新课标高考中周期数列的五种常见形式

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高三数列知识点归纳

高三数列知识点归纳数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要内容之一。

在高三阶段，数列作为一个重要的数学工具，是解决各种数学问题的基础。

本文将对高三数列知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地理解数列的概念和应用。

一、数列的定义与表示方式数列是由一系列有规律的数按特定顺序排列而成的。

通常用字母a1, a2, a3, ...表示数列的每一项，其中ai表示数列中的第i项。

数列可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

具体表示方式如下：等差数列：an = a1 + (n-1)d等比数列：an = a1 * q^(n-1)斐波那契数列：an = an-1 + an-2 (n ≥ 3)二、等差数列的性质和常用公式1. 公差：等差数列中相邻两项之差，记为d。

2. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

3. 前n项和公式：Sn = (n/2) * (a1 + an)。

4. 通项公式：若已知数列的首项和公差，则可以通过通项公式来求解数列中任意一项的值。

三、等比数列的性质和常用公式1. 公比：等比数列中相邻两项的比，记为q。

2. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3. 前n项和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。

4. 通项公式：若已知数列的首项和公比，则可以通过通项公式来求解数列中任意一项的值。

四、斐波那契数列的性质和常用公式斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

即an = an-1 + an-2 (n ≥ 3)。

斐波那契数列具有许多有趣的特性和应用，在数学和其他领域中都有广泛的应用。

五、数列的应用数列作为一种重要的数学工具，在各个学科和领域中都有广泛的应用。

在高三阶段，同学们需要熟练掌握数列的性质和常用公式，并能够灵活运用数列进行问题的分析和解决。

以下是数列在不同领域中的应用举例：1. 自然科学中，数列可以用来描述物理、化学、生物等现象的规律。

高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=，即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==，故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ．（Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1，所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

新课标高考中周期数列的五种常见形式

3
的数列
an1 1
例
1.已知数列 an 中，
a1
b b
0 ， an1
1 n
an 1
N
则能使 an
b的n
的数值
是（ C ）（A） 14 （B）15 （C） 16 （D）17
二、形如 an1
1
1 an
n N
数列an是周期为 3 的数列
例
2、已知数列 an 满足
a1
2，
an1
1
1 an
n
N
则
S2004
例 5、在数列an中， a1 2 ， an1 1 an n N ，设 Sn 为数列an的前项和，则
S2006 2S2007 S2008 （ A ）（A） 3 （B） 2 （C）3 （D）2
周期数列
对于数列{ }，如果存在一个常数
，使得对任意的正整数
恒有
成立，则称数列{ }是从第项起的周期为 T 的周期数
列。若
，则称数列{ }为纯周期数列，若
期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
，则称数列{ }为混周
周期数列主要有以下性质：
（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；
1002
三、形如 an2 an1 an n N
证明： an3 an2 an1 an1 an an1 an ， an6 an3 an ，数列 an 是周期
为 6 的数列。
已知数列xn满足 xn1 xn xn1 n 2， x1 a ， x2 b ，记 Sn x1 x2 xn 则
下列结论正确的是（ A ）（A） x100 a ， S100 2b a （B） x100 b ，

周期数列的五种常见形式

周期数列的五种常见形式周期数列指的是数列中出现的元素具有一定的规律性，按照一定的模式循环出现。

常见的周期数列有以下五种形式：1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻元素之间的差值是常数。

即每项与前一项的差值相等。

例如：1,4,7,10,13,...这个数列的公差是3，每一项与前一项之间的差是32.等比数列：等比数列是指数列中的相邻元素之间的比值是常数。

即每项与前一项的比值相等。

例如：2,4,8,16,32,...这个数列的公比是2，每一项与前一项之间的比值是23.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项等于其前两项之和。

即从第三项开始，每一项等于前两项的和。

例如：1,1,2,3,5,8,...这个数列的特点是，从第三项开始，每一项等于前两项的和。

4.周期为两个数的和：这种数列的每一项等于其前两项之和。

但是相比斐波那契数列，前两项可以不是1，1，而可以是任意两个正整数。

例如：3,5,8,13,21,...这个数列的特点是，从第三项开始，每一项等于前两项的和。

5.等差等比数列交替：这种数列是由等差数列和等比数列交替组成。

即相邻两个数列的元素分别满足等差和等比的规律。

例如：1,2,4,7,11,16,22,...这个数列的特点是，前两个元素满足等差规律（每一项与前一项之间的差是1），后两个元素满足等比规律（每一项与前一项之间的比是2）。

这些是周期数列的五种常见形式。

每个数列都有自己的特点和规律，通过观察数列中元素之间的关系，可以找到数列的规律并预测后续的元素。

周期数列的应用非常广泛，不仅在数学中有重要的地位，还在其他领域如物理、经济等中有着重要的应用价值。

新高考数列知识点总结归纳

新高考数列知识点总结归纳数列是数学中重要的概念之一，它是由一系列按特定规律排列的数按一定的次序形成的有序集合。

而在新高考数学考试中，数列作为一个重要的知识点，经常出现在试卷中。

本文将对新高考数列相关的知识点进行总结归纳，以期帮助同学们更好地掌握数列的概念和相关的解题方法。

一、数列的基本概念数列由一系列按特定规律排列的数按照一定的次序形成，通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示。

其中，a₁表示数列的第一个数，aₙ表示数列的第n个数。

数列中相邻两项之间的差称为公差，通常用d表示。

若给定数列的第一项和公差，可以通过an = a₁ + (n-1)d来计算数列的第n项。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒定的数列。

在新高考数学中，等差数列是最常见的数列类型之一。

1. 等差数列的通项公式对于等差数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果其公差为d，首项为a₁，那么它的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。

2. 等差数列的和等差数列的和可以通过求和公式Sn = n/2[2a₁ + (n-1)d]来计算，其中Sn表示等差数列的前n项和。

3. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 等差数列的相邻两项的和相等；- 等差数列的前n项和与n成正比；- 等差数列的对称轴为前后两项和的平均值。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比恒定的数列。

在新高考数学中，等比数列也是常见的数列类型之一。

1. 等比数列的通项公式对于等比数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果其公比为q，首项为a₁，那么它的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。

2. 等比数列的和等比数列的和可以通过求和公式Sn = a₁ * (1 - q^n)/(1 - q)来计算，其中Sn表示等比数列的前n项和。

3. 等比数列的性质等比数列具有以下性质：- 等比数列的相邻两项的比相等；- 等比数列的前n项和与n无关；- 等比数列的对数轴为前后两项比的平均值的对数。

高考数列的知识点总结

高考数列的知识点总结数列作为高中数学中的重要内容，在高考中被广泛考察。

掌握数列的基本概念、性质和解题方法，对于考生来说是非常重要的。

本文将从数列的定义、常见数列类别和解题方法三个方面进行总结。

一、数列的定义与基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。

通常表示为{an}或者(an)，其中n表示项数，an表示第n项。

数列可分为有限数列和无限数列两种。

数列的通项公式是指根据数列的规律，将第n项的值用n的函数表示出来。

通项公式在解题中起到了至关重要的作用。

在求解通项公式时，可以通过观察数列的差值、比值等关系，运用数学归纳法、代数方法或递推关系式等进行推导。

二、常见数列类别1.等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值恒定的数列。

通常用a1表示首项，d表示公差，an表示第n项，则等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

在解题中，需要掌握等差数列的性质和求和公式。

2.等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值恒定的数列。

通常用a1表示首项，q表示公比，an表示第n项，则等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

在解题时，需要注意公比的绝对值必须小于1，以避免出现无穷大或无穷小的情况。

3.等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项既是等差数列又是等比数列的情况。

通过观察数列的特点，可以分别求得等差数列和等比数列的通项公式，然后结合起来求解。

解题时需要注意两个公式的条件以及合理运用。

4.斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项分别为1和1，之后的每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的通项公式为an=F(n)，其中F(n)表示第n项。

在解题时，可以通过递推关系式或矩阵的形式求解。

三、数列的解题方法1.求和求和是数列考察的重点之一。

对于等差数列，可以根据首项、末项和项数利用求和公式来求解；对于等比数列，则需要利用首项、公比和项数来求解。

同时，需要掌握求和时的一些常用技巧，如化简等。

周期数列

常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。

数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。

一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。

例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。

解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。

又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。

（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。

（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。

（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。

（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。

例2、已知：=且，求数列的通项公式。

解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。

（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。

（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。

例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。

高考数学数列知识点归纳

高考数学中的数列知识点主要包括以下内容：
1. 数列的定义与性质：
-数列的概念：数列是按照一定规律排列的数的集合。

-项数与前n项和：第n项表示数列中的第n个数，前n项和表示数列前n项的和。

-通项公式与递推公式：通项公式是指可以通过给定的项数n来直接计算某一项的公式，递推公式则是通过前一项或前几项来计算下一项的公式。

2. 常见数列：
-等差数列：数列中的每个数都与其前一个数之差相等。

-等比数列：数列中的每个数都与其前一个数之比相等。

-斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和，即第三项开始满足an = an-1 + an-2。

3. 数列的性质和运算：
-数列的有界性：数列可以是有界的（上有界、下有界）、无界的或发散的。

-数列的单调性：数列可以是递增的、递减的或保持不变。

-数列的极限：数列可能有极限（有限或无穷）或不存在极限。

4. 数列的求和：
-等差数列的求和公式：利用等差数列的性质，可以得到等差数列前n项和的通用公式。

-等比数列的求和公式：利用等比数列的性质，可以得到等比数列前n项和的通用公式。

5. 数列的应用：
-常见问题的建模与解决：通过将实际问题转化为数列的形式，利用数列的性质和公式来解决问题。

以上是高考数学中与数列相关的主要知识点。

掌握这些知识点，能够帮助学生在解答数列相关题目时更加熟练和准确。

需要注意的是，除了理论知识，还需要进行大量的练习和实践，以提高对数列概念的理解和应用能力。

高二数列六大方法知识点

高二数列六大方法知识点数列是高中数学中的重要概念，也是很多数学问题的基础。

在高二数学中，数列的学习是相当重要的一部分。

在本文中，我们将介绍高二数列中的六大方法知识点，帮助同学们更好地掌握和应用数列的知识。

一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差恒定的数列。

等差数列常用的表示方法是：an = a1 + (n-1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是等差。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) × n ÷ 2。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比恒定的数列。

等比数列常用的表示方法是：an = a1 ×r^(n-1)，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，r是公比。

等比数列的求和公式为：Sn = a1 × (1 - r^n) ÷ (1 - r)。

三、递推数列递推数列是指数列中的每一项都通过前面的项进行计算得出的数列。

递推数列的表示方法较为灵活，常用的有递推式和初值两种形式。

递推数列的计算可以通过不断递推或者构建递推关系式来完成。

四、求通项公式通项公式是求数列中的第n项的公式，它可以通过观察数列的特点让我们找到规律，从而便于计算数列中任意一项的值。

常见的数列如等差数列和等比数列都有通项公式，利用这些通项公式可以简化数列计算的过程。

五、数列的性质和应用数列除了一些基本的概念和计算方法外，还有一些性质和应用，这些内容通常也是高二数列的重点和难点。

比如数列的单调性、极限、递归和数列在实际问题中的应用等等，这些内容需要同学们深入理解和掌握。

六、综合练习与解题技巧数列的应用十分广泛，相应地解题技巧也是多种多样的。

在学习数列的过程中，同学们需要通过大量的练习来提高对数列特点的把握和运用能力。

可以通过课后习题、模拟试卷等方式进行综合练习，并结合老师的指导进行解题技巧的学习和掌握。

综上所述，高二数列的六大方法知识点对于同学们掌握数列的概念和运用都非常重要。

周期数列的五种常见形式

周期数列对于数列F叮，如果存在一个常数—，使得对任意的正整数 _______________ 恒有成立，则称数列｛务｝是从第—项起的周期为—的周期数列。

若，则称数列｛乙｝为,若，则称数列｛务｝为, T 的称为最小正周期，简称周期。

儿种常见类型的周期数列：一、形如—亠("NJ1 + "”证明：例1•已知数列｛色｝中，q=b(b>0),畑=一一(ng )则能使= b的“的数值Q JI +1是( )(A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17二、形如5+1 = 1--(幵丘皿)n证明：例2、已知数列｛色｝满足«,=2, ©+严1 —丄川川咖二_______________三、形如5+2 = %-叫(« e N+)证明：例3、已知数列｛兀｝满足兀+] = X n -x”T ("n 2) , “ = a , x2=b, IBS,, = x｛ +x2 +••• + x n 则卜列结论正确的是( )(A) x l()0=-a , S1(X)=2b-a (B) x100 = -Z?, S lo() = 2b-a(C) x IOO = -h 9 S I(X)=b-a (D) x10() = -a , S[(K)=h-a四、形如if证明：例4、数列仏｝满足严严1(,二2),。

严一蛊，则呗=—五、形如4+]=1_©(“W N+)(等和数列)证明：例5、在数列｛©｝中，勺=2, ©+[=1—©0疋"+),设S”为数列｛©｝的前项和，则S2006 一2S20O7 + S2008 = ( )(A) -3 (B) -2 (C) 3 (D) 2。

数列高考知识点大全总结

数列高考知识点大全总结一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有限或无限个数按照一定的顺序排列组成的。

用数学语言描述就是一个由实数构成的序列。

一般用字母或符号表示，如{an}、{bn}等。

2. 数列中的相关概念（1）通项公式：数列中的第n个数的一般表达式，通常用an表示。

（2）前n项和：数列前n项的和，通常用Sn表示。

3. 数列的分类（1）等差数列：若数列中相邻两项的差恒定，称其为等差数列。

其通项公式为an=a1+(n-1)d。

（2）等比数列：若数列中相邻两项的比恒定，称其为等比数列。

其通项公式为an=a1*q^(n-1)。

（3）常数数列：数列中的每一项都相等的数列称为常数数列。

二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：当数列中的数有上界和下界时，称其为有界数列。

（2）无界数列：当数列中的数没有上界和下界时，称其为无界数列。

2. 数列的单调性若数列中的每一项都满足an≤an+1或者an≥an+1时，称其为单调递增数列或者单调递减数列。

3. 数列的性质（1）数列的线性组合：若an和bn是两个数列，k和m是任意常数，那么k*an+m*bn 也是一个数列。

（2）数列的绝对值：若an是一个数列，那么|an|也是一个数列。

三、常见数列1. 等差数列（1）性质：等差数列的前n项和Sn=a1*n+n(n-1)d/2。

（2）求通项公式：an=a1+(n−1)d。

（3）常用公式：Sn=n/2(a1+an)。

2. 等比数列（1）性质：等比数列的前n项和Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，|q|>1。

（2）求通项公式：an=a1*q^(n-1)。

（3）常用公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)。

3. 斐波那契数列（1）定义：斐波那契数列是一个典型的递推数列，前两项都为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

（2）通项公式：an=f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

（3）性质：斐波那契数列是一个无界数列。

高中数学数列知识点归纳整理总结

高中数学数列知识点归纳整理总结数列是数学中的重要概念，它是指按照一定规律排列的一系列数的集合。

在高中数学中，数列是一个重要的考点，掌握数列的性质和求解方法是学好数学的基础。

本文将对高中数学数列知识点进行归纳整理总结，帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。

一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的集合，用字母表示一般项，如a₁, a₂, a₃...2. 数列的一般形式：数列可以是有规律的，也可以是无规律的。

有规律的数列可以用以下三种形式表示：- 通项公式：根据数列的规律，得出每一项与项号之间的关系，以求解任意项和通项公式。

- 递推公式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项的关系。

- 递归式：通过前一项与后一项之间的关系，表示出数列中任意一项与它的前一项和初始条件的关系。

二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

等差数列的通项公式为an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项号。

- 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)[2a₁ + (n - 1)d]。

2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

等比数列的通项公式为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为项号。

- 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)，其中|r| < 1。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a₁= 1，a₂ = 1。

三、数列求解方法1. 已知数列的前n项，求通项公式：根据已知的前n项，可以通过构造方程组求解出通项公式。

- 样例：已知等差数列的前n项和Sn = 3n² - 2n，求该数列的通项公式。

数列知识点归纳及总结高中

数列知识点归纳及总结高中数列是数学中的一个重要概念，它是由若干按照一定规律排列的数所组成的序列。

在高中数学中，数列是一个非常重要的知识点，涉及到了数列的定义、性质、通项公式、求和公式等方面。

本文将对数列的相关知识进行归纳总结。

一、数列的基本概念数列是由一串按照一定规律排列的数所组成的序列。

其中，每一个数称为数列的项，数列中的每两个相邻项之间都有一个确定的关系。

在数列中，一般将第一个数称为首项，最后一个数称为末项。

数列中的项数可以是有限个，也可以是无限个。

如果数列中的规律可以通过某个函数来表达，那么这个函数就是数列的通项公式。

二、数列的分类数列可以按照其公式的特点进行分类。

常见的数列有等差数列、等比数列、等差数列和等比数列的混合数列。

1. 等差数列：若数列中的相邻两项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。

其通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

2. 等比数列：若数列中的相邻两项之比都相等，那么这个数列就是等比数列。

其通项公式为an = a1 * q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

3. 等差数列和等比数列的混合数列：若数列中既存在等差关系，又存在等比关系，那么这个数列就是等差数列和等比数列的混合数列。

其通项公式既可以包含等差数列的项数公式，也可以包含等比数列的项数公式。

三、数列的性质与运算数列有一些重要的性质和运算规律，这些性质和规律在数列的求解过程中起到了关键作用。

1. 首项与末项的求法：对于等差数列来说，首项a1等于任意一项与公差d的和减去 (n - 1) * d；对于等比数列来说，首项a1等于任意一项与公比q的乘积除以q^(n-1)。

2. 通项公式的求法：对于等差数列，如果知道了首项a1和公差d，可以根据通项公式求出任意一项an；对于等比数列，如果知道了首项a1和公比q，可以根据通项公式求出任意一项an。

3. 数列的和与求和公式：对于等差数列，数列的前n项和Sn等于(a1 + an) * n / 2；对于等比数列，数列的前n项和Sn等于 a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

高中数列知识点总结

高中数列知识点总结数列是数学中的一个基本概念，它在高中数学中占据着重要的地位。

数列是由一系列有规律的数字按照特定的次序排列而形成的序列。

在高中数学中，数列有着广泛的应用，涉及到的知识点相对较多。

下面将详细介绍高中数列的知识点。

一、数列的概念和表示方法数列是由一系列有规律的数字按照特定的次序排列而形成的序列。

数列可以用数学表达式来表示，常用的表示方法有通项公式和递推公式。

通项公式是指通过一个公式直接给出数列的第n项的数学表达式。

递推公式是指通过已知的前几项，利用递推关系得到数列的后一项。

二、等差数列等差数列是指数列中每两个相邻的数之差都相等的数列。

等差数列常用的表示方法是通项公式和递推公式。

通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

递推公式为An=An-1+d，其中An表示第n项，An-1表示第n-1项，d为公差。

等差数列的性质有：公差相等，任意项与首项之差为d，首项与末项之和为(Sn=a1+an)n/2，其中Sn 表示前n项和。

三、等比数列等比数列是指数列中每两个相邻的数之比都相等的数列。

等比数列常用的表示方法是通项公式和递推公式。

通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

递推公式为An=An-1*r，其中An表示第n项，An-1表示第n-1项，r为公比。

等比数列的性质有：公比相等，任意项与首项之比为r，首项与末项之积为(an=a1*r^(n-1))。

四、数列的求和在高中数学中，数列的求和是一个常见的问题。

对于等差数列和等比数列，可以利用特定的公式求出前n项和。

等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)n/2，而等比数列的前n项和公式为Sn=a1(r^n-1)/(r-1)。

需要注意的是，在求和时要根据题目给出的条件来确定起始项和终止项。

五、数列的性质和应用数列作为一种数学模型，在实际问题中具有广泛的应用。

通过研究数列的性质，我们可以更好地理解和解决实际问题。

数列知识点总结新高考

数列知识点总结新高考一、数列的概念数列是由一列有限或无限个数字组成的序列，这些数字按照一定的规律排列。

数列是数学中非常重要的一种对象，它们在代数、微积分、概率等领域中都有重要的应用。

二、数列的分类1. 等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。

例如，1，3，5，7，9，……就是一个等差数列，其公差为2。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。

2. 等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。

例如，2，4，8，16，32，……就是一个等比数列，其公比为2。

等比数列的通项公式为：an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，an为第n项。

3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个非常特殊的数列，其特点是每一项（从第三项开始）都是前两项的和。

例如，1，1，2，3，5，8，13，……就是一个斐波那契数列。

斐波那契数列的通项公式为：an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1，an为第n项。

4. 级数级数是指将数列中的所有项相加所得到的和，级数在实际生活和数学中有非常广泛的应用。

例如，1+1/2+1/4+1/8+1/16+……就是一个级数。

三、数列的求和1. 等差数列的求和等差数列的前n项和可以使用下面的公式来求解：Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn为前n项和，a1为首项，an为第n项。

例如，1+3+5+7+9的和可以使用此公式来计算。

2. 等比数列的求和等比数列的前n项和可以使用下面的公式来求解：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn为前n 项和，a1为首项，r为公比。

例如，2+6+18+54的和可以使用此公式来计算。

3. 级数的求和级数的和可以使用不同方法来计算，例如等差级数的和、等比级数的和等。

级数的求和在微积分中有很多应用。

四、数列的特殊性质1. 通项公式数列的通项公式是指通过一定的方法，可以求得数列中任意一项的值。

新高考数列知识点总结

新高考数列知识点总结一、数列的定义与性质数列是数学中常见的一种数学对象，它是由一系列按特定规律排列的数字组成。

数列一般表示为{a_1, a_2, a_3, ..., a_n}，其中a_i表示第i 个元素。

数列的性质包括有界性、单调性、通项公式等。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。

它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，d表示公差。

等差数列的性质包括：1. 公差d相同，任意两项之差相等。

2. 通项公式可推导出任意项的值。

3. 求和公式为Sn = (a_1 + a_n)*n/2。

三、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

它的通项公式为a_n = a_1 * r^(n-1)，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，r表示公比。

等比数列的性质包括：1. 公比r相同，任意两项之比相等。

2. 通项公式可推导出任意项的值。

3. 求和公式为Sn = a_1*(1-r^n)/(1-r)，当|r|<1时成立。

四、特殊的数列1. 斐波那契数列斐波那契数列是指从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

它的通项公式为a_n = a_(n-1) + a_(n-2)，其中a_1 = 1，a_2 = 1。

斐波那契数列具有许多特殊性质，如黄金分割比等。

2. 幂次数列幂次数列是指数列中每一项都是前一项的某个正整数次幂的数列。

它的通项公式为a_n = a_1^k^n，其中a_n表示第n项，a_1表示首项，k为正整数。

幂次数列的性质包括：- 当k>1时，数列呈不断增大的趋势。

- 当0<k<1时，数列呈不断减小的趋势。

五、数列间的关系1. 数列之和的关系若已知数列的通项公式，可通过求和公式求得数列之和。

对于等差数列，求和公式为Sn = (a_1 + a_n)*n/2；对于等比数列，求和公式为Sn = a_1*(1-r^n)/(1-r)。

2. 数列的递推关系数列间的递推关系是指通过已知数列的前一项或前几项来推导出后一项的关系。

新高考数列知识点总结

新高考数列知识点总结### 新高考数列知识点总结数列是高中数学中的一个重要概念，它在新高考中占有一席之地。

数列不仅考察学生的计算能力，还考察逻辑推理和抽象思维能力。

以下是新高考中数列部分的知识点总结：1. 数列的定义与表示- 数列是按照一定规律排列的一列数。

- 通常用小写字母表示数列的项，如 \(a_n\) 表示数列的第 \(n\) 项。

2. 等差数列- 等差数列是每相邻两项的差相等的数列。

- 公差 \(d\) 为相邻两项的差，通项公式为 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)。

- 求和公式为 \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)。

3. 等比数列- 等比数列是每相邻两项的比相等的数列。

- 公比 \(q\) 为相邻两项的比，通项公式为 \(a_n = a_1q^{n-1}\)。

- 求和公式为 \(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q \neq 1\)）。

4. 数列的通项公式与求和公式- 通项公式是描述数列中任意一项与项数关系的公式。

- 求和公式是描述数列前 \(n\) 项和的公式。

5. 数列的递推关系- 递推关系是描述数列中项与前一项或几项之间的关系的公式。

- 常见的递推关系有 \(a_{n+1} = a_n + d\) 或 \(a_{n+1} = a_n \cdot q\)。

6. 数列的极限- 数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列项趋向的值。

- 极限的概念在数列的收敛性讨论中非常重要。

7. 数列的性质- 数列具有单调性、有界性等性质。

- 这些性质在解决数列问题时经常被用到。

8. 数列的应用- 数列在实际问题中有广泛的应用，如金融、物理、计算机科学等领域。

- 理解数列在实际问题中的应用有助于加深对数列概念的理解。

9. 数列的证明- 数列的证明通常涉及到数学归纳法等证明方法。

- 掌握数学归纳法是解决数列证明题的关键。

10. 数列的分类- 数列可以根据不同的特征进行分类，如单调数列、有界数列等。

新高考数列知识点归纳总结

新高考数列知识点归纳总结数列是高中数学中非常重要的一个概念，它在新高考中也是必考的内容之一。

掌握数列的相关知识，对于学生的数学成绩提升有着重要的作用。

本文将对新高考数列的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地复习和应对考试。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是由一串按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

2. 通项公式：数列中的每一项都可以用一个公式来表示，这个公式称为通项公式。

3. 首项和公差：数列中的第一项称为首项，相邻两项之间的差称为公差。

二、等差数列1. 等差数列的概念：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的通项公式为an=a₁+(n-1)d。

3. 等差数列的前n项和：设等差数列的首项为a₁，末项为an，共有n项，前n项和的公式为Sn=(a₁+an)n/2。

三、等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

2. 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的通项公式为an=a₁q^(n-1)。

3. 等比数列的前n项和：设等比数列的首项为a₁，公比为q，共有n项，前n项和的公式为Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。

四、特殊数列1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

2. 等差-等差数列：等差-等差数列是指每一个项都是一个等差数列的首项，同时这些等差数列的公差也构成一个等差数列。

例如：2, 5, 8, 11, 14, ...五、数列的应用1. 数列在数学中的应用非常广泛，特别是在数学建模和数学推理方面有着重要作用。

2. 数列可以用来描述各种数量的变化规律，如人口增长、销售额增加等等。

3. 通过数列的求和公式，可以计算出各种数量的累加值，如等差数列前n项和、等比数列前n项和等。

高一数列归纳知识点总结

高一数列归纳知识点总结数列是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学研究中的一个基本对象。

在高一阶段，数列的学习是数学学习的一个重要内容。

本文将从数列的定义、常见数列的特点以及数列的求和公式等方面进行归纳总结。

一、数列的定义与表示方法1. 数列的定义：数列是按照一定的顺序排列起来的数的集合，其中每个数称为数列的项。

2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：数列可以通过一个解析式来表示，该解析式可以计算出数列中各项的具体数值。

（2）递推公式表示法：数列可以通过一个递推公式来表示，该递推公式利用前一项或前几项来递推求得后一项。

二、常见数列的特点与分类1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

常用通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

常用通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。

通常用F(n)表示第n项，前两项分别为F(1) = 1，F(2) = 1。

4. 平方数列：平方数列是指数列中每一项都是某个整数的平方的数列。

例如1，4，9，16，25，...5. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中同时满足等差和等比条件的数列。

通常用an表示第n项，其通项公式为：an = a1 * r^(n-1) + (n-1)d。

三、数列的性质与求和公式1. 数列的有界性：数列可以是有界的，即存在一个上界或下界，也可以是无界的。

2. 数列的递增性与递减性：数列可以是递增的，即每一项都大于前一项，也可以是递减的，即每一项都小于前一项。

3. 奇数数列与偶数数列：数列中的奇数项或偶数项构成了两个新的数列，分别称为奇数数列和偶数数列。

4. 数列的求和公式：对于某些特殊的数列，可以通过递推或另外的方法得出它们的求和公式。