山东大学研究生2019工程数学
2019考研数学(三)真题及解析
2
2
(11已知函数f (x) x 1 t 4 dt,则 1 x2 f (x)dx ________ .
1
0
(12) 以PA, PB分别表示A, B两个商品的价格，设商品A的需求函数QA 500 PA2 PAPB 2PB2,则
当PA 10，PB 20时，商品A的需求量对自身价格弹性 AA ( AA 0)为 ______.
(18)(本题满分 10 分)
求曲线 y ex sin xx 0与x 轴之间图形的面积.
(19)(本题满分 10 分)
设an
1 xn
0
1 x2 dx(n 0,1,2)
（1） 证明：数列an单调减少，且an
n 1 n2
an2 (n
2,3, L)
（2） 求 lim an . a n n1
(20)(本题满分 11 分) 已知向量组
2 2 1
2 1 0
已知矩阵A 2 x 2与B 0 1 0 相似.
0 0 2
0 0 y
(1) 求x、y ;
(2) 求可逆矩阵P，使得P1AP B.
(22)(本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 相互独立, X 服从参数为 1 的指数分布.Y 的概率分布为
PY 1 p, PY 1 1 p(0 p 1),令Z XY
I：1 (1,1,4)T ,2 (1,0,4)T ,3 (1,2, a2 3)T II： 1 (1,1, a 3)T , 2 (0,2,1 a)T , 3 (1,3, a2 3)T 若向量组 I 与向量组 II 等价，求 a 的取值，并将 3用1，2，3 线性表示
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
一考研数学竞赛
第 1 章 北京大学
1.1 2019 年数学分析真题
一.(15 分) 讨论数列 的敛散性.
srq an D n 1 C n 2 C n 3 C
13 大连理工大学
35
13.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 电子科技大学
37
14.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 南开大学
10
4.1 2019 年数学分析真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 2019 年高等代数真题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
七.(18 分) 在空间中有三条直线两两异面，且不平行于同一个平面，证明空间中与这 三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.
2019年全国研究生考试数学(三)真题
全国硕士研究生入学统一考试数学试题
全国硕士研究生入学统一考试数学试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(1) 极限x
x x 20
)]1ln(1[lim ++→=
. (2)
dx e
x x x
⎰
--+1
1
)(=
.
(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,
10,0,)()(≤≤⎩
⎨⎧== 而D 表示全平面，则
⎰⎰-=D
dxdy x y g x f I )()(=
.
(4) 设,A B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知2AB A B =+, 202040202B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,则
1)(--E A =
.
(5) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵
T E A αα-=， T a
E B αα1
+=，
其中A 的逆矩阵为B ，则a = .
(6) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,0EX EY == ,222==EY EX , 则
2)(Y X E += .
二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1) 曲线2
1
x xe y = ( )
(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.
(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. (2) 设函数)(1)(3x x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在1x =处连续，则0)1(=ϕ是()f x 在1x =处可导的 ( )
(A) 充分必要条件. (B)必要但非充分条件.
山东大学关于修订硕士专业学位研究生培养方案的 - 山东大学研究生院
附件1山东大学关于修订硕士专业学位研究生培养方案的意见 为落实《山东大学创建世界一流大学战略规划（2011-2020）》，进一步规范和加强研究生培养工作，全面提升研究生培养质量，现对硕士专业学位研究生培养方案修订提出如下意见。 一、基本原则和要求 （一）培养方案的修订应以国家相关法规和教育部有关文件为基础，参照各专业学位全国教学指导委员会的相关要求，充分借鉴国际上专业学位研究生教育的先进做法，认真吸取行业意见，突出我校专业学位研究生教育的特色。 （二）把握好专业学位研究生教育的定位，注重与学术型学位研究生培养方案的区别，突出专业学位研究生实践能力、职业能力和创新能力的培养；全日制和在职攻读硕士专业学位的培养方案要保持相对统一，又要在具体培养环节上有所侧重。 （三）培养方案应为研究生个人培养计划留下一定空间，使研究生能够根据个人的才能和特长，对其课程选择、专业实践及学位论文选题等进行不同的安排。 （四）培养方案按类别（领域）修订，应包括培养目标、培养方向、学制（仅适用于全日制研究生）、培养方式、课程设置及教学要求、实践环节、学位论文等内容，各项内容应具体明确，具有可操作性。 （五）不同培养单位招收同一类别（领域）研究生，在修订培养方案时应在共同协商的基础上确定彼此的共性及差异性。 二、基本框架和内容 （一）培养目标 掌握某一专业（或职业）领域坚实的基础理论和宽广的专业知识、具有较强的解决实际问题的能力，能够承担专业技术或管理工作、具有良好的职业素养的高层次应用型专门人才。 结合本类别（领域）特点，制定具体培养目标。明确就业方向。 （二）培养方向 设置本类别（领域）研究生培养的主要方向，要突出我校特色和优势，鼓励学科交叉。既要跟踪社会需求，又要保持适当稳定，注重学科发展的可持续性。每个类别（领域）设置的培养方向一般为2-6 个。 （三）培养方式 采用课程学习、专业实践和学位论文相结合的培养方式，注重理论与实际的结合。 鼓励吸收不同学科领域的专家、学者和有丰富实践经验的专业人员，共同承担专业学位研究生的培养工作。 实行双导师制，以校内导师指导为主，校外导师参与实践过程、项目研究、论文写作等多个环节的指导工作。 （四）学制与学习年限 全日制硕士专业学位研究生学制为3年。达到培养方案要求最多可申请提前1年毕业，各专业应明确规定提前
2019研究生数学考试数三真题
2019年全国硕士研究生入学统一考试
（数学三）试题及答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.当0→x 时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1
（B ）2 （C ）3 （D ）4
2.已知方程5
50x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）)4,(--∞
（B ）),4(+∞
（C ）)4,4(-
（D ））
，44(- 3.已知微分方程x
ce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x
++=-)(21，则a ，b ，c 依次为（ ）
（A ）1, 0, 1
（B ）1, 0, 2
（C ）2, 1, 3
（D ）2, 1, 4
4.若
∑∞
=1
n n un 绝对收敛，1
n
n v n ∞
=∑
条件收敛，则（ ） （A ）
∑∞
=1n n
n v
u 绝对收敛
（B ）
∑∞
=1n n
n v
u 绝对收敛
（C ）
∑∞
=1
n n
n v
u 收敛 （D ）
∑∞
=1
n n
n v
u 发散
5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则=)(*
A r （ ） （A ）0
（B ）1
（C ）2
（D ）3
6.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22
=+，且4=A ，则二次型Ax x T
的规范形为（ ）
（A ）222
123y y y ++
（B ）2
32
221y y y -+ （C ）2
32
221y y y --
（D ）2
2019年考研数学三真题与解析
2019年考研数学三真题与解析(总
10页)
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2019年考研数学三真题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【答案】（C ）
【详解】当0x →时，331tan ()3
x x x o x =++，所以331
tan ()3
x x x o x -=-+，所以3k =．
2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）
（A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)-
【答案】（D ） 【详解】设
5()5f x x x k =-+，则
42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++-
令()0f x '=得12
1,1x x =-=且(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在11x =-处取得极大值
(1)4f k -=+，在2
1x =处取得极小值(1)4f k =-；
由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40
(1)20
f k f k -=+>⎧⎨=-<⎩，也就得到(4,4)k ∈-．
3．已知微分方程x
y ay by ce ''++=的通解为12()x
x
y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）
（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）
山东大学授予博士、硕士学位和培养研究生的学科、专业目录
说明：学科（专业）名称前标记“▲”的是国家 重点学科（专业），标记“△”是山东省重点学 科（专业），标记“★”的是博士授权学科（专 业），标记“※”的是设有博士后流动站的学 科，标记“☆”的是自设学科（专业）。
学科、专业目录
★历史地理 学 ★历史文献 学 ★△专门史 ★▲△中国 古代史 ★中国近现 代史 ★世界史 ★☆中外关 系史 ★▲△基础 数学 ★▲△计算 数学 ★▲△概率 论与数理统 计 ★▲应用数 学 ★▲运筹学 与控制论 ★▲☆△信 息安全 ★▲☆金融 数学与金融 工程 ★理论物理 ★▲△粒子 物理与原子 核物理 ★原子与分 子物理 ★等离子体 物理 ★▲凝聚态 物理 ★声学 ★光学 ★无线电物 理 ★△无机化 学 ★分析化学 ★有机化学 ★▲△物理 化学 ★高分子化 学与物理 ★☆理论与 计算化学 ★☆纳米材 料化学
30203 30204 30206 30207 30208 30301 30304 30501 30502 30503
303 社会学
305
★马克思主 义理论
30504 30505 30506
30520 401 教育学 402 心理学 403 体育学 40303 50101 40106 40203 40301
50102 50103 50104 50105 50106 ※★中国语 501 言文学 50107 50108 50120 50121 50122 50123 50201 50202 50203 50204 50205 502 ※外国语言 文学 50206 50207 50208 50209 50210 50211 503 新闻传播学 50301 50302 50401 50402 50403 50404 60101 60102
2019年考研数学三真题及完全解析(Word版)
2019年考研数学（三）真题及完全解析（Word 版）
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k
x 是 同阶无穷小量，则k
=（ ）
A . 1.
B . 2.
C . 3.
D . 4.
【答案】C .
【解析】因为 3tan ~3
x x x --，所以3k =，选 C .
2、已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）
A 、(,4)-∞-
B 、(4,)+∞
C 、(4,0)-
D 、(4,4)- 【答案】D . 【详解】设
5()5f x x x k =-+，则(),f -∞=-∞(),f +∞=+∞4()55f x x '=-，
令()0f x '=得121,1x x =-=且(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在11x =-处取得极大值
(1)4f k -=+，在2
1x =处取得极小值(1)4f k =-；
要使方程有三个不同实根，必须满足(1)40
(1)40
f k f k -=+>⎧⎨=-<⎩，也就得到 (4,4)k ∈-．
3、已知微分方程的x y ay by
ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）
A 、 1,0,1.
B 、 1,0,2.
C 、2,1,3.
D 、2,1,4. 【答案】D .
【解析】 由题设可知1r =-是特征方程2
计算数学硕士-山东大学数学学院
计算数学专业攻读硕士学位研究生培养方案
（专业代码：070102）
一、培养目标
本专业培养的研究生应为面向世界、面向未来、面向四个现代化，德智体全面发展的，为社会主义现代化建设服务的高层次专门人才。具体要求如下：
1、较好地掌握马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持四项基本原则，热爱祖国，热爱社会主义，树立正确的世界观、人生观和价值观，遵纪守法，具有良好的道德品质和学术修养，具有较强的事业心和责任感。
2、掌握本专业坚实的基础理论和系统的专业知识，了解本学科的学术进展与研究动向，具有独立从事科学研究、教学工作或担任专门技术工作的能力。
3、掌握一门外国语，并能熟练地运用该门外国语比较熟练地阅读本专业的外文资料。
4、具有健康的体魄和良好的心理素质。
二、研究方向
1、微分方程数值解法
2、科学工程计算及软件
3、并行计算
4、新型算法
5、算机图形学及软件
三、学习年限
全日制硕士研究生在校学习期限为2-3年，基本学习年限为3年。
四、应修总学分数
应修总学分：不少于30学分，其中必修25学分。
五、课程设置（具体见课程设置一览表）
1、必修课
马克思主义理论课3学分
第一外国语4学分、专业外语1学分。
学位基础课2门6学分，学位专业课2门4学分。
前沿讲座2学分。
前沿讲座贯穿研究生培养的全过程。
①讲座的目的和内容
前沿讲座旨在使硕士生了解本学科和本研究方向的重大学术问题和前沿性问题，提高学术参与学术活动的兴趣和学术交流能力。前沿讲座的内容主要包括国内外研究动态、文献讲座、新方法与新思路介绍等。
②前沿讲座的形式
一是硕士生本人做专题综述（讨论班），二是听取国内外本学科或相关学科做出杰出成绩的专家作系列报告等。可以有讲授、讨论和对话等多种形式。
2019年考研数学三真题及答案解析
（D） (un vn ) 发散 n1
【答案】B 【解析】
A、C
: 反例un
1 n3
,vn
(1) n;
D
: 反例un
1 n3
, vn
(1) n
1; ln n
（5）设 A 是四阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax 0 的基础解系中只有 2 个
向量，则 A* 的秩是（ ）
A.0
B.1
1 xn
0
1 x2 dx
(n 0,1,2,...)
（1）证明：an 单调递减，且 an
n 1 n2
an2
(n 2, 3...)
（2） lim an a n n1
【答案】
【解析】 an
1 xn
0
1 x 2dx
（1）令 x sin t ，则
an
2 sinnt cos2 tdt
0
2 sinnt 1 sin2 t dt 0
e
x
(1
x),
x
0
0
在 x 0 附近
当 x 0 时， f '(x) 0. f (x)单调递减 .
当 x 0 时， f '(x) 0. f (x)单调递增 .
故 f (x)在x 0取极大值.f (0) 1.
（ 16 ）（ 本 题 满 分 10 分 ） 已 知 f (u, ) 具 有 2 阶 连 续 偏 导 数 ， 且
2019考研数学三真题及参考答案解析
承载梦想 启航为来 只为一次考上研
B. P( AB) P( A)P(B).
C. P( AB) P(B A).
D. P( AB) P( AB).
8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P X Y 1
A.与 无关，而与 2 有关. B.与 有关，而与 2 无关. C.与 , 2 都有关. D.与 , 2 都无关.
f
0
lim x2x 1 lim e2xln x 1 lim 2x ln x ，
x x0
x0
x
x x0
f
0
lim xex 11 lim ex 1 .
x0
x
x0
故
f
x=
x2x 2 ln x
1
x
e
x
2
x0
.
x0
令 f x=0 ，得 x1 e1, x2 1.
（1）当 x 0, e1 , f x 0, f x单调递减，
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求 a ，并将 3 用1,2,3 表示
2 2 1 2 1 0 21.已知矩阵 A 2 x 2与B 0 1 0 相似
0 0 2 0 0 y （1）求 x, y ，
（2）求可逆矩阵 P, 使得 P1AP B
22.已知随机变量 X，Y 相互独立， X 服从参数为 1 的指数分布
山东大学数学专业研究生拟录取名单
专业名称
初试总成绩 复试成绩
基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 基础数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 计算数学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 统计学 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计 概率论与数理统计
85.225 82.8 70.5 79.05 81.9
370 339 367 349 374 372 346 369 343
76.15 88.125 80.375 84.325 91.45 74.725 79 76.675 76.625
352 331 314
79.95 89.075 91.825
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
2019年考研数学三真题与解析
2019年考研数学三真题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
【答案】（C ）
【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331
tan ()3
x x x o x -=-+，所以3k =． 2．已知方程550x x k -+=有三个不同的实根，则k 的取值范围是（ ）
（A ）(,4)-∞- （B ）(4,)+∞ （C ）(4,0)- （D ）(4,4)-
【答案】（D ） 【详解】设
5()5f x x x k =-+，则42(),(),()555(1)(1)(1),f f f x x x x x '-∞=-∞+∞=+∞=-=++-
令()0f x '=得
121,1x x =-=且
(1)20,(1)20f f ''''-=-=，也就是函数在
11x =-处取得极大值
(1)4f k -=+，在2
1x =处取得极小值(1)4f k =-；
由于方程有三个不同实根，必须满足(1)40
(1)20f k f k -=+>⎧⎨
=-<⎩
，也就得到(4,4)k ∈-．
3．已知微分方程x
y ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）
（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）
【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出1
21r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定
2019考研数学三真题及答案
2019考研数学三真题
及答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2019考研数学三试题和答案
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x
x x f 若若λ
其导函数在x=0处连续，则λ的取值范
围是_____.
（2）已知曲线
b x a x y +-=2
33与x 轴相切，则2
b 可以通过a 表示为
=2b ________.
（3）设a>0，
，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨
⎧==而
D 表示全平面，则
⎰⎰-=D
dxdy
x y g x f I )()(=_______.
（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T
α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵
T
E A αα-=，T
a E B αα1
+=，
其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.
（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ，则
Y 与Z
的相关系数为________.
（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X
的简单随机样本，则当∞→n 时，
∑==n
i i n X n Y 1
2
1依概率收敛于______.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数
x x f x g )()(=