压力容器应力分析_典型圆平板分析
08_压力容器应力分析_典型圆平板分析
3 ( 3 + μ ) pR 2 pR 2 σ r r =0 = σ θ r =0 = ≈ 1.238 2 2 t t 8 2 2 pR pR 3 σ θ r = R = (1 μ ) 2 ≈ 0.525 2 , σ r r = R = 0 t t 4
周边固支和周边简支对圆平板刚度和强度的影响 ① 对挠度的影响 两种支承条件下,板内最大挠度的比值为
2.4 平板应力分析
求解思路:
2.4.3 圆平板中的应力
2.4.3 圆平板中的应力
d 1 d dw Qr r dr r dr = D′ dr Solution of Qr = Qr (r) Boundary Conditions for Circular Plate
dw w = w(r ) → = → ( M θ , M r ) → (σ θ , σ r ) dr → (σ θ max , σ r max )
2.4.3 圆平板中的应力
弯矩在板内的分布如图所示
r = R, pR 2 M θ = -μ 8 pR 2 M r = 8
最大周向弯矩出现在板的中央处,而最大径向弯 矩出现在板的边缘处.此外,弯矩为负的含义表明其 方向与当初规定的方向相反(见图2-29).
2.4 平板应力分析
应力分布公式为
② 周边简支时,挠度方程为 P 3+ μ 2 2 r 2 w= R r + 2r ln R 16π D′ 1 + μ
(
)
wmax
3 + μ PR 2 r =0 = 1 + μ 16π D′
2.4 平板应力分析
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 中心开有圆形孔的圆平板称为"环板".以周边 简支,内周边承受均布力矩的环板分析为例.
第2章 压力容器应力分析
郑州大学化工与能源学院
过程设备设计
2.2.5 回转薄壳的不连续分析
图2-12 组合壳
图2-13 连接边缘的变形
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2.2.5 回转薄壳的不连续分析
w1 w2
1 2
Q M 0 w1p w1 0 w1M 0 w2p wQ2 w2 0 Q M 1p 1Q 1M 2p 2 2
图2-11 储存液体的球壳
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过程设备设计
2.2.4 无力矩理论的应用
三、无力矩理论的 应用条件 为保证回转薄壳处于薄膜状态，壳体形状、 加载方式及支承一般应满足如下条件： 1、几何形状、载荷、材料连续； 2、壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭 矩作用。 3、壳体的边界处的约束沿经线的切线方向， 不得限制边界处的扭角与挠度。
第2章 压力容器应力分析
第2.2节
回转薄壳应力分析
过程设备设计
第2-2节 回转薄壳应力分析
压力容器的各种壳体，多属于回转薄壳。 壳体—以两个曲面为界，且曲面之间的距 离远比其他方向尺寸小得多的构件。 壳体的厚度—两曲面之间的距离，用“t或 δ”表示。 壳体的中面—与壳体内、外两个曲面等距 离的曲面。
过程设备设计
第2章
压力容器应力分析
第2章 压力容器应力分析
第2.1节 载荷分析
过程设备设计
第2-1节 载荷分析
载荷：能够在压力容器上产生应力、 应变的 因素，如：压力、风载荷、地震载荷等。 2.1.1 载荷分类：压力载荷和非压力载荷。 1、压力载荷：它是压力容器承受的基本载荷。 一般采用表压。 压力容器中的压力载荷主要来源有： ①泵或压缩机； ②液体膨胀或汽化； ③饱和蒸汽压。 (另外，液体重量产生液体静压力) 压力容器上的压力，可能是内压、外压或两 者都有。
第二章压力容器应力分析
《过程设备设计基础》教案2—压力容器应力分析课程名称：过程设备设计基础专业：过程装备与控制工程任课教师：第2章 压力容器应力分析§2-1 回转薄壳应力分析一、回转薄壳的概念薄壳：（t/R ）≤0.1 R----中间面曲率半径 薄壁圆筒：（D 0/D i ）max ≤1.1~1.2 二、薄壁圆筒的应力图2-1、图2-2 材料力学的“截面法”三、回转薄壳的无力矩理论1、回转薄壳的几何要素（1）回转曲面、回转壳体、中间面、壳体厚度 * 对于薄壳，可用中间面表示壳体的几何特性。
tpD td pR tpD Dt D p i 22sin 24422====⨯⎰θπθϕϕσσαασπσπ（2）母线、经线、法线、纬线、平行圆（3）第一曲率半径R1、第二曲率半径R2、平行圆半径r（4）周向坐标和经向坐标2、无力矩理论和有力矩理论（1）轴对称问题轴对称几何形状----回转壳体载荷----气压或液压应力和变形----对称于回转轴（2）无力矩理论和有力矩理论a、外力（载荷）----主要指沿壳体表面连续分布的、垂直于壳体表面的压力，如气压、液压等。
P Z= P Z（φ）b、内力薄膜内力----Nφ、Nθ（沿壳体厚度均匀分布）弯曲内力---- Qφ、Mφ、Mθ（沿壳体厚度非均匀分布）c、无力矩理论和有力矩理论有力矩理论（弯曲理论）----考虑上述全部内力无力矩理论（薄膜理论）----略去弯曲内力，只考虑薄膜内力●在壳体很薄，形状和载荷连续的情况下，弯曲应力和薄膜应力相比很小，可以忽略，即可采用无力矩理论。
●无力矩理论是一种近似理论，采用无力矩理论可是壳地应力分析大为简化，薄壁容器的应力分析和计算均以无力矩理论为基础。
在无力矩状态下，应力沿厚度均匀分布，壳体材料强度可以得到合理的利用，是最理想的应力状态。
（3）无力矩理论的基本方程a、无力矩理论的基本假设小位移假设----壳体受载后，壳体中各点的位移远小于壁厚。
考虑变形后的平衡状态时壳用变形前的尺寸代替变形后的尺寸直法线假设----变形前垂直于中面的直线变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面。
压力容器应力分析
载荷
2.1.1 载荷
压力（包括内压、外压和液体静压力）
非压力载荷 载荷
重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 支座反力 吊装力
整体载荷 局部载荷
压力容器
应力、应变的变化
上述载荷中，有的是大小和/或方向随时间变化的交 变载荷，有的是大小和方向基本上不随时间变化的静载荷
压力容器交变载荷的典型实例：
分析载荷作用下压力容器的应力和变形， 是压力容器设计的重要理论基础。
●2.1 载荷分析
2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工 况
●2.2 回转薄壳应力分析
●2.3 厚壁圆筒应力分析 ●2.4 平板应力分析 ●2.5 壳体的稳定性分析 ●2.6 典型局部应力
2.2.1 薄壳圆筒的应力 2.2.2 回转薄壳的无力矩理论 2.2.3 无力矩理论的基本方程 2.2.4 无力矩理论的应用 2.2.5 回转薄壳的不连续分析
a.正常操作工况：
容器正常操作时的载荷包括：设计压力、液体静压力、重力 载荷(包括隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管 系及支承在容器上的其他设备重量)、风载荷和地震载荷及 其他操作时容器所承受的载荷。
b. 特殊载荷工况
特殊载荷工况包括压力试验、开停工及检修等工况。 制造完工的容器在制造厂进行压力试验时，载荷一般包括试 验压力、容器自身的重量。
有力矩理论或 弯曲理论 （静不定）
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。 因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小， 其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可 以代表薄壳的应力和变形。
二、无力矩理论与有力矩理论 平行圆
j
j
jq
Nq
q
qj
第五章--压力容器的应力分析
2021/3/11
2
压力容器概述
2021/3/11
3
薄壁壳体
化工生产中常用的中低压容器属于回转薄壁壳体结
构
薄壁：(R)max
110或K1.2KR R0i ，其中内径D
i 、中径
D
、
外径 D 0 ；
厚壳： 1 ,K 1.2
壳体是一种以两个曲面为
界，且曲R面之10 间的距离（壁厚）远比其它方向尺寸
不挤压假设：各层纤维变形前后互不挤压。
2021/3/11
39
5.2.1.2无力矩理论基本方程式：
无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略 了弯矩的作用，此时应力状态和承受内压的
薄膜相似，又称薄膜理论。
平衡方程： 区域平衡方程
m p R1 R2
2021/3/11
19
按应用情况
反应压力容器（Ｒ）完成物理、化学反应，如反应 器、反应釜、分解锅、聚合釜、变换炉等；
换热压力容器（Ｅ）热量交换，如热交换器、管壳 式余热锅炉、冷却器、冷凝器、蒸发器等；
分离压力容器（Ｓ）流体压力平衡缓冲和气体净化 分离，如分离器、过滤器、缓冲器、吸收塔、干燥 塔等；
5
压力容器特点之二：工况条件复杂
压力容器的操作条件十分复杂，甚至近于苛刻。 压力从1～2×10-5Pa的真空到高压、超高压，如石 油加氢为10.5～21.0 MPa；高压聚乙烯为100～ 200 MPa；合成氨为10～100 MPa；人造水晶高达 140 MPa；温度从-196℃低温到超过1000℃的高 温；而处理介质则包罗爆、燃、毒、辐(照)、腐(蚀)、 磨(损)等数千个品种。操作条件的复杂性使压力容 器从设计、制造、安裝到使用、维护都不同于一般 机械设备，而成为一类特殊设备。
压力容器应力分析-典型圆平板分析
（1）承受均布载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r22()2r r r r Q p rpr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：根据图2-29(c)来确定右图中剪力的符号。
将上述边界条件代入（2－63）式中，求得)µ+最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。
此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。
类似于上述方法，可得到挠度方程板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下()()()222222338(269)33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内最大拉应力在板的下表面中央部位处。
薄圆平板应力特点①板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。
②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。
③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。
（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r2()2r r r r Q PP Q Q r rππ⋅===()r r Q Q r =中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。
以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。
122123()0102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。
11,,00r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。
压力容器应力分析平板应力分析
C1
pR2 8D
,
C3
pR 4 64 D
代入式（2-63）
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw pr R 2 r 2
dr 16D
w p R 2 r 2 2 64 D
（2-64）
压力容器应力分析平板应力分析
25
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）， 便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-66）
26
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面，即 rmax34ptR22
图2-34a周边固支圆平压板力容的器弯应力曲分析应平力板应分力分布析 （板下表面） 27
2.4 .3 圆平板中的应力
2. 周边简p支圆平板
28
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
弯矩表达式：
Mr
p 3 R2
16
r2
M
p R23r213
16
（2-68）
应力表达式：
r
3 p3R2
8t2
r2
（2-69）
3 p 8t2
R23r213
压力容器应力分析平板应力分析
29
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处，
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
第二章压力容器应力分析24
dw ?
dr
?
dd2rw2 ????
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M? 表
示成 ? 的形式。由式（2-57）可见，? r 和? ? 沿着厚度（即
?
dw ??
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
?r
?
?
z
d2 dr
w
2
??
?
?
z dw r dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
?r
?
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d?
r
r+dr
r
d?
o y
z
d?
Qr+
dQr dr
dr
P M?
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M?
t
Qr dr
c.
P M?
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
圆板受力分析
第10章压力容器的弯曲应力和二次应力本章重点内容及对学生的要求：（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。
第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、承受均布载荷圆形平板的变形承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。
图1 承受均布载荷的圆平板变形2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。
周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：2max ,0,023(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+=== （1） 对于化工用钢，0.3μ=，则：2max 21.24pR σδ= （2）对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为： 2max 20.75pR σδ=± （3）上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。
3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论上面两个式（1）与（3）可以统一为：2max 2pD K σδ= （4）其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；对于周边固支圆平板：0.188K =。
为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：max 222D pD D K K θσσδδδ== （5） 可见圆平板的应力是圆柱体的2D K δ倍，此值非常大。
第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、边界应力产生的原因当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。
以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。
07_压力容器应力分析_平板应力分析
2.4.1 概述
2.4.1 概述
（1）板与壳
[qiào]
板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较 其它两个方向的尺寸小的多。但是，板和壳的不同点在 于，其初始形状分别为平板和曲面。板壳结构是工程中 最常用的结构之一，圆平板是容器封头的形式之一。
（2）板的分类 ① 按形状分
石油化工设 备中，圆平板使 用场合较多。
互不挤压假设 － 薄板的各层纵向纤维变形前后均互 不挤压。（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力，
ϭz =0）
上述假设，又称为 Kirchoff 假设,是下面对圆薄板 进行力学分析的基础。
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 在弹性力学里，对于静不定问题，通过位移法，由 平衡方程、几何方程和物理方程，推导出以挠度位移w 为自变量的园平板弯曲变形微分方程 w f (r ) 。 （1）平衡方程 微元体的取出：一对相距 dr 的圆柱面；一对相差 dθ 的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为 t ）。 微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和 剪力；根据轴对称性，只有剪力Qr存在， Qr 对应的剪 应力为 rz ；此外，微元表面有外力 pz。 上述内力(弯矩及剪力)均为单位长度上的内力， 其单位可表示为 N· M / M和N / M， pz单位为MPa。
12M r z r 3 t 12M z 3 t
显然上式中， z
(2 59)
t 时，弯曲应力最大。 2
(2-58)式是由几何方程和物理方程得到的，将 (2-58)式代入平衡方程(2-54)式，整理得
2.4 平板应力分析
圆板受力分析[策划]
![圆板受力分析[策划]](https://img.taocdn.com/s3/m/7e38f483dc88d0d233d4b14e852458fb770b38ba.png)
第10章压力容器的弯曲应力和二次应力本章重点内容及对学生的要求：（1）掌握圆平板受均布载荷时的弯曲应力的分布规律以及对弯曲应力的限制；（2）了解边界应力的产生原因和性质以及对二次应力的限制。
第一节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、承受均布载荷圆形平板的变形承受均布载荷的圆形平板变形后的宏观示意图如图1所示。
图1 承受均布载荷的圆平板变形2、径向弯曲应力与环向弯曲应力的分布规律及最大值当板的上表面承受均布载荷时，板下表面所产生的最大弯曲应力沿半径的变化情况如图2所示。
周边简支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的中心处，其值为：2max ,0,023(3)()()8M r r M r pR θμσσσδ==+===（1）对于化工用钢，0.3μ=，则：2max 21.24pR σδ= （2）对于周边固支、承受均布载荷的圆平板，最大弯曲应力出现在板的四周，其值为：2max 20.75pR σδ=± （3）上述公式中的“—”代表圆板上表面的应力，带“＋”表示的是下表面的应力。
3、弯曲应力与薄膜应力的比较与结论上面两个式（1）与（3）可以统一为：2max 2pD Kσδ= （4）其中K 为系数，对于周边简支圆平板：0.31K =；对于周边固支圆平板：0.188K =。
为了与同直径，同厚度的圆柱形壳体所产生的薄膜应力进行比较，将（4）写成：max 222D pD DK Kθσσδδδ==（5）可见圆平板的应力是圆柱体的2DKδ倍，此值非常大。
第二节圆形平板承受均布载荷时的弯曲应力1、边界应力产生的原因当设备相邻两段性能不同，或所受温度或压力不同，导致两部分变形量不同，但又相互约束，从而产生较大的剪力与弯矩。
以筒体与封头联接为例（图3），圆柱筒身与较厚的平板封头相连接在一起，承受内压时筒身要向外胀大，而平板型封头对其有一个约束作用，平板在内压下发生的是弯曲变形，直径不会增大，所以筒体与封头在连接处所出现的这种自由变形的不一致，必然导致在这个局部的边界地区产生相互约束的附加内力，即边界应力。
2、压力容器应力分析
将R1、R2代入混合方程得：σθ=2σφ
代入区域方程得：
pr ， 2t cos
则
pr
t cos
可见：① 平行圆半径 r 越小，应力σφ、σθ也越小，锥顶处应力
为零
② 倾角α越小，应力σφ、σθ也越小，α=0时，与圆筒应
力相同，α=90°时，与平板应力相同
18
压力容器应力分析
p 2t
[a 4
x2 (a2 b
b2 )]1/ 2
p 2t
[a4
x2 (a2 b
b2 )]1/ 2 [2 a 4
a4 x2 (a2
b2 )]
二式称为胡金伯格方程
21
由胡氏方程看出：
压力容器应力分析
① 椭球壳上各点的应力不相等
在壳体极点处(x
0,
y
0),
R1
R
2
a2 b
,
pa 2 2bt
在壳体赤道处(x
a,
y
0), R1
b2 a
,R2
a,
pa 2t
,
pa t
(1
a2 2b2
)
② 椭圆长短轴之比a/b影响壳体应力
当a/b=1（实为球壳）时，最大应力为圆筒壳σθ的一半，a/b越大，椭球 壳的应力也越大
③ 经向应力σφ在任何a/b值下均为拉应力， σφ在极点最大，在赤道最小 环向应力σθ在a/b< 时为2 拉应力。在a/b> 时为2 压应力，此时有可能 导致大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲，应加大壁厚或采用环状加
第二章第二节圆平板中的应力
(σ )
f r max
3 pR 2 = 4t 2
（2-78） ）
(σ )
s r max
µ ≈ 0 .3
s (σ r )max f (σ r )max
=
3. 3 = 1.65 2
这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。 这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。
第二章 中低压容器的规则设计
（2-72）
最大应力： 最大应力： 在r=0处 处
（2-73）
第二章 中低压容器的规则设计
Et 3 D= 12 1 − µ 2
(
)
注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、 注意：最大挠度和最大应力与圆板的材料、半 厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定， 径、厚度有关，因此，若构成板的材料和载荷一定，减 小半径或增加厚度都可以减小挠度和最大正应力。 小半径或增加厚度都可以减小挠度和最大正应力。当圆 板的几何尺寸和载荷一定，则选用E、 较大的材料可 板的几何尺寸和载荷一定，则选用 、µ较大的材料可 减小最大挠度值，然而最大应力只与（ 减小最大挠度值，然而最大应力只与（3+µ）成正比， ）成正比， 无关， 与E无关，故改变材料并不能获得有利的应力状态。 无关 故改变材料并不能获得有利的应力状态。
s wmax
(5 + µ ) pR 4 = （2-68） ） (1 + µ ) 64 D
f wmax
pR 4 = 64 D
（2-75） ）
s wmax 5 + 0.3 = = 4.08 f wmax 1 + 0.3
(钢材：µ = 0.3)
这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。 这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。
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（1）承受均布载荷时圆平板中的应力
板内剪力求解：
如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r
2
2()2r r r r Q p r
pr Q Q r ππ⋅=⋅==()r r Q Q r =注意：
根据图2-29(c)来确定
右图中剪力的符号。
将上述边界条件代入（2－63）式中，求得
)µ+
最大周向弯矩出现在板的中央处，而最大径向弯矩出现在板的边缘处。
此外，弯矩为负的含义表明其方向与当初规定的方向相反（见图2-29）。
类似于上述方法，可得到挠度方程
板的上(负号)、下(正号)表面的应力分布如下
()()()222222338(269)
33(13)8r p R r t p R r t θσµσµµ⎧=+−⎪⎪−⎨⎪⎡⎤=+−+⎣⎦⎪⎩∓∓可见，板内
最大拉应力在板
的下表面中央部
位处。
薄圆平板应力特点
①
板内为两向纯弯曲应力，忽略z 方向的应力σz 和剪力Q r 引起的剪应力τ。
②板内的弯曲应力沿径向的分布形式与周边支承形式有关，工程实际中的支承形式介于固支和简支之间。
③在同等条件下，板内的最大应力要远大于薄壳内
的应力，故板的厚度要比薄壳厚度大。
（2）承受集中载荷时圆平板中的应力板内剪力求解：
如图，选取任意位置r 处的圆平板进行受力分析，建立轴向平衡式，可求得Q r
2()2r r r r Q P
P Q Q r r
ππ⋅===()r r Q Q r =
中心开有圆形孔的圆平板称为“环板”。
以周边简支，内周边承受均布力矩的环板分析为例。
122123()0
102ln 4r r Q Q r d d dw r dr r dr dr C C dw r dr r C r w r C C R ϕ==⎡⎤⎛⎞=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦
⎧=−=+⎪⎪⎨⎪=−−+⎪⎩
2.3.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
如图所示环板，须注意与上述例子的不同在于，只是边界条件有所不同。
11
,,00
r r r R M M r R M and w ==−===Boundary Conditions:
这样，我们就可以对许多类似的问题进行求解。
下面举二例，并给出答案，由同学课下去做。
工程应用中的圆板受力要复杂的多，我们在解决这类实际问题时往往采用线性叠加的方法。
当然，这种线性叠加的前提是圆板受力在线弹性范围内。
2.3.5 圆板承受复杂受力求解思路
例1 周边简支内周边固支
且承受集中力P
()11
01
1220r R r R P Q R πϕϕϕ====+=
由(b)、(c)两种情形分别求出，根据其和为零，得到弯矩。
这样由
(b)、
(c)两种典型解的线性叠加，得到(a)的复杂解。
12,ϕϕ1M 例2 周边简支并承受均布载荷的环板(a)看做由(b)和(c)叠加而成，下面求M r 和Q r 。
这样，叠加图中的弯矩和剪力方向与此正好相反。
2
11
1
122122
By Eq.(2-68), when ,we find
(3)()16r r r R Q p R pR Q r R p
M R R ππµ====+−
最终的叠加方案如下图所示。
2.3 平板应力分析 2.
3.5 圆板承受复杂受力求解思路例3 法兰盘开孔接管结构。