数学第二章函数2.1函数概念小结学案无答案苏教版必修1

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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的概念名师导航学案苏教版

2。

1 函数的概念和图象2.1。

1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。

函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。

（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。

已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________；（3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。

3。

函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。

疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。

高中数学第二章函数 2.1 函数的概念教案苏教版必修1

2.1.1函数的概念（预习部分）一．教学目标1．理解函数概念；2．了解构成函数的三个要素；3．会求一些简单函数的定义域；4．培养理解抽象概念的能力．二．教学重点1.理解函数的概念，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念；2.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会求函数的定义域．三．教学难点1.理解函数的概念，学会用集合与对应的语言刻画函数的概念；2.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会求函数的定义域．四．教学过程（一）创设情境，引入新课1. 在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据。

从人口统计年鉴中可以查得我国1949-1999年人口数据资料如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？2. 一物体从静止开始下落，下落的距离y（单位：m）与下落时间x（单位：s）之间近似地满足关系式29.4x y =.若一物体下落2s ，你能求出它下落的距离吗？问题1: 上述两个问题有什么共同点？问题2：如何用集合语言来阐述上述问题的共同点？（二）推进新课 1.函数的概念：, 这样的对应叫做从A 到B 的一个函数（function ），通常记为(),y f x x A =∈．其中，集合A 叫做函数()y f x =的定义域（domain ），集合叫做函数()y f x =的值域（range ）．注意：（1）,A B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数是不存在的；（2）集合A 就是函数的定义域，但集合B 不一定是函数的值域，若值域为C ，则必有C B ⊆；（3）给定函数时要指明函数的定义域，对于解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值集合． 2．函数的三要素：1. 2. 3. 称为函数的三要素． 3．相同的函数：由函数定义知，由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y 是x 的函数”的两个基本条件，缺一不可，只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，两个函数才是同一函数．（三）预习巩固见必修一教材第26页练习1,2,3,4函数的概念及定义域（课堂强化）（四）典型例题题型一：考查函数的概念【例1】判断下列对应是否是从集合A 到集合B 的函数．（1）*A B N ==，对应关系:3f x y x →=-；（2）[)0,,A B R =+∞=，对应关系:f x y →= （3）{|A x x =是矩形}，{|B x x =是圆}，对应关系f：每个矩形的外接圆．变式训练1. 对于函数()y f x =，下列说法正确的个数为个．（1）y 是x 的函数；（2）对应不同的x 的值，y 的值也不同；（3）()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；（4）()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来．题型二：求函数的定义域【例2】求函数的定义域．（1）()12f x x =-；（2）()f x =；（3）()()01x f x x x+=-；（4）()1f x x =变式训练2 求下列函数的定义域：（1）()231x f x x -=+；（2）()f x =（3）()211f x x =-．题型三：函数的简单应用【例3】用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式，并写出其定义域．变式训练3 用长为20cm 的细铁丝围成一个矩形框，若矩形的一边长为xcm ，将矩形的面积y 表示为x 的函数，并写出其定义域．题型四：抽象函数的定义域【例4】（1）已知()f x 的定义域是[]2,3-，求)52(-x f 的定义域. （2）已知)52(-x f 的定义域为[]2,3-，求()f x 的定义域. （3）已知)52(-x f 的定义域为[]2,3-，求)13(+x f 的定义域.（五）随堂练习1. 判断下列各组中的两个函数是否表示同一函数，并说明理由．（1）()()2,f x g x ==（2）()(),1xf xg x x==；（3）()()222,2f x x x g t t t =-=-．2. 函数()y f x =的定义域为[]1,4-，则()f x 图象与直线x a =的交点个数为．3. 已知集合{}21|2,|2A x y B x y x ⎧⎫===⎨⎬-⎩⎭，则AB = ．4. 已知函数()3f x +的定义域是[]1,5-，则函数()4f x -的定义域是．5. （1）若函数2743kx y kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值集合．（2）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值集合．（六）课堂小结（七）课后作业2.1函数的概念和图象第二课时函数的值域及图象（预习部分）教学目标1．理解函数图象的意义；2．能正确画出一些常见函数的图象；3．会利用函数的图象求一些简单函数的值域、判断函数值的变化趋势；4．从“形”的角度加深对函数的理解．教学重点1. 会画简单函数的图象，并能利用图象判断函数值的变化趋势；2. 能求一些简单函数的值域。

苏教版高中数学(必修1)《第二章函数综合小结》word教案

指数函数与对数函数复习一、知识回顾1.s ta a =__________；()s t a =__________； ()t ab =__________；（其中,,0,0s t Q a b ∈<<）2. 对数(0,1)a a >≠ （1）b a N =⇔b =________（2）log 1a =____；log a a =_____；log a Na =____()0N >；logb a a =_________（3）()log a MN =_________；log aMN=_________；log n a b =_________(),0M N > （4）换底公式：______________; log m na b ＝________；a b b a log log ＝_________3. 指数函数xy a =与对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象与性质4.函数x y a =与()xy a=图像关于_________对称；函数xy a =与log a y x =图像关于_________对称；函数log a y x =与1log ay x =图像关于_________对称；二、例题讲解例1. 已知函数121()log [()1]2xf x =-。

(1)求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的单调性。

例2. 方程||2log (||1)2x x +=的根的情况是______________①．仅有一根 ②．有两个正根 ③．有一正根和一个负根 ④．有两个负根例3.如下图所示，已知01a <<，则在同一坐标系中，函数xy a -=和log ()a y x =-的图像可能是_________① ② ③ ④ 三、巩固练习1.三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是______________；2.函数5log y x =-与5xy -=的图像之间的关系是______________； 3.函数lg ||,0()21,0xx x f x x <⎧=⎨-≥⎩，若()0f a >，则a 的取值范围为______________； 4.函数()f x 的图像与函数1()()2x g x =的图像关于直线y x =对称，则2(2)f x x -的单调减区间为______________；指数函数与对数函数复习命题：成云荣审核：赵凌昆班级___________姓名___________1. 已知)2(log x y a -=是x 的增函数，则a 的取值范围______________；2. 函数)(x f 的定义域是（0，1]，则函数(2)x f 的定义域____________；3. 函数)(x f 的定义域是[-1，1]，则函数)(log 21x f 的定义域____________；4. 已知)(x f是对数函数，1)1)1f f +=,则1)1)f f +=____________； 5. 已知()log |1|(01)a g x x a a =+>≠且在(1,0)-上有()0g x >，则|1|()x f x a +=的单调增区间是____________；6. 若函数x a y )(log 21=在R 上为增函数，则a 的取值范围是____________；7. 已知函数f （x ）=lg （2x －b ）（b 为常数），若x ∈［1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，则b 的取值范围是____________；8. 已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为____________；9. 讨论函数的单调性（1）22log (56)y x x =-+-；（2）2561()3x x y -+-=；10. 讨论下列函数的奇偶性（1）22log (1)1y x =-+；（2）3333x xx x y --+=-；11. 设,3log 2=x 求xx xx ----222233的值。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.2函数的表示方法优化训练苏教版必修1

函数表示方法5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.函数f(x)=，求解:〔1〕点〔3,14〕在f(x)图象上吗？〔2〕当x ＝4时，求f(x)值；〔3〕当f(x)＝2时，求x 值.解:〔1〕因为≠14,所以点〔3,14〕不在函数f(x)图象上.〔2〕f(x)＝=-3.〔3〕由=2，解得x=14.2.画出以下函数图象：〔1〕f(x)=〔2〕g(x)=3n+1,n∈{1,2,3}.思路解析:画函数图象一般采用描点法，要注意定义域限制.解:〔1〕函数f(x)图象如以下图所示:〔2〕函数g(x)图象如以下图所示:100 cm 2等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长3倍，那么把它高y 表示成x 函数为( )A ．y ＝50x(x ＞0) B.y ＝100x(x ＞0)C.y ＝x 50 (x ＞0)D.y ＝x100 (x ＞0) 思路解析:由·y＝100,得2xy ＝100. ∴y＝x50 (x ＞0). 答案:C10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.以下图形是函数y ＝-|x|(x∈［-2，2］)图象是( )思路解析：y=-|x|=其中y=-x(0≤x≤2)是直线y=-x 上满足0≤x≤2一条线段(包括端点)，y=x 是直线y=x 上满足-2≤x＜0一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x 轴下方.答案：B 2.f(x1)=11+x ，那么f(x)解析式为( ) A. 11+x B.x x +1 C.1+x x D.1＋x思路解析:令u=x1，用换元法，同时应注意函数定义域.∵x≠0且x≠-1，那么x=u 1，u≠0，u≠-1.∴f(u)=(u≠0，且u≠-1),即f(x)＝1+x x (x≠0且x≠-1). 答案:C3.求实系数一次函数y=f(x)，使f ［f(x)］=4x+3.思路解析:设f(x)=ax+b 〔a≠0〕，用待定系数法.解:设f(x)=ax+b(a≠0),∴f［f(x)］=a·f(x)+b=a(ax+b)+b=a 2x+ab+b.∴a 2x+ab+b=4x+3.∴∴或∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.4.在学校洗衣店中每洗一次衣服〔4.5 kg 以内〕需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次.〔1〕根据题意填写下表：〔2〕“费用c 是次数n 函数〞还是“次数n 是费用c 函数〞〔3〕写出函数解析式,并画出图象.思路解析:此题考察阅读理解能力,当 n≤10时,c=4n ；当10<n≤21时,c=4〔n-1〕.解:〔1〕〔2〕费用c 是次数n 函数，因为对于次数集合中每一个元素〔次数〕，在费用集合中都有唯一元素〔费用〕与它对应.但对于费用集合中每一个元素〔费用〕，在次数集合中并不都是只有唯一一个元素与它对应.如40元就有10次与11次与它对应.〔3〕函数解析式为c=,,11,,10),1(4,4**N n n N n n n n ∈≥∈≤⎩⎨⎧-且且其图象如图:5.用长为l 铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，假设矩形底边长为2x ，求此框架围成面积y 与x 函数关系式，并指出其定义域. 思路解析：求函数定义域，如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如此题注意到矩形长2x 、宽a 必须满足2x ＞0与a ＞0，即l-πx -2x>0.解：由题意知此框架围成面积是由一个矩形与一个半圆组成图形面积，而矩形长AB=2x ，宽为a.所以有2x ＋2a ＋πx=l，即a=2l -2πx-x ，半圆直径为2x ，半径为x.所以y=22x π＋(2l -2πx-x)·2x=-(2＋2π)x 2＋lx. 根据实际意义知2l -2πx-x ＞0，又∵x＞0，解得0＜x ＜，即函数y=-(2＋2π)x 2＋lx 定义域是{x|0＜x ＜}.6.如右图，某灌溉渠横断面是等腰梯形，底宽2 m ，渠深1.8 m ，边坡倾角是45°.〔1〕试用解析表达式将横断面中水面积A m 2表示成水深h m 函数；〔2〕画出函数图象;〔3〕确定函数定义域与值域.思路解析:利用等腰梯形性质解决问题.解:〔1〕由，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为〔2+2h 〕 m ，高为h m ，∴水横断面面积A==h 2+2h .〔2〕函数图象如下确定:由于A=〔h+1〕2-1，对称轴为直线h=-1，顶点坐标为〔-1，-1〕，且图象过〔0，0〕与〔-2，0〕，又考虑到0＜h ＜1.8，∴函数A=h 2+2h 图象仅是抛物线一局部，如下图.〔3〕定义域为{h |0＜h ＜1.8},值域由函数A=h 2+2h=〔h+1〕2-1图象可知，在区间〔0，1.8〕上函数为增函数，所以0＜A ＜6.84. 故值域为{A|0＜A ＜6.84}.快乐时光得不偿失一条狗跑进一家肉店，从柜台上叼起一块肉就跑.肉店老板认出那是邻居一只狗，那个邻居是一名律师.肉店老板向邻居打去了问：“嘿，如果你狗从我肉店里偷去了一块肉，你愿意赔我肉钱吗？〞律师答复说：“当然可以，那你说多少钱？〞“7.98元.〞肉店老板答复说.几天后，肉店老板收到了一张7.98元支票，随那张支票寄来还有一张发票，上面写道：律师咨询费150美元.30分钟训练(稳固类训练，可用于课后)1.设f(x)=那么f ［f(21)］( ) A.21 B.13459 D.4125 思路解析:f ［f(21)］=f(-23)=. 答案:B2.由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺.为了节约用水，某市政府拟自2007年始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过局部每吨增收3元.那么某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间函数关系式为…( )A.y=6xB.y=C.y=D.y=9x-12思路解析:当用水量0≤x≤4时，水费y=6x；当用水量x>4时，水费y=24+9×〔x-4〕=9x-12.应选B.答案:B3.甲、乙两厂年产值曲线如右图所示，那么以下结论中，错误是……( )思路解析:由图象可知，在1993年、1996年、2002年两厂产值一样，而在1993年以前，甲厂产值明显低于乙厂，而在1995年至2000年时，乙厂年产值增长那么要比甲厂快，所以B选项错.答案:B4.函数f(x)图象如右图所示，那么f(x)解析式是____________.思路解析:∵f(x)图象由两条线段组成，要重点注意是端点值是否可以取到.答案:f(x)＝5.(2006安徽高考，理)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(1)=-5,那么f(f(5))=___________.思路解析:由f(x+2)=,得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5,那么f(f(5))=f(-5)=f(-1)==-51.答案:- 51 6.f(1-x )=x ，求f(x).思路解析:设1-x =t ，用换元法，同时应注意函数定义域. 解:设1-x=t ，那么x=(1-t)2.∵x≥0，∴t≤1.∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x -1)2(x≤1).7.设函数f(x)满足f(x)+2f(x 1)=x 〔x≠0〕，求f(x).思路解析:以x 1代换x ，解关于x 1、x 方程组，消去x 1.解:∵f(x)+2f(x 1)=x ， ① 以x 1代换x 得f(x 1)+2f(x)= x 1. ②解①②组成方程组得f(x)=.8.某家庭今年一月份、二月份与三月份煤气用量与支付费用如下表所示：该市煤气收费方法是：煤气费＝根本费＋超额费＋保险费.假设每月用量不超过最低限度A 米3，只付根本费3元与每户每月定额保险C 元，假设用气量超过A 米3，超过局部每立方米付B 元，又知保险费C 不超过5元，根据上面表格求A 、B 、C.思路解析：此题支付费用为每月用气量分段函数，先写出函数解析式，再求A 、B 、C.解：设每月用气量为x 米3，支付费用为y 元，那么得y=,,0,)(3,3A x A x C A x B C >≤≤⎩⎨⎧+-++ 由0＜C≤5有3＋C≤8.由第二、第三月份费用都大于8，即用气量25米3，35米3都大于最低限度A 米3，那么⎩⎨⎧=+-+=+-+.19)35(3,14)25(3C A B C A B 两式相减，得B=0.5.∴A=2C＋3.再分析一月份用气量是否超过最低限度，不妨设A ＜4，将x=4代入3＋B(x-A)＋C,得3＋0.5［4-(3＋2C)］＋C=4.由此推出3.5=4，矛盾.∴A≥4.一月份付款方式选3＋C,∴3＋C=4，即C=1.将C=1代入A=2C ＋3，得A=5.∴A=5，B=0.5，C=1.9.设二次函数f(x)满足f(2+x)＝f(2-x)，且f(x)＝0两个实根平方与为10，f(x)图象过点(0，3)，求f(x)解析式.思路解析:要求二次函数解析式，一般用待定系数法先设f(x)＝ax2+bx+c(a≠0)，然后根据条件列出关于a、b、c方程组，求解即可.解:∵f(2+x)＝f(2-x)，代入f(x)＝ax2+bx+c化简可得b＝-4a.∵f(x)图象过点(0，3)，∴f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2-4ax+3.∵ax2-4ax+3＝0两实根平方与为10，6.∴a=1.∴f(x)＝x2-4x+3.∴10＝x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-a10.如右图，动点P从边长为4正方形ABCD顶点B开场，顺次经C、D、A绕边界运动，用x表示点P行程，y表示△APB面积，求函数y=f〔x〕解析式.思路解析:由P点运动方向知当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应解析式不同，因此这是个分段函数.解:由，得y=11.某小型自来水厂蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池注入自来水60吨，假设蓄水池向居民小区不连续供水，且t小时内供水总量为1206t吨〔0≤t≤24〕.〔1〕供水开场几小时后，蓄水量最少最少蓄水量是多少吨〔2〕假设蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，试问一天24小时内有多少小时会出现供水紧张现象并说明理由.解:〔1〕设t小时蓄水量y吨，所以y=400+60t-120t6〔0≤t≤24〕.令t=m〔0≤m≤26〕，y=60m2-1206m+400=60〔m-6〕2+40.∴t=6小时时，蓄水量最少为40吨.〔2〕由y ＜80，得60t-120t 6 +400＜80.故一天中有8小时会出现供水紧张现象.12.如右图，动点P 从边长为1正方形ABCD 顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，设x 表示P 点运动路程，y 表示PA 长，求y 关于x 函数解析式.思路解析:P 在A 、B 间运动，即0≤x≤1时，y=x.P 在B 、C 间运动，即1<x≤2时，y=221)1(22+-=+-x x x . P 在C 、D 间运动时，同理,得y=1061)3(22+-=+-x x x ，2<x≤3. P 在D 、A 间运动时，y=4-x ，3<x≤4.综上，得y 关于x 函数为y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤<+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x。

苏教版高中数学必修一第二章学生教案第课时函数与方程小结与复习

第三十二课时函数与方程小结与复习【学习导航】学习要求1．了解函数的零点与方程根的关系； 2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．自学评价1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．【精典范例】例1：已知二次函数()y f x =的图象经过点(0,8),(1,5),(3,7)--三点，（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）比较(2)(4)f f ，(1)(3)f f ，(5)(1)f f -，(3)(6)f f -与0的大小关系．分析：可设函数解析式为2y ax bx c =++，将已知点的坐标代入方程解方程组求a 、b 、c ．点评：当二次函数()y f x =的两个零点12,x x 12()x x ≠都在（或都不在）区间(,)m n 中时，()()0f m f n >；有且只有一个零点在区间(,)m n 中时，()()0f m f n <．听课随笔例2：利用计算器，求方程2670x x -+=的近似解（精确到0.1）．分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．解法一：设2()67f x x x =-+，通过观察函数的草图得：(1)20f =>，(2)10f =-<，∴方程2670x x -+=有一根在(1,2)内，设为1x ，∵(1.5)0.250f =>，∴11.52x <<，又∵ 1.52()(1.75)0.437502f f +==-<，∴11.5 1.75x <<，如此继续下去，得1(1)0,(2)0(1,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(2)0(1.5,2)f f x ><⇒∈， 1(1.5)0,(1.75)0(1.5,1.75)f f x ><⇒∈ 1(1.5)0,(1.625)0(1.5,1.625)f f x ><⇒∈(1.5625)0,(1.625)0f f <> 1(1.5625,1.625)x ⇒∈∵1.5625,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程2670x x -+=的一个近似值都为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为4.4．点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．解法二：将原方程写成276x x +=①取12x =代入等式右边得2111.8333336x =≈，再将2x 代入方程①右边，得3 1.72685x ≈，……如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在1.58583，∴该方程的近似解为1.58583，精确到0.1后为1.6．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为4.4．点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．例3：已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图象与x 轴在原点的右侧有交点，试确定实数k 的取值范围．分析：听课随笔追踪训练一1．函数22()log (45)f x x x =-+的图象与x 轴交点横坐标为（））A .1B .0C .2或0D . 22．已知01a <<则方程0log =+x a a x的解的个数是（）A .1B . 2C .3D . 不确定 3．直线23+=kx y 与曲线223y y x --+ 0=只有一个公共点，则k 的值为（）A . 0，41,21-B . 0，41-C . 41,21-D . 0，41,21-4．函数265y x x =-+与x 轴交点坐标是，方程2650x x -+=的根为．5．已知方程220x kx -+=在区间(0,3)中有且只有一解，则实数k 的取值范围为 .6．已知函数()2xf x a =-过点(1,0)，则方程()f x x =的解为． 7．求方程22850x x -+=的近似解（精确到0.1）．8．判断方程2(22)250x a x a -+++=（其中2a >）在区间(1,3)内是否有解．．听课随笔。

苏教版高中数学必修1教案第二章函数概念与基本初等函数

对称变换对称变换都有哪些内容？【答】对称变换主要有①y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称;若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称.③y =－f (－x )与y =f (x )的图象关于原点对称;若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f －1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称.⑤y =－f －1(－x )与y =f (x )的图象关于直线y =－x 对称.⑥y =f (2a －x )与y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.⑦y =2b －f (x )与y =f (x )的图象关于直线y =b 对称.⑧y =2b －f (2a －x )与y =f (x )的图象关于点(a ,b )对称.［案例1］证明函数y =11--ax x (a ≠1)的图象关于直线y =x 对称. 本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y =x 对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y =x 对称.【证法一】 ∵a ≠1,y =a 1 (1＋ax a a11--) ∴y a 1≠ 由y =11--ax x 得x (ay －1)=y －1,x =11--ay y ∴y =11--ax x (a ≠1)的反函数是y =11--ax x ∴y =11--ax x 的图象关于直线y =x 对称. 【证法二】设点P (x ′,y ′)是这个函数图象上任一点，则x ′≠a 1且y ′=11-'-'x a x ① 易知点P 关于直线y =x 的对称点P ′的坐标为(y ′,x ′)由①得y ′(ax ′－1)=x ′－1② 即x ′(ay ′－1)=y ′－1如果ay ′－1=0,则y ′=a 1,代入①得a 1=11-'-'x a x . 解得a =1,与已知矛盾.于是ay ′－1≠0,∴由②得x ′=11-'-'y a y 这说明点P ′(y ′,x ′)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线y =x 成对称图形.【评注】要分清函数本身关于直线y =x 对称与两个函数关于直线y =x 对称的区别.1.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )A.y =|f (x )|B.y =f (|x |)C.y =f (－x )D.y =－f (x )【解析】 y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 【答案】 B8.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是( )A.y =2－xB.y =22－xC.y =24－xD.y =2x －4【解析】 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x .【答案】 C10.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴( )A.直线x =0B.直线x =1C.直线y =0D.直线y =1【解析】设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称. 【答案】 A12.已知函数f (x )=21-+x x (x ≠2),那么函数f (x ＋1)的图象关于直线y =x 成对称图形的函数是( )A.y =13-x x (x ≠1)B.y =12-+x x (x ≠1) 图2—3C.y =112-+x x (x ≠1)D.y =xx 32+(x ≠0) 【解析】 ∵f (x ＋1)=y =12-+x x =1＋13-x (x ≠1) ∴x =1＋13-y ,即上式的反函数是y =12-+x x (x ≠1). 【答案】 B 13.函数y =12--x x 的图象关于点_____对称. 【解析】 y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 【答案】 (1，－1)16.定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为_____.【解析】函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R ,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x －2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称.③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位，分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 【答案】 ②④18.若函数y =f (x )=bx ax -+212的图象关于直线y =x 对称，求a ,b 应满足的条件. 【解】由y =f (x )= b x ax -+212(x ≠2b ),得2xy －by =2ax ＋1 ∴2(y －a )x =by ＋1,∴x =ay by 221-+ ∴y =f (x )的反函数是f －1(x )= a x bx 221-+ (x ≠a ) ∵y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f (x )反函数就是它本身. ∴b x ax -+212=ax bx 221-+，比较系数得b =2a .即为a ,b 所满足的条件.20.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f (x )=x 3.(1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式.【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x。

苏教版高中数学必修一第二章函数与方程教案

函数与方程教学目标：（一）知识目标：1、掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系；2、理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系；3、掌握零点存在的判定条件，利用零点作函数的图像。

（二）能力目标：1、通过对二次函数与二次方程两者之间联系的理解，培养学生运用数形结合思想的能力；2、通过本节课的学习，培养学生的抽象概括能力。

（三）情感目标：1、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，激发学生学习的兴趣；2、通过对零点的概念的概括，让学生体会到成功的乐趣。

重点难点：重难点：利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题；零点的确定难点：培养学生的抽象概括能力教学方法：自主学习、思考、交流、讨论和概括教学过程：（一）新课引入：1、提出问题：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有什么关系？2、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：①方程0322=--x x 与函数322--=x x y )0(>∆②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y )0(=∆③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y )0(<∆学生分别画出三个函数的图像：322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y3、分析当)0(>a 时二次方程的实数根与二次函数图象和x 轴交点坐标之间的关系。

推广到一般的一元二次方程情形如何？（二）新课探究：1、函数零点的概念：使函数))((D x x f y ∈=的值为0的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈= 的零点（zeropoint ）。

2、提问：方程的根、函数的零点、函数的图像与x 轴交点横坐标之间的关系如何？结论：函数零点的意义：方程0)(=x f 的根⇔函数)(x f y =的零点，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、如何求函数)(x f y =的零点？①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察刚刚画出的二次函数32)(2--=x x x f 的图象：1）在区间]1,2[-上有零点___；=-)2(f _，=)1(f _,则)2(-f ·)1(f ___0（＜或＞＝）．2）在区间]4,2[上有零点___；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象1) 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）． 2)在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）． 3)在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）． 5、①由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？（怎样断定函数在某给定区间上是否存在零点？）②分析函数在区间端点上的函数值的符号情况结论：零点存在定理：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(<⋅b f a f ，则函数)(x f y =在区间),(b a 上有零点。

高中数学第二章函数 2.1.1 第1课时函数的概念学案苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

2．1.1 第1课时函数的概念1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点) 2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)[基础·初探]教材整理1 函数的定义阅读教材P23至P25“例1”，完成下列问题．1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f (x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．2．函数的三要素指函数的定义域、对应关系和值域．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．( )(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 函数的定义域阅读教材P25“例2”，完成下列问题．1．定义域的意义定义域实质上是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．2．求定义域的常用方法已知函数y＝f (x)，(1)若f (x)为整式，则定义域为R；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是被开方数不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是x 0的形式，则f (x )的定义域为{x |x ≠0}；(5)若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子均有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(6)若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(1)函数f (x )＝x －10的定义域为________． (2)函数f (x )＝1x －2的定义域为________．(3)函数f (x )＝49－x (x ∈N )的定义域为________．【解析】 (1)x －10≥0，∴x ≥10，即{x |x ≥10}． (2)x －2>0，∴x >2，即{x |x ＞2}．(3)⎩⎪⎨⎪⎧9－x ≥0，x ∈N⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x ∈N ，∴x 的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．【答案】 (1){x |x ≥10} (2){x |x >2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 教材整理3 函数的值域阅读教材P 25例2后一段～例3，完成下列问题．若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．1．若f (x )＝x 2－3x ＋2，则f (1)＝________. 【解析】 f (1)＝12－3×1＋2＝0. 【答案】 02．若f (x )＝x －3，x ∈{0,1,2,3}，则f (x )的值域为________．【解析】 f (0)＝－3，f (1)＝－2，f (2)＝－1，f (3)＝0.【答案】{－3，－2，－1,0}|[小组合作型]函数的概念判断下列对应f 是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→1x2；(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4；(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.【精彩点拨】求解本题的关键是判断在对应法则f 的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．【自主解答】(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则f 之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．(2)对于A中的元素x＝22，在f 作用下，|22－2|∉B，故不能构成函数．(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．(4)依题意，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f 之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．[再练一题]1．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的有________．(填序号) ①A ＝B ＝[－1,1]，x ∈A ，y ∈B 且x 2＋y 2＝1； ②A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图211；图211③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2； ④A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1.【解析】对于①项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．【答案】 ②求函数的定义域求下列函数的定义域．(1)f (x )＝3x －83x －2； (2)f (x )＝x ＋1＋12－x ；(3)f (x )＝x ＋4＋x 0＋1x ＋2； (4)f (x )＝x ＋12x ＋1.【精彩点拨】根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x 的范围，就是所求函数的定义域．【自主解答】 (1)要使f (x )有意义，则有3x －2>0， ∴x >23，即f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.(2)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0⇒x ≥－1且x ≠2，即f (x )的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．(3)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥0，x ≠0，x ＋2≠0⇒x ≥－4且x ≠0，－2，即f (x )的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)． (4)要使f (x )有意义，则x ＋1≠0，∴x ≠－1，即f (x )的定义域为{x |x ≠－1}．1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．[再练一题]2．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝11－3x ＋1x；(2)f (x )＝3－x ＋1＋x 且 x ∈Z .【解】 (1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ＞0，x ≠0，所以x ＜13且x ≠0，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13且x ≠0. (2)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，1＋x ≥0，所以－1≤x ≤3.又x ∈Z ，所以x ＝－1,0,1,2,3. 所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}．求函数的值域或函数值已知f (x )＝x 2－4x ＋2.(1)求f (2)，f (a )，f (a ＋1)的值； (2)求f (x )的值域；(3)若g (x )＝x ＋1，求f (g (3))的值．【精彩点拨】(1)将x＝2，a，a＋1代入f (x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f [g(3)]．【自主解答】(1)f (2)＝22－4×2＋2＝－2，f (a)＝a2－4a＋2，f (a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.(2)f (x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f (x)的值域为[－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f (g(3))＝f (4)＝42－4×4＋2＝2.1．函数值f (a)就是a在对应法则f 下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f (x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．2．求f (g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．[再练一题]3．上例(3)中，g(x)＝x＋1，求f (g(x))，g(f (x))．【解】 f (g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，g(f (x))＝f (x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.[探究共研型]抽象函数求定义域探究1 在y＝f (x)中，f (x)的定义域指的是什么？x是什么？【提示】 f (x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．探究2 在函数y＝f (x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？【提示】y＝f (x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．探究3 如何将函数y＝f (x)与y＝f (x＋1)中的自变量联系起来？【提示】由于x，x＋1均为f 的作用对象，故二者均应在f (x)定义域之中，即y＝f (x)中x的范围与y＝f (x＋1)中x＋1的范围一致．(1)已知函数y＝f (x)的定义域为[1,4]，则f (x＋2)的定义域为________．(2)已知函数y＝f (x＋2)的定义域为[1,4]，则f (x)的定义域为________．(3)已知函数y ＝f (x ＋3)的定义域为[1,4]，则f (2x )的定义域为________．【精彩点拨】找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．【自主解答】 (1)由题知对于f (x ＋2)有x ＋2∈[1,4]，∴x ∈[－1,2]，故f (x ＋2)的定义域为[－1,2]．(2)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋2∈[3,6]，∴f (x )的定义域是[3,6]．(3)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋3∈[4,7]，对于f (2x )有2x ∈[4,7]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72，即f (2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72. 【答案】 (1)[－1,2] (2)[3,6] (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72抽象函数的定义域1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f (g (x ))的定义域．2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的取值范围即为f (x )的定义域．用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话： (1)定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么) (2)括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)[再练一题]4．已知函数y ＝f (x －1)的定义域为[－3,2]，则f (x ＋1)的定义域为________. 【解析】对于y ＝f (x －1)有x ∈[－3,2]，∴x －1∈[－4,1]，∴在f (x ＋1)中有x ＋1∈[－4,1]，∴x ∈[－5,0]．【答案】 [－5,0]1．下列图象表示函数图象的是________．(填序号)【解析】根据函数定义知，对定义域内的任意变量x ，都有唯一的函数值y 和它对应，即作垂直x 轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x 是定义域内的一个变量，无交点即x 不是定义域内的变量)．显然，只有答案(3)中图象符合．【答案】 (3) 2．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域是________．【解析】要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解不等式得定义域为{x |x ≥－1且x ≠2}．【答案】 {x |x ≥－1且x ≠2}3．已知函数y ＝f (x )的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为________．【解析】在函数定义域内，任意实数x 对应唯一实数y ，所以直线x ＝2与函数图象交点为1个．【答案】 14．下列四组函数中，表示相等函数的一组是________．(填序号) (1)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2；(2)f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2；(3)f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1；(4)f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1.【解析】 (1)中定义域，对应关系都相同，是同一函数；(2)中定义域不同；(3)中定义域不同；(4)中定义域不同．【答案】 (1) 5．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3.【解】 (1)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)y ＝2x ＋1x －3＝2x －3＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。

2.1函数的概念学案含解析高中数学必修一苏教版

第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念课时训练6函数的概念1.已知集合M={-1,2,1},N={0,1,2},下列能构成从M到N的函数的是().A.x→x2B.x→x+1C.x→D.x→22=4∉N,所以A不是M到N的函数.因为2+1=3∉N,所以B不是M到N的函数.因为=1,=2,=1,所以C是M到N的函数,显然D不是M到N的函数.2.下列函数中,与函数y=x是同一函数的是().①y=;②y=()2+1;③y=;④y=;⑤s=t.A.①②③B.②③④C.③⑤D.①②⑤y==|x|,所以①不是.因为x-1≥0,x≥1,所以②不是.因为y==x,所以③是.因为x≠0,所以④不是.因为s=t的定义域和对应法则与y=x的完全相同,所以⑤是.3.若f(x)=的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,则M∩N=().A.MB.NC.⌀D.R,得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.4.函数y=+7的值域是().A.(7, +∞)B.[7,+∞)C.(-∞,7)D.(-∞,7]x≥0时,≥0,所以y≥7.5.设f(x)=,则=.(导学号51790149)1(2)=,f=-,所以=-1.6.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f[g(1)]的值为;当g[f(x)]=2时,x=.1[g(1)]=f(3)=1;当g[f(x)]=2时,f(x)=2,x=1.7.求下列函数的定义域和值域:(1)y=;(2)y=-2.由x-2≠0,得定义域为{x|x≠2}.由y==3+≠3,得值域为{y|y≠3}.(2)由4-2x≥0,得定义域为{x|x≤2}.由≥0,-2≥-2,得值域为[-2,+∞).8.已知f(x)=,x∈R,且x≠-1,g(x)=x2+2,x∈R.(导学号51790150)(1)求f(2)和g(a);(2)求g[f(2)]和f[g(x)].f(2)=,g(a)=a2+2.(2)∵f(2)=,∴g[f(2)]= g+2=,f[g(x)]=f(x2+2)=.9.(1)已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.(2)已知函数f(2x-1)的定义域为[-3,3],求f(x)的定义域.(导学号51790151)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4,故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4.∴-2≤2x≤3.∴-1≤x≤.∴f(2x+1)的定义域是.(2)需要注意的是:f(2x-1)的自变量为x,而不是2x-1.由f(2x-1)的定义域为[-3,3],可得-3≤x≤3,即-7≤2x-1≤5.所以f(t)(t=2x-1)的定义域为[-7,5],即f(x)的定义域为[-7,5].。

苏教版高中数学必修一第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ教案三

第2章复习与小结（3）复习重点：函数的模型及其应用．复习过程：一、函数的零点1．已知在(a ，b )(a ＜b )上连续函数f (x )满足f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )上零点．变式已知二次函数f (x )在(a ，b )(a ＜b )上满足f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )上零点．2．若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t )x ＋4＝0的两个实根a 、b 满足0＜a ＜1＜b＜2，求实数t 的取值范围．3．已知(12)x ＝2a －15a ＋2，试求实数a 的取值范围，使得（1）方程有解；（2）方程有正根；（3）方程有不小于1的解．二、函数模型曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q ＝)0(113≥++x x x ．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等．试将年利润y （万元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利？练习：（1）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车就增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(i)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？(ii)当每辆车的月租金为多少元时，公司的月收益最大?最大月收益是多少元？（2）某企业生产的新产品必须靠广告来打开销路．该产品的广告效应是产品的销售额与广告费之间的差．如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行调查显示：每付出100元的广告费，所得的销售额为1000元．问该企业应该投入多少广告费，才能获得最大的广告效应？三、作业课本第94页练习16，21，28．。

苏教版必修一：第二章函数 2.2.1(一)

2．2.1函数的单调性(一)学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一函数的单调性思考画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？★★答案★★两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.(1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．知识点二函数的单调区间思考我们已经知道f (x )＝x 2的单调减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x 的单调减区间为(－∞，0)，这两个单调减区间的书写形式能不能交换？★★答案★★ f (x )＝x 2的单调减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x 的单调减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x 的定义域．梳理一般地，有下列常识(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．类型一求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性．解先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．类型二证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是单调增函数．证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)．设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝x 在定义域[0，＋∞)上是单调增函数．反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是单调增函数．证明设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)．∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x 在区间[1，＋∞)上是单调增函数．命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是单调增函数．证明方法一设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0.f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴函数f (x )在R 上是单调增函数．方法二设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是单调增函数．反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：f (x )在R 上是单调减函数．证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1，又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f (－x )＞1.∴对任意实数x ，f (x )恒大于0. 设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是单调减函数．类型三单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的单调减函数，则a 的取值范围为________．★★答案★★ [18，13)解析要使f (x )在R 上是单调减函数，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1，解得18≤a ＜13.反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________．★★答案★★ (－∞，1]∪[2，＋∞)解析由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是单调减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23.反思与感悟若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小．跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为单调增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为单调增函数， f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是(23，＋∞)．1．函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是________．★★答案★★ [－2,1]2．函数y ＝6x 的单调减区间是________．★★答案★★ (－∞，0)，(0，＋∞)3．在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是________．(填序号)①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝2x ＋1.★★答案★★ ② 4．给出下列说法：①若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上为单调增函数； ②若定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＞f (2)，则函数f (x )在R 上不可能为单调减函数；③函数f (x )＝－1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为单调增函数；④函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x ＜0在定义域R 上为单调增函数．其中说法正确的是________．(填序号) ★★答案★★ ②④解析由单调增函数的定义，可知①错误；由单调减函数的定义，可知②正确；因为函数f (x )＝－1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调增函数，所以③错误；作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x ＜0的图象，如图所示，由图象可知④正确．5．若函数f (x )在R 上是单调减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是________． ★★答案★★ (－1,1)1．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都为单调减函数，未必有f (x )在A ∪B 上为单调减函数．2．对单调增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代： (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.对单调减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是单调增函数，h (x )是单调减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )为单调增函数，f (x )－h (x )为单调增函数，②－f (x )为单调减函数，③1f (x )为单调减函数(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较．课时作业一、填空题1．函数y ＝1x －1的单调减区间是________．★★答案★★ (－∞，1)，(1，＋∞)解析单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域．2．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的单调增函数，则满足f (x )＜f (12)的实数x 的取值范围为________． ★★答案★★ [－1，12)解析由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ＜12，解得－1≤x ＜12.3．已知函数f (x )是R 上的单调增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是________． ★★答案★★ (0,3)解析由已知f (0)＝－1，f (3)＝1， ∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3)， ∵f (x )在R 上为单调增函数， ∴0<x <3，∴－1<f (x )<1的解集为(0,3)．4．已知函数f (x )在R 上是单调增函数，则下列说法正确的是________．(填序号) ①y ＝－f (x )在R 上是单调减函数； ②y ＝1f (x )在R 上是单调减函数；③y ＝[f (x )]2在R 上是单调增函数； ④y ＝af (x )(a 为实数)在R 上是单调增函数． ★★答案★★ ①解析设x 1<x 2，因为函数f (x )在R 上是单调增函数，故必有f (x 1)<f (x 2)．所以－f (x 1)>－f (x 2)，①一定成立．其余三个不一定成立，如当f (x )＝x 时，②③不成立，当a <0时，④不成立．5．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，则有f (a )＋f (b )________f (－a )f (－b )．(填＞，＝，＜) ★★答案★★ ＞解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ， ∵f (x )在R 上是单调增函数， ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， ∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是________． ★★答案★★ (－∞，2)解析画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上为单调增函数，故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的单调减函数，则实数a 的取值范围是________． ★★答案★★ [0，13]解析当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是单调减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是单调减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13.8．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的单调增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________．★★答案★★ [1，32)解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32.9．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调减区间是________． ★★答案★★ [－1,1]解析 ∵f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2＝(x ＋1－2)2， ∴f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]，∴f (x )在定义域[－1,1]上为单调减函数．10．已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是单调增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________． ★★答案★★ (－1,0)解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，－k k ＋1>0，解得－1<k <0.二、解答题11．求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间．解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示：∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]．12．已知函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程．解 F (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， ∴F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1).∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且x 1<x 2， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x 1)－f (x 2)<0. 而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 1)>F (x 2)． ∴F (x )在(0，＋∞)上为单调减函数．13．已知函数f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内为单调增函数； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内为单调减函数，求a 的取值范围． (1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内为单调增函数． (2)解任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述0<a ≤1. 三、探究与拓展14．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是单调减函数，则a 的取值范围是____________． ★★答案★★ (0,1]解析由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是单调减函数可得a ≤1，由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是单调减函数可得a >0. ∴0<a ≤1.15．设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (2)＝1，且x >1时，f (x )>0. (1)求f (12)的值；(2)判断y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明； (3)解不等式f (2x )>f (8x －6)－1.解 (1)对于任意x ，y ∈R 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴当x ＝y ＝1时，有f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. 当x ＝2，y ＝12时，有f (2×12)＝f (2)＋f (12)，即f (2)＋f (12)＝0，又f (2)＝1，∴f (12)＝－1. (2)y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下：设0<x 1<x 2，则f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)，即f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)． ∵x 2x 1>1，∴f (x 2x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．(3)由(1)知，f (12)＝－1， ∴f (8x －6)－1＝f (8x －6)＋f (12) ＝f (12(8x －6))＝f (4x －3)， ∴f (2x )>f (4x －3)，∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为单调增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >4x －3，4x －3>0. 解得解集为{x |34<x <32}．。

高中数学第二章函数 2.1.2 函数的表示方法学案苏教版必修1-苏教版高一必修1数学学案

2.1.2 函数的表示方法1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．函数的表示方法1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f (x)．【解】列表法：笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y510152025解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．图象法：教材整理2 分段函数阅读教材P 34例2，例3，完成下列问题．1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，则f (x )的定义域为________，值域为________．【解析】定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}．【答案】 {x |x ≠0} {y |y >－1}[小组合作型]求函数解析式求下列函数的解析式．(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________. (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________．(5)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．【自主解答】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一令x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4.【答案】 (1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 (5)x 2＋4求函数解析式的常用方法1．待定系数法：已知函数f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．2．换元法：令t ＝g (x )，注明t 的范围，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f (x )，一定要注意t 的范围即为f (x )中x 的范围．3．配凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．4．代入法：已知y ＝f (x )的解析式求y ＝f (g (x ))的解析式时，可直接用新自变量g (x )替换y ＝f (x )中的x .[再练一题]1．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.【解析】 (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x.(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．【答案】 (1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2－2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值； (3)作出f (x )的图象，并求值域．【精彩点拨】 (1)先分析－5，－3，－52在哪一段上，再分别求值．(2)函数值为3的a ，应逐段分析讨论． (3)逐段作出图象并观察值域．【自主解答】 (1)f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2－2(－3)＝3＋2 3.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝2·214－1＝192.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1, 当a ＋1＝3时，则a ＝2(舍去)，当－2<a <2时，f (a )＝a 2－2a ＝3，∴a ＝－1或a ＝3(舍)，∴a ＝－1. 当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，∴a ＝2.综上a＝－1或2.(3)由图可得f (x)的值域为R.1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．[再练一题]2．例2中求f (x)与直线y＝b的交点个数．【解】当b<－1时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当－1≤b<0时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当0≤b<3时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当3≤b<8时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当b≥8时，y＝b与y＝f (x)有一个交点．[探究共研型]方程组法求解析式探究1 解二元一次方程组的主导思想是什么？【提示】主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．探究2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②【提示】法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？【提示】能求A ，B .仍可以采用上述两种方法．两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2.求解析式，(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )．【精彩点拨】将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．【自主解答】 (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x.(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[再练一题]3．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，则f (x )的解析式为________. 【解析】用1x替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3.【答案】 f (x )＝－23x －x31．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋2，则f (10)＝________.【解析】令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20. 【答案】 202．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________. 【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 【答案】 3x －23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f ( f (－3))等于________．【解析】由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π. 【答案】 π4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(x )的表达式为____________．【解析】 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．【答案】 f (x )＝x 2＋2(x ≠0)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.【解】 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.。

苏教版高中数学必修一第二章函数的概念和图象教案(2)

2.1.1函数的概念和图象（3）教学目标：1．进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2．通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3．通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考．4．理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想．教学重点：作函数的图象．教学过程：一、问题情境1．情境．回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象．2．问题．是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？二、学生活动1．回忆初中作函数图象的步骤；2．按初中的作图步骤作出函数f(x)＝x－1，f(x)＝x2－1，f(x)＝1x等函数的图象；3．思考课本27页的思考题并给出答案；4．阅读课本27页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象．三、数学建构1．函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象．（1）函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；（2）函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值；（3）每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．2．利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；3．用E x cel帮助作图（1）赋值；（2）命令函数；（3）进行函数运算；（4）选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表．四、数学运用1．例题．例1画出下列函数的图象：（1）f(x)＝x＋1；（2）f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；（3）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；（4）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．例2从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象．例3试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；（2）若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．2．练习：（1）课本28页练习1，2，3；（2）作出下列函数的图象；①f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；②f(x)＝|x－1|－|x＋1|；③f(x)＝x|2－x|．五、回顾小结1．函数图象的作法；2．函数的作图是利用局部来反映全部；3．函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动．六、作业课堂作业：课本29页第3小题；课外作业：利用E x cel帮助研究函数f(x)与f(x＋a)、f(x)＋a的关系．。

高中数学第二章函数 2.1 函数的概念和图象(2)教案苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案

2.1 函数的概念和图象（2）教学目标1．知识与技能（1）进一步加深对函数概念的理解；（2）掌握同一函数的标准；（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．2．过程与方法经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。

重点难点1．教学重点：能熟练求解常见函数的定义域和值域．2．教学难点：对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．教学过程一、创设情境下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？（1）0()(1);()1f x x g x =-= ；（2）()f x x =；()g x =（3）2()f x x =；2()(1)g x x =+ ；、（4）()||f x x =；()g x =二、讲解新课总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同例1、求下列函数的定义域：（1）11+⋅-=x x y ；（2）x x x y -+=||)1(0；（3）232531x x y -+-=；（4）x x x y 12132+--+=．分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．解：（1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,1,1x x 即1≥x ，故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．（2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x <0，且x ≠1-}．（3）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3，故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}．（4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0，故函数的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0}．说明：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：① 分式中，分母不等于零．② 偶次根式中，被开方数为非负数．③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．因此我们可以知道：对于函数C ，那么B C ⊆，因此不能将集合B 当成是函数的值域．我们把函数的定义域、域都确定了，那么函数的值域也就确定了．例2．求下列两个函数的定义域与值域：（1）f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；（2）f (x )=( x -1)2+1．解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}．（2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1}说明：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．例3 求下列函数的值域：（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5；（2）113+-=x x y ；解：（1）2)2(2+-=x y ．作出函数642+-=x x y ，1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11．（2）解法一：14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然14+x 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝．解法二：把113+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得()()310y x y -++=，该方程在原函数定义域{}|1x x ≠-内有解的条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －3≠0，－y ＋1y －3≠－1，解得y ≠3，即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝．说明：解法一的方法我们称为分离常数法，解法二的方法我们称为反函数法。