八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教案1(新版)沪科版

合集下载

八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案 (新版)沪科版

一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)一、情境导入解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0.方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0 x 2－5x ＋6＝0二、合作探究探究点一：一元二次方程的根与系数的关系利用根与系数的关系，求方程3x 2＋6x －1＝0的两根之和、两根之积．解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得．解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－13.方法总结：如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ＝b 2－4ac ≥0，有两个实数根x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】利用根与系数的关系求代数式的值设x 1，x 2是方程2x ＋4x －3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1x 2.解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－32.(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－32；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2－2×（－32）－32＝－143. 方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体带入求解即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型二】已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．解析：由方程5x 2＋kx －6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k 的值．解：设方程的另一个根是x 1，则2x 1＝－65，∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k5，∴－35＋2＝－k5，∴k ＝－7.方法总结：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型三】判别式及根与系数关系的综合应用已知α、β是关于x 的一元二次方程x ＋(2m ＋3)x ＋m 2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，求m 的值．解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1β＝－1建立方程，求m 的值．解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2.又∵1α＋1β＝α＋βαβ＝－（2m ＋3）m2＝－1，化简整理，得m 2－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.当m ＝－1时，方程为x 2＋x ＋1＝0，此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m ＝－1应舍去．当m ＝3时，方程为x 2＋9x ＋9＝0，此时Δ＝92－4×9＞0，方程有两个不相等的实数根．综上所述，m ＝3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m 的值，但一定要代入判别式验算，字母m 的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神。

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1一. 教材分析《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版数学八年级下册的一个重要内容。

本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、根的判别式的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的抽象概括能力，也为后续学习一元二次方程的应用打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了方程的基本概念和解法，对根的判别式也有了一定的了解。

但学生对于根与系数之间的关系可能存在一定的困惑，因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，逐步发现并理解根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.培养学生通过观察、实验、猜想、验证等方法探索问题的能力。

3.提高学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解并运用根与系数之间的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过观察、实验、猜想、验证等方法，发现并理解根与系数之间的关系。

2.互动法：教师与学生进行提问、讨论，促进学生对知识的理解和运用。

3.案例分析法：教师给出实际问题，引导学生运用一元二次方程解决。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.实际问题：准备一些实际问题，用于引导学生运用一元二次方程解决。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法和根的判别式，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示一元二次方程的根与系数之间的关系，引导学生观察、实验、猜想、验证，让学生通过自主学习发现并理解这一关系。

3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固对根与系数之间关系的理解。

4.巩固（10分钟）教师继续给出练习题，让学生进一步巩固对根与系数之间关系的理解。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系-八年级下册数学教案导学案(沪科版)

17.4 一元二次方程的根与系数的关系-八年级下册数学教案导学案（沪科版）一、教学目标1.掌握求解一元二次方程的根与系数的关系；2.理解一元二次方程的根与系数之间的数学关系；3.能够灵活运用根与系数的关系解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和数学分析能力。

二、教学重点1.掌握求解一元二次方程的根与系数的关系；2.灵活运用根与系数的关系解决实际问题。

三、教学难点能够灵活运用根与系数的关系解决实际问题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）老师提问：当一个一元二次方程的两个根相等时，该方程的什么系数相等？学生回答：方程的两个根相等时，该方程的两个解都是相同的值。

所以方程的根相等时，方程的两个解是-a/2b，其中a、b分别是方程的系数。

2. 讲解与演示（10分钟）老师出示一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0，并解释a、b、c的含义。

然后，老师介绍一元二次方程的根与系数的关系公式：根与系数的关系公式1： x1 + x2 = -b/a x1 * x2 = c/a其中，x1和x2表示方程的两个根。

老师通过一个例子演示如何利用根与系数的关系公式求解一元二次方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。

1. 根据公式，可以得到：x1 + x2 = -(-5)/2 = 5/2 2. 同样地，根据公式，可以得到：x1 * x2 = 2/2 = 1 3. 所以方程的两个根分别是：5/2和1。

3. 练习（20分钟）学生进行练习题，利用根与系数的关系公式解决一元二次方程的题目。

练习题一求解方程：3x^2 + 2x - 5 = 0解答步骤： 1. 根据公式，可得：x1 + x2 = -2/3 2. 同样地，根据公式，可得：x1 * x2 = -5/3 3. 所以方程的两个根分别是：-2/3和-5/3。

练习题二已知一元二次方程的一个根是2/3，另一个根是7/5，求解该方程的系数。

解答步骤： 1. 根据公式，可得：x1 + x2 = 2/3 + 7/5 = 29/15 2. 同样地，根据公式，可得：x1 * x2 = 2/3 * 7/5 = 14/15 3. 根据根与系数的关系，设方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0 4. 根据公式，可得：a = 1，b = -29/15，c = 14/15 5. 所以方程的系数分别是：a = 1，b = -29/15，c = 14/15。

八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系学案(新版)沪科版

八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系学案（新版）沪科版17、4 一元二次方程根与系数的关系一、学习内容：一元二次方程根与系数的关系。

二、学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程两根的倒数和与平方和。

三、学习过程：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？（1）x2－2x＝0 （2）x2＋3x－4＝0 （3）x2－5x＋6＝0、探索一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)用求根公式求出它的两个根x1、x2 ，由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式知太妙了！我想知道为什么？乘以 x1=,x2= 能得出以下结果：x1＋x2= 即：两根之和等于 x1•x2= 即：两根之积等于 =+ = = = === 由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x1+x2=，x1x2= 如果把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x2＋ x＋＝0(a≠0)，则以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-（）x＋x1x2＝0(a≠0)例1：已知方程5x2＋kx-6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值；解：设方程的另一个根是x1，那么（为什么？）∴ x1= 又x1+2= （为什么？）∴ k= 想一想，还有没有别的做法？例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x-1＝0的两个根的（1）平方和（2）倒数和解：设方程的两个根分别为x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2= （1）∵ （x1+x2）2= x12+2 +x22 ∴x12+x22=（x1+x2）2-2 = （2）例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是解：所求的方程是x2-（）x＋（）＝0 (为什么？)即x2+ x- ＝0 或6x2+ x- ＝0例4：已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。

沪科版八年级数学下册：17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案

17.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1.了解一元二次方程的根与系数的关系；2.会灵活运用根的判别式和根与系数的关系解决问题。

重难点：1.利用根与系数的关系求未知字母的值。

2.利用根与系数的关系求代数式的值。

知识点：一元二次方程根与系数的关系（重点；难点）常称为韦达定理。

知识拓展：一元二次方程根与系数的关系的应用：（1）检验解一元二次方程所得的根是否正确；（2）已知方程的一根，求另一根或方程中的字母系数；（3）已知两个根，求一元二次方程；（4）已知两个根之间的关系，确定方程中字母系数的值；（5）不解方程，判断一元二次方程根的符号。

相关代数式的值时，往往先把代数式变形成两根和与积的形式，再整体求值。

常例1.设x 1，x 2是方程x 2+5x-3=0的两个根，则x 12+x 22的值是（）A.19B.25C.31D.30 例2.一元二次方程x 2-3x-2=0的两根为x 1，x 2，则下列结论正确的是（）A. x 1=-1, x 2=2B.x 1=1 ,x 2=-2 B. x 1+x 2=3 D.x 1x 2=2 例3.若方程x 2+x-1=0的两实根为α，β，那么下列说法不正确的是（）A. 例4.已知x 1，x 2是一元二次方程3x 2=6-2x 的两个根，则x 1-x 1x 2+x 2的值是（）A.拓展应用：1.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-6x-11=0的两个实数根，求x12+x22+8的值。

2.3.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0,。

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。

4.已知x1，x2的关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根。

（1）若（x1-1）(x2-1)=28，求m的值；（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长。

沪科版初中数学八年级下册 17.4一元二次方程根与系数的关系教案

17.4《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计一、教材及学情分析本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。

它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。

本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。

因此在学过了一元二次方程的解法后，让学生自主探究其根与系数的关系是完全可能的。

二、三维目标1、知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2、过程与方法：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3、情感态度价值观：（1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；（2）通过所学数学知识解决生活中的问题，激发学生对数学学习的兴趣。

三、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的其推导。

2．教学难点：运用韦达定理解决问题。

四、教学流程（一）、创设情境导入新课1.利用求根公式解一元二次方程的步骤？2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？师：上节我们已学过用公式法解一元二次方程。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，当b2－4ac≥0时，则有242b b acxa。

利用它可不用解方程，根据一元二次方程的系数a、b、c的值，直接求出方程的根，也就是说方程的根是由系数a、b、c的值决定的。

那么它们之间到底有什么样的关系呢？这就是我们今天所要研究的话题（一元二次方程的根与系数的关系）（二）、探索新知：1、观察与归纳解下列方程，求出它们的根x1、x2，并计算x1+x2，x1*x2的值，填写下表，然后观师：同学们你们通过填表、计算，有什么新的发现？生发现：当二次项系数等于1时(1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数；(2)两根之积等于常数项.生发现：当二次项系数不等于1且a≠0时(1)方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数；(2)两根之积等于常数项除以二次项系数2、由特殊到一般（韦达定理的推导）师：是不是所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？下面找一名学生板书，其它学生在练习本上推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．解：设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．定理：如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，则：x 1+x 2 = -ab, x 1x 2 = ac此公式是法国人韦达发现的,人们为了怀念他，把此定理叫做韦达定理。

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(新版)沪科版

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系导学案（新版）沪科版1．一元二次方程的根的判别式(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况由b2－4ac来确定．我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.①Δ是专指一元二次方程的根的判别式，只有确定方程为一元二次方程时，才能确定a，b，c，求出Δ.②要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)，以便确定a，b，c并代入b2－4ac计算．(2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系①利用根的判别式判定根的情况．一般地，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根．②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．②当b2－4ac＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习．【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)3x2＋2＝26x；(3)32x2＋1＝22x；(4)ax2＋bx＝0(a≠0)；(5)ax2＋c＝0(a≠0)．分析：一元二次方程的根的情况是由Δ＝b2－4ac的符号决定的，所以判别一元二次方程根的情况即判断“Δ”的符号．尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而确定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4.∵Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)将方程转化为一般形式为3x2－26x＋2＝0.a＝3，b＝－26，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－26)2－4×3×2＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)将方程转化为一般形式为32x2－22x＋1＝0.方程两边同乘以2，得3x2－2x＋2＝0，a＝3，b＝－2，c＝2.∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×2＝2－83＜0，∴原方程没有实数根．(4)ax2＋bx＝0(a≠0)，∵a≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝b 2－4·a ·0＝b 2.又∵b 取任何实数，b 2均为非负数，∴Δ≥0恒成立．故原方程有两个实数根．(5)ax 2＋c ＝0(a ≠0)，∵a ≠0，∴方程是一元二次方程，∴Δ＝0－4ac ＝－4ac . 当c ＝0时，Δ＝0，原方程有两个相等实数根；当a 与c 异号时，Δ＞0，原方程有两个不相等的实数根；当a 与c 同号时，Δ＜0，原方程没有实数根．运用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数．2．一元二次方程的根与系数的关系如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.这个关系通常称为韦达定理．(1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件：①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0；②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0.(2)如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .【例2】不解方程，说明一元二次方程2x 2＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积．分析：因为方程2x 2＋4x ＝1是一元二次方程，所以要说明方程有实数根，只要证明其判别式Δ≥0即可．要求两根和与积，用根与系数的关系求解．解：把方程2x 2＋4x ＝1转化成一般形式为2x 2＋4x －1＝0.(1)∵Δ＝b 2－4ac ＝42－4×2×(－1)＝24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)设该方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－b a ＝－42＝－2，x 1·x 2＝c a ＝－12＝－12.点拨：运用根与系数的关系及运用根的判别式时，都必须把方程化为一般形式，以便正确确定a ，b ，c .3．利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0；若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2－4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式．例如，已知关于x 的方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程．分析：因为方程有两个实数根，所以有隐含条件二次项系数k ≠0.又因为方程有两个相等的实数根，由此可得Δ＝0.对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须先考虑隐含条件a ≠0.【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2＋9＝12x ， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：原方程可化为kx 2－12x ＋9＝0.因为此方程是关于x 的一元二次方程，所以k ≠0，Δ＝b 2－4ac ＝(－12)2－4k ·9＝144－36k .(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以144－36k ＞0，解得k ＜4且k ≠0.即当k ＜4且k ≠0时，方程有两个不相等的实数根．(2)因为方程有两个相等的实数根，所以144－36k ＝0，解得k ＝4. 即当k ＝4时，方程有两个相等的实数根．(3)因为方程没有实数根，所以144－36k ＜0，解得k ＞4.即当k ＞4时，方程没有实数根．在根据一元二次方程根的情况来求字母系数的取值范围时，要注意以下几点：一是必须是一元二次方程，当二次项系数含有字母时一定要确保二次项系数不为0；二是必须符合一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)；三是当方程有实数根时，Δ≥0.4．利用根与系数的关系确定一元二次方程如果实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根．(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确．(2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0.例如，已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为3和4，请你写出这个一元二次方程．由方程的两个根为3和4可知，此方程的两根之和为7，两根之积为12，故根据一元二次方程根与系数的关系可以写出这个一元二次方程．解：设此方程的两个根为x 1，x 2，则根据题意得x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12.所以所求的一元二次方程为x 2－7x ＋12＝0.已知两根求一元二次方程，其一般步骤是：①先根据两根分别求出两根之和与两根之积；②把两根之和、两根之积代入一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0，求出所要求的方程．【例4】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x 2＋2x －3＝0各根的负倒数．分析：一般求作新的一元二次方程时，设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0的简单形式，其中p＝－(y 1＋y 2)，q ＝y 1·y 2.设法求出p 和q 的值代入y 2＋py ＋q ＝0即得所求方程，当p ，q 两数为分数时，方程最后要化为各项系数均为整数的方程．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，根据韦达定理，得x 1＋x 2＝－25，x 1·x 2＝－35. 设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，它的两根为y 1，y 2，则y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2.p ＝－(y 1＋y 2)＝－(－1x 1－1x 2)＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1·x 2＝－25－35＝23. q ＝y 1·y 2＝(－1x 1)(－1x 2)＝1x 1·x 2＝－53.∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.所求方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．例如：如果原方程中未知数是x ，那么所求的新方程中未知数就不要用x 了，而改用其他字母y 或z 等．5．一元二次方程根与系数的关系的应用已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则求含有x 1，x 2的代数式的值时，其方法是把含x 1，x 2的代数式通过转化，变为用x 1＋x 2，x 1x 2的代数式进行表示，然后再整体代入求出代数式的值．解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形：①21x ＋22x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；②1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2；③(x 1＋a )(x 2＋a )＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2；④|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.【例5】已知方程2x 2＋5x －6＝0的两个根为x 1，x 2，求下列代数式的值．(1)(x 1－2)(x 2－2)；(2)x 2x 1＋x 1x 2.解：由一元二次方程根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－52，x 1x 2＝－3，所以，(1)(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2x 1－2x 2＋4＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－3－2×(－52)＋4＝6；(2)x 2x 1＋x 1x 2＝221212x x x x＋＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－52)2－2×(－3)－3＝－4912.。

沪科版八年级数学下册教学设计《第17章一元二次方程数17.4一元二次方程根与系数的关系》

沪科版八年级数学下册教学设计《第17章一元二次方程数17.4一元二次方程根与系数的关系》一. 教材分析《一元二次方程数17.4一元二次方程根与系数的关系》是沪科版八年级数学下册第17章的内容。

本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生通过观察、分析、归纳等方法，理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，为后续解决实际问题打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、求根公式等。

但学生对于一元二次方程的根与系数之间的关系可能存在一定的模糊认识，因此，在教学过程中，需要教师引导学生进行观察、分析、归纳，帮助学生建立清晰的认识。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.培养学生观察、分析、归纳的能力。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：如何引导学生观察、分析、归纳出一元二次方程的根与系数之间的关系。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探究一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.案例教学法：教师通过具体的例子，让学生理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。

3.小组合作法：学生分组进行讨论，共同完成任务，培养学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的例子，用于引导学生观察、分析、归纳。

2.准备PPT，用于展示教学内容。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元二次方程的解法，激发学生的学习兴趣，从而引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的根与系数之间的关系，让学生初步了解本节课的内容。

3.操练（15分钟）教师给出具体的例子，让学生观察、分析、归纳一元二次方程的根与系数之间的关系。

教师引导学生进行讨论，解答学生的疑问。

沪科版(2012)初中数学八年级下册17.4一元二次方程根与系数的关系教案

17.4 一元二次方程的根与系数的关系【教学目标】【知识与技能】1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用;2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.【过程与方法】培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.【情感态度】1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.【教学重点】根与系数的关系及其推导.【教学难点】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系.【教学过程】一、创设情境，导入新课同学们，我们在前面学习了用求根公式法解一元二次方程.你能说说一元二次方程的求根公式吗？ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2－4ac≥0，则a acbbx24 2－－＝它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？这就是我们这节课研究的内容：一元二次方程根与系数的关系【教学说明】通过回顾求根公式，使学生明确方程的根与系数存在一定的关系，同时也为后面推导根与系数的关系奠定基础.二、合作探究，探索新知1.思考填表，解出下列各方程的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1·x2的值.方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系x1x2x1+x2x1x2－a b a c x2＋3x－4=0 －4 1 －3 －4 －3 －4x2－5x＋6=0 2 3 5 6 5 62x2＋3x＋1=0 －21－1 －2321－23212.从上面表格中观察以上方程，根与系数的关系有什么规律？你能猜想一般的一元二次方程的根与系数存在什么样的关系呢？3.猜想：一元二次方程a x2+b x+c=0（a、b、c是常数且a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=－a b,x1x2=a c【教学说明】通过填表计算，使学生有一个具体的印象，然后让学生猜想根与系数的关系，教师进行总结，形成相应的知识点.4.那么你能证明这个结论吗？学生尝试证明：一元二次方程a x2+b x+c=0（a、b、c是常数且a≠0，b2-4ac ≥0中，这就是一元二次方程根与系数的关系，它是由法国的数学家韦达发现的，所以我们又称之为韦达定理.5.当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式为x2+p x+q=0.设它的两个根为x1，x2,这时韦达定理应是：x1+x2=-p,x1x2=q.【教学说明】通过推理证明，加深学生对根与系数关系的理解和记忆，在这里要特别注意强调a≠0且b2-4ac≥0这一条件.随堂练习：直接运用根与系数的关系不解方程，求下列方程两根的和与积。

沪科版八年级下册17.4.1一元二次方程的根与系数的关系教案设计

3x2-4x+1=0
2x2-5x+1=0
x+x,x
x
与系数a,b,c
问题1：观察上表你发现
之间有什么关系？
1
2
1
2
问题2：依照你的观察，猜想：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根若是是x1,x2，
那么x1+x2=
,x1x2=
。
问题3:你能证明上面的猜想吗？
四、引导研究：
归纳：
ax
2
c0(a0)的两根为x1,x2,
(2)
11
xx
能力提1升2
2
2
2
2
-4)x+k-1=0
的两个根互为相反数，求
k的值。
1、关于x的方程x+(k
〔3〕x1
x2
2、关于x的方程k2x2-2(k+1)x+1=0
有两个实数根。
（1〕求k的取值范围；
（2〕当k=1时，设方程的两个根分别为
x,x
，求
的值。
1
2
六、目标再现：
x1
x2
掌握一元二次方程的根与系数的关系
假设方程
bx
那么x1
x2
b
c
,x1x2
a
a
特别地：
假设方程x2
px
q0的两根为x1,x2，
那么：x1x2
p,x1x2
q
五、学以致用：
1、以下各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
(1)x2
2x2
0;
(2)2x2
9x50;
(3)2x2
3x
Hale Waihona Puke 0;(4)3x21;

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1一. 教材分析《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》是沪科版数学八年级下册的一节重点内容。

本节课主要通过探讨一元二次方程的根与系数的关系，让学生理解并掌握根的判别式、根与系数的关系，以及如何应用这些知识解决实际问题。

教材内容安排合理，由浅入深，逻辑性强，有利于学生培养抽象思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次方程的求解方法，对一元二次方程有一定的了解。

但学生对根与系数的关系的理解和应用还有待提高。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、思考、讨论、探究等活动，发现并理解根与系数的关系，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：培养学生观察、思考、讨论、探究的能力，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系。

2.教学难点：理解和掌握根的判别式，以及如何运用根与系数的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设情境，引导学生观察、思考，发现并理解根与系数的关系。

2.小组合作学习法：学生进行小组讨论、探究，培养学生的团队合作精神。

3.案例教学法：通过典型例题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示教学内容、例题及练习题。

2.教学案例：准备相关的一元二次方程案例，用于引导学生分析和解决问题。

3.学习任务单：设计学习任务单，引导学生进行自主学习和合作学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过创设情境，引导学生回顾二次方程的求解方法，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的根与系数的关系，引导学生观察、思考，发现并理解这一关系。

2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版

2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版一. 教材分析《2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系》是新版沪科版教材中的一节内容。

本节课主要让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系，能够根据方程的根判断方程的系数，并能够运用这一关系解决实际问题。

教材中通过实例引导学生探究根与系数的关系，并通过练习题进行巩固。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。

但是，对于根与系数之间的关系，学生可能还没有直观的认识。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例探究，发现并理解根与系数之间的关系。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.培养学生通过实例探究，发现并理解数学规律的能力。

3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。

2.教学难点：理解并运用根与系数之间的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.实例探究：通过实例引导学生发现并理解根与系数之间的关系。

2.小组讨论：让学生在小组内进行讨论，共同解决问题。

3.练习巩固：通过练习题让学生巩固所学知识。

4.实际应用：让学生运用所学知识解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，展示实例和练习题。

2.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

3.教学素材：准备一些与实际生活相关的问题，用于引导学生运用所学知识解决实际问题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一元二次方程的解法，引导学生回顾一元二次方程的概念和性质。

然后提出问题：“你们知道一元二次方程的根与系数之间有什么关系吗？”引发学生的思考。

2.呈现（15分钟）利用PPT展示实例，引导学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系。

通过计算实例，让学生观察根与系数之间的关系，并引导学生总结出规律。

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版一. 教材分析《新版沪科版八年级数学下册》第17.4节主要介绍一元二次方程的根与系数的关系。

通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握根的判别式、根与系数的关系公式，并能运用这些知识解决实际问题。

教材内容安排合理，逻辑清晰，通过例题和练习题的引导，使学生能够逐步掌握一元二次方程的根与系数的关系。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法、判别式的概念以及一些基本的代数运算。

但部分学生对于抽象的数学概念和公式理解不够深入，对于将理论知识应用于实际问题还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，针对性地进行教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的根与系数的关系，掌握根的判别式和根与系数的关系公式。

2.能够运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，根与系数的关系公式。

2.教学难点：理解和运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和根与系数的关系公式。

2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。

3.小组讨论法：分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式和根与系数的关系公式。

2.例题和练习题：挑选具有代表性的例题和练习题，巩固学生对知识的理解和运用。

3.教学视频：准备一些教学视频，帮助学生更好地理解一元二次方程的根与系数的关系。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用教学视频或图片引入一元二次方程的根与系数的关系，激发学生的学习兴趣，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间是否存在某种联系。

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教案1(新版)沪科版

八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案 (新版)沪科版

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1

17.4 一元二次方程的根与系数的关系-八年级下册数学教案导学案(沪科版)

八年级数学下册 17.4 一元二次方程根与系数的关系学案(新版)沪科版

沪科版八年级数学下册：17.4 一元二次方程的根与系数的关系 教案

沪科版初中数学八年级下册 17.4一元二次方程根与系数的关系 教案

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(新版)沪科版

沪科版八年级数学下册教学设计《第17章一元二次方程数17.4一元二次方程根与系数的关系》

沪科版(2012)初中数学八年级下册17.4一元二次方程根与系数的关系教案

沪科版八年级下册17.4.1一元二次方程的根与系数的关系教案设计

沪科版数学八年级下册《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》教学设计1

2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 新版沪科版

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计 新版沪科版

沪科版八年级数学下册：17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案

沪科版初中数学八年级下册 17.4一元二次方程根与系数的关系教案

2023-2024学年八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版

八年级数学下册17.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计新版沪科版