工程数学-复变函数-第19讲
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
工程数学第5章课件
5.2 复变函数与解析函数
5.2.3 解析函数
1. 解析函数的概念
定义12 若函数f(z)在z0及z0的某一邻域内处处可导，则 称f(z)在z0处是解析的，并称z0为f(z)的解析点。若f(z)在区域D 内处处可导，则f(z)在区域D内解析，f(z)为D内的解析函数， D为f(z)的解析区域。若f(z)在点z0不解析，则z0为f(z)的奇点。
5.3 复变函数的积分
5.3 复变函数的积分
2. 复变函数积分的性质及计算公式 复变函数积分有如下基本性质：
5.3 复变函数的积分
例5.3.1 设C是正向圆周z=1，计算下列各积分的值。
5.3 复变函数的积分
5.3.2 柯西积分定理
定理4（柯西积分定理） 设函数f(z)在单连通区域D内 解析，C是D内任意一条简单闭曲线，则∮Cf(z)dz=0。
5.1 复数
2. 曲线与区域的复数表示
定义5 设x(t)与y(t)是［α,β］上的实连续函数，则由方 程z=z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)所确定的点集C称为复平面上的 一条连续曲线.若存在满足α≤t1≤β,α≤t2≤β且t1≠t2，使得 z(t1)=z(t2)，则称曲线C有重点。无重点的连续曲线为简单曲 线。除z(α)=z(β)外没有别的重点的连续曲线为简单闭曲线。
5.1 复数
5.1.1 复数及其表示
1. 复数的概念
形如z=x+iy的数称为复数，其中x和y是任意实数，i是虚数单位（ i2=-1），实数x和y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Rez，y=Imz。
当y=0时，z=x为实数；当y≠0时，z为虚数；当x=0且y≠0时，z为 纯虚数。
全体复数构成的集合为复数集，记为C，即C={z=x+iy|x,y∈R}。当 两个复数的实部和虚部对应相等时，两复数相等，即
【工程数学】复变函数复习重点
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
第一章 复数与复变函数——工程数学
3 2i 2 3i
解：法一（商的公式）
z1 z2
(
x1x2 x22
y1 y2 y22
)
i(
x2 y1 x22
x1 y2 y22
)
3
2 22
(2) 32
3
i
2 (2) 33 22 32
i
法二（共轭性质）
___
___
z1 z2
z1 z2
___
z2 z2
z1 z2 | z2 |2
(3 2i)(2 (2 3i)(2
称x为z的实部(Re al), 记 Re z x 称y为z的虚部(Imaginary),记 Im z y
例如：z 2 i, 则 Re z 2, Im z 1
特别地，当y 0时,则z x为实数；
当x 0且y 0时,则z iy, 称为纯虚数；
2020/6/19
5
定义2：设两复数z1 x1 iy1与z2 x2 iy2，则z1 z2 x1 x2，y1 y2
2020/6/19
3
第一章 复数与复变函数
➢ 1.1 复数 ➢ 1.2 复数的三角表示 ➢ 1.3 平面点集的一般概念 ➢ 1.4 无穷大与复球面 ➢ 1.5 复变函数
2020/6/19
4
第一节 复数
➢ 一、复数的基本概念
定义1：设x与y都是实数，称x iy为复数，
记为：z x iy
称i为虚数单位，且定义i2 1或i 1
9
例 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2为两个任意复数， 4． 证明：z1 z2 z1z2 2Re z1 z2 证明：z1 z2 z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1 iy1)(x2 iy2)
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
1.2 求下列各式的值：（1）5(3)i -； （2）6(1)i +； （3）61- ； （4）13(1)i -。
解：（1）因为632ii eπ--=，所以5555566631(3)223232()16(3)22i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫-====--=-+ ⎪⎝⎭（2）因为412ii e π+=，所以63663442(1)2288i i i e e e i πππ⨯⎛⎫+====- ⎪⎝⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()166221cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++=-=+=+，其中0,1k =；即031cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=， 25531cossin 6622w i i ππ=+=-+，37731cos sin 6622w i i ππ=+=--，433cossin 22w i i ππ=+=-，5111131cos sin 6622w i i ππ=+=-。
（4）因为12cos()sin()44i i ππ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
2023大学_工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载
2023工程数学《复变函数》西安交通大学第四版课后答案下载工程数学《复变函数》内容简介第一章复数与复变函数第一节复数及其运算第二节复数的几何表示第三节复数的乘幂与方根第四节复平面上的点集第五节复变函数第六节复变函数的极限与连续性小结习题第二章解析函数第一节复变函数的导数第二节解析函数第三节初等函数小结习题第三章复变函数的积分第一节复变函数的积分第二节柯西积分定理第三节不定积分第四节柯西积分公式第五节调和函数小结习题第四章解析函数的级数表示第一节复数项级数第二节幂级数第三节泰勒级数第四节洛朗级数小结习题第五章留数定理及其应用第一节孤立奇点第二节留数定理第三节应用留数定理计算实积分第四节辐角原理小结习题第六章保形映射第一节复平面上的曲线及其简单性质第二节保形映射第三节几个初等函数构成的映射第四节分式线性映射第五节关于保形映射的例题第六节几个特殊的保形映射和一般性定理第七节保形映射的一个应用小结习题第七章傅立叶变换第一节傅立叶变换第二节傅立叶变换的性质小结习题第八章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换第二节拉普拉斯变换的性质第三节拉普拉斯逆变换小结习题习题解答工程数学《复变函数》图书目录本书是根据复变函数课程教学基本要求编写的，全书共八章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的'级数表示、留数定理及其应用、保形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换，每章末有小结，以帮助学生掌握要点;书后附有习题答案，供学生参考。
书中带“__”号内容，可供各专业选用。
《工程数学.复变函数》第一章
z1 z1 3 4i , z2 1 i , 求 与 z1 . 例 1.1 设 z2 z2
解
z1 3 4i (3 4i )( 1 i ) z2 1 i ( 1 i )( 1 i )
( 3 4) (4 3)i 7 1 i. 2 2 2 7 1 z1 i . 2 2 z2
n 1
C
(
复系数n次代数方程 J. Hadamard 说: 实域中两个真理之间的 伟 数的积分. Jacques Hadamard
n
青年时代 和物理 最短路程是通过复域. z a1z an1(1865.12.8-1963.10.17) z an 0 异常, 曾 法国数学家. 他在1896年应 (3) 复变函数理论可以应用于流体的平面平行流动 17 在复数域必有n个根. 用复变函数理论证明了当 x=1时, 等问题的研究. 习, ( z ) 0, 从而证 17 Riemann 函数
z r
x2 y2 ,
y
>> syms x y real; >> z=x+y*i;
z x y, x z, y z.
o
>> abs(z) x ans =
x
如果点P不是原点(即 z 0 ), 那么把 x 轴的 正向与向量 OP 的夹角 q 称为复数 z 的辐角, 记 做Argz. 对每个 z 0 , 都有无穷多个辐角, 因为用
y y
Pz x iy
量表示(如图).
o
x
x
这时复数加、减法满足向量加、减法中的平 行四边形法则. 用 OP表示复数z时, 这个向量在x轴和y轴上 的投影分别为x和y. 把向量 OP 的长度r 称为复数z的 模 或称为z
《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解
《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解大学数学学院 （主编：王忠仁 静）高等教育 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。
如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。
所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。
1.2 求下列各式的值：（1）5)i ； （2）6(1)i +； （3； （4）13(1)i -。
解：（162ii eπ-=，所以555556661)223232())2i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭（2）因为41ii e π+=，所以63663442(1)288i i i e e e i πππ⨯⎫+====-⎪⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()1622cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++==+=+，其中0,1,2,3,4,5k =；即01cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=，2551cossin 662w i i ππ=+=+，3771cos sin 662w i i ππ=+=-，433cossin 22w i i ππ=+=-，511111cos sin 662w i i ππ=+=-。
（4）因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
复变函数(工程数学)教学大纲
《复变函数》（工程数学）教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：08138013（二）课程英文名称：Complex Function（三）开课对象：通信工程专业本科生（四）课程性质：《复变函数》是高等院校工科各专业有关专业的一门基础理论课。
它的理论和方法广泛应用于微分方程、概率论、计算数学、流体力学、热传导理论、电磁学、弹性理论、天体力学等学科，并且已经成为解决众多理论与实际问题的强有力工具。
本课程以高等数学为基础，也需必备一些物理有关课程的知识，是学习有关专业的基础。
（五）教学目的：本课程旨在使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面而奠定必要的基础。
（六）教学内容：本课程的主要内容包括：复数与复变函数，复变函数的导数，解析函数，复变函数的积分，级数、留数，共形映射等。
（七）学时数、学分数及学时数具体分配学时数：54 学时分数： 3 学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：1、熟练掌握复数的各种表示方法及其运算2、了解区域的概念3、理解复变函数的概念4、理解复变函数的极限和连续的概念教学时数：6学时教学内容：第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算第二节复数的几何表示一、复平面二、复球面第三节复数的乘幂与方根一、乘积与商二、幂与根第四节区域一、区域的概念二、单连通域与多连通域第五节复变函数一、复变函数的定义二、映射的概念第六节复变函数的极限和连续性1、函数的极限2、函数的连续性考核要求：1、复数及其代数运算1.1 复数的概念（识记）2、复数的乘幂与方根2.1 复数的乘积、商（应用）2.2 复数的幂与根（应用）3、区域（识记）4、复变函数的极限、连续（领会）第二章解析函数教学要点：1、理解函数的导数及解析的概念2、掌握复变函数可导及解析的充要条件3、了解指数函数、三角函数，对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质。
工程数学(复变与积分变换 A 集)目录
工程数学（复变与积分变换A集）目录 1工程数学（复变与积分变换A集）目录Ａ.1 复数与复变函数（第一章） (2)1.1复数 (2)1.2复变函数 (4)A.2 导数（第二章） (6)2.3解析函数 (6)2.4调和函数 (8)A.3 积分（第三章） (9)3.3柯西积分公式解析函数的导数 (9)A.4 级数（第四章） (11)4.3泰勒级数 (11)4.4罗朗级数 (13)A.5 留数（第五章） (15)5.2留数及留数定理（2） (15)5.3应用留数计算定积分 (17)A.6 傅里叶变换（第七章） (18)7.1傅里叶积分 (18)7.2傅里叶变换 (19)7.3δ函数及其傅里叶变换 (20)2 工程数学习题集（复变函数与积分变换A 集）Ａ.1 复数与复变函数（第一章）1.1 复数1．选择题(1) ( )Re()iz =（A） （B）Re()iz −Im()z −（C） （D）Im()z Im()iz (2) 下列对任意复数均成立的等式为（ ）z （A）22z z = （B）()22z z = （C）()22arg arg z z = （D）()22R e R e z z = 2. 将下例函数化为三角表达式和指数表达式(1)i +1解(2)i 解(3) 21i − 解A.1 复数与复变函数（第一章） 33. 填空题(1) 设,则复数的形式为8214z i i i =−+z x iy =+ 复数的模为z 辐角主值为(2) 设复数5z i =−，则其三角形式指数形式(3) 当满足z 条件时，21z z +是实数． 4．选择题(1) 设12z i =+，则3Im z =（ ）（A）-2（B）1 （C）8 （D）14(2) 设(1)2z i =−，则的值为（ ） 100501z z ++（A）（B）i （C）1 （D）-1 i −5．计算下例各题的值(1) (2) 8(1)i −+13(1)i +(4) 10(1)−4 工程数学习题集（复变函数与积分变换A 集）1.2 复变函数6. 选择题 (1) 12(1)−=（ ）（A）无定义 （B）－１ （C）cos()2k ππ+ （D）sin()2i k ππ+ (2) 方程()2Re 1z =所代表的曲线为（ ）（A）圆周 （B）椭圆（C）双曲线 （D）抛物线(3) 下例正确的是（ ）（A）()Ln z 在1z =−处无定义 （B）(1)0Ln −=（C）的虚部等于(1)Ln −π （D）(1)Ln −的实部等于０7. 求的值z (1) 23i z eπ−= (2) e 21z 1−=(3) (1)z Ln = (4) ln(1)z i =−A.1 复数与复变函数（第一章） 58. 选择题(1)设{}01D z z =<<，则为（ ）D （A）无界区域 （B）复连通域 （C）单连通域 （D）闭区域(2) 下例正确的是（ ）（A）为单调函数． （B）为有界函数．z e z e （C）为多值函数． （D）为周期函数．z e z e 9. 判断正误 (1) 因为12(1i +<+)i )i z ，所以12.( ) (1i +<+(2) 为有界函数． ( )sin ,cos z (3) ． ( )2()2Ln z Lnz =(4) {}Re()D z z z =≤所表示的为整个复平面. ( )11. 计算下例各值(1) (2) (1)i i+(3) 32(1)− (4) cos(2)i −(5) (6) sin i ()tan 2Arc i6 工程数学习题集（复变函数与积分变换A 集）A.2 导数（第二章）2.3 解析函数1. 选择题(1) 函数()w f z u iv ==+在点处解析,则下列命题不成立的是( )0z （A）仅在点处可微且满足柯西-黎曼方程,u v 0z （B）存在点的某一邻域在0z ()0,U z u v 、()0U z 内满足柯西-黎曼方程（C）在,u v ()0U z 内可微（D） B 与C 同时成立(3) 函数()w f z u iv ==+的实、虚部在区域内有一阶连续的偏导数，则( ),u v D （A）在内满足柯西-黎曼方程 （B）,u v D ()f z 在内连续D （C）()f z 在内可导 （D）D ()f z 在内解析D (4) 设函数()f z 在区域内解析,则与D ()f z ≡常数不等价的命题是( )（A）()0f z ′≡ （B）()()Re Im f z f z ≡≡常数（C） ()f z 解析 （D） ()f z ≡常数2. 讨论下列函数的解析性(1) ()1f z z=(2) ()()Re f z z z =(3) ()22f z xy ix =+yA.2 导数（第二章） 73. 判断题(1) 解析函数的导函数仍为解析函数. （ ）(2) 初等函数在其定义域内解析，可导. （ ）(3) 如果()f z 在解析，那么0z ()f z 在连续. （ ）0z (4) 函数()2f z z =在平面上解析. （） z 4. 选择题(1) 如果是0z ()f z 的奇点, 则()f z 在处一定为（ ）0z （A）不可导 （B）可导（C） 不解析 （D）解析(2)如果()0f z ′存在，那么()f z 在处一定有（ ）0z （A）解析 （B）不解析（C） 不连续 （D）连续5. 讨论()322333f z x x yi xy y =+−−i )的解析性，并求导数.6. 设函数()(3232f z my nx y i x lxy =+++为解析函数,试确定. ,,l m n8 工程数学习题集（复变函数与积分变换A 集）2.4 调和函数7. 判断题(1) 解析函数()()(,,)f z u x y iv x y =+的(),u x y 与(),v x y 互为共扼调和函数.（ ）(2) 若与(),u x y (),v x y 都是调和函数,则()()(),,f z u x y iv x y =+是解析函数.（ ）(3) 设为区域内的调和函数,(,u u x y =)D u u f i x y ∂∂=−∂∂,则f 是内的解析函数. D （ ）8. 选择题(1) 函数()()(),,f z u x y iv x y =+解析，则下列命题中错误的是( )（A） 均是调和函数 （B）是u 的共轭调和函数,u v v （C） 是的共轭调和函数 （D） u v u −是的共轭调和函数v (2)下列函数中不是调和函数的是( )（A）(),arctany h x y x = （B）.()()22,ln 2h x y x y x y =++−; （C）()22,x h x y y x y2=−+ （D）()2,si x h x y e y =n 3 9. 已知()2,3v x y xy x =−+，求以为虚部的解析函数v ()f z u iv =+.10. 已知，求以u 为实部的解析函数(),2sin xu x y e y =()f z u iv =+，使()00f =.A.3 积分（第三章） 9A.3 积分（第三章）3.3 柯西积分公式 解析函数的导数1. 选择题 (1) 设zC e :|2|1,dz z 2C z −=−∫ 则=( )(A) (B) i e 2πei 2π(C) (D)2e 2πi e 22π(2) 设C 3sinz:||1,dz z 2C z π=−∫ 则（=( ) (A) i π− (B) i π(C) (D) 0i 2π−2. 计算题 (1) ∫=−−1|2|2z z dz z e (2) ∫=−3||3zdz 1z e z z ）（ (3) 22sin (1)z z dz z =−∫(4) ∫C zdz ze ，其中C 为由正向圆周2||=z 与负向圆周1||=z 所组成。
复变函数知识点梳理
复变函数知识点梳理复变函数知识点梳理第一章：复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识，加减乘除，乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章：解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念，将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数，类似于实变二元函数的导数，求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数，就是函数处处可导换了个说法，而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是：μ对x 与ν对y 的偏微分相等且μ对y 和ν对x 的偏微分互为相反数，这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念：调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数，而这两个调和函数互为共轭调和函数。
和实变函数中的初等函数形式一样，但是变量成为复数，所以有一些不同的性质。
第三章：复变函数的积分这一章，主要是将实变函数的积分问题，在复变函数这个体系里进行了系统的转化，让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数概念
3
u
x2 y2 4
z1 i
y
z2 1 2i
z3 1
z1 z2 z3 O
Im z y 0 Re z x 0 z 1
v
Im w 2xy 0
w2
w u2 v2 1
O
x
w1 w3
u
w1 1 w2 3 4i w3 1
复变函数
函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2y2, v=2xy
x x(t)
y y(t) ( t )
所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。
令z x(t) iy(t)
( t )
z z(t)
参数表达式 复数表达式
复变函数
2.光滑曲线 设曲线C的参数方程为: z x(t) iy(t)
( t )
又在α≤t≤β上，x’(t)和y’(t)连续且
当反函数单值时z [ f (z)] z G (一般z [ f (z)])
复变函数
当函数(映射)w f (z)和其反函数(逆映射)
z (w)都是单值的，则称函数(映射)w f (z)
是 一 一 的 。 也 称 集 合G与 集 合G 是 一 一 对 应 的 。
例4 已知映射 w 1 ,判断 : z平面上的曲线 x2 y2 1被
三.用复数表达式表示常见区域
1.单位圆内部 z 1
复变函数
2.圆环域
r1 z z0 r2其中r1，r2都是大于0的实数
3.带状区域
x1 Rez x2
y1
Imz
y2
4.角形域 1 arg z 2
5.上半平面 Imz 0
6.左半平面 Rez 0
§5 复变函数
复变函数
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
工程数学 复数与复变函数
工程数学---------复变函数
o
M
x
-24-
内点: 设G 为一平面点集, z0 为 G 中任意一点.如果存在 z0 的一个邻域属于G, 则称 z0 为 G 的内点. 开集: 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集. 区域: 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的. 边界点: 设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但P的任意小邻域 总包含D中的点, 称P为D的边界点.
-15-
5. 复数的乘幂与方根
1) 乘积与商
y
i1 i 2
设
则
z1 r1e , z2 r2e
z1 z2 z1
2
z1 z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei(1 2 )
z1 z2 z1 z2 ,
z2
Arg ( z1 z2 ) Arg z1 Arg z2
y y
,
x 0, y 0
o
x x
-12-
复数的其他表示
y
P ( x, y )
z xi y r cos i r sin
y
o x x
（指数表示）
r (cos i sin ) （三角表示）
r ei
其中
2 2
r x y z
欧拉公式： ei cos i sin
工程数学
复变函数
历史发展
复变函数理论产生于十八世纪，欧拉、达朗 贝尔、拉普拉斯等都是创建这门学科的先驱.
《工程数学》课程十二-复变函数
解：由于函数 在 内只有一个奇点 在 内解析，由柯西公式可 得
6 解析函数的高阶导数
定理：设区域D的边界为围线 c ， 在 上解析，则函数 的 n 阶导数存在，且
讨论：1)该定理说明，解析函数的任意阶导数都存在，换句话说，在某个区域上，复变函数只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.
讨论：
柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来. 或者说解析函数在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值.
2)对于复连通区域内的解析函数 ，只要将积分路径c 理解为该区域的全部边界(都取正方向)，则柯西积分公式仍然成立，例如：由 组成的复连通区域D ，( 的正方向如图3.9所示)， 则： 有 3)利用柯西积分公式可以计算某些复 变函数沿闭曲线的积分. 例7：设c 为圆周 ，求
工程数学 复变函数
辅导课程十二
主讲教师:冉扬强
汇报人姓名
第二篇 复变函数
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第三章 复变函数的积分 §5 柯西积分公式
5 柯西积分公式
定理(柯西积分公式)：设 c 为区域D 的边界，
在 上解析，则对于区域D内任一点 ，有
第四章 级 数
01.
主要内容
02.
复数项级数的基本概念和性质
03.
幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质
04.
解析函数的泰勒展式
05.
双边幂级数，解析函数的罗朗展式
重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析函数的泰勒展式和罗朗展式
难点：解析函数的泰勒展开和罗朗展开
重点和难点
第四章 级数
幂级数的收敛性
2 幂 级 数
各项均为幂函数的复变项级数 其中 ，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。
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4
以m,s分别表示这一天袋装糖重总体X的均值 和标准差. 由于长期实践表明标准差比较稳定, 就设s=0.015. 于是X~N(m,0.0152), 这里m未知. 问题是根据样本值来判断m=0.5还是m0.5. 为 此, 我们提出两个相互对立的假设 H0:m=m0=0.5 和 H1:m0.5. 然后给一个合理的法则, 利用已知样本作出是 接受假设H0, 还是接收假设H1. 如果接受H0, 则认为机器工作正常,否则不正常.
23
解 按题意需检验假设 H0:mm0=40 (假设新方法没有提高燃烧率), H1:m>m0 (假设新方法提高了燃烧率). 这是右边检验问题, 其拒绝域如(1.6)式所示, x - m0 z z0.05 1.645. s n
2 25 z的值落在拒绝域中,所以在显著性水平 a=0.05下拒绝H0, 认为新法的燃烧率没有显 著提高.
31
解 按题意需检验 H0:mm0=225, H1:m>225. 取a=0.05. 由表8.1知此检验问题的拒绝域为
t
量 | x - m 0 | 的大小可归结为衡量 x-m n
s
的大小.
6
因此, 可适当选定一正数k,使当观察值`x满足 | x - m0 | k , 就接受假设H 0 . s n 然而, 因为决策的依据是样本, 当实际上H0为 真时仍可能做出拒绝H0的决策(这种可能性是 无法消除的), 这是一种错误, 犯这种错误的概 率记为
这种检验法常称为Z检验法.
27
2, s2未知, 关于m的检验(t检验) 设总体X~N(m,s2), 其中m,s2未知, 我们来求检 验问题 H0:m=m0, H1:mm0 的拒绝域(显著性水平为a). 设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本, 由于s2未
X -m 知, 现在不能利用 来确定拒绝域了 注意 . s n 到S2是s2的无偏估计, 我们用S来代替s, 采用
a/2
-za/2 0
a/2
za/2
9
因而, 若Z的观察值满足
| z |
x - m0
s
n
k za / 2 ,
则拒绝H0, 而若
| z |
则接受H0
x - m0
s
n
k za / 2 ,
10
例如, 在本例中取a=0.05, 则有 k=z0.05/2=z0.025=1.96, 又已知n=9, s=0.015, 再由 样本算得`x=0.511, 即有
25
§2 正态总体均值的假设检 验
26
(一) 单个总体N(m,s2)均值m的检验 1, s2已知, 关于m的检验(Z检验) 在§1中已讨论过正态总体N(m,s2)当s2已知 时关于m的检验问题(1.2),(1.3),(1.4). 在这些检 验问题中, 我们都是利用统计量
Z
X - m0
s
n
来确定拒绝域的 .
13
前面的检验问题常叙述成: 在显著性水平a下, 检验假设 H0:m=m0, H1:mm0. (1.2) 也常说成"在显著性水平a下, 针对H1, 检验 H0". H0称为原假设或零假设, H1称为备择假 设. 要进行的工作是, 根据样本, 按上述检验方 法作出决策, 在H0与H1中择其一. 当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们拒 绝原假设H0, 则C称为拒绝域, 拒绝域的边界 点称为临界点, 如上例中拒绝域为|z|za/2, 而 z-za/2, z=za/2为临界点.
18
下面来确定常数k P {当H 0为真拒绝H 0 } PmH 0 { X k }
X - m0 k - m0 Pm m 0 s n s n X - m k - m0 Pm m 0 s n s n 令 X - m k - m0 Pm m 0 a. s n s n
12
上例中, 当样本容量固定时, 选定a后, 可确定
数k , 然后按照统计量 Z
X - m0
s
的观察值的
n
绝对值|z|大于等于k还是小于k来作出决策. 数 k是检验上述假设的一个门槛值. 如果|z|k, 则 称`x与m0的差异是显著的, 这时拒绝H0; 反之, 如果|z|<k, 则称`x与m0的差异是不显著的, 这 时接受H0. 数a称为显著性水平, 上面关于`x 与m0有无显著差异的判断是在显著性水平a 之下作出的. 统计量Z称为检验统计量.
x - m0
s
n
0.511 - 0.5 0.015 9
2.2 1.96,
于是拒绝H0, 认为这天包装机工作不正常.
11
上例中所采用的检验法则是符合实际推断原 理的. 因通常a总是取得较小, 一般取a=0.01, 0.05. 因而若H0为真, 即当m=m0时, X - m0 za / 2 是一个小概率事件根据实际推 , s n 断原理, 就可以认为, 如果H0为真, 则由一次 试验得到的观察值`x, 满足不等式 x - m0 za / 2几乎是不会发生的 现在居然发生 , s n 了, 则我们有理由怀疑H0为假, 拒绝H0.
5
由于要检验的假设涉及总体均值m, 故首先想 到是否可借助样本均值`X这一统计量来进行 判断. `X是m的无偏估计, 其观察值的大小在 一定程度上反映m的大小. 如果假设H0为真, 则观察值`x与m0的偏差|`x-m0|一般不应太大. 若|`x-m|过分大, 就怀疑假设H0的正确性而拒 X -m 绝H 0 , 考虑到当H 0为真时 ~ N (0,1), 而衡 s n
16
有时只关心总体均值是否增大. 例如试验新工 艺以提高材料的强度. 这时, 所考虑的总体的 均值应该越大越好. 此时, 我们需要检验假设 H0:mm0, H1:m>m0. (1.3) 形如(1.3)的假设检验, 称为右边检验. 类似地, 有时需要检验假设 H0:mm0, H1:m<m0. (1.4) 形如(1.4)的假设检验, 称为左边检验. 右边检 验和左边检验统称为单边检验.
3
例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖. 包得的 袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为 0.015公斤. 某日开工后为检验包装机是否正 常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为 (公斤): 0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512 问机器是否正常?
z
s
n
za .
(1.6)
20
z
x - m0
s
n
za .
(1.6)
a
0
za
21
类似地, 可得左边检验问题 H0:mm0, H1:m<m0 的拒绝域为
(1.4)
z
x - m0
s
n
- za
(1.7)
22
例2 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率 服从正态分布N(m,s2), m=40cm/s, s=2cm/s. 现 在用新方法生产了一批推进器. 从中随机取 n=25只, 测得燃烧率的样本均值为 `x=41.25cm/s. 设在新方法下总体均方差仍为 2cm/s, 问用新方法生产的推进器的燃烧率是 否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提 高? 取显著性水平a=0.05.
14
由于检验法则是根据样本作出的, 总有可能作 出错误的决策. 如上面所说, 在假设H0实际上 为真时, 可能犯拒绝H0的错误, 称这类"弃真" 错误为第I类错误. 又当H0实际上不真时, 也有 可能接受H0. 称这类"取伪"错误为第II类错误. 犯第II类错误的概率记为
P{当H 0不真接受H 0 }或PmH1 {接受H 0 }.
24
而现在z
41.25 - 40
3.125 1.645
综上所述, 处理参数的假设检验问题步骤为: 1. 根据实际问题的要求, 提出原假设H0及备 择假设H1; 2. 给定显著性水平a以及样本容量n; 3. 确定检验统计量以及拒绝域的形式; 4. 按P{当H0为真拒绝H0}<a求出拒绝域; 5. 取样, 根据样本观察值作出决策, 是接受H0 还是拒绝H0.
为确定常数k , 考虑统计量
X - m0
s n 犯这类错误的概率最大为a, 令(1.1)式取等号, X - m0 P{当H 0为真拒绝H 0 } Pm 0 k a . s n
8
.由于只允许
X - m0 P{当H 0为真拒绝H 0 } Pm 0 k a . s n X - m0 由于当H 0为真时, Z ~ N (0,1),由标准正 s n 态分布分位点的定义得: k=za/2.
工程数学
第19讲
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第八章 假设检验
§1 假设检验
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统计推断的另一类重要问题是假设检验问题. 在总体的分布函数完全未知或只知其形式, 但 不知道参数的情况, 为了推断总体的某些未知 特性, 提出某些关于总体的假设. 例如, 提出总 体服从泊松分布的假设, 又如, 对正态总体提 出数学期望等于m0的假设等. 我们是要根据样 本对所提出的假设作出是接受, 还是拒绝的决 策. 假设检验是作出这一决策的过程.
得k=ta/2(n-1), 即得拒绝域为
| t |
x - m0 s n
ta / 2 ( n - 1).
( 2.1)
对于正态总体N(m,s2), 当s2未知关于m的单 边检验的拒绝域在书上表8.1中给出. 上述利用 t 统计量的检验法称为t 检验法
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例1 某种元件的寿命X(以小时计)服从正态分 布N(m,s2), m, s2均未知. 现测得16只元件的寿 命如下: 159, 280, 101, 212, 224, 379, 179, 264 222, 362, 168, 250, 149, 260, 485, 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小 时?