2017年宁夏大学附中高考数学一模试卷(文科)

2017年宁夏大学附中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={0，1}，B={-1，0，a+2}，且A⊆B，则实数a=（）A.0B.-1C.-2D.-3【答案】B【解析】解：集合A={0，1}，B={-1，0，a+2}，且A⊆B，可得a+2=1，解得a=-1．故选：B．利用集合的关系列出方程求解即可．本题考查集合的包含关系的应用，是基础题．2.若复数z满足z•i-3i=|3+4i|，则z的共轭复数为（）A.3-5iB.3+5iC.5-3iD.5+3i【答案】B【解析】解：由z•i-3i=|3+4i|，得，∴，则．故选：B．求出复数的模，移向变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由已知等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，得到BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos150°=2+；且B=15°，所以=1××cos（180-15）°=-°=-=-=--1；故选A．首先由余弦定理求出BC的长度，然后由数量积公式求值．本题考查了平面向量的运算；化简二次根式是本题的易错点．4.已知2a=3b=m，且a，ab，b成等差数列，a，b为正数，则m=（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】解：由2a=3b=m，得a=log2m，b=log3m，又a，ab，b成等差数列，则a+b=2ab，即，∴log m2+log m3=log m6=2，解得m=．故选：C．由已知得a=log2m，b=log3m，2ab=a+b，从而可得log m2+log m3=log m6=2，从而解得．本题考查了指数与对数的运算的应用及等差数列的性质应用，是基础题．5.设a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小顺序是（）A.b＜a＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜c＜a【答案】B【解析】解：∵a=（）=＞b=（）＞1，c=log2＜0，∴a＞b＞c．故选：B．利用指数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A.l丈3尺B.5丈4尺C.9丈2尺D.48丈6尺【答案】B【解析】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．故选B．根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．本题考查了圆柱的体积计算，注意单位换算，属于基础题．7.函数y=的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，故排除A，∵f（-x）==-=-f（x），∴排除C，当x=2时，y=＞0，故排除D，故选：B．观察四个图象知，A与B、C、D不同（在y轴左侧没有图象），故审定义域；同理审B、C、D的不同，从而利用排除法求解．本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．8.如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图图乙中输入的a i为茎叶图的学生成绩，则输出的m，n，k分别是（）A.m=18，n=31，k=11B.m=18，n=33，k=9C.m=20，n=30，k=9D.m=20，n=29，k=11【答案】B【解析】解：依据程序框图，可知，m表示数学成绩a i＜90的学生人数，则m=18；n表示数学成绩90≤a i≤120的学生人数，则n=33；k表示数学成绩a i＞120的学生人数，则k=9，故选：B．模拟程序的运行，可得算法的功能，结合茎叶图即可得解．本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题．9.设函数，其中，，则导数f′（-1）的取值范围（）A.[3，6]B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：∵∴′∴′=2sin（）+4∵，∴，∴sin，∴f′（-1）∈[3，6]故选A．先对原函数进行求导可得到f′（x）的解析式，将x=-1代入可求取值范围．本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大．10.已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x-y的最大值是（）A.6B.0C.2D.2【答案】A【解析】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，-a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，-2），化目标函数z=2x-y为y=2x-z，∴当y=2x-z过A点时，z最大，等于2×2-（-2）=6．由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=2，则椭圆的半焦距c==1，根据离心率公式得，e=；故选D．根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2-b2=c2，和离心率公式e=，计算即可．本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．12.若2014=αk•5k+αk-1•5k-1+…+a1•51+a0•50，其中a k，a k-1，…，a0∈N，0＜a k＜5，0≤a k-1，a k-2，…，a1，a0＜5．现从a0，a1，…，a k中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，则点P落在椭圆+=1内的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，∴2014=3•54+1•53+0•52+2•51+4•50．则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3．则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，共有52=25个点．其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个．∴点P落在椭圆+=1内的概率是．故选：A．由题意结合进位制转化求得a0，a1，…，a k，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知函数f（x）=x-3+sinx+1．若f（a）=3，则f（-a）= ______ ．【答案】-1【解析】解：∵f（x）-1=x-3+sinx是奇函数，又∵f（a）-1=3-1=2，∴f（-a）-1=-2，∴f（-a）=-1；故答案为：-1．化简可得f（x）-1=x-3+sinx是奇函数，从而解得．本题考查原函数构造了奇函数f（x）-1，从而利用函数的奇偶性求解．14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为______ ．【答案】【解析】解：设B1B=a，∵B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°∴BC=a，DC=∴，，由余弦定理得：cos∠故答案为：设B1B=a，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°推知BC=a，DC=推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度，再用余弦定理求解．本题主要考查异面直线所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，则用三角函数的定义，若在一般三角形中则用余弦定理．15.下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈（0，1），使不等式成立log2x＜log3x；③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题；④∀θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数．正确的命题序号是______ ．【答案】①【解析】解：①∵m⊥α，若m∥n，∴n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，即必要性成立，反之不一定成立，即“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；故①正确，②若log2x＜log3x，则＜，若x＞1，则log x2＞log x3，此时不等式不成立，若0＜x＜1，则log x2＞log x3，此时不等式恒成立，即∀x∈（0，1），不等式成立log2x＜log3x成立，故②错误，③“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为若a＜b，则am2＜bm2，为假命题．，当m=0时，am2＜bm2不成立，故③错误；④当θ=函数f（x）=sin（2x+θ）=cos2x是偶函数．故④错误，故答案为：①①根据面面垂直的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据对数函数的单调性的性质进行判断，③根据四种命题之间的关系进行判断，④根据三角函数的奇偶性进行判断．本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．16.设数列{a n}的前n项和为S n．若a2=12，S n=kn2-1（n∈N*），则数列{}的前n项和为______ ．【答案】【解析】解：∵S n=kn2-1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=S n-S n-1=kn2-1-[k（n-1）2-1]=2nk-k，∴a2=4k-k=12，解得k=4．∴S n=4n2-1，∴==．∴数列{}的前n项和=++…+==．故答案为：．S n=kn2-1（n∈N*），可得：当n≥2时，a n=S n-S n-1，由a2=12，解得k=4．可得S n=4n2-1，==．利用“裂项求和”即可得出．本题考查了“裂项求和”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=-sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∵在锐角△ABC中cos（B+C）=-sin2A，∴-cos A=-•2sin A cos A，∴sin A=，A=；（2）由正弦定理可得sin B==，∴cos B==，∴sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=+=，∴△ABC的面积S=absin C=×7×5×=10【解析】（1）由已知式子可得sin A，由锐角三角形可得；（2）由正弦定理可得sin B，进而可得cos B，再由和差角的三角函数可得sin C，代入面积公式可得．本题考查正弦定理，涉及三角形的面积公式以及和差角的三角函数公式，属中档题．18.为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．【答案】解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．所以此次测试总人数为=40．答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．（2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．（3）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．从这8人中随机抽取2人共28种情况ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，事件A包括共12种情况．ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，所以事件A的概率P==．答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率．【解析】（1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人．用列举的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．19.在平面直角坐标系xoy中，已知四点A（2，0），B（-2，0），C（0，-2），D（-2，-2），把坐标系平面沿y轴折为直二面角．（1）求证：BC⊥AD；（2）求三棱锥C-AOD的体积．【答案】解：（1）【法一】∵BOCD为正方形，∴BC⊥OD，∠AOB为二面角B-CO-A的平面角∴AO⊥BO，∵AO⊥CO，且BO∩CO=O∴AO⊥平面BCO，又BC⊆平面BCO∴AO⊥BC，且DO∩AO=O∴BC⊥平面ADO，且AD⊆平面ADO，∴BC⊥AD．【法二】分别以OA，OC，OB为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则设O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，0，2），C（0，2，0），D（0，2，2）；有=（-2，2，2），=（-2，2，0），∴•=0，∴⊥，即BC⊥AD．（2）三棱锥C-AOD的体积为：V C-AOD=V A-COD=•S△COD•OA=××2×2×2=．【解析】（1）【法一】要证异面直线BC⊥AD，须证BC⊥平面ADO，即证AO⊥BC，BC⊥OD，这是成立的；【法二】建立空间直角坐标系，由向量的数量积为0，得两向量垂直．（2）三棱锥的体积由体积公式V=•S高•h可得．本题考查了空间中的垂直关系，可以直接证明线线垂直，得线面垂直；线面垂直，得线线垂直．用向量的数量积为0，证线线垂直更容易．求三棱锥的体积是关键是求底面积和高．20.已知抛物线y2=2px（p＞0），过点C（-2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，•=12．（I）求抛物线的方程；（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）设l：x=my-2，代入y2=2px，可得y2-2pmy+4p=0．（∗）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则x1x2==4．∵•=12，∴x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）由（Ⅰ）（∗）化为y2-4my+8=0．y1+y2=4m，y1y2=8．设AB的中点为M，则|AB|=2x m=x1+x2=m（y1+y2）-4=4m2-4，①又|AB|=|y1-y2|=，②由①②得（1+m2）（16m2-32）=（4m2-4）2，解得m2=3，m=±．∴直线l的方程为x+y+2=0，或x-y+2=0．【解析】（Ⅰ）设l：x=my-2，代入y2=2px，可得根与系数的关系，再利用•=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）（∗）化为y2-4my+8=0．设AB的中点为M，可得|AB|=2x m=x1+x2=m （y1+y2）-4=4m2-4，又|AB|=|y1-y2|=，联立解出m即可得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、弦长公式、直线与圆相切的性质、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=2ax+bx-1-2lnx（a∈R）．（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）若对∀α∈[1，3]，∀x∈（0，+∞），f（x）≥2bx-3恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e-1时，求证：e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）．【答案】解：（1）当b=0时，f（x）=2ax-1-2lnx，求导f′（x）=2a-=，（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，由f′（x）＞0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，综上可知：当a≤0时，（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，（2）由已知对∀a∈[1，3]，f（x）≥2bx-3对，∀x∈（0，+∞）恒成立，则2ax+bx-1-2lnx≥2bx-3，对∀x∈（0，+∞）∀α∈[1，3]恒成立，即a+-≥，对∀x∈（0，+∞）∀α∈[1，3]恒成立，设g（x）=a+-，∀x∈（0，+∞）∀α∈[1，3]，求导g′（x）=--=，则g（x）在（0，e2）单调递减，在（e2，+∞）单调递增，当x＞0时，g（x）min=g（e2）=a-，即≤a-，由a∈[1，3]，则≤1-，即a≤2-∴实数b的取值范围（-∞，2-]；（3）证明：x＞y＞e-1，则x+1＞y+1＞e，∴ln（x+1）＞ln（y+1）＞1，欲证e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）．只需证＞，令g（x）=，x∈（e-1，+∞），求导g′（x）=，显然函数h（x）=ln（x+1）-，在（e-1，+∞）上单调递增，h（x）=1-＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，∴x＞y＞e-1时，g（x）＞g（y），即＞，∴当x＞y＞e-1时，e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）．【解析】（1）当b=0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）单调区间；（2）将原不等式转化成a+-≥，对∀x∈（0，+∞）∀α∈[1，3]恒成立，构造辅助函数，求导，求得函数的最小值，由a的取值范围，即可求得实数b的取值范围；（3）由题意可知：e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）．只需证＞，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得g（x）＞g（y），即可证明不等式成立．本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立，不等式的证明，考查分离参数的应用，属于难题．22.在直角坐标系x O y中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【答案】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x-y+4=0，得0-4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴，到直线l：x-y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．【解析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P 与直线l的位置关系．（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知，到直线l：x-y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．本题考查椭圆的参数方程和点到直线距离公式的应用，解题时要认真审题，注意参数方程与普通方程的互化，注意三角函数的合理运用．23.已知f（x）=|x-1|+|x+a|，g（a）=|a+3|．（1）当a=3时，解关于x的不等式f（x）＞g（a）；（2）函数h（x）=f（x）-g（a）存在零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当a=3时，不等式f（x）＞g（a），即|x-1|+|x+3|＞6可化为或或，…（3分）解得x＜-4或x＞2，∴不等式f（x）＞g（a）的解集为{x|x＜-4或x＞2}．…（5分）（2）若函数h（x）=f（x）-g（a）存在零点，则∵|x-1|+|x+a|≥|a+1|，∴|3+a|≥|a+1|，解得a≥-2．【解析】（1）当a=3时，不等式|x-1|+|x+3|＞6等价变形，可得结论；（2）利用|x-1|+|x+a|≥|a+1|，即可求实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．。