第一章全等三角形中等难度

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八年级数学上册第1章全等三角形 1.2 全等三角形 1.2.1 怎样判定三角形全等课件

只给一条(yī tiáo)边时如：
3cm
3cm
第七页，共二十九页。
3cm
只给一个(yī ɡè)条件（一条边或一个(yī ɡè)角）
只给一个角时如：
45°
一个(yī ɡè)条件
45°
45°
不能判定(pàndìng)三角形全等
第八页，共二十九页。
给出两个条件(tiáojiàn)时(一边及一角)
如果三角形的一条边为3cm,一个(yī ɡè)内角为30°
1、用三角板画∠MAN=45°； 2、在AM上截取( jiéqǔ)AB=3cm；在 AN上截取AC=2cm； 3、连接BC。
与周围同学所剪的比较一下，它们全等吗？你得出什么结论？
第十三页，共二十九页。
N
C\
45° A
′
BM
结论
两边和它们的夹角对应相等的两个(liǎnɡ ɡè)三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”
如图,AC与BD相交(xiāngjiāo)于点O，已知OA=OC， OB=OD，说明△AOB≌△COD的理由。
A O
D
B C
注意(zhù yì): 要充分利用图形中“对顶角相等”这个条件.
第十六页，共二十九页。
例题解析
例2、如图，为了测量(cèliáng)池塘边上不能直接到达的A，B之间的距离，小亮设计了这样一个方案：先在平地上取一个能够直接到达点A与点B的点C，然后在射线AC上取一点 D，使CD=CA，在射线BC上取一点E，使CE=CB.测量DE的长，那么DE的长就等于A，B两点之间的距离.他的方案对吗？为什么？
2. 能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（） D A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠C′ B. AB=A′B′， ∠A=∠ A′，BC=B′C′ C. A C=A′C′， ∠A=∠A′，BC=B′C D. AC=A′C′， ∠C=∠C′，BC=B′C

八年级数学上册第1章全等三角形1.2全等三角形2

第二十页，共二十五页。
5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
B
E
D
解： ∵ ∠CAE=∠BAD
∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
C
A
即∠BAC=∠DAE
又∵∠B=∠D AC=AE
根据(gēnjù)“AAS”,就可以得到
∴ △ABC≌ △ADE
(pàndìng)
3
理：
有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全
( 等可以(kěyǐ) 简写成“角边角”或 AAS”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D
∠B=∠E AC=DF
∴12△/13/2021ABC≌△DEF（AAS）
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A
B
SSA不能判
No 等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。在△ABC和△ DEF中。找到已具备的条件,这些条件有些是。谢谢
Image
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解答
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4.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与 △ CEB全等吗？为什么？
解：∵AE=CF ∴AE－FE=CF－EF 即AF=CE
又∵ ∠AFD=∠CEB，
DF=BE
根据“SAS”，可以(kěyǐ)得到
△AFD≌△CEB
A F
B
D
E C
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全等三角形复习课 (fùxí)
12/13/2021
第一页，共二十五页。
一、知识结构梳理(shūlǐ)

苏科版初中八年级数学上册第一章《全等三角形》PPT课件

C
BC＝EF，
CA＝FD，
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）．
E
F
1.3 探索三角形全等的条件（6）
二、自主探究
如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．
1.3 探索三角形全等的条件（6）
三、知识应用
1.下列图形中，哪两个三角形全等？
分别以点C、 D为圆心，大于为半12 径CD作的弧长，两弧在 ∠AOB的内部交于点M．
画射线OM 作射线OM
C
M
D
∴射线OM就是所求作的图形.
1.3 探索三角形全等的条件（7）
3．证请对你的作法进行证明．证明：在△MOC和△MOD中，
OC＝OD，
4．用用直尺和圆规完成以下作图：OM＝OM，
四、尝试练习
1.已知：如图，AB＝CD，AD＝CB，
求证：∠B＝∠D.
D
C 证明：连结AC，
在△ABC 和△CDA中,
A
B
AB＝CD(已知),
BC＝DA(已知),
AC＝CA(公共边),
∴ △ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠B＝∠D .
1.3 探索三角形全等的条件（6）
四、尝试练习
2．如图，AC、BD相交于点O，且AB＝DC， AC＝BD．求证：∠A＝∠D．
1.3 探索三角形全等的条件(1)
探索活动：
（二）如图，△ABC与△DEF、 △MNP能完全重合
吗？
A
1.5
45
B
3
D
1.5 60
M
3
E C
F
3
N
45

三角形全等中等难度

三角形全等中等难度一、单选题（共15题；共30分）1.如图，已知∠1=2，AC=AD，从下列条件：①AB=AE②BC=ED③∠C=∠D④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，AB⊥BC，AD⊥CD，垂足分别为B、D，若CB=CD，则△ABC≌△ACD，理由是（）A. SASB. AASC. HLD. ASABC长为半径作弧，两弧3.已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC中点，分别过B、C为圆心，大于线段12交于点P，作直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论中不正确的是（）ABA. ED⊥BCB. BE平分∠AEDC. E为△ABC的外接圆圆心D. ED=124.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°③BE+DF=EF；④CE= √3，其中正确的结论的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=22°，∠CAD 的度数是（）A. 23°B. 22°C. 32°D. 33°6.如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 6个7.如图，已知△ABC≌△DAE，BC=2，DE=5，则CE的长为（）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.58.下列命题中是真命题的是（）A. 有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B. 相等的角是对顶角C. 余角相等的角互余D. 两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等9.∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为3，Q是OB上任一点，则（）A. PQ＞3B. PQ≥3C. PQ＜3D. PQ≤310.如图,AD ＝AE ，AB=AC ，BD=CE ，∠Ｂ＝40°，∠AEC ＝110°，则∠EAC 等于（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°11.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（）A. SAS ．B. AASC. SSSD. ASA12.如图，在四边形ABCD 中，AB=AD=6，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD=60°，点M 、N 分别在AB 、AD 边上，若AM ：MB=AN ：ND=1：2，则tan ∠MCN=（）A. 3√313B. 2√511C. 2√39D. √5 ﹣213.观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A. PQ 为∠APB 的平分线B. PA=PBC. 点A 、B 到PQ 的距离不相等D. ∠APQ=∠BPQ 14.如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边中点，BD 、CE 交于点H ，BE ，AH 交于点G ，则下列结论： ①AG ⊥BE ；②BG=4GE ；③S △BHE =S △CHD ；④∠AHB=∠EHD ．其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 415.如图，平行四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，连接BD，将△BCD 绕点B 旋转，当BD（即BD′）与AD 交于一点E，BC（即BC′）同时与CD 交于一点F 时，下列结论正确的是（）①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF 的周长的最小值是4+2 √3A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①②③④二、填空题（共15题；共15分）16.如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝11cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离为________cm．17.如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若OD=8，OP=10，则PE=________．18.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10 cm，则△ODE的周长________cm．19.如图，∠ABP与∠PBC互余，∠CBD=30°，BP平分∠ABD，则∠ABP=________度。

《全等三角形》PPT课件

∠ACB= ∠AED.
规律三：有公共角的，公共角是对应角
先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角
A ∵△ABC≌△FDE
E B
∴AB=FD,AC=FE,
BC=DE
∴∠A=∠F, ∠B=∠D, ∠ACB= ∠FED.
D
C
规律四：一对最长的边是对应边
一对最短的边是对应边
规律五：一对最大的角是对应角
F
∠ACB与∠DBC是对应角
例题讲解，掌握新知
图中△ABO≌△DCO， A 试写出这两个三角形中相等的边和相等的角。
D O
B
C
解：∵△ABO≌△DCO
∴AB=DC，BO=CO，AO=DO
∠A=∠ D，∠ABO=∠DCO，
∠AOB=∠DOC
先写出全等式，再指出
它们的对应边和对应角
A
D
C
E
B
F
∵△ACB≌△DEF
一对最小的角是对应角
1.有公共边的，公共边一定是对应边。
2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。
3.有公共角的，公共角一定是对应角。
4.对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角．
5.在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。
找出下列全等三角形的对应边、对应角
A
如图：∵△ABC≌ △DFE
B
C
∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE
D
∵△ABC≌ △DFE
F
E
∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E
例题讲解，掌握新知
如图, △ABC≌△DCB，A
D
指出所有的对应边和
对应角。

八年级数学上第一章全等三角形

八年级数学上第一章全等三角形1.1 全等形1、概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

注：全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在位置。

看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可。

1.2 全等三角形的有关概念及表示方法1、有关概念(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、表示方法全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

△ABC和△DEF全等，记作△ABC ≌ △DEF，读作：“三角形ABC全等于三角形DEF”。

（Q：找出对应顶点，对应边以及对应角）点拨：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

如右图，△ABC和△ABD全等，点A和点A，点B和点B，点C和点D是对应顶点，记作△A BC ≌ △ABD。

故，根据标注可看出三角形的对应角和对应边。

如：AC=AD，BC=BD∠ACB=∠ADB等。

【例题】1、已知△A BE≌△ACD，AB=8cm，AD=5cm，∠A=60°，∠B=40°，则AE= cm，∠D= °.1.3 全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

点拨：全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等，对应边上的高相等。

但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。

【经典例题】1、如图，△ACB≌△A’CB’，∠BCB’=30°，则∠ACA’的度数为。

【变形题】如上图，若△A CB≌△A’CB’，试说明∠ACA’与∠BCB’的大小关系。

2、如果△A BC≌△DEF，△ABC的周长为100cm，DE=30cm，DF=25cm，那么BC的长为（）A. 55cmB. 45cmC. 30cmD. 25cm3、已知△ABC和△DEF全等，∠A=40°，∠B=50°，则∠D的度数为（）A. 40°B. 50°C. 90°D. 40°或50°或90°1.4 三角形全等的判定1、三角形全等判定一：SAS（边角边）(1)内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。

(完整版)全等三角形知识总结和经典例题

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

八年级数学全等三角形1-P

用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学
问题，并写出解答过程。
A
D
E
F
B
C
A
1、图中有哪些全等的三角形？
△ABF≌ △ACE（SAS）
△EBC≌ △FCB（SSS）
E
F
O
△EBO≌ △FCO（AAS） 2、图中有哪些相等的线段？ 3、图中有哪些相等的角？
B
C
中考系列之一:全等三角形探索型问题
一、探索条件型
此类型题给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件。一般地，依据三角形全等地判定方法，补充所缺少的条件。
例改（2004年长沙市）如图，已知 MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列哪些条件不能判定 △ABM≌ △CDN
M
N
A.∠M=∠N B.AB=CD
A
C
B
D
C.AM=CN
D.∠AMB=∠NCD
二、探索结论型
此类型题给出了限定条件，但结论并不唯一，要求根据所给条件探索可能得到的结论。
例. （2004年宁夏自治区）如图2，AB=AD，BC=CD， AC和BD相交于E。由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个正确结论。（不要添加字母和辅助线，不要求证明）
全等三角形复习
小结：判定两个三角形全等必须具备三个条件：
SSS—三边对应相等的两个三角形全等 SAS—两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 ASA—两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 AAS—两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
AAA—三角对应相等的两个三角形不一定全等 SSA—两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
4. （2004年芜湖市）

全等三角形证明题(中等难度)

全等三角形1.已知，图中，AD CE 于 D , BD CE 于 E , AC BC , ACB 90；，求证：DE EB CE2.如图，已知 ABC 和ADE 都是等腰三角形，顶角 BAC DAE ，求证：BD EC3.如图, 已知 AB CD ， AE DF ，CE BF ，求证：AFDE 4.如图，已知 ABC 中，AC BC ，ACB 90：，D 是AC 上一点，AE BD 交BD 的延长 1线于E ，又知AE BD ，求证: 2 BD 平分ABC7.已知，AC 和BD 互相平分于E , MN 过E 点交AB CD 于M 、N 点，求证，点E 平分MN 5.如图，已知 AE AD , AB AF , AF AB , AE AD , AD BC , AD BC ，求证：AC EF6.如图，在 ABC 中, 连结AF , AH ，求证: 延长中线（1）AF BE 至U F , 使 EFAH (2)点BBE ;延长中线CD 至U H , 使 DH CD , A F 、 H 在同一条直线上 A8.如图，已知 AD DB , BC CA , AC , BD 相交于点O ，且AC BD ，求证：AD BC11.如图，已知AC DB ，OC OD ，AE BF ，试判断CE 与DF 的位置与大小关系，并给出证明9.如图，已知 AB CD , AD BC , AE DB ，CF 10.如图，已知AC 平分BD ，求证：AE CF DAB ，E 为AC 上一点，AD AB ，求证:CDE CBE12.已知，如图，在四边形ABCD中，AF CE , AD BC , AD BC，求证DE BF,AB DC13.已知，AB ED、AE”BD、AF DC、EF BC，求证C FC14.如图，已知AB BC、DE BC、AB CE、AC CD，求证：（1）AC CD (2)DE AB BE15.已知，1 2，ABC DCB，求证：AB DC16. 已知，AC BD , AC DC , EC BC , E 在AC 上，求证：DE AB17. 如图，已知AD BC , M、N分别是BC、DA延长线上的点，连结BD，连结MN，交CD 与P，交BD 于E，交AB 于Q，DE BE，MP NQ，求证：AB DC18. 如图，已知ABC中，E在AB上，且AE AC，AD平分BAC交CE于H，EF BC，求证：EC平分FED19. 如图，已知AB AC , M、N分别是AB AC的中点，DAB EAC，求证：AD AE20. 已知，AE DE, AE DE, AB BC, DC BC，求证：AB CD BC21. 如图，BE、CF是ABC的高，在BE上截取BP AC，在CF上截取CQ AB，求证: AP AQQB C。

八年级上册数学第一章全等三角形(共69张PPT)(共69张PPT)

∴ m+n+p+q=5+7+3+7=22.
课堂巩固
1、如右图，已知△ABD≌△ACE，
且∠1=45°,∠ADB=95°,则
∠AEC= 95° ∠C= 50° .
A
2、如右图，已知△ABC≌△DFE，
且AC与DE是对应边，若BE=14cm， B FC=4cm，则BC= 9cm .
C D
1
EB A
CE F
D
3 、 △ AOC≌△BOD ， ∠ A 与 ∠ B ， ∠ C 与 ∠ D 是对应角，
△AOC的周长为9cm，OC=2cm,AO=3cm.则BO3=c_m_____,
BD=_4_c_m__.
D
B
O
A C
4 、 △ ABC≌△DCB ， A 与 D ， B 与 C 是对应顶点，
找出下列图形中形状、大小相同的图形.
①
F ②
③
解后思：
位置不同，但形
a
b
c
状、大小相同
d
Fe
f
g
h
1.知识目标（1）了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质. （2）能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素. 2.教学重点全等三角形的概念和性质. 3.教学难点正确寻找全等三角形的对应元素.
∠AED，则∠DAE= ∠BAC ； ∠DAB∠= EAC .
A D
B
EC
3、若△ABC≌△DEF，AC和DF，AB与DE是对应边，
∠A=40°，∠B=30°BC=5cm,那么 ∠DFE=__11_0_°_.EF=___5_c_m____.
A
B

苏科版数学八年级上册第1章全等三角形中的辅助线构造(举一反三)(解析版)

全等三角形中的辅助线构造【举一反三】【苏科版】【考点1 角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例1】如图，已知BP平分∠ABC，PD∠BC于D，BF+BE＝2BD，求证：∠BFP+∠BEP＝180°．【分析】过点P作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PH，利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△BHP全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝BH，再求出DE＝FH，然后利用“边角边”证明△ODE和△PHF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BEP＝∠PFH，然后根据∠BFP+∠PFH ＝180°等量代换即可得证．【答案】证明：如图，过点P作PH⊥AB于H，∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，∴PD＝PH，在Rt△BDP和Rt△BHP中，，∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），∴BD＝BH，∵BF+BE＝2BD，∴BD﹣BF＝BE﹣BD，即BH﹣BF＝BE﹣BD，∴FH＝DE，在△ODE和△PHF中，，∴△ODE≌△PHF（SAS），∴∠BEP＝∠PFH，∵∠BFP+∠PFH＝180°，∴∠BFP+∠BEP＝180°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于求出DE＝FH．【变式1-1】（2019秋•汉阳区期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎样的数量关系是．（2）请你证明（1）得出的结论．【分析】过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分线的性质易得PE＝PF，然后由同角的余角相等证明∠1＝∠2，即可由ASA证明△CFP≌△DEP，从而得证．【答案】解：（1）PC＝PD．（4分）（2）过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP＝∠DEP＝90°，（6分）∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，（7分）∵∠1+∠FPD＝90°，（直角三角板）又∵∠AOB＝90°，∴∠FPE＝90°，∴∠2+∠FPD＝90°，∴∠1＝∠2，（9分）在△CFP和△DEP中，∴△CFP≌△DEP（ASA），（10分）∴PC＝PD．（12分）【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．【变式1-2】（2019•北京校级期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．（1）如图1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；（2）如图2，若∠ABC+∠ADC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）得到∠ACD＝∠ACB＝30°后再可以证得AD＝AB＝AC从而，证得结论；（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，证得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB＝AE ﹣ED+AF+FB＝AE+AF，从而证得结论．【答案】（1）关系是：AD+AB＝AC（1分）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°∴∠CAD＝∠CAB＝60°又∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°（2分）则AD＝AB＝AC（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）（4分）∴AD+AB＝AC（5分）；（2）仍成立．证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F（6分）∵AC平分∠MAN∴CE＝CF（角平分线上点到角两边距离相等）（7分）∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°∴∠CDE＝∠ABC又∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB（AAS）（10分）∵ED＝FB，∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF（11分）由（1）知AE+AF＝AC（12分）∴AD+AB＝AC（13分）【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质等知识，是一道比较好的综合题．【变式1-3】（2019秋•东区校级月考）如图∠，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图∠，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE 相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图∠，在∠ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】图①根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点P作P A⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即为关于直线OP对称的全等三角形；（1）猜想FE＝FD；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD．【答案】解：图①如图所示；（1）FE＝FD；（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK，在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴∠F AC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，遇到角平分线，作角平分线上的点到两边的距离构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【考点2 截取法构全等】【方法点拨】利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；【例2】（2019秋•黄浦区校级期中）已知：在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD 平分∠ABC，求证：BC＝AB+DC．【分析】先在BC上截取BE＝BA，根据已知条件证明△BAD≌△BED，进而可得出AD＝DE，∠A＝∠BED，再根据∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，∠C＝60°，可知△CDE是等边三角形，故可得出结论．【答案】证明：在BC上截取BE＝BA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△BAD和△BED中，∵∴△BAD≌△BED（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠BED，∵∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DC＝AD∵∠C＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝CE，∴BC＝BE+CE＝AB+CD．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．【变式2-1】已知∠ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．【分析】在CB上取点G使得CG＝CD，可证△BOE≌△BOG，得BE═BG，可证△CDO≌△CGO，得CD＝CG，可以求得BE+CD＝BC．【答案】解：在BC上取点G使得CG＝CD，∵∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE＝BG，∴BE+CD＝BG+CG＝BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD ＝CG和BE＝BG是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•邵阳期末）如图∠，在∠ABC中，∠ACB＝2∠B，AD为∠BAC的角平分线，求证：AB＝AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取AE＝AC，连接DE，得到∠ADE∠∠ADC，从而易证AB＝AC+CD（1）请你根据以上解思路写出证明过程；（2）如图∠，若AD为∠ABC的外角∠CAE平分线，交BC的延长线于点D，∠D＝25°，其他条件不变，求∠B的度数．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B＝∠BDE，求出BE＝DE＝CD，进而得出答案；（2）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B＝∠EDC，求出BE＝DE＝CD，进而得出答案．【答案】证明：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为∠ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD，∠C＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠B+∠BDE＝∠AED，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED＝CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；（2）在射线BA上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为∠EAC的角平分线，∴∠EAD＝∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD，∠ACD＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴设∠B＝x，则∠ACB＝2x，∴∠EAC＝3x，∴∠EAD＝∠CAD＝1.5x，∵∠ADC+∠CAD＝∠ACB＝2x，∴∠ADC＝0.5x＝25°，解得：x＝50°∴∠EDC＝x，∴∠B＝∠EDC＝50°，【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出△AED ≌△ACD是解题关键．【变式2-3】（2019•长汀县校级模拟）观察、猜想、探究：在∠ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如图∠，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；（2）如图∠，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图∠，当AD为∠ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【分析】（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，理由角平分线性质得到ED＝CD，利用HL得到直角三角形AED与直角三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等，对应角相等，得到AE＝AC，∠AED＝∠ACB，由∠ACB＝2∠B，利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE＝DE，由AB＝AE+EB，等量代换即可得证；（2）AB＝CD+AC，理由为：在AB上截取AG＝AC，如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD＝AD，利用SAS得到三角形AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3）AB＝CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG＝AC，如图3所示，同（2）即可得证．【答案】解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，则AB＝BE+AE＝CD+AC；（2）AB＝CD+AC，理由为：在AB上截取AG＝AC，如图2所示，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BE＝DG＝DC，则AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由为：在AF上截取AG＝AC，如图3所示，∵AD为∠F AC的平分线，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．【点睛】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．【考点3 延长垂线段构全等】【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例3】如图，在∠ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE∠AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根据三角形外角的性质，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根据角的和差、等量代换，可得∠CBF＝∠C，根据等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根据线段的和差、等式的性质，可得答案．【答案】证明：如图：延长BE交AC于点F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠F AE在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA）∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C．∴BF＝CF，∴BE＝BF＝CF．∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，∴BE＝（AC﹣AB）．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等量代换，等式的性质，利用等量代换得出∠CBF＝∠C是解题关键．【变式3-1】已知：如图，在∠ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE∠AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM ＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．【答案】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE 交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．【变式3-2】（2019秋•通州区期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE∠BD，垂足为E．求证：BD＝2CE．【分析】延长CE、BA交于点F．根据等角的余角相等，得∠ABD＝∠ACF；再根据ASA可以证明△ABD ≌△ACF，则BD＝CF；根据ASA可以证明△BCE≌△BFE，则CE＝EF，从而证明结论．【答案】证明：延长CE、BA交于点F．∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACF．又AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．有BE＝BE，∴△BCE≌△BFE，∴CE＝EF，∴CE＝BD，∴BD＝2CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；准确作出辅助线是正确解决本题的关键．【变式3-3】（2019•成都校级期中）如图，∠ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：（1）ED∠BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【分析】（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，根据AD⊥BD，得到∠ADB＝∠FDB＝90°，再根据BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，证得△ABD≌△FBD，进而得到AD＝FD、AE＝EG，证得DE∥BC．（2）根据上题证得的△ABD≌△FBD，AB＝BF，同理AC＝CG，证得GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，从而证得结论．【答案】证明：（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，∵BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△FBD∴AD＝FD，同理可得AE＝EG，∴DE∥BC；（2）由（1）知△ABD≌△FBD，∴AB＝BF，同理AC＝CG，∵DE＝FG∴GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+BC+AC）【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及三角形的有关知识，解题的关键是正确的利用中位线定理得到中位线与第三边的位置或数量关系．【考点4 倍长中线法构全等】【方法点拨】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.【例4】（2019秋•津南区校级期中）已知：在∠ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【答案】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠F AE，∴AF＝EF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．【分析】根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．【答案】证明：如图，延长AD到点G，使得AD＝DG，连接BG．∵AD是BC边上的中线（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠F AE，∴AF＝EF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．【变式4-1】（2019秋•闵行区期中）如图，在∠ABC中，AE平分∠BAC，交BC于点E，D是BC边上点，且DE＝CE，点F在AE上，联结DF，满足DF＝AC，求证：DF∠AB．【分析】延长FE到G，使EG＝EF．连接CG，由于已知条件通过SAS证得△DEF≌△CEG得到DF＝GC，∠DFE＝∠G，由DF＝AC得到∠G＝∠CAE，继而由角平分线的性质可求得∠BAE＝∠DEF，可证明DF∥AB．【答案】证明：如图，延长FE到G，使EG＝EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG（SAS）．∴DF＝GC，∠DFE＝∠G．∵DF＝AC，∴∠G＝∠CAE，∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE．∴∠G＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DFE，∴DF∥AB．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形进行求解是正确解决本题的关键．【变式4-2】（2019春•富阳市校级期中）如图，AD为∠ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．【分析】延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，证△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．【答案】证明：延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有一【变式4-3】（2019秋•启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，∠ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到∠ADC∠∠EDB的理由是A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是∠ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【分析】延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，证△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，证△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．【答案】证明：延长ED到H，使DE＝DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有一定的难度．【考点5 作平行线构全等】【方法点拨】有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形．【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补（不是直角），则这两个三角形为友好三角形．如图1，点D在AB边上，CD＝CB，则∠ABC和∠ACD就是友好三角形．（1）两个友好三角形全等．（从下面选择一个正确的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如图2，在∠ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD≠BF，若∠BDF和∠CEF是友好三角形，求证：DF＝EF．（3）如图3，CE是∠ABC的中线，点D在AC上，BD与CE交于点F，CF＝AE，DF＝DC，图中与∠ACE成友好三角形的是．【分析】（1）由友好三角形的定义可求解；（2）过点D作DG∥AC交BC于点G，由友好三角形的定义可得BD＝CE，∠B+∠BCE＝180°，通过证明△DFG≌△ECF，可得DF＝EF；（3）由题意可得∠DCF＝∠DFC＝∠EFB，BE＝AE，∠BEF+∠AEC＝180°，由友好三角形的定义可得△BEF与△ACE成友好三角形；【答案】解：（1）∵两个友好三角形一对角互补∴两个友好三角形一定不全等故选C（2）如图2，过点D作DG∥AC交BC于点G，∵△BDF和△CEF是友好三角形∴BD＝CE，∠B+∠BCE＝180°∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB，∵DG∥AC∴∠ACB＝∠DGB，∠DGC＝∠BCE∴∠ACB＝∠DGB＝∠B∴DG＝DB，且∠DGC＝∠BCE，∠DFG＝∠CFE∴△DFG≌△ECF（AAS）∴DF＝EF（3）①∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE，∵DF＝DC∴∠DFC＝∠DCF∴∠DCF＝∠DFC＝∠EFB，且BE＝AE，∠BEF+∠AEC＝180°∴△BEF与△ACE成友好三角形故答案为：△BEF【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．【变式5-1】（2019秋•建湖县期末）如图，在∠ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∠AB．【分析】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB．【答案】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，∵EG∥AC在△DEG和△DCA中，，∴△DEG≌△DCA（ASA），∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△DEG≌△DCA是解题的关键．【变式5-2】（2019春•河口区校级期中）如图所示，在∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB于D，AE平分∠BAC 交BC于E，交CD于F，FG∠AB交BC于G．试判断CE，CF，GB的数量关系，并说明理由．【分析】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB．【答案】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，∵EG∥AC在△DEG和△DCA中，，∴△DEG≌△DCA（ASA），∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△DEG≌△DCA是解题的关键．【变式5-3】∠ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP＝BQ+AQ．（有多种辅助线作法）【分析】方法一、延长AB到D，使BD＝BP，连接PD．则∠D＝∠5．由已知条件不难算出：∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝40°＝∠C．于是QB＝QC．又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，故∠D＝40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，等量代换即可得证；方法二、根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBQ＝40°，根据等角对等边的性质可得BQ＝CQ，然后过点P作PD∥BQ，求出PD＝CD，再利用“角角边”证明△ABP 与△ADP全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝AD，BP＝PD，从而得证．【答案】方法一、证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，则∠D＝∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，∴∠D＝40°．在△APD与△APC中，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，∴AB+BP＝BQ+AQ．方法二、如图，∴∠CBQ＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠CBQ＝∠ACB，∴BQ＝CQ，∴BQ+AQ＝CQ+AQ＝AC…①，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，则∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠ACB＝40°，∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD+∠ACB＝40°+40°＝80°，∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵在△ABP与△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB＝AD，BP＝PD，∴AB+BP＝AD+PD＝AD+CD＝AC…②，由①②可得，BQ+AQ＝AB+BP．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，正确作好辅助线，构造全等三角形是解此题的关键，主要考查学生的推理能力，难度偏大．【考点6 旋转法构全等】【方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。

全等三角形证明题中等难度

全等三角形1.已知，图中，AD CE ⊥于D ，BD CE ⊥于E ，AC BC =，90ACB ∠=，求证：DE EB CE +=2.如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等腰三角形，顶角BAC DAE ∠=∠，求证：BD EC =3.如图，已知AB CD =，AE DF =，CE BF =，求证：AF DE =BC4.如图，已知ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，D 是AC 上一点，AE BD ⊥交BD 的延长线于E ，又知12AE BD =，求证：BD 平分ABC ∠EB5.如图，已知AE AD ⊥，AB AF ⊥，AF AB =，AE AD =，AD BC ，AD BC =，求证：AC EF =BE6. 如图，在ABC ∆中，延长中线BE 到F ，使EF BE =；延长中线CD 到H ，使DH CD =，H7.已知，AC和BD彼此平分于E，MN过E点交AB CD、于M N、点，求证，点E平分MNBD8.如图，已知AD DB⊥，BC CA⊥，AC，BD相交于点O，且AC BD=，求证：AD BC=AC 9.如图，已知AB CD，AD BC，AE DB⊥，CF BD⊥，求证：AE CF=B10.如图，已知AC 平分DAB ∠，E 为AC 上一点，AD AB =，求证：CDE CBE ∆≅∆AC11.如图，已知AC DB ，OC OD =，AE BF =，试判断CE 与DF 的位置与大小关系，并给出证明DB AC12.已知，如图，在四边形ABCD 中，AF CE =，AD BC =，AD BC ，求证,DE BF AB DC =C13.已知，AB ED AE BD AF DC EF BC ==、、、，求证C F ∠=∠CF14.如图，已知AB BC DE BC AB CE AC CD ⊥⊥==、、、，求证：（1）AC CD ⊥ （2）DE AB BE -=15.已知，12∠=∠，ABC DCB ∠=∠，求证：AB DC =BC16.已知，AC BD ⊥，AC DC =，EC BC =，E 在AC上，求证：DE AB ⊥D17.如图，已知AD BC，M N、延长线上的点，连结BD，连结MN，交CD、别离是BC DA与P，交BD于E，交AB于Q，DE BE=，求证：AB DC=，MP NQ18.如图，已知ABC=，AD平分BAC∠交CE于H，EF BC，∆中，E在AB上，且AE AC求证：EC平分FED∠B19.如图，已知AB AC∠=∠，求证：AD AE =，M N、的中点，DAB EAC、别离是AB AC=20.已知，AE DE AE DE AB BC DC BC =⊥⊥⊥，，，，求证：AB CD BC +=E21.如图，BE CF 、是ABC ∆的高，在BE 上截取BP AC =，在CF 上截取CQ AB =，求证：AP AQ ⊥B。

第一章全等三角形 (含解析)

第一章全等三角形一．选择题（共26小题）1．下列说法不正确的是()A．两个三角形全等，形状一定相同B．两个三角形全等，面积一定相等C．一个图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等D．所有的正方形都全等2．下列说法中，正确的个数为()①用一张像底片冲出来的10 张五寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的正六边形是全等形④面积相等的两个直角三角形是全等形．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个3．对于两个图形给出下列结论，其中能得到这两个图形全等的结论有()①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列每组中的两个图形，是全等图形的为()A．B．C ．D ．5．下列判断正确的是( )A ．形状相同的图形叫全等形B ．图形的面积相等的图形叫全等形C ．部分重合的两个图形全等D ．两个能完全重合的图形是全等形 6．下列说法正确的是( ) A ．两个周长相等的长方形全等 B ．两个周长相等的三角形全等C ．两个面积相等的长方形全等D ．两个周长相等的圆全等7．如图，在ABC ∆中，50A ∠=︒，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，CE ，39ABD ∠=︒，且CBD BCE ∠=∠，若AEC ADB ∆≅∆，点E 和点D 是对应顶点，则CBD ∠的度数是( )A ．24︒B ．25︒C ．26︒D ．27︒8．如图，ABC AEF ∆≅∆，AB AE =，B E ∠=∠，则对于结论：其中正确的是( ) ①AC AF =， ②FAB EAB ∠=∠， ③EF BC =， ④EAB FAC ∠=∠，A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①③9．若ABC DEF ∆≅∆，则根据图中提供的信息，可得出x 的值为( )A ．30B ．27C ．35D ．4010．下列说法中错误的是( )A ．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B ．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等C ．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D ．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等11．如图，已知：在AFD ∆和CEB ∆，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE CF =，②D B ∠=∠，③AD CB =，④//DF BE ，选出三个条件可以证明AFD CEB ∆≅∆的有( )组．A ．4B ．3C ．2D ．112．如图，以ABC ∆的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧；再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D ；连结AD 、CD ．由作法可得：ABC CDA ∆≅∆的根据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS13．如图，已知14∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC CDA ∆≅∆的是( )A ．23∠=∠B ．B D ∠=∠C ．BC DA =D ．AB DC =14．如图，//AE FD ，AE DF =，要使EAB FDC ∆≅∆，需要添加的条件可以是( )A ．AB BC =B ．EB FC =C ．A F ∠=∠D ．AB CD =15．如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，已知AB DE =，AC DF =，添加下列条件还不能判定ABC DEF ∆≅∆的是( )A ．ABC DEF ∠=∠B ．A D ∠=∠C ．BE CF =D ．BC EF =16．在ABC ∆与△A B C '''中，已知A A ∠=∠'，AB A B =''，增加下列条件，能够判定ABC ∆与△A B C '''全等的是( ) A ．BC B C =''B ．BC A C =''C ．B B ∠=∠'D ．B C ∠=∠'17．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是( ) A ．两条直角边对应相等 B ．两个锐角对应相等C ．斜边和一直角边对应相等D ．斜边和一锐角对应相等18．如图，BE CF =，AE BC ⊥，DF BC ⊥，要根据“HL ”证明Rt ABE Rt DCF ∆≅∆，则还要添加一个条件是( )A ．AB DC =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AE BF =19．如图，AC BC =，AC OA ⊥，CB OB ⊥，则Rt AOC Rt BOC ∆≅∆的理由是( )A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．HL20．如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．如果AB AC =，那么图中全等的直角三角形的对数是( )A ．1B ．2C ．3D ．421．如图，BE CF =，AE BC ⊥，DF BC ⊥，要根据“HL ”证明Rt ABE Rt DCF ∆≅∆，则还需要添加一个条件是( )A ．AE DF =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC =22．如图，若要用“HL ”证明Rt ABC Rt ABD ∆≅∆，则还需补充条件( )A ．BAC BAD ∠=∠B ．AC AD =或BC BD = C ．AC AD =且BC BD =D ．以上都不正确23．如图，在ABC ∆中，AB AC =，112A ∠=︒，E ，F ，D 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且BE CD =，BD CF =，则EDF ∠的度数为( )A ．30︒B ．34︒C ．40︒D ．56︒24．如图，AB CD ⊥，且AB CD =，CE AD ⊥，BF AD ⊥，分别交AD 于E 、F 两点，若BF a =，EF b =，CE c =，则AD 的长为( )A ．a c +B ．b c +C ．a b c -+D ．a b c +- 25．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且14BD BC =，点E 、F 在线段AD 上，满足BED CFD BAC ∠=∠=∠，若20ABC S ∆=，则ABE CDF S S ∆+是多少？( )A ．9B ．12C ．15D ．1826．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5BC cm =，在AC 上取一点E ，使EC BC =，过点E 作EF AC ⊥，连接CF ，使CF AB =，若12EF cm =，则下列结论不正确的是( )A ．F BCF ∠=∠B ．7AE cm =C ．EF 平分ABD ．AB CF ⊥二．解答题（共14小题）27．已知：如图，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，//AD CB ，12∠=∠，AE CF =．求证：ADF CBE ∆≅∆．28．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF CE =，//BE DF ，BE DF =．（1）如图1，求证：ABE CDF ∆≅∆．（2）如图2，连接AD 、BC 、BF 、DE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除ABE ∆全等于CDF ∆外）．29．如图，在ABC ∆中，BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的高，在BD 上截取BF AC =，延长CE 至点G 使CG AB =，连接AF ，AG ．（1）如图1，求证：AG AF =；（2）如图2，若BD 恰好平分ABC ∠，过点G 作GH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．30．如图，AB AC =，BE CD =．（1）求证：B C ∠=∠；（2）连接AO ，若12∠=∠，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形．31．如图，ABC ∆和DEF ∆的顶点B ，F ，C ，D 在同一条直线上，BF CD =，边AC 与EF 相交于点G ，CG FG =，A E ∠=∠．求证：ABC EDF ∆≅∆．32．已知：如图，点E 、F 在CD 上，且A B ∠=∠，//AC BD ，CF DE =．求证：AEC BFD ∆≅∆．33．如图，BD ，CE 分别是ABC ∆的高，且BE CD =，求证：Rt BEC Rt CDB ∆≅∆．34．如图（1），AB AD ⊥，ED AD ⊥，AB CD =，AC DE =，试说明BC CE ⊥的理由；如图（2），若ABC ∆向右平移，使得点C 移到点D ，AB AD ⊥，ED AD ⊥，AB CD =，AD DE =，探索BD CE ⊥的结论是否成立，并说明理由．35．如图所示，在ABC ∆中，AB CB =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．求证：Rt ABE Rt CBF ∆≅∆．36．如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE 是过点A 的直线，BD DE ⊥于D ，CE DE ⊥于点E ；（1）若B 、C 在DE 的同侧（如图所示）且AD CE =．求证：AB AC ⊥；（2）若B 、C 在DE 的两侧（如图所示），且AD CE =，其他条件不变，AB 与AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．37．如图，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ，且BD CE >．求证：BD EC ED =+．38．已知：如图，ABC=，BD与CE交于点F．⊥，BD CE⊥，CE AB∆，BD AC（1）说明AB AC=的理由；（2）联结AF并延长交BC于G，说明AG BC⊥的理由．39．如图，在ABE∆中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB AE=，（2）∠=∠．请用其中两个作为已知条件，余下两个=，（4）BAC EAD=，（3）AC ADBC DE作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．已知：求证：证明：40．如图，在四边形ABCD中，//CD=，点F是AC的中点，连接DF，AB CD，17AB=，12并延长交AB于点E．（1）求BE的长；（2）若AE AD=，13∆的形状，并说明理由．BC=，判断ADF第一章全等三角形参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．下列说法不正确的是()A．两个三角形全等，形状一定相同B．两个三角形全等，面积一定相等C．一个图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等D．所有的正方形都全等解：A、两个三角形全等，形状一定相同，正确，故本选项错误；B、两个三角形全等，面积一定相等，正确，故本选项错误；C、一个图形经过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等，正确，故本选项错误；D、只有边长相等的正方形才全等，所以所有的正方形都全等错误，故本选项正确．故选：D．2．下列说法中，正确的个数为()①用一张像底片冲出来的10 张五寸照片是全等形；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形；③所有的正六边形是全等形④面积相等的两个直角三角形是全等形．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个解：①用一张像底片冲出来的10 张五寸照片是全等形，正确；②我国国旗上的四颗小五角星是全等形，正确；③所有的正六边形是全等形，错误，正六边形的边长不一定相等；④面积相等的两个直角三角形是全等形，错误．综上所述，说法正确的是①②共2 个．故选：B．3．对于两个图形给出下列结论，其中能得到这两个图形全等的结论有()①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；②如果面积相同而形状不同也不全等；③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确．所以只有1个正确，故选：A．4．下列每组中的两个图形，是全等图形的为()A．B．C．D．解：A选项两图形能够重合，为全等形，正确；B选项的大小不同，不重合，故错误；C选项的大小也不一样，不重合，错误；D选项形状不一样，不重合，错误；故选：A．5．下列判断正确的是()A ．形状相同的图形叫全等形B ．图形的面积相等的图形叫全等形C ．部分重合的两个图形全等D ．两个能完全重合的图形是全等形解：A、如果形状相同而面积不同，则不是全等形，错；B、如果面积相等，而形状不同，则不是全等形，错；C、根据全等形概念，强调是完全重合，错．D、正确．故选：D．6．下列说法正确的是()A．两个周长相等的长方形全等B．两个周长相等的三角形全等C．两个面积相等的长方形全等D．两个周长相等的圆全等解：A、长方形周长相等，但面积、长、宽不一定相等，错；B、三角形周长相等，但不一定对应边完全相等，错；C、长方形面积相等，但长、宽不一定相等，错；D、圆的周长相等，就可知道半径相等，两圆可完全重合，正确．故选：D．7．如图，在ABCABD∠=︒，A∠=︒，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，39∆中，50且CBD BCE∠的度数是()∆≅∆，点E和点D是对应顶点，则CBD ∠=∠，若AEC ADBA．24︒B．25︒C．26︒D．27︒解：AEC ADB∆≅∆，∴=，AC ABABC ACB∴∠=∠，∠=︒，A50∴∠=∠=︒，65ABC ACB又39ABD ∠=︒， 653926CBD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．8．如图，ABC AEF ∆≅∆，AB AE =，B E ∠=∠，则对于结论：其中正确的是( ) ①AC AF =， ②FAB EAB ∠=∠， ③EF BC =， ④EAB FAC ∠=∠，A ．①②B ．①③④C ．①②③④D ．①③解：ABC AEF ∆≅∆，AC AF ∴=，EF CB =，EAF BAC ∠=∠， EAF BAF BAC BAF ∴∠-∠=∠-∠， EAB FAC ∴∠=∠，正确的是①③④，故选：B ．9．若ABC DEF ∆≅∆，则根据图中提供的信息，可得出x 的值为( )A ．30B ．27C ．35D ．40解：ABC DEF ∆≅∆， 30BC EF ∴==，故选：A ．10．下列说法中错误的是( )A ．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B ．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等C ．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D ．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等解：A 、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA ”，说法正确； B 、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS ”，说法正确； C 、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS ”，说法正确； D 、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；故选：D ．11．如图，已知：在AFD ∆和CEB ∆，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE CF =，②D B ∠=∠，③AD CB =，④//DF BE ，选出三个条件可以证明AFD CEB ∆≅∆的有( )组．A ．4B ．3C ．2D ．1解：AE CF =，AE EF CF EF ∴+=+， AF CE ∴=， //DF BE ， DFA BEC ∴∠=∠，∴若①②③为条件，不能证明AFD CEB ∆≅∆，若①②④为条件，能证明()AFD CEB AAS ∆≅∆，若①③④为条件，不能证明AFD CEB ∆≅∆，若②③④为条件，能证明()AFD CEB AAS ∆≅∆，故选：C ．12．如图，以ABC ∆的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧；再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D ；连结AD 、CD ．由作法可得：ABC CDA ∆≅∆的根据是( )A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS解：由题意可得， AD BC =，AB CD =，在ADC ∆和CBA ∆中， AD CB DC BA AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ADC CBA SSS ∴∆≅∆，故选：D ．13．如图，已知14∠=∠，添加以下条件，不能判定ABC CDA ∆≅∆的是( )A ．23∠=∠B ．B D ∠=∠C ．BC DA =D ．AB DC =解：A 、在ABC ∆和CDA ∆中 1432AC CA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC CDA ASA ∴∆≅∆，故本选项不符合题意；B 、在ABC ∆和CDA ∆中 14BD AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC CDA AAS ∴∆≅∆，故本选项不符合题意； C 、在ABC ∆和CDA ∆中14BC DA AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC CDA SAS ∴∆≅∆，故本选项不符合题意；D 、根据AB AC =，AC AC =和14∠=∠不能推出ABC CDA ∆≅∆，故本选项符合题意；故选：D ．14．如图，//AE FD ，AE DF =，要使EAB FDC ∆≅∆，需要添加的条件可以是( )A ．AB BC = B ．EB FC = C ．A F ∠=∠D ．AB CD =解：//AE DF ，A D ∴∠=∠，A 、根据AB BC =，AE DF =和AD ∠=∠不能推出EAB FDC ∆≅∆，故本选项不符合题意； B 、根据EB FC =，AE DF =和A D ∠=∠不能推出EAB FDC ∆≅∆，故本选项不符合题意； C 、根据AE DF =和A F ∠=∠不能推出EAB FDC ∆≅∆，故本选项不符合题意；D 、在EAB ∆和FDC ∆中 AE DFA D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EAB FDC SAS ∴∆≅∆，故本选项符合题意；故选：D ．15．如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，已知AB DE =，AC DF =，添加下列条件还不能判定ABC DEF ∆≅∆的是( )A ．ABC DEF ∠=∠B ．A D ∠=∠C ．BE CF =D ．BC EF =解：已知AB DE =，AC DF =，添加的一个条件是ABC DEF ∠=∠，根据条件不可以证明ABC DEF ∆≅∆，故选项A 符合题意；已知AB DE =，AC DF =，添加的一个条件是A D ∠=∠，根据SAS 可以证明ABC DEF ∆≅∆，故选项B 不符合题意；已知AB DE =，AC DF =，添加的一个条件是EB CF =，可得得到BC EF =，根据SSS 可以证明ABC DEF ∆≅∆，故选项C 不符合题意；已知AB DE =，AC DF =，添加的一个条件是BC EF =，根据SSS 可以证明ABC DEF ∆≅∆，故选项D 不符合题意；故选：A ．16．在ABC ∆与△A B C '''中，已知A A ∠=∠'，AB A B =''，增加下列条件，能够判定ABC ∆与△A B C '''全等的是( ) A ．BC B C =''B ．BC A C =''C ．B B ∠=∠'D ．B C ∠=∠'解：A 、若添加条件BC B C =''，不能判定ABC ∆≅△A B C '''，故此选项不合题意； B 、若添加条件BC A C =''，不能判定ABC ∆≅△A B C '''，故此选项不合题意； C 、若添加条件B B ∠=∠'，可利用ASA 判定ABC ∆≅△A B C '''，故此选项题意；D 、若添加条件B C ∠=∠'，不能判定ABC ∆≅△A B C '''，故此选项不合题意．故选：C ．17．下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是( ) A ．两条直角边对应相等 B ．两个锐角对应相等C ．斜边和一直角边对应相等D ．斜边和一锐角对应相等解：A 、根据SAS 可以判定三角形全等，本选项不符合题意． B 、AA 不能判定三角形全等，本选项符合题意． C 、根据HL 可以判定三角形全等，本选项不符合题意．D 、根据AAS 可以判定三角形全等，本选项不符合题意．故选：B ．18．如图，BE CF =，AE BC ⊥，DF BC ⊥，要根据“HL ”证明Rt ABE Rt DCF ∆≅∆，则还要添加一个条件是( )A ．AB DC = B ．AD ∠=∠ C ．B C ∠=∠ D ．AE BF =解：条件是AB CD =，理由是：AE BC ⊥，DF BC ⊥，90CFD AEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt DCF ∆中， AB CDBE CF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt DCF(HL)∴∆≅∆，故选：A ．19．如图，AC BC =，AC OA ⊥，CB OB ⊥，则Rt AOC Rt BOC ∆≅∆的理由是( )A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．HL解：AC OA ⊥，BC OB ⊥，90A B ∴∠=∠=︒，在Rt AOC ∆和Rt BOC ∆中AC BC CO CO =⎧⎨=⎩，Rt AOC Rt BOC(HL)∴∆≅∆，故选：D ．20．如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于点O ．如果AB AC =，那么图中全等的直角三角形的对数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：CD AB ⊥，BE AC ⊥， 90ADC AEE ∴∠=∠=︒，在ADC ∆和AEB ∆中，ADC AEB DAC EAB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC AEB AAS ∴∆≅∆；AD AE ∴=，C B ∠=∠， AB AC =， BD CE ∴=，在BOD ∆和COE ∆中，B C BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOD COE AAS ∴∆≅∆； OB OC ∴=，OD OE =，在Rt ADO ∆和Rt AEO ∆中，OA OAOD OE =⎧⎨=⎩，Rt ADO Rt AEO(HL)∴∆≅∆； ∴共有3对全等三角形，故选：C ．21．如图，BE CF =，AE BC ⊥，DF BC ⊥，要根据“HL ”证明Rt ABE Rt DCF ∆≅∆，则还需要添加一个条件是( )A ．AE DF =B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC =解：条件是AB CD =，理由是：AE BC ⊥，DF BC ⊥， 90CFD AEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆和Rt DCF ∆中，AB CD BE CF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt DCF(HL)∴∆≅∆，故选：D ．22．如图，若要用“HL ”证明Rt ABC Rt ABD ∆≅∆，则还需补充条件( )A ．BAC BAD ∠=∠B ．AC AD =或BC BD =C ．AC AD =且BC BD = D ．以上都不正确解：从图中可知AB 为Rt ABC ∆和Rt ABD ∆的斜边，也是公共边．很据“HL ”定理，证明Rt ABC Rt ABD ∆≅∆，还需补充一对直角边相等，即AC AD =或BC BD =，故选：B ．23．如图，在ABC ∆中，AB AC =，112A ∠=︒，E ，F ，D 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且BE CD =，BD CF =，则EDF ∠的度数为( )A ．30︒B ．34︒C ．40︒D ．56︒ 解：AB AC =，112A ∠=︒，34B C ∴∠=∠=︒，在BDE ∆和CFD ∆中，BE CD B C BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CFD SAS ∴∆≅∆，BED CDF ∴∠=∠，BDE CFD ∠=∠，BED BDE CDF CFD ∴∠+∠=∠+∠，BED B CDE EDF CDF ∠+∠=∠=∠+∠，34B EDF ∴∠=∠=︒，故选：B ．24．如图，AB CD ⊥，且AB CD =，CE AD ⊥，BF AD ⊥，分别交AD 于E 、F 两点，若BF a =，EF b =，CE c =，则AD 的长为( )A ．a c +B ．b c +C ．a b c -+D ．a b c +- 解：AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，90AFB CED ∴∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠+∠=︒，A C ∴∠=∠，AB CD =，A C ∠=∠，90CED AFB ∠=∠=︒()ABF CDE AAS ∴∆≅∆AF CE c ∴==，BF DE a ==，EF b =，()AD AF DF c a b a b c ∴=+=+-=-+，故选：C ．25．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且14BD BC =，点E 、F 在线段AD 上，满足BED CFD BAC ∠=∠=∠，若20ABC S ∆=，则ABE CDF S S ∆+是多少？( )A ．9B ．12C ．15D ．18 解：BED CFD BAC ∠=∠=∠，BED BAE ABE ∠=∠+∠，BAC BAE CAF ∠=∠+∠，CFD FCA CAF ∠=∠+∠，ABE CAF ∴∠=∠，BAE FCA ∠=∠，在ABE ∆和CAF ∆中，ABE CAF AB ACBAE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABE CAF ASA ∴∆≅∆，ABE ACF S S ∆∆∴=，ABE CDF ACD S S S ∆∆∴+=20ABC S ∆=，14BD BC =， 15ACD S ∆∴=，故选：C ．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5BC cm =，在AC 上取一点E ，使EC BC =，过点E 作EF AC ⊥，连接CF ，使CF AB =，若12EF cm =，则下列结论不正确的是( )A．F BCF∠=∠B．7AE cm=C．EF平分AB D．AB CF⊥解：EF AC⊥，90ACB∠=︒，90FEC ACB∴∠=∠=︒，90F FCE FCE BCF∴∠+∠=∠+∠=︒，F BCF∴∠=∠；故A选项正确；在Rt ACB∆与Rt FEC∆中，BC EC AB CF=⎧⎨=⎩，Rt ACB Rt FEC(HL)∴∆≅∆，12AC EF∴==，5CE BC cm==，7AE AC CE cm∴=-=，故B选项正确；Rt ACB Rt FEC∆≅∆，A F∴∠=∠，ADE EDF∠=∠，90FED AEF∴∠=∠=︒，AB CF∴⊥，故D选项正确；AED ACB∠=∠，//DE BC∴，∴75 AD AEDB CE==，AD DB∴≠，EF∴不平分AB，故C选项错误，故选：C．二．解答题（共14小题）27．已知：如图，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，//AD CB ，12∠=∠，AE CF =．求证：ADF CBE ∆≅∆．【解答】证明：//AD CB ，A C ∴∠=∠，AE CF =，AE EF CF EF ∴+=+，即AF CE =，在ADF ∆和CBE ∆中12A C AF CE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADF CBE ASA ∴∆≅∆．28．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF CE =，//BE DF ，BE DF =．（1）如图1，求证：ABE CDF ∆≅∆．（2）如图2，连接AD 、BC 、BF 、DE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除ABE ∆全等于CDF ∆外）．【解答】（1）证明：AF CE =，AF EF CE EF ∴+=+，即AE CF =，//BE DF ，AEB CFD ∴∠=∠，在ABE ∆和CDF ∆中BE DFAEB CFD AE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CDF SAS ∴∆≅∆；（2）图2中的全等三角形有ABC CDA ∆≅∆，AFB CED ∆≅∆，ADE CBF ∆≅∆，ADF CBE ∆≅∆，理由是：ABE CDF ∆≅∆，AB CD ∴=，BAC DCA ∠=∠，在ABCHE CDA ∆∆中AB CDBAC DCA AC CA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDA SAS ∴∆≅∆，AD BC ∴=，DAC BCA ∠=∠，在AFB ∆和CED ∆中AB CDBAF DCE AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFB CED SAS ∴∆≅∆，在ADE ∆和CBF ∆中AD CBDAE BCF AE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBF SAS ∴∆≅∆，在ADF ∆和CBE ∆中AD CB DAF BCE AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF CBE SAS ∴∆≅∆．29．如图，在ABC ∆中，BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的高，在BD 上截取BF AC =，延长CE 至点G 使CG AB =，连接AF ，AG ．（1）如图1，求证：AG AF =；（2）如图2，若BD 恰好平分ABC ∠，过点G 作GH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．【解答】证明：（1）BD 、CE 分别是AC 、AB 两条边上的高， 90AEC ADB ∴∠=∠=︒，90ABD BAD ACE CAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ABD ACG ∴∠=∠，在AGC ∆与FAB ∆中，BF CA ABF GCA AB GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGC FAB SAS ∴∆≅∆，AG AF ∴=；（2）图中全等三角形有AGC FAB ∆≅∆，由90CG AB H BDA GCH ABD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩得出CGH BAD ∆≅∆，由AF AG GH AD =⎧⎨=⎩得出Rt AGH Rt AFD ∆≅∆． 30．如图，AB AC =，BE CD =．（1）求证：B C ∠=∠；（2）连接AO ，若12∠=∠，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形．【解答】（1）证明：AB AC =，BE CD =，AB BE AC CD ∴-=-，即AE AD =，在ABD ∆和ACE ∆中，AD AEA A AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，B C ∴∠=∠；（2）解：图中的全等三角形有ABD ACE ∆≅∆，AEO ADO ∆≅∆，BEO CDO ∆≅∆，ABO ACO ∆≅∆，理由是：在ABO ∆和ACO ∆中，12B CAO AO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABO ACO AAS ∴∆≅∆；由（1）知：ABD ACE ∆≅∆；在AEO ∆和ADO ∆中，12AE ADAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO ADO SAS ∴∆≅∆；在BEO ∆和CDO ∆中，EOB DOC B CBE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEO CDO AAS ∴∆≅∆．31．如图，ABC ∆和DEF ∆的顶点B ，F ，C ，D 在同一条直线上，BF CD =，边AC 与EF 相交于点G ，CG FG =，A E ∠=∠．求证：ABC EDF ∆≅∆．【解答】证明：FG CG =，ACB DFE ∴∠=∠，BF CD =，FC FC =，BF FC CD FC ∴+=+，即BC DF =，在ABC ∆与EDF ∆中A E ACB DFE BC DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EDF AAS ∴∆≅∆．32．已知：如图，点E 、F 在CD 上，且A B ∠=∠，//AC BD ，CF DE =．求证：AEC BFD ∆≅∆．【解答】证明：//AC BD ，C D ∴∠=∠，CF DE =，CF EF DE EF ∴+=+，即CE DF =，在AEC ∆和BFD ∆中A B C D CE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEC BFD AAS ∴∆≅∆．33．如图，BD ，CE 分别是ABC ∆的高，且BE CD =，求证：Rt BEC Rt CDB ∆≅∆．【解答】证明：BD ，CE 分别是ABC ∆的高，90BEC CDB ∴∠=∠=︒，在Rt BEC ∆和Rt CDB ∆中，BC BC BE CD =⎧⎨=⎩， Rt BEC Rt CDB(HL)∴∆≅∆．34．如图（1），AB AD ⊥，ED AD ⊥，AB CD =，AC DE =，试说明BC CE ⊥的理由；如图（2），若ABC ∆向右平移，使得点C 移到点D ，AB AD ⊥，ED AD ⊥，AB CD =，AD DE =，探索BD CE ⊥的结论是否成立，并说明理由．解：（1）AB AD ⊥，ED AD ⊥，90A D ∴∠=∠=︒．又AB CD =，AC DE =，ABC DCE ∴∆≅∆．B DCE ∴∠=∠．90B ACB ∠+∠=︒，90ACB DCE ∴∠+∠=︒．90BCE ∴∠=︒，即BC CE ⊥；（2）AB AD ⊥，ED AD ⊥，90A CDE ∴∠=∠=︒．又AB CD =，AD DE =，ABD DCE ∴∆≅∆．B DCE ∴∠=∠．90B ADB ∠+∠=︒，90ADB DCE ∴∠+∠=︒．BD CE ⊥．35．如图所示，在ABC ∆中，AB CB =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =．求证：Rt ABE Rt CBF ∆≅∆．【解答】证明：在Rt ABE ∆和Rt CBF ∆中，AE CFAB CB =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆．36．如图，在ABC ∆中，AB AC =，DE 是过点A 的直线，BD DE ⊥于D ，CE DE ⊥于点E ；（1）若B 、C 在DE 的同侧（如图所示）且AD CE =．求证：AB AC ⊥；（2）若B 、C 在DE 的两侧（如图所示），且AD CE =，其他条件不变，AB 与AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：BD DE ⊥，CE DE ⊥，90ADB AEC ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆和Rt ACE ∆中，AB ACAD CE =⎧⎨=⎩， Rt ABD Rt CAE ∴∆≅∆．DAB ECA ∴∠=∠，DBA EAC ∠=∠．90DAB DBA ∠+∠=︒，90EAC ACE ∠+∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒．180()90BAC BAD CAE ∠=︒-∠+∠=︒．AB AC ∴⊥．（2）AB AC ⊥．理由如下：同（1）一样可证得Rt ABD Rt ACE ∆≅∆．DAB ECA ∴∠=∠，DBA EAC ∠=∠，90CAE ECA ∠+∠=︒，90CAE BAD ∴∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒，AB AC ∴⊥．37．如图，AB AC =，90BAC ∠=︒，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ，且BD CE >．求证：BD EC ED =+．【解答】证明：90BAC ∠=︒，CE AE ⊥，BD AE ⊥，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，90BAD DAC ∠+∠=︒，90ADB AEC ∠=∠=︒．ABD DAC ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中ABD EAC BDA EAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆．BD AE ∴=，EC AD =．AE AD DE =+，BD EC ED ∴=+．38．已知：如图，ABC ∆，BD AC ⊥，CE AB ⊥，BD CE =，BD 与CE 交于点F ．（1）说明AB AC =的理由；（2）联结AF 并延长交BC 于G ，说明AG BC ⊥的理由．解：（1）BD AC ⊥，CE AB ⊥，90ADB AEC ∴∠=∠=︒，BD CE =，A A ∠=∠，()ABD ACE AAS ∴∆≅∆AB AC ∴=；（2）AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，ABD ACE ∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，FBC FCB ∴∠=∠，FB FC ∴=，在ABF ∆和ACF ∆中，AB AC FB FC AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABF ACF SSS ∴∆≅∆BAF CAF ∴∠=∠，AB AC =，AG BC ∴⊥．39．如图，在ABE ∆中，C ，D 是边BE 上的两点，有下面四个关系式：（1）AB AE =，（2）BC DE =，（3）AC AD =，（4）BAC EAD ∠=∠．请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．已知：求证：证明：解：已知：AB AE=，BC DE=，求证：AC AD∠=∠，=，BAC EAD证明：AB AE=，B E∴∠=∠，∠=∠，BC DE=，B EAB AE=，∴∆≅∆，()ABC AED SAS∠=∠；AC AD∴=，BAC EAD也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似．40．如图，在四边形ABCD中，//CD=，点F是AC的中点，连接DF，AB=，12AB CD，17并延长交AB于点E．（1）求BE的长；（2）若AE AD∆的形状，并说明理由．=，13BC=，判断ADF解：（1）F是AC的中点，∴=，AF CFAB CD，//∠=∠，∴∠=∠，AEF CDFEAF DCFAEF CDF ASA∴∆≅∆，()AE CD∴==，12∴=-=-=；17125BE AB AE（2）AFD∆是等腰直角三角形，理由如下：连接CE，由（1）得AE CD=，//AB CD，∴四边形AECD是平行四边形，=，AE AD∴平行四边形AECD是菱形，CE CD∴==，12222213169BC==，+=+=，22125169CE BE222CE BE BC∴+=，AEC∠=︒，∴∆是直角三角形，90BCE∴菱形AECD是正方形，⊥，∴=，AC DEAC DE∴=，AF DF∴∆是等腰直角三角形．AFD。