2019-2020学年辽宁省朝阳市凌源市联合校高三(上)期中数学试卷1 (含答案解析)

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辽宁省重点中学联合体2019-2020学年高三数学上学期期中试题文.doc

辽宁省重点联合高三数学上学期期中试题文1.命题范围：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、平面向量、数列2.考试时间：120分钟分数150分3.第Ⅰ卷为客观题（60分），第Ⅱ卷为主观题，非选择题（90分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. ，B.C.D.2.已知p：，q：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )A. B. C. .4.若，则A. B. C. D.5.已知向量，，则A. B. C. D.6.已知函数是R上的奇函数，对于，都有,且时，则的值为A. 0B. 1C. 2D.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度8.函数的图象的大致形状是A. B.C. D.9.已知D为的边AB上的一点，且，则实数的值为A. B. C. D.10.函数在区间内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为A. B.C. D.11.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏12.定义在R上偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为A. B.C. D.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题p：，，则为______ ．14.已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______ ．15.设是等差数列，且，，则的通项公式为______．16.已知函数的导函数的图象如图所示，给出如下命题：是函数的一个极值点；；函数在处切线的斜率等于零；当时，．其中正确的命题是______ 写出所有正确命题的序号三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70.0分）17.若的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．Ⅰ求角B的大小；Ⅱ若，的面积为，求b边的长．18.已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列．求数列的通项公式；记，求数列的前n项和．19.有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放且个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度克升随着时间分钟变化的函数关系式近似为，其中根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于克升时，它才能起到有效去污的作用．Ⅰ若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为克升，求k的值；Ⅱ若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？20.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．若，，求的值；求的取值范围．21.已知函数为自然对数的底．求函数的单调递增区间；求曲线在点处的切线方程．22.已知函数，其中．Ⅰ当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程有解，求实数k的取值范围．。

2019-2020学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷(理科)(PDF版含答案)

2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B = ð)A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”3．若cos 222sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为()A．B ．12-C ．12D4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(=)A ．3-B ．1-C ．1D ．35．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为()A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a，b 满足2AB a = ，2AC a b =+ ，则下列结论正确的是()A ．||1b = B ．a b⊥ C ．1a b = D ．(4)a b BC+⊥7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是()A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于()A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑)A ．2019-B ．0C ．2D ．201910．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于()A ．31)m +B ．31)mC ．180(21)m -D ．31)m11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是()A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数10lgx y =的值域是．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==- ，则2a b + 与a夹角的正弦值等于．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是．16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BDDC的值为，ABC ∆的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在[,44ππ-上的单调性．18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[100，110)[110，120)[120，130)[130，140):x y1:22:13:41:1（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X．20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434n n n nn n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩ ．（1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x > ．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ；（Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++ ．（2）求证：a b c ++．2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B = ð)A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]【解答】解：全集U R =，集合2{|230}{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，{|13}U A x x =- ð，又集合{|24}B x x =<<，所以(){|23}(2U A B x x =<= ð，3]．故选：D ．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意；对于C 、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件，对于D 、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意；故选：C ．3．若cos 222sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为()A．B ．12-C ．12D【解答】解：22cos 2cos )2sin()42αααπα=+=--，∴1cos sin 2αα+=，故选：C ．4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(=)A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：由32()()1f x g x x x -=++，将所有x 替换成x -，得32()()1f x g x x x ---=-++，根据()()f x f x =-，()()g x g x -=-，得32()()1f x g x x x +=-++，再令1x =，计算得，f （1）g +（1）1=．故选：C ．5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为()A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π【解答】解：在ABC ∆中，cos cos sin b C c B a A += ，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠ ，sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=．故选：C ．6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a，b 满足2AB a = ，2AC a b =+ ，则下列结论正确的是()A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC+⊥【解答】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a，b 满足2AB a = ，2AC a b =+ ，又AC AB BC =+ ，∴b 的方向应该为BC的方向．所以12a AB =，b BC = ，所以||2b = ，12cos1201a b =⨯⨯︒=- ，4412cos1204a b =⨯⨯⨯︒=- ，24b = ，所以240a b b +=，即(4)0a b b += ，即(4)0a b BC += ，所以(4)a b BC +⊥；故选：D ．7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是()A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【解答】解：样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则数据1x ，2x ，3x ，⋯，n x 的平均数是9，方差是2；所以样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +的平均数是22920+⨯=，方差为2228⨯=．故选：D ．8．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于()A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 24【解答】解：等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯，333log (2)log (42)2log (3)x x x ∴++=，(4)0x x ∴-=，又20x >，4x ∴=，∴等差数列的前三项分别是3log 8，3log 12，3log 18，3333log 12log 82d log =-=，∴第四项为333318log 2732log log +==．故选：A ．9．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑)A ．2019-B ．0C ．2D ．2019【解答】解：因为(1)(1)0f x f x --+=，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为(1)(1)0f x f x --+-=，所以(2)()0f x f x -+=，即(2)()f x f x -=-，(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，因为(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --+-=--+，所以(1)(1)f x f x --=-+，所以函数()f x 关于原点对称，令1x =-，(1)(1)f x f x --=-+，所以(0)0f =，所以(0)f f =（2）f =（4）0=，f （3）(1)f f =-=-（1）2=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）0=，因为201950443=⨯+，所以20191()i f i f ==∑（1）f +（2）f +（3）20(2)0=++-=，故选：B ．10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于()A ．31)m +B ．31)mC ．180(21)m -D ．31)m【解答】解：如图，15DAB ∠=︒，tan 45tan 30tan15tan(4530)231tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB ∆中，又60AD =，tan1560(23)1203DB AD ∴=︒=⨯-=- ．在Rt ADC ∆中，60DAC ∠=︒，60AD =，tan 60DC AD ∴=︒= ．(1201)()BC DC DB m ∴=-=-=．∴河流的宽度BC 等于1)m -．故选：B ．11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【解答】解：当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，25ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+< ，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<，故③正确．故选：D ．12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是()A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<【解答】解：212121212()2()2()x x ln a x x lna ln x x ln x x +==+>+ ，取22e a =，f （2）220e a =-=，22x ∴=，(0)10f =>，101x ∴<<，122x x ∴+>，A 不正确；()x f x e ax =- ，()x f x e a ∴'=-，令()0x f x e a '=->，①当0a 时，()0x f x e a '=->在x R ∈上恒成立，()f x ∴在R 上单调递增．②当0a >时，()0x f x e a '=-> ，0x e a ∴->，解得x lna >，()f x ∴在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增．函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，()0f lna ∴<，0a >，0lna e alna ∴-<，a e ∴>，B 不正确；(0)10f =>，101x ∴<<，121x x >不一定，C 不正确；()f x 在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增，∴有极小值点0x lna =，且12022x x x lna +<=，D 正确．故选：D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数10lgx y =的值域是(0,)+∞．【解答】解，依题意，函数10lgx y =的定义域为{|0}x x >，所以10lgx y x ==，值域为(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==- ，则2a b + 与a夹角的正弦值等于10．【解答】解：2(3,3)a b += ，(1,2)a =，设2a b + 与a的夹角为θ，则(2)cos |2|||a b a a b a θ+==+ 0θπ，10sin 10θ∴===．．15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是23．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得3142p ⨯=，解得23p =，故答案为：23．16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且221,23AB AD AC ===．则BDDC的值为12，ABC ∆的面积为．【解答】解：在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠，sin sin BAD CAD ∠=∠ ，sin sin ADB ADC ∠=∠，∴12BD AB DC AC ==．设BAD α∠=，则1222sin 1sin 233ABD S αα∆=⨯⨯=，12sin 233ACD S αα∆=⨯⨯=，112sin 22sin cos 2ABC S ααα∆=⨯⨯⨯=，∴2sin 22sin 2sin cos 33αααα+=，∴解得2cos 2α=，可得4πα=，1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∆∴=∠∠== ．故答案为：12，1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在[,44ππ-上的单调性．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）21()2cos cos(2)1cos 2cos 22sin(2)3326f x x x x x x x ππ=-+-=-+=+⋯分2ω= ，∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==，5⋯分令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得：26k x ππ=+，k Z ∈，∴对称轴方程为：26k x ππ=+，7k Z ∈⋯分（Ⅱ）令222262k x k πππππ-++ ，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-++ ，k Z ∈，设[,44A ππ=-，{|36B x k x k ππππ=-++ ，}k Z ∈，可得：[4A B π=- ，]6π，9⋯分∴当[,44x ππ∈-时，()f x 在区间[4π-，6π上单调递增；在区间[6π，]4π上单调递减14⋯分18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=，故cos2sin cos 222B B B =．因为cos 02B≠，故1sin22B =，因此60B =︒．（2）ABC ∆为锐角三角形，且边b =60B =︒，∴由正弦定理2sin sin a cA C===，可得2sin c C =，22sin 2sin()sin 3a A C C C π==-=+，1sin 2ABC S ac B ∆∴=34ac=3sin )2sin 4C C C =⨯+⨯23sin cos 22C C C =+3sin 224C C =+33)264C π=-+，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得(6C π∈，2π，可得2(66C ππ-∈，5)6π，1sin(2)(62C π∴-∈，1]，可得)6ABC S C π∆=-+，ABC ∴∆面积的取值范围是．19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[100，110)[110，120)[120，130)[130，140):x y1:22:13:41:1（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．【解答】解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）数学成绩在[100，140)之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=，∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140)的人数为0.210020⨯=人，X 可取0，1，2，02102023038(0)87C C P X C ===，11102023040(1)87C C P X C ===，2010202303(2)29C C P X C ===，X 的分布列X 012P 38874087329∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=．20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434n n n nn n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩ ．（1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．【解答】解：（1）证明：由12a =，11b =，且1111434(2)434n n n nn n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩ ，相加得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，又n n n c a b =+，因此12(2)n n c c n --= ，又1113c a b =+=，所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列；相减可得114()2()n n n n a b a b ---=-，即112()n n n n a b a b ---=-，又n n n d a b =-，因此11(2)2n n d d n -=，又1111d a b =-=，所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列；（2）由（1）知1121,()2n n n c n d -=+=，即1211(2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),()2222n n n n a n b n =++=+-；（3）2211()()(21)()2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+，0221111113()57((21)((21)(22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-++ ，23111111135(7((21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-++ ，两式相减可得11111132()(21)22422n n nS n -=+++⋯+-+ 111(112232(21)1212n n n --=+-+- ，化简可得1110(25)()2n n S n -=-+ ．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x > ．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ；（Ⅱ）若02[12x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得，2121()2(0)ax ax f x ax a x x x-+'=-+=>，⋯（2分）令()0f x '=可得2210ax ax -+=∴21212044012a a a x x x x ≠⎧⎪=->⎪⎪⎨+>⎪⎪>⎪⎩ ，即2044020112a a a a ≠⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，⋯（4分）解得a 的取值范围(1,2)M =．⋯（6分）（Ⅱ）由2210ax ax -+=，解得12,a a x x a a+==，而()f x 在1(0,)x 上递增，在1(x ，2)x 上递减，在2(x ，)+∞上递增12a << ，∴22112x =+<+()f x ∴在[12+，2]单调递增∴在[1+，2]上，()max f x f =（2）22a ln =-+．⋯（7分）02[12x ∴∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，等价于不等式222(1)(1)(1)22a ln ln a b a a ln -+++>--++恒成立即不等式2(1)210ln a ba a b ln +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立．⋯（8分）令g （a ）2(1)21ln a ba a b ln =+--+-+，则g （1）0=．，12(12()1ba a b g a a -++'=+，①当0b 时，12(1)2()01ba a b g a a -++'=<+，g （a ）在(1,2)上递减．g （a ）g <（1）0=，不合题意．②当0b <时，12(12()1ba a b g a a -++'=+，12a << 若1(112b -+>，即104b -<<时，则g （a ）在(1,2)上先递减，g （1）0=，12a ∴<<时，g （a ）0>不能恒成立；若1(112b -+，即14b - 时，则g （a ）在(1,2)上单调递增，g ∴（a ）g >（1）0=恒成立，b ∴的取值范围为(-∞，1]4-⋯请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解答】解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=，l ∴极坐标方程是(,)2R πθαραπ=∈<<．1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=；（2）1:cos C ρθ=，2:2sin C ρθ=，将θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．222||||||2cos 2cos sin OM OM ON ααα∴+=-sin(2)14πα=-+．2παπ<<，∴当78πα=时，22||||||OM OM ON +1．[选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++ ．（2）求证：a b c ++．【解答】证明：（1） 2a b bc ca c+= ，同理2b c ca ab a + ，2a c bc ab b+ ，∴111a b c bc ca ab a b c++++ ；（2）由（1）得222a b c ab bc ca ++++ ．1，2221++=ab bc ca∴++ ．a b c2222222 ++=+++++=+++ ．a b c a b c ab bc ca a b c()2222 2∴++ ，a b c()3++．即a b c。

辽宁省朝阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷(理科)B卷

辽宁省朝阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·太康开学考) 已知集合A={x|y=lnx}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A . {﹣1，﹣2}B . {1，2}C . （0，+∞）D . （1，2）2. （2分） (2018高二上·陆川期末) 命题“ R，”的否定是（）A . R，B . R，C . R，D . R，3. （2分） (2017高二下·瓦房店期末) 函数的定义域是（）A .B .C .D .4. （2分）已知是函数的一个零点.若，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·安徽模拟) 已知函数最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度6. （2分） (2019高一上·水富期中) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分）(2016·四川理) 设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A . 2,-B . 2,-C . -D .9. （2分） (2016高二下·日喀则期末) 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A . （﹣3，0）∪（3，+∞）B . （﹣3，0）∪（0，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣3）∪（0，3）10. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知函数y=2sin（x+ ）cos（x﹣）与直线y= 相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1 ， M2 ， M3 ，…，则| |等于（）A .B . 6πC .D . 12π11. （2分）(2020·丽江模拟) 已知函数，则函数的大致图象是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·周口期中) 已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 角属于第________象限角.14. （1分）(2017·孝义模拟) 共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务，现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是________．15. （1分）(2016·四川文) 若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x ，则f（﹣）+f（2）=________．16. （1分）△ABC中，C是直角，，则 ________.三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2020高一下·林州月考) 已知函数 .（1）若角的终边经过点，求的值；（2）若 .且角为第三象限角，求的值.18. （15分） (2016高一下·泰州开学考) 已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函数f（x）= • ﹣m| + |+1，x∈[﹣， ]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+ m2，x∈[﹣， ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．19. （5分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．20. （5分） (2016高一上·和平期中) 已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的增函数，f（2）=1，且对于任意a，b∈（0，+∞），恒成立．（I）求f（8）；（II）求不等式的解集．21. （5分） (2016高三上·平阳期中) 已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+lnx在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过点P（1，﹣3）恰好能作函数y=f（x）图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数a的取值范围．22. （10分） (2016高三上·汕头模拟) 以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+ ）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．23. （5分）(2017·沈阳模拟) 已知正实数a，b，c，函数f（x）=|x+a|•|x+b|．（Ⅰ）若a=1，b=3，解关于x的不等式f（x）+x+1＜0；（Ⅱ）求证：f（1）f（c）≥16abc．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、。

辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+y-6=0的倾斜角为（）A. B. C. D.2.直线l：2x+3y-6=0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. 6B. 1C.D. 33.已知直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直，则m，n的关系为（）A. B. C. D.4.已知直线l1：ax+2y+8=0与l2：x+（a-1）y+a2-1=0平行，则实数a的取值是（）A. 或2B.C. 0或1D. 25.已知直线l：2mx+y-m-1=0与圆C：x2+（y-2）2=4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（）A. B. C. D.6.抛物线y2=4x的一条焦点弦为AB，若|AB|=8，则AB的中点到直线x=-2的距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 77.设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A. B. C. D.8.方程mx2+y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A. B. C. D.9.双曲线（a＞0，b＞0）经过点（，2），且离心率为3，则它的虚轴长是（）A. B. C. 2 D. 410.已知直线，则之间的距离为（）A. B. C. 7 D.11.抛物线x2=8y的焦点F的坐标是（）A. B. C. D.12.△ABC的两个顶点为A（-4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合M={y|y=x2，x∈R}，，则M∩N=______14.如果双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则实数m=______．15.若实数x、y满足（x-2）2+y2=3，则的最大值为______．16.设双曲线的离心率为e，其渐近线与圆M：（x-2）2+y2=e2相切，则m=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l方程为（m+2）x﹣（m+1）y﹣3m﹣7＝0，m∈R．（Ⅰ）求证：直线l恒过定点P，并求出定点P的坐标；（Ⅱ）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程．18.已知直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若直线1与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求实数a的值．19.已知圆C：求圆C关于直线对称的圆D的标准方程；过点的直线l被圆C截得的弦长为8,求直线l的方程；当k取何值时,直线与圆C相交的弦长最短,并求出最短弦长．20.求满足下列条件的曲线的标准方程：（1），焦点在x轴上的椭圆；（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x-y+2=0上抛物线的方程．21.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率e=，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求椭圆的方程．（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积．222.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG•HE为定值，并求出定值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线x+y-6=0的斜率k=-，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴．即直线x+y-6=0的倾斜角为．故选：C．由直线方程求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】D【解析】解：直线l：2x+3y-6=0与x，y轴的交点为（3，0），（0，2），则围成的三角形的面积为×3×2=3．故选：D．求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求．本题考查直线方程的运用，考查三角形的面积求法，化简运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，直线mx-y-2=0与直线x+ny+3=0垂直，则有m×1+（-1）×n=0，即m-n=0；故选：C．根据题意，由直线的一般式方程判定直线垂直的方法可得m×1+（-1）×n=0，变形即可得答案．本题考查直线的一般式方程以及直线与直线垂直的判定，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵直线l1：ax+2y+8=0与l2：x+（a-1）y+a2-1=0平行，∴，解得a=2或a=-1，∴实数a的取值是-1或2．故选：A．利用直线与直线平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C的圆心C为（0，2），半径r=2；已知直线l：2mx+y-m-1=0恒过点P（）；∴当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时，则；此时-2m=⇒m=；此时直线AB的方程为-，变形可得2x-4y+3=0．故选：A．4根据题意，分析圆C的圆心坐标与半径，分析可得当CP与AB垂直时，弦长|AB|最短，求出直线CP的斜率，通过垂直关系可得直线AB的斜率，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长问题，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，A，B在准线上的射影为M，N，可得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，即有|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|，设AB的中点为P，P到准线的距离为（|AM|+|BN|）=|AB|=4，则AB的中点到直线x=-2的距离是4+1=5，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，以及梯形的中位线定理，即可得到所求距离．本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查梯形的中位线定理，考查运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，圆心（0，0）到直线的距离等于半径，∴，∴a的值为±2，故选：B．先求出过点（0，a），其斜率为1的直线方程，利用相切（圆心到直线的距离等于半径）求出a即可．本题考查圆的切线方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，是基础题．8.【答案】A【解析】解：根据题意，方程mx2+y2=1即+y2=1，若其表示焦点在y轴上的椭圆，必有1＞＞0，解可得：m＞1，即m的取值范围为（1，+∞）；故选：A．根据题意，将方程mx2+y2=1变形可得+y2=1，由椭圆标准方程的形式分析可得1＞＞0，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的标准方程的形式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线（a＞0，b＞0）经过点（，2），则有-=1，①；又由双曲线的离心率的e=3，则有e2==1+=9，变形可得b2=8a2，②；解可得：b2=20，即b=2；则它的虚轴长2b=4；故选：B．根据题意，将点（，2）代入双曲线方程可得-=1，结合双曲线的性质可得e2==1+=9，变形可得b2=8a2，联立两式分析解可得b的值，据此分析可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，属于基础题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查平行线间的距离计算，属于基础题．根据题意，将l1的方程变形可得6x+8y-24=0，由平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l1：3x+4y-12=0，即6x+8y-24=0，又由l2：6x+8y+11=0，则l1与l2之间的距离d===；故选D．11.【答案】A【解析】解：由抛物线x2=8y，得2p=8，∴p=4，∴抛物线x2=8y的焦点F的坐标是（0，）=（0，2）．故选：A．直接由抛物线方程求得p值，则焦点坐标可求．本题考查抛物线的标准方程，考查了由抛物线方程求焦点坐标，是基础题．12.【答案】A【解析】解：∵△ABC的两顶点A（-4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a=10，2c=8，∴b=3，∴椭圆的标准方程是=1（y≠0）．故选：A．根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用是关键．13.【答案】[0，+∞）【解析】解：∵M={y|y≥0}，N=R，∴M∩N=[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】-4【解析】解：由题意，双曲线的焦点在y轴上，焦距为8，则-m-3m=16，∴m=-4．故答案为：-4．将双曲线的标准方程，焦点在y轴上，焦距为8，列出方程，即可得到结论．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．15.【答案】【解析】解：=，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设=k，则kx-y=0．由=，得k=±，故（）max=，（）min=-．6故答案为：利用的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值．本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．16.【答案】-2【解析】解：双曲线C的渐近线方程为x±y=0．∵双曲线C的渐近线与圆M：（x-2）2+y2=e2相切，∴=e=，∴m=-2．故选：A．根据双曲线C的渐近线与圆M：（x-2）2+y2=e2相切，利用点到直线的距离公式即可得到d=r，解出即可．本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）直线l方程为（m+2）x-（m+1）y-3m-7=0，m∈R，即m（x-y-3）+2x-y-7=0，令x-y-3=0，可得2x-y-7=0，联立方程组求得，可得直线l恒过定点P（4，1）．（Ⅱ）若直线l在x轴，y轴上的截距相等，令x=0，求得y=-；令y=0，求得，∴-=，求得m=-，∴直线l方程为x+y-=0，即x +y-5=0．【解析】（Ⅰ）先分离参数，再令参数的系数等于0，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．（Ⅱ）先求出直线l在x轴，y轴上的截距，再根据直线l在x轴，y轴上的截距相等，求得m的值，可得直线l的方程．本题主要考查直线经过定点问题，直线的截距的定义，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）直线l过点（1，3），且在y轴上的截距为1，可得直线l的斜率为=2，则直线l的方程为y-3=2（x-1），即y=2x+1；（Ⅱ）若直线1与圆C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，可得圆心（a，-a）到直线l的距离为，即有=，解得a=-2或．【解析】（Ⅰ）求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；（Ⅱ）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．本题考查直线方程和圆方程的运用，考查直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解（1）圆心C（1，2），r=5，设D（m，n），因为圆心C与D关于直线对称，所以⇒D（3，-2），r=5所以圆D标准方程为：（x-3）2+（y+2）2=25（2）设点C到直l距离d，因为2=8⇒d=3①当l斜率不存在时，直线方程x=4，满足题意②l斜率存在时，设直线方程为y+4=k（x-4）d==3⇒k=-综上，直线方程x=4或3x+4y+4=0（3）直线l过定点M（-3，1），当CM⊥l时，弦长最短，∵k CM=，∴k=-4此时最短弦长为2=4．【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．（1）根据圆心关于直线对称，半径相等可得圆D的标准方程．（2）根据点到直线的距离和勾股定理列方程可解得．（3）直线l过定点M（-3，1），当CM⊥l时，弦长最短，据此可求得．20.【答案】解：（1）由，解得c=6，所以，b2=a2-c2=64，故所求的椭圆方程为：；（2）直线x-y+2=0与坐标轴的交点坐标分别是（-2，0），（0，2），当焦点坐标为（-2，0）时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：y2=-8x．当焦点坐标为（0，2）时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：x2=8y．【解析】（1）利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程．（2）求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，是基本知识的考查．21.【答案】解：（1）由长轴长为2a=2，a=，离心率e===，∴故所求椭圆方程为；（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x-1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得3y2+2y-1=0，解得y1=-1，y2=，则S△POQ=|OF|•|y1-y2|=|y1-y2|=，∴△POQ的面积．【解析】（1）由2a=2，根据离心率公式即可求得c，求得b，即可求得椭圆方程；（2）求出斜率为1的直线l的方程，与椭圆方程联立，求出交点的纵坐标，即可求△POQ 的面积．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由题意得：，因为点B的横坐标为4，且B在x轴的上方，所以，因为AB的斜率为，所以，整理得：，即，得p=2，抛物线C的方程为：y2=4x．（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=-1，直线l的方程：，由，解得或x=4，于是得．设点，又题意n≠1且n≠-4，所以直线PA：，令x=-1，得，即，同理可得：，HG•HE=．8【解析】（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可，（2）设点，可得，，即可得HG•HE=．本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题．。

辽宁省2020年高三上学期期中数学试卷(文科)(I)卷

辽宁省2020年高三上学期期中数学试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2019高一上·上海月考) 已知，那么满足条件的集合A的个数是________2. （1分）若两直线ax+by+4=0与（a﹣1）x+y+b=0垂直相交于点（0，m），则a+b+m=________．3. （1分）函数y=sin的周期为________4. （1分）若复数z满足=0，则z的值为________ ．5. （1分）设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＞a2 ， b1＞b2 ，且bi=ai2（i=1，2，3），则数列{bn}的公比为________．6. （1分） (2017高一下·滨海期末) 从1，2，3，4，5五个数字中任意取出两个不同的数做加法，其和为6的概率是________．7. （1分）已知实数x，y满足且目标函数z=y﹣3x的最大值为﹣1，最小值为﹣5，则的值为________．8. （1分） (2019高一下·绵阳月考) 有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体外接球的体积为________．9. （1分）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF=________．10. （1分）二项展开式的常数项为________．11. （1分） (2016高一上·福州期中) 已知幂函数y=f（x）的反函数图象过（6，36），则f（）=________．12. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+ ，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为________．13. （2分） (2016高一上·大名期中) 设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）2 ，x∈R，则实数a=________，b=________．14. （1分） (2020高二上·那曲期末) 在中，则 ________.二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）(2017·邹平模拟) “log2（2x﹣3）＜1”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件16. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和．如：1= + + ，1= + + + ，1= + + + + ，…依此类推可得：1= + + + + + + + + + + + + ，其中m≤n，m，n∈N* ．设1≤x≤m，1≤y≤n，则的最小值为（）A .B .C .D .17. （2分） (2017高三上·山西月考) 设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .18. （2分） (2017高二下·孝感期中) 过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=4交于P1 ， P2两点，设线段P1P2的中点为P．若直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2 ，则k1k2等于（）A . ﹣2B . 2C .D . ﹣三、解答题 (共5题；共60分)19. （15分）设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小．（3）求异面直线BC和AA1的距离．20. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 已知向量，设．（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．21. （15分）已知定点A（0，﹣3），动点P在x轴上移动，动点Q在y轴上，且∠APQ= ，点R在直线PQ 上且满足．（1）当点P在x轴上移动时，求动点R的轨迹C的方程；（2）倾斜角为的直线l0与轨迹C相切，求切线l0的方程；（3）已知切线l0与y轴的交点为B，过点B的直线l与轨迹C交于M、N两点，点D（0，1）．若∠MDN为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．22. （10分） (2019高二上·河南月考) 已知数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和．23. （10分）(2014·新课标II卷理) 设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．（1）证明：f（x）≥2；（2）若f（3）＜5，求a的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共60分) 19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

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辽宁省重点联合高三数学上学期期中试题理1、命题范围：集合到平面向量2、考试时间120分钟150分3、第一卷为客观题60分；第二卷为主观题90分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a1﹤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 3.已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>4.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A 在区间35[,]44ππ上单调递增B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 5.如图,四边形是边长为1的正方形,为的中点,抛物线E 的顶点为且通过点,则阴影部分的面积为( )A ．41 B ．21 C.31 D.43 6.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π67.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )8.在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +9.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =10.已知函数e 0()ln 0，，，，x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）11.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…( )A ．50-B ．0C ．2D ．5012.定义在R 上的函数的导函数为'f (x )，若对任意实数x ，有f (x )> 'f (x )，且为奇函数，则不等式的解集是A.B.C.D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.函数()f x 的定义域为14.已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=求 cos β的值___________15．若11223x x-+=，求33222232x xx x--+-=+-___________16.设函数f（x）=πcos()(0)6xωω->，若π()()4f x f≤对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．三、解答题（请写明必要的解题步骤，6小题，共70分）17.已知集合．（Ⅰ）当a=1时，求（∁R B）∪A；（Ⅱ）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18.已知 =（sin x，cos x ）， =（sin x，sin x），函数f（x）=．（I）求f（x）的对称轴方程；（II）求使f（x）≥1成立的x的取值集合；（III ）若对任意实数，不等式f（x）-m＜2恒成立，求实数m的取值范围．19.设p：实数a满足不等式3a≤9，q：函数f（x）=x3+x2+9x无极值点．（1）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；（2）已知“p∧q”为真命题，并记为r，且t：a2-（2m +）a+m（m +）＞0，若r是￢t的必要不充分条件，求正整数m的值．20.(12分）.已知函数是奇函数．求实数a的值；试判断函数在上的单调性，并证明你的结论；若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．21.设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ．（Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．22.已知a ∈R ，函数f （x ）=log 2（+a ）．（1）当a =5时，解不等式f （x ）＞0；（2）若关于x 的方程f （x ）-log 2[（a -4）x +2a -5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围．。

辽宁省朝阳市凌源四合当中学2019-2020学年高三数学文联考试题含解析

辽宁省朝阳市凌源四合当中学2019-2020学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知边长为2的正方形ABCD，在正方形ABCD内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A，B，C，D的距离都大于1的概率为A． B． C． D．参考答案：D略2. 已知中，内角,,所对的边长分别为,,，若，且，，则的面积等于....参考答案：A试题分析：根据正弦定理，可以求得，从而有，因为，所以，从而求得三角形是正三角形，所以面积，故选A.考点：正弦定理，三角形的面积.3. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，（a，b，c均为非零整数），且f（a）=a3，f（b）=b3，a≠b，则c=（）A．16 B．8 C．4 D．1参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由f（a）=a3，f（b）=b3列出等式化简即b=1﹣a﹣，因为b为整数，得出a=﹣2，从而求出b与c值．【解答】解：由已知得，①﹣②化简得：a（a+b）（a﹣b）+b（a﹣b）=0，b=﹣a（a+b），即b=1﹣a﹣，a，b，c均为非零整数且a≠b，得为整数，所以a=﹣2，所以a=﹣2，b=4，∵f（﹣2）=﹣8?c=16．故选：A4.对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是（）A．. B． C． D．参考答案：答案:B5. 若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于( )A．﹣B．C．D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与的坐标，代入向量夹角公式即可得到答案．【解答】解：∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）?（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最常用的方法，一定要熟练掌握．6. 函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，关于k不等式（k﹣2）a﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．a＜﹣1 D．a≥1参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数的图象得出k的范围，分离参数得出a＜，求出右侧函数的最大值即可得出a的范围．【解答】解：作出y=kx+2与y=的函数图象，如图所示：联立方程组，得kx2+2x﹣1=0（x＞0）或﹣kx2﹣2x﹣1=0（x＜0），当x＞0，令△=4+4k=0得k=﹣1，当x＜0时，令△=4﹣4k=0得k=1．∴k=±1时，直线y=kx+2与y=的函数图象相切，∵函数y=kx+2与函数的图象至少有两个公共点，∴﹣1≤k≤1．∵（k﹣2）a﹣k＞0有解，∴a＜有解，设f（k）==1+，∴f（k）在﹣1，1]上是减函数，∴f max（k）=f（﹣1）=．∴a．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，函数存在性问题与函数最值的关系，属于中档题．7. 已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：A【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，∴a＞b＞20=1．再由c=2log52=log54＜log55=1，可得 a＞b＞c，故选A．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．8. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 ( )A． B． C． D．参考答案：C略9. 已知点、、、，则向量在方向上的投影为A．B．C．D．参考答案：A10. 定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（）A． B． C．D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若复数(b∈R,)的实部与虛部相等,则b=________.参考答案：212. 已知向量的夹角为,，,则．参考答案：13. 已知，则=参考答案：3略14. 在中，角所对的边分别为，，，，则；设为边上一点，且，则的面积为．参考答案：；215. 已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为的最小值为．参考答案：18【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2 ?bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2 ）=18，故答案为：18．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．16.已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.(1)若P∩Q＝[，)，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为__________；(2)若P∩Q＝?，则实数a的取值范围为__________．参考答案：1)a＝－(2)a≤－417. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于________cm3.参考答案：1观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

最新试卷：2019-2020学年辽宁省朝阳市凌源市联合校高三(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)(理科)

2019-2020学年辽宁省朝阳市凌源市联合校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，总60分）1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜0}B．（x|x＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}2．已知i为虚数单位，复数z满足：z（1+i）＝2﹣i，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）＝x2sin x的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知m，n是两条不同的自线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m，n没有公共点，则m∥nB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊂α，m∥n，则n∥αD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n6．已知非零向量，的夹角为60°，且||＝1，|2|＝1，则||＝（）A．B．1C．D．27．已知正项等比数列{a n}满足a1﹣a2＝8，a3﹣a4＝2，若a1a2a3…a n＝1，则n为（）A．5B．6C．9D．108．将函数y＝sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，﹣3）9．，则cos2θ的值为（）A．B．C．D．10．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足cos2A﹣cos2B+cos2C ＝1+sin A sin C，且sin A+sin C＝1，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形11．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（）A．6B．7C．8D．9二、填空题（每题5分，总20分）13．命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是（写出否定命题）14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）＞，＜一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为．15．已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为．16．已知侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．三、解答题（17题10分，其他每题12分，总70分）17．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的值域和单调减区间；（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且，，求sin A的值．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B b cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝4，求△ABC周长的最大值．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a5＝5，且a2，a4，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求：数列{b n}的前n项和T n．20．已知数列{a n}为递增的等比数列，a1•a4＝8，a2+a3＝6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为棱形，面P AD⊥面ABCD，P A＝PD＝5，AD＝6，∠DAB＝60°，E为AB的中点．（1）证明：AC⊥PE；（2）求二面角D﹣P A﹣B的余弦值．22．已知在x＝1与处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对∈，时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．2019-2020学年辽宁省朝阳市凌源市联合校高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总60分）1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜0}B．（x|x＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜1}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故选：A．2．已知i为虚数单位，复数z满足：z（1+i）＝2﹣i，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z（1+i）＝2﹣i，得z，∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（，），位于第四象限．故选：D．3．命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且0＜a，∴解得：0＜a＜1，②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命题q：指数函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）为减函数，则：0＜a＜1；所以：当0≤a＜1；则推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；则能推出0≤a＜1；则P是q的必要不充分条件．故选：B．4．函数f（x）＝x2sin x的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数f（x）＝x2sin x是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；又函数过点（π，0），可以排除A，所以只有C符合．故选：C．5．已知m，n是两条不同的自线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m，n没有公共点，则m∥nB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若m⊂α，m∥n，则n∥αD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n【解答】解：m，n没有公共点，则m，n平行或异面，故A错误；m⊂α，n⊂β，α∥β，则m，n平行或异面，故B错误；m⊂α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；n∥α，由线面平行的性质定理可得n平行于过n的平面与α的交线l，m⊥α，可得m⊥l，即有m⊥n，故D正确．故选：D．6．已知非零向量，的夹角为60°，且||＝1，|2|＝1，则||＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||＝1，∴||•1•，∵|2|＝1，∴4442||+1＝1，∴42||＝0，∴||，故选：A．7．已知正项等比数列{a n}满足a1﹣a2＝8，a3﹣a4＝2，若a1a2a3…a n＝1，则n为（）A．5B．6C．9D．10【解答】解：正项等比数列{a n}满足a1﹣a2＝8，a3﹣a4＝2，可得，∴q2，q＞0，解得q，代入a1﹣a2＝8，可得a1＝16，a1a2a3…a n＝1，可得（a1a n）n＝1，所以a1a n＝1，a12q n﹣1＝1，∴1，解得n＝9．故选：C．8．将函数y＝sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，﹣3）【解答】解：将函数y＝sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y ＝sin（2x）图象，令2x kπ，可得x，k∈Z，故所得函数图象的对称中心为（，0）．令k＝1，可得所得图象的一个对称中心为（，0），故选：A．9．，则cos2θ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinθ，∴sinθ ，∴cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（）2．故选：A．10．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足cos2A﹣cos2B+cos2C ＝1+sin A sin C，且sin A+sin C＝1，则△ABC的形状为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形【解答】解：∵cos2A﹣cos2B+cos2C＝1+sin A sin C，∴（1﹣sin2A）﹣（1﹣sin2B）+（1﹣sin2C）＝1+sin A sin C，∴可得sin2A+sin2C﹣sin2B＝﹣sin A sin C，∴根据正弦定理得a2+c2﹣b2＝﹣ac，∴由余弦定理得cos B，∵B∈（0°，180°），∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A+sin2C+sin A sin C．∴变形得（sin A+sin C）2﹣sin A sin C，又∵sin A+sin C＝1，得sin A sin C，∴上述两式联立得sin A＝sin C，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．故选：D．11．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e【解答】解：设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：，∴，解得f′（2）＝8．故选：C．二、填空题（每题5分，总20分）13．命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是∈，使＞（写出否定命题）【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“∀x∈R，e x≤x”的否定是：∈，使＞．故答案为：∈，使＞．14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）＞，＜一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为f（x）．【解答】解：由函数的图象可得A＝1，T，解得：T π，解得ω＝2．图象经过（，1），可得：1＝sin（2 φ），解得：φ＝2kπ ，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ ，故f（x）的解析式为：f（x）．故答案为：f（x）．15．已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为．【解答】解：A（2，0），B（0，1），可得AB的方程为y＝1，（0≤x≤2），由y≥2，可得xy≤2•（y）2，当且仅当x，y时，取得最大值，故答案为：．16．已知侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2．【解答】解：因为侧棱长为a的正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：a；所以球的表面积为：4π（）2＝3πa2故答案为：3πa2．三、解答题（17题10分，其他每题12分，总70分）17．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的值域和单调减区间；（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且，，求sin A的值．【解答】解：（1）∵，且∈，，∴所求值域为∈，；由，∈，得：，k∈Z．故所求减区间为：，，∈；（2）∵A，B，C是△ABC的三个内角，，∴，又，即，且∈，，∴．故．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B b cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝4，求△ABC周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依正弦定理可将化为：（2分）因为在sin B＞0中，sin B＞0，所以，即，∵0＜A＜π，∴．…（Ⅱ）因为＝a+b+c＝4+b+c的周长＝a+b+c＝4+b+c，所以当b+c最大时，△ABC的周长最大，解法一：因为a2＝c2+b2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，…（7分）因为a＝4，且，∴16，即b+c≤8（当且仅当b＝c＝4时等号成立）…（11分）所以△ABC周长的最大值为12．…解法二：因为，所以b+c（sin B+sin C）[sin B+sin（）]（sin B+sin cos B﹣cos sin B）（sin B cos B）＝8sin（B），由＜0得，0＜B＜，当B时，8sin（B）＝8，b+c取到最大值是8，所以△ABC周长的最大值为12．19．已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a5＝5，且a2，a4，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求：数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），据题得，解得，d．∴数列{a n}的通项公式为；（2）由，得．令，则，∴，∴，∴T n．20．已知数列{a n}为递增的等比数列，a1•a4＝8，a2+a3＝6．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+log2a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1•a4＝a2•a3＝8及a2+a3＝6…（2分）得或（舍）…（4分）所以，a1＝1所以（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得（7分）所以T n＝b1+b2+…+b n＝（20+21+…+2n﹣1）+（1+2+…+n）（13分）21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为棱形，面P AD⊥面ABCD，P A＝PD＝5，AD ＝6，∠DAB＝60°，E为AB的中点．（1）证明：AC⊥PE；（2）求二面角D﹣P A﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，OE，BD，∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，∵O、E分别为AD，AB的中点，∴OE∥BD，∴AC⊥OE．∵P A＝PD，O为AD的中点，∴PO⊥AD，又∵面P AD⊥面ABCD，面P AD∩面ABCD＝AD，∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，∵OE∩OP＝O，∴AC⊥面POE，∴AC⊥PE；（2）解：连接OB，∴ABCD为菱形，∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°，∴△DAB为等边三角形，又O为AD的中点，∴BO⊥AD，∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥OA，∴OP、OA、OB两两垂直．以OA、OB、OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O﹣xyz，则A（3，0，0），B（0，3，0），P（0，0，4），（0，，0）为平面P AD的法向量，设面P AB的法向量，，，∵，，，，，，则，即，取x＝1，则，，，∴cos＜，＞，结合图形可知二面角D﹣P A﹣B的余弦值为．22．已知在x＝1与处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对∈，时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∵在x＝1与处都取得极值，∴f'（1）＝0，．∴，解得；（2）由（1）可知，令，解得x＝1或，∵∈，，∴f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．，，而f（）﹣f（1）＝（ln4）﹣（）ln4＞0，所以f（）＞f（1），即f（x）在，上的最大值为ln4．对∈，时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）max＜c，即ln4＜c，所以实数c的取值范围为c＞ln4．。

2019-2020学年辽宁省六校协作体高三(上)期中数学试卷试题及答案(理科)

2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B =ð )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 3．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为( ) A． B ．12-C ．12D4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．35．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为( ) A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是( ) A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC +⊥7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是( )A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为88．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于( ) A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 249．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑ )A ．2019-B ．0C ．2D ．201910．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)m -C ．1)m -D ．1)m -11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是( ) A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13．函数10lgx y =的值域是．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a 夹角的正弦值等于． 15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是． 16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BDDC的值为，ABC ∆的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在[,]44ππ-上的单调性．18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…．（1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x >．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ；（Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++…．（2）求证：a b c ++．2019-2020学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合2{|230}A x x x =-->，{|24}B x x =<<，则()(U A B =ð )A ．[1-，4]B ．[1-，4)C ．[2，3)D ．(2，3]【解答】解：全集U R =，集合2{|230}{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >， {|13}U A x x =-剟ð，又集合{|24}B x x =<<，所以(){|23}(2U A B x x =<=…ð，3]．故选：D ．2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球” 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，与“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于B 、“至少有1个白球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，“至多有1个红球”包括“两个白球”和“一白一红”两种情况，不是互斥事件，不符合题意；对于C 、“恰有1个白球”即“一白一红”，与“恰有2个白球”是互斥不对立事件，对于D 、“至多有1个白球”包括“两个红球”和“一白一红”两种情况，和“都是红球”不是互斥事件，不符合题意；故选：C ．3．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为( ) A． B ．12-C ．12D【解答】解：cos 2cos )sin()4αααπα==+=-， ∴1cos sin 2αα+=，故选：C ．4．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则f （1）g +（1）(= ) A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：由32()()1f x g x x x -=++，将所有x 替换成x -，得32()()1f x g x x x ---=-++，根据()()f x f x =-，()()g x g x -=-，得32()()1f x g x x x +=-++，再令1x =，计算得，f （1）g +（1）1=．故选：C ．5．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为( ) A ．3πB ．6πC ．2πD ．23π 【解答】解：在ABC ∆中，cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=， ∴由于A 为三角形内角，可得2A π=．故选：C ．6．ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是( )A ．||1b =B ．a b ⊥C ．1a b =D ．(4)a b BC +⊥【解答】解：因为已知三角形ABC 的等边三角形，a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，又AC AB BC =+，∴b 的方向应该为BC 的方向．所以12a AB =，b BC =，所以||2b =，12cos1201a b =⨯⨯︒=-，4412cos1204a b =⨯⨯⨯︒=-，24b =，所以240a b b +=，即(4)0a b b +=，即(4)0a b BC +=，所以(4)a b BC +⊥；故选：D ．7．若样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则对于样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +，下列结论正确的是( )A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为8【解答】解：样本11x +，21x +，31x +，⋯，1n x +的平均数是10，方差为2，则数据1x ，2x ，3x ，⋯，n x 的平均数是9，方差是2；所以样本122x +，222x +，322x +，⋯，22n x +的平均数是22920+⨯=，方差为2228⨯=．故选：D ．8．等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯的第四项等于( ) A ．3B ．4C ．3log 18D ．3log 24【解答】解：等差数列3log (2)x ，3log (3)x ，3log (42)x +，⋯， 333log (2)log (42)2log (3)x x x ∴++=，(4)0x x ∴-=，又20x >，4x ∴=，∴等差数列的前三项分别是3log 8，3log 12，3log 18，3333log 12log 82d log =-=， ∴第四项为333318log 2732log log +==．故选：A ．9．已知()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且满足(1)(1)(1)(1)0f x f x f x f x --+-=--+=，若f （1）2=，则20191()(i f i ==∑ )A ．2019-B ．0C ．2D ．2019【解答】解：因为(1)(1)0f x f x --+=，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为(1)(1)0f x f x --+-=，所以(2)()0f x f x -+=，即(2)()f x f x -=-，(4)()f x f x -=，所以函数()f x 的周期为4，因为(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --+-=--+，所以(1)(1)f x f x --=-+，所以函数()f x 关于原点对称，令1x =-，(1)(1)f x f x --=-+，所以(0)0f =，所以(0)f f =（2）f =（4）0=， f （3）(1)f f =-=-（1）2=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）0=，因为201950443=⨯+，所以20191()i f i f ==∑（1）f +（2）f +（3）20(2)0=++-=，故选：B ．10．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．1)mB ．1)m -C ．1)m -D ．1)m -【解答】解：如图，15DAB ∠=︒， tan 45tan 30tan15tan(4530)21tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==+︒︒．在Rt ADB ∆中，又60AD =，tan1560(2120DB AD ∴=︒=⨯-=-．在Rt ADC ∆中，60DAC ∠=︒，60AD =，tan 60DC AD ∴=︒=．(1201)()BC DC DB m ∴=-=--=-．∴河流的宽度BC 等于1)m -．故选：B ．11．设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【解答】解：当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+， ()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点， 5265πππωπ∴+<…，∴1229510ω<…，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<…，故③正确．故选：D ．12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，12x x <，则下面说法正确的是( ) A ．122x x +D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<【解答】解：212121212()2()2()x x ln a x x lna ln x x ln x x +==+>+，取22e a =，f （2）220e a =-=，22x ∴=，(0)10f =>，101x ∴<<，122x x ∴+>，A 不正确；()x f x e ax =-，()x f x e a ∴'=-，令()0x f x e a '=->，①当0a …时，()0x f x e a '=->在x R ∈上恒成立， ()f x ∴在R 上单调递增．②当0a >时，()0x f x e a '=->，0x e a ∴->，解得x lna >，()f x ∴在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增．函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <， ()0f lna ∴<，0a >， 0lna e alna ∴-<，a e ∴>，B 不正确；(0)10f =>，101x ∴<<，121x x >不一定，C 不正确；()f x 在(,)lna -∞单调递减，在(,)lna +∞单调递增， ∴有极小值点0x lna =，且12022x x x lna +<=，D 正确．故选：D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 13．函数10lgx y =的值域是 (0,)+∞ ．【解答】解，依题意，函数10lgx y =的定义域为{|0}x x >，所以10lgx y x ==，值域为(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞．14．若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则2a b +与a 【解答】解：2(3,3)a b +=，(1,2)a =，设2a b +与a 的夹角为θ，则(2)cos|2|||32a b a a b a θ+===+⨯，且0θπ剟，sin θ∴===． 15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是34，连续两天为优良的概率是12，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 3．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p ，则由题意可得3142p ⨯=，解得23p =，故答案为：23． 16．如图，已知ABC ∆中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1,2AB AD AC ===．则BD DC 的值为 2，ABC ∆的面积为．【解答】解：在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠， ∴12BD AB DC AC ==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α∆=⨯=12sin 2ACD S α∆=⨯=， 112sin 22sin cos 2ABC S ααα∆=⨯⨯⨯=，∴2sin cos αα=，∴解得cos α=4πα=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∆∴=∠∠==．故答案为：12，1．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数2()2cos cos(2)13f x x x π=-+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；（Ⅱ）讨论函数()f x 在[,]44ππ-上的单调性．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）21()2cos cos(2)1cos 2cos 22sin(2)3326f x x x x x x x ππ=-+-=-+=+⋯分 2ω=，∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==，5⋯分令262x k πππ+=+，k Z ∈，解得：26k x ππ=+，k Z ∈， ∴对称轴方程为：26k x ππ=+，7k Z ∈⋯分（Ⅱ）令222262k x k πππππ-++剟，k Z ∈，解得：36k xk ππππ-++剟，k Z ∈，设[,]44A ππ=-，{|36B x k x k ππππ=-++剟，}k Z ∈，可得：[4A B π=-，]6π，9⋯分 ∴当[,]44x ππ∈-时，()f x 在区间[4π-，]6π上单调递增；在区间[6π，]4π上单调递减14⋯分 18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC∆为锐角三角形，且b =，求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=．因为sin 0A ≠，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ++=︒，可得sin cos 22A C B+=，故cos2sin cos 222B B B =．因为cos 02B≠，故1sin22B =，因此60B =︒．（2）ABC∆为锐角三角形，且边b =，60B =︒， ∴由正弦定理2sin sin a cA C===，可得2sin c C =，22sin 2sin()sin 3a A C C C π==-=+， 1sin 2ABC S ac B ∆∴==sin )2sin C C C =+⨯23sin cos 2C C C =+3sin 224C C =)6C π=-，由022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得(6C π∈，)2π，可得2(66C ππ-∈，5)6π，1sin(2)(62C π∴-∈，1]，可得)6ABC S C π∆=-， ABC ∴∆面积的取值范围是． 19．辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．这100名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的数学期望()E X ．【解答】解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是： 1050.051150.41250.31350.21450.05123⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．这100名学生语文成绩的方差是：22222(105123)0.05(115123)0.4(125123)0.3(135123)0.2(145123)0.0596-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）数学成绩在[100，140)之内的人数为14(20.050.40.30.2)1009023⨯+⨯+⨯+⨯=，∴数学成绩在[140，150]的人数为1009010-=人，而数学成绩在[130，140)的人数为0.210020⨯=人， X 可取0，1，2，02102023038(0)87C C P X C ===， 11102023040(1)87C C P X C ===， 2010202303(2)29C C P X C ===， X 的分布列∴384032()0128787293E X =⨯+⨯+⨯=． 20．已知数列{}n a 、{}n b 满足12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…．（1）令n n n c a b =+，n n n d a b =-，证明：{}n c 是等差数列，{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）求数列22{}nn a b -的前n 项和公式n S ．【解答】解：（1）证明：由12a =，11b =，且1111434(2)434nn n n n n a a b n b a b ----=++⎧⎨=++⎩…，相加得114()4()8n n n n a b a b --+=++，即112n n n n a b a b --+=++，又n n n c a b =+，因此12(2)n n c c n --=…，又1113c a b =+=，所以数列{}n c 是首项为3，公差为2的等差数列；相减可得114()2()n n n n a b a b ---=-，即112()n n n n a b a b ---=-，又n n n d a b =-，因此11(2)2n n d d n -=…，又1111d a b =-=，所以数列{}n d 是首项为1，公比为12的等比数列；（2）由（1）知1121,()2n n n c n d -=+=，即1211()2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1111(),()2222n n n n a n b n =++=+-；（3）2211()()(21)()2n n n n n n n n n a b a b a b c d n --=+-==+，0221111113()57()(21)()(21)()22222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-++，23111111135()7()(21)()(21)()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-++，两式相减可得11111132()(21)22422n n n S n -=+++⋯+-+111(1)12232(21)1212n n n --=+-+-，化简可得1110(25)()2n n S n -=-+．21．已知函数21()22f x ax ax lnx =-+有两个极值点1x 、2x ，且1212x x >．（Ⅰ）求实数a 的取值范围M ；（Ⅱ）若0[1x ∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，求实数b 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对函数求导可得，2121()2(0)ax ax f x ax a x x x -+'=-+=>，⋯（2分）令()0f x '=可得2210ax ax -+=∴21212044012a a a x x x x ≠⎧⎪=->⎪⎪⎨+>⎪⎪>⎪⎩，即2044020112a a a a ≠⎧⎪->⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，⋯（4分）解得a 的取值范围(1,2)M =． ⋯（6分）（Ⅱ）由2210ax ax -+=，解得12x x ==而()f x 在1(0,)x 上递增，在1(x ，2)x 上递减，在2(x ，)+∞上递增 12a <<，∴211x =+< ()f x ∴在[1，2]单调递增 ∴在[1+，2]上，()max f x f =（2）22a ln =-+． ⋯（7分）0[1x ∴∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a b a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立，等价于不等式222(1)(1)(1)22a ln ln a b a a ln -+++>--++恒成立即不等式2(1)210ln a ba a b ln +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立．⋯（8分）令g （a ）2(1)21ln a ba a b ln =+--+-+，则g （1）0=．，12(1)2()1ba a b g a a -++'=+，①当0b …时，12(1)2()01ba a b g a a -++'=<+，g （a ）在(1,2)上递减．g （a ）g <（1）0=，不合题意．②当0b <时，12(1)2()1ba a b g a a -++'=+，12a <<若1(112b -+>，即104b -<<时，则g （a ）在(1,2)上先递减， g （1）0=，12a ∴<<时，g （a ）0>不能恒成立；若1(1)12b -+…，即14b -…时，则g （a ）在(1,2)上单调递增， g ∴（a ）g >（1）0=恒成立，b ∴的取值范围为(-∞，1]4-⋯请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是tan ()2y x πααπ=<<，曲线1C 的参数方程是cos (sin x a a y a ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程；（2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于O ，M 两点，l 与2C 交于O ，N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解答】解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得tan tan θα=， l ∴极坐标方程是(,)2R πθαραπ=∈<<．1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=；（2）1:cos C ρθ=，2:2sin C ρθ=，将θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．222||||||2cos 2cos sin OM OM ON ααα∴+=-sin(2)14πα=-+．2παπ<<，∴当78πα=时，22||||||OM OM ON +1+． [选修4-5：不等式选讲]23．设0a >，0b >，0c >，1ab bc ca ++=．（1）求证：111a b c bc ca ab a b c++++…．（2）求证：a b c ++．【解答】证明：（1）2a b bc ca c+=…，同理2b c ca ab a +…，2a c bc ab b+…，∴111a b c bc ca ab a b c++++…；（2）由（1）得222a b c ab bc ca ++++…． 1ab bc ca ++=，2221a b c ∴++…． 2222222()2222a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++=+++． 2()3a b c ∴++…，即a b c ++．。

辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)

辽宁省六校协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x||x −1|≤1}，N ={x|y =lg(x 2−1)}，则M ∩∁R N =( )A. [1,2]B. [0,1]C. (−1,0)D. (0,2) 2. 不等式2x+1<1的解集是( )A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)D. (−1,1) 3. 已知cosα=79，且α是第四象限角，则sin(α−π4)=( )A. 23B. −23C. 8−7√218 D. −8+7√2184. 已知平面向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(4,m)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则向量5a ⃗ −3b ⃗ =( )A. (−7,−16)B. (−7,−34)C. (−7,−4)D. (−7,14)5. 据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ={m|a m <b m ,m =1,2，…，n}，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A <B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A. 若A <B ，B <C ，则A <CB. 若A <B ，B <C 同时不成立，则A <C 不成立C. A <B ，B <A 可同时不成立D. A <B ，B <A 可同时成立6. 在等差数列{a n }中，a 2=1，S 5=15，则a 4等于( )A. 3B. 5C. 6D. 8 7. 设a =1.60.3，b =log 219，c =0.81.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a 02x ,x ≤0.则f[f(127)]的值为( ) A. 18 B. 4 C. 2 D. 1410. 已知变量x ，y ，满足约束条件{y ≤3x +2y ≥12x −y ≤2，则z =3x +y 的最大值为( )A. 3B. 12C. 212D. 1011. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2−3x 在x =±1处取得极值，过点A(1,m)作曲线y =f(x)的切线，若−3<m <−2，则满足条件的切线条数是( )A. 1B. 2C. 3D. 1或212. 函数f(x)=ln(x +√x 2+1)，若f(2a +5)+f(4+b)=0，则2a +b =( )A. −1B. 1C. −9D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，A =45°，C =105°，a =√2，则b 的长度______ ．14. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15. 已知a >0，则(a+1)2a 的最小值为______．16. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n 2，n ∈N ∗.设b n =2a n +(−1)n a n ，则数列{b n }的前100项和为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 20.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)求f (x +π6)在区间[−π6,2π3]上的单调区间和最值；18. 讨论函数f(x)=12x 2−(a +2)x +2aln x(a >0)的单调性．19.在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=(2c+a)cos(π−B)．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=4，△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．20.已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=a n⋅3n(n∈R)，求数列{b n}的前n项和s n．21.已知函数f(x)=e x+ax+b，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ex−y−2=0．(1)求函数f(x)的解析式，并证明：f(x)≥x−1．(2)已知g(x)=kx−2，且函数f(x)与函数g(x)的图象交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且线段AB的中点为P(x0,y0)，证明：f(x0)<g(1)<y0．22.在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点(−2,−4).以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ−4cosθ=0．(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；(2)两曲线相交于M，N两点，若P(−2,−4)，求|PM|+|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x+a|+|x−1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥x+8的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≤|x−5|的解集包含[0,2]，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合M ={x||x −1|≤1}={x|−1≤x −1≤1}={x|0≤x ≤2}=[0,2]，N ={x|y =lg(x 2−1)}={x|x 2−1>0}={x|x <−1或x >1}=(−∞,−1)∪(1,+∞)；∴∁R N =[−1,1]；∴M ∩∁R N =[0,1]．故选：B ．化简集合M 、N ，求出∁R N ，再计算M ∩∁R N.本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：A解析：解：∵2x+1<1，∴2x+1−1=2−x−1x+1<0，即x−1x+1>0， ∴{x −1>0x +1>0或{x −1<0x +1<0，解得x >1或x <−1，∴不等式2x+1<1的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞)，故选：A ．将原不等式转化为x−1x+1>0，解相应的不等式组即可求得答案．本题考查分式不等式的解法，转化为x−1x+1>0是关键，着重考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 3.答案：D解析：由已知求得sinα，然后展开两角差的正弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．解：由cosα=79，且α是第四象限角，得sinα=−√1−cos2α=−4√29．∴sin(α−π4)=sinαcosπ4−cosαsinπ4=−4√29×√22−79×√22=−8+7√218．故选D．4.答案：A解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =4−2m=0，解得m=2，∴5a⃗−3b⃗ =(5,−10)−(12,6)=(−7,−16)．故选A．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．5.答案：C解析：本题考查了简单合情推理，属于基础题．利用特例法，即可判断C正确．解：例如蔬菜A连续10天的价格分别为1，2，3，4， (10)蔬菜B连续10天的价格分别为10，9，…，1时，A≺B，B≺A同时不成立，故选C．6.答案：B解析：解：等差数列{a n}中，a2=1，S5=15，∴S5=5⋅a1+a52=5a3=15，∴a3=3；∴d=a3−a2=2，∴a4=a3+d=3+2=5．故选：B．根据等差数列的定义与性质，求出a3与公差d，即可求出a4．本题考查了据等差数列的定义与性质以及前n项和的应用问题，是基础题．7.答案：C解析：本题考查比较大小，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．利用中间值0，1，得出a ，b ，c 的范围，可得答案．解：a =1.60.3>1，b =log 219<0，c =0.81.6∈(0,1)．可得b <c <a ．故选：C ． 8.答案：C解析：本题主要考查三角函数的定义域与值域以及正弦、余弦函数的图像与性质，属于一般题．解析：解：根据题意可得1+a =0解得a =−1，故选C ．9.答案：A解析：解：∵函数f(x)={log 3x, x >02x ,x ≤0.， ∴f(127)=log 3127=−3，f[f(127)]=f(−3)=2−3=18．故选：A ．利用分段函数的性质求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题． 10.答案：C。

辽宁省凌源市联合校2019_2020学年高一数学上学期期中试题

辽宁省凌源市联合校2019-2020学年高一数学上学期期中试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 笔把答题卡上对应的题目的答案的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效，3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题5分，共60分）1、已知集合}4,3,2,1{=M，}0)5)(2(|{〈--=x x x N ，则=N M （）A ．{3,4}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{3,4,5}2、已知a ，b ，c ，d∈R，则下列不等式中恒成立的是（） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，则22ac bc >C ．若a ＞b ＞0，则（a ﹣b ）c ＞0D ．若a ＞b ，则a ﹣c ＞b ﹣c3、命题“22,x R x x<∈∃”的否定为（）A. 22,x R x x>∈∃ B ． 22,x R x x<∈∀ C. 22,x R x x≥∈∃ D ．22,x R x x≥∈∀4、下图中，能表示函数)(x f y =的图象的是( )A ．B ．C ．D ．5“1＜x ＜2”是“｜x ｜＞1”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知32)2(+=+x x f ，则)(x f 的解析式为( )A ．12)(+=x x fB ．12)(-=x x fC ．32)(-=x x fD ．32)(+=x x f7、已知0<b<a<1，则在b a a bb a b a ,,,，中最大值是（）A ．B ．C ．D ．8、函数x xx f -=1)(的图象关于（）A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称9、函数2)(-+=x e x f x的一个零点所在的区间为（） A ．（-2,-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2） 10、如图，设，，，，且不等于1，xxxxd y c y b y a y ====,,,，在同一坐标系中的图象如图，则d c b a ,,,的大小顺序（）A ．d <<<c b aB ．c db a <<< C ．c a b <<<d D ．d c a b <<<11、若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝91，则)(x f 的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]12、已知函数)(x f 为R 上的奇函数，当x ＜0时，，则xf （x ）≥0的解集为（）A ．[﹣1，0）∪[1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C ．[﹣1，0]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪{0}∪[1，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知a,b 为正实数，且132=+ba ，则a+b 的最小值为______ 14、函数)1a 0(11≠>+=-，a a y x 的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为__________.15、已知函数a x f xx+-=122)(为奇函数，则实数=a ________． 16、若函数)(x f 是偶函数,且在）+∞,0[上是增函数,若1)2(=f ,则满足1)2(2<-x f 的实数x 的取值范围是__________．三、解答题（17题10分，其他每题12分）17、已知集合{|2101}A x m x m =-<<-，{|26}B x x =<<. （1）若m=4，求AB ；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.18、已知函数m x x x f ++=3)(2.(1)当4-=m 时，解不等式0)(≤x f ； (2)若m>0，0)(<x f 的解集为(b ，a)，求ba 41+的最大値.19、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,404)(2x x x x x f ，.（1）若5)(=a f ，求实数a 的值；（2）画出函数的图象,并求出函数)(x f 在区间[-2,2]上的值域.20、设函数()1012axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中a 为常数，且()1316f =．（1）求a 的值；（2）若()4f x ≥，求x 的取值范围．21、已知函数112)(+-=x x x f . （1）求函数的定义域；（2）试判断函数在(-1,+∞）上的单调性，并给予证明；（3）试判断函数在x ∈[3,5]的最大值和最小值.22、已知定义在R 上的函数)(x f 满足：①对任意x ，y ∈R ，有f （x+y ）=f(x)+f(y).②当x ＜0时，f(x)>0且分.f(1)=-3 （1）求证：0)0(=f ；（2）判断函数)(x f 的奇偶性； (3) 解不等式12)()22(-≥--x f x f ；高一数学参考答案一、单项选择1、A2、D3、D4、D5、A6、B7、C8、C9、C 10、C 11、B 12、D 二、填空题13、5+ 14、(12)， 15、12- 16、(2,0)(0,2)- 三、解答题17、解：（1）由题意，代入m 4=，求得结合{}{}A x 2x 3,B x 2x 6=-<<=<<，所以{}A B x 2x 3⋂=<<. （2）因为A B ⊆①当A ,2m 10m 1∅=-≥-即，解得m 9≥，此时满足题意.②A ,2m 10m 1,m 9∅≠-<-<当即且，则210216m m -≥⎧⎨-≤⎩则有6m 7≤≤，综上：6m 7≤≤或m 9≥.18、解：（1）当m ＝﹣4时，不等式f （x ）≤0，即为x 2+3x ﹣4≤0可得：（x+4）（x ﹣1）≤0，即不等式f （x ）≤0的解集为[﹣4,1]． (2)由题()0f x =的根即为a,b,故a+b=-3,ab=m>0，故a,b 同负，则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2,1-=-=b a 等号成立19、解：（1）1）当0a ≥时，()245f a a =+=得1a =；2）当0a <时，()45f a a =-=得1a =-. 由上知1a =或1-. （2）图象如下：∵()()()()204,2248,2426f f f ==+=-=--=，∴由图象知函数()f x 的值域为[]4,8.20、解：（1）因为()1012axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()1316f =，所以10341112162a-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =；（2）由（1）知102142x-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，转化为2102242x -≥=，所以1022x -≤-，解得：6x ≥，故取值范围[)6,+∞.21、解：（1）∵函数()211x f x x -=+，10x +≠；∴1x ≠-.∴函数的定义域是{|1}x x ≠-；（2）∵()213211x f x x x -==-++， ∴函数()f x 在()1，-+∞上是增函数，证明：任取1x ，()21x ∈-+∞，，且12x x <，则()()1212332211f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭213311x x =-++()()()1212311x x x x -=++ ∵121x x -<<， ∴120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -< 即()()12f x f x <， ∴()f x 在()1，-+∞上是增函数.（3）∵()f x 在()1，-+∞上是增函数，∴()f x 在[]35，上单调递增，它的最大值是()25135512f ⨯-==+ 最小值是()23153314f ⨯-==+.22、解：（1）证明：令0x y ==，()()()000f f f =+， ∴()00f =，（2）令y x =-， ∴()()()00f f x f x =-+=∴()()f x f x =--. ∴函数()f x 是奇函数.（3）设12x x <，则120x x -<， ∴()()()()()1212120f x f x f x f x f x x -=+-=->∴()f x 为R 上减函数.∵()()()()()2222212f x f x f x f x f x --=-+-=-≥-，()()12414f f -==.∴24x -≤即6x ≤. ∴不等式()()2212f x f x --≥-的解集为{|6}x x ≤.。

辽宁省朝阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷(理科)(II)卷

辽宁省朝阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·郏县期中) 对于非空集合A ， B ，定义运算：，已知，，其中a、b、c、d满足，，则（）A .B .C .D .2. （2分）对于任意向量、下列命题中正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF 与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .4. （2分） (2018高三上·静安期末) “抛物线的准线方程为”是“抛物线的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 掷三颗骰子（各面上分别标以数字1到6的均匀正方体玩具），恰有一颗骰子出1点或6点的概率是（）A .B .C .D .6. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）程序框图是算法思想的重要表现形式，程序框图中不含（）A . 流程线B . 判断框C . 循环框D . 执行框8. （2分）以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线渐近线方程是（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±x9. （2分） (2017高一下·河口期末) 在中，角对边分别为，且，则（）A . 或B .C .D . 或10. （2分）函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高三上·会宁期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A . 12B . 10C . 8D . 212. （2分） (2016高二下·新余期末) 若函数f（x）对任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，则（）A . 3f（ln2）＞2f（ln3）B . 3f（ln2）=2f（ln3）C . 3f（ln2）＜2f（ln3）D . 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·重庆理) 已知复数z= （i是虚数单位），则|z|=________．14. （1分） (2018高二上·会宁月考) 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 ,则的取值范围是 ________。

辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学(理)试题

辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学（理）试题一、单选题(★★★★★) 1 . 复数的虚部是（）A．4B．-4C．2D．-2(★★★★★) 2 . 集合，，则（）A．B．C．D．(★★★★) 3 . 设，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★★) 4 . 等差数列的前项和为，且，，则（）A．30B．35C．42D．56(★★★) 5 . 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种B．50种C．60种D．90种(★★★★) 6 . 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为4，第二次输入的的值为5，记第一次输出的的值为，第二次输出的的值为，则（）A．2B．1C．0D．-1(★★) 7 . 如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．(★★★★) 8 . 已知是不重合的平面，是不重合的直线，则的一个充分条件是（）A．，B．，C．，，D．，，(★★★) 9 . 已知双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．(★★★) 10 . 各项均为正数的等比数列的前项和，若，，则的最小值为（）A．4B．6C．8D．12(★) 11 . 中，，，，中，，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★★) 12 . 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．(★★★) 13 . 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，，则__．(★★) 14 . 四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为____．三、解答题(★★★★) 15 . 设函数 .（1）当时，求函数的值域；（2）中，角的对边分别为，且，，，求的面积.(★★★★) 16 . 世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附:每周累积户外暴露时间（单位：小时）不少于28小时近视人数21393721 不近视人数3375253近视不近视足够的户外暴露时间不足够的户外暴露时间P0.0500.0100.0013.8416.63510.828(★★★) 17 . 如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面互相垂直，为的中点，点在线段上，且，为棱上一点.（1）试确定点的位置，使得平面；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.(★★) 18 . 已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直线的斜率分别为，若动点与的连线斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线.（1）当时，求曲线的方程；（2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围.(★★★) 19 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）曲线与直线交于两点，若，求的值.(★★★) 20 . 已知函数（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.。

2019-2020年高三(上)期中数学试卷

2019-2020年高三（上）期中数学试卷第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）（xx•上海）已知点A（﹣1，﹣5）和=（2，3），若=3，则点B的坐标为（5，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：由的坐标求出的坐标，再由点A的坐标和向量的坐标表示即：终点的坐标减去起点的坐标，求出终点B的坐标．解答：解：由题意知，=3=（6，9），又因点A的坐标是（﹣1，﹣5），则点B的坐标为（6﹣1，9﹣5）=（5，4）．故答案为：（5，4）．点评：本题考查了向量的坐标运算，即根据运算公式和题意求出所求点的坐标．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a1•a7=3a3a4，则数列{a n}的公比q=3．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a1•a7=3a3a4，结合等比数列的性质可得a5=3a4，从而可求公比解答：解：∵a1•a7=3a3a4，∴a3•a5=3a3•a4∴a5=3a4∴q=3故答案为：3点评：本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π﹣α）=﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：由题意求出cosα的值，利用诱导公式化简sin（π﹣α），结合同角三角函数的基本关系式，求出它的值即可．解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，又α∈（﹣，0），故sin（π﹣α）=sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式的应用，考查计算能力，常考题型．5．（5分）已知两个平面α，β，直线l⊥α，直线m⊂β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β．其中正确的命题是①、④．考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．解答：解：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l∥β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故③错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即④正确．故答案为：①④点评：本题考查直线的平行于垂直关系，熟练运用性质定理是解决问题的关键，属基础题．6．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．解答：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．（5分）（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．解答：解：因为f（x）==，所以f（）=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．8．（5分）已知命题p：|5x﹣2|＜3，命题q：，则p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：根据绝对值不等式的性质及一元二次方程的解法分别求出命题p和q的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：命题p：|5x﹣2|＜3，，解得{x|﹣＜x＜1}，命题q：，可得x2+4x﹣5＜0，解得{x|﹣5＜x＜1}，∴{x|﹣＜x＜1}⇒{x|﹣5＜x＜1}，∴p是q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：考查不等式解法及充要条件的判断方法，注意：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；9．（5分）△ABC中，，，，则=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9可求的BC与cosB的关系，然后结合余弦定理即可求解BC解答：解：由向量的数量积可得，=||||cos（π﹣B）=﹣9∴cosB=9∴|BC|cosB=3由余弦定理可得，cosB==∴|BC|=5故答案为：5点评：本题主要考查了向量的数量积的定义及余弦定理在求解三角形中的应用，属于知识的简单应用10．（5分）已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（﹣1，2）．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，由此对于x的不等式求解即可．解答：解：由题意关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），可得=1，且a＜0，关于x的不等式，可变为（x﹣2）（x+1）＜0，即得（x﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜2不等式的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）．点评：本题考查一次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），解出参数a，b所满足的条件，求解分式不等式不等式．考查转化思想．11．（5分）已知等比数列{a n}的首项是1，公比为2，等差数列{b n}的首项是1，公差为1，把{b n}中的各项按照如下规则依次插入到{a n}的每相邻两项之间，构成新数列{c n}：a1，b1，a2，b2，b3，a3，b4，b5，b6，a4，…，即在a n和a n+1两项之间依次插入{b n}中n个项，则c xx= 1951．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n，当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262，而c xx=b1951可求解答：解：由题意可得，，b n=1+（n﹣1）×1=n由题意可得，在数列{a n}中插入的项为，20，1，21，2，3，22，4，5，6，23…2n时，共有项为1+2+…+n+（n+1）==当n=62时，=xx即此时共有xx项，且第xx项为262∴c xx=b1951=1951故答案为：1951点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解题的关键是要准确判断所求项在已知数列中所处的项的位置．12．（5分）△ABC内接于以O为圆心半径为1的圆，且，则△ABC的面积S=．考点：向量在几何中的应用．分析：利用向量的平行四边形法则作出为，据已知条件知与为相反向量得到OD=5，据勾股定理易得OA⊥OB，将三角形分成三个三角形，利用三角形的面积公式求出各个三角形的面积．解答：解：如图，，则．易得OA⊥OB，且，所以．故答案为点评：本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、勾股定理、三角形的面积公式．13．（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣12]．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=4（a2+a4+…+a2n），结合等差数列的性质及求和公式可得关于n的不等式，解不等式可求对n∈N*恒成立，转化为求解函数的最值即可解答：解：a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2n a2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）=﹣4（a2+a4+…+a2n）=，所以﹣8n2+4n≥tn2，所以对n∈N*恒成立，t≤﹣12，故答案为（﹣∞，﹣12]点评：本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用及恒成立与最值求解的相互转化关系的应用．14．（5分）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，B={x|x2﹣2x+1﹣m2≤0，m＞0}，（1）若m=2，求A∩B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）把m=2代入可解得集合A、B，求交集即可；（2）把A∪B=B转化为A⊆B，构建不等式组求解集可得m的取值范围．解答：解：（1）由得，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}（3分）由m=2知x2﹣2x+1﹣m2≤0化为（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴B={x|﹣1≤x≤3}（6分）∴A∩B={x|2＜x≤3}（7分）（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，（8分）又∵m＞0，∴不等式x2﹣2x+1﹣m2≤0的解集为1﹣m≤x≤1+m，（11分）∴解得，∴m≥5，∴实数m的取值范围是[5，+∞）（14分）点评：本题为不等式的解法，涉及集合的运算和转化的思想，属基础题．16．（14分）△ABC中，AC=3，三个内角A，B，C成等差数列．（1）若，求AB；（2）求的最大值．考点：等差数列的性质；正弦定理；余弦定理．专题：等差数列与等比数列；解三角形．分析：（1）由A，B，C成等差数列易得，进而可得，由正弦定理可得答案；（2）由余弦定理可得32=a2+c2﹣ac，结合基本不等式可得结论．解答：解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴，（2分）又，∴，（4分）由正弦定理得：，所以；（7分）（2）设角A，B，C的对边为a，b，c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+c2﹣ac，（9分）又a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取到等号，所以9=a2+c2﹣ac≥ac（11分）所以，所以的最大值是．（14分）点评：本题为三角形与基本不等式的结合，涉及等差数列的定义和向量的数量积，属中档题．17．（15分）如图，四边形ABCD为正方形，在四边形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，．（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）CP上是否存在一点R，使QR∥平面ABCD，若存在，请求出R的位置，若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）要证明线面垂直PQ⊥平面DCQ，根据其判定定理，需要证明PQ垂直于平面DCQ内的两条相交直线，由已知可证明CD⊥PQ，只要再证明PQ⊥DQ即可．（2）只要分别取PC、CD的中点，再利用三角形的中位线和平行四边形的判定与性质即可得到结论．解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，由四边形ABCD为正方形知DC⊥AD，又QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，∴PQ2+DQ2=PD2．由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．法二：∵QA⊥平面ABCD，QA⊂平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD．又CD、QD为平面ADCB内两条相交直线，∴PQ⊥平面DCQ．（2）存在CP中点R，使QR∥平面ABCD．证：取CD中点T，连接QR，RT，AT，由三角形的中位线定理得：RT∥DP，且RT=DP，又AQ∥DP，且AQ=DP，从而AQ∥RT，且AQ=RT，∴四边形AQRT为平行四边形，所以AT∥QR．∵QR⊄平面ABCD，AT⊂平面ABCD，∴QR∥平面ABCD．即存在CP中点R，使QR∥平面ABCD点评：掌握线面、面面平行和垂直的判定与性质定理是解题的关键．18．（15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）利用该厂计划从xx年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，可得该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量，进而可得啤酒与葡萄酒的年生产量之和，利用基本不等式，可求最值；（2）利用葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的，建立不等式，即可求得结论．解答：解：设从2011年起，该厂第n年啤酒和葡萄酒年生产量分别为a n吨和b n吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为A n吨和B n吨．（1）设第n年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为D n吨，依题意，=，=500×2n，（n∈N*），（4分）则D n=a n+b n=+500×2n=，当且仅当，即n=3时取等号，故xx年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨．（7分）（2）依题意，，得B n≥2A n，∵，，∴1000（2n﹣1）≥，∵2n﹣1＞0，∴2n≥64=26，∴n≥6，从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的．（15分）点评：本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的通项与求和，属于中档题．19．（16分）已知函数，且f（1）=1，f（﹣2）=4．（1）求a、b的值；（2）已知定点A（1，0），设点P（x，y）是函数y=f（x）（x＜﹣1）图象上的任意一点，求|AP|的最小值，并求此时点P的坐标；（3）当x∈[1，2]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得关于a，b的（2）由（1）可知，利用两点间的距离个公式代入，结合x的范围可求x+1=t＜0，然后结合基本不等式式即可求解（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，则0＜m＜1或m＞2．法一：问题化为对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，从而可转化为求解函数的最值，利用函数的单调性即可求解法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，结合函数的性质可求解答：解：（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．得解得：（3分）（2）由（1），所以，令x+1=t，t＜0，则=因为x＜﹣1，所以t＜0，所以，当，所以，（8分）即AP的最小值是，此时，点P的坐标是．（9分）（3）问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．法一：在0＜m＜1或m＞2下，问题化为对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m对x∈[1，2]恒成立，①当x=1时，或m＞2，②当x≠1时，且对x∈（1，2]恒成立，对于对x∈（1，2]恒成立，等价于，令t=x+1，x∈（1，2]，则x=t﹣1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]递增，∴，，结合0＜m＜1或m＞2，∴m＞2对于对x∈（1，2]恒成立，等价于令t=x﹣1，x∈（1，2]，则x=t+1，t∈（0，1]，，t∈（0，1]递减，∴，∴m≤4，∴0＜m＜1或2＜m≤4，综上：2＜m≤4（16分）法二：问题即为对x∈[1，2]恒成立，也就是对x∈[1，2]恒成立，（10分）要使问题有意义，0＜m＜1或m＞2．故问题转化为x|x﹣m|≤m对x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|①若0＜m＜1时，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，依题意g（2）≤m，，舍去；②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即2＜m≤4，g（x）的最大值是，依题意，即m≤4，∴2＜m≤4；（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]时单调递增，故g（2）≤m，∴2（m﹣2）≤m，∴m≤4，舍去．综上可得，2＜m≤4（16分）点评：本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式，及基本不等式在求解函数的值域中的应用，函数的恒成立问题与函数最值求解中的综合应用．20．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．第二部分（加试部分）三、（共4小题，满分40分）21．（10分）已知圆的极坐标方程为：，将此方程化为直角坐标方程，并求圆心的极坐标．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：选作题．分析：先将方程：展开并化为ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，再利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可化为普通方程．解答：解：由，得ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心直角坐标是（1，﹣1），∴，，∴，∴圆心的极坐标为．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程，掌握互化公式及化简方法是解题的关键．22．（10分）如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，已知AB=3，AD=4，AA1=2，M是棱A1D1的中点，求直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角．专题：空间角．分析：先建立空间坐标系，分别求出向量与平面BB1D1D的法向量的坐标，再利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ=即可求出．解答：解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1为坐标轴，建立O﹣xyz坐标系，则，，，设平面BDD1B1的一个法向量为=（x，y，z）由，可得z=0，令x=3，则y=﹣4，可得平面BB1D1D的一个法向量=（3，﹣4，0），∴．设直线AM与平面BB1D1D所成的角是θ，则sinθ====．故直线AM与平面BB1D1D所成角的正弦值是．点评：正确利用公式直线AM与平面BB1D1D所成的角θ，则sinθ==是解题的关键．23．（10分）袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．（1）求得分X不大于6的概率；（2）求得分X的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，所以得分x=5，6，8，因为从袋中随机地抽取4个球，总共有种取法，然后根据概率公式进行求解；（2）根据题意求得分X的数学期望，x可以取5，6，7，8，分别求出相对应的概率，然后列出分布列，然后利用数学期望公式进行求解；解答：解：（1），，（4分）（2）得分X的所有可能值为：5，6，7，8，，，，，得分X的分布列为X 5 6 7 8PEX=．（10分）点评：此题主要考查离散型随机变量的期望与公式，这是高考必考的热点问题，比较简单，是一到中档题；24．（10分）设函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若a1=2，试比较a2与a3的大小；（2）若0＜a1＜1，求证：0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立．考点：数学归纳法；数列与函数的综合．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接利用函数f（x）=x﹣sinx，数列{a n}满足a n+1=f（a n），可得a3﹣a2＜0，从而可得结论；（2）证题的关键是n=k+1时，结论成立，利用函数是（0，1）上的单调递增函数即可．解答：（1）解：a1=2时，a2=f（2）=2﹣sin2∈（0，2），所以sina2＞0，所以a3﹣a2=﹣sina2＜0，所以a2＞a3．（4分）（2）证明：①n=1时，结论成立；②设n=k时，0＜a k＜1，则当n=k+1时，a k+1﹣a k=﹣sina k＜0，即a k+1＜a k＜1，（6分）当x∈（0，1）时，f'（x）=1﹣cosx＞0，即f（x）是（0，1）上的单调递增函数，所以a k+1=f（a k）＞f（0）=0，即0＜a k+1＜1即n=k+1时，结论成立，综上可得，当0＜a1＜1时，0＜a n＜1对任意n∈N*恒成立，（10分）点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．。

辽宁省凌源市2019届高三理数第一次联合模拟考试试卷

辽宁省凌源市2019届高三理数第一次联合模拟考试试卷一、单选题 (共11题；共22分)1．（2分）复数(1−i)(3+i)的虚部是（）A．4B．-4C．2D．-2 2．（2分）集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|log3x≤1}，则A∩B=（）A．{x|−1≤x≤2}B．{x|0<x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≤−1或x〉2}3．（2分）设a=(57)37，b=(37)57，c=(37)37，则a,b,c的大小关系为（）A．b<c<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b4．（2分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10=16，a8=11，则S7=（）A．30B．35C．42D．565．（2分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种B．50种C．60种D．90种6．（2分）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1−a2=（）A．2B．1C．0D．-17．（2分）如图，在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y=e x的切线，切点为P，过点P 分别作 x,y 轴的垂线，垂足分别为 A,B ，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A ．e−22eB ．e−12eC ．e−2eD ．e−1e8．（2分）已知 α,β 是不重合的平面， m,n 是不重合的直线，则 m ⊥α 的一个充分条件是（）A ．m ⊥n ， n ⊂αB ．m//β ， α⊥βC ．n ⊥α ， n ⊥β ， m ⊥βD ．α∩β=n ， α⊥β ， m ⊥n9．（2分）双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 (a >0,b >0) 的左焦点为 F(−√5,0) ，点 A 的坐标为 (0,2) ，点 P 为双曲线右支上的动点，且 ΔAPF 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．（2分）各项均为正数的等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n ，若 a 2a 6=4 ， a 3=1 ，则 (S n +94)22a n的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．1211．（2分）RtΔABC 中， ∠ABC =900 ， AB =2√3 ， BC =4 ， ΔABD 中， ∠ADB =1200 ，则 CD 的取值范围是（） A ．[2√7−2,2√7+2] B ．(4,2√3+2] C ．[2√7−2,2√3+2]D ．[2√3−2,2√3+2]二、填空题 (共3题；共3分)12．（1分）甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是．13．（1分）已知函数f(x)是定义域为(−∞,+∞)的偶函数，且f(x−1)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=1−x3，则f(292)=．14．（1分）四面体A−BCD中，AB⊥底面BCD，AB=BD=√2，CB=CD=1，则四面体A−BCD的外接球的表面积为．三、解答题 (共6题；共60分)15．（10分）设函数f(x)=sin(2x−π6)+2cos2x.（1）（5分）当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域；（2）（5分）ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且f(A)=32，√2a=√3b，c= 1+√3，求ΔABC的面积.16．（10分）世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（1）（5分）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（2）（5分）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附: K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)17．（10分）如图，在三棱锥D−ABC中，ΔABC与ΔBDC都为等边三角形，且侧面BCD与底面 ABC 互相垂直， O 为 BC 的中点，点 F 在线段 OD 上，且 OF =13OD ， E 为棱 AB 上一点.（1）（5分）试确定点 E 的位置，使得 EF// 平面 ACD ；（2）（5分）在（1）的条件下，求二面角 D −FB −E 的余弦值.18．（10分）已知椭圆 C 1 ： x 24+y 2=1 的左、右两个顶点分别为 A,B ，点 P 为椭圆 C 1 上异于 A,B 的一个动点，设直线 PA,PB 的斜率分别为 k 1,k 2 ，若动点 Q 与 A,B 的连线斜率分别为 k 3,k 4 ，且 k 3k 4=λk 1k 2(λ≠0) ，记动点 Q 的轨迹为曲线 C 2 . （1）（5分）当 λ=4 时，求曲线 C 2 的方程；（2）（5分）已知点 M(1,12) ，直线 AM 与 BM 分别与曲线 C 2 交于 E,F 两点，设 ΔAMF 的面积为 S 1 ， ΔBME 的面积为 S 2 ，若 λ∈[1,3] ，求 S1S 2的取值范围.19．（10分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =2+√3cosαy =√3sinα （ α 为参数），直线l 的方程为 y =kx ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）（5分）求曲线 C 的极坐标方程；（2）（5分）曲线 C 与直线 l 交于 A,B 两点，若 |OA|+|OB|=2√3 ，求 k 的值.20．（10分）已知函数 f(x)=|x −4a|+|x|,a ∈R（1）（5分）若不等式 f(x)≥a 2 对 ∀x ∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）（5分）设实数 m 为（1）中 a 的最大值，若实数 x,y,z 满足 4x +2y +z =m ，求 (x +y)2+y 2+z 2 的最小值.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】复数(1−i)(3+i)= 4−2i所以虚部为-2故答案为：D【分析】利用复数代数形式的乘除运算求z，即可得出其虚部.2．【答案】B【解析】【解答】因为B={x|log3x≤1}可得B={x|0<x≤3}，集合A={x|−1≤x≤2}，所以A∩B={x|0<x≤2}故答案为：B【分析】求解集合B，与集合A取交集即可.3．【答案】A【解析】【解答】因为y=(37)x是单调递减的，且b=(37)57，c=(37)37所以b<c；又因为y=x37在(0,+∞)是单调递增的，a=(57)37，c=(37)37所以c<a综上，b<c<a故答案为：A【分析】由指数函数单调性可得a,b,c的大小关系 .4．【答案】B【解析】【解答】因为{a n}是等差数列，所以a2+a10=2a6=16,∴a6=8，所以公差d=a8−a62=32，a1=12根据求和公式S7=7a1+7×62d=35故答案为：B【分析】由等差数列的通项公式求出其公差，再由等差数列的前n项和可求的结果5．【答案】B【解析】【解答】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有C21⋅C101=20若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，所以共有C31⋅C101=30所以共有20+30=50种故答案为：B【分析】分类：若同学甲选牛，有20种；若同学甲选马，有30种，可得结果.6．【答案】D【解析】【解答】当输入x的值为4时，第一次不满足b2>x，但是满足x能被b整除，输出a=0=a1；当输入x的值为5时，第一次不满足b2>x，也不满足x能被b整除，B=3第二次满足b2>x，故输出a=1=a2则a1−a2=-1故答案为：D【分析】运行程序框图可得第一次输出的a的值a1，第二次输出的a的值a2，可得结果. 7．【答案】A【解析】【解答】设切点P(x0,e x0)，y′=e x所以切线方程y−e x0=e x0(x−x0)，又因为过原点所以0−e x0=e x0(0−x0)解得x0=1所以点P (1,e)因为y=e x与x轴在[0,1]围成的面积是∫1e x dx=e−1则阴影部分的面积为e−1−e2=e2−1而矩形OAPB的面积为e故向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为e2−1e=e−22e故答案为：A【分析】由题意，利用模拟方法根据题中数据可得所求概率 .8．【答案】C【解析】【解答】对于答案A ： m ⊥n ， n ⊂α ，得出 m 与 α 是相交的或是垂直的，A 不符合题意；答案B ： m//β ， α⊥β ，得出 m 与 α 是相交的、平行的都可以，B 不符合题意；答案C ： n ⊥α ， n ⊥β ，得出 α//β ，再 m ⊥β 得出 m ⊥α ，C 符合题意；答案D: α∩β=n ， α⊥β ， m ⊥n ，得出 m 与 α 是相交的或是垂直的，D 不符合题意故答案为：C【分析】利用空间中直线与平面之间的位置可得 m ⊥α 的一个充分条件 .9．【答案】D【解析】【解答】由题易知双曲线的右焦点 F 1(√5,0) ，即 c =√5 ， AF =√5+22=3点P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知PF −PF 1=2a,∴PF =PF 1+2a所以 ΔAPF 周长为： AF +AP +PF =AF +AP +PF 1+2a 当点 A,P,F 1 共线时，周长最小即 AF +AF 1+2a =8 解得 a =1 故离心率 e =√5 故答案为：D【分析】根据双曲线的定义可知 ΔAPF 周长，当点 A,P,F 1 共线时，周长最小，可解得 a =1，可得离心率的值.10．【答案】C【解析】【解答】因为 a 2a 6=4 ，且等比数列 {a n } 各项均为正数，所以 a 42=4，a 4=2公比 q =a 4a 3=2，首项 a 1=14所以 S n =a 1(1−q n )1−q =2n −14 ，通项 a n =a 1q n−1=2n−14 所以 (S n +94)22a n =2n 4+162n +4≥2√2n 4⋅162n +4=8当且仅当2n4=162n，∴n=3所以当n=3时，(S n+9 4 ) 22a n的最小值为8故答案为：C【分析】由等比数列的通项公式及前n项和可得首项和公比，代入所求即可求得其最小值.11．【答案】C【解析】【解答】由题，以点B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立直角坐标系；B(0,0);A(2√3,0);C(0,4)设点D(x,y)，因为∠ADB=1200，所以由题易知点D可能在直线AB的上方，也可能在AB的下方；当点D可能在直线AB的上方；直线BD的斜率k1=yx；直线AD的斜率k2=yx−2√3由两直线的夹角公式可得：tan120∘=k2−k11+k2⋅k1⇒−√3=yx−23−y x1+yx−2√3⋅y x化简整理的(x−√3)2+(y+1)2=4可得点D的轨迹是以点M(√3,−1)为圆心，半径r=2的圆，且点D在AB的上方，所以是圆在AB上方的劣弧部分；此时CD的最短距离为：CM−r=√(√3)2+(4+1)2−2=2√7−2当当点D可能在直线AB的下方；同理可得点D的轨迹方程：(x−√3)2+(y−1)2=4此时点D的轨迹是以点N(√3,1)为圆心，半径r=2的圆，且点D在AB的下方，所以是圆在AB下方的劣弧部分；此时CD的最大距离为：CN+r=√(√3)2+(4−1)2+2=2√3+2所以CD的取值范围为[2√7−2,2√3+2]故答案为：C【分析】建立直角坐标系，可得点D的轨迹是以点M(√3,−1)为圆心，半径r=2的圆，即可得出CD的取值范围.12．【答案】乙【解析】【解答】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾；故答案是乙【分析】由题意，进行简单的合情推理，可得会弹钢琴的人.13．【答案】−78【解析】【解答】因为f(x−1)为奇函数，所以f(−x−1)=−f(x−1)∴f(−x−2)=−f(x)又因为f(x)是定义域为(−∞,+∞)的偶函数，所以f(−x)=f(x)即f(−x−2)=−f(−x)∴f(x−2)=−f(x)所以f(x)的周期T=4因为f(292)=f(12+52)=f(52)=−f(52−2)=−f(12)f(12)=1−(12)2=78所以f(292)=−78故答案为−78【分析】由题意f(x)的周期T=4，再利用函数的性质可得所求结果. 14．【答案】4π【解析】【解答】由题意CB=CD=1，BD=√2可得BC ⊥CD，又因为AB⊥底面BCD，所以AB ⊥CD，即CD ⊥平面ABC，所以CD ⊥AC 取AD的中点O，则OC=OA=OB=OD故点O为四面体A−BCD外接球的球心，因为AB=BD=√2所以球半径r=12AD=1故外接球的表面积S=4πr2=4π故答案为 4π【分析】由题意，取AD 的中点O ，易得点O 为四面体 A −BCD 外接球的球心，可得四面体 A −BCD 的外接球的表面积 .15．【答案】（1）解： f(x)=√32sin2x +12cos2x +1=sin(2x +π6)+1∵x ∈[0,π2] ，∴π6≤2x +π6≤7π6∴12≤sin(2x +π6)+1≤2∴函数 f(x) 的值域为 [12,2]（2）解：∵f(A)=sin(2A +π6)+1=32∴sin(2A +π6)=12∵0<A <π ，∴π6<2A +π6<13π6，∴2A +π6=5π6，即 A =π3由正弦定理， ∵√2a =√3b ∴√2sinA =√3sinB ，∴sinB =√22∵0<B <2π3∴B =π4∴sinC =sin(A +B)=√6+√24， ∵ c sinC =42=b sinB ，∴b =2∴S ΔABC =12bcsinA =3+√32【解析】【分析】（1）化简函数f(x)的解析式，利用自变量的取值范围可得函数 f(x) 的值域；（2）解三角形得 A =π3 ， b =2 ，可得 ΔABC 的面积.16．【答案】（1）解：设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件 A ，则 P(A)=C 31C 11C 42=12 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为 12 .（2）解：根据以上数据得到列联表：所以 K 2 的观测值 k =200×(40×40−60×60)(40+60)(60+40)(40+60)(60+40)=8.000>6.635 ，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.【解析】【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可得随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率；（2）根据题中数据完成列联表后，经计算可得 K 2 的观测值，即可得出结论. 17．【答案】（1）解：在 ΔBDC 中，延长 BF 交 CD 于点 M ， ∵OF =13OD , ΔBDC 是等边三角形∴F 为 ΔBDC 的重心∴MF =13BM∵EF// 平面 ACD , EF ⊂ 平面 ABM ，且面ABM ∩面ACD =AM ，∴EF//AM∴AE =13AB ,即点 E 为线段 AB 上靠近点 A 的三等分点（2）解：等边 ΔBCD 中， OD ⊥BC ， OD ⊂平面BCD ，面ABC ⊥面BCD ，交线为 BC ，∴OD ⊥平面ABC如图以 O 为原点建立空间直角坐标系 O −xyz∵ 点 A 在平面 BEF 上，所以二面角 D −FB −E 与二面角 D −FB −A 为相同二面角. 设 AB =2 ,则 OD =OA =√3 ， F(0,0,√33),A(√3,0,0),B(0,1,0)∴BF ⇀=(0,−1,√33),BA ⇀=(√3,−1,0)设平面 AFB 的法向量 μ⇀ =(x,y,z) ，则 {BF ⇀=0BA ⇀=0即 {−y +√33z =0√3x −y =0 ，取 x =1 ，则 μ⇀ =(1,√3,3)又 OA ⊥ 平面 OBD ， OA ⇀=(√3,0,0) ,则 cos < μ⇀ , OA ⇀>=√313×3=√1313又二面角D−FB−E为钝二面角，所以余弦值为−√1313.【解析】【分析】(1)由题意，F为ΔBDC的重心，可得MF=13BM，可得点E为线段AB上靠近点A的三等分点时EF//平面ACD；（2）由题意OD⊥平面ABC，建立空间直角坐标系，利用空间向量可得二面角D−FB−E的余弦值.18．【答案】（1）解：设P(x0,y0)(x0≠±2)，则x024+y02=1，因为A(−2,0),B(2,0)，则k1k2=yx0+2⋅yx0−2=y2x02−4=1−x024x02−4=−14设Q(x,y)(x≠±2)所以k3k4=yx+2⋅yx−2=y2x2−4=λk1k2=−λ4，整理得x 24+y2λ=1(x≠±2).所以，当λ=4时，曲线C2的方程为x2+y2=4(x≠±2).（2）解：设E(x1,y1),F(x2,y2). 由题意知，直线AM的方程为：x=6y−2，直线BM的方程为：x=−2y+2.由（Ⅰ）知，曲线C2的方程为x24+y2λ=1(x≠±2)，联立{x=6y−2λx2+4y2=4λ(x≠±2)，消去x，得(9λ+1)y2−6λy=0，得y1=6λ9λ+1联立{x=−2y+2λx2+4y2=4λ(x≠±2)，消去x，得(λ+1)y2−2λy=0，得y2=2λλ+1S1 S2=12|MA||MF|sin∠AMF12|MB||ME|sin∠BME=|MA||MF||MB||ME|=12y1−12y2−1212=y2−12y1−12=9λ+1λ+1设g(λ)=9λ+1λ+1=9−8λ+1，则g(λ)在[1,3]上递增又g(1)=5,g(3)=7，∴S1S2的取值范围为[5,7]【解析】【分析】（1）由k3k4=λk1k2(λ≠0)计算可得，当λ=4时，求曲线C2的方程；（2）由题意可得 S 1S 2=y 2−12y 1−12，将直线 AM 的方程与直线 BM 的方程分别于 C 2 的方程联立，利用韦达定理可得所求的取值范围.19．【答案】（1）解：由题，曲线 C 的参数方程为 {x =2+√3cosαy =√3sinα（ α 为参数），化为普通方程为： (x −2)2+y 2=3 所以曲线C 的极坐标方程： ρ2−4ρcosθ+1=0（2）解：直线 l 的方程为 y =kx ，的参数方程为 { x =t ⋅1√1+ky =t k √1+k (t 为参数)，然后将直线 l 得参数方程代入曲线C 的普通方程，化简可得： t 2−4√1+k ⋅t +1=0 ， t A +t B =4√1+k t A ⋅t B =1所以 t A >0,t B >0故 |OA|+|OB|=t A +t B =4√1+k =2√3 解得 k =±√33【解析】【分析】（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程即可；（2）将直线 l 得参数方程代入曲线C 的普通方程，化简可得结果. 20．【答案】（1）解：因为 f(x)=|x −4a|+|x|≥|x −4a −x|=4|a| ，所以 a 2≤4|a| ，解得 −4≤a ≤4 .故实数 a 的取值范围为 [−4,4] （2）解：由（1）知， m =4 ，即 4x +2y +z =4 . 根据柯西不等式(x +y)2+y 2+z 2 =121[(x +y)2+y 2+z 2]⋅[42+(−2)2+12]≥121[4(x +y)−2y +z]2=1621等号在 x+y 4=y −2=z 即 x =87,y =−821,z =421 时取得. 所以 (x +y)2+y 2+z 2 的最小值为1621 . 【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式得函数f(x)的最小值，解不等式 a 2≤4|a| 可得实数 a 的取值范围；（2）由题意， 4x +2y +z =4 ，根据柯西不等式可得 (x +y)2+y 2+z 2 的最小值.。