2013数学建模——古塔的变形

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：5339所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。

因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。

对于问题二，我们分别研究该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，通过建立数学模型来确定变形的程度。

首先，用各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。

然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。

最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。

用古塔各层中心点进行平面拟合，从效果上观察，较为精确地反映了实例中的问题，由此也说明了我们所建模型的合理性。

古塔的倾斜变形必然会导致在同一层中，测点存在高程的绝对差h，如果古塔只存在倾斜变形的话，每层的h值会相等；如果古塔存在倾斜变形的同时也存在弯曲变形的话，则每层的h值会发生改变。

所以相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。

再根据每层出现高程绝对差h的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。

古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。

然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。

对于该塔的变形趋势的研究，将倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归。

再用得到的回归方程预测未来几年的数据，结合用excel画出的图来预测古塔在未来时间里的变形趋势。

关键字：线性回归变化趋势拟合预测一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2. 分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3. 分析该塔的变形趋势。

二、问题分析（一）、对问题一的分析问题一中确定古塔各层中心位置的通用方法。

因为古塔各层为近似正八边形，根据正八边形图形特征，可以用每次测量时，古塔各层测量点坐标的平均值作为各层中心点坐标。

然后将各层中心点坐标对时间回归，可得到各层中心点坐标对时间的回归方程。

根据方程就可以确任意时间各层中心点坐标。

（二）、对问题二的分析问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。

对于倾斜，首先根据不同年份，各层中心点坐标的z坐标值与其相应点的x,y坐标值做多元线性回归。

然后得到的回归方程所表示的回归平面与z轴正方向的夹角就可以表示古塔的倾斜程度大小。

最后根据各层中心的分布和变化趋势方向，确定古塔的倾斜方向。

对于古塔的弯曲，首先求出每层高程绝对差t i h,，然后相邻两层的高程绝对差的变化量，表示古塔每层弯曲程度大小。

再根据每层出现高程绝对差t i h,的两个测量点的连线，确定每层弯曲方向。

对于古塔的扭曲变形，首先每层选取两对相同的对测量点，并做连线。

然后通过每层对测量点的连线，分别与第一层相同对测量点的连线所成的角度的平均值来衡量古塔的扭曲情况。

（三）、对问题三的分析问题三要求我们分析该塔的变形趋势，这个问题属于预测的数学问题。

对于这个问题我们一般用回归的方法来求解，得出倾斜指标、弯曲指标、扭曲指标对时间的回归方程，并作出各自的图像，观察趋势。

三、模型假设1.假设古塔只存在倾斜，弯曲，扭曲的三种变形情况；2.假设在1986年到2011年没有对古塔进行人为的保护，如加固或修补；3.忽略1986年与1996年观测的第13层第5个测量点所少数据；4.假设古塔的变形是连续的；四、符号说明五、模型的建立与求解5.1问题一的求解：为观察同层各观测点的大概位置，做出1986年古塔内同层观测点连线的俯视图进行分析，做出下图：图1-1图1-1是通过1986年每层各测量点的坐标点连起来的（用CAD 制）图，每层所测的点相交构成一个多边形，得到每层的近似平面图，可以近似地把每层当作正八边形。

根据正八边形图形特征，古塔各层测量点坐标（j x ，j y ，j z ）的平均值作为各层中心点坐标。

即：818jj i xX ==∑， 818jj i yY ==∑ ， 818jj i zZ ==∑算出的各层中心坐标如下：表1-1.所测年数各层中心坐标表1986年1996年楼层i XYZ楼层i XY Z 1 566.6648 522.7105 1.7874 1 566.665522.71021.7102 2 566.7196 522.6684 7.3203 2 566.7205 522.6674 7.3146 3 566.7735 522.6273 12.7553 3 566.7751 522.6256 12.7508 4 566.8161 522.5944 17.0783 4 566.8183 522.5922 17.0751 5 566.8621 522.5591 21.7205 5 566.8649 522.5563 21.716 6 566.9084 522.5244 26.2351 6 566.9118522.52126.2295 7566.9468 522.5081 29.83697566.9506 522.504229.8323用上表得到的数据，把每层中心点的X，Y，Z坐标分别对时间t（设1986年为第一年，即t=1）做回归，得到下表的一系列回归方程，用以下的方程就能算出古塔任意一年任意一层的中心坐标,即为确定古塔各层中心位置的通用方法。

5.2问题二的求解：问题二要求我们确定塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

为了简化模型，我们分别对古塔的倾斜、弯曲、扭曲进行讨论。

5.2.1倾斜变形求解：1) 倾斜度大小的求解 首先用第t 年中,各层中心点坐标的t i Z ,对t i X ,，t i Y ,做多元线性回归。

t i Z ,=t i t i Y a X a a ,2,10++ （1）该回归方程在空间直角坐标系中是一个平面，表示各层中心近似所处的平面。

运用Excel 软件根据（1）式求解各年回归方程。

统计各年回归方程系数可得下表：表2-1 回归方程系数运用Matlab 做出2009年回归方程对应的回归平面（过程见附录1）。

图2-1由图2-1可以直观地看出各层中心点贴近回归平面，证明上面所建立模型的准确性。

上述方法所得的回归平面与z 轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。

原理解释如下：图2-2如图，空间直角坐标系（由CAD 制作）中有下列关系： 其中，平面ABC 是同一年塔内各层中心点的回归平面。

AB 垂直于OD ，AB 垂直于OC ，即AB 垂直于CD ，即∠ODC 为平面OAB 与平面ABC 夹角。

所以平面ABC 与z 轴夹角α为： ODC ∠-=︒90α即角α为回归平面与z 轴正方向的夹角可以表示塔的倾斜角。

令t i Z ,=0，即方程为t i t i Y a X a a ,2,10++=0为AB 所在直线方程，所以OD 为点O 到AB 的距离，根据点到直线的距离公式可得：22210222121000a a a aa a a a OD +=+⨯+⨯+=令x 和y 等于0，可以得出 0a OC = 根据正切性质得：2221)90tan(a a ODOC +==-︒α 根据反三角函数，可知：)arctan()90(2221a a +=-︒α (2)根据（2）式可以得算出古塔每年的倾斜角α，列表如下：表2-2 塔的倾斜角度，单位：（°）夹角α的值可以表示古塔的倾斜程度大小。

2) 倾斜方向的求解根据古塔各层中心点在水平面xoy 中的投影的分布和变化趋势，来确定古塔的倾斜方向。

下面以2009年数据为例。

用Matlab 作2009年各测点与中心点的平面图（过程见附录2）：图2-3年份 1986 1996 2009 2011 塔的倾斜角α0.47390.47820.61530.620812345678由图2-3可以看出，各层中心点都大致分布在第2，6个测量点的对角线上。

再根据中心点投影位置随楼层的增加而自测量点2向测量点6移动。

可以知道古塔的倾斜方向大致是沿测量点2向测量点6方向倾斜。

5.2.2弯曲变形求解1) 弯曲程度大小的求解对于古塔的弯曲情况，我们通过每层平面倾斜的变化程度初步分析，然后再结合整栋古塔，得出古塔的大概外形，从局部到整体分析古塔的变形。

首先，计算第t 年，i 层测量点高程的绝对差t i h ,，为：min max ,jj t i z z h -= 它能直观地反映在各层内最大倾斜程度，但绝对差不能全面的表现出弯曲的情况。

而第t 年i 层到i+1层高程的绝对差的变化量t i i u ,1~+∆，可以反映相邻两层的弯曲的大小程度。