Bezier曲线的递推算法
Bezier曲线
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：
k Pi
k
P 1 i 1
k 1Pi
例如： 0 Pi Pi
1Pi 0 Pi1 0 Pi Pi1 Pi
2 Pi 1Pi1 1Pi Pi2 2Pi1 Pi
Pn1
P2 n2
选择 和 的值 ，可以利用该式确定曲线段 Q (t)的特征多边形顶点 Q2，而顶点Q0 、Q1已被 G1连续条件所确
定。要达到Q2连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。
如果从上式的两边都减去Pn，则等式右边可以表示为(Pn-Pn-1)和(Pn-1-Pn-2) 的线性组合：
k(t) P' (t) 3
可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
k (0)
n 1 n
(P1
P0 ) (P2 P1 P0 3
P1 )
k (1)
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn1)
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
•
恰好是二项式[t+(1-t)]n的展开式。：其中，当i=0，t=0时，ti=1，i！=1，即00=1,0！=1
Pi代表空间的很多点，t在0到1之间，把t代入进去可以算出一个数，即平面或空间一个点。 随着t值的变化，点也在发生变化。当t从0到1时，就可以得到空间的一个图形，这个图形就是Bezier曲线。
第二章 Bézier曲线
§1.一般介绍 §2.Bézier曲线的定义及性质 §3.de Casteljau算法 §4.Bézier曲线的其它表示形式及导数 §5.组合Bézier曲线和几何连续性 §6.Bézier曲线修形及升阶
§1.一般介绍
Bézier曲线是分别由法国 Citroën 汽车公司的de Casteljau大约于1959年 和法国Renault汽车公司的Bézier大约 于 1962 年独立研制的.由于以Bézier 方法为基础的 UNISURF 系统首先公开 发表,所以现在这一方法冠以Bézier的 名字.
升阶图例2
形状修改图例
de Casteljau算法图例2
de Casteljau算法图例3
de Casteljau算法图例4
§4.Bézier曲线的其它 表示形式及其导数
用边向量表示的Bézier曲线
Bézier曲线的导数
Bézier曲线的差分表示形式
用边向量表示的Bézier曲线(证明)
Bézier曲线的导数1
图例：三次Bézier曲线
Bézier曲线的定义(现在)
Bernstein多项式的性质(1)
1.单位分解性
2.非负性 3.端点性质
Bernstein多项式的性质(2)
4.对称性
5.递推公式 6.导函数 7.最大值
Bernstein多项式的性质(3)
8.升阶公式 9.分割公式 10.积分公式 11.与幂基的转换公式
P
0 1
P
1 1
P
2 0
P
3 0
P
0 2
P
2 1
P
1 0
P
1 2
贝塞尔曲线公式
贝塞尔曲线公式贝塞尔曲线（Bézier Curve）是由法国数学家皮埃尔·贝塞尔提出的，其应用非常广泛，如CAD系统，图片处理，几何图案绘制等。
贝塞尔曲线具有很强的平滑性，可以用来描述任意曲线，可以更加精确地描述几何形状。
贝塞尔曲线公式是一种用于绘制贝塞尔曲线的方法，它可以用来描述任意曲线。
贝塞尔曲线公式也称为递推公式，它将多项式拆分为多边形，并用相应的贝塞尔曲线来表示这些多项式。
这种方法实现了在任意两个点之间平滑多边形的曲线，给我们一个非常高效地，强大而精确绘图方法。
贝塞尔曲线的通用公式为：B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)其中，Pk是贝塞尔曲线的控制点，t是参数，Cn,k（t）是贝塞尔基函数：C0,0(t)=1,Cn,0(t)=0,Cn,k(t)=Cn-1,k-1(t)+(n-k+1)Cn-1,k(t)而B（t）是控制点的一个线性函数，t的数值在[0,1]之间。
当t=0的时候，B(t)=P0，t=1的时候，B(t)=Pn，其间的某一点Q，坐标则有如下形式：Q(x,y)=B(t)=sum(k=0,n)PkCn,k(t)=(P0(t),Pn(t))Cn,k(t)由于贝塞尔曲线是一种几何数学概念，它还有基于几何理论的定义及绘图方法，如：1.控制点的定义：在二维空间内，贝塞尔曲线是由“控制点A”和“控制点B”两个点构成曲线。
2.贝塞尔曲线定义：采用参数t做函数变换后，以控制点A和控制点B为两个顶点，完成三次曲线的定义。
即所谓的B-Spline曲线（B样条曲线）。
3.贝塞尔曲线定向：从起点开始，控制点A和控制点B所代表的线条向曲线的延长方向，可以使到达终点的曲线更平滑，更优美。
4.贝塞尔曲线的绘制：一般来说，贝塞尔曲线的绘制可以分成三步：（1）通过各个控制点求得控制点对应的点对；（2）将此点对组合起来即可绘出相应的贝塞尔曲线；（3）根据公式依次计算出整条曲线上的点，最后完成贝塞尔曲线的精确绘制。
bezier曲线生成算法
bezier曲线生成算法Bezier曲线是一种重要的曲线生成算法，被广泛应用于计算机图形学、CAD、动画等领域。
它是Bernstein多项式的线性组合，利用微积分和矩阵运算等数学知识进行计算。
下面将分步骤介绍Bezier曲线生成算法。
1.选择控制点决定Bezier曲线形状的有多个控制点。
一条曲线至少需要两个控制点，但大部分曲线使用的是三到四个控制点。
选择控制点要根据实际需要来确定，例如需要画一个弧度比较小的圆弧，那么就只需要选择少数几个点。
2.计算Bezier曲线的轨迹根据控制点求解Bezier曲线的轨迹有多种方法，如迭代法、递推法等。
这里我们使用递推公式，可具体分为三步：(1)首先计算Bezier曲线的一阶导数，即B0'(u)、B1'(u)、B2'(u)、B3'(u)；(2)然后根据一阶导数计算Bezier曲线的二阶导数，即B0''(u)、B1''(u)、B2''(u)、B3''(u)；(3)最后根据二阶导数计算Bezier曲线的轨迹，即B(u)=B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)。
其中B0(u)、B1(u)、B2(u)、B3(u)是Bezier基函数，u为Bezier曲线的参数。
3.绘制Bezier曲线根据Bezier曲线轨迹的坐标可以用直线或者曲线来连接，从而得到Bezier曲线的效果。
当然，为了获得更光滑、更细腻的曲线效果，我们一般使用二次或三次Bezier曲线。
4.应用Bezier曲线Bezier曲线有着广泛的应用，如计算机图形学中的曲面建模、动画制作中的路径控制、CAD绘图等。
在绘制曲线和曲面时，Bezier曲线可以很好的展现出几何图形的优美形态，所以在计算机辅助绘图和工程制图中被广泛应用。
综上所述，Bezier曲线生成算法是一种强大而优美的数学方法。
通过选择控制点、计算Bezier曲线的轨迹、绘制Bezier曲线以及应用Bezier曲线等步骤，可以生成出各种美妙的曲线和曲面。
实验报告四bezier曲线
实验四Bezier曲线的绘制1. 实验目的练习Bezier曲线的绘制和de Casteljau算法。
2. 实验内容和要求按要求完成如下一个作业，提交纸质实验报告，同时提交实验报告和代码的电子版。
实现Bezier曲线的de Casteljau递推算法，能够对任意介于0和1之间的参数t计算Bezier曲线上的点，然后依次连接这些点生成Bezier曲线。
要求：对[0,1]参数区间进行100等分。
控制点的数目至少为5个，即Bezier曲线的次数不低于4次。
de Casteljau算法用一个函数单独实现。
绘制Bezier曲线的同时还要绘制其控制多边形。
至少绘制两条Bezier曲线，具有不同的次数，颜色和曲线宽度。
3.算法描述Bezier Curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线定义：起始点、终止点、控制点。
通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
1962年，法国数学家Pierre Bezier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。
以下公式中：B(t)为t时间下点的坐标；P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点。
一阶贝塞尔曲线如下，意义由 P0 至 P1 的连续点，描述的是一条线段：二阶贝塞尔曲线（抛物线：P1-P0为曲线在P0处的切线）：原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
4. 源程序代码#include<C:\Include\GL\glut.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>GLsizei winWidth = 600, winHeight = 600;GLfloat xwcMin = -150.0, xwcMax = 150.0;GLfloat ywcMin = -300.0, ywcMax = 300.0;class wcPt3D{public:GLfloat x, y, z; };void init(){glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 1.0); }void plotPoint(wcPt3D bezCurevePt){glBegin(GL_POINTS);glVertex2f(bezCurevePt.x, bezCurevePt.y);glEnd(); }void binomiaCoeffs(GLint n, GLint * C){GLint k, j;for (k = 0; k <= n; k++)C[k] = 1;for (j = n; j >= k + 1; j--)C[k] *= j;for (j = n - k; j >= 2; j--)C[k] /= j; }void computeBezPt(GLfloat u, wcPt3D * bezPt, GLint nCtrlPts, wcPt3D *CtrlPts, GLint *C){ GLint k, n = nCtrlPts - 1;GLfloat bezBlendFcn;bezPt->x = bezPt->y = bezPt->z = 0.0;for (k = 0; k<nCtrlPts; k++){bezBlendFcn = C[k] * pow(u, k) * pow(1 - u, n - k);bezPt->x += CtrlPts[k].x * bezBlendFcn;bezPt->y += CtrlPts[k].y * bezBlendFcn;bezPt->z += CtrlPts[k].z * bezBlendFcn; } }void bezier(wcPt3D * ctrlPts, GLint nCtrlPts, GLint nBezCurvePts){wcPt3D bezCurvePt;GLfloat u;GLint *C, k;C = new GLint[nCtrlPts];binomiaCoeffs(nCtrlPts - 1, C);for (k = 0; k <= nBezCurvePts; k++){u = GLfloat(k) / GLfloat(nBezCurvePts);computeBezPt(u, &bezCurvePt, nCtrlPts, ctrlPts, C);plotPoint(bezCurvePt); }delete[]C; }void displayFcn(void){GLint nCtrlPts = 5, nCtrlPts2 = 6, nBezCurvePts = 1000;wcPt3D ctrlPts[5] = { { -135.0, -59.0, 0.0 }, { -59.0, 95.0, 0.0 }, { 0.0, -40.0, 0.0 }, { 70.0, 120.0, 0.0 }, { 78, -125.0, 0.0 } };wcPt3D ctrlPts2[6] = { { -118.0, 20.0, 0.0 }, { -85.0, 45.0, 0.0 }, { -26.0, -126.0, 0.0 }, { 38.0, 88.0, 0.0 }, { 58.0, 188.0, 0.0 }, { 108.0, 98.0, 0.0 } }; glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glPointSize(6);glColor3f(0.0, 1.0, 1.0);bezier(ctrlPts, nCtrlPts, nBezCurvePts);glPointSize(5);glColor3f(1.0, 0.0, 1.0);bezier(ctrlPts2, nCtrlPts2, nBezCurvePts);glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);glBegin(GL_LINES);glVertex2f(-135.0, -59.0);glVertex2f(-59.0, 95.0);glVertex2f(-59.0, 95.0);glVertex2f(0.0, -40.0);glVertex2f(0.0, -40.0);glVertex2f(70.0, 120.0);glVertex2f(70.0, 120.0);glVertex2f(78.0, -125.0);glVertex2f(-118.0, 20.0);glVertex2f(-85.0, 45.0);glVertex2f(-85.0, 45.0);glVertex2f(-26.0, -126.0);glVertex2f(-26.0, -126.0);glVertex2f(38.0, 88.0);glVertex2f(38.0, 88.0);glVertex2f(58.0, 188.0);glVertex2f(58.0, 188.0);glVertex2f(108.0, 98.0);glEnd();glFlush(); }void winReshapeFcn(GLint newWidth, GLint newHeight){glViewport(0, 0, newWidth, newHeight);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(xwcMin, xwcMax, ywcMin, ywcMax);glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); }void main(int argc, char *argv[]){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);glutInitWindowPosition(50, 50);glutInitWindowSize(winWidth, winHeight);glutCreateWindow("yxl 实验四 Bezier曲线");init();glutDisplayFunc(displayFcn);glutReshapeFunc(winReshapeFcn);glutMainLoop(); }5. 实验结果6.实验体会最后一次实验报告了，老师要求我们做Bezier曲线，需要我们对函数去理解的一次实验，对于数学比较差的我来说还是很有困难的，理解起来比较吃力。
Bezier曲线与曲面
页码，3/25
（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
file://C:\360Rec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
2011-1-4
Untitled Document
点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
页码，15/25
3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
file://C:\360பைடு நூலகம்ec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
第10部分计算机图形学Bezier曲线
P1 P11 P01
P02
P2
P0 Bezier曲线上的点
1/18/2019 第10部分 Bezier曲线 第17页
P1
P01 (1 t ) P0 tP 1
P11
1 P 1 (1 t ) P 1 tP 2 1 P02 (1 t ) P01 tP 1
P01
P0
P02
Bezier曲线
Ray
ray@
1/18/2019
李辉 副教授
内容
Bezier 曲线历史 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的递推算法 Bezier 曲线的拼接 Bezier 曲线的升阶和降阶
P0
P 1 P2 P3 n=3时
1/18/2019
P01
1 P 1
P02
2 P 1
P21
P03
Pi n 的递推关系
第21页
第10部分 Bezier曲线
2 P 1
P
2 0 1 P 0
P 1
P
1 1
P 2
1 P 2
P 0 0
3 P (1 / 3) P 0
P 3
1/3
1
几何作图法求Bezier曲线 上一点（n=3，t=1/3）
* i 0 i 0 i 0 i 0 n n n n
t [0,1]
1/18/2019
第10部分 Bezier曲线
第13页
3.
凸包性
– –
B
i 0
n
i ,n
(t ) 1 且
0 Bi ,n (t ) 1(0 t 1, i 0,1,, n) Bezier曲线P(t)在 t [0,1] 中各点是控制点Pi的凸线性
bezier曲线算法
bezier曲线算法摘要：一、贝塞尔曲线算法概述1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线在计算机图形学中的应用二、贝塞尔曲线算法的原理1.伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程2.控制点和结束点的关系3.细分方法三、常见的贝塞尔曲线算法1.线性插值法2.二次插值法3.三次插值法（de Casteljau 算法）四、贝塞尔曲线算法的应用实例1.绘制简单的贝塞尔曲线2.使用贝塞尔曲线绘制复杂图形五、贝塞尔曲线算法的优化1.减少计算量2.提高精度正文：贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中广泛应用的数学方法，它能够根据给定的控制点和结束点，生成平滑的曲线。
这种算法基于伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程，通过细分方法，可以得到精确的曲线。
贝塞尔曲线是由三个点（控制点）和两个结束点组成的，其中控制点和结束点的关系可以通过伯恩哈德·兰伯特·贝塞尔方程来描述。
在计算过程中，首先需要根据控制点和结束点计算出曲线的中间点，然后通过细分方法，将曲线分为两段，继续计算每一段的控制点和结束点，直到达到所需的精度。
在计算机图形学中，贝塞尔曲线算法被广泛应用于绘制复杂的图形和动画。
例如，可以利用贝塞尔曲线绘制平滑的曲线、折线、多边形等。
此外，该算法还可以用于生成纹理、阴影等视觉效果。
常见的贝塞尔曲线算法包括线性插值法、二次插值法和三次插值法（de Casteljau 算法）。
线性插值法是一种简单的方法，但是生成的曲线精度较低；二次插值法可以提高精度，但是计算量较大；而三次插值法（de Casteljau 算法）则在精度和计算量之间取得了较好的平衡。
在实际应用中，贝塞尔曲线算法需要考虑计算量和精度的平衡。
为了减少计算量，可以采用一些优化方法，例如使用分治策略、减少插值次数等。
为了提高精度，可以采用更高阶的插值方法或者增加细分次数。
总之，贝塞尔曲线算法是一种在计算机图形学中具有重要意义的数学方法。
贝塞尔曲线算法
一、贝塞尔曲线介绍贝塞尔曲线：塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
主要实现功能：1、在曲线上可以增加一个节点；2、在曲线的节点上点击可以删除一个节点；3、位图可以点击再拖动某一点可以进行任意形状的编辑；二、贝塞尔曲线原理贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau 于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
（1）线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线，这条线由下面的公式可以计算：（2）二次方贝塞尔曲线路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪：（3）三次方贝塞尔曲线P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P2之前，走向P1方向的“长度有多长”对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构（4）n阶贝塞尔曲线n阶贝塞尔曲线也称为高阶贝塞尔曲线。
n阶贝塞尔曲线可如下推断。
给定点P0、P1、…、Pn，其贝塞尔曲线即三、贝塞尔典线绘制原理用de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线在平面内任选3个不共线的点，依次用线段连接：在第一条线段上任选一个点D。
曲线定义算法
Ci n=n!/(i!*(n-i)!)
{
case WM_CREATE:
static int cxchar;
hdc = GetDC(hwnd);
GetTextMetrics(hdc,&tm);
cxchar = tm.tmAveCharWidth;
ReleaseDC(hwnd,hdc);
case WM_SIZE:
cxClient = LOWORD(lparam);
cyClient = HIWORD(lparam);
return 0;
case WM_PAINT:
hdc = GetDC(hwnd);
srand(time(0));
ReleaseDC(hwnd,hdc);
DeleteObject(hpen);
ValidateRect(hwnd,NULL);
return 0;
case WM_DESTROY:
PostQuitMessage(0);
、Bezier曲线定义：
给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定义为：
P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1]
其中：Bi,n(t)称为基函数。
{
Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);
Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;
Bézier曲线
t 从0变到1
P01 (1 t )P0 tP1 P11 (1 t )P1 tP2 P02 (1 t )P01 tP11
(1) (2) (3)
抛物线三切线定理
这表明：这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前
在此输入文本内两容个，在顶此点输(文P0本,P内1容)和，后两个顶点(P1,P2)决定的一次
（6）导函数 B'i,n t n Bi1,n1 t Bi,n1 t i 0,1,..., n
（7）最大值
Bin
(t)在t
i n
处达到最大值
（8）升阶公式
(1 t)Bi,n(t) (1 i )Bi, n 1(t) n 1
tBi, n(t) i 1 Bi 1, n 1(t) n 1
如图所示，设P0、P02、P2 是一条抛物线上顺序 三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在 点成P立02：的切线pp交001ppP0110P1和pp111Ppp1212P1于ppP00120pp101和12 P11 ，则如下比例
这是所谓抛物线的三切线定理 。
图抛物线三切线定理
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
Cni ti (1 t)ni
(n
n! ti i)!i!
(1 t)ni , (i
0,1,...,
n)
Bernstein基函数的性质
（1）正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2, , n 1)
（2）端点性质
Bi,n(0) =
1, i = 0 0, i ≠ 0
Bi,n(0) =
Bezier曲线
Bezier曲线的性质(II)
• 对称性：控制点位置不变次序颠倒构造出的新Bezier 曲线， 与原Bezier曲线形状相同，走向相反。
Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
• 凸包性：当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特 征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是Bi,n(t)。
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法(II) • (1)和(2)带入(3)得：
– 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、 P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
– 由于
。这二次Bezier
曲 （P线0P，20P可1）以和定后义两为个分顶别点由（前P两1，个P顶2）点
决定的一次Bezier曲线的线性组合。
Bezier曲线的矩阵表示(III)
• 三次Bezier曲线
– 四个控制点P0, P1, P2,P3
– n=3,
3
C(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1 t)P2 t3P3 i0
– 矩阵表示
1 3 3 1P0
C(t) t3
• n+1个控制点构成由n条边组成 的折线集，称为控制多边形
• 控制多边形起点、终点和曲线 起点、终点重合。
• 控制多边形第一条边和最后一 条边表示曲线起点、终点处切 向量方向。
• 曲线形状趋向于控制多边形形 状。
Bezier曲线插值公式
• 给次定Be空zie间r参n+数1个曲点线的上位各置点矢坐量标P的i（插i=值0，公1式，是…：，n），则n
• Bezier曲线的定义
– n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
贝齐尔曲线曲面生成方法
实验三贝齐尔（Bezier）曲线曲面的生成方法实验类型：综合型一、目的与任务目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。
二、内容、要求与安排方式1、实验内容与要求：贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P（t）=∑Bi,n(t)Q(i)和几何作图法；要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。
2、实验安排方式：课外编写好程序清单，按自然班统一安排上机。
三、实验步骤1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。
四、实验要求1．在规定的时间内完成上机任务。
2．必须实验前进行复习和预习实验内容。
3．在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。
4．指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。
5．完成实验报告一份。
五、试验具体内容1，Bezier 曲线的描述在空间给定n + 1 个点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn ,称下列参数曲线为n 次的Bezier 曲线。
P(t) = 6nt = 0PiJ i ,n (t) , 0 ≤t ≤1其中J i ,n (t) 是Bernstein 基函数,即B i ,n (t) = n !／i !(n - i) *t(1-t);i = 0 , ⋯⋯,n一般称折线P0P1P2 ⋯Pn 为曲线P(t) 的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn 为P(t) 的控制顶点。
在空间曲线的情况下,曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t) ) 和控制顶点Pi = (Xi ,Yi ,Zi) 的关系用分量写出即为:X(t) = 6ni = 0XiJ i ,n (t)Y(t) = 6ni = 0YiJ i ,n (t)Z(t) = 6ni = 0ZiJ i ,n (t)当t 在区间[0 ,1 ] 上变动时,就产生了Bezier 曲线。
15-Bezier曲线曲面
Bezier曲线的背景和定义 一、Bezier曲线的背景和定义
1、Bezier曲线的背景 Bezier曲线的背景 给定n+1个数据点，p0(x0,y0),…pn(xn,yn)，生成一条曲线 ，使得该曲线与这些点所描述的形状相符。如果要求曲线通 过所有的数据点，则属于插值问题；如果只要求曲线逼近这 些数据点，则属于逼近问题。 逼近在计算机图形学中主要用来设计美观的或符合某些美 学标准的曲线。为了解决这个问题，有必要找到一种用小的 部分即曲线段构建曲线的方法，来满足设计标准。 当用曲线段拟合曲线f(x)时，可以把曲线表示为许多小线 段φi(x)之和，其中φi(x)称为基（混合）函数。
p (t ) = t 2
[
t
1 1 ⋅ − 2 1
]
−2 2 0
1 P0 0 ⋅ P1 0 P2
（3）三次Bezier曲线 三次Bezier曲线 Bezier 三次Bezier曲线由4个控制点生成，这时n=3，有4个控制点 p0、p1、p2和p3，Bezier多项式是三次多项式：
f (x) =
∑
n
i=0
a iφ i ( x )
这些基（混合）函数是要用于计算和显示的。因此，经常 选择多项式作为基（混合）函数。
φ(x) = an xn + an−1xn−1 +...+ a1x + a0
几何造型有两个分支：一个是曲线曲面造型（surface modeling），一个是实体造型（solid modeling）；后来随着 技术的进步，两个分支逐渐融合在一起。曲线曲面的造型的算 法和概念是几何造型的公共基础，bezier曲线曲面在几何造型 中扮演着一个非常重要的角色。 由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示 方法, 已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的贝塞尔（P.E.Bezier）构 造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系 统，1972年，该系统被投入了应用。
bezier曲线
n
n
P * (t) Pi*Bi,n (t) PniBi,n (t)
i0
i0
n
n
PniBni,n (1 t) PiBi,n (1 t)
i0
i0
P(1 t) , t 0,1
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(3) 凸包性
n
由于
Bi,n (t) 1,
(7) 最大值
Bi,n ( t ) 在 t=i/n 处达到最大值。
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
3. Bézier曲线的性质
(1) 端点性质
曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得： 当t=0时，P(0)=P0 ； 当t=1时，P(1)=Pn ;
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终 点重合。
4.2 Bézier曲线
Bézier Curves
1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近 为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成 了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该 系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心 应手。
(1) 正性
Bi,n (t) 0 (t (0,1), i 1,2,,n 1)
(2) 端点性质
Bi,n(0)=
1, i=0 0, i≠0
Bi,n(1)=
1, i=n 0, i≠n
4.2.1 Bézier曲线的定义和性质
2. Bernstein基函数的性质
(3) 权性
n
Bi,n (t) 1, t 0,1
besizer 曲线算法
besizer 曲线算法
Besier曲线是一种平滑曲线算法，常用于计算机图形学和计算
机辅助设计（CAD）中。
它是通过控制点来定义曲线形状的。
Besier曲线的基本思想是用一组控制点来定义一个多次多项式
曲线。
这组控制点通常包括起始点、结束点和两个或更多中间点。
曲线的形状取决于这些控制点的位置和相互之间的关系。
Besier曲线的计算方式基于贝塞尔多项式。
给定n个控制点
P0，P1，...，Pn-1和参数t（取值范围通常是0到1），Besier
曲线可以通过以下方式来计算：
B(t) = Σ (i = 0 to n-1) (Cn-i * ti * (1-t)n-i-1 * Pi)
其中，B(t)是Besier曲线上的一个点，ti是参数t的幂次方，
Cn-i是组合数（用于计算二项式系数），Pi是第i个控制点的
坐标。
通过改变控制点的位置和相互之间的关系，可以创建各种不同形状的曲线，包括直线、二次曲线和高阶曲线等。
Besier曲线具有很高的灵活性和精度，被广泛应用于计算机图
形学中的曲线绘制、形状设计和动画等领域。
bezier曲线绘制算法
bezier曲线绘制算法贝塞尔曲线绘制算法贝塞尔曲线是一种常用于图形设计和计算机图形学中的数学曲线。
它根据给定的控制点，通过插值计算得出平滑曲线。
这种曲线有着良好的平滑度和逼真度，在二维和三维图形的绘制中被广泛使用。
本文将介绍贝塞尔曲线的绘制算法及其应用。
一、贝塞尔曲线的基本原理贝塞尔曲线的绘制基于控制点的位置和权重来计算曲线上的点。
以二次贝塞尔曲线为例，需要三个控制点P0、P1和P2。
曲线上的任意一点P(t)的坐标可以通过以下公式计算：P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中，t为参数，取值范围为[0,1]之间。
当t=0时，P(t)为起点P0；当t=1时，P(t)为终点P2。
通过调整t的取值，可以得到不同位置的曲线上的点。
二、绘制贝塞尔曲线的算法绘制贝塞尔曲线的一种常用算法是利用递归和二项式展开来计算曲线上的点。
具体步骤如下：1. 确定控制点的数量和位置：根据需要绘制的曲线类型（二次、三次等），确定控制点的数量。
同时，确定每个控制点的具体位置。
2. 递归计算插值点：根据递推公式，计算参数t对应位置的插值点。
对于二次贝塞尔曲线，计算公式为P(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1+ t^2 * P2。
对于每个t值，计算出对应的插值点坐标。
3. 绘制曲线：连接计算得到的插值点，绘制出平滑曲线。
三、贝塞尔曲线的应用贝塞尔曲线由于其良好的平滑性和可控性，在图形设计和计算机图形学中得到广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用领域。
1. 二维图形设计：贝塞尔曲线可以用于绘制二维图形和路径，如绘制平滑的曲线、绘制字体的曲线路径等。
通过调整控制点的位置和权重，可以绘制出各种形状的曲线和路径。
2. 三维图形建模：在三维图形建模中，贝塞尔曲线可用于绘制曲线型的三维物体，如飞机机翼的曲线形状、车辆车身的流线型等。
通过调整控制点的位置和权重，可以创建复杂的曲面。
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• 设P0、P02、P2是一条 抛物线上顺序三个不 同的点。过P0和P2点 的两切线交于P1点， 在P02点的切线交P0P1 和P2P1于P01和P11， 则如下比例成立：
• 当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:1-t)， 即有：
• t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的 第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将 一、二式代入第三式得：
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在 给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
• 当n=3时，de casteljau算法递推出 的Pik呈直角三角形， 对应结果如图所示。 从左向右递推，最右 边点P03即为曲线上的 点。
• 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、 P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明： 这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个 顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次 Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控 制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别 由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点 Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定 义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1) 次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：