的坐标为()32cos ,42sin θθ++.此时22AP BP +=()2222(42cos )42sin (22cos )(42sin )θθθθ+++++++=6024cos 32sin θθ++ =6040sin()θϕ++其中满足3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ= 由此可知，当32πθϕ+=，即32πθϕ=-时，22AP BP +取最小值20，这时4sin cos 5θϕ=-=-，3cos sin 5θϕ=-=-，故点P 的坐标为912(,)55例14 顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线21y x =+线的方程.分析：依题意所求的抛物线有开口向左和向右两种可能性，若分别设为22(0)y px p =>，22(0)y p x p ''=->，则运算量变大，为此可设所求抛物线为2(0)y ax a =≠，这里a 是特定系数.由221y axy x ⎧=⎨=+⎩ 消y 得24(4)10x a x +-+= 解2(4)16a ∆=--280a a =->，得0a <或8a >有弦长===得28480a a --= 解得12a =或4a =-故212y x =与24y x =-为所求在此题的求解过程中，合理选择参数是其中的关键. 多参数的问题多参数问题作为选拨性试题，常在各种考试中出现，此类问题，分析要求高，思维难度大. 例15[12] 实数,,,,a b c d e 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值. 分析：5个参数,,,,a b c d e 中，可视e 为主元，故先把条件中的e 分离出来，在施变换.故由条件可知8a b c d e +++=- ①2222216a b c d e +++=-下面任意消去,,,a b c d ，建立关于e 的一个关系式，可以进行以下变换：-得：222(8)(16)e e ---=222222()()a b c d a b c d +++-+++ =2()ab ac ad bc bd cd +++++≤2222222222222()2a b a c a d b c b d c d +++++++++++ =22223()a b c d +++ =23(16)e -∴ 22(8)4(16)0e e ---≤ ∴ 25160e e -≤ 即1605e ≤≤ ∴ max 165e =当且仅当65a b c d ====时取到. 例16[13] 对一切实数x ，若二次函数 2()()f x ax bx c a b =++<的值恒非负，求a b cm b a++=-的最小值.分析：由条件2()0f x ax bx c =++≥对一切x R ∈恒成立，知240b ac ∆=-≤且20,4b a c a>∴≥，a b cm b a++=- 2224444()b a b a ab b a b a a b a ++++≥=--考虑到式子22444()a ab b a b a ++-是关于,a b 的齐次二次分式，故可作如下变形22444()a ab b m a b a ++=-2()444(1)b b a a b a+⨯+=- 令bt a=，则由b a >知1t >，故 22441(2)4(1)41t t t m t t +++==⨯--21(13)19[(1)6]4141t t t t -+=⨯=-++--1(236)34≥⨯+= 当且仅当22(1)94t b ac ⎧-=⎨=⎩， 即244t b ac =⎧⎨=⎩ 即244b a b ac ⎧=⎪⎨⎪=⎩时等号成立∴ min 3m =结论适当的引入参数把证明或求解的关系式转化为求解的关系式，最后可消去参数使问题得以解决，这种思想方法使得一些数学问题（特别是一些较难的数学问题）的解答，思路清晰，运算简便，方法有效，达到事半功倍的效果.参数问题范围广、题型多、方法灵活多变、技巧性强、思维策略很难用几点加以概括， 以上仅是常用的几种.从中不难看出解题时只要善于发掘问题中蕴含的解题机智，注意思维策略，灵活地选择一些“技术性”手段加以处理，必能出奇制胜.。
高考数学试题中含参数问题的类型及解法研究
高考数学试题中含参数问题的类型及解法研究作者：张彦来源：《新教育时代·教师版》2016年第37期摘要：函数是高中数学的重要组成部分，其中经常会遇到含有参数的问题，熟练掌握含参数问题的解法对数学学习起到非常重要的作用，进而帮助学生在数学学科的高考中顺利解决含参数问题的相关试题，取得良好的成绩。
本文将针对高考试题中含参数问题的类型进行分析并研究其解法。
关键字：高考数学；参数问题；类型；解法前言：参数也叫参变量，是一个变量。
在研究自变量与因变量的关系时，引入一个或几个其他的变量来描述自变量与因变量之间的关系，而这个引入的变量并不是必须要研究的问题，只是一个用来描述自变量与因变量关系的辅助性参数，这样的变量叫做参变量或者参数。
参数在数学中有着广泛的应用，在函数、数列、不等式与解析几何等问题中都会用到参数问题，熟练运用参数解题对数学学习有着至关重要的作用。
一、分类讨论引起分类讨论的原因有很多，常见的包括概念本身是分类定义的；当题目中含有参数，使得函数、方程或不等式的值以及图像形状位置等不确定时，就要对参数进行分类讨论。
例1：解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1此例题中首先要讨论x2项的系数，对a的取值不同对整个不等式的性质不同进行分析讨论。
当a=0时，原式为-x+11}；当a≠0时，原式为二次不等式，整理不等式后可得出（ax-1）（x-1）>0，这两个不等式对应的方程的两个根为和1，然后对a的取值范围进行讨论。
当a1}当a>0，存在多种讨论条件：当1时，原不等式的解集为：{x|当=1即a=1时，原不等式的解集为：Φ；当>1即0通过分类讨论分析，可以清晰、直观的看到参数a取值不同时对原不等式的定义域范围的影响，进而得出结论。
当a1；当a=0时，原不等式的解集为：{x|x>1}；当0当a=1时，原不等式的解集为：Φ；当a>1时，原不等式的解集为：{x|在这道例题中，不等式的解受两方面因素的影响，第一是参数a能够决定不等式类型，其次，参数a的值会影响到不等式解的大小，所以在计算时必须分类讨论。
高中数学解题方法之数学参数法
高中数学解题方法之数学参数法
关于高中数学解题方法之数学参数法
高中数学解题方法之数学参数法
高中数学解题有哪些方法?现在陆续为您提供数学解题方法，下面是高中数学解题方法之参数法，供大家参考，希望对大家的学习有帮助。
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数)，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的'参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。
参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。
参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。
运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
参数思想在高中数学教学中的渗透策略研究
参数思想在高中数学教学中的渗透策略研究
参数思想在高中数学中的渗透策略，首先需要教师充分了解参数思想的概念和应用范围，然后运用典型案例进行引导，激发学生的学习兴趣。
在学习中，教师可以采用科学系
统的教学方法，灵活应用多媒体教学手段，将参数思想与实际问题相结合，通过直观的教
学方法让学生学的更加深入，竭尽所能地发掘学生的潜力。
在教学过程中，我们可以把参数思想的应用运用于课上讲解和课下习题。
首先在课上
讲解时，可以通过提问、讨论等方式，引导学生从经验与实际问题相结合的角度去理解参
数思想的含义；其次，可以针对具体问题展示参数思想的应用实例，从而达到预期的教学
目的。
在此过程中，教师需要将重点放在学生的实际需求上，让他们更好理解数学知识。
在习题解答方面，以基础习题为步入【# **因为基础习题和重难点习题相辅相成，具
有很好的启发性】，以引导学生认真分析和理解问题，防止盲目求解，将习题解答与实际
问题结合贯穿始终。
在讲述习题解答时，教师可以采取循序渐进，由浅入深的教学思路，
其最终目的为让学生对参数思想更好的理解和渗透。
总之，参数思想在高中数学中的渗透策略是需要反复梳理和实践，通过教育教学实践，深入挖掘参数思想应用的真正意义，帮助学生提高数学应用能力，更好地为社会服务。
高考专题：参数法在解题中的应用-教师
参数法在解题中的应用[方法精要] 在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较烦琐的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助变量(参数)，并以此作为媒介，使问题转化从而解决问题，这种应用参数解决问题的方法称为参数法．应用参数法的关键在于恰当的选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．使用参数法的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某些量的取值范围，任何变量都有取值范围，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的变数表示结果．参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支．运用参数法解题已经比较普遍．参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题．题型一 参数法在函数问题中的应用例1 定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．破题切入点 (1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法，第(1)(2)两问可用赋值法解决． (2)将恒成立问题转化成函数最值问题．(1)解 令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.(2)证明 令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．(3)解 方法一 因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数． f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)，所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立．令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k 2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意；当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2.综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 方法二 由k ·3x <－3x ＋9x ＋2，得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1,3x ＝2时，取“＝”，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R ，不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.题型二 参数法在数列问题中的应用例2 设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．破题切入点 求特定量的取值，往往需要引入参数，根据题中的条件找出参数与所求量之间的数量关系，利用条件求参数的取值或取值范围，进而求出特定量．解 (1)设公差为d ，则a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0，所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0，又由S 7＝7得7a 1＋7×62d ＝7，解得a 1＝－5，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，前n 项和S n ＝n 2－6n . (2)因为a n ＝2n －7，所以a m a m ＋1a m ＋2＝(2m －7)(2m －5)(2m －3)，设2m －3＝t ，则a m a m ＋1a m ＋2＝(t －4)(t －2)t ＝t ＋8t －6，所以t 为8的约数．又因为t 是奇数，所以t 可取的值为±1， 当t ＝1时，m ＝2，t ＋8t －6＝3,2×5－7＝3＝a 5是数列{a n }中的项；当t ＝－1时，m ＝1，t ＋8t－6＝－15，数列{a n }中的最小项是－5，故不是数列中的项．所以满足条件的正整数m 的值是m ＝2. 题型三 参数法在不等式中的应用例3 已知2x ＝3y ＝5z ，试比较2x 、3y 、5z 的大小．破题切入点 本题的解决需要引入中间变量t (参数)，必须使得x ，y ，z 都能用这个参数t 表示，而后通过作差即可进行大小的比较．解 设2x ＝3y ＝5z ＝t (t >1)，则x ＝log 2t ，y ＝log 3t ，z ＝log 5t ， 所以2x －3y ＝2log 2t －3log 3t＝lg t 2lg2－lg t 3lg3＝lg t (2lg3－3lg2lg3×lg2)＝lg t (lg9－lg8lg3×lg2)，因为lg t >0，lg9－lg8lg3×lg2>0， 所以lg t (lg9－lg8lg3×lg2)>0，所以2x >3y ；同理5z －2x ＝lg t (lg32－lg25lg2×lg5)>0，所以5z >2x >3y .题型四 参数法在解析几何中的应用例4 (浙江)已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M 、N 两点，求|MN |的最小值．破题切入点 (1)已知抛物线焦点坐标为F (0,1)，可直接写出抛物线方程；(2)利用根与系数的关系和函数的单调性求最值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝82k 2＋1|4k －3|. 令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2225t 2＋6t＋1>2 2. 当t <0时，|MN |＝22⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.总结提高 数学问题中参数的选取、消去、确定、讨论很普遍，而且在解题中，参数的选取多种多样，设参数而不求参数，只是利用其作为中间变量辅助计算，是常见的形式．其综合性强，知识面广，一般都需要根据问题的条件作出透彻分析，才能恰当的选取参数，然后利用参数提供的信息，顺利解答问题． 强化训练1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xy x ＋y ，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2.2．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y构成，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值是( )A ．42B ．32C ．4D ．3 答案 C解析 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x ＋y 过点(2，2)时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选C.3．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 答案 B＋π3)向左平移m 个单位长度后解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x 得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4．已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(2，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.原题转化为当m ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3，问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，解得x >2或x <－1.5．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若曲线y ＝sin x 上存在(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( ) A ．[1，e] B ．[e －1－1,1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]答案 A解析 曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则y 0∈[－1,1]，考查四个选项，B ，D 两个选项中参数值都可取0，C ，D 两个选项中参数都可取e ＋1，A ，B ，C ，D 四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e ＋1时是否符合题意，即可得出正确选项，当a ＝0时，f (x )＝e x ＋x ，此时是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y 0∈[0,1]时f (f (y 0))＝y 0是否成立，由于f (x )＝e x ＋x 是一个增函数，可得出f (y 0)≥f (0)＝1，而f (1)＝e ＋1>1，故a ＝0不合题意，由此知B ，D 两个选项不正确．当a ＝e ＋1时，f (x )＝e x ＋x －e －1此函数是一个增函数，f (1)＝e ＋1－e －1＝0，而f (0)没有意义，故a ＝e ＋1不合题意，故C ，D 两个选项不正确．综上讨论知，可确定B ，C ，D 三个选项不正确．6．已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (x ∈R )，若f [g (1)]＝1，则a ＝________. 答案 1解析 因为f [g (1)]＝1＝50，所以g (1)＝0，即a －1＝0，所以a ＝1.7．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A 、B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________. 答案 4±15解析 根据题意，圆心到直线ax ＋y －2＝0的距离为3， 所以|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1得圆心C 为(3,2)，∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0， ∴|3k －2＋3|k 2＋1＝1，∴|3k ＋1|＝k 2＋1，∴2k (4k ＋3)＝0，∴k ＝0或k ＝－34，∴所求圆C 的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y ＝3或者3x ＋4y －12＝0.(2)∵圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以，设圆心C 为(a,2a －4)， 则圆C 的方程为(x －a )2＋[y －(2a －4)]2＝1，又∵MA ＝2MO ，∴设M 为(x ，y )， 则x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得：x 2＋(y ＋1)2＝4.此圆设为圆D ，∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点， ∴|2－1|≤a 2＋[(2a －4)－(－1)]2≤|2＋1|，由5a 2－12a ＋8≥0得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0得0≤a ≤125.综上所述，a 的取值范围为[0，125]．9．已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝(－5)·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列．从而1a n ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1.若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而1a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *).故1a n <1.综上，对任何正整数m ，总有1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1成立．10．已知函数f (x )＝x 4－3x 2＋6. (1)讨论f (x )的单调性；(2)设点P 在曲线y ＝f (x )上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程． 解 (1)f ′(x )＝4x 3－6x ＝4x (x ＋62)(x －62)，令f ′(x )>0得－62<x <0或x >62；令f ′(x )<0得x <－62或0<x <62. 因此，f (x )在区间(－62，0)和(62，＋∞)为增函数；在区间(－∞，－62)和(0，62)为减函数． (2)设点P (x 0，f (x 0))，由l 过原点知，l 的方程为y ＝f ′(x 0)x ，因此f (x 0)＝f ′(x 0)x 0，即x 40－3x 20＋6－x 0(4x 30－6x 0)＝0，整理得(x 20＋1)(x 20－2)＝0，解得x 0＝－2或x 0＝ 2.所以所求的方程为y ＝－2x 或y ＝2x . 11．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))． 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－π4x －π3]＝3cos(π4x ＋π3)，当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求椭圆方程；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2与l 1交于点P ，求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解 (1)由于e ＝33，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，∴b 2a 2＝23，又b ＝21＋1＝2，所以a 2＝3，b 2＝2，所以所求的椭圆方程为x 23＋y 22＝1.(2)由(1)知F 1和F 2两点的坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可设P (1，t )(t ≠0)． 那么线段PF 1中点为N (0，t2)，设M (x ，y )是所求轨迹上的任意点．由于MN →＝(－x ，t 2－y )，PF 1→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN →·PF 1→＝2x ＋t (y －t 2)＝0，y ＝t ，消去参数t 得y 2＝－4x (x ≠0)．所以点M 的轨迹方程为y 2＝－4x (x ≠0)，其轨迹为抛物线(除原点)．。
浅谈参数问题的解答
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2014 年4 月 总第 313 期
⎧ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎩
教学实践
当 0＜a＜1 时， 当 综上所述： 原不等式解集为( √a+1 ,2)；
4 ( π ≤α≤ 2π ) sin2α 3 3 8 (0≤α≤ π ) 1+cosα 3 8 ( π ≤α≤π) 1-cosα 3
般来讲， 分类标准的确定通常有三种： 1.根据数学定义确定分类标准 例如：绝对值的定义是： |a|= ⎧ ⏐ a (a>0) ⏐ ⏐ ⏐ ⎨ 0 (a=0) ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ -a(a<0) ⎩ 所以在解含有绝对值的不等式 |log2x|+|log2 (4－x)| ≥1 时 ， 就必须根 据令 log2x、 log（4－x） 为零的 x 值 1 2 和 3 将定义域 （0， 4） 分成三个区间 进行讨论，即分 0＜x＜1， 1≤x＜3， 3≤x＜4 三种情况进行讨论。 例 1：已知动点 M 到原点 O 的距离为 m，到直线 L： x＝2 且 m+n＝4。 的距离为 n， ①求点 M 的轨迹方程。 ②过原点 O 作倾斜角为 α 的直线 求弦长 |PQ| 的最大值及对应的 与点 M 的轨迹交于 P、 Q 两点， 倾斜角 α。 （x,y） 解： ①设点 M 的坐标为 ， 依题意可得： √x2+y2 +|x-2|=4， 根据绝对值的概念,轨迹方程取决于 x≥2 还是 x<2， 所以以 2 为 4(x+1)(-1≤x<2) 标准进行分类讨论可得轨迹方程为： y2= -12(x-3)(2≤x≤3) ②如图 1，由于 P， Q 的位置变化， Q弦长 |PQ| 的表达式不 同，故必须分点 P， Q 都在曲线 y2=4 (x+1) 以及一点 P 在曲线 y2=4(x+1)上而另一点在曲线 y2=－12(x－3)上可求得：
高考数学解题方法技巧：参数开门宾主谦恭
高考数学解题方法技巧：参数开门宾主谦恭下面是编辑老师整理的2021年高考数学解题方法技巧，期望对您提高学习效率有所关心.●计名释义?参数，顾名思义，是种参考数.供谁参考，供主变量参考.因此，参数关于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.?在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也专门杰出.?有味的是，参数何在，选谁作参的问题又成了解题破门的首要问题.现在，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定;二是参数全然不在，要你无中生有.??●典例示范?【例1】P、Q、M、N四点都在椭圆x2+ =1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.?【分析】四边形没有面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.?幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依靠式.这就要无中生有了.?【解答】如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0，1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.?【插语】题设中没有那个k，因此是无中生有式的参数.我们其因此看中它，是认定它不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k).? 例1题解图【续解】又PQ过点F(0，1)，故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则?x1= ，?从而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= ,? 亦即|PQ|= .?【插语】不管在椭圆方程中，依旧P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)= 标志着主宾易位，问题差不多发生了转程.?【续解】(ⅰ)当k0时，MN的斜率为- ，同上可推得，|MN|= ,?故四边形S= |PQ||MN|= .?令u=k2+ ，得S= .?因为u=k2+ 2，当k=1时，u=2，S= ，且S是以u为自变量的增函数，因此2.?【插语】以上为本题解答的主干，以下k=0时情形，只是一个小小的补充，以显完善之美.事实上，以不失一样性为由，设0为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.?【续解】(ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2 ，|PQ|= ，S= |PQ ||MN|=2.综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.?【点评】参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到宾主融融的和谐境域.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在反客为主中成为主角.??【例2】关于a[-1,1],求使不等式恒成立的x的取值范畴.?【分析】本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当如何样走!你是以x为主，讨论二次不等式?依旧以a为主，讨论一次不等式?其难易之分是显而易见的.?事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
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参数当变量的理念与解题初探
作者：张治中
来源：《广东教育·高中》2008年第10期
一、把参数当变量的理由
虽然形式上f（x）的自变量明确为x，但是有些函数“真正”原始自变量不是x，而是参数. 例如：二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的变化，不仅直接决定y的数量及形态，还直接决定x，从抛物线的原始含义看，以斜抛运动为例,x=v0cos?兹t，y＝v０sin?兹t?鄄gt２，x、y是平行地位的变量，它们均受v０、?兹、t、g决定，以t为中介，则y＝-x2+tan?兹x，a是v０、?兹、g三个参量映射而得的变量概括，所以a是“真正”的变量. 再如在f（x）=1n（x+a）中，x ＞-a，即a决定着x，a自然也决定了f（x）. 因此，把参数当变量的理念就相应地引导出易懂而简捷的解题方法.
二、参数与自变量地位平行时的运用
例1已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a. 如果函数y=f（x）在[-1，1]存在零点，求a 的取值范围.
分析原参考答案（《2007年全国及各省市高考试题全解》人民日报出版社2007年6月第4版）反反复复从a到x再到y中，相互制约和检验，这不仅无法在规定时间做出完美的答案，而且对后继的学习与研究造成逻辑上的混乱，这就有悖于高考题的领引与选拔相统一的原则. 作者“百度”了一年，竟无人问津. 事实上，f（x）在[-1，1]有零点，就转化为F（x，a）=0. 由x?邛a的映射直接满足函数的定义，可把a看成函数，即0=2ax2+2x-3-a，转化成g（x）
=a=，x∈[-1，1]. 求a的范围就是求g（x）的值域，只要明确单调性及区间端点，解得a便一气呵成.
解析（1）当2x2-1=0时，即x=±∈[-1，1]，若f（-）=0，--3=0，则a不存在；若f（）=0，-3=0，则a不存在.(这种分步，合情合理，具有虚实相生之妙)
（2）对g（x）的单调性与极值存在的判断：g ′（x）=，令g ′（x）=0，∵（2x2-1）2＞0，∴4x2-12x+2=0，则x1=∈[-1，1]，x2=?埸[-1，1]（舍去）. 由g′（x）符号及存在图像得：①当x∈[-1，-）时，g ′（x）﹥0，g（x）?坭，∴ g（x）min=g（-1）=5. 当x从-的左侧向-无限靠近时，g（x）→+∞，∴ g（x）∈[5，+∞）.
②当x∈（-，）时，g ′（x）=0的零点x1函数左正右负，∴ g（x）max=g（x1）=. 当x 分别向-、无限靠近取值时，均有g（x）→-∞，∴ g（x）∈（-∞，].
③当x∈（，1］时，g ′（x）＜0，g（x）↓， g（x）min=g（1）=1. 当x从的右侧向无限靠近取值时，g（x）→+∞.
综上可得a=g（x）∈（-∞，]∪[1，+∞）.
例2已知f（x）=x2+（x≠0，a∈R），若f（x）在x∈[2，+∞）为增函数，求a的取值范围.
解析f ′（x）≥0，即2x-≥0，x∈[2，+∞）. 这就构成F（x，a）≥0，由x→a的映射满足函数关系，∴ a≤2x3，x∈[2，+∞）. 又∵ 2x3是增函数，最小值为16，∴a∈（-∞，16].
评析这样，从参考答案指向误区中摆脱出来，从审题到解题操作，有利于加深对函数本质的理解，过程和趋势整合，把导数工具的灵魂体现得尽善尽美. 这种（a是实在的变量，a是x的函数）观念的转变，有利于树立攻克数学大题信心，解题过程也尽享行云流水般的快感.
三、参数与自变量从属地位时的运用
例3设函数 f（x）=1n（x+a）+x2，（1）若当x=-1时， f（x）取得极值，求a的值，并讨论 f（x）的单调性；（2）若 f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所的极值之和大于1n.
解析（1）略.（2）由定义域，a是最终自变量，与x构成复合关系. 在a→x→y对应关系，若像参考答案，以a入手，一直到满足f（x）的要求，从逻辑上似乎合理，但这样导致四次雷同的数学计算和检验，无益于数学能力的检验与培养. 其实，若坚决贯彻数形结合的基本思想方法，以x为纽带，即满足f（x）的要求，又直接制约a数量，克服了原答案由a到y的多环节的问题. 该题主体部位解题如下：
解法（一）：（2）①当a≤0时，f（x）由两个增函数的合成，在（0，+∞）上为无界增函数，f（x）无极值. 若f（x）存在极值，则须a＞0.
②当f ′（x）=0有一解时，令f ′（x）==0，由定义域x+a＞0，则分子h（x）
=2x2+2ax+1=0，则△==0，∴ a=或a=-（由①舍去）.
决定f ′（x）符号函数h（x）=2x2+2x+1，二次项系数大于零，而△=0，仅当时f ′（）=0时，f ′（x）＞0，即零点两侧的导数同号，∴ f（x）在a =时无极值.
③当f ′（x）=0有两解时，则 x1=；x2=，同时△＞0，∴ a＞，而a ＜-（由①舍）.
由f ′（x）符号变化，f（x）在x1、x2处分别存在极大值与极小值，∴ a∈（，+∞）.
评析一步复合直观，两步以为纽带的讨论，即照应习惯，又较简捷作答，从复合形函数求参数的解题观念、方法转变这个意义上看，只是一次部分质变.若以真自变量a为先导直观判断，以f（x）特征要求为目标，以x为纽带数量推演，坚决贯彻数形结合的正确原则，可享有解题过程的快感.
解法（二）：①若起点a≤0，y1=x2、y2=1n（x+1）是开区间无界增函数，则f（x）
=y1+y2在定义域内无极值，∴若f（x）有极值，须a＞0.
②y2向左移时，在临近x=a的右侧，f（x）增减性以y2=1n（x+1）为主体的，f（x）?坭. 当某处开始x→+∞时，则f（x）=y1+y2增减性合成?坭. 又因为y1=x2只有一个减增过程，若f （x）有极值，在两个增区间一定有一个减区间存在. f（x）由?坭?坨?坭构成“N”形函数，题中所有极值一定是两个，∴ f ′（x）=0一定有两个不相等的实根.
令f ′（x）==0，x+a＞0，∴ 2x2+2ax+1=0，x1=，x2=. 据f ′（x）符号变化，f（x）在
x1、x2存在极值，x1、x2存在的同时，a2-2＞0，∴ a＞，而 a＜-（由①舍）.
综上，a∈（+∞）.
评析对于f ′（x）=0解的个数及f ′（x）在解两侧符号变化情况，一方面直接判定极值的存在情况;另一方面，f（x）存在两个极值（点），由△＞0，a的数量范围就成了以x为纽带的副产品.这原本就是导数工具性质的基本思想、方法和技巧,所以在数形结合的原则指导下，以中间变量x为桥梁，逻辑清楚，步骤简捷，为在规定时间内完整解题，找到了可操作的、快捷而完美的方法.
由于把参数作为变量，宏观界定了f（x）性态（有无极值及单调性），同时又由x双向照应，上承f（x）的增减与极值，下达a的地位与数量，用矛盾主要方面的辨证方法，能把变化过程和整体趋势整合，实现了删繁就简.既细致微妙又恢宏洒脱，这正是当代中学数学应有的活力与魅力.
责任编校徐国坚
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