2013数学建模——古塔的变形
古塔变形问题中弯曲情况的数学分析方法
古塔变形问题中弯曲情况的数学分析方法
本文针对2013年全国大学生数学建模竞赛中古塔的变形中的弯曲问题，应用曲率的知识，分析其挠度，给出了弯曲变形情况的数学分析方法。
标签：古塔变形；曲率；挠度；拟合
一、相关问题
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。根据提供的观测数据，分析该塔的弯曲变形情况。
二、古塔的弯曲情况的分析
1.预备知识。梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。
可以把古塔看成一个建筑上的梁，同样是相同的立体图形其中梁平面弯曲时其变形特点是：梁轴线既不伸长也不缩短，其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，我们可以把古塔的中心线看做一个梁的一个面的投影求解。
2.问题的解决方法。
对一般的观测经验可知，首先在建筑物的周围建立一个局部坐标系，根据墙面积的大小来确定观察点的个数，用无反光棱镜全站仪进行坐标的观测。
对该古塔的弯曲，主要从各层中心点考虑整体趋势，利用中心的坐标可以画出古塔中心线主视图、俯视图、侧视图。
观察对古塔中心线可以看出：
（1）主視图只显示的是中心的扭曲情况，如果主视图显示的一条直线，则可以认为该古塔没有发生扭曲，否则发生了扭曲。即古塔的外形发生扭曲变形。
（2）侧视图和主视图只显示了在xoz，yoz 的关系程度，如果该图显示的是一条垂直的直线，则没发生倾斜和弯曲，否则可以认为该中心线发生了倾斜和弯曲。即古塔发生弯曲和倾斜。
首先任意选取一个平面来分析画古塔的是否弯曲，可以选取平面，用拟合和曲率来刻画古塔的弯曲建立模型为：
古塔的变形数学建模课程答辩
古塔的变形数学建模课程答辩
摘要：
一、古塔简介
二、变形数学建模课程概述
三、古塔变形数学建模案例分析
四、答辩环节介绍
五、课程收获与反思
正文：
一、古塔简介
古塔，作为一种古老的建筑形式，在我国历史悠久的传统文化中具有重要地位。古塔的建筑风格独特，形式各异，堪称古代建筑的瑰宝。随着时间的推移，古塔在自然环境和人为因素的影响下，可能会出现不同程度的变形。为了更好地保护和研究古塔，专家学者们采用了数学建模的方法来分析古塔的变形情况。
二、变形数学建模课程概述
变形数学建模课程是一门理论与实践相结合的课程，旨在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。在这门课程中，学生们学习了数学建模的基本方法、技巧和软件应用，并通过实际案例分析，提高了自身的动手实践能力。
三、古塔变形数学建模案例分析
以某座具有代表性的古塔为例，课程小组对其进行了详细的实地考察和数据采集。在考察过程中，学生们测量了古塔的各项几何参数，并采集了现场的
照片和视频。随后，学生们利用数学建模软件，对古塔的变形情况进行了分析。通过对古塔结构的研究，学生们找出了可能导致变形的原因，并提出了相应的保护措施。
四、答辩环节介绍
在课程的最后阶段，学生们需要对自己的数学建模成果进行答辩。答辩环节分为两个部分：PPT展示和现场问答。学生们通过制作精美的PPT，向评委和观众展示了自己的建模过程和成果。在问答环节，评委们针对建模过程中的关键问题进行了提问，学生们则需要根据自己的实际操作和理论知识来进行回答。
五、课程收获与反思
通过古塔变形数学建模课程的学习和实践，学生们纷纷表示受益匪浅。一方面，学生们提高了自己的数学建模技能，学会了如何将理论知识运用到实际问题中；另一方面，学生们对古塔的历史和文化有了更深入的了解，增强了自己对文物保护的意识。同时，学生们也认识到了数学建模在解决实际问题中的局限性，意识到跨学科合作的重要性。
基于古塔变形问题的数学模型_大学生数学建模竞赛
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我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）.
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日期： 2013 年 9 月 16 日
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【2013年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题C】CUMCM2013C
【2013年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题C】
CUMCM2013C
全国大学生数学建模竞赛真题试卷复习材料2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
C题古塔的变形
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3. 分析该塔的变形趋势。
利用曲线拟合分析古塔的变形
处理 。 。 ６ ０ ５ ６ ２ ５ ６ ４ ５ ６ ６ ５ ６ ８ ５ ７ ０ ２ － ２建 立 三 维 空 间 直 角 ５
图 １
wenku.baidu.com
２ ０ １ １ 年的古塔 各层中心对应倾斜距 离和侧倾斜距 离。 以 及 １ ９ ８ ６年一至 五层 、 １ ９ ８ ６年 五层至 塔尖 ： １ ９ ９ ６年一 至五 层、 １ ９ ９ ６年 五 层 至 塔 尖 ： ２ ０ ０ ９年 一 至 五层 、 ２ ０ ０ ９年 五 层 至
插 值 的 方 法 处理 题 目附 件
结 合数据 ， 利 用 Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ编 程 ， 分别计 算 出 １ ９ ８ ６年 与 １ ９ ９ ６年 、 １ ９ ９ ６年 与 ２ ０ ０ ９年 、 ２ ０ ０ ９年 与 ２ ０ １ １年 、 １ ９ ８ ６年 与
中缺失数据。 ② 附件中 ２ ０ ０ ９
， ，
ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｉ ｆ ｔ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ
ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ｌ ａ ｓ ｐ ａ ｃ ｅ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｌ ａ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｔ ｏ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｔ ｈ ｅ ｔ ｏ ｗｅ ｒ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｔ ｈ ｅ ｎ ｗｅ ｇ ｅ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｔ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｒ ｅ ｎ ｄ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ ｍｏ ｒ ｅ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ｌ ｙ ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｇ ｉ ｖ ｅ ｓ ａ ｍｏ ｒ ｅ ｅ ｘ ａ ｃ ｔ ｑ ｕ ａ ｎ ｔ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｎ ｌｙ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍ ａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｐ ａ ｇ ｏ ｄ ａ ａ ｎ ｄ ｃ ａ ｎ ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｄ ｅ ｓ ｕ ｐ ｐ ｏ ｒ ｔ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ
古塔的变形模型与预测
图 ２ 塔 层 投 影 示 意 图
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － １ ０ — １ ６
・ Hale Waihona Puke Baidu
９ ・
２ ０ １ ３年 第 ４期 （ 总第 ８ ５期 ）
牡 丹 江 师 范 学 院 学－ ｝ Ｉ ｔ （自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍｕ ｄ ａ ￣ｉ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
由于长时 间受 气温 、 风力 、 自重等 各种 因素 的
表 １ 各 层 塔 中心 点 坐 标
ｍ
作用 及偶 然还 要受 地震 、 飓 风的影 响 ， 古塔 会产 生 各种 变 形 ， 如倾 斜 、 弯曲、 扭 曲等． 为 保 护古 塔 ， 文
物部 门需 适时 对古 塔进 行观 测 ， 了解各 种变 形量 ，
古塔的变形模型与预测
徐 静
（ 扬 州 工 业 职业 技 术学 院 ， 江苏 扬州 ２ ２ ５ １ ２ ７ ）
摘
要： 针 对 古 塔 的 变形 问题 ， 根 据所给的四年观 测数据 ， 利 用塔 层 散 点 原 始 数 据 及 其 投 影 分 别 拟 合 确 定 古塔各层 中心点的位 置， 根 据 观 测 点 数 据 和 中心 点位 置 分 析 该 塔 的 倾 斜 、 弯曲、 扭 曲情 况 ， 关 于 时
关于古塔变形研究的数学模型
的数学模型预测其变形趋势， 给文物管理部门提出了有关古塔保护的建议．
关键词 ： 古塔 变形 ； 各层 中心 点； 倾斜度 ； 弯 曲度 ； 扭 曲度 ； 变形预测 中图分类号： ０ ２ ９ 文献标识码 ： Ａ 文章编号： １ ６ ７ ２ — ２ ０ ９ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ １ ５ ５ — ０ ５
等各 种 作用 ， 偶 然 还要 受 地震 、 飓 风 的 影响 ， 从 而 产 生变 形 ， 各 层 底 面 已经 不 再 是 正 多 边 形 ， 顶 点
１ ９ ９ ６ 年 ８月、 ２ ０ ０ ９ 年３ 月和 ２ ０ １ １ 年３ 月对 该塔 进行 了 ４次观测 ． 请你们根据附件 １ 提供的 ４次观测数据 ， 讨 论 以下 问题 ：
・１ ５ ４ ・ ’
唐 纪芳， 张子卫
关于古塔变形研究的数学模型
数 据 都缺 失 了． 我们 将 ２ ０ ０ ９年 和 ２ ０ １ １年该 层 的 同
３ ． ２问题 ２的求 解
个观测点的数据差值 除 以年份差作为每年的变 化差值 ，然后计算 出 １ ９ ８ ６ 年和 １ ９ ９ ６ 年 的补充数 据． 然后， 各层 底面中心应 该在各层 ８个观 测点的
古塔变形的数学模型大学生数学建模竞赛C题全国二等奖8669874讲解学习
（高教社杯全国大学生数学建模竞赛古塔变形的数学模型
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古塔变形问题的预测模型
科技探索
古塔变形问题的预测模型
轰涛
(南京科技职业学院基础科学部，江苏南京210048)
【摘要】本文对古塔的各种变形情况进行了分析并对未来古塔的变形趋势作出预测。首先运用整体最小二乘平面拟合建立 各层的特征平面，用平均值法求得各层的中心坐标。然后对各层中心坐标的偏差和中心轴的散点图进行了总体分析，分别从不 同角度讨论了古塔的倾斜、弯曲和扭曲情况。最后对未来古塔的变形作出预测。
【关键词】多元线性回归模型；平面拟合；平均值法；曲率；倾斜角；弯曲程度；扭曲角
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还
要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、
弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观
测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。本文对2013
年全国大学生数学建模竞赛C题（古塔的变形）进行了研
究，主要解决了如下三个问题。
一、问题一：古塔各层中心位置及其中心坐标的确定
(一） 对于缺失观测数据的处理
首先对1986年第一层至第十二层的第5组数据作散点
图，然后用MATLAB作线性最小二乘拟合程序预测出第十三
层的缺失数据为567.9857, 519.7366, 50.8491，同理预测
1996 年第 13 层第 5 组数据为 567. 9922，519. 7299，50. 8471。
(二） 古塔各层中心位置的确定
首先用Matlab画出1986年第一层8个观测数据的折线
图，通过该图的不同角度，发现这8个点不在同一个平面上，
无法直接计算该层的中心。因此我们对第一层进行了整体最
小二乘平面拟合，以确定该层的中心。
2020数学建模-古塔的变形
2013数学建模-古塔的变形
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2013全国大学生数学建模山西赛区山西财经大学华商第43队论文----C题-古塔变形
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古塔的变形分析
摘要
本文针对古塔的变形这，由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震，飓风的影响，古塔会产生各种变形，为保护古塔，文物部门需要对古塔进行观测，了解古塔的变形情况。
因为当3个观测点位于一个圆周上时，可以用图解或解析的方法确定圆心的位置；当观测点数大于3时，可以用最小二乘进行曲线拟合，计算出圆心的坐标。本文用最小二乘法进行曲线的拟合，得到古塔各层中心点坐标。使用线性回归，曲线拟合法，梯度下降法得到各层中心所在的直线方程。对直线进行投影，利用曲率对古塔的变形、弯曲、扭曲进行了研究。
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关于古塔变形的探讨
关于古塔变形的探讨
【关键词】古塔；中心；重心；斜率； excel
文章编号：issn1006—656x（2013）09 -0115-01
一、问题重述
（一）问题背景
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
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请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
问题一：给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。
问题二：分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。问题三：分析该塔的变形趋势。（详情见附件1）
二、问题分析
（一）问题一的分析
根据对问题一的条件和数据的分析，我们发现z变量的数值波动性很小，而问题一
求的是各古塔的中心坐标，那么我们就把z坐标的总和相加取它
的平均数值，然后再根据初等方法求多边形的中心坐标方法对问题一进行求解。
（二）问题二的分析
根据对问题二的研究与问题一得出的数据进行分析，我们确定了以第一层的重心坐标为基准第二层的重心坐标与第一层重心相连再依据古塔与地面垂直的情况来求出此三角形的斜率、第三层、与第四层……以此类推求出各层的斜率，再依据斜率的数据作出斜率与层数的散点图形并添加了趋势线，再依据对图形的分析我们可以得出古塔在自然因素下发生倾斜、弯曲、扭曲的大致情况。（三）问题三的分析根据问题二中散点趋势图对比，我们可以得出古塔在1986年至2011年发生变化的形式，再结合实际对古塔未来的变形趋势进行预测。
古塔变形模型分析
古塔变形模型分析
摘要本文研究的是古塔变形的相关问题，根据给出的1986年、1996年、2009年、2011年不同的观测数据，应用垂直投影法计算出了各次测量古塔的中心坐标；在分析古塔的倾斜程度时，我们采用的是空间直线拟合的方法，对比了中心点与其余几个观测点的倾斜程度，发现该古塔经过多年洗礼，215年里并为倾斜；古塔的弯曲我们主要从古塔是否发生沉降变形来分析考虑，发现古塔有沉降迹象，在1mm～2mm之间。在分析古塔扭曲情况时，我们将每年的中心坐标做了均值处理，假设其为定点，进而分析了每年底层同一观测点的夹角变化，由此来分析该古塔的扭曲情况，发现4年间古塔的偏移角度在0.6°左右。
关键词古塔的变形；垂直投影法；空间直线拟合；matlab计算
1 问题分析
古塔的变形问题在建筑学中已经是个很成熟的问题了，中国是个文明古国，各式古塔是先人遗留给我们的宝贵遗产，千年以来，未了保护好他们，很多人献出了生命；在这个科技发达的和平年代，国家越来越重视对其的保护，更是有很多学者多年来一直致力于古塔的变形原因研究及保护措施研究。本文给出的数据只是一个个例，数据来源于2013年全国大学生数学建模竞赛C题，根据给出的四组数据确定古塔各层中心位置的通用方法，并计算出各次测量的古塔各层中心坐标，然后分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况、最后对塔的变形趋势做详细的分析。在文中分析很多方法也是借鉴于其他优秀学者的研究成果，结合实际数据对此做出的分析。
2 模型假设
1）不考虑古塔地基的影响，假设各种自然条件包括地震、飓风等对古塔地基无影响；2）假设此古塔建筑材料为砖；3）忽略古塔本身的形制结构的影响。
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日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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古塔的变形数学模型
摘要:
本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。
对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。
首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。
古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。
古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。
对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。
关键字：线性回归变化趋势拟合预测
一、问题重述
由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古
塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进
行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。
某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986
年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。
请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：
1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心
坐标。
2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。
3. 分析该塔的变形趋势。
二、问题分析
（一）、对问题一的分析
问题一中确定古塔各层中心位置的通用方法。因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。
（二）、对问题二的分析
问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。
对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差t i h,，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。再根据每层出现高程绝对差t i h,的两个测量点的连
线，确定每层弯曲方向。
对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。
（三）、对问题三的分析
问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。
三、模型假设
1.假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况；
2.假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补；
3.忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据；
4.假设古塔的变形是连续的；
四、符号说明
五、模型的建立与求解
5.1问题一的求解：
为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔内同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图：