16.等比数列前n项和20160921
等比数列前n项的和
a1 (1 q ) (q=1)
Sn=
{
a1 a n q
1-q
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用： 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
等比数列前n项的和
一、复习回顾
等比数列的定义:
an 1 q (q 0) an
n1
等比数列通项公式 : an a1q
(a1 0, q 0)
等比数列的性质 :
若an 是等比数列 ,
且m n p q (m,n, p, q N ) 则有am an a p aq
3 n1
a1q
n
②
n n S qS a1 a1q a1 (1 q ) ① － ②得 n n
பைடு நூலகம்
即 (1 q)Sn a1 (1 q )
n
a1 (1 q ) Sn (q 1) 1 q
n
当 q =1 时，等比数列的前n项和s n等于多少？
当 q =1 时，此等比数列为常数列：
二、新课讲解
2
错位相减法
n 2
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
Sn a1 a1q a1q a1q
qSn
2
a1q
n1
，如何化简？
①
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1q a1q a1q a1q
此时
a1 ，a1 ，a1 ，… ， a1 . （共n个 Sn =a1 a1 a1 a1 na1
na1 q=1， n S n a1 1 q a a q 1 n = 1 q 1 q
等比数列的前n项和 课件
10分
nn2＋1x＝1， ∴Sn＝0x＝0，
ห้องสมุดไป่ตู้1－x x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠0，x≠1.
12分
(1)一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公 比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
(2)①运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为 1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论．
∴
S
＝
4
2
8
.
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
等比数列前n项和的基本运算
在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)S3＝72，S6＝623，求an； (3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. [思路点拨] (1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程组
求解．
(3)
Sn＝a111－－qqn，an＝a1qn－1
2分
(2)当x＝1时，Sn＝nn2＋1.
4分
(3)当x≠0且x≠1时，
Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，
①
xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
②
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝
x1－xn 1－x
－nxn＋1，
9分
∴Sn＝1－x x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，
等比数列的前n项和 课件
a11－qn 1－q
，已知
a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝a11－－aqnq.
3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？
提示：设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以q得：qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an －1q＋anq＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当q≠1时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a111－－qqn. 又当q＝1时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？ (计算时取1.15＝1.6)
[分析] 本题以实际问题为载体，融函数建模、数列 的知识于一体，主要考查学生阅读资料提取信息以及用所 学知识解决实际问题的能力．
[解] 设第n年末实际住房面积为an(n∈N*)． (1)由题意，则a1＝1.1a－b(m2)． a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m2) (2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b －1.1b－b a4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b ＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
[点评] 所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边 同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数 列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和， 其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．
等比数列的前n项和课件2
已知等比数列的前n项和公式为$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，当$S_n = S_{n+1}$时，我们可以求出等比数 列的项数。通过解这个方程，我们可以得到$n = frac{1}{r} - 1$，其中$n$是等比数列的项数。
求等比数列的和
总结词
利用等比数列的前n项和公式，我们可以求出等比数列的和。
等比数列的通项公式是：$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$ ，其中$a_n$是第n项，$a_1$是第一项，q是公比。
等比数列的性质
01
等比数列中，任意两项的平 方和等于它们中间两项的乘 积，即$a_n^2 = a_{n-1}
times a_{n+1}$。
02
等比数列中，任意两项的立 方和等于它们中间两项的平
求等比数列的极限
等比数列的极限定义 ：lim(n->∞) a_n = a_1 / (1 - r)
当|r| > 1时，等比数 列的极限不存在
当|r| < 1时，等比数 列的极限存在，且 lim(n->∞) a_n = 0
等比数列前n项和公式的几何意义
等比数列前n项和公式可以看作是等 比数列的面积和
放射性衰变
放射性衰变过程中，原子核按照一定 的比例不断减少，这种减少的过程可 以视为等比数列。
细胞分裂
在生物学中，细胞分裂是一个重要的 过程，每次分裂后产生的细胞数量按 照一定的比例增加，这种增加的过程 也可以视为等比数列。
THANKS
已知等比数列的前n项和公式为$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。通过这个公式，我们 可以推导出通项公式$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$是第n 项的值。
等比数列前n项和的公式
等比数列前n项和的公式等比数列前n项和怎么算呢？公式又有哪些呢？同学们快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“等比数列前n项和的公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。
等比数列前n项和的公式设数列{a×q^（n-1）}是首项为a，公比为q的等比数列。
即a， aq，aq²，aq³， ^（n-1）. （n=1，2，3，4...）其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na. （n=1，2，3，....）当q≠1时，Sn=a[（q^n）-1]/（q-1）（n=1，2，3，...）。
等比数列前n项和公式推导等比数列前n项和公式：Sn=a1（1-q^n）/（1-q）。
推导如下：因为an=a1q^（n-1）所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^（n-1）（1）qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n（2）（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推，把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。
（2）式的第n项不变，这叫错位相减，其目的就是消去这此公共项。
于是得到（1-q）Sn=a1（1-q^n）即Sn=a1（1-q^n）/（1-q）。
拓展阅读：等比数列前N项和的性质1、若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq；2、在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
“G是a、b 的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”；3、若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn）是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2；4、按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列；5、等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比；6、若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数；7、等比数列前n项之和Sn=A1（1-q^n）/（1-q）=A1（q^n-1）/（q-1）=（A1q^n）/（q-1）-A1/（q-1）（8）数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方；8、由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列的前n项和
设首项为 a1，
a11－24 1 ∵q＝2，S4＝1，∴ ＝1，即 a1＝ ， 15 1－2 1 1－28 8 a11－q 15 ∴S8＝ ＝ ＝17. 1－q 1－2 法二 a11－q4 ∵S4＝ ＝1，且 q＝2， 1－q
a11－q8 a11－q4 ∴S8＝ ＝ (1＋q4)＝S4· (1＋q4)＝1×(1＋24)＝17. 1－q 1－q
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1． 等比数列前n项和公式的理解 (1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n， q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
a11－qn (2)当公比 q≠1 时， 等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝ ， 1－q a1 n a1 a1 它可以变形为 Sn＝－ ·＋ q ，设 A＝ ，上式可写 1－q 1－q 1－q 成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和 Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式 的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常 数项为0的一次函数)．
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解
a11－qn (1)由 Sn ＝ ， an ＝ a1qn － 1 以 及 已 知 条 件 ， 得 1－q
a11－2n 189＝ ， 1－2 96＝a ·n－1， 12 192 ∴a1· ＝192，∴2 ＝ . 2 a1
n n
∴189＝a1(2 又∵2
②÷ ①得 1＋q3＝9，∴q＝2. 1 可求得 a1＝ ，因此 an＝a1qn－1＝2n－2. 2
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(2)若 q＝1，则有 S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1. 但 S3＋S6≠2S9，∴q≠1. a11－q3 a11－q6 a11－q9 由求和公式，得 ＋ ＝2· ， 1－q 1－q 1－q 整理得 q3(2q6－q3－1)＝0. ∵q≠0，∴2q6－q3－1＝0. 4 ∵q≠1，∴q＝－ . 2 3
等比数列前n项和(三)
等比数列的变种
总结词
等比数列的变种是指在原数列的基础上进行一些变化，如乘以常数、加减常数、交换项 的位置等，从而得到一个新的数列。
详细描述
等比数列是一种常见的数学概念，但有时候我们需要对其进行一些变化以适应特定的问 题。例如，我们可以将等比数列的每一项乘以一个常数，或者在数列中添加或减去一个 常数。此外，我们还可以交换等比数列中项的位置，从而得到一个新的数列。这些变化
等比数列前n项和(三)
目录
• 等比数列前n项和的定义 • 等比数列前n项和的性质 • 等比数列前n项和的应用 • 等比数列前n项和的扩展 • 等比数列前n项和的实例解析
01
等比数列前n项和的定义
定义与公式
定义
等比数列的前n项和是指从第一项 到第n项的所有项的和。
公式
$S_n = a_1 times frac{q^n 1}{q - 1}$，其中$a_1$是首项， $q$是公比，比数列中，每隔一定的项数，数列中的数值会重复出现。
周期长度
周期长度等于公比的次方减一。
对称性
对称轴
等比数列的对称轴是首末项的中点。
对称性质
等比数列中，关于对称轴对称的两项之和等于首末项之和。
03
等比数列前n项和的应用
在数学领域的应用
数学证明
等比数列的前n项和公式在数学证 明中经常被使用，例如在证明等 差数列、等比数列的性质，以及 求解一些数学问题时。
可以帮助我们发现新的数学性质或者解决特定的问题。
等比数列与其他数学概念的联系
总结词
等比数列与其他数学概念之间存在密切的联系，如代 数、几何、三角函数等。了解这些联系可以帮助我们 更深入地理解等比数列的本质和应用。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式
等比数列是数学中的一种重要数列，它的每一项与它的前一项的比值都相等。
这个比值被称为公比，首项为a1，公比为q的等比数列可以表示为：
a1，a1q，a1q^2，a1q^3，...。
等比数列的前n项和公式是：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
这个公式的推导过程如下：
假设我们有这样一个等比数列：a1，a1q，a1q^2，...，a1q^(n-1)。
我们将这些项相加，得到：
a1 + a1q + a1q^2 + ...+ a1q^(n-1)
我们可以将这个和表示为：
a1 * (1 + q + q^2 + ...+ q^(n-1))
这是一个等比数列求和的问题，它的和为：
1 - q^n / (1 - q)
因此，等比数列前n项和的公式为：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
这个公式可以用于计算等比数列的前n项和，例如，如果我们知道等比数列的首项a1和公比q，我们可以使用这个公式来计算前n项和。
在日常生活中，等比数列的前n项和公式也有许多应用。
例如，投资理财中，如果你的投资收益是等比数列的形式，你可以使用这个公式来计算你的总收益。
又如在贷款问题上，如果你的还款方式是等比数列，你可以使用这个公
式来计算你的还款总额。
总之，等比数列的前n项和公式是一个实用性很强的公式，它能帮助我们解决许多实际问题。
等比数列的前n项和的公式
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
课件_人教版高中数学必修等比数列的前n项和课件PPT精品课件[完整版]
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形式，不可忽略q＝1的情况. 综上，等比数列的前n项和公式为：
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 如何由以上两式得出等比数列的前n项和公式？ 掌握等比数列的前n项和公式. 梳理 等比数列的前n项和公式 梳理 等比数列的前n项和公式 梳理 等比数列的前n项和公式 等比数列前n项和公式的运用 提示：两式相减 如何由以上两式得出等比数列的前n项和公式？ 掌握等比数列的前n项和公式. 1、等比数列的通项公式是什么？ 思考： 国王应给他多少麦粒？ (用式 子表示出来)
3 1
n-1
n
1
1
梳理 等比数列的前n项和公式
如何由以上两式得出等比数列的前n项和公 已知a1, q, an
2、等差数列的前n项和的定义是什么？公式是用什么方法推导的？
式？ 梳理 等比数列的前n项和公式
等比数列前n项和公式的运用
提示：两式相减
错位相减法
梳理 等比数列的前n项和公式
两式相减得 1 qSn a1 a1qn
2、等差数列的前n项和的定义是什么？公式是用什么方法推导的？
梳理 等比数列的前n项和公式
梳理 等比数列的前n项和公式
梳理 等比数列的前n项和公式
综上，等比数列的前n项和公式为：
反思小结
前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要 即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1 分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式 1、等比数列的通项公式是什么？
1、等比数列的通项公式是什么？
即Sn＝a1＋a1q＋ a1q2＋…＋a1qn-2＋a1qn-1
等比数列前n项和
等比数列前n 项和一．基础知识1．设等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，前n 项和为n S ． ①当1q =时，{}n a 为常数数列，1n S na =；②当1q ≠时，用错位相减法求和，得1(1)1n n a q S q-=- （或11n n a a q S q -=-）．2．等比数列{}n a 前n 项和公式为n S ，①当1q =时，{}n a 为常数数列，n m S n S m =；②当1q ≠时，11nn mm S q S q-=-． 3．等比数列{}n a 通项公式、前n 项和公式中有1,,,,n n a d n a S 等五个元素，在已知三个元素 时，可以求另 二个元素．即知三求二．4．若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，则n S 、2n n S S -、32n n S S -、…成等比数列，其公比为nq5．项数为偶数*2(N )n n ∈的等比数列，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和， 则S S ÷=偶奇q二．典型例题例1．（1）在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若233=a ，293=S ，求公比q .（2）在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若105S =，2015S =，求30S .（3）已知数列}{n a 等比，48,652==a a 求n S例2．在等比数列}{n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，126n S =，求项数n 和公比q 的值．三．随堂练习1．等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．1922．等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比为 （ ） A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．2或1 3.已知{}n a 为等比数列，22a =，516a =，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n4.已知{}n a 为等比数列，22a =，516a =，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．2)12(-n B ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5.若实数a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++与x 轴的交点的个数为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 无法确定（2）等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和为（ ） A ．1S B ．S C ．1n S q - D ．11n q S- 6、三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指将等比数列的前n项相加的结果。
在计算等比数列的前n项和时，首先需要知道等比数列的首项a，以及公比r。
然后使用以下公式进行计算：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S_n表示等比数列的前n项和。
下面将详细介绍如何计算等比数列的前n项和，并通过例子进行说明。
例1：计算等比数列1，3，9，27，81的前4项和。
首先确定等比数列的首项a为1，公比r为3。
根据前述公式，将a、r和n代入计算即可。
S_4 = 1 * (1 - 3^4) / (1 - 3)= 1 * (-80) / (-2)= 40因此，等比数列1，3，9，27，81的前4项和为40。
例2：计算等比数列2，-4，8，-16，32的前5项和。
首先确定等比数列的首项a为2，公比r为-2。
同样，根据前述公式计算即可。
S_5 = 2 * (1 - (-2)^5) / (1 - (-2))= 2 * (1 - 32) / 3= -60因此，等比数列2，-4，8，-16，32的前5项和为-60。
通过上述两个例子可以看出，计算等比数列的前n项和只需要知道首项a和公比r，并应用相应的公式即可。
这种方法适用于任意等比数列的前n项和的计算。
另外，有时候我们也可以通过简单的推导，直接得到等比数列的前n项和的公式。
下面就利用推导的方法给出一个更通用的等比数列前n 项和公式。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为S_n。
根据等比数列的性质，第n项可以表示为：a * r^(n-1)。
我们可以构造一个等比数列，它的首项为a，公比为r，共有n项。
用它减去首项之前的n-1项和，可以得到前n项和S_n：S_n = a + a * r + a * r^2 + ... + a * r^(n-2) + a * r^(n-1)r * S_n = a * r + a * r^2 + a * r^3 + ... + a * r^(n-1) + a * r^n两式相减，得到：S_n - r * S_n = a - a * r^n(1 - r) * S_n = a * (1 - r^n)S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)通过这个公式，我们可以快速计算等比数列的前n项和，而不需要逐项相加。
等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。
等比数列的前项和的两个公式
等比数列的前项和的两个公式
等比数列是数学中的一种重要概念，它的前项和公式也是我们在学习中经常会遇到的。
通过前项和公式，我们可以方便地求得等比数列的前n项和，进而深入理解数列的性质和规律。
让我们回顾一下等比数列的定义。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
这个比值称为公比，通常用字母q表示。
例如，数列1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
接下来，我们来看一下等比数列的前n项和公式。
设等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。
那么，等比数列的前n项和公式可以表示为：
Sn = a(1-q^n)/(1-q)
在这个公式中，a代表等比数列的首项，q代表等比数列的公比，n 代表等比数列的项数。
通过这个公式，我们可以轻松地求得等比数列的前n项和。
通过前项和公式，我们可以更加深入地理解等比数列的性质。
例如，我们可以通过不同的首项和公比，计算出不同项数下等比数列的前项和。
这样一来，我们就可以更好地掌握等比数列的规律，并在实际问题中灵活应用。
等比数列的前项和公式是我们在学习数列时必须掌握的重要知识点。
通过这个公式，我们可以方便地求得等比数列的前n项和，进一步加深对等比数列的理解。
希望通过这篇文章的介绍，读者们对等比数列的前项和公式有了更加深入的认识，能够在实际问题中灵活运用。
让我们一起努力，掌握好等比数列的前项和公式，提高数学学习的效果吧！。