2- 关系数据库系统理论基础

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2.1.3 关系数据模型的集合论定义
关系数据模型是从集合论中的关系
（Relation）概念发展过来的，它有严格的 数学理论基础。 1．笛卡儿积 2．关系 3．关系模式
1．笛卡儿积

定义2.1 设有一个有限集合D1，D2，D3、…，Dn， 则在D1，D2，D3，…，Dn上的笛卡儿积 （Cartesian Product）为：
属性、i个元组；关系S 有n个属性、j个元组， 则关系R和S的乘积是一 个有（m+n）个属性的 元组集合。每个元组的 前r个分量来自关系R的 一个元组，后s个分量来 自S的一个元组，且元 组的数目有i×j个。
2．专门的关系运算

在关系运算中，由于关系数据结构的特殊性，在关
系代数中除了需要一般的集合运算外，还需要一些 专门的关系运算，包括选择、投影、连接和除等。

【本章掌握内容】 1、关系的定义 2、关系代数 3、关系演算 【本章了解内容】 1、关系运算的安全限制 2、关系代数表达式的优化
2.1 关系数据模型的基本概念
2.1.1 式 2.1.2 2.1.3 2.1.4 关系、元组、属性、域、分量、关系模
关键字 关系数据模型的集合论定义 关系数据模型的完整性约束
1．超关键字
在一个关系中若通过一个属性集合的取值就能唯一确定
每一个元组，即该关系中所有元组在这个属性集合上的分量 是不同的，则称该属性集合为该关系的超关键字或者简称为 超键（super key）。因此超关键字具有唯一的标识性。
2．候选关键字
如果某一集合是超关键字，但去掉其中任意属
性后就不再是超关键字，则称该属性集合为候选关
笛卡儿积的元素个数
若Di（i=1,2,3,…,n）为有限集，其基数 （Cardinal Number）为mi (i=1,2,3,…,n)， 则D1×D2×D3×……×Dn的基数为：
n
M

mi
i 1
例2.1 设有三个集合如下：A={a1，a2}，B={b1， b2}，C={c1，c2}则集合A、B、C上的笛卡儿积 为

关系模式通常简写为： R (U)或R (A1，A2，A3，…，An) 其中：R为关系名，Ai (i=1,2,3,…,n)为属性名。域名构成的 集合及属性向域映像的集合一般为关系模式定义中的属性的 类型和长度。
2.1.4 关系数据模型的完整性约束
关系模型中共有四类完整性约束：域完整性、
实体完整性、参照完整性、用户自定义完整 性。其中实体完整性和参照完整性是关系模 型必须满足的完整性约束条件，任何关系系 统都应该能自动维护。
（2）差
运算结果是由属于一个关系并且不属于另一 个关系的元组构成的新关系，就是从一个关系中 减去另一个关系。 关系R与S的差记作： R-S={t|t∈R∧t?S} 其结果关系仍为n目关系，由属于R而不属 于S的所有元组组成。
（3）交
R S {t | R ( t ) S ( t )}
（4）乘积设关系R有m个
（1）选择

是按照给定条件从指定的关系中挑选出满足条件的 元组构成新的关系。或者说，选择运算的结果是一 个表的行的子集。它是在关系R中选择满足给定条 件的诸元组。记作
σF(R)={t|t t∈R∧F(t)='真'},

其中F为逻辑表达式。选择运算实际上是从关 系R中选取逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角 度进行的运算。

【例2.8】 设关系R和S如图（a）、（b）所示，计算 πA,C(R)和πC,B(S)的结果
（3）连接



连接也称为θ连接，是将两个和多个关系连接在一起，形成一个新 的关系。连接运算是按照给定条件，把满足条件的各关系的所有 元组，按照一切可能组合成新的关系。或者说，连接运算的结果 是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。记 作： R S = {tr︵ts| tr∈R∧ts∈S ∧tr[A] θ ts[B]} 两种重要的连接：等值连接、自然连接。 ①等值连接：θ为"="的连接运算为等值连接。它是从关系R 与关系S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即： R S = {tr︵ts| tr∈R∧ts∈S ∧tr[A] = ts[B]} ②自然连接：当连接的两关系有相同的属性名时，称这种连 接为自然连接，它是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进 行比较的分量必须是相同的属性组。并且在结果中把重复的属性 列去掉。即若R和S具有相同的属性组B，则自然连接可记作： R S = {tr︵ts| tr∈R∧ts∈S ∧tr[A] = ts[B]}
2.2.1 关系代数
关系代数运算是通过对关系的运算来表达查询
的。它的运算对象是关系，运算结果也是关系。关
系代数的运算可分为两类：

（1）传统的集合运算：并、差、交和乘积。

（2）专门的关系运算，即专门针对关系数据库设
计的运算：选择、投影、连接和除。
1．传统的集合运算
（1）并
是将两个关系中的所有元组构成新的关系， 并运算的结果中必须消除重复值。 关系R和S的并记作： R∪S={t|t∈R∨t∈S} 其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的 元组组成。
二维表的名称就是关系的名称，二维表的每一列都 是一个属性。n元关系就会有n个属性。一个关系中 的每一个属性都有一个名字，且各个属性的属性名 都不同，对应参与笛卡儿积运算的每个集合的名称。 一个属性的取值范围Di (i=1,2,3,…,n)称为该属性的 域（Domain）。

3．关系模式

实际上完整的关系模式的数学定义为： R (U、D、dom、F) 其中：R为关系模式名，U为组成该关系的属性名的集合，D 为属性组U中属性所来自的域的集合，dom为属性向域映像 的集合，F为属性间函数依赖关系的集合。
1．关系
每一个关系用一张二维表来表示，常称为表。每一 个关系表都有个区别于其他关系表的名称，称为关系名。 关系是概念模型中同一类实体及实体之间联系集合的数 据模型表示，如图2-1所示的员工人事数据表。
关系模式 员工编号 430 42 5 430 43 0 关系 430 21 1 430 12 1 430 24 8 姓名 王天喜 莫玉 肖剑峰 杨琼英 赵继平 年龄 25 27 33 23 41 性别 男 女 男 女 男 部门号 D en o 1 D en o 2 D en o 3 D en o 2 D en o 3 元组
关系模式指出了一个关系的结构；而关系则是由满足 关系模式结构的元组构成的集合。关系模式是稳定的、静态 的，而关系则是随时间变化的、动态的。但通常在不引起混 淆的情况下，两者可都称为关系。
2.1.2 关键字
在关系数据库中，对每个指定的关系经常需要根据某些 属性的值来唯一地操作一个元组，也就是要通过某个或某几 个属性来唯一地标识一个元组，把这样的属性或属性组称为 指定关系的关键字。 1．超关键字 2．候选关键字 3．合成关键字 4．主关键字 5．主属性 6．外部关键字
5．分量
一个元组在一个属性域上的取值称为该元组 在此属性上的分量。
6．关系模式
二维表的表头那一行称为关系模式，即一个 关系的关系名及其全部属性名的集合。关系模式 是概念模型中实体型及实体型之间联系的数据模 型表示。 一般表示为：关系名（属性名1，属性名2，……， 属性名n）
关系模式和关系是型与值的联系

等于R2中某一元组在主关键字PK上的分量。 取空值（FK中每一个属性的分量都是空值）。
4．用户自定义完整性
用户自定义的完整性约束就是对某一具体关
系数据库的约束条件，它反映了某一具体应 用所涉及的数据必须满足的语义要求。
2.2 关系的运算
关系操作可以使用两种方法定义。

一种方式是基于代数的定义，称为关系代数； 另一种方法是基于逻辑的定义，称为关系演算。 根据使用的变量的不同，关系演算又分为元组关系 演算和域关系演算。
数据库原理
Principles of Database
第2章
关系数据模型
第2章
关系数据模型
1970年，美国IBM公司的E. F. Codd在发表的著名论文
《A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks》中首先提出了关系数据模型，之后他又发表了多篇 文章，奠定了关系数据库的理论基础，标志着数据库系统新 时代的来临。20世纪80年代以来，计算机厂商推出的数据 库管理系统（DBMS）几乎都支持关系模型，非关系系统的 产品也都加上了关系接口。关系数据库系统几乎成了当今数 据库的代名词。
（2）投影

是从指定的关系中挑选出某些属性构成新的关系。
或者说，选择运算的结果是一个表的列的子集。关
系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的
关系。记作：

πA(R) ={t[A]|t∈R}, 其中A为R中的属性列。投影操作是从列的角度 进行的运算。投影的结果将取消由于取消了某些列
而产生的重复元组。
5．主属性
包含在任何一个候选关键字之中的属性称为主属性
（Main attribute
如果关系R1的某一（些）属性A不是R1的候 选关键字，但是在另一关系R2中属性A是候选关 键字，则称A是R1的外部关键字（Foreign key），有时也称“外码”。

1．域完整性 关系数据模型规定元组在属性上的分量必须来 自于属性的域，这是由完整性约束指出的。域完整 性约束（Domain Integrity Constraint）是最简单、 最基本的约束。

2．实体完整性 在具体的RDBMS中，实体完整性（Entity Integrity）应变为：任一关系主关键字之中的属性 不能为空。