挖掘问题隐含条件,缩小参数讨论范围

挖掘问题隐含条件，缩小参数讨论范围徐　开　（江苏省苏州大学附属中学　２１５００６）
在一些包含参数的数学问题中，由于要对参数的取值进行讨论，因此思维量和计算量均显得较大．如果我们能够善于观察发现题目中的隐含条件，从而缩小参数的取值范围，就能减少讨论的工作量，提高解题效率，让学生体验到解题的成功感．首先看２００８年江苏省高考数学第１４题：设函数犳（狓）＝犪狓３－３狓＋１（狓∈犚），若对任意狓∈［－１，１］，都有犳（狓）≥０成立，则实数犪的值为 ．
分析　由题意，需对函数犳（狓）的类型进行讨论．当参数犪＝０时，犳（狓）＝－３狓＋１为一次函数，不合题意（因犳（１）＝－２＜０，舍去）．当犪≠０时，犳（狓）是三次函数，因此需利用导函数犳′（狓）＝３犪狓２－３研究原函数犳（狓）在区间［－１，１］上的单调性．当犪＜０时，犳′（狓）＜０，故原函数犳（狓）在［－１，１］上单调递减，所以犳（狓）
ｍｉｎ＝犳
（１）＝犪－２＜０，不合题意，舍去；当犪＞０时，导函数犳′（狓）＝
３犪狓２－３的零点为狓＝±１
槡犪
，然后再对１
槡犪
与１的大小关系进行讨论（分０＜犪≤１和犪＞１两种情况），求犳（狓）在区间［－１，１］上的最小值，并令该最小值大于等于０后，解出参数犪的范围，最后求出犪的值．
上述求解过程尽管严谨，但是费时费力．稍加分析，我们发现可以先由题中隐含的关于参数犪的必要条件
犳（－１）≥０，
犳（１）≥０
｛，得－犪＋４≥０，
犪－２≥０
｛，即２≤犪≤４．在缩小了犪的范围后，
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
我们发现原函数
－２（狓２－１）－２狓＋１＜０，
２（狓２－１）－２狓＋１＜０
｛，得槡７－１２＜狓
＜槡３＋１
２
．
评注　本题显然不能用变量分离法，应采用
构造函数法，但构造函数时一定要选准自变量．学生习惯把狓作为自变量，而把犽看作常数，实质是没有真正理解自变量的含义．本题中狓范围的变化是由犽的变化引起的，把犽看做自变量，则狓为因变量．
例５　若不等式狓２－ｌｏｇ
犪狓＜０
在狓∈０，
（）１２时恒成立，求实数犪的取值范围．
解析　（构造函数法：借助图象）由题意知狓２＜ｌｏｇ犪狓在狓∈０，
（）１２时恒成立．令犳（狓）＝
狓２，犵（狓）＝ｌｏｇ犪狓，则
０＜犪＜１，
犳（）１２≤犵（）１２
烅
烄
烆
，
即
０＜犪＜１，
１４≤ｌｏｇ犪
１
２
烅烄烆
．
得１
１６
≤犪＜１．
评注　采用构造函数的方法时，若发现构造
一个函数解题比较困难，不妨试着去构造多个函数，或许就能找到突破口．
总的来看，对于题型２可优先采用变量分离法，若变量分离有困难，则可采用构造函数法来解答．
题型３　多个变元的恒成立问题
例６　已知实数犪，犫满足：关于狓的不等式狘狓２＋犪狓＋犫狘≤狘２狓２－４狓－１６狘对一切狓∈犚均成立．若对一切狓＞２，均有不等式狓２＋犪狓＋犫≥（犿＋２）狓－犿－１５成立，求实数犿的取值范围．解析　（赋值法）由题意知狘１６＋４犪＋犫狘≤０，
狘４－２犪＋犫狘≤０
｛，故１６＋４犪＋犫＝０，
４－２犪＋犫＝０
｛，得
犪＝－２，
犫＝－８
｛．经检验犪＝－２，
犫＝－
｛８符合题意，于是对一切狓＞２，均有不等式狓２－２狓－８≥（犿＋２）狓－犿－１５成立，即犿≤
狓２－４狓＋７
狓－
（）
１ｍｉｎ
．
令犳（狓）＝狓２－４狓＋７
狓－１
＝（狓－１）２－２（狓－１）＋４
狓－１
＝（狓－１）＋
４
狓－１
－２≥
２，当且仅当狓－１＝４
狓－１
，即狓＝３时等号成立，故犿≤２．
评注　题型３的解题思路是通过赋值法将题型３转化为题型１或题型２．
·
３
６
·
２０１５年第３期 中学数学月刊
犳（
狓）是三次函数，并且导函数的两个零点±１槡犪∈（
－１，１），因此犳（狓）的极小值犳１槡（）
犪＝１－２
槡
犪≥０，
由此解得犪≥４．又犪≤４，故犪＝４．这种解法充分利用了隐含条件，
缩小了参数犪的取值范围，降低了讨论的复杂性，给解题带来意想不到的方便，大大提高了解题速度，不失为一种好方法．
一般来说，根据参数出现的位置，大致可以通过以下几种途径尝试缩小参数的讨论范围．１　利用最值极值等约束条件缩小参数的范围
例１　（２０１３苏中四市第二次调研第１８题）
已知函数犳（狓）＝（犿－３）狓３＋９狓．（１）若函数犳（狓）在区间（－∞，＋∞）
上是单调函数，
求犿的取值范围；（２）若函数犳（狓）在区间［１，２］上的最大值为４，
求犿的值．分析　（１）过程略，犿≥３．（２）本题如果按常规做法，需要分两大类情况讨论，即分犿≥３和犿＜３进行讨论．当犿＜３时，又要分犿≤０，０＜犿＜９４和９４
≤犿＜３三种
情况进一步讨论．整个解题过程繁琐冗长，对于基本功不太扎实，运算能力稍显欠缺的学生来说，要想做对这一题还真不那么容易．
但是，稍加分析我们发现由题设“犳（狓）在区间［１，２］上的最大值为４
”可以得到犳（
１）≤４，犳（２）≤｛
４
这样一个必要条件，解得
犿≤－２，
从而缩小了参数犿的范围，大大减少了讨论的情况数（这样做就不需要再讨论）．接下来有犿－３≤－５，又狓∈［１，２］，所以狓２∈［１，４
］，从而犳′（狓）＝３（犿－３）狓２＋９≤－６＜０，所以犳（狓）在［１，２］上递减，所以犳（狓）ｍａｘ＝
犳（１）＝犿＋６＝４，解得犿＝－２．
说明　充分利用函数犳（狓）在区间［１，２］上的最大值这一条件，不仅缩小了参数犿的范围，而且水到渠成地得到了犳（狓）在该区间上的单调性，接下来犿的取值也就呼之欲出了．
２　利用函数的定义域收缩参数的范围
例２　已知集合犃＝｛狓狘（狓－２）（狓－３犪－１）＜０｝，函数狔＝ｌｇ２犪－狓狓－（犪２
＋１
）的定义域为集合犅，
若犃＝犅，求实数犪的值．分析　本题的集合犃＝｛狓狘（狓－２）（狓－３犪－１）＜０
｝中需要比较２和３犪＋１的大小，但是如果注意到集合犅非空，并结合２犪≤犪２
＋１且犪≠１这样一个隐含条件，可得２犪＜犪２＋１，故犅为（２犪，犪２
＋１），所以集合犃只能是（３犪＋１，２），所以２犪＝３犪＋１，
犪２
＋１＝２｛
，
犪＝－１．这样就免去了繁琐的讨论过程，
使得解题更为简捷，提高了解题的速度和正确率．
说明　挖掘题设中对数函数定义域的特征，
从而避免了对犪的取值情况的谈论．
３　利用函数值域的有关性质缩小参数的范围
例３　已知二次函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓（犪，犫为常数且犪≠０），满足条件犳（狓－３）＝犳（５－狓），且方程犳（狓）＝狓有等根．（１）求犳（狓）的解析式．
（２）是否存在犿，狀（犿＜狀），使犳（狓）的定义
域和值域分别为［犿，狀］和［３犿，３狀］？如果存在，求出犿，狀的值；
如果不存在，请说明理由．分析　（１）过程略，犳（
狓）＝－１２狓２
＋狓，狓∈犚．（２）因为犳（狓）＝－１２（狓－１）２
＋１２≤１２，
所以３狀≤１２，即狀≤１６，故犳（狓）＝－１２
（
狓－１）２
＋１２在［犿，狀
］上递增，所以犳（犿）＝３犿，犳
（狀）＝３狀｛
，即－１２
犿２＋犿＝３
犿，－１２
狀２
＋狀＝３
狀烅
烄烆．结合犿＜狀，得到
犿＝－４，狀＝０｛，故存在犿＝－４，
狀＝｛
０
满足题意．说明　本题在定义域、值域的端点出现了参数，由于犿，狀的取值范围未知，故定义域中的数与值域中的数的对应情况不确定，
也就是函数犳（
狓）在［犿，狀］上的单调性是解本题的关键．如果能发现３狀≤犳（狓）ｍｉｎ＝１２
这一重要信息，进一步得到犳（狓）在［犿，狀］上单调递增，问题就大大简化，从而不需要漫无目的地去讨论犳（狓）在［犿，狀］上的单调性．
类似的题目在近年来各地的高考和高三模拟试题中屡有出现．如果考生能够抓住题目中一些隐含条件，
比如关于定义域、值域的条件或者其他有关函数相关性质的约束条件，缩小参数的范围，则能简化讨论的情况，从而提高解题效率和解题的正确率，不失为一种好的方法．
·４６· 中学数学月刊 ２０１５年第３期。