2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的距离公式高效测评

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高中数学第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的距离公式北师大版必修

得y＝1. 所以所求的点为 P(0,1)．
用解析法证明几何问题用解析法证明：ABCD 为矩形，M 是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2 ＝|BM|2＋|DM|2.
[思路探究] 建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即得．
解析：分别以 AB，AD 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(如图)，设 M(x，y)，B(a,0)，C(a，b)，则 D(0，b)，又 A(0,0)．
75 答案： 5
4．已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA| 的值．
解析：设所求的点为 P(x,0)，于是有 |PA|＝ x＋12＋0－22＝ x2＋2x＋5， |PB|＝ x－22＋0－ 72＝ x2－4x＋11，由|PA|＝|PB|得 x＝1，所以所求点为 P(1,0)，且|PA|＝ 1＋12＋0－22＝2 2.
6－1 5 方法二：∵kAC＝2－－2＝4，
－3－1 4 kAB＝3－－2＝－5， ∴kAC·kAB＝－1，即 AB⊥AC. ∵|AB|＝ 3＋22＋－3－12＝ 41， |AC|＝ 2＋22＋6－12＝ 41， ∴|AB|＝|AC|，因此△ABC 是等腰直角三角形．
[规律方法] 这类判断三角形、四边形形状的问题，证明方式通常有以下两种：
(1)利用两点间距离公式，考查边的长度特征(等腰、等边、满足勾股定理的逆定理等)；
(2)利用直线平行、垂直的判定方法，考查边的位置关系．
1．在直线 l：3x－y＋1＝0 上求一点 P，使点 P 到两点 A(1，－1)，B(2,0)的
距离相等．解析：方法一：设 P 点坐标为(x，y)，
由点 P 在 l 上和点 P 到 A，B 两点距离相等建立方程组

高中数学第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式

2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。

2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步章末高效整合课件北师大版必修2

倾斜角的范围确定倾斜角； (2)结合图形，先求 k 的边界值，再结合 k 的变化确定范围．
[规范解答]
(1)由斜率公式得
1－1 kAB＝1－－1＝0， 3＋1－1 kBC＝ 2－1 ＝ 3. 3＋1－1 3 kAC＝ 2－－1 ＝ 3 . . ∵tan 0° ＝0，∴AB 的倾斜角为 0° . ∵tan 60° ＝ 3，∴BC 的倾斜角为 60° 3 . ∵tan 30° ＝ 3 ，∴AC 的倾斜角为 30°
(2)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可分为五种：相离、外切、相交、内切、内含．判断圆与圆的位置关系常用几何法：设两圆圆心分别为 O1、O2，半径为 r1、r2(r1≠r2)，则 |O1O2| ＞ r1 ＋ r2 相离； |O1O2| ＝ r1 ＋ r2 外切； |r1 － r2| ＜ |O1O2| ＜ r1 ＋ r2相交；|O1O2|＝|r1－r2|内切；0＜|O1O2|＜|r1－r2|内含．
2．(1)当 a 为何值时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2－2)x＋2 平行？ (2)当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x－3 垂直？
解析： (1)直线 l1 的斜率 k1＝－1，直线 l2 的斜率 k2＝a2－2， ∵l1∥l2，∴a2－2＝－1 且 2a≠2. 解得 a＝－1. 所以当 a＝－1 时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2－2)x＋2 平行．
第二章
解析几何初步
知能整合提升
1．直线的方程 (1)直线的倾斜角在直角坐标系中，对于与 x 轴相交的直线，以 x 轴为基准，x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角，当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的 .因此，倾斜角的范围是[0° )．倾斜角为 0° ，180° (2)直线的斜率直线倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率，即斜率 k＝tan α.设两点 P1(x1， y2－y1 y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则过这两点的斜率 k＝x2－x1.

高中数学第二章平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标

第二章平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探索,进一步体会“坐标法”的基本思想,学会构造直角三角形解决问题的基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ��2 + ��2的几何意义是什么?
提示: ��2 + ��2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为��1+2��2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=��1+2��2,y=��1+2 ��2.
2.平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (��2-��1)2 + (��2-��1)2.

高中数学第二章解析几何初步2.1.5平面直角坐标系中的

2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式[A.基础达标]1．若点P (3，a )到直线x ＋3y －4＝0的距离为1，则a 值为( )A. 3 B ．－33C.33或－ 3 D.3或－33 解析：选D.由点到直线的距离公式可得， 1＝|3×1＋a ×3－4|12＋（3）2，解得a ＝3或－33. 2．点P (4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围为( ) A ．[0，10] B ．(0，10)C ．[313，13] D ．(－∞，0)∪[10，＋∞)解析：选A.点P (4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则|16－3a －1|42＋（－3）2≤3.解得0≤a ≤10.3．若x 轴上的点P 到原点的距离等于到点M (3，－1)的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(3，0) B ．(－1，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 解析：选C.设P (x ，0)，则|PO |＝|PM |，即 x 2＝（x －3）2＋（0＋1）2，整理得x 2＝x 2－6x ＋9＋1，解得x ＝53，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0. 4．直线l 过点A (3，4)，且与点B (－3，2)的距离最大，则l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0 D ．3x ＋y －13＝0解析：选D.当l ⊥AB 时符合要求，因为k AB ＝4－23－（－3）＝13，所以l 的斜率为－3，又过A (3，4)，故l 的方程为3x ＋y －13＝0.5．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，5]C ．(0，5]D ．[0，17]解析：选C.设直线l 1，l 2之间的距离为d ，当两直线重合时，距离最小d ＝0，但两直线平行，故d >0.当l 1和l 2与PQ 垂直时，两直线距离d 最大， d ＝|PQ |＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5，所以0<d ≤5.6．直线3x －4y －6＝0与3x －4y ＋7＝0之间的距离d 为________．解析：d ＝|－6－7|32＋（－4）2＝135. 答案：1357．已知定点A (0，1)，点B 在直线x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为________．解析：设B 点的坐标为(x ，y )，|AB |2＝x 2＋(y －1)2，又y ＝－x, 则|AB |2＝x 2＋(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12. 当x ＝－12时，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12处|AB |取最小值．即点B 的坐标为(－12，12)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 8．若在△ABC 中，A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，则△ABC 的面积等于________．解析：设AB 边上的高为h, 则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝（3－1）2＋（1－3）2＝2 2. AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在直线的方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0.点C (－1，0)到x ＋y －4＝0的距离h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52.因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.答案：59．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解：(1)由点斜式方程得，y －5＝－34(x ＋2)，所以l 的方程为3x ＋4y －14＝0.(2)设m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0，则由平行直线间的距离公式得， |C ＋14|5＝3，得C ＝1或－29. 所以直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．直线l 经过点P (2，－5)，且与点A (3，－2)和点B (－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率存在．设斜率为k ，点A ，B 到直线l 的距离分别为d 1，d 2. 因为直线l 过点P (2，－5)，所以直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0.点A 到直线l 的距离d 1＝|3k －（－2）－2k －5|k 2＋1＝|k －3|1＋k2，点B 到直线l 的距离d 2＝|k ×（－1）－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|1＋k2，又d 1∶d 2＝1∶2，所以|k －3||3k ＋11|＝12，化简得k 2＋18k ＋17＝0，解得k ＝－1或k ＝－17. 故所求直线l 的方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.[B.能力提升]1．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2，3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0解析：选B.法一：因为另两边分别与l 1，l 2平行且到P (2，3)的距离分别相等，所以设l 3：x －2y ＋c 1＝0，l 4：3x －y ＋c 2＝0，由点到直线的距离公式得出c 1＝7，c 2＝－4.法二：l 1的对边与l 1平行应为x －2y ＋c ＝0形式排除A ，D ；l 2的对边也与l 2平行，应为3x －y ＋c 1＝0形式排除C ，所以选B.2．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为( )A ．11B ．10C ．9D ．8解析：选B.直线2x －y ＝0的斜率为2，x ＋ay ＝0的斜率为－1a.因为两直线垂直，所以－1a ＝－12，所以a ＝2.所以直线方程为x ＋2y ＝0，中点P (0，5)，则OP ＝5.在直角三角形中斜边的长度|AB |＝2|OP |＝2×5＝10，所以线段AB 的长为10，故选B.3．已知a ，b ，c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由题设a 2＋b 2＝c 2，m 2＋n 2表示直线l ：ax ＋by ＋2c ＝0上的点P (m ，n )到原点O的距离的平方，故当PO ⊥l 时，m 2＋n 2取最小值d ，所以d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2c a 2＋b 22＝4c 2a 2＋b2＝4.答案：44．在△ABC 中，A (3，3)，B (2，－2)，C (－7，1)，则∠A 的平分线AD 所在直线的方程为________．解析：设M (x ，y )为∠A 的平分线AD 上任意一点，由已知可求得AC 边所在直线的方程为x －5y ＋12＝0，AB 边所在直线的方程为5x －y －12＝0.由角平分线的性质，得 |x －5y ＋12|26＝|5x －y －12|26，所以x －5y ＋12＝5x －y －12，或x －5y ＋12＝y －5x ＋12，即y ＝－x ＋6或y ＝x .结合图形可知k AC <k AD <k AB ，即15<k AD <5，所以y ＝－x ＋6不合题意，舍去．故∠A 的平分线AD 所在直线的方程为y ＝x . 答案：y ＝x5．已知过点A (1，1)且斜率为－m (m >0)的直线l 与x 轴，y 轴分别交于点P ，Q ，过点P ，Q 分别作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R ，S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．解：由已知得直线l 的方程为y －1＝－m (x －1)，则P ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1m，0，Q (0，1＋m )，从而可得直线PR ，QS 的方程分别为x －2y －m ＋1m＝0，x－2y ＋2(m ＋1)＝0.又因为PR ∥QS ，所以|RS |＝|2m ＋2＋1＋1m |5＝3＋2m ＋1m5，又因为|PR |＝2＋2m 5，|QS |＝m ＋15，四边形PRSQ 为直角梯形(或矩形)，所以S 四边形PRSQ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2m 5＋m ＋15·3＋2m ＋1m 5＝15(m ＋1m ＋94)2－180. 令f (m )＝m ＋1m，可证f (m )在(0，1]上是递减的，在[1，＋∞)上是递增的．所以f (m )min ＝f (1)＝2.所以S ≥15(2＋94)2－180＝185，即四边形PRSQ 的面积的最小值为185.6．(选做题)如图所示，已知A (－2，0)，B (2，－2)，C (0，5)，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 将△ABC 分成两部分，求此两部分面积的比．解：法一：由已知可得k AB ＝－12，过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y＝0.直线AC 的方程为5x －2y ＋10＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，5x －2y ＋10＝0，得直线l 与AC 的交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，56，所以|CP ||CA |＝|x P ||x A |＝56，所以两部分的面积之比为5262－52＝2511.法二：由两点式得直线AB 的方程为y ＋22＝x －2－4，即x ＋2y ＋2＝0.设过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＋m ＝0，将点M (－4，2)的坐标代入得m ＝0，所以过点M (－4，2)且平行于AB 的直线l 的方程为x ＋2y ＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，其中△CPQ 的边PQ 上的高d 1＝105＝25，△ABC 的边AB 上的高d 2＝125＝1255，△CPQ 的面积与△ABC 的面积之比为S △CPQ S △ABC ＝|PQ |·d 1|AB |·d 2＝d 21d 22＝2536，所以两部分的面积之比为25361－2536＝2511.。

【数学】2.1.5 平面直角坐标系中的距离课件(北师大必修2)

4.我们两条平行直线间的距离便成为新的课题.
知识探究（一）：点到直线的距离
思考1:你能设计一个方案求点P(x0，y0) 到直线l：Ax+By+C=0的距离吗？
y
B Q
P o
A l
x
思考2:根据上述分析，点P(x0，y0)到直线l：Ax +By +C=0的距离为：
第二章解析几何初步
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
一、两点间的距离:连结两点的线段的长度
A B
如图：线段AB的长就是点A、B之间的距离
A B
二、数轴上两点间的距离公式为： AB x x
B A
平面内任意两点间的距离
例如：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如何求P1,P2的距离 P1P2 ？ y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
o
x
| P P | 1 2
( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
特别地，原点O（0，0）与任意一点P(x,y)的距离为
练习
OP
x y
2
2
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、A(0，-4),B(0，-1)
(3)、A(6，0),B(0，-2)
d | Ax0 By0 C | A B
2 2
这是点到直线的距离公式.当直线l平行于坐标轴时，公式是否成立？
知识探究（二）：两平行直线的距离
思考1:两条平行直线的相对位置关系常通过距离来反映，两平行直线间的距离的含义是什么？
A
B
思考2:根据上述思路，你能推导出两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2）之间的距离d的计算公式吗？

2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步章末整合课件北师大版必修2

本章整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一用待定系数法求直线或圆的方程求直线的方程、圆的方程是本章的一个重要内容,其方法主要有两种:直接法和待定系数法,其中待定系数法应用最广泛,它是指首先设出所求直线的方程或圆的方程,然后根据题目条件确定其中的参数值,最后代入方程即得所要求的直线方程或圆的方程. 选择合适的直线方程、圆的方程的形式是很重要的.一般情况下, 与截距有关的,可设直线的斜截式方程或截距式方程;与斜率有关的,可设直线的斜截式或点斜式方程等.与圆心和半径相关时,常设圆的标准方程,其他情况下设圆的一般方程.
为半径的
圆; 当 a=1 时,P 点的轨迹为直线 x=0,即 y 轴.
专题一
专题二
专题三
专四题四
专题三数形结合思想的应用数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 即把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.数形结合一般包括两个方面,即以“形”助 “数”,以“数”解“形”. 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题,如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”,因此这些问题若利用直观的几何图形处理会得到很好的效果.
要求的点.故|PN|-|PM|的最大值为
5 2
−
1=2.故选
2
D.
答案:D
考点一
考点二
考点一:直线与直线的方程
1.
(2015
福建高考,文
5)若直线��
+
��
=1(a>0,b>0)过点(1,1),则
a+b
的最小值等于( )

2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式

[思路探究] (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式； (2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．
[边听边记]
y－3 x＋2 (1)由两点式得－1－3＝4＋2，化简得 2x＋3y－5＝0.
x y (2)由截距式得4＋－5＝1，化简为 5x－4y－20＝0. (3)当直线过原点时，所求直线方程为 3x－2y＝0； x y 当直线不过原点时，设直线方程为a＋a＝1. 2＋3 因为直线过点 P(2,3)，所以 a ＝1，即 a＝5. 直线方程为 y＝－x＋5. 所以所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：
(1)由点斜式可得直线方程为
3 y－3＝－5(x＋2)．化为一般式为 3x＋5y－9＝0. x y (2)由直线方程的截距式可得－3＋4＝1，化为一般式得 4x－3y＋12＝0.
合作探究· 课堂互动
直线方程的两点式方程和截距式求满足下列条件的直线方程： (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
(4)特别地，当 A、B 两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况． (5)截距式方程的适用条件是 a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线．
直线方程的一般式
不同时为0 表示的是关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A ， B__________) 一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式． __________
[自主练习] 1．下面四个说法中正确的是( )
A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示 y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2 B．经过任意两个不同的点 P1(x1，－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 x y C．不经过原点的直线都可以用方程a＋b＝1 表示 D．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示

高中数学第二章解析几何初步 1 1.5 平面直角坐标系中的距离公式课件高一数学课件

第二十八页，共三十八页。
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25， ∴k＝152. ∴l1 的方程为 12x－5y＋5＝0，l2 的方程为 12x－5y－60＝0. 若 l1、l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x＝0，l2 的方程为 x＝5，它们之间的距离为 5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：
即 P 到原点的距离为 10 或 0. 答案：10 或 0
第十六页，共三十八页。
已知一直线经过点 P(1,2)，并且与点 A(2,3)和 B(0，－5)的距离相等，求此直线的方程．
【解】 (1)当直线斜率不存在时，直线方程为 x＝1.点 A 和点 B 到直线 x＝1 的距离相等，均为 1.
第十七页，共三十八页。
第二十七页，共三十八页。
【正解】若直线 l1 斜率存在，则设直线 l1 的斜率为 k， ∵l1∥l2，∴l2 的斜率也为 k. 由斜截式得 l1 的方程 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0，由点斜式可得 l2 的方程 y＝k(x－5)，即 kx－y－5k＝0. 在直线 l1 上取点 A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距离 d＝|11＋＋5kk2|＝5，
(2)当直线斜率存在时，设该直线方程为
y－2＝k(x－1)，即 kx－y－k＋2＝0.
由题意得|2k－－31－2＋k＋k22|＝
|5－k＋2| －12＋k2
.
解得 k＝4，
∴直线方程为 4x－y－2＝0.
综上知直线 l 的方程为 x＝1 或 4x－y－2＝0.
第十八页，共三十八页。
【规律总结】当直线与坐标轴垂直时，求点到直线的距离可不用距离公式，借助图像直接求出横坐标差的绝对值或纵坐标差的绝对值即得距离．运用距离公式时，务必把直线方程化为一般式．

2017-2018学年高中数学第二章平面解析几何初步 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式新人教B版必修2

规律方法 (1)也可以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,计算也不复杂. (2)配方法求最值是重要方法,应掌握好. (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.
跟踪演练 3 已知△ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为 M,建立适当的直角坐标系.证明：AM＝12BC. 证明如图所示,以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立直角坐标系,
即C(3,3).
要点三坐标法的应用例3 已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2 ＋|PB|2＋|PC|2最小,并求此最小值. 解以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图.
则 A0， 23a,B－a2，0,Ca2，0 设 P(x,y)则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝x2＋y－ 23a2＋x＋a22＋y2＋x－2a2＋y2 ＝3x2＋3y2－ 3ay＋54a2＝3x2＋3y－ 63a2＋a2≥a2,
当且仅当 x＝0,y＝ 63a 时,等号成立, ∴所求最小值为 a2,此时 P 点坐标为 P0， 63a是正△ABC 的中心.
3.坐标法应用的注意点：一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的几何性质. (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；
第二章——
平面解析几何初步
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
[学习目标] 1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式和中点公式. 2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法. 3.进一步体会“坐标法”的基本思想,逐步学会用“坐标法” 解决有关问题.

平面直角坐标系中的公式

d(A,B)
( 4) 7
2 2
65
〖课堂检测1〗
课本第71页练习A， 1.求两点间的距离。
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。证明：因为 d(A,B)= 2 2
d(A,C)= 2 5 d(C,B)= 2 5 即|AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。
〖课堂检测2〗已知：A（1，1）B（5，3）
C（0，3）求证：三角形ABC是直角三角形
【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和的两倍.
y D (b-a, c) C (b, c) x
A(0,0)
B(a,0)
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题转化为代数问题。记住结论。
合作探究（二）：中点公式 2、中点公式:已知A（x1，y1）, B（x2，y2），M(x,y)是线段AB的中点，计算公式如下
x1 x 2 x 2 y1 y 2 y 2
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 设D 点的坐标为(x,y). 则
x 2 35 2 2 y2 02 2 2
第二章平面解析几何初步p6521平面直角坐标系中的基平面直角坐标系中的基本公式本公式211第二章来自平面解析几何初步P65
2.1平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2

[高中数学必修2]第二章平面解析几何初步知识梳理

第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。

数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。

记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。

可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。

（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。

从点A 到点B的向量，记作AB 。

线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。

我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。

例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。

注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。

③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。

（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。

对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。

已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时

直线的点斜式方程和斜截式方程的应用
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？
【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距．直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，

2016-2017学年高中数学-第二章-解析几何初步-2

D.
2
2
3.解析法
根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这
种方法叫坐标的方法,也称为解析法.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)平面直角坐标系中两点间的距离公式不适用于两点在坐标
轴上的情形.
(2)点 A(x0,y 0)关于直线 y=x 对称点 A'的坐标为(y0,x 0).
|AB|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 .平面内任一点 P(x,y)与原点的距离
|OP|= 2 + 2 .
做一做1 点A(2,3)到点B(3,5)的距离是到点C(4,7)的距离的(
A.1 倍
B.
1
2
C.
1
3
)
1
D.
4
解析:点 A(2,3)到点 B(3,5)的距离为 (3-2)2 + (5-3)2 = 5;点 A(2,3)
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
1
2
3
4
1.若点A(1,3)与点B(m,7)之间的距离等于5,那么实数m的值为(
A.4
B.-2 C.-4或2
D.4或-2
解析:由已知得|AB|= (1-m)2 + (3-7)2=5,因此|1-m|=3,
解得 m=4 或 m=-2.
答案:D
5
)
1
2
3
4
5
2.已知点A(-3,-4)和点B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a
到点 C(4,7)的距离为 (4-2)2 + (7-3)2 =2 5,

高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

课堂探究(tànjiū)·素养提升
类型(lèixí两ng点)一的距离(jùlí)公式【例 1】已知点 A(-3,4),B(-2, 3 ),试在 x 轴上找一点 P,使得 d(P,A)=d(P,B). 并求出 d(P,A).
解:设 P(x,0),由题意得 d(P,A)= x 32 0 42 = x2 6x 25 ,
d(P,B)= x 22 0 3 2 = x2 4x 7 ,
由 d(P,A)=d(P,B),即 x2 6x 25 = x2 4x 7 得 x=-9,
故 P(-9,0),d(P,A)= 9 32 0 42 =2 13 .
2021/12/12
第十一页，共二十三页。
变式训练(xùnliàn)1-1:已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是( )
故点 M 的坐标为( 0 b , c 0 ),即( b , c ).
22
22
由两点的距离公式得 d(B,C)= c2 b2 ,
d(A,M)=
b2 c2
=
b2 c2 ,
44
2
故 1 d(B,C)=d(A,M),即|AM|= 1 |BC|.
2
2
2021/12/12
第十九页，共二十三页。
类型(lèixíng两)四点间距离公式(gōngshì)的综合应用
2021/12/12
第八页，共二十三页。
3.已知线段AB的中点在坐标(zuòbiāo)原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于( ) D
(A)5
(B)-1
(C)1
(D)-5
解析:因为 AB 的中点为坐标原点,则有 x 3 =0, 2 y =0,
2

全国通用高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式练习新人教B版必修2(202

（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式练习新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式练习新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式练习新人教B版必修2的全部内容。

2。

1平面直角坐标系中的基本公式1对于数轴上的任意三点A，B,O，下列关于有向线段的数量关系不恒成立的是(）A。

AB=OB—OA B。

AO+OB+BA=0C.AB=AO+OB D。

AB+AO+BO=0解析：AB+AO+BO=AB+BO+AO=AO+AO=2AO，AO不一定为0,故D项不恒成立。

答案：D2在数轴上,E,F，P的坐标分别为-3，-1,13,则EP+PF=（)A.2B.—2C.6 D。

-6解析：EP+PF=13-(-3)+(-1)—13=16-14=2。

答案:A3点A(2a,1）与B(2，a)之间的距离为（)A。

（a—1） B.(1-a） C.|a—1｜D。

5(a—1）2解析：由两点的距离公式，可得A,B之间的距离为d(A,B)=|a-1｜.答案：C4已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2)，（—1,4),则第四个顶点不可能是(）A.（9,-4)B.（1，8）C。

（-3,0） D.（1，—3）解析:设第四个顶点的坐标为（x，y)，然后分情况讨论.（1)若点(3,—2），(5，2）为平行四边形的对顶点，则有，解得x=9，y=—4，即（9，-4）;（2)若（5，2），（—1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为（1，8）；（3）若(3,—2）,（-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3，0).故应选D.答案：D5已知△ABC的三个顶点的坐标为A（，2),B(0,1)，C（0,3）,则此三角形的形状是()A。

北师大版高中数学必修二第2章解析几何初步2.1.5.1平面直角坐标系中的距离公式课件

-3-
第1课时两点间的距离公式
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1. 两点间的距离公式 (1)数轴上:一般地, 数轴上两点 A, B 对应的实数分别为 xA , xB ,则 |AB|=|xB -xA |. (2)平面直角坐标系中:一般地, 若两点 A, B 对应的坐标分别为 A(x1 , y1 ), B(x2 ,y2 ),则有两点 A,B 间的距离公式 |AB|= (�� 2-��1 )2 + (��2 -��1 )2.
-8-
第1课时两点间的距离公式
题型一题型二题型三
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
反思利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧:(1)常用方法是待定系数法,即先设出所求点的坐标,利用两点间的距离公式建立方程,再利用方程的思想求解参数.(2)解决此类问题时,常常需要结合图形,直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系,然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题来解决.
52 + (-3) ,
2
(2)直线 2x+my+2=0 与 x 轴的交点为(-1,0), 与 y 轴的交点为 0,2 ��
, 所以两交点之间的距离为 (-1-0) + 0 + 1+
4 (m≠0). ��2
4
2
2 ��
2
=
答案:(1)( 34,0) (2) 1 + ��2 (m≠0)