计算方法非线性方程的数值解法

且 f (0) = − 1 < 0, f (1) = 3 > 0 ，由介值定理知 f ( x ) = 0 在区间[ 0，1] 上至 少有一个实根 x * 。又因为 f ′( x ) = 3 x 2 − 6 x + 6 = 3( x − 1) 2 + 3 > 0 ，所以
f ( x ) 在 [0,1] 上单调增加，因而 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 1 = 0 在区间 (0,1) 内有唯
第二章
非线性方程的数值解法
第2 章
2.1 2.2 2.3 2.4
非线性方程的数值解法
初始近似值的搜索 迭代法 牛顿迭代法（切线法） 牛顿迭代法（切线法） 弦截法（割线法） 弦截法（割线法）
2.1
初始近似值的搜索
2.1.1方程的根
非 线性方 程：高 次代数 方程和超越方程。 定义
*
非 线 性 方 程 f ( x) = 0
2x 2
因此 x = 0 ′′′( x) = 8e2 x ， f ′′′(0) = 8 ≠ 0 ， f 是方程 f ( x) = e2 x − 1 − 2 x − 2 x 2 = 0 的 3 重根。
有根区间
介值定理 若函数 f ( x) 在[a, b] 连续，且 f (a ) f (b) < 0 ，则方程 f ( x) = 0 在 (a, b) 内至 少有一个实根。将[a, b] 称为 f ( x) 的有根区间。
bn
0. 185 0. 185 0. 185 0. 183
xk
0. 179 0. 182 0. 183 0. 183
f ( xk )
_ _ +
例 解
用二分法求方程 x lg x = 1 的近似根，使误差不超过 0.01 。 设 f ( x ) = x lg x − 1 ，则 f ( x ) 在 [ 1 ， 3] 连续，且
f (1) = − 1 < 0, f (3) = 3 lg 3 − 1 > 0 ， 由介 值定理 知 f ( x ) = 0 在 区间
一实根 x * 。 下面用二分法求这个根的近似值。
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
an
0 0 0 0. 125 0. 125 0. 157 0. 173 0. 173 0. 173 0. 173
bn
1 0. 500 0. 250 0. 250 0. 188 0. 188 0. 188 0. 267 0. 220 0. 196
区间二分法 上单调连续， 定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续， <0， 在区间[ 且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上 有且仅有一个实根x*。 二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间， 将有根的区间二分为两个小区间，然 后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间， 后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间， 而把有根的小区间再一分为二， 而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于 哪个更小的区间， 哪个更小的区间，如此反复 ，直到求出满足 精度要求的近似根。 精度要求的近似根。
2.1.2
逐步搜索法
在区间[ 假设f(x)在区间[a,b]内有一 较小， 个实根x*,若 b – a较小，则可在 (a,b)上任取一点x0作为初始近似
y f(x ) 0 a x* b x
根。
一般情形，可用逐步搜索法。 一般情形，可用逐步搜索法。
假设条件：有根区间 (a, b) ， f (a) < 0 ， 从有根区间的左端点 x0 = a 开始，按步长逐步 向右跨。 f ( xk ) = 0 ， xk 即为根， 若 则 停止搜索； 若 f ( xk ) < 0 ，则再跨一步；若 f ( xk ) > 0 ，则 确定一个缩小的有根区间 ( xk −1 , xk ) ，其宽度等 于步长 h 。
例
f ( x ) = 3( x − a ) ， f ′( x ) = 3 ， f ( a ) = 0 ， f ′( a ) ≠ 0 ，单根。
f ( x ) = 3( x − a ) 2 ， f ′( x ) = 6( x − a ) ， f ′′( a ) = 6 ， f ( a ) = 0 ，
f ′( a ) = 0 ， f ′′( a ) ≠ 0 ，二重根。
所 需 分14 次 以 二 。
计算步骤： （ 1 ）找出 f ( x) = 0 的有根区间 (a, b) ，即确定 a ， b 使得 f (a) f (b) < 0 ，并计算 f (a) ， f (b) 。 （2）计算 f ( （3）若 f (
a+b ) = 0 ，计算停止；若 f ( a + b ) f (a) < 0 ，用a + b 代替b ； 2 2 2 a+b a+b f( ) f (b) < 0 以 若 代替 a 。 2 2 ，
1 1 | x − xk |≤ (bk − ak ) = k + 1 ( b − a ) 2 2
y
0 a
1 2
f (x) a1 x0 a2 b1 x1 b x b2
第2次二分，取中点 x1 = (a1 + b1 ) 次二分， 次二分
若 f(a1 )f(x1 )<0，则 x*∈( a1 , x1 )， a2=a1 , b2=x1； 令 否则 令 a2=x1 , b2=b1 。
x f(x) 0 0.5 1.0 1.5 ― ― ― +
可见在（1，1.5）内有根。 可见在（1，1.5）内有根。又
f ′( x ) = 3 x 2 − 1 > 0 (1 < x < 1.5)
所以f(x)在区间（1,1.5）上单调连续，因而在 在区间（ 所以 在区间 ）上单调连续，因而在(1,1.5)内 内 有且仅有一个实根，故可取[1 有且仅有一个实根，故可取 ,1.5]上任一点做初始近 上任一点做初始近 似根。 似根。
新的有根区间为(a 新的有根区间为 2 , b2 ) 。
由此得二分过程结束的原则： 由此得二分过程结束的原则： 二分过程结束的原则
先给定精度要求ε(绝对误差限)， （1）事先由ε估计出二分的最小次数 k ，取 x*≈xk
lg(b − a ) − lg ε b−a b−a k +1 −1 k> 由 x − x k ≤ k +1 < ε 得 2 > ， lg 2 2 ε
b−a ， f (b) > 0 。具体步骤：给定一个步长 h = n
例 对方程 搜索有根区间。 f ( x) = x3 − x − 1 = 0 由于f(x)是连续函数， f(0)= -1<0，f(2)>0，故方程 是连续函数， 解 由于 是连续函数 ， ， 至少有一正实根。设从x=0 出发，取h=0.5为步长，逐步 出发， 为步长， 至少有一正实根。设从 为步长 右跨搜索， 右跨搜索，得
， 存 在 x* 使
， 则 称 x* 为 方 程 的 根 ， 又 称 为 函 数 f (x ) = 0 f ( x) 的 零 点 。 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部的 根。单根、重根。
单根和重根
定理 若 f ( x ) 满足 f ( x ) = ( x − x * ) m ϕ ( x ) ， 其中 ϕ ( x * ) ≠ 0 ， 则称 x * 是方程 f ( x ) = 0 的 m 重根 和函数 f ( x ) 的 m 重零点 。当 m = 1 时 ， x * 是方 程 的 单 根 和 函 数 f ( x) 的 单 零 点 。 定理 函数 f ( x ) 对于数 x * 有 f ( x * ) = 0 ，但 f ′( x * ) ≠ 0 则称 x * 为方 程的单根。 设 f ( x) 在 x* 的 某 邻 域 存 在 m 阶 连 续 导 数 ， 如 果 有
2.1.3
令 (a,b) = (a0,b0) 中点 x0 = 1 (a0 + b0 )
2
这时有三种情况： 这时有三种情况：
y f (x) a1 b1 x0 x* b x
f(x0)=0, x0为所求的根 为所求的根. f(x0)和a0 同号，取x0 = a1 和 同号， f(x0)和b0 同号，取x0 = b1 和 同号，
(m)
f ( x * ) = f ′( x * ) = L = f（ m −1) ( x * ) = 0 ， 但 f
( x* ) ≠ 0 ， 则 称 x* 是 方 程
f ( x ) = 0 的 m 重根和函数 f ( x ) 的 m 重零点 。当 m = 1 时 ， x * 是方程的单 根 和 函 数 f ( x) 的 单 零 点 。
1 1 1 b1 − a1 = (b0 − a0 ), b2 − a2 = (b1 − a1 ) = 2 (b − a ) 2 2 2 1 bk − ak = k (b − a ) 2
近似根x 近似根 k的误差估计
1 xk = (ak + bk )∈( a k , b k ) , 2
∗
k=0,1,2,…..
*
（2）当|bk+1 – ak+1|< ε时结束二分计算，取 x*≈xk ； 时结束二分计算， 时结束二分计算
证 非 性 程 f (x) =1− x −sin x = 0在[0,1] 内 一 根 使 二 明 线 方 有 个 ， 用
1 −4 分 求 差 大 ×10 的 要 分 少 ? 法 误 不 于 根 二 多 次 2 解 f (x) =1− x −sin x = 0是 续 数 且 连 函 ， f (0) =1> 0, f (1) =−sin1< 0 又 f ′(x) =−1−cos x < 0 x∈[0,1] 所 ， f (x) 在x∈[0,1]上 且 有 个 。 以 有 仅 一 根 1 1 −4 * 又 x −x ≤ (b−a) ≤ ×10 k+1 2 2 lg(1−0) +4 k≥ =13.82 lg2