第2章 单自由度系统的振动(2).

该式的曲线如右图所示， 可见，此时的振幅随时 间线性增大，需要经过 无限长时间才能到达无 穷大，也就是说，共振 需要一个相当长的建立 过程。
y(t )
Ft 2 m
Ft 2 m
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三、“拍”的现象 现在，我们来关注一下强迫振动的过渡阶段，为简单起见， 假设初始条件均为零，此时，系统在过渡阶段响应总和为 1 F y (t ) y (sin t sin t ) y (sin t sin t ) st st 2 2 2 1 m ( ) 当激励力的频率与系统的固有频率接近时，设 2 为小量 F 则 y (t ) (sin t sin t ) 2 2 m( ) F sin t sin t sin t sin t 2 2 m( ) 2 2 F cos t sin t 2 sin t cos t m( 2 2 ) 2 2
可以看到:干扰力与惯性力同频同步变化,故只需要将干扰力幅 值和惯性力幅值同时加在结构上,此时产生的内力即最大内力. 例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知 0.5
P sin t
l/2
EI
l/2
m y(t )
P
m 2 A
Pl / 2
P
5 Pl 3 yst l EI 2 2 2 6 48 EI 3 1 4 5 Pl 2 2 A yst 1 / 3 36 EI
y 2 B cos t B 2 t sin t F 2 将 y和y 代入动力学方程 y y sin t m 整理后得 2 B cos tcos sin tsin F sin t m F 显然应有 B 2 2 m Ft Ft y sin t cos t 特解就是 2 m 2 2 m
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若动荷载作用于质点运动方向时(激励力与惯性力方向一致)， 二者的合力
FI (t ) F (t ) m 2 A sin t F sin t m 2 A F sin t 2 2 F m F sin t 2 1 F sin t 2 m 1 1 2 1 F sin t F sin t F sin t 2 2 1 1
l
=1
11
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1 2 A FImax mA mA 4 411 5 P 48
2
29 Pl 48
P
5 Pl 96
5 P 48
例:求图示体系右端的质点振幅
P sin t
m 解:
l l
EI
k
l
m
若选右端质点竖向位移为广义坐标，其等效质量和刚度为 10 4 me m ke k 9 9 固有频率为
齐次方程的通解在前面讨论过，即为
y ( t ) C1cos( t ) C 2 sin t
现在寻找非齐次方程的特解，设其一个特解为 代入微分方程，有 解得 其中
F A sin t A sin t sin t m F F 1 A y st 2 2 1 m 2 2 m 2 1 2 F F yst 激励力幅值引起的静位移 2 m k11 激励力频率与固有频率之比， 也称为无量纲化的激励力频率
在振幅大到一定程度后，弹簧的弹力与变形将不再成比例； 即使系统完全没有阻尼，弹簧的弹力始终与变形成正比， 在 时，原动力微分方程的特解也已不能再取 y A sin t 的形式，而应改用如下形式的特解 y Btsin t 其中的常数 B, 可求出如下
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FR max 9ql k2A 8(1 m 2 / k )
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例:求图示体系质点处的振幅、 B点动力位移幅值，并绘 制最大动力弯矩图。已知 6 EI F sin t 3 ml A 1 1 l l l 1 l3 m 解: 11 EI 2 2 2 3 24 EI B C EI 1 1 l l 5l 5 F 3 12 l/2 l/2 EI 2 2 2 6 48 EI F 1 1 4 l/2 1 24 EI M1图 2 2 1 / 3 m11 ml 3 F 1 3 l 5 Fl yC max F12 M 2图 36 EI 3 5 6 EI 5 Fl 5 F 2 17 Fl /12 6 FImax myC max 3 m F F ml 36 EI 6 Fl / 2 3 M M 121Fl M max图 yB max max 2 EI 288EI
ke 4k me 10m
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动力系数 静力位移 振幅
2k 2 2 1 / 2k 5m 2
1
yst
A yst
3P 4k
2k 3P 3P 2k 5m 2 4k 4k 10m 2
也可以直接根据平衡方程来求 因为此时，惯性力和外荷载同步，只需要把最大惯性力、 最大弹性力和最大荷载幅值同时加在结构上，如图

Ft sin t 2m
拍的周期很长，因 2 此实际振动的振幅 变化较慢。 在实验过程中，很慢地调频到接近共振时，系统的振幅会出 现周期性忽大忽小的变化，就是因为产生拍的现象。 由于
lim sin t 1 0 t
故
y (t )
F Ft sin t cos t cos t 2 m 2 m
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2.4简谐激励下的无阻尼强迫振动
外界的激励有两类，一是持续的激励力；一类是持续的支 座运动。激励可能是周期的也可能是非周期的。
本节讨论简谐激励作用下无阻尼系统的强迫振动。
一、运动微分方程及其解
动力平衡方程为: 化为标准形式:
k11 y F (t ) 0 my
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二、幅频响应曲线和振动特征
1 2 3 当θ/ω →1时, →∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振 幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75< θ/ω <1.25称为 共振区。
0
重要的特性： 当θ/ω→0时, →1，荷载变化 得很慢，可当作静荷载处理。 当0< θ/ω <1时, >1，并且随 θ/ω的增大而增大。
*
令解满足初始条件，可以确定积分常数 0 y C1 =y0 , C 2 = yst 2 1 故运动微分方程的通解为 0 y 1 y (t ) y0 cos( t ) sin t yst (sin t sin t ) 2 1 前两项：初始条件决定的自由振动，初始自由振动 第三项：纯强迫振动，稳态受迫振动 第四项：伴随激励力而产生的自由振动，伴随自由振动 可以看到，即使初始条件为零，仍然有伴随自由振动发生
其中
1 2 2 1 / 1 2
F 荷载幅值作为静荷 yst F 11 m 2 载所引起的静位移
动力系数的性质：①无量纲；②只与激励力频率和固有频率 的比值有关，与其它因素无关；③其值可大于或小于1、可正 可负，正号表示位移与激励的相位差为零（同步），负号表 示位移落后激励力的相位差为180度（反拍）。

3 2 1
当θ/ω >1时, 的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时， 荷载变化很快，结构来不及反应, →0 。
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必须指出，上述的幅频响应曲线只是振动系统稳态运动的情 形，亦即激励力频率固定在某一值相当时间使振动达到稳定 以后的情况。
上述共振时振幅在理论上将趋向无穷大，实际上是不可能的， 因为： 实际系统不可能完全没有阻尼，而只要有极微小的阻尼就 足以限制振幅的无限扩大；
2 2
y * (t ) A sin t
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则非齐次方程的通解为
1 y (t ) y (t ) y C1cos( t ) C 2 sin t yst sin t 2 1 假设初始条件为 0 , y (0) y 0 y (0) y
F sin t cos t 2m
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上式可以看作是振幅按 2m sin t 逐渐变化，频率为
F
的简谐振动，其振动的曲线如图所示
这种特殊的振动现象 称作是“拍”
拍的周期为
/
Ft 2 m
y(t )
Ft sin t 2m
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实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分很快会衰减掉，过 渡阶段很短，很快就只剩下了稳态的强迫振动部分，因而这 一部分应引起格外关注 稳态解为
A
y (t ) A sin t
F F 2 2 2 m( ) m
1
1 yst ---稳态振幅 2 1 2 位移动力系数
也得到了振幅随时间线性增大的结论，并说明了共振的建立 过程。
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四、结构最大位移和内力计算 因为
(t ) A 2 sin t y FI (t ) mA 2 sin t F (t ) F sin t