10[1].1简谐振动_793102960

1 2 E = Ek + Ep = kA 2 总能量是恒量，与振幅平方成正比， 总能量是恒量，与振幅平方成正比，振幅反 映振动强度 简谐振动的一个基本特征 简谐振动的一个基本特征
动能、势能在一个周期内的时间平均值： 动能、势能在一个周期内的时间平均值：
1 1 21 Ek = ∫ Ek dt = kA sin 2 (ωt + ϕ )dt T 0 2 T∫ 0
SHM判据：准弹性力 微分方程 能量特征 判据： 判据 【思考】设地球密度均匀，质点通过穿过地心 思考】设地球密度均匀， 的直隧道的振动是 SHM 吗? 【例10.2】一轻质弹簧上端固定，下端挂一物 】一轻质弹簧上端固定， 让物体在竖直方向振动。 体 ， 让物体在竖直方向振动 。 证明物体作简谐 振动， 并求系统的能量。 振动 ， 并求系统的能量 。 设物体平衡时弹簧的 伸长量 ∆l = 9.8 × 10−2 m ，在下面两种情况下求物 体位移的表达式： ） 体位移的表达式：（1）当t=0时，物体在平衡位 时 置上方8.0× 远处， 置上方 ×10−2m远处， 并由静止开始向下运动 ； 远处 并由静止开始向下运动； （ 2 ） 当 t=0 时 ， 物 体 处 于 平 衡 位 置 ， 并 以 0.6m·s−1的速度向上运动。 的速度向上运动。
1 21 = kA 2 T 1 1 2 ∫ 2 [1 − cos 2(ωt + ϕ )]dt = 4 kA 0
T
T
T
1 2 Ep = Ek = kA 4
作简谐振动的弹簧振子的动能和势能对时间 的平均值相等，等于总能量的1/2。 的平均值相等，等于总能量的 。 对其他简谐振动系统也成立 对其他简谐振动系统也成立
x = A cos(ω t + ϕ )
简谐振动的三个特征量： 简谐振动的三个特征量： 振幅 A：振动质点离开平衡位置的最大距离 ： 角（圆）频率ω：决定于振动系统自身性质 频率 ： 固有角频率 固有角频率 相位(ωt +ϕ) ：反映 t 时刻质点振动状态 相位 时刻的相位， 初相ϕ ：t = 0 时刻的相位，取值决定于时间 零点的选择。 零点的选择。 知道了A、 、 就给定了一个简谐振动。 知道了 、ω、ϕ ，就给定了一个简谐振动。
振动： 振动：任何一个物理量的值不断地经过极大 值和极小值而变化的现象 机械振动、电磁振动（振荡） 机械种振动的物理机制可能不同，但具有共同 的特征。 的特征。 波动或波： 波动或波：振动或扰动在空间的传播 机械波、电磁波（光是一种电磁波）、… 机械波、电磁波（光是一种电磁波）、… ）、 波动也存在于微观世界。 波动也存在于微观世界。 波动的基本特征是相干叠加性 ： 波动的基本特征是 相干叠加性： 波可以相干 相干叠加性 叠加，发生干涉和衍射。 叠加，发生干涉和衍射。
9.1.3 简谐振动的能量 作简谐振动的弹簧振子的总能量： 作简谐振动的弹簧振子的总能量： 1 2 1 2 E = Ek + Ep = mv + kx 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Ek = mv = mω A sin (ωt + ϕ ) = kA sin (ωt + ϕ )
2
2
2
1 2 1 2 2 Ep = kx = kA cos (ωt + ϕ ) 2 2
把势能零点取在平衡位置O 把势能零点取在平衡位置 弹性势能： 弹性势能： 1 = − E
∫
0
x
k ( x + ∆ l )dx
1 2 1 2 = kx + k∆lx = kx + mgx 2 −∆l −∆ 2 重力势能： 重力势能：E 2 = − mgx
1 2 系统的势能： 系统的势能：Ep = E1 + E2 = kx 2 1 1 2 2 系统的能量： 系统的能量：E = mv + kx 2 2
本章介绍机械振动、机械波，但基本概念、 本章介绍机械振动、机械波，但基本概念、 规律对各种振动和波都适用。 规律对各种振动和波都适用。 10.1 简谐振动 10.1.1 简谐振动的描述 10.1.2 旋转矢量图和简谐振动的复数表示 10.1.3 简谐振动的能量
10.1.1 简谐振动的描述 弹性力： 弹性力：f = − kx
∆ （2）两个振动反相： ϕ = (2k + 1)π, k = 0,±1,±2,L ）两个振动反相：
x1、x2 振动步调完全相反：两振动质点同时 振动步调完全相反： 到达各自相反方向极端位置， 到达各自相反方向极端位置 ， 同时通过平衡位 置但反向运动， 始终反向。 置但反向运动，A1 和 A2 始终反向。 （3）当∆ϕ 取其他值： 称两个振动不同相 取其他值： ）
dθ + ω 2θ = 0 dt 2
2
θ = Θ cos(ωt + ϕ )
不是很小： 如果摆角θ 不是很小： sin θ = θ −
dθ 1 2 3 2 +ω θ − ω θ +L= 0 2 dt 6
2
θ
3
6
+K
非线性系统。 非线性系统。 非线性系统 目前尚无普遍适用的统一理论。 目前尚无普遍适用的统一理论。 【演示实验】小混沌摆 演示实验】 稳定平衡位置附近的微振动一般可看成简谐 振动。原子核中质子和中子的振动、 振动。原子核中质子和中子的振动 、 分子中原 子的振动和固体晶格点阵上原子的振动 简 谐 振动。 振动。 可以看成简谐振子。 可以看成简谐振子。
2 0
v
2 0 2
位移表达式： 位移表达式：
π x 2 = 6.0 × 10 cos 10 t + 2
−2
周期 T =
2π
ω
振动往复一次所经过的时间 振动往复一次所经过的时间
2π 单位时间内相位的变化 单位时间内相位的变化 角频率 ω = T 1 ω 单位时间内振动往复的次数 单位时间内振动往复的次数 频率 ν = = T 2π
ω、T 或ν ：表示简谐振动的时间周期性 、 2π ω= dx 质点的运动速度： 质点的运动速度： v = = −ωA sin(ωt + ϕ ) T dt
cosϕ = −1, ϕ =π
位移表达式： 位移表达式：
振幅： 振幅： A = x +
2 0
v
2 0 2
= − x0 = 8.0 × 10−2 m
x1 = 8.0 × 10 cos(10t +π )
−2
（2）初始条件：x0=0，v0= − 0.6 m·s−1 ）初始条件： ，
0.6 −2 振幅： A = x + 振幅： = = 6.0 × 10 m 10 ω π 初相： 初相： x0 = 0，A 垂直于 x 轴，ϕ = ± ， 2 π v0< 0 ：ϕ = 2
d2 x 2 运动方程： 运动方程： +ω x = 0 2 dt
解可表示为： 解可表示为： x = A cos(ω t + ϕ )
k ω= 只由弹簧振子自身性质决定 只由弹簧振子自身性质决定 m
简谐振动的表达式 简谐振动（ ）：位移按余弦函数 位移按余弦函数（ 简谐振动（ SHM ）：位移按余弦函数（或 正弦函数） 正弦函数）随时间变化的运动 演示实验】 【演示实验】水平弹簧振子
与水平弹簧振子的能量形式相同！ 与水平弹簧振子的能量形式相同！ 与水平弹簧振子的能量形式相同
k g 9.8 −1 ω 角频率： 角频率： = = = = 10 s −2 m ∆l 9.8 ×10
（1）初始条件：x0= −8.0×10−2m，v0=0 ）初始条件： × ，
ω 初相： 初相：x 0 = A cos ϕ = − A
解 取平衡位置为坐标原点 取平衡位置为坐标原点O 平衡条件： ∆ 平衡条件：k∆l = mg
mg 平衡时弹簧的伸长量： 平衡时弹簧的伸长量：∆l = k 所受合力 合力： 物体坐标为 x 时，所受合力：
−∆l −∆
f = −k( x + ∆l ) + mg = −kx
准弹性力 准弹性力 ， 物 体 以 平 衡 位 置 为 中心作简谐振动。 中心作简谐振动。 不选平衡位置， 【思考】原点O不选平衡位置，作简谐振动吗？ 思考】原点 不选平衡位置 作简谐振动吗？
10.1.2 旋转矢量图和简谐振动的复数表示 1. 旋转矢量图 给 出 三 个 特征量： 的长度 振幅， 的长度 特征量：A的长度振幅， ω 角频率，ϕ 初相。 角频率， 初相。 用旋转矢量图， 用旋转矢量图，为相位的 分析带来方便。 分析带来方便。 2. 简谐振动的复数表示
~ = Ae − i ( ω t +ϕ ) x ~ = A cos(ω t + ϕ ) x = Re x
dx 2 2 质点的加速度： 质点的加速度： a = 2 = −ω Acos(ωt + ϕ ) = −ω x dt
2
初始条件：初始时刻（ 初始条件：初始时刻（t =0）质点的位移 0和 ）质点的位移x 速度v 速度 0 2 v0 v0 2 A = x0 + 2 , tan ϕ = − ω ω x0 初 相 ϕ 所 在 象 限 由 sinϕ 或 cosϕ 的符号判断。 的符号判断。 单摆： 单摆： 准弹性力 f = − mg sin θ ≈ − mgθ
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 > 0 ：称 x2 比 x1 的相位超前
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 < 0 ：称 x2 比 x1 的相位落后
∆ϕ 的周期是 2π，通常把 |∆ϕ| 的值限制在 π π ∆ 以内。 以内。
3 π 例：∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1 = 2
的相位超前 π 。 一般不说 x2 比 x1 的相位超前 3π/2。而是说 x2 的相位落后 。 比 x1 的相位落后 π/2。
第10章 振动和波动 章 10.1 简谐振动 10.2 两个简谐振动的合成 *10.3 阻尼振动 受迫振动 共振（不讲） 共振（不讲） 10.4 简谐波 10.5 惠更斯原理和波的传播方向 10.6 波的叠加 干涉 驻波 10.7 多普勒效应 *10.8 波动方程和波速（不讲） 波动方程和波速（不讲） 振动演示实验】水平弹簧振子、小混沌摆、 【 振动演示实验 】 水平弹簧振子 、 小混沌摆 、 弹簧和扭摆模式转换、音叉演示拍、 弹簧和扭摆模式转换 、 音叉演示拍 、 激光演示 利萨茹图