2010年“北约”自主招生数学试题及解答
2010北约 高校自主招生数学试题及解答
一、解答题 1．（文）02απ<<，求证：sin tan ααα<< 2.AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB3. AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值4. 已知OA 与OB 夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围 5.（理）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列． ##Answer##1.【简解】不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
2.【解析】以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．如图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ．I H GFE 1111x x-1易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =．由角平分线定理知111EF EH x FGx HG ===-．解得x =3.【解析】不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；①BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---．对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -．于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有33691111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s∆=++=++++++1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅( ④又由当12x a x b s ==-=时，③，④处的等号均可取到． ∴min ()ECD S ∆=4.【简解】不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ．5.【简解】不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x xx x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！。
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
“北约”自主招生数学试题及解答2010
1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分）3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
《全国重点高校自主招生备考指南·华约+卓越联盟版》《全国重点高校自主招生备考指南·北约版》（含复旦千分考）政政策策、、选选校校、、笔笔试试、、面面试试，，一一本本全全搞搞定定！！⊙细致分析政策信息，解答历年考生的常见问题⊙教你锁定目标高校，汇编盟内高校的关键信息⊙参照历年真题的题型、知识分布、难度范围，编制仿真模拟卷，供你冲刺练兵⊙指点面试要津，列举面试真题、模拟题，助你顺利闯过最后关卡《名牌大学自主招生高效备考》(高三学生适用)为为优优秀秀高高中中生生量量身身定定制制，，分分学学科科深深入入导导航航⊙分学科侧重补充中学教材上未涉及的但在自主招生笔试中经常考到的重要知识⊙以清华北大复旦交大等校的历年考题为例展示这些知识和原理的运用⊙辅以一线教师精选的试题供参加自主招生考试的学生训练使用11《名牌大学自主招生同步辅导》(高一、高二学生适用)⊙按照学科，又分上下册 ⊙每册书大体按小专题(讲)编写，次序与学校教学内容的次序大体相同，上册内容紧扣高一教材，下册内容紧扣高二教材。
北约自主招生数学题及解答
北约自主招生数学题及解答∎1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x 2=2(9+25)，x 2=32，∴x=4√2。
∎2求过抛物线y =2x 2−2x −1，y =−5x 2+2x +3交点的直线方程。
解：{y =2x 2−2x −1y =−5x 2+2x +3，{5y =10x 2−10x −52y =−10x 2+4x +6，7y=−6x+1，∴6x+7y −1=0为所求。
∎3、等差数列a 1,a 2,⋯满足a 3=−13，a 7=3，这个数列的前n 项和为S n ，数列S 1,S 2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
解：d=a 7−a 37−3=164=4，∴a 1=−21，S n =2n 2−23n ，当n=234，即n=6时S n 最小，最小为−66。
∎4、∆ABC 的三边a,b,c 满足a+b ≥2c ，A,B,C 为∆ABC 的内角，求证：C ≤60°。
解：ab ≤(a+b 2)2，cosC=a 2+b 2−c 22ab=(a+b)2−2ab−c 22ab≥(a+b)2−c 2(a+b)22−1=1−2c 2(a+b)2≥1−2c 24c 2=12，所以C ≤60°。
∎ 5、是否存有四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？解：设存有四个正实数分别为a<b<c<d ，依题意：ab=2，ac=3，ad=5，bc=6，bd=10，cd=16，∴a 2bc =6，∴a =1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存有。
或解：∵abcd=32，而(abcd)3=1800×16，不满足，故不存有。
∎6、C 1和C 2是平面上两个不重合的固定圆，C 是该平面上的一个动圆，C 和C 1，C 2都相切，则C 的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -；4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2012年自主招生北约联考数学试题解答2013年北约自主招生数学试题解析12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e不全为0，则：420(42)(2020a c eg a c e b db d++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c=-+----+++++702320a b c d ea b c d+---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb da b c d ea b c da b c++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d++-=（6）由（6）+（2）得：1130a b c++=（7）由（6）+（4）得：13430a b c++=（8）由（7）-（5）得：0a=，代入（7）、（8）得：0b c==，代入（1）、（2）知：0d e==.于是知0a b c d e=====，与,,,,a b c d e不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1-和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
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答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
2010年北京大学自招笔试题(精)
2010年北京大学自主招生保送生笔试考试试题数学（理）1、已知A、B为正五边形两顶点，求证：AB的长不超过。
2、在平面直角坐标系o-xy中，A、B为抛物线C: y=1-x2上两点，分别在y轴两侧。
求过A、B的曲线C的切线与x轴所围成三角形的面积的最小值。
3、已知|A|=2,|B|=1,<A,B>=θ,P=tA,Q=(1-tB.令f(t=|Q-P|，则当t=t o时f(t取最小值。
若0 o <，求θ 范围。
4、若0<θ<，sinθ、cosθ、tanθ、cotθ能否按一定顺序构成等差数列?Answer：1、证略；2、S min=；3、；4、不能。
物理1、光滑水平轨道上有两个小球，分别以V、0.8V向左、右运动，中间有两个用轻质弹簧连接的小球1、2，质量分别为m、2m（小球1在左，小球2在右）。
此时弹簧有弹性势能E P，现松开弹簧释放小球1、2：(1求两球分离时的速度；(2若中间两球追不上左右两边的球，求m取值范围。
2、 (1斜抛运动，初速V，与地面夹角θ，求落地点与抛出点位移S；(2光滑平面上质量为M的人手握质量为m的球，使之以V O相对人抛出，球的落地点与抛出点相距L。
求V O最小值，以及此时V O与地面夹角大小。
3、地面上有一棱长为b、质量为m的立方体ABCD-A’B’C’D’（A’B’C’D’在下）。
现有一个力F垂直作用在棱AB上使立方体分别垂直AB向前、后滚动，则F最小为多少？对应的地面摩擦因素最小分别为多少？4、某理想气体经历循环过程ABC，其中AB为等温膨胀过程，BC为等压压缩过程，CA为等容升压过程。
(1哪个过程对外做功的绝对值最大？(2哪个过程气体内能增大，哪个过程气体内能减少？(3哪个过程气体吸热的绝对值最大？5、正四面体电阻网络，每个棱长的阻值均为R，求任意两顶点AB间的电阻大小。
6、空间中有磁场|B|=0.5T，垂直B的平面上有一Π形导轨，“-”上有一电阻R=0.3Ω，有一有效长度为L=0.7m的导体棒以V=0.4m/s沿导轨向下运动：(1求动生电动势E；(2求R消耗的电功率大小；(3需要多大的力才能使导体棒维持匀速运动。
“北约”“华约”自主招生数学模拟试题带答案.doc
2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题数学（满分150分）第一部分：填空题（共5小题 每题10分）1. 若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= 1 .2. 在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 .3. 设8219)22015()22015(+++=x ，求数x 的个位数字.4. 设{|100600,}A n n n N =≤≤∈，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______70_______.5. 设P 是抛物线2440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 9y ²-12x-4=0 . 第二部分：解答题（共5小题 每题20分）1设集合()12log 32A x x ⎧⎫⎪⎪=-≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，21a B x x a ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭．若A B ≠∅，求实数a 的取值范围-1≤a ＜0或0＜a ≤32. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P )(+∈N P 条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12-P 个3. 设平面向量(3,1)a =-,13(,2b =.若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-, 使向量2(tan 3)c a b =+-,tan d ma b θ=-+,且c d ⊥.(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.4. 已知双曲线的两个焦点分别为1F ,2F ,其中1F 又是抛物线24y x =的焦点,点A (1,2)-, B (3,2)在双曲线上.(I)求点2F 的轨迹方程; (II)是否存在直线y x m =+与点2F 的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m 的值,若不存在,请说明理由.5. 已知a ，b 均为正整数，且,sin )(),20(2sin ,2222θπθθn b a A b a ab b a n n ⋅+=<<+=>其中求证：对一切*N ∈n ，n A 均为整数参考答案一、 选择题1. 由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21cos 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==. 2. 设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b ab a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-. 3. 直接求x 的个位数字很困难，需将与x 相关数联系，转化成研究其相关数. 【解】令])22015()22015[(,)22015()22015(82198219+++=+-+-=y x y 则 ])22015()22015[(8219-+-+，由二项式定理知，对任意正整数n.)2201515(2)22015()22015(22 +⋅⋅+=-++-n n n n n C 为整数，且个位数字为零.因此，x y +是个位数字为零的整数.再对y 估值， 因为2.0255220155220150=<+=-<， 且1988)22015()22015(-<-， 所以.4.02.02)22015(201919<⨯<-<<y 故x 的个位数字为9.【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题.4. 解：被7除余2的数可写为72k +. 由100≤72k +≤600.知14≤k ≤85.又若某个k 使72k +能被57整除，则可设72k +=57n . 即5722877n n k n --==+. 即2n -应为7的倍数. 设72n m =+代入，得5716k m =+. ∴14571685m ≤+≤. ∴m =0,1.于是所求的个数为70．5. 设点P 00(,)x y ,M (,)x y ,有0203x x +⨯=,02(1)3y y +⨯-=,得03x x =,032y y =+ 而2000440y y x --=,于是得点M 的轨迹方程是291240y x --=.二、 解答题1. 解：{}13A x x =-≤<，()(){}30B x x a x a =--<． 当0a >时，{}03B x a x a =<<<，由AB ≠∅得03a <<； 当0a <时，{}30B x a x a =<<<，由A B ≠∅得1a >-； 当0a =时，{}20B x x =<=∅，与AB ≠∅不符． 综上所述，()()1,00,3a ∈-2. 证明：假设该校共有m 个班级，他们的建议分别组成集合m A A A ,,,21 。
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题1. 圆心角为3π的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()(),(1)1,(4)733a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6. 22()arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 一、求证：tan3Q ∉二、已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.三、1213,a a a 是等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,23是否同在M 中，并证明你的结论.四、()01,2,,i x i n >=，且11n i i x ==∏，求证1)1)nn i i x =≥∏.答案1．π7； 2．2100； 3．4027)2024(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan解：若Q aab Q a ∈-=︒=⇒∈=︒2126tan 3tan ，Q ab b a c ∈-+=︒=⇒19tan Q bc cb d ∈-+=︒=⇒115tan 52518tan 41518sin 2-=︒⇒-=︒ 于是Q d d ∈-=⇒=-=︒233215tan ，从而矛盾。
二．实系数二次函数)(),(x g x f ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，)(x f 有两相异根，求证：)(x g 无实数根。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
形
＝
舞ＡＣＢＡＢＡ慧ＣＢ麓ＡＣ ＝／缓二Ｃ
。，
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Ｄｋ
：：：．？日 ＼、Ｅ。．・。
＼Ｉ，・’
，‘１
．。．
ＢＡ 。，
。
口２丁，６２丁，
．ａｌ一口２
ｂＩ—ｂ２
Ｂ Ａ ＋￡ Ａ Ｂ Ｃ ＋￡Ｃ ．，二 Ｃ
即证｛一（口Ｉ＋口２＋ｂＩ＋６２）一（口ｌ＋ｄ２＋口，＋
ａ 口ｌ ａ 口２
２丁＋口，
２丁一口＇
【百１８９】＋１＝１３分，而北方最高分的最大值为６＋ｎ
万方数据
１４
中’？善ｉ：．７（２００ｓ年第２期・高中版）
南方球队内部比赛总得分ＣⅢ２
，１２
・解题研究・
＝１３６，
一ｌ＝１１分＜１３分，
．・．
冠军在南方队
北方球队内部比赛总得分ｃ２＝２８，
北方胜南方得分＝３０—２８＝２， 北方球队最高得分＝７＋２＝９， 因为９×１７＝１５３＜２７０， 所以南方球队中至少有一支得分超过９分． 冠军在南方球队中．综上所述，冠军是一支南方 球队． 点评这道试题要注意突破口的选择，也需要 耐心和比较强的推理、分析能力． ５．（理科）０一ｘｙｚ坐标系内ｘｏｙ平面系内０≤，，≤ ２一石２绕），轴旋转一周构成一个不透光立体在点 （１，０，１）设置一光源，在ｘｏｙ平面内有一以原点为圆 心的圆ｃ被光照到的长度为２霄，求曲线Ｃ上未被照 到的长度．
ｃ：＋。＋ｎ（肛＋９）≥召，ｃ：≤Ａ，
即３ｎ２—２２ｎ一３６。＜０．
‘．・
’Ｂ＝９Ａ，
．・．ｃ：＋９＋ｎ（，ｌ＋９）≥Ｂ＝９Ａ１＞９ｃ：，
（１）
，’２
又总分为乞Ⅲ有１０Ｉ乞小钴厶（１）得厅＝６或８．
自主招生数学试题
【题文】在欧非杯排球赛中，欧洲的参赛队伍比非洲的参赛队伍多9支.每两支球队赛一场，胜者得1分，败者得0分.若欧洲球队所得总分为非洲所得总分的9倍，则非洲球队的各支球队中得分的最大可能值是（）A.8；B.9；C.10；D.11.【题文】已知有位乒乓球选手，它们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，试求的所有可能值.【题文】在中取一组数，使得其中任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？【题文】【题文】(2010年清华大学特色测试)设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案,使得数轴上任意相距为的点都不同色,要求使用颜色最少【题文】(2010年五校联考)对正六边形的边和所有对角线染色,任意三角形三边染色不同,任意两组三角形染色方式不同,求至少要染色多少种颜色.(注：原题为选择题)【题文】(中国科技大学)2008个白球和2009个黑球任意排成一列.求证:无论如何排列,都至少存在一个黑球,其左侧(不包括自己)的黑球和白球个数相等(可以为0).【题文】(上海交大)这是一个由9个小的九宫格组成的的方格,请逐步确定每个空格中的数字,使其符合两个条件:(1)每一行每一列中的9个数必须为不重复的1到9;(2)每一个小九宫格中的9个数字必须是不重复的1到9，你填写的每一个数字必须是经由推理唯一确定的.【题文】已知平面上有ｎ（ｎ＞3）个点，其中无三点共线，也无四点共圆，是否存在通过其中三个点的圆，它的内部不含任何一个已知点（）Ａ．一定存在Ｂ．一定不存在 C.不一定存在D,结论随n的大小而不同【题文】目前有n（n≥2 )位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好值参加一次比赛，请问n的所有可能值。
【题文】（2001年上海交大联读班）若一个圆盘被条相等间隔的半径与一条割线所分割，则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是（）A. B. C. Ｄ．【题文】（五校2010选拔）欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【题文】（2011年清华）请设计一种方案，对1维实数轴上的每一个点进行染色，使得距离为1,或的两个点不同色，要求所使用的颜色数目尽可能少.【题文】（2010 清华）现有一段长度为的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段的长度的2 倍. 例如：当=6时最多只能锯成两段：，当= 7时最多可锯成：.问：=30时最多能锯成多少段？【题文】（2009年清华）现有一游戏：图上有若干个点和若干条线，甲提供若干个硬币，乙可以任意将这些硬币全部摆放在点上，并且指定一个目标定点.现定义操作：从一个至少有2个硬币的点取走2个硬币，在它一个相邻的点上放回1个硬币. 在指定的图下，甲最少提供多少个硬币，可以保证经过若干次操作，一定能使目标顶点至少有1枚硬币？（1）图是一个包含5 个点的线段；（2）图是一个包含7 个点的圈.【题文】(2008年上海交大冬令营)世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛. 规定每场比赛胜者得3分，平局各得1分，败者不得分. 比赛结束后前两名可以晋级.（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分. 于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线. 问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？【题文】(2002年上海交大联读班、保送生)有一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_____台，B应给C_____台，A应给E_____台，总共运输______台.【题文】（2008年上海交大冬令营）30个人排成矩形，身高各不相同. 把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为.（1）是否有可能比高？（2）和是否可能相等？【题文】将一个正11边形对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A.存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B.存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C.存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D.任何一种分法所分出的三角形恰有1个锐角三角形【题文】【题文】（交大2002保送）某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学，各小学分别有电脑15,7,11,3,14的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电脑的总台数量最小，因此，从第一小学向第二小学移交了______台。
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2010年“北约”自主招生数学试题及解答
1．（仅文科做）02απ
<<，求证：sin tan ααα<<．
【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π
<<
时，()1cos 0f x x '=->．于是
()f x 在02
x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．
同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π
<<时，21
()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π
<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB
2（25分）
【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面
直角坐标系．
⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；
⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．
不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是
合理的），则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，A B 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2
B R B A ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2m ax AB R P =．不妨设为x ．
下面研究正五边形对角线的长．
I H
G F E 1
111x x-1
如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交E G 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=
． 于是四边形H G IF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知
111EF
EH x FG x HG ===-
．解得2x =．
3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）
【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线A C 与直线
BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，
且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．
由于2y x '=-，
于是A C 的方程为2222x x y y =--；①
BD 的方程为1122x x y y =--． ②
联立,AC BD 的方程，解得121221(
,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(
,0)2y C x -；
对于②，令0y =，得112(
,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=
-=-． 121(1)2EC D S CD x x ∆=-．不妨设10
x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44EC D a b S ab a b a b ab a b a b
∆++=++=+++++
1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab
=+++⋅++≥ ③
0s =>，则有
3311
1
1
111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个
12436916161
1
1116)]8()2393s s s ⋅⋅[⋅(⋅(
)=⋅
≥3218)3=⋅(= ④
又由当12333x a x b s ===-=-=
∴min ()ECD S ∆= 注记：不妨设31
1()(2)2
g s s s s =++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211
()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．
则()g s 在(0,
3上单调减，在)3+∞上单调增．于是当3s =()g s 取得最小值．
4．向量O A 与O B 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）
【解析】 不妨设O A ，O B 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=
+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1
054cos 3αα
++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223απ
π
<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00
t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,
]23π
π．
5．（仅理科做）存不存在02x π
<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）
【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )
cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x -+-=-=
， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x +=
．
若cos sin 0x x -=，有4x π=1,122不成等差数列；
若cos sin 1sin cos x x
x x
+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =±． 而1
1sin cos sin 2(0,
]22x x x =
∈，矛盾！
2011年“北约”自主招生数学试题及解答。