【全国百强校】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(文)试题

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【精选】广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学第一部分选择题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则复数的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的运算法则直接计算即可.【详解】，，虚部为【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题型.2.设，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质，逐项判断即可.【详解】对于A，当a为正数，b为负数时，，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误。

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考(理科数学)参考答案

得到 g x 2sin 3x

，再将 g x 的图像上所有点向右平移 0 个单位长度，得到 3
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h x 2sin 3 x 2sin 3x 3 ，其图像关于 y 轴对称，所以 3 3
3.由已知求得 a1 4 ，数列 an 的公比 q
1 1 2 ，数列 an an 1 是首项为 8 ，公比为 q 的等比数列， 2 4
1 n 8 1 4 32 所以 a1a2 a2 a3 a3a4 an an 1 1 4 n ，选 C. 1 3 1 4
选 C. 9.如图， D 为边 BC 的中点， AP AB AC AP 2 AD 2 AP AD 2 AD 6 ，答案选 B.

2
1 1 10.定义域 x x ，f x 是定义域上的偶函数，排除 A；当 x 0, 时， 2 2
1 1 ，所以 A，B 都不对.对于 C， a b
2. 对于 A，B，根据反比例函数的性质可知： a b, ab 0
2 所以选项 C 正确；对于 D，取反例：a 1.1, a 1.21, b 0.8, 2b 1.6 . 1 b 1 b 2 1, 而a 1 ，
sin x 1 cos 2 x cos x sin 2 x 2sin 3 x 2sin x cos2 x 2sin x sin 2 x cos2 x
2 sin x cos 2 x ，由 f x 0 得到 sin x 0 或者 cos 2 x 0 .当 sin x 0 时， x 0 ，， 2 ；

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考(理科数学)参考答案

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.解析： 1.()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，3322z i =--，答案选A.2. 对于A ，B ，根据反比例函数的性质可知：11,0a b ab a b>>⇒<，所以A ，B 都不对.对于C ，2111,1b b a >>-⇒<>而，所以选项C 正确；对于D ，取反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====. 3.由已知求得14a =，数列{}n a 的公比12q =，数列{}1n n a a +是首项为8，公比为214q =的等比数列，所以()1223341181432141314n n n n a a a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦++++==--，选C .4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p 是q 的充分条件，另一方面，显然A 、B 在等高处的截面积不恒相等，A 、B 的体积可能相等，因此p 不是q 的必要条件，所以答案选A .5.第1次循环，13n =，13S =；第2次循环，12n =，25S =；第3次循环，11n =，36S =；第4次循环，10n =，46S =，9n =；当9n =时，退出循环，所以910a <≤，答案选B .6.阴影部分的面积()()440cos sin sin cos 1S x x dx x x ππ=- =+=⎰，正方形面积为24π，所以所)2414π-=.7. 将()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到()2sin 33g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将()g x 的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到()()2sin 32sin 3333h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其图像关于y 轴对称，所以()332k k Z ππθπ-=+∈，即()183k k Z ππθ=-+∈，所以θ()0θ>最小值为518π，答案选C.8.52431x x x ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为()4224255325x C x C ⎛⎛⋅+-⋅=- ⎝⎝，答案选C.9.如图，D 为边BC 的中点，()AP AB AC ⋅+()22226AP AD AP AD AD =⋅=⋅==，答案选B. 10.定义域12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，()f x 是定义域上的偶函数，排除A ；当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除C ；当12x >时，()0f x <，排除D ，所以选B . 11.设，，，由线段1PF 的中垂线过点2F 得，即，得，即，得，解得，故1>，故选D .利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.()()sin sin3sin sin 2sin sin cos2cos sin2f x x x x x x x x x x x =-=-+=--()()3222sin 1cos2cos sin 22sin 2sin cos 2sin sin cos x x x x x x x x x x =--=-=-2sin cos2x x =-，由()0f x =得到sin 0x =或者cos 20x =.当sin 0x =时，0x =，π，2π；当cos 20x =时，4x π=，34π，54π，74π；所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令()0f x =，则sin sin 3x x =，在同一坐标系中画出函数sin y x =和sin3y x =的图像，如图所示，两个函数图像在区间[]0,2π有7个交点，所以()f x 有7个零点，其中3个零点是0，π，2π，另外四个零点为图中的1x ，2x ，3x ，4x ，由对称性可知，12x x π+=，343x x π+=AD所以()f x 的所有零点之和等于7π，选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1或1-（答对一个给3分） 14. 3015.()0,16216.12π解析：13.ABC ∆为等腰直角三角形，等价于圆心C 到直线10ax y +-=的距离等于，即2=，解得a =1或1-. 14.设该厂生产x 车皮甲肥料，y 车皮乙肥料获得的利润为z 条件为410181566,x y x y x N y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈∈⎩，目标函数为105z x y =+，如图所示，最优解为()2,2，所以max 1025230z =⨯+⨯=. 15.设公差为d ，则根据已知条件得到11331521434a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+. 1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122323n n t +⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以0t >，且()26215182121112323n n n t nn +++<=⎛⎫- ⎪+⎝⎭186215n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭恒成立，由于186215162n n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭当且仅当3n =时取等号，所以()0,162t ∈. 16.考虑到4AO AB AC AD ====，则球心O 与点A 在平面BCD 的两侧，且ABO ∆是等边三角形.由于OB OC OD==，则点O 在平面BCD 上的射影是BCD ∆的外心，同理，点A 在平面BCD 上的射影也是BCD ∆的外心，设BCD ∆的外心为1O ，从而AO ⊥平面BCD 于点1O ，所以1AO BO ⊥，且1O 是AO 的中点，1BO =1BO 是平面BCD 被球O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12π.三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为()sin cos a c B B =+，且sin sin a cA C=，所以()sin sin sin cos A C B B =+……………………………………………………………………1分在ABC ∆中，()sin sin A B C =+所以()()sin sin sin cos B C C B B +=+……………………………………………………………2分所以sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C C B C B +=+所以sin cos sin sin B C C B =…………………………………………………………………………3分因为在ABC ∆中，sin 0B ≠所以cos sin C C = ……………………………………………………………………………………4分因为C 是ABC ∆的内角所以4C π=.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin 0B ≠或C 的范围，扣1分）（2）在BC D ∆中，2222cos BC BD CD BD CD D =+-⋅⋅54cos D =-…………………………6分因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以22115cos 244ABC S AB BC D ∆===-…………………………………………………………7分 1sin sin 2BCD S BD CD D D ∆=⋅⋅=…………………………………………………………………8分所以平面四边形ABDC 的面积S =ABC S ∆+BCD S ∆5cos sin 4D D =-+544D π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ………………………………………9分因为0D π<<，所以3444D πππ-<-<…………………………………………………………10分所以当34D π=时，sin 14D π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， …………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值54+…………………………………………………12分 18.（1）证明：如图1，在ADE ∆中，1,2,60AD AE A ==∠=︒，得到DE ==1分所以222AD DE AE +=，从而,AD DE BD DE ⊥⊥ ……………………………………………2分所以在图2中，1,AD DE BD DE ⊥⊥x1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角……………………………………………………………3分所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥ 又因为1,A D DE BDDE D ⊥=，,BD DE ⊂平面BCED所以1A D ⊥平面BCED .……………………………………………………………………………5分（2）方法一：向量法由（1）知，1,,A D DB DE 两两垂直，分别以1,,DB DE DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………………………………………………………………………6分则()0,0,0D ，()2,0,0B ，()10,0,1A ，12C ⎛⎫⎪⎝⎭，且32BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.………………7分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，设3,02BP BC λλ⎛⎫==-⎪⎝⎭，其中[]0,1λ∈，1132,,122A P A D DB BP BC λλ⎛⎫=++==-- ⎪⎝⎭…………………………………………8分平面1BDA 的一个法向量为()0,1,0n =………………………………………………………………9分则111sin60cos ,A P n A P n A P n⋅︒====…………………10分解得56λ=……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分方法二：传统法由（1）知1A D ⊥平面BCED ，因为1A D ⊂平面1ABD ，所以平面1A BD ⊥平面BCED .………………………………………………………………………6分假设线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1ABD 所成的角为60︒，作P F B D ⊥于F ，则PF ⊥A 1BCDE F平面1ABD . ……………………………………………………………………………………………7分连接1A F ，则1P AF ∠就是直线1PA 与平面1ABD 所成的角.………………………………………8分设PB x=，则11,,222PF x BF x DF x ===-， (9)分1A F ==……………………10分1tan 60x PFA F==︒……………………………11分解得52x =所以存在满足要求的点P ，且线段PB 的长度为52.………………………………………………12分 19.解：（1）因为12c a =，所以b a =，……① ………………………………………………1分将点M 坐标代入椭圆标准方程，得到223314a b+=……② ……………………………………2分联立①②，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩3分所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. ……………………………………………………………4分（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，并设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 中点1212,22x x y y N ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线OM 上，所以121212121222y y y y x x x x ++==++…………………………………………………………………………5分因为22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到22221212043x x y y --+=()()()()12121212043x x x x y y y y -+-++=因为121212121,2y y y y k x x x x +-==+-所以32k =-……………………………………………………………………………………………6分由2214332x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y 得到关于x 的一元二次方程并化简得 ()223330x mx m -+-=()2291230m m ∆=-->，解得m -<7分212123,3m x x m x x -+==……………………………………………………………………………8分原点O 到直线l的距离d =…………………………………………………………………9分12AB x =-=12OABS AB d ∆=⋅⋅==10分()2212m m +-≤=……………………………………………………………………11分当且仅当m =12分综上，当m =OAB ∆l 方程为32y x =-±（没有总结语，扣1分）20.解：（1）……………………………………2分2K 的观测值()21004884224 3.84150509010k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯……………………………………………3分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.…………………………………………4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. …………5分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =； ……………………6分女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =. …………………………………………7分设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. Z 的所有可能取值为0,1,2,3，……………………………………………………………………8分 ()()()()20213300,0002520P Z P X Y P X P Y C ⎛⎫========⨯=⎪⎝⎭ ()()()22121312211,00,125255P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()22121312722,01,1252520P Z P X Y P X Y C ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭…………………………………………………10分随机变量Z 的分布列为…………………………………11分()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=.……………………………………………………………12分21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()'x af x e x=-…………………………………………………………………………………………1分 ①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 在定义域()0,+∞单调递减，()f x 没有极值点；…………2分②当0a >时，()'x af x e x=-在()0,+∞单调递减且图像连续，()'10a f a e =-<，0x →时，()'f x →+∞，所以存在唯一正数0x ，使得()0'0f x =，函数()f x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以函数()f x 有唯一极大值点0x ，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当0a ≤时，()f x 没有极值点；当0a >时，()f x 有唯一极大值点，没有极小值点.………………………………………4分（2）方法一：由（1）知，当0a >时，()f x 有唯一极大值点0x ，所以()()00max 0ln xf x f x a x e ==-，()0f x <恒成立⇔()00f x <………………………………………………………………………5分因为00x a e x =，所以()000001ln ln 0a f x a x a x x x ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以001ln 0x x -<. 令()1ln h x x x=-，则()h x 在()0,+∞单调递增，由于()11.74ln1.7401.74h =-<，()11.8ln1.801.8h =->，所以存在唯一正数()1.74,1.8m ∈，使得()0h m =，从而()00,x m ∈.………………………………………………………………………………………6分由于()000ln 0x f x a x e=-<恒成立，①当(]00,1x ∈时，()000ln 0x f x a x e=-<成立；②当()01,x m ∈时，由于00ln 0x a x e -<，所以00ln x e a x <.……………………………………7分令()ln x e g x x =，当()1,x m ∈时，()()1ln '0ln x e x x g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=<，所以()ln x e g x x =在()1,m 单调递减，从而()a g m ≤.因为()()1.74g m g <，且() 1.741.7410.3ln 1.74e g =≈，且a ∈N*，所以10a ≤.…………………………………………………………………………………………………8分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………9分所以()()()00000max0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x e x x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……10分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.所以a 的最大值是10. ………………………………………………………………………………12分方法二：由于()0f x <恒成立，所以() 1.61.6ln1.60f a e =-<， 1.610.5ln1.6e a <≈； () 1.71.7ln1.70f a e =-<， 1.710.3ln1.7e a <≈； () 1.81.8ln1.80f a e =-<， 1.810.3ln1.8e a <≈；因为a ∈N*，所以猜想：a 的最大值是10. ………………………………………………………6分下面证明10a =时，()10ln 0xf x x e =-<.()10'x f x e x=-，且()'f x 在()0,+∞单调递减，由于()()'1.740,'1.80f f ><，所以存在唯一()0 1.74,1.8x ∈，使得()00010'0x f x e x =-=，……………………………………8分所以()()()00000max 0010110ln 10ln1010ln10x f x f x x ex x x x ⎡⎤⎛⎫==-=--=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦. ……9分令()110ln10u x x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1.74,1.8x ∈，易知()u x 在()1.74,1.8单调递减，所以()()()11.7410ln10 1.74102.303 2.3101.74u x u ⎡⎤⎛⎫<=-+<-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ………………10分所以()()00max 0110ln100f x f x x x ⎡⎤⎛⎫==-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦……………………………………………11分即10a =时，()10ln 0x f x x e =-<.所以a 的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ-=……………………………1分因为cos ,sin x y ρθρθ==所以直线l 普通方程为40x y -+=.………………………………………………………………2分设(),2sin P t t ，则点P 到直线l 的距离13d t π⎛⎫===-- ⎪⎝⎭…………………………4分当sin 13t π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，max d =所以点P 到直线l的距离的最大值为…………………………………………………………5分（2）设曲线C 上任意点()cos ,2sin P a t t ，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以cos 2sin 40a t t -+>对t ∀∈R 恒成立，……………………………………………………7分()4t ϕ-<，其中cos ϕϕ==………………………………8分4<………………………………………………………………………………………9分由于0a >，解得实数a的取值范围是0a <<……………………………………………10分23.解：（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+ <-⎪⎪⎪=--+=-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩…………………………1分因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩……………………………3分解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.…………………………………………………5分（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-…………………………………………………………………………6分因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立，所以()min 213t t ++-=……………………………………………………………………………7分因为0m >时，()23f x x m x m =--+=34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+ <-⎪⎪⎪-- -≤≤⎨⎪-- >⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭…………………………………………………9分所以532m <，所以实数m 的取值范围605m <<.…………………………………………………………………10分。

(百强市校)广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(理)试题

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学命题学校：广东广雅中学定稿人：本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分选择题(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z3i1i，则复数z的共轭复数z的虚部为A.2.设32a 1b1，b 0333C.iD.B.222，则下列不等式中恒成立的是iA.1111B.a b a bC.a b2D.a22b3.已知a是等比数列，na 22，a514，则a a a a a a a a122334n n 1A.1614n B.1612n C.323214 D.3312n4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，p: A、B的体积不相等，q: A、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如图是一个算法流程图，若输入n的值为13，输出S的值是46，则a的取值范围是A. C.9a 1010a 11B.D.9a 108a 9n6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.21B.4212C.4212D.167.已知函数f x si n x3cos x，x R，先将f x图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵3坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移0个单位长度，得到的图像关于y轴对称，则的最小值为A.9B.3C.518D.238.41x23x 1x x5的展开式中常数项为A.30B.30C.25D.259.已知P是边长为2的等边三角形ABC边BC上的动点，则AP AB AC的值A.有最大值8B.是定值6C.有最小值2D.与P点的位置有关10.函数fx xe x4x2e1x的部分图像大致是y y y yO x O x O x O x A B C D11.设F1、F2分别是椭圆1a2b2（a b 0）的左、右焦点，若在直线xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是A.(0，2]B.(0，]3 C.[22，1) D.[33，1)12.已知函数A.f x5sin x sin3x，x 0,2，则函数3B. C.f x 的所有零点之和等于7D.1 2x2y23第二部分非选择题 (共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.已知直线axy 1 0与圆C :x 12y a21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数 a的值为※※ .14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是 10 万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是 5 万元.现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元.15.已知等差数列a 的前n 项和为 nS n，且S15 3，aa34 79，数列1a an n 1的前 n 项和为 T n，且对于任意的 nN *， Tna 11 nt，则实数 t 的取值范围为 ※※ .16.在半径为 4 的球 O的球面上有不同的四点 A ，B ，C ，D，若A B AC A D4，则平面BCD被球O所截得的图形的面积为 ※※ .三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分.17.（12 分）如图，在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，A且a csi n B cos B.（1）求ACB的大小；BC（2）若ACB ABC，点 A、D 在BC 的异侧，DB 2，DC1，D求平面四边形 ABDC 面积的最大值.18.（12 分）等边ABC 的边长为 3，点 D 、 E 分别是边 AB 、 AC 上的点，且满足AD CE 1DB EA 2（图 1）.将ADE沿DE折起到A DE 1的位置，使二面角ADE B 1成直二面角，连接 A B 1，AC1（图 2）.A A1DEDEB图 1CB图 2C（1）求证： A D 1平面BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P ，使直线 PA 与平面 ABD 所成的角为 60 ？若存在，求出线11段PB的长；若不存在，请说明理由.19.（12分）已知椭圆x2y2C : 1a b 0a2b213的离心率为，点M 3,22在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线O M交于点N，并且点N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值.20.（12分）某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：每月完成合格产品的件数（单位：百件）(26,28](28,30](30,32](32,34](34,36]频数10453564男员工人数7231811（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的有关？22列联表，并判断是否有 95％的把握认为“生产能手”称号与性别非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望.附：K2n ad bca b c d a cb d，PK2kk0.0500.0100.0013.841 6.63510.828221.（12 分）已知函数fx a l n xex， aR .（1）试讨论函数fx的极值点的个数；（2）若aN*，且fx 0恒成立，求 a的最大值.参考数据：x1.61.71.741.810 ex4.9535.4745.6976.05022026ln x0.4700.5310.5540.5882.303（二）选考题：共10 分.请考生从给出的第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为x a cos t y 2sin t（ t为参数，a 0），以坐标原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos42 2.（1）设 P是曲线 C上的一个动点，当a 2 3时，求点 P到直线 l的距离的最大值；（2）若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围.23.（10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 fx x m 2x 3mm 0.（1）当m1时，求不等式fx1的解集；（2）对于任意实数 x ， t ，不等式 f x2 t t 1恒成立，求实数 m 的取值范围.华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案A C C A B B C C B B D D解析：1.z 3i 3i1i1i1i 1i33i22，33z i22，答案选A.2.对于A，B，根据反比例函数的性质可知：a b,ab 011a b，所以A，B都不对.对于C，1b 1b21,而a 1，所以选项C正确；对于D，取反例：a 1.1,a2 1.21,b 0.8,2b 1.6.3.由已知求得a 41，数列an的公比q11，数列a a是首项为8，公比为q22n n 14的等比数列，所以a a a a a a122334a an n 11813214134n ，选C.4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p是q的充分条件，另一方面，显然A、B在等高处的截面积不恒相等，A、B的体积可能相等，因此p不是q的必要条件，所以答案选A.5.第1次循环，n 13，S 13；第2次循环，n 12，S 25；第3次循环，n 11，S 36；第4次循环，n 10，S 46，n 9；当n 9时，退出循环，所以9a 10，答案选B.6.阴影部分的面积S 4cos x sin x dx sin x cos x4021，正方形面积为24，所以所求概率为212421.247.将f x sin x 3cos x 2sin x31图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不3n41变），得到g x 2sin3x3，再将gx的图像上所有点向右平移个单位长度，得到h x2si n3x 32sin3x33，其图像关于y轴对称，所以332k k Z，即18k 5k Z，所以0最小值为，答案选C.3188.41x23x 1x x511的展开式中常数项为x2C43x C225x x，答案选C.9.如图，D为边BC的中点，AP AB AC AP2AD2AP AD2AD26，答案选B.110.定义域x x ，f x是定义域上的偶函数，排除A；当21x 0,2时，Afx 0，排除C；当x12时，fx，排除D，所以选B.B P D C11.设P(a2c,m)，F (c,0)1，F(c,0)2，由线段PF1的中垂线过点F得PF F F 2c2212，即(a2cc)2m22c，得a2a4m24c2(c)22a23c20c c2，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e213，故1e33，故选D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.f x si n x sin3x sin x sin x2x si n x sin x c os2x cos x sin2xsin x 1cos2x cos x sin2x 2sin3x 2sin x cos2x 2sin x si n2x cos2x2sin x cos2x，由f x0得到si n x 0 或者cos2x 0.当sin x 0 时，x 0，，2；当cos2x 0时，x4357，，，；所以f x的所有零点之和等于7，选D.444另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令 fx0，则s in x sin3x，在同一坐标系42 55中画出函数y sin x和y sin3x的图像，如图所示，两个函数图像在区间0,2有7个交点，所以f x有7个零点，其中3个零点是0，，2，另外四个零点y为图x xO x1x234x中的 x ， x ， x ， x ，由对称性可知， 1234xx12，xx334，所以 f x的所有零点之和等于 7，选 D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 1或1（答对一个给 3 分）14. 3015.0,16216. 12解析：13.ABC为等腰直角三角形，等价于圆心C到直线ax y 1 0的距离等于2 2，即 ya 1 212 2，解得 a 1 或 1. 14.设该厂生产 x车皮甲肥料， y车皮乙肥料获得的利润为 z 万元，则约束条件为4x y 1018x 15 y 66，目标函数为z 10 x 5 y，如图所示， (2,2)O xx N , y N最优解为2,2，所以 zmax10 2 5 2 30.15.设公差为d，则根据已知条件得到3a3d 15 1 2a14d 34 1，解得a3 1 d 2，所以a2n 1 n.1 1 1 11 1 1 1 1， Ta a2 2n 1 2n3 n 23 55 7 n n 11 12n 1 2n 31 1 1 2n 122 3 2n 3 t恒成立，所以 t 0 ，且 t2n 12 1 1 12 3 2n 362n 215n 18n18 6 2n 15n t0,162.恒成立，由于186 2n 15162 n当且仅当 n 3 时取等号，所以16.考虑到 AO AB AC AD 4 ，则球心 O 与点 A 在平面 BCD 的两侧，且 ABO 是等边三角形.由于OB OC OD ，则点 O 在平面 BCD 上的射影是 BCD 的外心，同理，点 A 在平面 BCD上的射影也是BCD的外心，设BCD 的外心为O 1，从而 AO平面BCD于O点O 1，所以AO B O ，且 O 是 AO 的中点，BO2 3 111，BO 是平面 BCD 1BO1CD被球 O 所截得的圆的半径，所以圆的面积是12 .A三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为a c si n B cos B ，且a csin A sin C，所以sin A sin C si n B cos B (1)分在ABC中，sin A sin BC所以sin B C si n C si n B cos B ……………………………………………………………2分所以sin B cos C cos B sin C sin C sin B sin C cos B所以sin B cos C sin C sin B (3)分因为在ABC中，sin B 0所以cos C sin C (4)分因为C是ABC的内角所以C4.……………………………………………………………………………………………5分（没有说明sin B 0或C的范围，扣1分）（2）在BCD中，BC2BD2CD22B D CD cos D 54cos D (6)分因为ABC是等腰直角三角形，所以SABC 115AB2BC2cos D244 (7)分SBCD 12BD CD si n D sin D (8)分所以平面四边形ABDC的面积S SABC SBCD54cos D sin D52sin D44………………………………………9分因为0 D ，所以4D434 (10)分所以当D 34时，sin D 14，…………………………………………………………11分此时平面四边形ABDC的面积有最大值542 (12)分18.（1）证明：如图1，在ADE中，AD 1,AE 2,A 60，得到DE AD2AE22A D AE cos603 (1)分所以AD2DE2A E2，从而AD D E,BD DE (2)分所以在图2中，AD D E,BD D E1A DB是二面角A DE B11的平面角……………………………………………………………3分所以A DB 901，即A D B D1又因为A D D E,BD DE D1，BD,DE 平面BCED所以A D 平面BCED.……………………………………………………………………………5分1（2）方法一：向量法由（1）知，A D,DB,DE1两两垂直，分别以DB,DE,DA1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 (6)分则D 0,0,0，B 2,0,0，A 0,0,11133，C,,0，且zA13 33BC ,.0………………7分,22假设线段BC上存在点P，使直线PA与平面A BD所成的11x B DPECy角为60，设BP BC 333,22,0，其中0,1，333A P A D DB BP BC 2, ,1分22 1122 (8)平面BDA1的一个法向量为n 0,1,0 (9)分则sin60cos A P,n1A Pn1A P n13323332132 (10)分解得56……………………………………………………………………………………………11分所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52 (12)分方法二：传统法由（1）知A D 平面BCED，因为A D 平面ABD，111所以平面A BD1平面BCED (6)分假设线段BC上存在点P，使直线PA与平面ABD所成的角为60，作PF BD于F ，则11PF A 1平. ................................................B (7)面连接A F1，则PA F1就是直线PA1与平面A BD1所成的角 (8)分设PB x，则PF311x,BF x,DF 2x222，……9分A1A F A D2 11DF2152x x42……………………10分FDEPF A F13x252x14x2tan60……………………………11分B P C解得x 5 2所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52 (12)2222分19.解：（1）因为c1b3，所以a2a2，……①………………………………………………1分将点M坐标代入椭圆标准方程，得到331a24b2......② (2)分联立①②，解得分a 2b 3 (3)所以椭圆C的标准方程为分x2y2143 (4)（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y kx m，并设A x,y ，B x,y1122，线段AB中点x x y yN12,1222在直线OM上，所以y y122x x122y y112x x212…………………………………………………………………………5分x214因为x224y2113y2212，两式相减得到x2x2y2y21212043x 1x2x x y y121243y1y20因为y y1y y 12,12k x x2x x1212所以k 32 (6)分x2y2143由3y x m2，消去y得到关于x的一元二次方程并化简得3x23mx m239m212m230，解得23m 23 (7)分x x m,x x1212分m233 (8)原点O到直线l的距离dm1k2 (9)分AB 1k2x x 1k21212m23SOAB 1mAB d2212m2m212m2323 (10)分m212m22233 (11)分当且仅当分m 6时取等号 (12)综上，当m 6时，OAB面积最大值为3，此时直线l方程为y 32x 6.（没有总结语，扣1分）20.解：（1）非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工4842285050 (2)分K 2的观测值k 1004884225050901024 3.841 (3)分所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关.................................................4分（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. (5)分由统计数据可知：男员工实得计件工资超过 3100 元的概率为p12 5； ……………………6 分女员工实得计件工资超过 3100 元的概率为p21 2. …………………………………………7 分设 2 名女员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为 X ，则 X1；1 名男员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为Y，则Y2.Z的所有可能取值为 0,1,2,3，……………………………………………………………………8 分P Z 0P X 0,Y 0P X 0PY 0C 02 5 201 3 12 2P Z 1P X 1,Y 0P X 0,Y 1 C 12 5 2 5 51 3 12 7P Z 2P X 2, Y 0P X 1,Y1C 12 52 5 201 2 1 P Z 3P X 2,Y 12 5 10分 (10)随机变量 Z 的分布列为Z1 2 3分P3 20 2 57 20 1 10 (11)2 7 1 7 E Z1 2 3 5 20 10 5分 (12)21.解：（1）函数f x的定义域为0,.f 'xa xB 2,2 B 1,521 3 322222222ex… (1)分①当a时，f ' x 0， f x在定义域0,单调递减， f x没有极值点；…………2 分②当a 0时，f'x axe x在0,单调递减且图像连续，f 'a 1e a0，x 0时，f 'x ，所以存在唯一正数x，使得f 'x000，函数f x 在0,x0单调递增，在x,单调递减，所以函数f x有唯一极大值点x，没有极小值点.………………………………………………3分综上：当a 0时，f x没有极值点；当a 0时，fx有唯一极大值点，没有极小值点 (4)分（2）方法一：由（1）知，当a 0时，f x有唯一极大值点x，所以f xmax f x a l n x e x000，f x0恒成立 fx0分 (5)因为axe0，所以a 1f x a ln x a ln x 0x x00，所以1lnx 0x.令hx l n x 1x，则h x 在0,单调递增，由于h 1.74ln1.74110，h1.8ln1.801.74 1.8，所以存在唯一正数m 1.74,1.8，使得hm0，从而分x0,m (6)由于fx0a ln x e x00恒成立，①当x00,1时，f xa ln xe x00成立；②当x 1,m时，由于a ln x ex000xe x00，所以a (7)ln x分令gxe xln x，当x 1,m时，g'xe x ln xl n x21x0，所以gxe xln x在1,m单调递减，从而a g m.因为g m g 1.74，且g 1.74e1.74ln1.7410.3，且a N*，所以a 10分 (8)下面证明a 10时，f x10l n x e x 0.f'x 10xe x，且f 'x 在0,单调递减，由于f ' 1.740,f'1.80，所以存在唯一x1.74,1.8，使得f 'x10xe00， (9)分所以f xm a x f x10ln x e010l n10x10x10ln10x1x (10)分令u x 10ln10x 1x，x 1.74,1.8，易知u x 在1.74,1.8单调递减，所以u x u 1.7410ln10 1.7411.7410 2.3032.310，所以fxmax f x 10ln10x001x0 (11)分即a 10时，f x 10ln x e x 0.所以a的最大值是10 (12)分方法二：由于f x 0恒成立，所以f 1.6a ln1.6e1.60，ae1.6ln1.6xx10.5；f 1.7a ln1.7e1.70，ae1.7ln1.710.3；f 1.8a ln1.8e1.80，ae1.8ln1.810.3；因为a N*，所以猜想：a的最大值是10.………………………………………………………6分下面证明a 10时，f x10l n x e x 0.f'x exx，且f 'x 在0,单调递减，由于f ' 1.740,f'1.80，所以存在唯一x1.74,1.8，使得f 'x10xe00， (8)分所以fxmax10f x 10ln x e010ln10x 10ln10xx1x. ……9分令u x 10ln10x1x，x 1.74,1.8，易知u x 在1.74,1.8单调递减，所以u x u 1.7410l n10 1.7411.7410 2.3032.310，………………10分所以fxmaxf x 10ln10x001x0……………………………………………11分即a 10时，f x10l n x e x 0.所以a的最大值是10.………………………………………………………………………………12分22．解：（1）由cos422，得到cos si n4……………………………1分因为cos x,sin y所以直线l 普通方程为x y 40.………………………………………………………………2分设P 23c os t,2sin t ，则点P到直线l的距离d分10xx00004sin t 4323cos t 2sin t 422sin t 1322 (4)当sin t31时，d 42max所以点P到直线l的距离的最大值为42 (5)分（2）设曲线C上任意点P a cos t,2sin t ，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，所以a cos t 2sin t 40对t R恒成立，……………………………………………………7分a24sin t 4，其中c os2a24,sinaa24………………………………8分从而a244 (9)分由于a 0，解得实数a的取值范围是0a 23 (10)分3x 4,x2323.解：（1）当m 1时，f x x 12x 33x 2,x 12x4,x 1分 (1)因为fx133x x1，所以2或者2x 413x21或者x 1x 41……………………………3分解得：3x33或者x122，所以不等式fx1的解集为x 3x 1.…………………………………………………5分（ 2 ）对于任意实数x，t ，不等式 f x 2t t1恒成立，等价于fxmax2t t 1min (6)分因为2t t 12tt 13，当且仅当2tt10时等号成立，所以2t t 13 (7)min分因为m 0时，f x3mx 4m,x23mx m 2x 3m 3x2m ,x m2x4m,x m函数f x单增区间为,3m23m ，单间区减为,，2所以当x 3m2时，3m 5mf x fmax 22 (9)分所以5m23，所以实数m的取值范围0m 65 (10)分。

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(文).

华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}|2M x N x =∈≤，{}2|0N x x x =-≤，则MN =（）．A ．[0,2]B ． [0,1]C ．{0,1}D ．{1}2．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（）．A ．1i +B ． 1i -C ．2D3．设a ，b 是非零向量，记a 与b 所成的角为θ，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充要条件是（）．A ．//a bB ． 0θ=C ．2πθ=D ．θπ=4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差A ．①②③B ． ①②④C ．①③④D ．②③④5．若函数23()(1)sin 1f x m x m x =+++是偶函数，则()y f x =的单调递增区间是（）．A ．(,1)-∞B ． (1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）．A ．13B ．14C ．15D ．167．若函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图像如右图所示，则()y f x =的解析式可能是（）．A.2sin(2)6y x π=+B.2sin(2)6y x π=-+C.2sin(2)6y x π=--D.2sin(2)6y x π=-8．若x ，y 满足约束条件20205100x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（）．A ．0B ． 2C ．4D ．139．等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（）．A ．8B ． 8-C ．4D ． 88-或10．若函数2|2|2,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是（）．A ．2{1}[,)e +∞B ． 2{1}(,)e +∞C ．2[1,]eD ．2(1,]e 11．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）A．32+B．32+C ．22+D ．22+12．设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c=上存在P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（）．A ．(0,2B ．(0,]3C ．2D ．3第二部分非选择题 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上. 13．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是 .(其中e 为自然对数的底数)14．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2，则双曲线C 的标准方程是 . 15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2448a a +=，528a =，30n S n λ+>对一切*n N ∈恒成立，则λ的取值范围为 .16．体积为163的正四棱锥S ABCD -的底面中心为O ，SO 与侧面所成角的正切值为2，那么过 S ABCD -的各顶点的球的表面积为 .三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分.17．（满分12分）已知,,a b c 分别是锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边，s i n c o s(s i 3c o s )0C A B B -=. (1)求A ；(2)若4b =，且AC 边上的高为ABC ∆的周长.18．（满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，13BAA π∠=，D为1AA 的中点，点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上. (1)求证：1B D CBD ⊥平面；(2)若CBD ∆是正三角形，求三棱柱111ABC A B C -的体积.19．（满分12分）为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程。

【四校联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(文)答案

sin A 3 cos A 0 ，得 tan A 3 ， …………………………………………………5 分
故 A .……………………………………………………………………………………6 分 3
（或 sin A 3 cos A 2(1 sin A 3 cos A) 2sin( A ) 0 ，因 A ，故
12 ．设
P( a2 c
, m)
，
F1(c, 0)
，
F2 (c, 0)
，由线段
PF1
的中垂线过点
F2
得
PF2
F1F2
2c
，即
(a2 c
c)2
m2
2c
，得 m2
4c2
(a2 c
c)2
a4 c2
2a2
3c2
0 ，即 3c4
2a2c2
a4
0，
得 3e4 2e2 1 0 ，解得 e2 1 ，故 e 3 ，故选 D.
2
3
，在 A1B1D
中，
A1B1
A1D
1，
B1 A1D
2 3
，则 A1B1D
A1DB1
2 3
2
， 6
故 B1DB
3
6
2
，故
BD
B1D
.……………………………………………4
分
因 CE I BD E ，故 B1D 平面CBD .……………………5 分
(2)法一、VABCA1B1C1 3VA1ABC 3VCA1AB ，……………………………………………6 分由(1)得 CE 平面ABB1A1 ，故 CE 是三棱锥 C A1AB 的高，………………………7 分
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广东华河北省实、深中、广雅四校2019高三上年末-数学文含解析

华省实、深中、广雅四校2019高三上年末-数学文〔含解析〕数学〔文科〕本试卷分选择题和非选择题两局部，共21小题，总分值150分.考试用时120分钟. 一、选择题 1.设集合{}a P 2log ,3=，{}b a Q ,=，假设{}0=Q P ，那么=Q P ( )(A){3,0} (B){3,0,2} (C){3,0,1} (D){3,0,1,2}解：由P∩Q＝{0}知，0∈P 且0∈Q. 由0∈P ，得a 2log ＝0 ⇒ a=1；由0∈Q 得b=0.故P∪Q＝{3,0,1}.选C. 2.复数=+-+-ii i 11 ( ) (A)i 2- (B) i 21 (C)0 (D) i2 解：ii i ii i 211-=--=+-+-.选A.3．不等式752≥+x 成立旳一个必要不充分条件是(A)1≥x (B)6-≤x (C)1≥x 或6-≤x (D)0≠x解：⇔≥+752x 1≥x 或6-≤x .选D.4. 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程016102=+-x x 旳两根，那么=12108a a a ()(A)16 (B)32 (C)64 (D)256 解：由有16191=a a ，又210191a a a =，∴在正项等比数列中，410=a .∴6431012108==a a a a .选C.5.假设平面α，β满足βα⊥，l =βα ，α∈P ，l P ∉，那么以下命题中是假命题旳为( )(A)过点P 垂直于平面α旳直线平行于平面β (B)过点P 在平面α作垂直于l 旳直线必垂直于平面β (C)过点P 垂直于平面β旳直线在平面α(D)过点P 垂直于直线旳直线在平面α解：由于过点P 垂直于平面α旳直线必平行于平面β垂直于交线旳直线，因此平行于平面β，因此A 正确.根据面面垂直旳性质定理知，选项B 、C 正确. 选D.6．x x f 2log )(=，函数)(x g y =是它旳反函数，那么函数)1(x g y -=旳大致图像是解：x x x g x g -=-⇒=12)1(2)(，应选D.7．某产品旳广告费用x 与销售额y 旳统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954a bx y +=b 4.96万元时销售额为( )．(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元解：由题，计算得：5.3=x ，42=y ，代入回归方程a bx y +=1.9=⇒a .所以，当5.651.964.96=+⨯=⇒=y x ，选B.8．假设函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，那么)(x f 可以是( ).(A)1 (B)x cos (C)x sin -(D)x sin 解：代入答案检验可知选C ； 9椭圆旳方程为)0(3222>=+m m y x ，那么此椭圆旳离心率为〔〕(A)31(B)33(C)22(D)21解：由题31632132********=⇒=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=+e m b a c mb m a m y m x ，应选B.10．点),(y x P 为曲线xx y 1+=上任一点，点)4,0(A ，那么直线AP 旳斜率k 旳取值围是〔〕 A ．[)+∞-,3B ．()+∞,3C ．[)+∞-,2D ．()+∞,1解：由题：=AP k 33)21(141422-≥--=+-=-xx x x y ，应选A.二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，总分值20分．其中第14、15题是选做题，考生只能选做其中一题，两题全答旳，只计算前一题旳得分．〕 11.21e e ，是夹角为060旳两个单位向量，且向量212e e a +=___________.解：由题，121=e ，122=e ，2121=⋅e e，所以77421)2(2212=++=+=e e a12.执行由图中旳算法后，假设输出旳y 值大于10，那么输入x 旳取值围是；解：由题⎩⎨⎧<+≥+=1,131,8x x x x y ，因此⎩⎨⎧>+≥1081x x 或⎩⎨⎧>+<10131x x解之得：2>x 或13<<-x 所以),2()1,3(+∞-∈ x13.在ABC ∆中，假设060=A ，075=B ，6=c ，那么=a ___________；解：由题得， 045=C ，由正弦定理63sin sin =⇒=a CcA a14. 〔坐标系与参数方程〕在极坐标中，圆4cos ρθ=旳圆心C 到直线sin()224πρθ+=旳距离为.解：在直角坐标系中，圆：x y x 422=+，圆心)0,2(C ，直线：4=+y x ，所以，所求为215．〔几何证明选讲〕如下图，圆O 上一点C 在直径AB 上旳射影为D ，4,8CD BD ==，那么圆O 旳半径等于．解：由题：ACB ∆∽CDB ∆，得BDBC BC AB=，又802=BC所以，510=⇒=r AB三、解答题15. (此题总分值12分)数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+〔c 是常数，123n =，，，〕，且123a a a ，，成公比不为旳等比数列．〔I 〕求c 旳值；〔II 〕求{}n a 旳通项公式．解：〔I 〕12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．〔II 〕当2n ≥时，由于212a a -=， 3222a a -=⨯，12(1)n n a a n --=-，以上1-n 个式叠加，得12[12(1)](1)n a a n n n -=+++-=-．⇒22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，．当1n =时，上式也成立，故22(1,23)n a n n n =-+=，，16. (此题总分值12分)A 、B 、C 旳坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，)23,2(ππα∈.(Ⅰ)假设AB OC //,O 为坐标原点，求角α旳值； (Ⅱ)假设BC AC ⊥,求απαtan 1)42sin(21+-+旳值.解：依条件有 )sin ,3(cos αα-=AC ，)3sin ,(cos -=ααBC(Ⅰ)由AB OC //，得0sin 3cos 3)3,3//()sin ,(cos =--⇒-αααα，所以，1tan -=α,∵)23,2(ππα∈，∴43πα=. (Ⅱ)由BC AC ⊥得0=⋅BC AC , 得0)3(sin sin )3(cos cos =-+-αααα,解得31cos sin =+αα, 两边平方得98cos sin 2-=αα,所以，αααααααααααπαcos sin cos sin 2cos sin 2cos sin 12cos 12sin tan 1)42sin(212⋅++=+-+=+-+因此，原式98cos sin 2-==αα17.(此题总分值14分)设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤6060y x 表示旳区域为P ，不等式组⎩⎨⎧≥-≤≤0260y x x 表示旳区域为Q ．〔1〕在区域P 中任取一点),(y x ，求点Q y x ∈),(旳概率；〔2〕假设x ,y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得旳点数,求点Qy x ∈),(旳概率. 解：〔1〕这是一个几何概型，如图，41663621]),[(=⨯⨯⨯==∈∆OABCOAD S S B y x P〔2〕这是一个古典概型，根本领件数为36，其中满足B y x ∈),(旳根本领件数有9个，所以，41369]),[(==∈B y x P18. (此题总分值14分)如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 旳中点，且AC BC a ==，045=∠VDC .〔I 〕求证：平面VAB ⊥平面VCD ；〔II 〕求异面直线VD 和BC 所成角旳余弦．解：〔Ⅰ〕AC BC a ==∵，ACB ∴△是等腰三角形，又D 是AB 旳中点，CD AB ⊥∴，又VC ⊥底面ABC ．VC AB ⊥∴．因VC ，CD ⊂平面VCD ，∴AB ⊥平面VCD ．又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD ．〔Ⅱ〕过点D 在平面ABC 作BC DE //交AC 于E ，那么VDE ∠就是异面直线VD 和BC 所成旳角或其补角．在ABC ∆中，aCD a AB 222=⇒=，又aVD a VC VDC =⇒=⇒=∠22450；CVDBAy B C在VDE ∆中，a VD =，a DE 21=，a a a VE 232422=+=所以，212124342cos 222222=⋅-+=⋅-+=∠aa a a a DE VD VE DE VD VDE 所以，所求为2119. (此题总分值14分)假设A 、B 是抛物线x y 42=上旳不同两点，弦AB 〔不平行于y 轴〕旳垂直平分线与x 轴相交于点P ，那么称弦AB 是点P 旳一条“相关弦〞.；〔I 〕求点)0,4(P 旳“相关弦〞旳中点旳横坐标； (II)求点)0,4(P 旳所有“相关弦〞旳弦长旳最大值. 解：〔I 〕设AB 为点)0,4(P 旳任意一条“相关弦〞，且点),(11y x A ，),(22y x B ,那么1214x y =，2224x y =弦AB 旳垂直平分线方程为)2(221212121x x x y y x x y y y +----=+-，由题它与x 轴相交于点)0,4(P 令⇒=0y 22421212121x x x x y y y y ++--+=所以，222242)(2)(442121212121=+⇒++=⇒++--=x x x x x x x x x x(Ⅱ)由(Ⅰ)可设中点为),2(m y ，这里221y y y m +=直线AB 旳斜率m y y y y y y y x x y y k 2444212221212121=+=--=--=，所以弦AB 所在直线旳方程是)4(2)2(2mm m m m y y x y y x y y y -+=⇒-=-，代入24y x=中，整理得0)4(1640)4(1642222222=-+-⇒=-+-mm m m m m m y y y x x y y x y x y 〔*〕那么12x x 、是方程〔*〕旳两个实根，且421=+x x ，4)4(2221mm m y y y x x -=设点)0,4(P 旳“相关弦〞 AB 旳弦长为，那么2221212()()l x x y y =-+-])4(16)[41(]4))[(41())(41(22221221222122mm m m m m y y y y x x x x y x x y l --+=-++=-+=所以，36)2(32422242+--=++-=m m m y y y l ，所以，6min =l20. (此题总分值14分)定义域为]1,0[旳函数)(x f 同时满足：〔1〕对于任意)1,0(∈x ，总有0)(>x f ；〔2〕1)1(=f ；〔3〕假设01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，那么有)()()(2121x f x f x x f +≥+；〔Ⅰ〕证明)(x f 在]1,0[上为增函数；〔Ⅱ〕假设对于任意]1,0[∈x ，总有24()4(2)()540f x a f x a --+-≥，数a 旳取值围；〔Ⅲ〕比拟)22221(132++++n n f 与1旳大小，并给与证明；解：〔Ⅰ〕设1021≤<≤x x ，那么)1,0(12∈-x x)()()()()(])[()()(121112111212>-=-+-=-+-=-∴x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f即)()(12x f x f > 故)(x f 在[0，1]上是单调递增旳〔Ⅱ〕因()f x 在[0,1]x ∈上是增函数，那么0)(11)1()(≥-⇒=≤x f f x f ，当1)(=x f 时，容易验证不等式成立；当1)(<x f 时，那么〔224()8()54()4(2)()54044()f x f x f x a f x a a f x -+--+-≥⇒≤-对[0,1]x ∈恒成立，设24()8()511()144()4[1()]f x f x y f x f x f x -+==-+≥--，从而那么1a ≤综上，所求为]1,(-∞∈a ；〔Ⅲ〕令=n S 14322232221+++++n n ----------①，那么 =n S 2125432232221+++++n n --------------②，由①-②得，=n S 2121432221212121++-++++n n n ，即， =n S 132221212121+-++++n n n =122111<--+n n n所以1)1()22221(132=<++++f nf n。

【四校联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(理)试题

22．（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
a 2
cos t sin t
（
t
为参数，
a
0
），以坐标原
点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
cos
4
2
2.
（1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a 2 3 时，求点 P 到直线 l 的距离的最大值；（2）若曲线 C 上所有的点都在直线 l 的右下方，求实数 a 的取值范围.
（2）若 a N*，且 f x 0 恒成立，求 a 的最大值.
参考数据：
x
1.6
1.7
1.74 1.8
10
ex
4.953 5.474 5.697 6.050 22026
ln x 0.470 0.531 0.554 0.588 2.303
（二）选考题：共 10 分.请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.
每月完成合格产品的件数（单位：百件）
频数男员工人数
(26,28]
10 7
(28,30]
45 23
(30,32] (32,34] (34,36]
35
6
4
18
1
1
（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过 3200 件的员工，会被评为“生产能手”称号.
由以上统计数据填写下面的 2 2 列联表，并判断是否有 95％的把握认为“生产能手”称号与性别

广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析【最新】

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e 的不等式，计算范围，即可。

广东华附、实、深中、广雅四校2019高三上年末联考-数学理

广东华附、实、深中、广雅四校2019高三上年末联考-数学理数学〔理科〕本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，总分值150分，考试用时120分钟。

本卷须知1、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2、选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题〔共40分〕一. 选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题的4个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，假设P∩Q＝{0}，那么P∪Q=A、{3,0}B、{3,0,1}C、{3,0,2}D、{3,0,1,2}2.复数－i＋1－i1 + i＝A、－2iB、12iC、0D、2i3.在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，那么a8·a10·a12等于A、16B、32C、64D、2564.假设平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P l，那么以下命题中是假命题的为A、过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB、过点P垂直于直线l的直线在平面α内C、过点P垂直于平面β的直线在平面α内D、过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β5.观看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：假设定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝A、f(x)B、－f(x)C、g(x)D、－g(x)6.给出下述四个命题中：①三角形中至少有一个内角不小于60°；②四面体的三组对棱基本上异面直线；③闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点；④当k>0时，方程x2+ky2=1的曲线是椭圆.其中正确的命题的个数有A 、1B 、2C 、3D 、47.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，他投篮一次得分的均值为2，那么2a ＋13b 的最小值为 A 、323B 、283C 、143D 、1638.定义域为R 的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg |x －2|，x ≠ 21 ，x =2 ，假设关于x 的方程f 2(x )+bf (x )+c =0恰有5个不同的实数解x 1,x 2,x 3,x 4,x 5，那么f (x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)等于 A 、lg 2 B 、2lg 2 C 、3lg 2 D 、4lg 2第二部分非选择题〔110分〕【二】填空题:〔本大题共6小题,每题5分,共30分〕. 〔一〕必做题〔9～13题〕：9.从0，1，2，3，4这5个数字中，任取3个组成三位数，其中奇数的个数是*****；10.执行图中的算法后，假设输出的y 值大于10，那么输入x 的取值范围是*****； 11.e 1、e 2、e 3为不共面向量，假设a ＝e 1＋e 2＋e 3，b＝e 1－e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 2－e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，且d ＝x a ＋y b ＋z c ，那么x 、y 、z 分别为*****、 12.函数y =(tanx －1)cos 2x 的最大值是*****、13.正整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，那么第60个数对是*****、〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分.〕14.〔坐标系与参数方程〕在极坐标中，圆ρ=4cos θ的圆心C 到直线ρsin (θ+π4 )=2 2 的距离为*****.15、〔几何证明选讲〕如下图，⊙O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4,BD =8，那么⊙O 的半径等于*****.三、解答题:〔本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕16.〔此题总分值12分〕数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +cn 〔c 是常数，n =1,2,3，……〕，且a 1，a 2，a 3成公比不为的等比数列、〔Ⅰ〕求c 的值；〔Ⅱ〕求{a n }的通项公式、 17.〔此题总分值12分〕△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量→m =(cos C 2 ,sin C2 )，→n =(cos C2 ,－sinC2 )，且→m与→n的夹角为3 .〔Ⅰ〕求角C的值；〔Ⅱ〕c=3，△ABC的面积S=4 33，求a+b的值.18.〔此题总分值14分〕某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周【一】周【三】周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学能够在规定期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也能够放弃任何一门科目的辅导讲座、(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否那么称为不满座)统计数据说明，各学科(Ⅰ)(Ⅱ)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望、19.〔此题总分值14分〕如图，在三棱锥V －ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC =BC =a ，∠VDC =θ(0<θ<π2 )〔Ⅰ〕求证：平面VAB ⊥平面VCD ；〔Ⅱ〕当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围、20.〔此题总分值14分〕焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心，1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称、〔Ⅰ〕求双曲线C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线通过M 〔－2，0〕及AB 的中点，求直线在y 轴上的截距b 的取值范围；〔Ⅲ〕假设Q 是双曲线C 上的任一点，F 1F 2为双曲线C 的左，右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程、 21.〔此题总分值14分〕函数f (x )是在〔0,+∞〕上每一点处可导的函数，假设)(x f x '＞f (x )在〔0，+∞〕上恒成立.〔Ⅰ〕求证：函数g (x )=f (x )x 在〔0,+∞〕上单调递增；〔Ⅱ〕当x 1＞0,x 2＞0时，证明：f (x 1)+f (x 2)＜f (x 1+x 2)；〔Ⅲ〕不等式ln (1+x )＜x 在x ＞－1且x ≠0时恒成立，证明： 122 ln 22+132 ln 32+142 ln 42+…+1(n +1)2 ln (n +1)2>n 2(n +1)(n +2) (n ∈N +).2018届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学答案【一】选择题：题号 12 3 4 5 6 7 8 答案 BACBDCDC1.解：由P ∩Q ＝{0}知，0∈P 且0∈Q .由0∈P ，得a 2log ＝0⇒a =1；由0∈Q 得b =0.故P ∪Q ＝{3,0,1}.选B .2.解：－i ＋1－i1 + i ＝－i －i ＝－2i .选A .3.解：由有a 1·a 19＝16，又a 1·a 19＝a 102，∴在正项等比数列中，a 10＝4. ∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64.选C .4.解：关于A ，由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的B直线，因此平行于平面β，因此A 正确.依照面面垂直的性质定理知，选项C 、D 正确.选B .5.解：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )、选D .6.解：当k =1时，曲线是圆，故D 错误、其余三个命题基本上正确的.选C .7.解：由得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1. 又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163，当且仅当2b a ＝a 2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，应选D .8.解：因方程方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解，故x =2应是其中的一个根，又f (2)＝1，故1+b +c =0⇒c =－(b +1),因此有，0)1()()(2=+-+b x bf x f ⇒[f (x )－1][f (x )+〔1+b 〕]=0⇒[lg |x －2|－1][lg |x －2|+〔1+b〕]=0⇒四个根为－8，12，2101,210111+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++bb⇒12345()f x x x x x ++++＝f (10)＝3lg 2,选C .【二】填空题:9.答案：18解：从1，3中取一个排个位，故排个位有12A 种方法；排百位不能是0，能够从另外3个数中取一个，有13A 种方法；排十位有13A 种方法。

广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析[精品]

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(文)试题(解析版)

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简，再由交集的定义求可得答案.【详解】解：1，，，故．故选：C．【点睛】本题主要考查集合交集的运算，先化简是解题的关键.2.已知i为虚数单位，若，则复数z的模等于A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【详解】解：由，得，则复数z的模等于．故选：D．3.设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：若成立，则表示与同向共线，即，故选：B．4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了月是空气质量最好的一个月月份的空气质量最差．A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：在中，1月至8月空气合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故正确；在中，第一季度合格天数的比重为：，第二季度合格天气的比重为：，第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，故正确；在中，8月空气质量合格的天气达到30天，是空气质量最好的一个月，故正确；在中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，故错误．故选：A．在中，1月至8月空气合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个；在中，分别求出第一季度合格天数的比重和第二季度合格天气的比重，能求出结果；在中，8月空气质量合格的天气达到30天；在中，5月空气质量合格天气只有13天．故选：A5.若函数是偶函数，则的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是偶函数，可得m=0，，可得其单调递增区间.【详解】解：是偶函数；；；的单调递增区间为．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的性质，单调性、奇偶性，根据是偶函数求出是解题的关键.6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为，故选：A．7.若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】解：由函数图象可得：，，对于A，，，正确；对于B，，错误；对于D，，错误；对于C，，错误．故选：A．8.若x，y满足约束条件，则的最小值为A. 0B. 2C. 4D. 13【答案】C【解析】【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象知当直线，经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由得，即，则，故选：C．9.等比数列中，，是关于x的方程的两个实根，则A. 8B.C. 4D. 8或【答案】B【解析】【详解】解：根据题意，等比数列中，有，，是关于x的方程的两个实根，则，，则，，则有，即，；故选：B．10.若函数有3个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：当时，由得，得或，此时有两个零点，若有三个零点，则等价为当时，有1个零点，由得作出函数的图象，由图象知，若只有一个零点，则或，即实数a的取值范围是，故选：B．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】解：由三视图知该几何体是一个四棱锥，在长方体中画出该四棱锥，如图所示；则，，，，四棱锥的表面积为：．故选：A．12.设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，，设点，由中点公式可得线段的中点，可得线段的斜率与的斜率之积等于，可得，可得e的范围.【详解】解：由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率，故，故选：C．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数在处的切线方程是______其中e为自然对数的底数【答案】【解析】【详解】解：求导函数，曲线在处的切线方程为，即故答案为：．14.已知双曲线C：的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的标准方程是______．【答案】【解析】【详解】解：设右焦点为，一条渐近线为，根据点到直线的距离公式，因为离心率，，解得，所以双曲线的方程为，故答案为：．15.等差数列的前n项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为______．【答案】【解析】【详解】解：等差数列的前n项和为，，，，，，，对一切恒成立，，，由函数的单调性及，知：当或时，最小，为30，，的取值范围为．故答案为：．16.体积为的正四棱锥的底面中心为O，SO与侧面所成角的正切值为，那么过的各顶点的球的表面积为______．【答案】【解析】【详解】解：如下图所示，取AB的中点E，连接OE、SE，过点O在平面SOE内作，垂足为点F，易知平面ABCD，，且平面ABCD，，，平面SOE，平面SOE，，，且，平面SAB，所以，SO与平面SAB所成的角为，设，正方形ABCD的边长为2x，且，在中，，，，则，所以，点O为四棱锥的外接球球心，正方形ABCD的面积为，所以，四棱锥的体积为，解得．所以，四棱锥的外接球的半径为．因此，该四棱锥外接球的表面积为．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题）17.已知a，b，c分别是锐角的内角A，B，C的对边，．求A；若，且AC边上的高为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【详解】解：因，故，，因为为锐角三角形，故A，B，C为锐角，，，．由的面积，．的周长为．18.如图，在三棱柱中，，，D为的中点，点C在平面内的射影在线段BD上．求证：平面CBD；若是正三角形，求三棱柱的体积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】证明：设点C在平面内的射影为E，则，平面且平面，平面，，在中，，，则，在中，，，则，故，故BD，，平面CBD．，由得平面，是三棱锥的高，是正三角形，，，，，三棱柱的体积：．19.为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：元度“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：每户每月用电量单位：电价单位：元度例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元．为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量单位：度为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380．（1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图；根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量同一组数据用该区间的中点值作代表；设某用户11月用电量为x度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请用x表示和，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于的用户带来实惠？【答案】（1）见解析（2）324度（3）的最大值为423，估计“阶梯电价”能给不低于的用户带来实惠．【解析】【分析】（1）根据题意写出频率分布表，画出频率分布直方图即可；（2）根据数据，同一组数据用该区间的中间值代表，计算11月的平均用电量即可；(3)可得，，由题列不等式，计算可得x的取值范围及x的最大值，同时可得时的频率，比较可得答案.【详解】解：频率分布表如下：频率分布直方图如下：该100户用户11月的平均用电量：度所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．，，由，得或或，解得，，的最大值为423．根据频率分布直方图，时的频率为：，故估计“阶梯电价”能给不低于的用户带来实惠．【点睛】本题主要考查频率分布表、频率分布直方图的相关知识及不等式的相关计算，综合性大，注意运算的准确性.20.已知动圆P与直线l：相切且与圆F：外切．求圆心P的轨迹C的方程；设第一象限内的点S在轨迹C上，若x轴上两点，，满足且延长SA、SB分别交轨迹C于M、N两点，若直线MN的斜率，求点S的坐标．【答案】（1）（2）的坐标为．【解析】【详解】解：设，动圆M与直线l：相切且与圆F：外切，，，，整理，得．圆心P的轨迹C方程为；设，由且得，SA的斜率和SB的斜率均存在，且互为相反数，设SA的斜率为，则直线SA的方程为，联立，消x可得，故，，即，，由于SB的斜率为，将中的k换成，得到N的纵坐标，故直线MN的斜率，故，此时，时，，的坐标为．21.已知函数若是的极值，求a的值，并求的单调区间．若时，，求实数a的取值范围．【答案】（1）的单调递减区间为，递增区间为．（2）【解析】【详解】解：函数的定义域为，函数的导数，若是的极值，则，即得，此时，由得，当时，，的取值变化为则的单调递减区间为，递增区间为．因为，，记，则，且，当，即时，，，，在上单调递增，故时，，则，则在上单调递增，故，符合．当，即时，则存在使得时，，此时，在上单调递减，当时，，不符合，综上实数a的取值范围是．22.已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．1求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；2设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【答案】（1）圆C的普通方程为直线l的直角坐标方程（2）【解析】【详解】解：Ⅰ圆C的参数方程为为参数，所以圆C的普通方程为由得，，，直线l的直角坐标方程Ⅱ圆心到直线l：的距离为由于M是直线l上任意一点，则，四边形AMBC面积四边形AMBC面积的最小值为23.已知函数，．若不等式有解，求实数a的取值范围；2当时，函数的最小值为3，求实数a的值．【答案】（1）（2）【解析】【详解】解：Ⅰ由题，即为．而由绝对值的几何意义知，由不等式有解，，即实数a的取值范围Ⅱ函数的零点为和1，当时知，如图可知在单调递减，在单调递增，，得合题意，即。

[精编试卷]广东省2019届高三上学期期末联考数学理试卷及答案解析

对于C，，所以选项C正确；对于D，取反例：【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题型.3.已知是等比数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求公比，再求,最后根据等比数列前n项和公式的结果.【详解】，，.，故,选C.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及通项公式,考查基本求解能力,属基础题.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.5.如图是一个算法流程图，若输入的值为，输出的值是，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用定积分先求出阴影部分的面积，再由几何概型的计算公式计算即可.【详解】阴影部分的面积，正方形面积为，所以所求概率为.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型.7.已知函数，R，先将图像上所有点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移个单位长度，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8.的展开式中常数项为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令 ; 令;故所求常数项为，故选C.【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求9.已知是边长为2的等边三角形边上的动点，则的值（）A. 有最大值B. 是定值C. 有最小值D. 与点的位置有关【答案】B【解析】【分析】先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．【详解】设===t则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t , +=+,•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故答案为：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起考查综合题，平时要多注意这方面的练习．10.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可.【详解】∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞）f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，本题选择B选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.设、分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合题意，计算出，结合两点距离公式，距离方程，用c表示m，结合，建立关于e的不等式，计算范围，即可。

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(文)试题(含精品解析)

【详解】，，故选D.【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等。

3.设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合题目式子，得出等价于非零向量与同向共线，即可。

【详解】等价于非零向量与同向共线，故选B.【点睛】本道题考查了向量共线判定，考查了充要条件判定,关键理解等价于非零向量与同向共线，难度中等。

4.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了③8月是空气质量最好的一个月④6月的空气质量最差A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【答案】A【解析】在A中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，故A正确；在B中，第一季度合格天数的比重为；第二季度合格天气的比重为，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B是正确的；在C中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的；在D中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的，综上，故选A.5.若函数是偶函数，则的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是偶函数，可得m=0，，可得其单调递增区间.【详解】解：是偶函数；；；的单调递增区间为．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的性质，单调性、奇偶性，根据是偶函数求出是解题的关键.6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得最终结果.详解：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C，由题意可知，可能的比赛为：Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共有9种，其中田忌可以获胜的事件为：Ba，Ca,Cb，共有3种，则田忌马获胜的概率为.本题选择A选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.7.若函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】代入特殊值法，分别代入，排除各个选项，即可。

【四校联考】广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学(理)答案

3x
2
tan 60 ……………………………11 分
x2
C54
1 x
4
3x
C52
1 x
2
25 ，答
案选 C.
uuur uuur uuur
9.如图， D 为边 BC 的中点， AP AB AC
uuur uuur AP 2AD
uuur 2 AP
uuur AD
uuur 2 2 AD
6
，答案选
B.
10.定义域
x
x
1 2
，
f
x 是定义域上的偶函数，排除
n r
A1P n
2
3 …………………10
2
3 2
2
33 2
2
1
2
分
解得 5 ……………………………………………………………………………………………11 分 6
所以存在满足要求的点 P ，且线段 PB 的长度为 5 .………………………………………………12 2
分方法二：传统法
由（1）知 A1D 平面 BCED ，因为 A1D 平面 A1BD ，
件为
4x y 10 18x 15y 66 ，目标函数为 z 10x 5y ，如图所示，
(2,2)
O
x
x N , y N
最优解为 2, 2 ，所以 zmax 10 2 5 2 30 .
15.设公差为
d
，则根据已知条件得到
32aa11
3d 15 14d 34
，解得
ad1
6.阴影部分的面积 S
4 0
cos x
sin
x dx
sin
x
cos x

广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考数学理试题

A. 0
B. 3
C. 5
D. 7
第二部分非选择题 (共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置上.
13.已知直线 ax y 1 0 与圆 C : x 12 y a 2 1 相交于 A ， B 两点，且 ABC 为等腰直
3.已知an是等比数列， a2

2
， a5

1 4
，则 a1a2

a2a3

a3a4

a na n1

A.16 1 4n
B.16 1 2n
32
C.
1 4n
3
32
D.
1 2n
3
4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的
几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设 A 、B 为
9.已知 P 是边长为 2 的等边三角形 ABC 边 BC 上的动点，则 AP AB AC 的值
A.有最大值 8
B.是定值 6
C.有最小值 2
10.函数
f
x

x
ex 4x2
ex 1
的部分图像大致是
D.与 P 点的位置有关
11.设
F1
、
F2
分别是椭圆
x2 a2

y2 b2
1（a
15.已知等差数列an的前 n
项和为
Sn
，且
S3
15 ，a7

a9

34
，数列
1 ห้องสมุดไป่ตู้ anan1

的前 n