【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章立体几何初步单元同步测试(含解析)北师大版必修2

合集下载

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计单元同步测试(含解析)北师大版必修3

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章统计单元同步测试（含解析）北师大版必修3(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共有10个小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．某学校有男、女学生各500名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法解析由于男生和女生存在性别差异，所以宜采用的抽样方法是分层抽样法．答案 D2．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省(市)的2500名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量答案 C3．某校有初中学生900人，高中学生1200人，教师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本进行调查，如果从高中生中抽取了80人，那么n 的值是( )A ．120B ．148C ．140D ．136 解析由n 900＋1200＋120＝801200，得n ＝148.答案 B4．为了了解1200名2010年上海世博会志愿者的工作准备情况，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( )A ．40B ．30C ．20D ．12解析120030＝40. 答案 A5．某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是( )111213⎪⎪⎪46 82A ．125B ．5 5C ．45D ．3 5解析 4次成绩的平均值为125，方差为－2＋－2＋－2＋－24＝45.答案 C6．某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x ＋y ＝( )789⎪⎪⎪3 94 4 4 x 7 83 yA ．12B ．13C ．14D ．15解析由中位数为85知4＋x ＝2×5，得x ＝6，又平均数为85.5， ∴73＋79＋3×84＋86＋87＋88＋93＋90＋y ＝855，得y ＝7，∴x ＋y ＝13. 答案 B7．对于一组数据z i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为z i －c (i ＝1,2,3，…，n )(其中c ≠0)，下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析平均数为z 1＋z 2＋…＋z n －nc n＝z －－c ，方差s 2＝z 1－c －z －＋c2＋…＋z n －c －z －＋c2n＝z 1－z－2＋…＋z n －z－2n.答案 B8．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[12.025,12.045]是其中一组，抽查出的个数在该组上的频率为m ，则该组上的直方图的高h 为( )A ．0.02mB ．mC ．50mD ．12.035m解析 m ＝(12.045－12.025)h ，得h ＝50m . 答案 C9．设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 大约增加3个单位 B ．y 大约减少5个单位 C ．y 大约增加5个单位 D ．y 大约减少3个单位解析 3－5(x ＋1)－3＋5x ＝－5. 答案 B10．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则15m＝0.3，m ＝50.答案 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析由2400160＝x 160－150，得x ＝150.12．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知从左至右前3个小组的频率之比为，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．解析前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为，所以第二组频率为26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，即为所抽顾客人数．答案 4013．在某次考试中，要对甲、乙两同学的学习成绩进行抽样，甲同学的平均分x －甲＝76，s 2 甲＝4，乙同学的平均分x －乙＝77，s 2乙＝10，则________同学的平均成绩好，________同学各科发展均衡．解析 x －甲<x －乙，s 2甲<s 2乙. 答案乙甲14．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.解析由题意得2000＝0.19，得x ＝380，由表可知：一年级有学生750，二年级有学生750，故三年级有学生2000－750－750＝500，则642000＝m500，得m ＝16.15．从某项综合能力测试中，抽取100人的成绩统计如下表，则这100人成绩的标准差为________.解析 x －＝100＝3，s ＝－2＋－2＋－2＋－2100＝2105. 答案2105三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前3组数据的频数之和为27.(1)求n 的值；(2)若从这n 个人中任取一个，落在第三组的频率为多少？解 (1)设第一组至第六组的样本数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x ，x ，则2x ＋3x ＋4x ＝27，得x ＝3，故n ＝20x ＝60.(2)由(1)知第三组的人数为4x ＝12，所以落在第三组的频率为1260＝15.17．(12分)奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族汽车品牌．该公司2010年生产的“旗云”、“风云”、“QQ ”三类经济型轿车中，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号．某月产量如下表：车20辆，“风云”轿车30辆，求x ，y 的值．解由分层抽样的特点可知：100200＋600＋300＋y ＋x ＋1200＝20200＋600＝30300＋y 得⎩⎪⎨⎪⎧300＋y ＝1200，4000＝2300＋x ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝900，x ＝800，所以x 的值为800，y 的值为900.18．(12分)如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：(1)79.5～89.5这一组的频数、频率分别是多少？ (2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．解 (1)由频率分布直方图，可知79.5～89.5这一组的频率为0.025×(89.5－79.5)＝0.25.频数为n ＝60×0.25＝15.(2)由频率分布直方图，可知这次环保知识，竞赛中及格率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.19．(13分)对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m /s )的数据如下：解他们的平均速度为x 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33；x 乙＝16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.s 2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝473；s 2乙＝16[(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝383.∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，∴应选乙参加比赛更合适．20．(13分)某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称购票用时，单位为min )，下表和下图是这次调查统计分析所得到的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：(2)在表中填写出缺失的数据，并补全频率分布直方图； (3)旅客购票用的平均时间可能落在哪一组？解 (1)样本容量为100. (2)由100－10－10－30＝50， 1－0.10－0.50－0.30＝0.10，可知表中第三列缺失的数据为50，第四列缺失的数据为0.10，频率分布直方图如图所示．(3)设旅客平均购票时间为t 分，则有 0×0＋5×10＋10×10＋15×50＋20×30100≤t<5×0＋10×10＋15×10＋20×50＋25×30100，得15≤t<20.故旅客购票用时的平均数可能落在第4小组． 21．(13分)现对x ，y 有如下观测数据：(1)(2)试求y 对x 的线性回归方程； (3)试估计当x ＝10时，y 的取值．解 (1)图略．(2)可求得x －＝37，y －＝7，x 21＋x 22＋…＋x 28＝11920，x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 8y 8＝2257. 设线性回归方程为y ＝a ＋bx ，则b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x 8y 8－8x －y －x 21＋x 22＋…＋x 28－8x －2＝2257－8×37×711920－8×372＝185968≈0.1911， a ＝y －－b x －＝7－0.1911×37≈－0.071. ∴线性回归方程为y ＝0.1911x －0.071.(3)当x＝10时，y＝0.1911×10－0.071＝1.84.。

高一数学立体几何初步单元测验

高一数学（上）立体几何初步单元测验一、选择题：（每小题5分，共40分）1、如图所示的图形中哪一个是正方体的展开图（）A 、B 、C 、D 、 2、下面的三视图表示的几何体是（）A 、正六棱锥B 、正六棱柱C 、正六棱台D 、正六边形 3、下列判断正确的是（）A 、空间中的三个点确定一个平面B 、四边形一定是平面图形C 、六边形一定是平面图形D 、梯形一定是平面图形4、如图，设AA 1是正方体的一条棱，这个正方体中与AA 1异面的棱共有（）A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条5、若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的位置关系是（）主视图左视图俯视图ABCD A 1B 1C 1D 1A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、无法确定 6、在空间中，下列哪些命题是正确的（） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

A 、仅②不正确B 、仅①④正确C 、仅①正确D 、四个命题都正确 7、在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中，真命题是（） A 、若l β，且α⊥β，则l ⊥α B 、若l ⊥β，且α∥β，则l ⊥α C 、若l ⊥β，且α⊥β，则l ∥α D 、若α∩β=m ，且l ∥m ，则l ∥α 8、长方体共一个顶点的三个面的面积为6,3,2，则长方体的体积为（） A 、23 B 、32 C 、3 D 、6 一．选择题：(另加)１．设有两条直线a 、b 和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（） A ．若//a α，且//a b ，则b α⊂或//b α B ．若//a b ，且,a b αβ⊥⊥，则//αβC ．若//αβ，且,a b αβ⊥⊥，则//a bD ．若a b ⊥，且//a α，则b α⊥2、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等，如果E 、F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为（） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 3．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；U= /③CN 与BM 成60°角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确的是（）A ．①②③B ．②④C ．②③④ D.③④4、给出下列关于互不相同的直线,,m n l 和平面,αβ的四个命题:（1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；（3）若m l m l //,//,//,//则βαβα；（4）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//，其中为错误的命题是（）个.Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个5、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：若b a ⊥，α⊥a ，α⊄b ，则α//b ；②若α//a , βα⊥，则β⊥a ； ③若β⊥a ，βα⊥，则α//a 或α⊂a ；④若b a ⊥，α⊥a ，β⊥b ，则βα⊥ 其中正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 ( )6. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个7、下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PR SSQRPQQSSPPQR SS（A ）（B ）（C ）（D ）二、填空题：（第小题6分，共24分）9、3个平面最多可以将空间分成部分。

高中数学第一章_立体几何初步_同步练习(二)北师大版必修二

第1章立体几何初步同步练习(二)一、选择题1．已知直线a 、b 、c ，平面α、β且a =βα ，βα≠⊂≠⊂c b ,，b 与c 没有公共点，则b 、 c 不平行的充分必要条件是（）A ．b 、c 都与a 相交B ．b 、c 中至少一条与a 相交C ．b 、c 只有一条与a 相交D ．b 、c 中至多一条与a 相交2．给出四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ①长方体一定是正四棱柱．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知直线⊥l 平面α，直线≠⊂m 平面β，有下四个命题：①α∥β⇒m l ⊥；②⇒⊥βαl ∥m ；③l ∥m βα⊥⇒；④m l ⊥⇒α∥β．其中正确的两个命题是（）A ．①与③B ．③与④C ．②与④D ．①与③4、①βαβα⊥⇒⊥a a ,//②a ,//βα≠⊂βα//a ⇒③b a b a //,,//⇒==γβγαβα ④βαβα////,//a a ⇒ 以上命题中，正确的个数是（）A 、3B 、4C 、1D 、25．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．其中正确的命题是（）A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③6．ωγβα、、、四个小同平面，若ωβωγγβγα⊥⊥⊥⊥,,,，则（） A ．α∥β，且γ∥ω B ．α∥β，或γ∥ωC ．这四个平面中可能任意两个都不平行D ．这四个平面中至多有对平面平行7．菱形ABCD 在平面a 内，PC 上a ．则PA 与对角线BD 的位置关系是（） A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直相交 D ．异面垂直8．设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是（） A ．过a 一定可以作一个平面与b 平行B ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面a 、b 都垂直C ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直D ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线a 、b 都相交9．设三棱锥P-ABC 的顶点P 在底面ABC 内射影O 在△ABC 内部），且到三个侧面的距离相等，则O 是△ABC 的（）A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心10．AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 两点的圆周上的任意一点.PA 垂直于圆O 所在的平面，则△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC 中，共有直角三角形的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 11、圆锥的高自顶点起被分成3:2:1三部分，这两个分点作与底面平行的截面，则两截面将这个圆锥分成三部分体积之比是（）A 、27:125:216B 、27:98:64C 、27:8:1D 、27:98:9112、三棱台ABC C B A -'''上下底面面积之比为2:3，连接C A '，C B '及B A '，把三棱台分成三个棱锥，那么这些棱锥体积之比AB A C ABC C B B A C V V V '--''-::为（） A 、2:3:6 B 、2:3:8 C 、1:4:6 D 、4:9:6二、填空题13．如图1-l5，所示，ABCD-1111D C B A 是正方体，若过A 、C 、1B 三点的平面与底面1111D C B A 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是____________．14．正方体的全面积是2a ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是___________．15．下列命题中正确的是_________．①一条直线和两条平行线中的条垂直，则它也和另一条垂直；②空间四点A 、B 、C 、D ，若直线AB 和直线CD 是异面直线，那么直线AC和直线BD 也是异面直线；③空间四点若不在同一平面内，则其中任意三点不在同条直线上；○4两条平行线中的条与一个平面平行，那么另－条也平行这个平面． 16．表面积为S 的多面体的每一个面都外切于半径为R 的一个球，则这个多面体的体积为__________．三、解答题17、两点的球面距离为5cm ，过这两点的球半径成 60的角，求这球的表面积和体积。

高中数学名师一号高中数学-第一章-导数及其应用单元综合测试-新人教版选

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章导数及其应用单元综合测试新人教版选修2-2(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设函数y ＝f (x )在(a ，b )上可导，则f (x )在(a ，b )上为增函数是f ′(x )>0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 y ＝f (x )在(a ，b )上f ′(x )>0⇒y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数，反之，y ＝f (x )在(a ，b )上是增函数⇒f ′(x )≥0⇒f ′(x )>0.答案 A2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程是2x ＋y －1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率为f ′(x 0)＝－2<0. 答案 B3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°解析 ∵y ′＝x 2，k ＝tan α＝y ′|x ＝－1＝(－1)2＝1， ∴α＝45°. 答案 B4．曲线f (x )＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2)D ．(1,0)或(2,8)解析设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 20＝1，∴x 0＝1，或x 0＝－1. ∴P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．答案 B5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )解析对于C ，有y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)>0. 答案 C6．下列积分值为2的是( ) A.⎠⎛05(2x －4)d xB .⎠⎛0πcos x d xC .⎠⎛131xd xD .⎠⎛0πsin x d x解析 ⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0＝－cos π＋cos 0＝2.答案 D7．函数f(x)在其定义域内可导，y ＝f(x)的图象如右图所示，则导函数y ＝f′(x)的图象为( )解析由y ＝f(x)的图象知，有两个极值点，则y ＝f′(x)的图象与x 轴应有两个交点，又由增减性知，应选D 项．答案 D8．已知函数f(x)＝x 3－3x 2－9x ，x∈(－2,2)，则f(x)有( )A ．极大值5，极小值为－27B ．极大值5，极小值为－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析 f′(x)＝3x 2－6x －9 ＝3(x ＋1)(x －3)．当x<－1时，f′(x)>0，当－1<x<3时，f′(x)<0. ∴x＝－1是f(x)的极大值点．且极大值为f(－1)＝5，在(－2,2)内无极小值．答案 C9．已知f(x)为三次函数，当x ＝1时f(x)有极大值4，当x ＝3时f(x)有极小值0，且函数f(x)过原点，则此函数是( )A ．f(x)＝x 3－2x 2＋3xB ．f(x)＝x 3－6x 2＋xC ．f(x)＝x 3＋6x 2＋9xD ．f(x)＝x 3－6x 2＋9x解析设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a≠0)，则f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a(x －1)(x －3)＝3ax 2－12ax ＋9a. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝a ＋b ＋c ＝4，f 3＝27a ＋9b ＋3c ＝0，c ＝9a.解得a ＝1，b ＝－6，c ＝9. 所以f(x)＝x 3－6x 2＋9x. 答案 D10．由抛物线y ＝x 2－x ，直线x ＝－1及x 轴围成的图形的面积为( )A .23B ．1C .43D .53解析如图所示，阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛0－1(x 2－x)d x＝(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 0－1＝56. S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛01(x 2－x)d x⎪⎪⎪ ＝－(13x 3－12x 2)⎪⎪⎪ 10＝16，故所求的面积为S ＝S 1＋S 2＝1. 答案 B11．函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．3解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，依题意知，3a×(1a )2＋2b×1a ＋c ＝0，即3a ＋2ba ＋c ＝0， ∴2b＋ac ＝－3. 答案 A12．设函数f(x)满足x 2f′(x)＋2xf(x)＝e x x ，f(2)＝e 28，则x>0时， f(x)( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析由题意知，f′(x)＝e xx3－2f xx＝e x －2x 2f xx3.令g(x)＝e x －2x 2f(x)，则g′(x)＝e x－2x 2f′(x)－4xf(x)＝e x－2[x 2f′(x)＋2xf(x)]＝e x－2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g′(x)＝0，得x ＝2.当x ＝2时，g(x)有极小值g(2)＝e 2－2×22f(2)＝e 2－8·e 28＝0.∴g(x)≥0.当x>0时，f′(x)＝g xx 3≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)既无极大值也无极小值．答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．函数f(x)在R 上可导，且f ′(0)＝2.∀x ，y ∈R ，若函数f (x ＋y )＝f (x )f (y )成立，则f (0)＝________.解析令y ＝0，则有f (x )＝f (x )f (0)． ∵f ′(0)＝2，∴f (x )不恒为0，∴f (0)＝1. 答案 114．解析答案π2－115．若函数f(x)＝13x 3－f′(1)·x 2＋2x ＋5，则f′(2)＝________.解析 ∵f′(x)＝x 2－2f′(1)x＋2， ∴f′(1)＝1－2f′(1)＋2. ∴f′(1)＝1. ∴f′(x)＝x 2－2x ＋2. ∴f′(2)＝22－2×2＋2＝2. 答案 216．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5米/秒的速度自由落下，且下落后第二个4 s 内经过的路程是________．解析 ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t)⎪⎪⎪84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2. 答案 261.2米三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的极小值．解 f′(x)＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f′(x)＝0，得x ＝－2，或x ＝2. 故f(x)的增区间(－∞，－2)和(2，＋∞)，减区间为(－2,2)．(1)当x ＝－2，f(x)取得极大值，故f(－2)＝－83＋8＋m ＝283，∴m＝4.(2)由(1)得f(x)＝13x 3－4x ＋4，又当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－43.18．(12分)用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．解设容器底面宽为x m ，则长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x)m .由⎩⎪⎨⎪⎧3.2－2x>0，x>0，解得0<x<1.6，设容器的容积为y m 3，则有y ＝x(x ＋0.5)(3.2－2x)＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， y′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y′＝0，即－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1，或x ＝－415(舍去)．∵在定义域(0,1.6)内只有一个点x ＝1使y′＝0，且x ＝1是极大值点， ∴当x ＝1时，y 取得最大值为1.8. 此时容器的高为3.2－2＝1.2 m .因此，容器高为1.2 m 时容器的容积最大，最大容积为1.8 m 3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求证：f (x )为R 上的单调递增函数； (2)当x ∈[1,3]时，若f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6＝6(x －1)2≥0， ∴f (x )为R 上的单调增函数．(2)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．①当a ≤1时，f (x )在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f (1)＝3a －1，∴3a －1＝4，∴a ＝53>1(舍去)；②当1<a <3时，f (x )在(1，a )上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，故在[1,3]上的最小值为f (a )＝2a 3－3(a ＋1)a 2＋6a 2＝4.化简得(a ＋1)(a －2)2＝0，∴a ＝－1<1(舍去)，或a ＝2；③当a ≥3时，f (x )在区间(1，a )上是减函数，故f (3)为最小值， ∴54－27(a ＋1)＋18a ＝4，解得a ＝229<3(舍去)．综上可知，a ＝2.20．(12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两根分别为1,4.(1)当a ＝3，且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)，解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9]．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b ，由条件f ′(1)(－19)＝－1，得3a ＋2b ＝9.②由①，②解得a ＝1，b ＝3.(2)f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0，或x ≤－2，若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则 [m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0，或m ＋1≤－2，即m ≥0，或m ≤－3， ∴m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)． 22．(12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0. 解 (1)f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，xf ′(x )＝x ln x ＋1，题设xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1等价于ln x －x ≤a . 令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x ≥1时，g ′(x )≤0，x ＝1是g (x )的最大值点， g (x )≤g (1)＝－1.综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g (x )≤g (1)＝－1，即g (x )＋1≤0，即ln x －x ＋1≤0，当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)≤0；当x ≥1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x ＋x (ln x ＋1x－1)＝ln x －x (ln 1x －1x＋1)≥0.所以(x －1)f (x )≥0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

【名师一号】高中数学综合测试题(含解析)新人教A版选修1-1

【名师一号】2014-2015学年高中数学综合测试题（含解析）新人教A 版选修1-1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题 C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题 D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a ＝a 2－b 2a ＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析当sin θ＝1时，曲线表示圆．当sin θ<0时，曲线表示的双曲线．当sin θ>0，且sin θ≠1时，曲线表示椭圆．答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图象关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x ＋a x，∴由题可知，f ′ (1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x＝x －x ＋x，当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值．故选B. 答案 B8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36B.13C.12D.33解析设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m .故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝3m m ＋2m ＝33.答案 D9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b ；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m ≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图象，则正确的判断是 ( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析从图象可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c(c2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|PA |，则|PA |＝2ab c ，又|PA |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m≥0对任意x∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1.答案x 24＋y 216＝1 14．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x是奇函数，但图象不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1 296a，令S ′＝2a －1 296a2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a2＝324332＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省．答案 33316．已知f (x )＝(2x －x 2)e x，给出以下几个结论：①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )没有最小值，也没有最大值；④f (x )有最大值，没有最小值．其中判断正确的是________．解析 f (x )>0，又e x >0，∴2x －x 2>0.∴0<x <2，故①正确．由f (x )＝(2x －x 2)e x，得f ′(x )＝(2－x 2)e x，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ 2.∵当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－2<x <2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (－2)是极小值，f (2)为极大值，故②正确．由②知，f (2)为最大值，没有最小值，故③错，④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)若p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.若∀x ∈R ，p (x )为假命题，且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，又∀x ∈R ，p (x )为假命题，∴m ≥ 2.∀x ∈R ，q (x )为真命题，即对任意实数x ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，∴Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.故∀x ∈R ，p (x )为假命题，q (x )为真命题，实数m 的取值范围是2≤m <2.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝a x(a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x(x >0)，则F ′(x )＝1x －a x2＝x －ax2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减． ∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)． (2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，且F 不在l 1上 ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为(－2k，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k)＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k2＋4＝4(k 2＋1k2)＋8.∵k 2＋1k2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝x ＋x －x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图象在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x－14＝x －x ＋x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2. 又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝y 1－x 2－＋y 2－x 1－x 1－x 2－.上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1) ＝m 2－5－8m m －5－8(m －1)＝0，即k 1＋k 2＝0.所以直线MA ，MB 与x 轴能围成等腰三角形．。

(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题1．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //2．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（）A ．324mB ．330mC ．336mD ．342m3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，则异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为（） A 5B ．35C ．45D 254．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（） A 7 B ．7C 37D ．375．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π26．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25 ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π7．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（）A ．22B ．255C ．3 D ．2778．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（）A ．2211B ．2211-C 27D ．11119．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误的是（）A ．无论点F 在上1BC 怎么移动，都有11A FB D ⊥B ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A EEF= C ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60° D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30° 10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A ．16B ．13C ．23D ．211．已知直线a 、b 都不在平面α内，则下列命题错误的是（） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥ C ．若a b ⊥，//a α，则b α⊥D ．若a b ⊥，a α⊥，则//b α12．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（）A 10B 5C ．22D ．3二、填空题13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22AB =3BC =，4PA =，4ABC π∠=，则该三棱锥的外接球体积为___________.14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.15．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.16．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.17．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．18．有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是___________．19．如下图所示，三棱锥P ABC -外接球的半径为1，且PA 过球心，PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB =，则三棱锥P ABC -的体积为_____________.20．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，3AD =，4BC =，M 为线段AD 上点，且满足2AM MD =，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）设三棱锥N BCM -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V，求12V V .22．在如图所示的几何体中，四边形BCED 为直角梯形，//DE CB ，BC EC ⊥，90AED ∠=︒.（1）证明：平面ABC ⊥平面ACE .（2）若P ，Q 分别是AE ，CD 的中点，证明：//PQ 平面ABC .23．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，6SA SD ==，22SB =，点E 是棱AD 的中点，点F 是棱SC 上靠近S 的一个三等分点.（1）求证：平面SBE ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥F SEB -的体积.24．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 是AB 的中点.（1）证明：1//BD 平面1A DE ；（2）证明：11D E A D ⊥；（3）求二面角1D EC D --的正切值.25．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为AC 中点.（1）若此三棱柱为正三棱柱，且1112A A AC =，求异面直线1AB 与BF 所成角的大小；（2）求证：1AB //平面1BFC .26．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．2．C解析：C 【分析】在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．【详解】如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V =三棱柱ABC A B C '''-V+四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C ．思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．3．B解析：B 【分析】证明//BE AF ，得AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，在三角形中求解即可．【详解】连接,AF EF ，∵,E F 分别是棱11B C ，11A D 的中点，∴//EF AB ，EF AB =， ∴ABEF 是平行四边形，∴//BE AF ，∴AFD ∠是异面直线BE ，DF 所成角或其补角，设正方体的棱长为2，则111A F D F ==，22215AF DF ==+=，2223cos 25255AF DF AD AFD AF DF +-∠===⋅⨯⨯，异面直线BE ，DF 所成角的余弦值为35．故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4．C解析：C连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==，所以2211111122B D D C B C =+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D ==+=+，由余弦定理得，从而22211111111137cos 24214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1ACCC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.6．B解析：B 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =. 【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r rl ππα==，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ；如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=, 所以2MAB π∠=,故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=, 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2rlπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.7．D解析：D 【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值. 【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE A C , 1//EF BC ,且OE EF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ，又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC 则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角，sin OAOPA OP∴∠=,OA 为定值，∴当OP 最小时，正弦值最大，而OP所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大，故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大，设棱长为2，则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒,2AP ∴=, 又1212OA =⨯=,sin OAOPA OP∴∠===故选：D 【点睛】关键点点睛：由P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，转化为找过O 的平面与平面11A BC 平行，P 在所找平面与平面ABC 的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.8．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算．【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=， 22211cos 11(7)2BC PCB PC ∠===+，所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为211．故选：D ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．C解析：C 【分析】A.通过证明线面垂直，证得线线垂直；B.利用相似三角形，求1A EEF的值；C.首先构造直线1A F 与平面1BDC 所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断. 【详解】A.AC BD ⊥，1AC BB ⊥，AC ∴⊥平面1BB D ，1AC B D ∴⊥，11//AC AC ，111B D AC ∴⊥，同理11B D BC ⊥，1111A C BC C ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A F ⊂平面11A BC ，11B D A F ∴⊥，故A 正确；B.连结1A D ，1B C 交1BC 于点F ，11//A B DC ,且11A B DC =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，∴11A DEFB E ，得1112A E A DEF B F==，故B 正确；C.1A O ⊥平面1BDC ，1111A B AC A D ==，∴点O1BDC 是等边三角形的中心，11A BC 是等边三角形，111A BC BDC ≅ 当点F 是1BC 的中点时，11A F BC ⊥，此时1A F 是点1A 和1BC 上的点连线的最短距离，设直线1A F 与平面1BDC 所成角为θ，此时11sin A O A F θ=最大，所以此时θ最大，所以111cos 32OF A F θ==<,最大角大于60，故C 不正确；D.11//A B CD ，CD ∴与1A F 所成的角，转化为11B A F ∠的大小，11B A F ∠的最小角是11B A 与平面11A BC 所成的角，即11B A F ∠，此时1111123tan 2FB B A F A B ∠==>，所以11B A F ∠的最小角大于30，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作图，关键选项是C 和D ，C 选项的关键是1A O ⊥平面1BDC ，点O1BDC 是等边三角形的中心，D 选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角.10．C解析：C 【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体，得到相应的三棱锥，之后利用椎体体积公式求得结果. 【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示：该三棱锥满足底面BCD △是等腰三角形，且底边和底边上的高线都是2；且侧棱AD ⊥底面BCD ，1AD =，所以112=221=323V ⨯⨯⨯⨯，故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正），主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐），左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等），若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称；（2）根据三视图还原几何体；（3）利用椎体体积公式求解即可.11．C解析：C 【分析】利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误；由线面垂直的定义可判断B 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】由于直线a 、b 都不在平面α内.在A 中，若//a α，过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行，因为//a b ，可得//b m ，b α⊄，m α⊂，所以，//b α，A 选项正确；在B 中，若a α⊥，则a 垂直于平面α内所有直线，//a b ，则b 垂直于平面α内所有直线，故b α⊥，B 选项正确；在C 中，若a b ⊥，//a α，则b 与α相交或平行，C 选项错误；在D 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，b α⊄，//b α∴，D 选项正确.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．12．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG 延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC =+=；②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+.因为2210<，因此，小虫爬行的最短路程为22. 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等解析：13263π【分析】利用余弦定理求得AC ，利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径2r ，可计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，圆柱的母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，所以，圆柱12O O 的外接球直径为()2222R r h =+.本题中，作出ABC 的外接圆2O ，由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中，在ABC 中，22AB =3BC =，4ABC π∠=，由余弦定理可得222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=，由正弦定理可知，ABC 的外接圆直径为5210sin 2ACr ABC===∠ 则三棱锥P ABC -的外接球直径为()222226R PA r =+=26R =，因此，三棱锥P ABC -的外接球的体积为334426132633V R ππ==⨯=⎝⎭. 故答案为：13263. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积.【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=，所以，球O 的半径为323x =，则球O 的表面积为2231643S ππ=⨯=⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.15．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积．【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥．设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=．故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．16．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=. 故答案为：1:1. 【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．17．【分析】在平面的投影为的外心即中点设球半径为则解得答案【详解】故在平面的投影为的外心即中点故球心在直线上设球半径为则解得故故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题意在考查学生的计算能力和空间想解析：163π【分析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO ==，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得233R =，故21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18．【详解】设它们的底面圆的半径为()依题意得化简得所以故答案为：解析：2【详解】设它们的底面圆的半径为r (0r >)．依题意得3443V π=⨯球V V =+圆柱圆锥221(+)83r r ππ=⨯, 化简得28r =,所以22r = 故答案为：219．【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合∴作于连接则∴又过球心∴而∴同理由得平面∴故答案为：【点睛】易错点睛：本题考查解析：38【分析】作BH PA ⊥于H ，可证得PA ⊥平面BCH ，得60BHC ∠=︒，得等边三角形BCH ，利用PA 是球的直径，得PB AB ⊥，然后计算出BH ，再应用棱锥体积公式计算体积．【详解】∵PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合，∴PAB PAC ≅△△，作BH PA ⊥于H ，连接CH ，则,CH PA CH BH ⊥=，60BHC ∠=︒， ∴BC BH CH ==．又PA 过球心，∴PB AB ⊥，而2,3PA PB ==，∴1AB =，同理1AC =，313PB AB BH PA ⋅⨯===，223333344216BCH S BH ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△，由BH PA ⊥，CH PA ⊥，CH BH H =，得PA ⊥平面BCH ，∴11333233168P ABC BCH V S PA -=⋅=⨯⨯=△．故答案为：38．【点睛】易错点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是作BH PA ⊥于H ，利用旋转重合，得PA ⊥平面BCH ，这样只要计算出BCH 的面积，即可得体积，这样作图可以得出60BHC ∠=︒，为旋转所形成的二面角的平面角，这里容易出错在误认为旋转60︒，即为60CAB ∠=︒．旋转60︒是旋转形成的二面角为60︒．应用作出二面角的平面角． 20．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可. 【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，3DE BE a ==，所以((()()()2223321cos 3233a a a DEB a a+-∠==⨯⨯，同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-，故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1227V V =. 【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需证明线线平行，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，证明//MN AT ；（Ⅱ）利用锥体体积公式，分别求两个锥体底面积和高的比值，表示体积比值.【详解】（Ⅰ）如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN .因为N 为PC 的中点，所以TN //BC ，且122TN BC ==. 又因为223AM AD ==，且//AD BC ，所以TN //AM ，TN AM =，即四边形AMNT 为平行四边形，所以MN //AT ，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）设四棱锥P ABCD -的高为h ，AD 与BC 间的距离为d . 则()21117343326ABCD V h S h d hd =⨯⨯=⨯+=梯形， 11114323223BCM h h hd V S d =⨯⨯=⨯⨯⨯=△因此1227V V =. 【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行. 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由DE EC ⊥，AE DE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面ACE ，再由//DE CB ，利用面面垂直的判定定理证明.（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ ，由三角形中位线可得.//OQ DE ，//OP AC ，再利用线面平行和面面平行的判定定理证明. 【详解】（1）在直角梯形BCED 中，BC EC ⊥，//DE CB ，则DE EC ⊥.因为90AED ∠=︒，所以AE DE ⊥. 因为AE EC E ⋂=，所以DE ⊥平面ACE ，所以BC ⊥平面ACE . 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACE .（2）取CE 的中点O ，连接OP ，OQ .因为O ，P 分别为CE ，AE 的中点，所以//OP AC ,又OP ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，//OP 平面ABC ，同理//OQ 平面ABC ，因为OP OQ O ⋂=，所以平面//OPQ 平面ABC ，又PQ ⊂平面OPQ ，所以//PQ 平面ABC . 【点睛】方法点睛：证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线． 23．（1）证明见解析；（215. 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一证明SE AD ⊥，BE AD ⊥，即可证明出AD ⊥平面SEB ，所以平面SBE ⊥平面ABCD ；（2）先证明出BC ⊥平面SEB ，利用三角形相似可得F 到平面SBE 的距离1233d BC ==，计算出SEB △的面积，再代入体积计算公式求解.【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，6SA SD ==SE AD ⊥因为ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，∴BE AD ⊥，∵BE SE E =∩∴AD ⊥平面SEB ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴平面SBE ⊥平面ABCD .（2）连接BE ，AC 相交于点G ，则由三角形相似得2CG AG = ∵//AD BC ，∴BC ⊥平面SEB ，。

高中数学第一章立体几何初步阶段检测卷(含解析)新人

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章立体几何初步阶段检测卷（含解析）新人教B 版必修2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．10条解析与AC 相交的直线有AB 、AD 、AA 1、CB 、CD 、CC 1，其他6条均与AC 异面．答案 B2．两个球的体积之和为12π，且这两个球的大圆周长之和为6π，那么这两个球的半径之差为( )A.12B ．1C ．2D ．3 解析设两个球的半径分别为R 与r (R >r ) 则⎩⎪⎨⎪⎧43πR 3＋43πr 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，∴⎩⎪⎨⎪⎧R 3＋r 3＝9，R ＋r ＝3，∴R －r ＝1. 答案 B 3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A ．棱柱B ．棱台C ．棱柱与棱锥的组合体D ．不能确定答案 A4．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( ) A．a∥b，c∥dB．a、b、c、d中至少有一对直线互相平行C．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行D．a、b、c、d中任何两条直线都不平行解析当a与b相交或a与b异面时，c∥d；当a∥b时，c∥d或c与d异面．答案 B5．一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两段，那么圆锥被分成的两部分的侧面积的比为( )A．1 1 B．1 2 C．1 3 D．1 4解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由于截面过圆锥高的中点，截得小圆锥的母线长为l2，底面半径为r2，∴圆锥被分成的两部分的侧面积之比为π×r2×l2π×r×l－π×r2×l2＝13.答案 C6．若一个圆台的主视图如图所示，则其侧面积等于( )A．6 B．6π C．35π D．65π解析圆台的侧面积S＝π(r1＋r2)l，其中r1、r2是上、下底面半径，l是母线长，∴该圆台的侧面积为35π.答案 C7．如图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．4B ．6C ．8D ．12 解析由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S －ABCD ，其中SA ⊥面ABCD ，SA ＝2，AB ＝2，AD ＝2，CD ＝4，且ABCD 为直角梯形．∠DAB ＝90°，∴V ＝13SA ×12(AB ＋CD )×AD ＝13×2×12×(2＋4)×2＝4，故选A.答案 A8．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( ) A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°解析由于BD ∥B 1D 1，易知BD ∥平面CB 1D 1；连接AC ，易证BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ；同理可证AC 1⊥B 1C ，因BD ∥B 1D 1，所以AC 1⊥B 1D 1，所以AC 1⊥平面CB 1D 1；对于选项D ，∵BC ∥AD ，∴∠B 1CB 即为AD 与CB 1所成的角，此角为45°，故D 错．答案 D 9.如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥y ′轴，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．10 2 解析平面图形还原如图所示．CD ＝C 1D 1＝3，AD ＝2A 1D 1＝2，AB ＝A 1B 1＝2，∠ADC ＝90°.∴S ABCD ＝12×(2＋3)×2＝5.答案 B 10.用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析如图①所示，这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成，如图②所示，这个几何体最小时有5个小正方体构成，因此，这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)11．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α其中，真命题是________．解析平行于同一个平面的两个平面平行，①是真命题；若一个平面平行于另一个平面的垂线，则两个平面垂直，③是真命题．答案 ①③12．在一个半径为13 cm 的球内有一个截面，此截面面积是25π cm 2，则球心到这个截面的距离为________．答案 12 cm 13.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度是________．解析将三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如下图．在(1)中，EF ＝A 1E 2＋A 1F 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝222；在(2)中，EF ＝EG 2＋FG 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋222＝14＋422；在(3)中，EF ＝EG 2＋FG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32 2.比较知(3)最小．答案 322 14.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中AD ＝BD ＝2，∠BAC ＝30°，若它们的斜边AB 重合，让三角板ABD 以AB 为轴转动，则下列说法正确的是________．①当平面ABD ⊥平面ABC 时，C 、D 两点间的距离为2；②在三角板ABD 转动过程中，总有AB ⊥CD ；③在三角板ABD 转动过程中，三棱锥D －ABC 的体积最大可达到36. 解析取AB 中点O ，当三角板ABD 转动的过程中，AB 不垂直平面COD ，故AB 不垂直CD ，故②错，①③正确．答案 ①③三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(12分)如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、F 、G 分别为MB 、PC 、PB 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG∥平面ADPM；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．解析(1)证明：∵F、G为PC、PB中点，∴FG∥BC，又BC∥AD，∴FG∥AD，∵E、G为BM、PB中点，∴EG∥PM，又EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面ADPM.(2)不妨设AB＝2a，V P－MAB＝23a3，V P－ABCD＝83a3，所以V P－MABV P－ABCD＝14.16．(12分)如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝PQ，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°.证明：BC⊥PQ.证明如图，过C做CO⊥PQ交PQ于O，连接OB.∵α⊥β，∴CO ⊥α. ∵BO ⊂α，∴CO ⊥BO ；在Rt △COA 与Rt △COB 中，CA ＝CB ，CO ＝CO ，∴Rt △COA ≌Rt △COB .∴OA ＝OB .又∵∠BAP ＝45°，∴∠BOA ＝90°，即OB ⊥PQ . ∵PQ ⊥OC ，PQ ⊥OB ，OC ∩OB ＝O ， ∴PQ ⊥面OBC .∵BC ⊂面OBC ，∴PQ ⊥BC . 17．(12分)某甜品店制作一种蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形、下半部分呈圆锥形(如图)．现把半径为10 cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到0.01)．解设圆锥底面半径为r ，高为h ，∵2πr ＝25π·10，∴r ＝2，h ＝102－22＝46，∴该蛋筒冰淇淋的表面积S ＝π×1025＋2π·22＝28π≈87.96 cm 2.体积V ＝13×π·22×46＋23π×23＝163(6＋1)π≈57.80 cm 3.故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96 cm 2，体积约为 57．80 cm 3. 18．(14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且BC ＝2AD ，AB ＝4，SA ＝3.(1)求证：平面SBC ⊥平面SAB ；(2)若E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点(端点除外)，满足SF FB ＝CEEB＝λ.①求证：不论λ为何值，都有SC ∥平面AEF ；②是否存在λ，使得△AEF 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的λ值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，∴SA ⊥AD . ∵∠BAD ＝90°，∴AD ⊥AB . ∵SA ∩AB ＝A ，SA 、AB ⊂平面SAB ，∴AD ⊥平面SAB ，∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面SAB . ∵BC ⊂平面SBC ，∴平面SBC ⊥平面SAB . (2)①证明：∵在△SBC 中，SF FB ＝CE EB， ∴EF ∥SC .∵EF ⊂平面AEF ，SC ⊄平面AEF ，∴SC ∥平面AEF .11 ②当AF ⊥SB 时，由(1)知平面SAB ⊥平面SBC ，且平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，∴AF ⊥平面SBC .∵EF ⊂平面SBC ，∴AF ⊥EF ，∴此时△AEF 为直角三角形．在Rt △SAB 中，AB ＝4，SA ＝3，∴AF ＝125.∴SF ＝95，FB ＝165，∴λ＝SF FB ＝916.∴存在λ＝916时，△AEF 为直角三角形．。

高中数学第一章立体几何初步单元测试1 北师大版必修2

第一章立体几何初步(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列几何体是柱体的是( )解析：选B.A 中的侧棱不平行，所以A 不是柱体，C 是圆锥，D 是球体，B 是棱柱． 2．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°解析：选C.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则πrl ＋πr 2＝3πr 2，得l ＝2r ，所以展开图扇形半径为2r ，弧长为2πr ，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180°，故选C.3．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3B.83cm 3 C ．2 cm 3 D ．4 cm 3解析：选B.该几何体是一个四棱锥，且其底面是边长为2的正方形，高等于2，故其体积V ＝13Sh ＝13×22×2＝83(cm 3)．4．若一个圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，圆台的侧面积为400π，则该圆台的母线长为( )A ．10B ．20C ．12D ．24解析：选B.设圆台上底面半径为r ，则下底面半径、高分别为4r ，4r ，于是其母线l＝（4r ）2＋（4r －r ）2＝5r ，又侧面积为400π，所以π(r ＋4r )·5r ＝400π，解得r ＝4，于是圆台的母线长为20.5．若l ，m ，n 是互不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若α∥β，l α，n β，则l ∥nB ．若α⊥β，l α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD ．若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ∥m解析：选C.对于选项C ，若l ∥β，则在β内必有直线n 与l 平行，从而n ⊥α；于是α⊥β.6．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C.由棱锥体积公式可得底面边长为23，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan θ＝3，所以二面角为60°，选C.7．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a α，a β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是( )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：选D.由题意，若a ∥l ，则利用线面平行的判定，可知a ∥α，a ∥β，从而a 在α，β内的射影直线b 和c 平行；若a ∩l ＝A ，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交于点A ；若a ∩α＝A ，a ∩β＝B ，且直线a 和l 垂直，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交；否则直线b 和c 异面．综上所述，b 和c 的位置关系是相交、平行或异面，故选D.8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：选D.易知在△BCD 中，∠DBC ＝45°，∠BDC ＝90°.又平面ABD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面ABD ，所以AB ⊥CD . 而AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥平面ACD ，所以平面ABC ⊥平面ACD .9．若正方体的外接球的体积为43π，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( )A.13B.23C.43D.53解析：选C.设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为r ，则由题意可得43πr 3＝43π，解得r ＝ 3.又2r ＝3a ，故a ＝2.以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则凸多面体的体积V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×12×2＝43，故选C.10．如图，若Ω是长方体ABCD A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台解析：选D.因为EH ∥A 1D 1， A 1D 1∥B 1C 1，所以EH ∥B 1C 1. 所以EH ∥平面BCGF .因为平面EFGH ∩平面BCGF ＝GF ，所以EH ∥FG ，故A 对．因为B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，EF 平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥EF ，则EH ⊥EF .又平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且与平面EFGH 的交线分别为EF ，GH ，所以EF ∥GH ，所以四边形EFGH 为平行四边形，故它也是矩形，故B 对．由EH ∥B 1C 1∥FG ，故Ω是棱柱，故C 对，选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11.有一木块如图所示，点P 在平面A ′C ′内，棱BC 平行平面A ′C ′，要经过P 和棱BC 将木料锯开，锯开的面必须平整，则有________种锯法．解析：因为BC ∥平面A ′C ′，BC ∥B ′C ′，所以平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′，则EF ∥BC ，所以过EF ，BC 所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，所以只有一种锯法．答案：112．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A CD B 的余弦值为________．解析：取AC 的中点E ，取CD 的中点F (图略)，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，结合图形知二面角A CD B 的余弦值cos θ＝EFBF ＝33. 答案：3313．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为________．解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a ，则a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝R 2，所以a 2＝23R 2，所以S ＝6×a 2＝4R 2.答案：4R 214.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________．解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，所以V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，所以S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32.答案：3∶2 3∶215.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AA 1，C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度是________．解析：将直三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如下图．在(1)中，EF ＝A 1E 2＋A 1F 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝222；在(2)中，EF ＝EG 2＋FG 2＝（2）2＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋222＝14＋422；在(3)中，EF ＝EG 2＋FG 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32 2. 比较知(3)最小．答案：322三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．解：依题意得侧面的高h ′＝（2－1）2＋32＝10， S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧面＝22＋42＋4×12×(2＋4)×10＝20＋1210，所以几何体的表面积为20＋1210.体积V ＝13(42＋22＋2×4)×3＝28.17．(本小题满分10分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．(单位：cm)解：由题意知该几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和．又S 半球面＝12×4π×22＝8π(cm 2)，S 圆台侧＝π(2＋5)（5－2）2＋42＝35π(cm 2)， S 圆台下底＝π×52＝25π(cm 2)，所以所成几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm 2)．由题意知该几何体的体积等于圆台的体积减去半球的体积．又V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)，V 半球＝12×4π3×23＝16π3(cm 3)，所以该几何体的体积为V 圆台－V 半球＝52π－16π3＝140π3(cm 3)．18．(本小题满分10分)如图，圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．(1)求证：SA ∥平面PCD ；(2)求异面直线SA 与PD 所成角的正切值．解：(1)证明：连接PO ，因为P ，O 分别为SB ，AB 的中点，所以PO ∥SA .因为PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，所以SA ∥平面PCD . (2)因为PO ∥SA ，所以∠DPO 为异面直线SA 与PD 所成的角．因为AB ⊥CD ，SO ⊥CD ，AB ∩SO ＝O ，所以CD ⊥平面SOB .因为PO 平面SOB ，所以OD ⊥PO .在Rt △DOP 中，OD ＝2，OP ＝12SA ＝12SB ＝2，所以tan ∠DPO ＝OD OP ＝22＝2，所以异面直线SA 与PD 所成角的正切值为 2.19．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，点D 是BC 的中点，BC ＝2BB 1，设B 1D ∩BC 1＝F .求证：(1)A 1C ∥平面AB 1D ； (2)BC 1⊥平面AB 1D .证明：(1)连接A 1B ，设A 1B 与AB 1交于E ，连接DE . 因为点D 是BC 的中点，点E 是A 1B 的中点．所以DE ∥A 1C .因为A 1C 平面AB 1D ，DE 平面AB 1D ，所以A 1C ∥平面AB 1D .(2)因为△ABC 是正三角形，点D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面B 1BCC 1，平面ABC ∩平面B 1BCC 1＝BC ，AD 平面ABC ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1.因为BC 1平面B 1BCC 1，所以AD ⊥BC 1.因为点D 是BC 的中点，BC ＝2BB 1，所以BD ＝22BB 1.因为BD BB 1＝CC 1BC ＝22，所以Rt △B 1BD ∽Rt △BCC 1.所以∠BB 1D ＝∠CBC 1，∠BDB 1＝∠CC 1B ，且∠CBC 1＋∠CC 1B ＝90°，所以∠CBC 1＋∠BDB 1＝90°. 所以BC 1⊥B 1D ，又AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面AB 1D .20．(本小题满分13分)在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，BC ＝a ，又侧棱PA ⊥底面ABCD .(1)当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ？试证明你的结论； (2)当a ＝4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ；(3)若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC ，又因为PA ⊥底面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥PA ，又因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC . 故当a ＝2时，BD ⊥平面PAC .(2)证明：当a ＝4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连接AM ，DM ，MN ，因为四边形ABMN 和四边形DCMN 都是正方形，所以∠AMD ＝∠AMN ＋∠DMN ＝45°＋45°＝90°，即DM ⊥AM ，又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥DM，又AM∩PA＝A，所以DM⊥平面PAM，得PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使PM⊥DM.(3)假设BC边上存在点M，使得PM⊥DM，因为PA⊥底面ABCD，所以，M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．。

(易错题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题1．设1l 、2l 、3l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题是真命题的是（）A ．若1//l α，2//l α，则12l l //B ．若1l α⊥，2l α⊥，则12l l ⊥C ．若12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，3l αβ⋂=，则13//l lD ．若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则12l l //2．如图，在Rt ABC △中，1AC =，BC x =，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（）A ．(0,3⎤⎦B ．2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．3,23D ．(]2,43．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（）A 96B 93C 96D 93 4．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若//m α，//m n ，则//n α； ②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确命题的序号是( )） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④5．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120224BAC AP AB AC ∠====，，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是（） A ．18πB ．36πC ．40πD ．72π6．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π7．已知E ，F 是四面体的棱AB ，CD 的中点，过EF 的平面与棱AD ，BC 分别相交于G ，H ，则（） A ．GH 平分EF ，BH AGHC GD = B ．EF 平分GH ，BH GDHC AG = C ．EF 平分GH ，BH AGHC GD= D ．GH 平分EF ，BH GDHC AG= 8．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为2，求这个球的表面积（）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π9．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，且22AB AC ==，30C ∠=，2SA =，则该三棱锥外接球的表面积为（） A ．20πB ．12πC ．8πD ．4π10．已知四面体ABCD ，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A ．73π B ．7π C ．712π D ．79π11．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥12．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B ，和1BB 的中点．，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A ．25B ．10 C ．35D ．3 二、填空题13．圆锥底面半径为1，母线长为4，轴截面为PAB ，如图，从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点，则最短绳长为_________．14．四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，各条棱长均为2.则异面直线VC 与AB 所成角的大小为______.15．正方体1111ABCD A B C D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 16．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为CD 的中点，F 为线段CE （端点除外）上一动点．现将DAF △沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC ．设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，θ的取值范围为__________．17．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的体积为____________.18．已知一个圆锥内接于球O （圆锥的底面圆周及顶点均在同一球面上），圆锥的高是底面半径的3倍，圆锥的侧面积为910π，则球O 的表面积为________．19．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________.20．在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.将BCD 沿对角线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -，则该三棱锥外接球的表面积为________. 三、解答题21．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90DBA ∠=︒，2BA BD ==，10,,PA PD E F ==分别是棱,AD PC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAB ；（2）若二面角P AD B --为60︒，求点B 到平面PAD 的距离.22．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，3AD =，4BC =，M 为线段AD上点，且满足2AM MD =，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）设三棱锥N BCM -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V，求12V V .23．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ；（2）求H 到平面AEC 的距离．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面PAH ；（2）若2PA AD ==，求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.25．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA AB =，E 为1CC 的中点.（1）证明：1//AC 平面BDE ；（2）证明：平面BDE ⊥平面1ACC ；（3）求二面角E BD C --的大小.26．如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．（1）证明： AB ⊥VC ；（2）求三棱锥V —ABC 的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件判断1l 与2l 的位置关系，可判断AD 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断C 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若1//l α，2//l α，则1l 与2l 平行、相交或异面，A 选项错误；对于B 选项，若1l α⊥，2l α⊥，由线面垂直的性质定理可得12//l l ，B 选项错误；对于C 选项，12//l l ，1l α⊂，2l β⊂，α、β不重合，则1l β⊄，1//l β∴，1l α⊂，3l αβ⋂=，13//l l ∴，C 选项正确；对于D 选项，若αβ⊥，1l αγ=，2l βγ⋂=，则1l 与2l 相交或平行，D 选项错误.故选：C. 【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．2．A解析：A 【分析】取BC 中点E ，连接DE ，AE ，若CB AD ⊥，则可证明出BC ⊥平面ADE ，则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ，AD 关于x 的表达式，然后在ADE 中，利用三边关系求解即可. 【详解】由题意得BC x =，则21x AD CD BD +===，如图所示，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==，翻折后，在图2中，若CB AD ⊥，则有：∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，AD DE D ⋂=，且,AD DE 平面ADE ，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==∴2114AE x =-21x AD +=，在ADE 中，由三边关系得：①221111224x x ++>-②122<+③0x >；由①②③可得0x <<．故选：A. 【点睛】本题考查折叠性问题，考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系，即作出辅助线DE 与AE ，根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ，得到BC AE ⊥，从而通过几何条件求解.3．A解析：A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,CE CC AA BC AB ''=====BE ==，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=，所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 6S rl CC DC πππ'==⨯⨯=⨯⨯=，所以曲面面积为18⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 4．D解析：D 【分析】①根据//n α或n ⊂α判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③根据m β⊂，或//m β，或m 与β相交判断；④利用线面角的定义判断．【详解】①若//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，因此不正确；②若//m β，则β内必存在一条直线//m m '，因为m α⊥，所以m α'⊥，又因为m β'⊂，所以αβ⊥，正确；③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，因此不正确；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，正确．其中正确命题的序号是②④．故选：D ．【点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.5．D解析：D 【分析】先找出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心N ，过N 作平面ABC 的垂线NG ，作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心， OA 为外接球半径，求解半径并求表面积即可. 【详解】如图所示，1204BAC AB AC ∠===，，取BC 中点M ，连接AM 并延长到N 使AM =MN ，则四边形ABNC 是两个等边三角形组成的菱形，AN =BN =CN ，点N 是ABC 的外接圆圆心，过N 作平面ABC 的垂线NG ，则球心一定在垂线NG 上，因为PA ⊥平面ABC ，则PA //NG ，PA 与NG 共面，在面内作PA 的中垂线，交NG 于O ，则O 是外接球球心，半径R =OA ，Rt AON 中，122ON AP ==，4AN =，故()224232R =+=2441872S R πππ==⨯=.故选:D. 【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.6．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=，而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===，所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则23R = 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．7．C解析：C 【分析】举特例舍去不正确选项，可得正确答案. 【详解】过EF 的平面为平面ABF 时，G 在A 点， H 在B 点，所以0BH AG HC GD==，EF 平分GH ，即BH AG HC GD =，所以舍去ABD ，选C 故选：C8．C解析：C 【分析】将正三棱锥补成一个正方体，计算出正方体的棱长，可得出正方体的体对角线长，即为外接球的直径，进而可求得这个球的表面积. 【详解】设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -的棱长为22222⨯=，该正方体的体对角线长为23 所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为23R =3R =，该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.9．A解析：A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆直径2r ，利用公式()2222R r SA =+棱锥S ABC -的外接球直径，然后利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，圆柱的外接球半径为R ，取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点O 到圆柱底面圆上每个点的距离都等于R ，则O 为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得()()22222r h R +=.本题中，SA ⊥平面ABC ，设ABC 的外接圆为圆1O ，可将三棱锥S ABC -内接于圆柱12O O ，如下图所示：设ABC 的外接圆直径为2r ，2SA h ==，由正弦定理可得24sin ABr C==∠，，该三棱锥的外接球直径为2R ，则()222225R r h =+=.因此，三棱锥S ABC -的外接球的表面积为()224220R R πππ=⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.10．A解析：A【分析】本题首先可根据题意将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD BD ====，所以可将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体ABCD 的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形BCD 的外心到三角形BCD 的顶点的长度为222131323，所以直三棱柱的外接球的半径221372312r，则球O 的表面积277π4π4π123S r ，故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查四面体的外接球的表面积的计算，能否将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键，考查直三棱柱的外接球的半径的计算，是中档题.11．D解析：D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确；对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂，而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误．故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．12．A解析：A 【分析】作出异面直线AM 和CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设,E F 分别是1,AB CC 的中点，由于,M N 分别是111,A B BB 的中点，结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ，所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角，设异面直线AM 和CN 所成的角为θ，设正方体的边长为2，2211125B E B F ==+=，2221216EF =++=，则1cos cos EB F θ=∠=55625255+-=⨯⨯.故选：A.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最解析：42【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短可得．【详解】由题意1,4r l ==，所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==，如图，2APA π'∠=，则2442AA '=⨯=．故答案为：42．【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥侧面上的最短距离问题，空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形，利用平面上两点间线段最短求解．14．60°【分析】根据AB ∥CD 得到异面直线与所成角即为∠VCD 由△VCD 为等边三角形即可求解【详解】如图示因为是正方形所以AB ∥CD 所以异面直线与所成角即为∠VCD 又各条棱长均为2所以△VCD 为等边三解析：60° 【分析】根据AB ∥CD ,得到异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD ,由△ VCD 为等边三角形，即可求解. 【详解】如图示，因为ABCD 是正方形，所以AB ∥CD , 所以异面直线VC 与AB 所成角即为∠VCD. 又各条棱长均为2，所以△ VCD 为等边三角形，所以∠VCD =60°，异面直线VC 与AB 所成角的大小为60°. 故答案为：60° 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： (1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形；(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面2．【分析】根据题意得1BD ⊥平面1AB C ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又23GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1AB C ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB == 连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF B C 根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG 所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，因为12233GE EF GF ====所以动点P 的运动轨迹周长为2323GE EF GF ++=⨯=2【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1AB C 及平面1//AB C 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.16．【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析：(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，在翻折后的几何体中，证得平面ODM ⊥平面ABCF ，从而DM ⊥平面ABCF ，得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．设(01)CF x x =<<C ，求得sin θ的范围后可得θ范围．【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥，交AF 于O ，交AB 于M ，设(01)CF x x =<<，AM t =，由图易知DAMFDA △△，∴AM AD DA DF =，即112t x =-，∴12t x=-，01x <<，则112t <<．在翻折后的几何体中，AF OD ⊥，AF OM ⊥，又OD OM O =，,OD OM ⊂平面ODM ，∴AF ⊥平面ODM ，又AF ⊂平面ABCF ，∴平面ODM ⊥平面ABCF ，又平面ABD ⊥平面ABC AB =．平面ODM平面ABD DM =，∴DM ⊥平面ABCF ，连接MF ，则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角．DFM θ∠=，而21DM t =-，12DF x t=-=， ∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+， ∵112t <<，∴2114t <<，∴10sin 2θ<≤，即06πθ<≤．故答案为：(0,]6π．【点睛】方法点睛：本题考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．17．【分析】根据正方体的表面积可得正方体边长然后计算外接球的半径利用球的体积的公式可得结果【详解】设正方体边长正方体外接球的半径为R 由正方体的表面积为24所以则又所以所以外接球的体积为：故答案为：【点睛解析：3π【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长a ，然后计算外接球的半径2R a =，利用球的体积的公式，可得结果. 【详解】设正方体边长a ，正方体外接球的半径为R ，由正方体的表面积为24，所以2624a =，则2a =，又R =，所以R ，所以外接球的体积为：334433R ππ==.故答案为：. 【点睛】方法点睛：求多面体的外接球的表面积和体积问题关键是要求出外接球的半径，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.18．【分析】设圆锥的底面半径为球的半径为根据勾股定理可得根据圆锥的侧面积公式可得再根据球的表面积公式可得结果【详解】设圆锥的底面半径为球的半径为则圆锥的高为则球心到圆锥的底面的距离为根据勾股定理可得化简解析：100π【分析】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，根据勾股定理可得53R r =，根据圆锥的侧面积公式可得3,5r R ==，再根据球的表面积公式可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，球O 的半径为R ，则圆锥的高为3r ，则球心O 到圆锥的底面的距离为3r R -，根据勾股定理可得()2223R r r R =+-，化简得53R r =，因为圆锥的高为3r =，所以圆锥的侧面积为2r r π=，2r =，解得r =3，所以5353R =⨯=，所以球O 的表面积为24425100R πππ=⨯=. 故答案为：100π【点睛】关键点点睛：利用圆锥的侧面积公式和球的表面积公式求解是解题关键.19．40°【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系根据点处的纬度计算出晷针与点处的水平面所成角【详解】画出截面图如下图所示其中是赤解析：40° 【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角. 【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥.. 由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒. 故答案为：40°.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，解题的关键是将稳文中的数据建立平面图形，属于中档题.20．【分析】作出图示求得外接球的半径由球的表面积可求得答案【详解】作出图示因为在矩形ABCD 中则连接交于点则设该三棱锥外接球的半径为则所以该三棱锥外接球的表面积故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的解析：4π【分析】作出图示，求得外接球的半径，由球的表面积可求得答案.【详解】作出图示，因为在矩形ABCD 中，1AB =，3AD =.则2==AC BD ，连接AC BD，交于点O ，则1AO BO CO DO ====，设该三棱锥外接球的半径为R ，则1R =，所以该三棱锥外接球的表面积244S R ππ==，故答案为：4π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积计算，关键在于求得外接球的球心位置和半径，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（26 【分析】（1）取PB 中点M ，连接,MF AM ，证出四边形AMFE 为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明.（2）连接,PE BE ，可得PEB ∠为二面角P AD B --的平面角，求出22PE =，再利用余弦定理可得PB ，再利用面面垂直的判定定理证明平面PBE ⊥平面PDA ，点B 作BO PE ⊥交PE 于点O ，在PEB △中即可求解.【详解】解：（1）证明：取PB 中点M ，连接,MF AM ，由F 为PC 中点，则//MF BC 且12MF BC =. 由已知有//,BC AD BC AD =，又由于E 为AD 中点，从而//,MF AE MF AE =，故四边形AMFE 为平行四边形，所以//EF AM .又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊂/平面PAB ，则//EF 平面PAB . （2）证明：连接,PE BE .由,PA PD BA BD ==，而E 为AD 中点，所以,PE AD BE AD ⊥⊥，所以PEB ∠为二面角P AD B --的平面角，60PEB ∴∠=︒. 又2,90,2BA BD DBA AD ==∠=︒∴=∴在PAD △中，由10,22PA PD AD ===，可解得22PE =在Rt ABD △中，由22,AD E =为AD的中点，可得122BE AD ==. ∴在PEB △中，2222cos PB PE EB PE EB PEB =+-⋅∠，2182222262PB ∴=+-⨯⨯⨯=， 2226,,PB PB EB PE PB EB ∴=∴+=∴⊥.又,,,PE AD BE AD PE BE E AD ⊥⊥⋂=∴⊥平面PBE ，AD ⊂平面PAD ，∴平面PBE ⊥平面PDA .过点B 作BO PE ⊥交PE 于点,O OB ∴⊥平面PDA .∴在PEB △中，OB PE PB EB ⋅=⋅，从而626222PB EB OB PE ⋅⨯===. ∴点B 到平面PAD 的距离为6.【点睛】关键点点睛：本题考查了面面垂直的判定定理，求点到面的距离，解题的关键是求出6PB =，证出平面PBE ⊥平面PDA ，作出点到面的距离，考查了计算能力.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1227V V =. 【分析】（Ⅰ）要证明线面平行，需证明线线平行，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，证明//MN AT ；（Ⅱ）利用锥体体积公式，分别求两个锥体底面积和高的比值，表示体积比值.【详解】（Ⅰ）如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN .因为N 为PC 的中点，所以TN //BC ，且122TN BC ==. 又因为223AM AD ==，且//AD BC ，所以TN //AM ，TN AM =，即四边形AMNT 为平行四边形，所以MN //AT ，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .（Ⅱ）设四棱锥P ABCD -的高为h ，AD 与BC 间的距离为d . 则()21117343326ABCD V h S h d hd =⨯⨯=⨯+=梯形， 11114323223BCM h h hd V S d =⨯⨯=⨯⨯⨯=△ 因此1227V V =. 【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.23．（1）证明见解析；（26．【分析】（1）取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．证明四边形DGHM 是平行四边形，可得线面平行；（2）由H 到平面AEC 的距离为F 到平面AEC 的距离的一半，先求出F 到平面AEC 的距离，用体积法可求得F 到平面AEC 的距离．【详解】（1）证明：取BC 的中点M ，连接HM ，DM ．因为该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，所以截面AEFG 是平行四边形，则4=-=DG CF EB ．因为36==FC EB ，所以1(26)42=⨯+=HM ，且DG//FC//HM ，所以四边形DGHM 是平行四边形，所以GH //DM ．因为DM ⊂平面ABCD ，GH ⊄平面ABCD ，所以//GH 平面ABCD ．。

高中数学第一章立体几何初步综合测试A 新人教B版必修

【成才之路】2014-2015学年高中数学第一章立体几何初步综合测试A 新人教B版必修2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·广西南宁高一期末测试)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是( )A．A∈l，l⊄αB．A∈l，l∉αC．A⊂l，l∉αD．A⊂l，l⊄α[答案] A[解析] 点在直线上用“∈”表示，直线在平面外用“⊄”表示，故选A.2．(2014·河北邢台一中高一月考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( ) A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交[答案] C[解析] ∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l平行的直线．3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是( )[答案] A[解析] 因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.又AB⊥CD，∴截面必为矩形．4．(2014·湖南永州市东安天成实验中学高一月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线AC1的长为3cm，则它的体积为( )A．4cm3B．8cm3C.11272cm 3D ．33cm 3[答案] D[解析] 设正方体的棱长为a cm ，则3a 2＝9，∴a ＝ 3.则正方体的体积V ＝(3)3＝33(cm 3)．5．(2014·山东菏泽高一期末测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2πB ．4πC ．πD ．8π[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半，其体积V ＝12×π×12×2＝π.6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.π6B.2π3 C.3π2D.4π3[答案] A[解析] 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，球的直径应等于正方体的棱长，故球的半径为R ＝12，∴球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(12)3＝π6.7．设α表示平面，a 、b 、l 表示直线，给出下列命题，①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥l b ⊥la ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ⊥b ⇒a ⊥α；④直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α. 其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①错，缺a 与b 相交的条件；②错，在a ∥α，a ⊥b 条件下，b ⊂α，b ∥α，b 与 α斜交，b ⊥α都有可能； ③错，只有当b 是平面α内任意一条直线时，才能得出a ⊥α，对于特定直线b ⊂α，错误；④错，l 只要与α内一条直线m 垂直，则平面内与m 平行的所有直线就都与l 垂直，又l 垂直于平面内的一条直线是得不出l ⊥α的．8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()[答案] B[解析] (可用排除法)由正视图可把A ，C 排除，而由左视图把D 排除，故选B.9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是13，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A ．1 3B ．1(3－1)C ．19 D.3 2[答案] B[解析] 如图由题意可知，⊙O 1与⊙O 2面积之比为13，∴半径O1A1与OA之比为13，∴PA1PA＝13，∴PA1AA1＝13－1.10．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E、交CC′于F，则以下结论中错误的是( )A．四边形BFD′E一定是平行四边形B．四边形BFD′E有可能是正方形C．四边形BFD′E有可能是菱形D．四边形BFD′E在底面投影一定是正方形[答案] B[解析] 平面BFD′E与相互平行的平面BCC′B′及ADD′A′的交线BF∥D′E，同理BE∥D′F，故A正确．特别当E、F分别为棱AA′、CC′中点时，BE＝ED′＝BF＝FD′，则四边形为菱形，其在底面ABCD内的投影为正方形ABCD，∴选B.11．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部[答案] B[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC⊥ABAC⊥BC1AB∩BC1＝B⇒AC⊥平面ABC1AC⊂平面ABC⇒平面ABC1⊥平面ABC ，⎭⎪⎬⎪⎫ 平面ABC 1∩平面ABC ＝AB C 1H ⊥平面ABC⇒H 在AB 上．12．如图1，在透明密封的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内已灌进一些水，固定容器底面一边BC 于水平的地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的变化，有下列四个命题：①有水的部分始终呈棱柱形； ②水面四边形EFGH 的面积不会改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当点E 、F 分别在棱BA 、BB 1上移动时(如图2)，BE ·BF 是定值．其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．③④ D ．①②[答案] B[解析] 由于BC 固定于水平地面上， ∴由左右两个侧面BEF ∥CGH ，可知①正确；又∵A 1D 1∥BC ∥FG ∥EH ，∴③正确；水的总量保持不变，总体积V ＝12BE ·BF ·BC ，∵BC 一定，∴BE ·BF 为定值，故④正确；水面四边形随着倾斜程度不同，面积随时发生变化， ∴②错．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．用斜二测画法，画得正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________． [答案] 72 [解析] 由S 直＝24S 原，得S 原＝22S 直＝22×182＝72. 14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．[答案] 31 2[解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a，43πa 3.所以体积之比2πa323πa 343πa 3＝22343＝31 2.15．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件其构成真命题(其中l 、m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. [答案] l ⊄α[解析] ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”．它同样适合②③，故填l ⊄α.16．一块正方形薄铁片的边长为4cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.[答案]153π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r ，则2πr ＝π2·4⇒r ＝1(cm)，故圆锥的高为h ＝42－1＝15(cm)，故其体积V ＝13π·1215＝15π3(cm 3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解析] 圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x 和3x ，截得圆台的圆锥顶点为S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又轴截面积为S ＝12(2x ＋6x )·2x ＝392，∴x ＝7，∴高OO 1＝14，母线长l ＝2OO 1＝142，∴圆台高为14cm ，母线长为142cm ，两底半径分别为7cm 和21cm.18．(本题满分12分)(2014·陕西汉中市南联中学高一期末测试)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，E 为棱CC 1的中点．(1)求四棱锥E －ABCD 的体积； (2)求证：B 1D 1⊥AE ； (3)求证：AC ∥平面B 1DE .[解析] (1)V E －ABCD ＝13×1×2×2＝43.(2)∵BD ⊥AC ，BD ⊥CE ，CE ∩AC ＝C ， ∴BD ⊥平面ACE ， ∴BD ⊥AE 1，又∵BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AE .(3)如图，取BB 1的中点F ，连接AF 、CF 、EF .则EF綊AD，∴四边形ADEF为平行四边形，∴AF∥DE.又CF∥B1E，AF∩CF＝F，DE∩B1E＝E，∴平面AFC∥平面B1DE，∴AC∥平面B1DE.19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD.[解析] (1)如图，设AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．△PAC中，EO是中位线．∴PA∥EO，而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB.∴PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.由PD＝DC知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC①又由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而DE⊂面PDC，∴BC⊥DE②由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD.20．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AC的中点．(1)求证：MN∥平面BCD1A1；(2)求证：MN⊥C1D；(3)求VD－MNC1.[解析] (1)连接A1C，在△AA1C中，M、N分别是AA1、AC的中点，∴MN∥A1C.又∵MN⊄平面BCA1D1且A1C⊂平面BCD1A1，∴MN∥平面BCD1A1.(2)∵BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C1，∴BC⊥C1D.又在平面CDD1C1中，C1D⊥CD1，BC∩CD1＝C，∴C1D⊥平面BCD1A1，又∵A1C⊂平面BCD1A1，∴C1D⊥A1C，又∵MN∥A1C，∴MN⊥C1D.(3)∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥DN ，又∵DN ⊥AC ，∴DN ⊥平面ACC 1A 1， ∴DN ⊥平面MNC 1.∵DC ＝2，∴DN ＝CN ＝2，∴NC 21＝CC 21＋CN 2＝6，MN 2＝MA 2＋AN 2＝1＋2＝3，MC 21＝A 1C 21＋MA 21＝8＋1＝9，∴MC 21＝MN 2＋NC 21，∴∠MNC 1＝90°， ∴S △MNC 1＝12MN ·NC 1＝12×3×6＝322，∴VD －MNC 1＝13·DN ·S △MNC 1＝13·2·322＝1.21．(本题满分12分)(2014·山东文，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面PAC .[解析] (1)证明：如图所示，连接AC 交BE 于点O ，连接OF .∵E 为AD 中点，BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCE 为平行四边形． ∴O 为AC 的中点，又F 为PC 中点， ∴OF ∥AP .又OF ⊂面BEF ，AP ⊄面BEF ， ∴AP ∥面BEF .(2)由(1)知四边形ABCE 为平行四边形．又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 为菱形． ∴BE ⊥AC .由题意知BC 綊12AD ＝ED ， ∴四边形BCDE 为平行四边形．∴BE ∥CD .又∵AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥CD .∴AP ⊥BE .又∵AP ∩AC ＝A ，∴BE ⊥面PAC .22．(本题满分14分)(2014·广东文，18)如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图2折叠，折痕EF ∥DC .其中点E 、F 分别在线段PD 、PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M －CDE 的体积．[解析] (1)如图PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ，又CF ⊥MF ，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF ＝M ，∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝12，∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34， ∴PE ＝334，S △CDE ＝12CD ·DE ＝38，MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2 ＝3342－342＝62，∴V M －CDE ＝13S △CDE ·MD ＝13×38×62＝216.。

2014-2015学年高一数学专题01空间几何体同步单元双基双测(B卷)(含解析)

必修二第一章空间几何体能力提升卷班级：学生：考号：.第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.下列几何体中各的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案 :D2.【 2014 高考全国 1 卷文第 8 题】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A. 三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】 B【解析】试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．考点：三视图的考查3. 【江西省临川一中 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21 3 B ．18 3 C ．21D ．18【答案】 A【解析】试题分析：该几何体是正方体在对角截去两个三棱锥，因此表面积为S226111623 2213224考点：求多面体的体积 .4. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是（）x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为x211正视图侧视图俯视图A．2 B ．9C ．3D ． 3 22【答案】 D【解析】试题分析：由三视图还原几何体为底面为直角梯形、有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示，则该几11何体体积为(1 2) 2x 3 ，解得，选．x332Dx212考点：三视图.5.【河北唐山一中2013— 2014 学年度高二下学期期末考试数学文试题】如图（下左），一个简单组合体的正视图和侧视图相同，是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的半径为 3. 则该组合体的表面积为()．A． 15πB． 18πC． 21πD． 24π【答案】 C【解析】试题分析：由题意可知，该组合体下边是圆柱，上边是圆柱，因此表面积为。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章立体几何初步双基限时练14(含解析)北师大版必修2

5
∵∠ABC＝30°，AC＝1， ∴在 Rt△ABC 中，AB＝2，BC＝ 3，在 Rt△SCB 中，SC＝ SB －BC ＝3，在 Rt△SAB 中，SA＝ SB －AB ＝2 2. 1 3 3 ∴S△SBC＝ SC·BC＝， 2 2 1 3 S△ABC＝ AC·BC＝， 2 2 1 1 S△SAB＝ SA·AB＝2 2，S△SAC＝ SA·AC＝ 2. 2 2 ∴三棱锥的表面积 S 表＝S△ABC＋S△SBC＋S△SAB＋S△SAC＝2 3＋3 2. 12．已知，在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．
3．若圆台的高为 3，一个底面半径是另一个底面半径的 2 倍，其轴截面的一个底角为 45°，则这个圆台的侧面积是( )
A．27π C．9 2π
解析如图可知，2r2＝2r1＋6＝4r1， ∴r1＝3，r2＝6.
B．27 2π D．36 2π
S 圆台侧＝π (r1＋r2)l＝π (6＋3)×3 2＝27 2π . 答案 B
2
)
2
A．48＋12 2 C．36＋12 2
B．48＋24 2 D．36＋24 2
解析由三视图可知，该几何体是一个底面为直角三角形且顶点在底面上的射影为斜边的中点的三棱锥，如图，SE＝5，SD＝4，AC＝6 2，AB＝BC＝6， 1 1 1 ∴S 表＝S△ABC＋2S△SAB＋S△ASC＝ ×6×6＋2× ×5×6＋ ×6 2×4＝48＋12 2. 2 2 2 答案 A 二、填空题 7．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于________．
1
4．一个几何体的三视图中，主视图和左视图都是矩形，俯视图是等腰直角三角形(如图)，根据图中标准的长度，可以计算出该几何体的表面积是( )

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练12(含解析)北师大版必修4

双基限时练(十二) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像(二)一、选择题1．已知函数f (x )＝sin(πx ＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时取最大值，那么( )A. T ＝2，θ＝π2B. T ＝1，θ＝πC. T ＝2，θ＝πD. T ＝1，θ＝π2解析 T ＝2ππ＝2，∴f (2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ，显然当θ＝π2时f (x )取得最大值．答案 A2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋34π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 解析由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )解得．答案 A3．若f (x )＝sin(2x ＋φ)为偶函数，则φ值可能是( ) A. π4B. π2C. π3D. π解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x ，而y ＝cos2x 为偶函数，∴φ＝π2.4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称解析 f (π3)＝0.答案 A5．①最小正周期π；②图像关于⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称，则下列函数同时具有以上两个性质的是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6D ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析用排除法．答案 B6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π－π6，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.7．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度所得到的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A. 4π3B. 2π3C. π3D. 5π3解析向左平移φ个单位长度后的解析式为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3＋φ，∴4π3＋φ＝k π，∴φ＝k π－4π3>0(k ∈Z )．∴k >43，∴k ＝2，∴φ＝2π3.答案 B二、填空题8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域是____________．解析 ∵－π2≤x ≤π2，∴－π3≤x ＋π6≤23π.∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤2.答案 [－3，2]9．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调减区间为________．解析 ∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋512π，k ∈Z ，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )10．给出下列命题：①函数y ＝sin x 在第一象限是增函数；②函数y ＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2πω；③函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋72π是偶函数；④函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像．其中正确的命题是__________．解析 ①第一象限有正角或负角，无单调性可言，故①不正确；②中的最小正周期T ＝2π|ω|，故②不对；③函数y ＝sin(23x ＋72π)＝－cos 23x ，故其为偶函数；④将函数y ＝cos2x 的图像向左平移π4个单位，得到y ＝cos2(x ＋π4)＝－sin2x 的图像，故④不正确，只有③正确．答案 ③ 三、解答题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即sin φ＝cos φ，即tan φ＝1，又0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－34π≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )．12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6. 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．13．若函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)，对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求φ的最小正值；(3)当φ取最小正值时，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，求f (x )的最大值和最小值； (4)写出函数f (x )的单调增区间．解 (1) 解法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，知f (x )的图像关于直线x ＝π3对称．又∵这个图像的对称轴一定经过图像的最高点或最低点，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝± 5.解法二：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ， ∴f (x )关于x ＝π3对称，∴2×π3＋φ＝k π＋π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2＝± 5.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝±5，得2·π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－π6＋k π(k ∈Z )．令k ＝1，得φ＝5π6，即为φ的最小正值．(3)由(2)知f (x )＝5sin(2x ＋5π6)，当－π6≤x ≤π6时，π2≤2x ＋5π6≤7π6，∴当2x ＋5π6＝π2，即x ＝－π6时，f (x )取最大值5；当2x ＋5π6＝7π6，即x ＝π6时，f (x )取最小值－52.(4)由2k π－π2≤2x ＋5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－23π≤x ≤k π－π6(k ∈Z )，∴函数f (x )＝5sin(2x ＋φ)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－23π，k π－π6(k ∈Z )．。

第一章《立体几何初步》单元检测A卷(北师大版必修2)

4①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱 A .④③②B .②①③C .①②③ 5.两个平面平行的条件是（）A 有一条直线与这两个平面都平行 D .③②④B 有两条直线与这两个平面都平行C 有一条直线与这两个平面都垂直D 有一条直线与这两个平面所成的角相等6.把边长为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，其体积是（4B .-87.—个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的面积等于（）.a 的正方形，则原平面四边形丿2 22、22《立体几何初步》单元检测 A 卷（120分钟 150分）学号：姓名：成绩：一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.）C I 、m 是内两条直线，且丨// , m 〃D I 、m 是两条异面直线，且I// , m 〃，且I//, m 〃4. 如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）.1 .互不重合的三个平面最多可以把空间分成（C 7 D, ）B allb）个部分B> 5F 列命题正确的是（all b b alla// ba 〃b Calla ll bb a ll 3.下列条件中，可判定平面A 、都垂直于平面B内不共线的三个点到a与平面的距离相等平行的是（）则这个圆锥的表面积为（10. 若圆锥的轴截面是等边三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角为（18 （ 12分）设AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，A a , B b ，自AB 的中点O 作平面与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的两点，MN 与交于P ,求证：P 是MN 的中点•已知m , n 为异面直线, m P 平面，n P 平面l ，则 I ()与m , n 都相交与m , n 都不相交与m , n 中至少一条相交与m , n 中一条相交若一个圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面直径的截面）是等边三角形，其面积为「3 ,A. 3B. 3 3C. 6D. 9A.900B.1800C.450D. 60011. 对于直线m 、n 和平面 A . m n, m// ,n // C . m// n,n ,m 12. 正方体的位置关系是（A 平行，能得出 B . m n, D .m // n,m的一个条件是（）•ABCD — A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线 )B 相交m, n ,nAD i 与A i C i 的公垂线，则 EF 与B i DC 异面不垂直D 异面垂直第n 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共 4小题，每小题4分，共16分.） 13. 正视图、侧视图、俯视图都是长方形的几何体是 ______ 。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数单元同步测试(含解析)北师大版必修4

阶段性检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第一象限的角都是锐角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析对于A 项来说，如390°是第一象限角，但它不是锐角；对于B 项来说，－170°是第三象限角，120°是第二象限角，但120°>－170°；对于C 项来说，－831°＝－2³360°－111°，因为－111°是第三象限角，所以－831°是第三象限角；对于D 项来说，984°40′＝3³360°－95°20′，264°40′＝360°－95°20′. 所以角984°40′，264°40′都与－95°20′角的终边相同．答案 D2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( )A.π6 B.π3C.π2D.23π 解析 T ＝π3.答案 B3．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4解析 sin 34π＝cos 74π，cos 34π＝sin 74π.答案 D4．把y ＝sin x 的图像向右平移π8后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π8 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π8C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π8D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 答案 A5．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π6－π3＝0，故C ，D 不正确，又f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－sin π3＝－32<0. ∴B 不正确．答案 A 6．函数y ＝sin x ＋lgcos xlg x 2＋2的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x <2k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2，k ∈ZC.{}x |2k π<x < 2k ＋1 π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，2k π≤x ＜2k π＋π2或2k π＋3π2＜x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ，所以选A. 答案 A7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，显然f (x )为偶函数，不是奇函数．答案 D8．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在( )A ．[－π，0]上是增加的B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上是增加的C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增加的D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上是增加的解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当2k π－π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )时，函数是增加的，解得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．当k ＝0时，－3π4≤x ≤π4，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，函数是增加的．答案 B9．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析 a ＝－sin1，b ＝cos1，c ＝－tan1， ∵a <0，c <0，b >0，又sin1<tan1，∴－sin1>－tan1，故选C. 答案 C10．已知函数f (x )＝3sin πxk的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x 2＋y 2＝k 2上，则f (x )的最小正周期是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析由题意可知点⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，3在圆x 2＋y 2＝k 2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫k22＋(3)2＝k 2，解得k ＝±2.此时，函数的最小正周期是T ＝2ππ|k |＝2|k |＝4.答案 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知角α的终边过点P (－4m,3m )，(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝________. 解析当m >0时，|OP |＝5m,2sin α＋cos α＝6m 5m ＋－4m 5m ＝25；当m <0时，|OP |＝－5m,2sin α＋cos α＝6m －5m ＋－4m －5m ＝－25. 答案 25或－2512．sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝________.解析 sin4π＋cos 32π＋tan3π－sin 52π＋cos5π＝sin0＋cos π2＋tan π－sin π2＋cos π＝0＋0＋0－1－1＝－2. 答案－213．已知半径为2的扇形的面积为4，则这个扇形的圆心角为________．解析设这个扇形的弧长为l ，则4＝12³2³l ，∴l ＝4，∴这个扇形的圆心角θ＝lr ＝42＝2. 答案 214．若函数f (x )＝sin x ＋m cos x 图像的一条对称轴方程为x ＝π6，则实数m 的值为________．解析由题意得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即m ＝32＋m 2，得m ＝ 3. 答案315．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －34π，有下列命题：①其最小正周期为23π；②其图像由y＝2sin3x 向左平移π4个单位得到；③其表达式可写成f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π；④在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π为单调增函数．则其中真命题为________．解析由T ＝2π3，故①正确；将y ＝2sin3x 的图像向左平移π4个单位得到y ＝2sin3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋34π，故②不正确；y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －34π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋54π－2π＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －34π，故③正确；当π12<x <5π12时，－π2<3x －34π<π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，512π上单调递增，故④正确．答案 ①③④三、解答题(本大题共6道题，共75分) 16．(12分)化简：(1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α.解 (1)sin420°cos330°＋sin(－690°)²cos(－660°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝1.(2)原式＝cos αsin α－cos α＋sin α －sin α－sin α＝－sin α＋sin α ＝0.17．(12分)已知扇形的圆心角θ＝π3，它所对的弦长为2，求扇形的弧长和面积．解 ∵扇形的圆心角θ＝π3(如图)，∴△AOB 为等边三角形，∴R ＝AB ＝2，∴扇形的弧长l ＝R θ＝2³π3＝23π.S 扇＝12Rl ＝12³2³23π＝23π.18．(12分)如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做匀速圆周运动，求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式，并求点P 的运动周期和频率．解当质点P 从位置P 0开始转动t s 时，点P 转过的角度为ωt .设此时点P 所在的位置为P ′，则∠P ′Ox ＝ωt ＋φ.由任意角的三角函数得点P 的纵坐标为y ＝r sin(ωt ＋φ)，此即为所求的函数关系式．点P 的运动周期为T ＝2πω，频率为f ＝1T ＝ω2π.19．(13分)如图所示，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；(2)分析该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解 (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2³⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. ∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2³π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图像．20．(13分)如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0，即(sin x －2)(sin x －a )＝0.∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，即求在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上sin x ＝a 有两根时a 的范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6与y ＝a 的图像知12≤a ＜1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 21．(13分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8， (1) 求φ；(2) 求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3) 画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解 (1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，(k ∈Z )，φ＝k π＋π4，(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，(k ∈Z )．即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，(k ∈Z )．(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知，故函数y＝。

【名师一号】高中数学第一章立体几何初步双基限时练3(含解析)北师大必修2

双基限时练(三)一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点解析斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．答案 B2．如图所示的直观图中A ′B ′∥y ′轴，B ′C ′∥A ′D ′∥x ′轴，且B ′C ′≠A ′D ′.其对应的平面图形ABCD 是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析由直观图的画法，可知原四边形ABCD 为直角梯形．答案 B3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，如图若O ′B ′＝1，那么原△ABO 的面积是( )A.12B.22C. 2D ．2 2解析由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2O ′A ′＝22，∴S △AOB ＝12×1×22＝ 2.答案 C 4.如图所示为等腰直角三角形，其中AB ＝AC ＝2，则△ABC 的直观图的面积为( ) A ．2 B. 2 C.22D ．2 2解析 △ABC 的直观图如图所示，则S △A ′B ′C ′＝12×2×1×sin45°＝22.答案 C5．已知△A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，如图，则在△ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC解析由斜二测画法，可知原三角形ABC 为直角三角形，AC 为斜边，D 为BC 的中点，故AC >AD ，故最长的线段为AC ，故答案为D.答案 D6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为( ) A.32 B.34 C.64D.62解析如图①②分别为平面图与直观图，由②可知，A ′B ′＝2，h ′＝C ′O ′sin45°＝32×22＝64，S △A ′B ′C ′＝12×64×2＝64. 答案 C 二、填空题7．在一等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝45°，DC ＝2，AD ＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O 为AB 的中点，则其直观图的面积为________．解析由图可知AB ＝DC ＋2AD cos45°＝4，EO ＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，高h ′＝E ′O ′.sin45°＝24，∴S A ′B ′C ′D ′＝ 2＋4 ×242＝324.答案3248．一个水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析由斜二测画法，知△ABC 为直角三角形，AB ＝AC 2＋BC 2＝9＋16＝5， ∴AB 边上的中线为52.答案 529．如图所示，ABCD 为边长为2的正方形，其中B (2,2)，则在斜二测画法中，直观图A ′B ′C ′D ′中B ′点到x ′轴的距离为________．解析在直观图中，A ′B ′C ′D ′是有一个角为45°的平行四边形，B ′到x ′轴的距离为d ＝1×sin45°＝22. 答案 22三、解答题10．把下图水平放置的直观图P ′Q ′R ′S ′还原为真实图形．若S ′R ′＝2，P ′Q ′＝4，S ′P ′＝2，S ′R ′∥P ′Q ′∥O ′x ′，P ′S ′∥O ′y ′，试求其真实图形PQRS 的面积．解由斜二测画法，知P ′Q ′∥O ′x ′，P ′S ′∥O ′y ′，R ′S ′∥O ′x ′. 故PQ ∥Ox ，PS ∥Oy ，RS ∥Ox ，且PS ＝2P ′S ′，PQ ＝P ′Q ′，RS ＝R ′S ′.故真实图形如图所示．由上知PQ ＝P ′Q ′＝4，SR ＝S ′R ′＝2，SP ＝2S ′P ′＝4，且四边形PQRS 是直角梯形，其面积S ＝12(SR ＋PQ )·SP ＝12(2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC 的边长为a ，求△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积．解由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中，作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．解 (1)画出x 轴，y 轴，z 轴三轴相交于O 点，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，∠yOz＝90°.(2)在x 轴上取OA ＝5，OC ＝2，过A 作AB ∥OC ，过C 作CB ∥OA ，则四边形OABC 为下底面．(3)在z 轴上取OO ′＝5，过O ′作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy ，建立坐标系x ′O ′y ′，重复(2)的步骤作出上底面O ′A ′B ′C ′.(4)连接AA ′，BB ′，CC ′，OO ′，即得到长方体OABC －O ′A ′B ′C ′的直观图．思维探究13．已知水平放置的三角形ABC 是正三角形，其直观图的面积为64a 2，求△ABC 的周长．解图△ABC 是△A ′B ′C ′的原图形，设△ABC 的边长为x ，由斜二测画法，知A ′B ′＝AB ＝x ，O ′C ′＝12OC ＝34x ，作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，∵∠C ′O ′D ′＝45°， ∴C ′D ′＝22O ′C ′＝22×34x ＝68x ， ∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12x ×68x ＝616x 2.∴616x 2＝64a 2，∴x ＝2a ，∴△ABC周长为3×2a＝6a.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章三角函数双基限时练3(含解析)北师大版必修4

双基限时练(三) 弧度制一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A.π3rad ＝60° B ．10°＝π18 radC ．36°＝π5 radD.5π8rad ＝115° 解析5π8＝5π8×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝112.5°. 答案 D2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也扩大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积扩大到原来的2倍D ．扇形的圆心角扩大到原来的2倍解析由S 扇＝12rl 知当半径变为原来的2倍，弧长也扩大到原来的2倍时，面积变为原来的4倍，故A ，C 不对，又由圆心角θ＝l r，当l 与r 均变为原来的2倍时，θ的值不变，故B 正确．答案 B3．时钟经过三小时，时针转过了( ) A. π6 radB. π2 radC. －π2radD. －π6rad解析时针每小时转过－π6 rad.答案 C4．将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z )的形式是( ) A. －8π＋π4B. －10π－π4C. －8π＋74πD. －10π＋74π解析－1485°＝－1485×π180＝－334π＝－10π＋74π.答案 D5．若α与β关于y 轴对称，则( ) A ．α＋β＝π2(k ∈Z )B ．α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )解析由α，β关于y 轴对称，得β＝2k π＋π－α(k ∈Z )．答案 D6．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 所表示的角的范围(用阴影表示)是( )解析当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案 C7．将－300°化为弧度为( )A. －4π3B. －5π3C. －7π6D. －7π4解析 ∵1°＝π180，∴－300°＝－300×π180＝－5π3 rad.答案 B 二、填空题8．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则三内角的弧度数分别是__________．解析设三角形的三个内角的弧度数分别为4x,5x,6x ，则有4x ＋5x ＋6x ＝π，解得x ＝π15. ∴三内角的弧度数分别为4x ＝4π15，5x ＝π3，6x ＝2π5.答案4π15，π3，2π59．已知一扇形的圆心角α＝π3，扇形所在圆的半径R ＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________．解析设扇形的弧长为l ，则l ＝α·R ＝π3×10＝10π3，由题意得S 弓＝S 扇－S △＝12Rl －12R 2sin π3＝12×10×10π3－12×102×32 ＝50(π3－32)．答案103π 50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 10．(1)若θ∈(0，π)，且θ与7θ终边相同，则θ＝______. (2)设α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限．解析 (1)由题意得7θ＝2k π＋θ， ∴θ＝k π3(k ∈Z )，又θ∈(0，π)，当k ＝1时，θ＝π3；当k ＝2时θ＝23π.(2)－2＝－2π＋2π－2，∵2π－2∈(π，32π)，故α为第三象限角．答案 (1)π3或2π3(2)三三、解答题11．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限． (1)214π；(2)1580°； (3)－236π.解 (1)214π＝4π＋54π，为第三象限角；(2)1580°＝1580180π＝799π＝8π＋79π，为第二象限角；(3)－236π＝－4π＋π6，为第一象限角．12．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2.∴2012°＝503π45∈S .13．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长.解设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 立体几何初步单元同步测试(含解析)北师大版必修2

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 统计单元同步测试(含解析)北师大版必修3

高一数学立体几何初步单元测验

高中数学第一章_立体几何初步_同步练习(二)北师大版必修二

高中数学名师一号高中数学-第一章-导数及其应用单元综合测试-新人教版选

【名师一号】高中数学 综合测试题(含解析)新人教A版选修1-1

(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(包含答案解析)(1)

高中数学 第一章 立体几何初步阶段检测卷(含解析)新人

高中数学 第一章 立体几何初步单元测试1 北师大版必修2