1999年全国高中数学联赛试卷

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1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

即 (s + 1) (t + 1) = - 4. 因此,
kA B
kA C =
2t t2 -
2 1
2s s2 -
2 1
=
(s +
4 1) (t +
1) = -
1.
所以 ∠B A C = 90°, 从而 △A B C 是直角三角形. 故选
(C ).
二、填空题
1. 已知正整数 n 不超过 2000, 并且能表示成不
(C ) 是公比为 q3 的等比数列
(D ) 既非等差数列又非等比数列
解由题设, an = a1qn- 1, 则
bn+ 1 = bn =
a3n+ 1 + a3n+ 2 + a3n+ 3
a3n- 2 + a3n- 1 + a3n a1q3n + a1q3n+ 1 + a1q3n+ 2 a1q3n- 3 + a1q3n- 2 + a1q3n- 1
c2 =
9a2 + 9b2 2 9c2
9c2
=
19c2 2
- 9c2 9c2
=
5 9
.
4.
已知点 P
在双曲线 x 2 16
-
y2 9
=
1 上, 并且 P 到
这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的
两个焦点的距离的等差中项, 那么 P 的横坐标是
.
解记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为 a、b、
36
中学数学 1999 年第 12 期
0 ≤ f (bn+ 1) - f (bn) ≤ (an+ 1 - bn+ 1) 2, 由前面的 f (x ) = n (x - bn) 2 + f (bn) 得

高中数学联赛真题分类排列组合(原卷版)

】
现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个
项
目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为
(用数字
作答).
9.【2008 高中数学联赛（第 01 试）
】
将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校，则每校至少有 1 个名额且各校名额互
不相同的分配方法共有
】
三边均为整数，且最大边长为 11 的三角形，共有
个.
优质模拟题强化训练
1．乒乓球集训队有 10 名队员，每两人组成一对练球，其不同的组对方式共有（
A．972
B．945
C．864
）种．
D．891
2．已知�= 1,2, ⋅⋅⋅ , 216 , � ⊆ �.若集合�中任两个元素的和都不能被 6 整除，则集合�中元素的个数最多为
种.
10.【2007 高中数学联赛（第 01 试）
】
将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小方格
内至多填 1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有
种(用数字作答)
11．【2001 高中数学联赛（第 01 试）
】
在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一场块中种同一
盒子中.一种放法称为"好的",如果 1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好的"放法共有
种.
5. 【2019 高中数学联赛 A 卷（第 01 试）
】
将 6 个数 2、0、1、9、20、19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位
数
(首位不为 0)，则产生的不同的 8 位数的个数为

1999年高考数学试卷全国卷

高考数学试卷一、单选题1.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.25255 D.52.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝5，c ＝2acosA ，则cosA ＝（）A ．13 B ．2 C ．3 D ．64．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A ．16B ．13C ．34D ．56 5.tan 3π=（）A ．33B ．32 C ．1 D 36．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件7.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°8.函数21x y x +=-的定义域为( ) A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞9．2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（）A ．40B ．50C ．80D ．10010.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-12.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A ．120B ．35C ．310D ．910二、填空题 13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（）倍。

高中数学联赛真题

1999年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（）(A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列 2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么【答】（） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )(A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S(D) （M ∩P ）∪S2.已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a(B) 1-a(C) b(D) 1-b4.函数()()()0s i n >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数，且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值M -5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是( )(A) x sin(B) x cos(C) x 2sin(D) x 2cos6.在极坐标系中，曲线⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 ( )(A) 直线3πθ=轴对称(B) 直线πθ65=轴对称 (C) 点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称(D) 极点中心对称7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) cm 36 (B) cm 6(C) cm 3182(D) cm 31238.若(),32443322104x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为( )(A) 1(B) －1(C) 0(D) 29.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 23=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29 (B) 5 (C) 6 (D)215 11.若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α( )(A) ⎪⎭⎫⎝⎛--4,2ππ (B) ⎪⎭⎫⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫⎝⎛4,0π (D) ⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15(C) 20(D) 2513.已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.15.设椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的率心率是_____16.在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有___________种（用数字作答）17.若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是______________18.α、β 是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n②α⊥β③n ⊥β④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：________________________________三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分10分）解不等式()1,01log22log3≠>-<-aaxxaa20.（本小题满分12分）设复数.sin2cos3θθ⋅+=iz求函数⎪⎭⎫⎝⎛<<-=2argπθθzy的最大值以及对应的θ值.21.（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111DCBAABCD-，点E在棱DD1上，截面EAC∥BD1，且面EAC与底面ABCD所成的角为.,45aAB=Ⅰ.求截面EAC的面积；Ⅱ.求异面直线11BA与AC之间的距离；Ⅲ.求三棱锥EACB-1的体积.22.（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.Ⅰ.输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过0r.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度-=）Ⅱ.已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600.mm若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为.kL为了便于检修，请计算1L、2L、3L并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.23.（本小题满分14分）已知函数()xfy=的图像是自原点出发的一条折线，当(),2,1,01=+≤≤nnyn时，该图像是斜率为nb 的线段（其中正常数1≠b ），设数列n x 由()(),2,1==n n x f n 定义.Ⅰ.求1x 、2x 和n x 的表达式；Ⅱ.求()x f 的表达式，并写出其定义域；Ⅲ.证明：()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 24.（本小题满分14分）如图，给出定点()()00,>a a A 和直线B x l .1:-=是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题（本题考查基础知识和基础运算）.1. C2. A3. A4. C5. B6. B7. B8. A9. C10. D 11.B12. D13.D14. C二、填空题（本题考查基本知识和基本运算）.15.2116. 12 17. [)+∞,9 18. n m n m ⊥⇒⊥⊥⊥βαβα,,或βαβα⊥⇒⊥⊥⊥n m n m ,,三、解答题19. 本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.解：原不等式等价于① ② ③()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-.01log 2,1log 22log 3,02log 32x x x x a a a a 由①得,32log ≥x a 由②得,43log <x a 或1log >x a ，由③得.21log >x a由此得,43log 32<≤x a 或.1log >x a当1>a 时得所求的解是{}a x x a x a x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤||4332 ；当10<<a 时得所求的解是{}.0||3243a x x a x a x <<⋃⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤< 20.本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力.解：由20πθ<<得.0>θtg由θθsin 2cos 3i z +=得2arg 0π<<z 及().32cos 3sin 2arg θθθtg tg ==z故 ()z y arg -=θtg tgθθθ232132tg tg tg +-= ,231θθtg tg +=因为,6223≥+θθtg tg所以.126231≤+θθtg tg 当且仅当⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=2023πθθθtg tg 时，即26=θtg 时，上式取等号. 所以当26arctg=θ时，函数y tg 取得最大值.126由z y arg -=θ得.2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ππy 由于在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg21.本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ. 解：如图，连结BD 交AC 于O ，连结EO 因为底面ABCD 是正方形，所以DO ⊥AC又因为ED ⊥底面AC ，因为EO ⊥AC所以∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角. 所以， 45=∠EOD.45sec 22,2,22a a EO a AC a DO =⋅===故.222a S EAC =∆ II. 解：由题设1111D C B A ABCD -是正四棱柱，得A A 1⊥底面AC ，A A 1⊥AC ，又A A 1⊥,11B A所以A A 1是异面直线11B A 与AC 间的公垂线.因为11B D ∥面EAC ，且面BD D 1与面EAC 交线为EO 所以11B D ∥EO 又O 是DB 的中点，所以E 是D D 1的中点，11B D =2EO =2a 所以D D 1.2221a DB B D =-=异面直线11B A 与AC 间的距离为.2a Ⅲ. 解法一：如图，连结11B D 因为D D 1=DB =.2a 所以11B BDD 是正方形，连结D B 1交B D 1于P ，交EO 于Q 因为D B 1⊥B D 1，EO ∥B D 1，所以D B 1⊥EO 又AC ⊥EO ，AC ⊥ED 所以AC ⊥面11B BDD ，所以D B 1⊥AC ，所以D B 1⊥面EAC .所以Q B 1是三棱锥EAC B -1的高. 由DQ =PQ ，得.234311a D B Q B == 所以.42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 解法二：连结O B 1，则112EO B A EAC B V V --= 因为AO ⊥面11B BDD ，所以AO 是三棱锥1EOB A -的高，AO .22a =在正方形11B BDD 中，E 、O 分别是D D 1、DB 的中点（如右图），则.4321a S EOB =∆ ∴.422243312321a a a V EAC B =⋅⋅⋅=- 所以三棱锥EAC B -1的体积是.423a 22. 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力.Ⅰ.解：厚度为α的带钢经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为().10nr a -为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足()β≤-nr a 01即().10ar nβ≤- 由于(),0,010>>-ar nβ对比上式两端取对数，得().lg1lg 0ar n β≤-由于(),01lg 0<-r 所以().1lg lg lg 0r an --≥β因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r a--β的整数对轧辊.Ⅱ. 解法一：第k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积为()⋅-⋅kr a 11600宽度(),%20=r 其中而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为()⋅-⋅41r a L k 宽度.因宽度相等，且无损耗，由体积相等得()=-⋅kr a 11600()41r a L k -⋅ (),%20=r即.8.016004-⋅=k k L 由此得(),20003mm L =(),25002mm L = ()mm L 31251= 填表如下轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）3125250020001600解法二：第3对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有(),2.0116003-⋅=L所以().20008.016003mm L == 同理(),25008.032mm LL ==().31258.021mm LL ==填表如下轧锟序号k1 2 3 4 疵点间距k L （单位：mm ）312525002000160023.本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力.Ⅰ.解：依题意()00=f ，又由()11=x f ，当10≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为10=b 的线段，故由()()10011=--x f x f得.11=x又由()22=x f ，当21≤≤y 时，函数()x f y =的图像是斜率为b 的线段，故由()()b x x x f x f =--1212，即b x x 112=-得.112b x += 记.00=x 由函数()x f y =图像中第n 段线段的斜率为1-n b，故得()().111---=--n n n n n b x x x f x f 又()()1,1-==-n x f n x f n n ；所以 .2,1,111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---n b x x n n n由此知数列{}1--n n x x 为等比数列，其首项为1，公比为.1b因,1≠b 得(),111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=-=--=-∑b b b b b x x x n n nk k k n即.111-⎪⎭⎫⎝⎛-=-b b b x n nⅡ. 解：当10≤≤y ，从Ⅰ可知,x y =当10≤≤x 时，().x x f = 当1+≤≤n y n 时，即当1+≤≤n n x x x 时，由Ⅰ可知()()().3,2,1,1 =≤≤-+=+n x x x x x b n x f n n n n为求函数()x f 的定义域，须对() ,3,2,1111=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n b b b x n n 进行讨论.当1>b 时，111limlim 1-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→∞→b bb b b x n n n n ；当10<b 时，()x f y =的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,0b b ；当10<b ，11-<成立. 用数学归纳法证明：（ⅰ）由Ⅱ知当1=n 时,在(]2,1x 上, ()(),11-+==x b x f y 所以()()()011>--=-b x x x f 成立（ⅱ）假设k n =时在(]1,+k k x x 上恒有()x x f >成立. 可得 (),111++>+=k k x k x f在(]21,++k k x x 上,()().111++-++=k k x x b k x f 所以 ()()x x x b k x x f k k --++=-++111()()()011111>-++--=+++k k k x k x x b 也成立.由(ⅰ)与(ⅱ)知,对所有自然数n 在(]1,+n n x x 上都有()x x f >成立. 即 11-<. 其次，当1x 时,恒有()x x f <成立. 故函数()x f y =的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点. 证法二:首先证明当1>b ,11-<成立. 对任意的,1,1⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈b b x 存在n x ,使1+≤<n n x x x ，此时有 ()()()(),10≥->-=-n x x x x b x f x f n n n所以()().n n x x f x x f ->- 又(),1111n n n x bb n x f =+++>=- 所以()0>-n n x x f ，所以()()0>->-n n x x f x x f ，即有()x x f >成立.其次，当1x 时，恒有()x x f <成立. 故函数()x f 的图像与x y =的图像没有横坐标大于1的交点.24. 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一：依题意，记()(),,1R ∈-b b B 则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和.bx y -=设点()y x C ,，则有a x <≤0，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得.12bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有().1a x aby -+-= 由0≠-a x ，得().1ax y a b -+-= ②将②式代入①式得()()(),11122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y 整理得()()[].0121222=++--y a ax x a y 若0≠y ，则()()()a x y a ax x a <<=++--0012122；若0=y ，则π=∠=AOB b ,0，点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综上得点C 的轨迹方程为()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122（ⅰ）当1=a 时，轨迹方程化为().102<≤=x x y ③此时，方程③表示抛物线弧段；（ⅱ）当1≠a 时，轨迹方程化为()a x a a y a a a a x <≤=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111122222④ 所以，当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段；当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足. （ⅰ）当| BD |≠0时，设点C （x ，y ），则.0,0≠<<y a x 由CE ∥BD 得().1a xa y EADA CE BD +-=⋅=因为∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD =π－∠COA －∠BOD ，所以2∠COA =π－∠BOD 所以(),1222COACOACOA ∠-∠=∠tg tg tg ()BOD BOD ∠-=∠-tg tg π因为,xy COA =∠tg().1a xa y ODBD BOD +-==∠tg所以(),11222a x a y xy x y+--=-⋅整理得()()().0012122a x y a ax x a <<=++--（ⅱ）当| BD | = 0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为（0，0），满足上式. 综合（ⅰ），（ⅱ），得点C 的轨迹方程为()()().0012122a x y a ax x a <≤=++--以下同解法一.。

1999年全国高中数学联赛试卷及答案

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

高中数学联赛专题——组合试题及答案1999-2009

j ,s
)=0 ,
即 y
I ,s
– y
j ,s
= 1
因此 mi n -2 , m j 1 . 于是，m i +m j n -3 2 . 出现矛盾，故 m i +m j=0 ，即 ms(1 s n)恒为常数。根据（*）知，y I ,j = 0 或 y I ,j = 1 。若 y I ,j = 0 ,则 ms=0 , 1 s n 。与已知条件矛盾。因此，y I ,s =1 ms=n-1 , 1 s n . 所以
1
此时，若 5 人中每两人之间都通话一次，则其中任意 3 个人之间通话的总次数为 3 次
综上所述，n=5 为 n 的所有可能值. 3、[01（15）]用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6 的电阻组成一个如图的组件，在组装的过程中如何选择电阻，才能使该组件的电阻值最小？证明你的结论。
联赛试题——排列、组合专题 1、[99（5）]在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了 50 场。那么，在上述 3 名选手之间比赛的场数是（） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2、[00（加试 3）]有 n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 n－2 k 个人之间通电话的次数相等，都是 3 次，其中 k 是自然数，求 n 的所有可能值．解析：显然 n 5. 记 n 个人为 A1，A2， AN ，设 A1 通话的次数为 m1, Ai 与 Aj 之间通话的数为 yij, l i, j n .则 m
这与 k 1 矛盾 . 设 n-2= 3
k1
因此 k2=0 , k1=0 .

1999年全国高中数学联合竞赛第二试试题及参考答案

1999年全国高中数学联赛试题一、选择题(每小题6分，共36分)1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，b n=a3n-2+a3n-1+a3n，...，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则（）(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤04.给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，（）(A)命题I正确，命题II不正确(B)命题II正确，命题I不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)答案不确定二、填空题(每小题9分，共54分)1.已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是____。

2.已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z＝(cos2θ+i sin2θ)/(239+i)的辐角主值是____。

1999年高中数学联赛模拟试题2

x2+y2+z24.3.对任意n∈N,且n≥2,求证33n+14<54·87·1110·…·3n-13n-2<33n-12.4.已知关于x的实系数三次方程x3+ax +bx+c=0有3个实数根α、β、γ,证明:如果|α|<2,|β|<2,|γ|<2,那么,|4a+c|<8+ 2b,且|c|<8.5.设△AB C的三边a、b、c满足2b≤a+c,求证ctg A2+ctg C2≤2ctg B2.6.设△AB C的三边长为a、b、c,求证a2b+c-a +b2c+a-b+c2a+b-c≥bca+cab+abc.7.已知x、y、z∈R+,求证yzx(y+z)2+z xy(z+x)2+xyz(x+y)2≥94(x+y+z).8.设P为正△AB C内部任意一点,点P关于三边的对称点分别为P1、P2、P3,记△AB C和△P1P2P3的周长分别为L△AB C和L△P1P2P3,求证L△AB C≥L△P1P2P3.9.求证:5≤1+sin4θ+1+cos4θ≤1+2.10.设△AB C的三边长为a、b、c,外接圆半径为R,证明或否定b2c2a2+c2a2b2+a2b2c2≥9R2.高中数学联赛模拟试题西安市西光中学　广　隶西安市西铁一中　丁志勇一试一、选择题(满分36分,每小题6分)1.设a=101998+1101999+1,b=101999+1102000+1,c=102000+1102001+1,则a、b、c的大小关系是( ).A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a2.银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年,其余的60%资金给项目N.预计项目M有可能获得19%到24%的年利润,N有可能获得29%到34%的年利润.年终银行必须回笼资金,同时按一定的回扣率支付给储户.为使银行的年纯利润不少于给M、N 总投资的10%而不大于总投资的15%,则给储户回扣率的最小值是( ).A.5%B.8%C.10%D.12%3.已知实数x、y满足x2-xy+2y2=1,则x2+ 2y2的最大值与最小值的和等于( ).A.87 B.167C.8-227 D.8+2274.在复平面上,Rt△AB C的三个顶点A、B、C分别对应于复数z+1,2z+1,(z+1)2,A为直角顶点,且|z|=2.设集合M={m|z m∈R,m∈N},P={x|x =12m,m∈M},则集合P中所有元素之和等于( ).A.17 B.27 C.47 D.875.一球外接于四面体AB CD,半径为1的另一个球与平面AB C相切,并且两球内切于D点,已知A D =3,cos∠BA C=45,cos∠BA D=cos∠CA D=12.四面体AB CD的体积等于( ).A.3B.5C.275 D.1856.设整数x、y满足4x2+2xy+1=(y+2)·7|y|-1,sin 3πy2=1.　①②则x+y等于( ).A.1B.-1C.0D.2二、填空题(满分54分,每小题9分)1.在△AB C中,A>B>C,C=45°,且sin A+sin B+sin Ccos A+cos B+cos C=3,则角A的度数是 .2.已知集A={1,2,3,4,5,6},B={6,7,8,9}.从A中选3个元素,B中选2个元素,共5个元素组成集合C,这样的集合C共有个.3.设w=cos π5+i sinπ5,则(x-w)(x-w3)·(x-w7)(x-w9)的展开式是 .4.已知f(x)=a x1+a x(a>0,a≠1),用[m]表示不超过实数m的最大整数,则函数[f(x)-12]+[f(-x)-12]的值域是 .5.已知a、b∈R,圆C1:x2+y2-2x+4y-b2+5 =0与圆C2:x2+y2-2(a-6)x-2ay+2a2-12a+ 27=0交于不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1-x2 y2-y1=y1+y2x1+x2,则a、b的取值范围分别是 .6.设等比数列a1,a2,a3,a4的各项都是正整数,其公比r不是整数,且r>1,这样的数列中a4可能取到的最小值是 .三、(满分20分)求实数a的取值范围,使不等式sin2θ-(22+a2)sin(θ+π4)-22cos(θ-π4)>-3-2a对θ∈[0,π2]恒成立.四、(满分20分)求证:过三棱锥相对两棱中点的任一截面平分棱锥的体积.五、(满分20分)设正系数一元二次方程ax2+bx +c=0有实根,证明:(1)max{a,b,c}≥49(a+b+c);(2)min{a,b,c}≤14(a+b+c).加试一、(满分50分)已知△AB C外角∠EA C的平分线与△AB C外接圆交于D,以CD为直径的圆分别交B C、CA于P、Q,求证:线段PQ平分△AB C的周长.二、(满分50分)设{x i}(i=1,2,3,…)是实数列,其中每一项x i≥1,记b n=x1x2…x n,且数列{b n}无上界.证明:当k充分大时,成立着不等式1x1+1x2+…+1x k<k-1999.三、(满分50分)有n名学生,给每人一张12×12的方格纸上着色,每个方格涂红色或黑色中的一种,且没有方格不被着色.涂色后,这n名学生围坐圆桌旁,发现:(1)这n名学生涂的黑色格数两两不同;(2)每个学生的红格数恰等于它相邻的两个学生黑格数的乘积的1144.求n的值.参考答案一试一、选择题1.选A.构造函数f(x)=10x-1+110x+1(x∈R),则f(x)=10x+1010(10x+1)=(10x+1)+910(10x+1)=110+110(10x+1).显然,f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.∴f(1999)>f(2000)>f(2001),即a>b>c.2.选C.设银行在两个项目上的总投资量为S,按题设条件,在M、N上的投资所得的年利为P M、P N分别满足19100·40100S≤P M≤24100·40100S,29100·60100S≤P N≤34100·60100S.银行的年纯利润P满足10100S≤P≤15100S.这样,纯利润中给储户回扣的部分所占的百分率为P M+P N-PS·100%.由以上条件不难算出这个百分比在10%到20%之间,即给储户的回扣率的最小值为10%.3.选B.由题设得xy=x2+2y2-1.又x2+2y2≥2|x·2y|≥±22xy.一方面,x2+2y2≥22xy=22(x2+2y2-1),即x2+2y2≤2222-1=8+227.另一方面,x 2+2y 2≥-22xy =-22(x 2+2y 2-1),即x 2+2y 2≥2222+1=8-227.当且仅当x =2y 与x =-2y 时,上述两式等号分别成立.故x 2+2y 2的最大值与最小值之和为167.4.选A .由AB ⊥A C ,得(z +1)2-(z +1)(2z +1)-(z +1)=λi (λ∈R ,λ≠0).解得z =-1+λi.∵|z |=2,∴1+λ2=4,即λ=±3.∴z =-1±3i =2(cos2π3±i sin 2π3).由z m∈R ,得sin 2m3π=0.∵m ∈N ,∴m =3k (k ∈N ).于是,集合P 中的元素x =12m =123k (k ∈N ).故集合P 中所有元素之和为1231-123=17.5.选D .首先证明四面体AB CD 的高D H 为另一个球的一条直径.如图,设D E ⊥AB ,D F ⊥A C ,垂足分别为E 、F ,则A E =A F =A D ·cos ∠BA D =32,cos ∠HA E =cos∠HA F =1+cos ∠BA C2=310.从而A H =A Ecos ∠HA E=5,D H =A D 2-A H 2=2.因此,四面体的外接球的中心在D H 上,所以A D =BD =CD ,A C =AB =2A E =32.于是,S △AB C =12AB ·A C sin ∠BA C =…=275.故V D -AB C =13S △AB C ·D H =185.6.选C .由②得y =1+4n3(n ∈Z ).③易知|y |-1≤0.若不然,方程①的右边是7的倍数,而左边不是7的倍数.因此y ∈{0,-1,1}.又由方程①知,y +2=71-|y |·4(x +y)2+1-y2是一个整数,从而y 是一个整数.又考虑到③式,y 必定是一个奇数.这样,方程①的左边是奇数,因此只有x 2+2xy +1=0.由x 2+2xy +1=0及y ∈{0,-1,1},可得原方程组的解为x =-1,y =1和x =1,y =-1.故x +y =0.二、填空题1.填75°.∵C =45°,∴A +B =135°.∴sin A +sin B +sin C cos A +cos B +cos C =3](sin A -3cos A )+(sin B -3cos B )+(sin C -3cos C )=0]2sin (A +B2-60°)cos A -B2=sin15°]cosA -B2=sin15°2sin15°2=cos 15°2]A -B =15°.由A +B =135°及A -B =15°,得A =75°.2.填90.按集合A 中是否选6分为两类:(1)若A 中选6,则集C 有C 52·C 32=30(个);(2)若A 中不选6,则集合C 有C 53·C 42=60(个).故这样的集合C 共有90个.3.填x 4-x 3+x 2-x +1.∵w =cos 2π10+i sin 2π10,∴w ,w 2,w 3,…,w 10(=1)是1的10个10次方根.∴(x -w )(x -w 2)(x -w 3)…(x -w 9)(x -w 10)=x 10-1.①又w 2,w 4,w 6,w 8,w 10是1的5个5次方根,∴(x -w 2)(x -w 4)(x -w 6)(x -w 8)(x -w 10)=x 5-1.②①÷②得(x -w )(x -w 3)(x -w 5)(x -w 7)·(x -w 9)=x 5+1.③∵x -w 5=x +1,∴③两边同除以x +1,得(x -w )(x -w 3)(x -w 7)(x -w 9)=x 4-x 3+x 2-x +1.4.填{-1,0}.设g (x )=f (x )-12,则g (-x )=a-x 1+a-x-12=…=12-a x1+a x =-g (x ).∴[f (x )-12]+[f (-x )-12]=[g (x )]+[-g (x )].∵a x >0,∴0<f (x )=a x1+a x<1.∴-12<g (x )=f (x )-12<12.(1)当-12<g (x )<0时,[g (x )]+[-g (x )]=-1+0=-1;(2)当g (x )=0时,[g (x )]+[-g (x )]=0;(3)当0<g(x)<12时,[g(x)]+[-g(x)]=0+(-1)=-1.综上所述,所求函数的值域是{-1,0}.5.填a=4,b∈(-3-35,3-35)∪(-3+ 35,3+35).C1:(x-1)2+(y+2)2=b2,C2:(x-a+6)2+(y-a)2=32,x1-x2 y2-y1=y1+y2x1+x2Ζx12+y12=x22+y22=x22+y22.上式表明,分别以C1(1,-2)、C2(a-6,a)为圆心,以|b|、3为半径的两圆交点A、B与原点等距离(如图).它的充要条件是点A、B的对称轴C1C2通过原点,即a-2=a-61]a=4,并且|C1C2|-R2<R1<|C1C2|+R2.∵C2(-2,4),|C1C2|=…=35,∴35-3< |b|<35+3,即-3-35<b<3-35或-3+35 <b<3+35.6.填27.根据题意,r是有理数,故存在互素的两个数p、q(q>p≥2),使得r=qp.从而a4=a1r3=a1q3 p3.因为a4是整数,所以a1是p3的倍数.因此,可设a1=kp3(k是正整数),则a4=kq3.注意到q>p≥2,为使a4最小,有k=1,q=3.三、设x=sinθ+cosθ,由θ∈[0,π2]得x∈[1,2],于是sin2θ=x2-1,sin(θ+π4)=cos(θ-π4)=x2.原不等式化为x2-1-(2+a)x-4x+3+2a>0,即(x-2)(x+2x-a)>0.∵1≤x≤2,∴x-2<0.于是,有x+2x -a<0,即a>x+2x,x∈[1,2].为使原不等式恒成立,只需a>(x+2x )max.易知函数f(x)=x+2x在[1,2]上是减函数.∴f(x)max=f(1)=3,故a>3.四、如图,M、P分别是三棱锥A2B CD对棱A C与BD的中点,当截面是平行四边形或特殊情况的三角形时,证明比较简单.下面主要证明截面是一般四边形M N PQ的情况.设R为面AB C、B CD、M N PQ两两交线的公共点.∵A M=CM,∴V A2MN PQ=V C2MN PQ.在△AB C中,由梅氏定理,得A MM C·CRRB·B NNA=1.∴CRRB·B NNA=1.同理,在△B CD中,有DQQC·CRRB=1.从而B NNA=DQQC.由此得B NBA=DQDC.∴V C2B PNV Q2A PD=B N·CDBA·QD=1,即V C2B PN=V Q2A PD.∴V C2MN PQ+V C2B PN=V A2MN PQ+V Q2A PD,命题成立.五、令a+b+c=t(t>0).(1)若b≥49t,结论已成立;若b<49t,则由b2 -4ac≥0,得ac≤14b2-481t2.①又a+c=t-b>t-49t=59t,即c>59t-a,∴由①得481t2>ac>a(59t2-a),即a2-59ta+481t2>0.解得a<19t或a<49t.若a>49t,结论已成立;若a<19t,则c>59t-a>49t,结论亦成立.综上所述,max{a,b,c}≥49t=49(a+b+c).(2)若a≤14t,结论已成立;若a>14t,则由b2-4ac≥0,得b2≥4ac>ct,即b>ct.②又b+c=t-a<34t,即b<34t-c,③由②、③得34t-c>ct,即c+ct-34t<0,亦即(c +32t )(c -12t )<0.∵c +32t >0,∴c -12t <0.∴c <14t =14(a +b +c ).综上所述,min {a ,b ,c}≤14(a +b +c ).加试一、如图,连结DB 、D P 、DQ.∵∠ABD =∠A CD ,∠EA C =∠AB C +∠A CB ,∴∠EA C =∠DB C +∠DCB ,即2∠CA D =∠DB C+∠DCB.又∠DA C =∠DB C ,∴∠DB C =∠DCB ,即△DB C 为等腰三角形.又D P ⊥B C ,∴CP =12B C.在四边形AB CD 中,由托勒密定理,得A C ·BD =BC ·AD +AB ·CD.∵BD =CD ,∴A C -AB =B C ·A D BD =2B P ·A DBD.又DQ ⊥A C ,∴△A DQ ∽△BD P ,∴A Q B P =A D BD ,即A Q =B P ·A DBD.∴A C -AB =2A Q ,即A Q =A C -AB2.∴CQ +CP =(A C -A Q )+12B C=(A C -A C -AB 2)+12B C =12(AB +B C +CA ).故线段PQ 平分△AB C 的周长.二、显然数列{b n }是单调递增的,即b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n ≤….由于{b n }无上界,对于其中每一项b n 0,总有一项b n 1,使b n 1>2b n 0.同样又有一项b n 2>2b n 1,又有b n 3>2b n 2,….这样一直取到b n 3998.记k 0=n 3998(开始时取n 0=1,且n 0<n 1<n 2<…<n 3998).下面证明不等式1x 1+1x 2+…+1xk<k 0-1999.k 0-(1x 1+1x 2+…+1x k)=n 3998-(1b 1+b 1b 2+b 2b 3+…+b k 0-1b k)=b 1-1b 1+b 2-b 1b 2+b 3-b 2b 3+…+b k 0-b k 0-1b k=(b 1-1b 1+b 2-b 1b 2+…+b n 1-b n 1-1b n 1)+(b n 1+1-b n1b n 1+1+b n1+2-b n 1+1b n 1+2+…+b n 2-b n2-1b n 2)+(b n2+1-b n 2b n 2+1+…+b n 3-b n3-1b n3)+…上式第一个括号≥1b n1(b 1-1+b 2-b 1+…+b n1-b n 1-1)=b n 1-1b n1=1-1b n1>12.同样,第二个括号≥1b n 2(b n1+1-b n 1+b n 1+2-b n1+1+…+b n 2-b n 2-1)=1b n 2(b n 2-b n 1)=1-b n1b n 2>12.以后每个括号>12,所以k 0-(1x 1+1x 2+…+1x k)>12·3998=1999,即　1x 1+1x 2+…+1x k 0<k 0-1999.当k >k 0时,易见上式中k 每增加1,左边增加一项,增加的数≤1,而右边增加1,故1x 1+1x 2+…+1x k<k -1999(当k ≥k 0时).三、设A 1,A 2,…,A n 是n 名学生所涂的黑格数,则A 1,A 2,…,A n 两两不等.由条件(2)知,n ≥3.由于把这n 个学生围在一个圆桌旁,由此可设A n +k =A k ,于是由(1),当且仅当j 与k 对n 同余时(同余指j -k 可被n 整除),A j =A k .由题设0<A k <144,k =1,2,…,n.由条件(2)得144-A k =A k -1A k +1144.∴A 1A 3=1442-144A 2,①A 2A 4=1442-144A 3,②A 3A 5=1442-144A 4,③A 4A 6=1442-144A 5.④①×A 4-②×144,得1442A 4+1442A 3=1443+A 1A 3A 4.⑤③×144-④×A 3,得1442A 4+1442A 3=1443+A 6A 3A 4.⑥⑤-⑥得A 1A 3A 4=A 6A 3A 4,即A 1=A 6.进而可得A k +5=A k ,所以n =5.。

1999年全国高中数学联赛试卷及详细解析

1999年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n }【答】（）(A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列(C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x-(log 53)x≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么【答】（） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确 5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

1999年全国高中数学联赛试卷及答案

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

1999年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本大题共14小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 如图，Ⅰ是全集，M 、P 、S 是Ⅰ的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )(A) (M ∩P )∩S (B) (M ∩P )∪S (C) (M ∩P )∩S(D) (M ∩P )∪S(2) 已知映射f ：A →B ，其中，集合A ={－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(3) 若函数y =f (x )的反函数是y =g (x )，f (a )=b ，ab ≠0，则g (b )等于 ( )(A) a(B) a －1(C) b(D) b －1(4) 函数f (x )=M sin(ωx +φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )=－M ，f (b )=M ，则函数g (x )=M cos(ωx +φ)在[a ，b ]上( )(A) 是增函数(B) 是减函数(C) 可以取得最大值M(D) 可以取得最小值－M(5) 若f (x )sin x 是周期为π的奇函数，则f (x )可以是 ( )(A) sin x(B) cos x(C) sin2x(D) cos2x(6) 曲线x 2+y 2+22x －22y =0关于 ( )(A) 直线x =2轴对称(B) 直线y =－x 轴对称(C) 点(－2，2)中心对称 (D) 点(－2，0)中心对称(7) 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( )(A) 63cm(B) 6cm(C) 2318cm(D) 3312cm(8) 若(2x +3)3=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3，则(a 0+a 2)2－(a 1+a 3)2的值为 ( )(A) －1(B) 1(C) 0(D) 2(9) 直线3x +y －23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为 ( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π (10) 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )(A)29(B) 5 (C) 6(D)215 (11) 若sin a >tg a >ctg a (－2π<a <2π)，则a ∈ ( )(A) (－2π，－4π) (B) (－4π，0) (C) (0，4π)(D) (4π，2π) (12) 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R =( )(A) 10(B) 15 (C) 20 (D) 25(13) 给出下列曲线：①4x +2y －1=0 ②x 2+y 2=3 ③1222=+y x ④1222=-y x 其中与直线r =－2x －3有交点的所有曲线是 ( )(A) ①③(B) ②④(C) ①②③(D) ②③④(14) 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘. 根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有( )(A) 5种(B) 6种(C) 7种(D) 8种第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线(15)设椭圆12222=+by a x (a >b >0)的右焦点为F 1，右准线为l 1若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是_______________(16)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长．要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有______种(用数字作答)(17)若正数a 、b 满足ab =a +b +3，则ab 的取值范围是____________(18) α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：_________________________三．解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(19)(本小题满分10分) 解方程231-gx －31gx +4=0 (20)(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n =5S n －3(n ∈N )求∞→n lim (a 1+a 3+…+a 2n －1)的值．(21)(本小题满分12分)设复数z =3cos θ+i sin θ．求函数y =tg(θ－arg z )(0<θ<2π)的最大值以及对应的θ值 (22)(本小题满分12分)如图，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45º，AB =a ．输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度 (Ⅰ)求截面EAC 的面积；(Ⅱ)求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离； (Ⅲ)求三棱锥B 1－EAC 的体积． (23)(本小题满分14分)下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．(Ⅰ)输入带钢的厚度为a ，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r 0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？(一对轧辊减薄率= )(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L k ，为了便于检修，请计算L 1、L 2、L 3并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗)．轧辊序号k1 2 3 4 疵点间距L k (单位：mm)1600(24)(本小题满分14分)如图，给出定点A (a ，0) (a >0，a ≠1)和直线l ：x =－1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准CDE AA B C D 1111说明：一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分．满分60分．(1) C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) B (7) B (8) A (9) C (10) D (11) B (12) D (13) D (14) C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(15)21(16) 12 (17) [)∞+，9 (18) m ⊥α，n ⊥β，α⊥β⇒m ⊥n 或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β⇒α⊥β三．解答题(19) 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力．满分10分．解：设y x =-2lg 3，原方程化为y －y 2+2=0 ——4分解得 y =－1，y =2． ——6分因为02lg 3≥-x ，所以将y =－1舍去．由2lg 3-x =2，得lg x =2，所以x =100． ——9分经检验，x =100为原方程的解． ——10分 (20) 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识．满分12分．解：由 S n =a 1+a 2+…+a n 知a n =S n －S n －1(n ≥2)，a 1=S 1， ——2分由已知a n =5S n —3得a n －1=5S n －1—3． ——4分于是 a n －a n －1=5(S n －S n －1) =5a n ，所以 a n =－41a n －1． ——6分由 a 1=5S 1—3，得 a 1=43．所以，数列{a n }是首项a 1=43，公比q =－41的等比数列． ——8分由此知数列 a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为a 1=43，公比为241⎪⎭⎫⎝⎛-的等比数列．∴ ∞→n lim ( a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1)=54411432=⎪⎭⎫ ⎝⎛--． ——12分 (21) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力．满分12分．解：由20πθ<<得0tg >θ．由z =3cos θ+i sin θ得tg(arg z )=θθθtg 31cos 3sin =． ——3分故 y =tg(θ－arg z )θθθ2tg 311tg 31tg +-= ——6分 θθtg tg 32+=∵32tg tg 3≥+θθ， ∴33tg tg 32≤+θθ． ——9分当且仅当θtg 3=tg θ(20πθ<<)时，即tg θ=3时，上式取等号．所以当θ=3π时，函数y 取得最大值33． ——12分(22) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．(Ⅰ) 解：如图，连结DB 交AC 于O ，连结EO ． ∵ 底面ABCD 是正方形， ∴ DO ⊥AC ．又 ∵ ED ⊥底面AC ， ∴ EO ⊥AC ．∴ ∠EOD 是面EAC 与底面AC 所成二面角的平面角，——2分∴ ∠EOD =45º． DO =22a ，AC =2a ，EO =22a ·sec45º=a ．故 S △EAC =22a 2． ——4分 (Ⅱ) 解：由题设ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，得A 1A ⊥底面AC ，A 1A ⊥AC ．又 A 1A ⊥A 1B 1，∴ A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线． ——6分 ∵ D 1B ∥面EAC ，且面D 1BD 与面EAC 交线为EO ， ∴ D 1B ∥EO ．又O 是DB 的中点，∴ E 是D 1D 的中点，D 1B =2EO =2a ． ∴ D 1D =221DB B D -=2a ．异面直线A 1B 1与AC 间的距离为2a ． ——8分 (Ⅲ) 解法一：如图，连结D 1B 1． ∵ D 1D =DB =2a ， ∴ BDD 1B 1是正方形．连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ． ∵ B 1D ⊥D 1B ，EO ∥D 1B ， ∴ B 1D ⊥EO ．又 AC ⊥EO ，AC ⊥ED ． ∴ AC ⊥面BDD 1B 1， ∴ B 1D ⊥AC ， ∴ B 1D ⊥面EAC ．∴ B 1Q 是三棱锥B 1－EAC 的高． ——10分由DQ =PQ ，得B 1Q =43B 1D =23a ． ∴ .42232231321a a a V EAC B =⋅⋅=- 所以三棱锥B 1－EAC 的体积是342a ． ——12分解法二：连结B 1O ，则EAC B V -1=21EOB A V -． ——10分 ∵ AO ⊥面BDD 1B 1，∴ AO 是三棱锥A －EOB 1的高，AO =22a ．在正方形BDD 1B 1中，E 、O 分别是D 1D 、DB 的中点(如右图)，则2431a S EOB =∆． ∴ 324222433121a a a V EAC B =⋅⋅⋅=-．所以三棱锥B 1－EAC 的体积是342a ． ——12分 (23) 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力．满分14分．(Ⅰ) 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为r 0的n 对轧辊后厚度为α(1－r 0)n ．为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足α(1－r 0)n ≤β，即 (1－r 0)n ≤αβ． ——4分由于(1－r 0)n >0，αβ>0，对上式两端取对数，得n lg(1－r 0)≤lg αβ．由于lg(1－r 0)<0，所以n ≥()01lg lg lg r --αβ．因此，至少需要安装不小于()01lg lg lg r --αβ的整数对轧辊． ——7分(Ⅱ)解法一：第k 对轧辊出口外疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600·α(1－r )k ·宽度 (其中r =20%)，而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为L k ·α(1－r )4·宽度．因宽度相等，且无损耗，由体积相等得1600·α(1－r )k =L k ·α(1－r )4 (r =20%)，即 L k =1600·0.8k －4． ——10分由此得L 3=2000(mm )，L 2=2500(mm )， L 1=3125(mm )．填表如下解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有1600=L 3·(1－0.2)，所以 L 3=8.01600=2000(mm )． ——10分同理 L 2=8.03L =2500(mm )． L 1=8.02L =3125(mm )．填表如下——14分 (24) 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．满分14分．解法一：依题意，记B (－1，b ) (b ∈R )，则直线OA 和OB 的方程分别为y =0和y =－bx ．设点C (x ，y )，则有0≤x <a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等．根据点到直线的距离公式得21bbx y y ++=． ① ——4分依题设，点C 在直线AB 上，故有()a x aby -+-=1． ——6分由 x －a ≠0，得 ()ax y a b -+-=1． ②将②式代入①代得()()()22222111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y ，整理得y 2[(1－a )x 2－2ax +(1+a )y 2]=0． ——9分若y ≠0，则(1－a )x 2－2ax +(1+a )y 2=0 (0<x <a )；若y =0，则b =0，∠AOB =π，点C 的坐标为(0，0)，满足上式．综上得点C 的轨迹方程为(1－a )x 2－2ax +(1+a )y 2=0 (0≤x <a )． ——10分 ∵ a ≠1，∴ 111122222=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a y a a a a x (0≤x <a )． ③ ——12分由此知，当0<a <1时，方程③表示椭圆弧段；当a >1时，方程③表示双曲线一支的弧段． ——14分解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足．(ⅰ)当|BD |≠0时，设点C (x ，y )，则0<x <a ，y ≠0．由CE ∥BD 得 ()a x a yEA DACE BD +-=⋅=1． ——3分∵ ∠COA =∠COB=∠COD －∠BOD=π－∠COA －∠BOD ，∴ 2∠COA =π－∠BOD ．∵ ()()，，BOD BOD COACOA COA ∠-=∠-∠-∠=∠tg tg tg 1tg 22tg 2π ——6分 ()a x a y OD BD BOD x y COA +-==∠=∠1tg tg ，．∴ ()，a x a y x y x y +--=-⋅11222 整理得(1－a )x 2－2ax +(1+a )y 2=0 (0<x <a )． ——9分 (ⅱ) 当|BD |=0时，∠BOA =π，则点C 的坐标为 (0，0)，满足上式．综合(ⅰ)，(ⅱ)，得点C 的轨迹方程为(1－a)x2－2ax+(1+a)y2=0 (0≤x<a)．——10分以下同解法一．。

高中数联赛试题专题——代数(1999—2010)及答案

联赛真题——代数专题1、[99.13]已知当x ∈[0,1]时，不等式x 2cos θ-x(1-x)+(1-x)2sin θ>0恒成立，试求θ的取值范围。

2、[00.13]设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n nS n S 的最大值.3、[01.加2]设,,0+∈≥N i x i 且.12112=+∑∑≤<≤=nj k j k ni ix x j kx求∑=ni i x 1的最小值.4、[02.15]设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：（1）当x∈R 时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; （2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2; （3）f(x)在R 上的最小值为0.求最大的m(m ＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。

5、[02.加试2]实数a,b,c 和正数 λ 使得 f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1,x 2,x 3, 且满足（1）x 2 - x 1＝λ （2）x 3 ＞(x 1＋x 2)/2求：(2a 3 + 27c - 9ab)/λ3 的最大值。

6、[03.13] 设35,2x ≤≤ 证明不等式 <7、[03.14]设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.8、[04.15]已知α，β是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )=2x －tx 2+1的定义域为[α，β]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，π2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．9、[05.加试2]设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z的最小值．10、[06.14]将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15i j i j S x x ≤<≤=∑. 问：（1）当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；（2）进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.11、[06.15]设 2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M .12、[06.加试2]已知无穷数列{a n }满足，n=1,2,….(1)对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数n 0，使当n≥n 0时a n 恒为常数？(2)求通项a n .13、[06加试3]解方程组14、[07.15]设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f i(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，f i(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f i(x+π)=f i(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cos x+f3(x)sin x+f4(x)sin2x。

全国高中数学联赛代数部分

全国高中数学联赛代数部分全国高中数学联赛（代数部分）1.(1988年全国高中数学联赛加试第三题) 在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线¼¼,,,,21nl ll 的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈nl ，),3,2,1(¼=n ；⑵ nnn b a k -=+1，其中1+n k 是1+n l 的斜率，n a 和nb 分别是nl 在x 轴和y 轴上的截距，),3,2,1(¼=n ； ⑶ 01³+n nk k ，),3,2,1(¼=n ．并证明你的结论．2. (1989年全国高中数学联赛加试第二题)已知)2;,,2,1(³¼=În n i R x i，满足,0,111==åå==ni i ni i x x 求证：nix ni i 21211-£å=.3.(1998年全国高中数学联赛加试第二题)设n a a a ,,,21¼，n b b b ,,,21¼[]2,1Î 且åå===ni i ni i b a 1212求证：åå==£ni i ni ii a b a 12131017并问等号成立的充要条件.全国高中数学联赛代数部分4.(1997年全国高中数学联赛加试第二题) 试问：当且仅当实数)2(,,,1³¼n x x x n满足什么条件时.存在实数n y y y ,,,10¼使得2222120n z z z z +¼++=成立. 其中k k k iy x z +=，i 为虚数单位，).,,2,1(n k ¼= 证明你的结论.5.(1999年全国高中数学联赛加试第二题)给定实数c b a 、、已知复数321z z z 、、满足： 1321===z z z1133221=++z z z z z z求321cz bz az ++的值6. (2002年全国高中数学联赛加试第二题) 设),,2,1(0n i xi¼=³，且12112=+åå£<£=nj k j k nk i x x j k x ，求å=nk ix 1的最大值与最小值全国高中数学联赛代数部分7.(2002年全国高中数学联赛加试第二题) 实数a 、b 、c 和正数l ，使得f ( x ) = c bx ax x x f +++=23)(有三个实数根321x x x 、、,且满足(1)l =12-x x ;(2))(21213x x x +>.求339272labc a -+的最大值.8.(2004年全国高中数学联赛加试第二题)在平面直角坐标系xOy 中, y 轴正半轴上的点列{n A }与曲线)0(2³=x x y 上的点列{n B }满足nOB OA n n1==,直线n n B A 在x 轴上的截距为n a ,点nB 的横坐标为n b ,+ÎNn .证明: (1) na > 1+n a > 4 ,+ÎNn .(2) 存在+ÎN n 0,使得对任意的0n n > 都有 2004. -n b b bb b b b b n1n 1-n n 2312<++¼+++全国高中数学联赛代数部分设正数z y x c b a 、、、、、满足a bz cy =+，b cx az =+，c ay bx =+ 求函数zz yy xx z y x f +++++=111),,(222的最小值.10.(2006年全国高中数学联赛加试第二题) 已知无穷数列{na }满足:x a =0，y a =1),2,1(1111¼=++=--+n a a a a a nn n n n(1) 对于怎样的实数y 、x ,总存在+ÎN n 0使得当0n n ³ 时，n a 恒为常数？(2) 求数列{na }的通项公式.11. (2006年全国高中数学联赛加试第三题)解方程组: 2=-+-w z y x 62222=-+-w z y x 203333=-+-w z y x 664444=-+-w z y x全国高中数学联赛代数部分设).2008,,2,1(0¼=>k a证明：当且仅当120081>å=k k a 时，存在数列{nx }满足以下条件（1）),2,1(010¼=<<=+n x x x n n（2）n nx ¥®lim 存在（3）åå=++=+--=-200701200811k k n k k k n k n n x a x a x x ),2,1(¼=n13. (2009年全国高中数学联赛加试第二题) 求证： 21ln )1(1-12£-+<å=n k k nk，¼=,2,1n14.(2010年全国高中数学联赛加试第三题)给定整数)2(>n n ，设正实数n a a a ,,,21¼满足).,,2,1(1n k a k¼=£记).,,2,1(21n k ka a a A kk ¼=+¼++=求证：.2111-<-åå==n A a nk nk k k。

高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版

19 1999 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 97
20 2000 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 102
21 2001 年全国高数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 107
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
解答
S△ABC =
1 2 ab
sin C
⇒ C1 =Biblioteka C2 或C1 = π
− C2，于是甲
⇏
乙，乙
⇒
甲.
甲是乙的必要条件，所以选 B.
2. 条件甲：√1 + sin θ = a；条件乙：sin θ + cos θ = a. 则
2
2
()
A. 甲是乙的充分必要条件
B. 甲是乙的必要条件
C. 甲是乙的充分条件

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷全国卷理

1999年全国普通高等学校招生统一考试（理工农医类）数学第I卷参考公式：三角函数的积化和差公式sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]正棱台、圆台的侧面积公式：S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。

台体的体积公式：其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1-10题每小题4分，第11-14题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩ D．（M∩P）∪2．已知映射f：AB，其中，集合A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是{a}，则集合B中元素的个数是A．4 B．5 C．6 D．73．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）=b，ab ≠0，则g（b）等于A．a B．a-1 C．b D．b-14．函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上A．是增函数 B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值-M5．若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是A．sin x B．cos x C．sin 2x D．cos 2x6．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin（θ-π/3）关于A．直线θ=π/3轴对称 B．直线θ=6/5π轴对称C．点（2，π/3）中心对称 D．极点中心对称7．若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是8．若（2x+ ）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为A．l B．-1 C．0 D．29．直线x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为A．π/6 B．π/4 C．π/3 D．π/210．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为A．9/2 B．5 C．6 D．15/211．若sina>tga>ctga(-π/2<a<π/2)，则a∈A． (-π/2,-π/4) B．（-π/4，0） C．（0，π/4） D．（π/4，π/2）12．如果圆台的上底面半径为5．下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=A．10 B．15 C．20 D．2513．已知两点M（1，5/4）、N（-4，-5/4），给出下列曲线方程：①4x＋2y-1=0②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有A．5种 B．6种 C．7种 D．8种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小图4分，共16分把答案填在题中横线15．设椭圆x2/a2+y2/b2＝1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1。

1999年全国高中数学联赛试卷及答案

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)

1999年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷参考公式：三角函数的积化和差公式sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2正棱台、圆台的侧面积公式：S台侧=(c'+c)L/2其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。

台体的体积公式：其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。

一、选择题：本大题共14小题；第1-10题每小题4分，第11-14题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。

1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩ D．（M∩P）∪2．已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是A．4 B．5 C．6 D．73．若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f(a)=b，ab≠0，则g(b)等于A．a B．a-1 C．b D．b-14．函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=-M，f(b)=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上A．是增函数 B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值-M5．若f（x）sinx是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是A．sinx B．cosx C．sin2x D．cos2x6．曲线x2+y2+2 x-2 y=0关于A．直线x=轴对称B．直线y=-x轴对称C．点（-2，）中心对称D．点（- ，0）中心对称7．若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是A．6 cm B．6cm C．2 cm D．3 cm8．若（2x＋）3＝a0+a1x+a2x2+a3x3，则（a0+a2）2-（a1+a3）2的值为A．-1 B．l C．0 D．29．直线x＋y-2 =O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为A．B．C．D．10．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为A．9/2 B．5 C．6 D．15/211．若sina＞tga＞ctga(-＜a＜＝，则a∈A．（- ，- ） B．（- ，0）C．（0，） D．（，）12．如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=A．10 B．15 C．20 D．2513．给出下列曲线：①4x+2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是A．①③B．②④C．①②③D．②③④14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有A．5种B．6种C．7种D．8种第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线15．设椭圆(x2/a2)+(y2/b2)＝1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是_______16．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长。

1999年全国高考数学卷

1999年全国高考数学卷一、选择题（每题3分，共30分）已知集合A={x∣x2−4x+3<0}，B={x∣1<x<4}，则A∩B=（）A. (1,3)B. (3,4)C. (1,4)D. ∅复数z满足(1+i)z=2i，则z= （）A. 1−iB. 1+iC. −1+iD. −1−i已知函数f(x)=sinx+cosx，则f(x)的最小正周期为（）A. 2πB. πC. 2πD. 4π二、填空题（每题4分，共16分）若直线l过点P(1,2)，且与直线x−2y+1=0垂直，则直线l的方程为_______。

在等差数列{an}中，若a1=2，a4=8，则公差d= _______。

若log32=a，则32a= _______。

已知函数f(x)=x+1的定义域为集合A，函数g(x)=log2(2−x)的定义域为集合B，则A∪B= _______。

三、解答题（共54分）（12分）已知函数f(x)=lnx−21ax2+x，a∈R。

（1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间；（2）若关于x的不等式f(x)≤ax−1恒成立，求实数a的取值范围。

（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acosC+21c=b。

（1）求cosB的值；（2）若b=13，a=3，求△ABC的面积。

（12分）已知椭圆C：a2x2+b2y2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1,F2，P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为8。

（1）求椭圆C的方程；（2）设过点E(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值。

（18分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=∣x−2∣+∣x+3∣。

（1）求不等式f(x)≤8的解集；（2）若不等式f(x)<∣2a−1∣的解集不是空集，求实数a的取值范围。