正态分布1
第四章 第一讲 正态分布及其性质
u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
正态分布1
式中σ 为总体标准差；μ 为总体均数；π
为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，
即2.71828···。
若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程） 为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布， 记为：X～N（μ,σ2）。
函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。
在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大 时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左 移。
正态分布的应用
估计医学正常值范围。 医学正常值范围又称医学参考值范围，医学正常值范 围是指包括绝大多数正常人的各种生理及生化指标 的范围。 一般常用 95%或 99%的医学参考值范围。 某指标的 95%或 99%的医学参考值范围只包括 95%或 99%的正常人该指标的变量值分布范围，还有 5%或 1% 的正常人该指标的变量值不在此范围内。所以，在诊 断时参考值范围只能起“参考”作用，不在此范围并 不一定异常（患病），在此范围内也不一定正常（不 患病）。
正态分布曲线及其面积分布： 在正态曲线下，μ ±1σ 、μ ±1.96σ 和μ ±2.58σ 所对应的面积分别为 0.6827、0.9500 和 0.9900。
图一：
图二： 图三：
图四：
当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某
一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运 用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得 到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量 变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准 正态分布，通过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应的面 积来间接求得一般正态分布区间（x1,x2）所对应的面 积。
正态分布
正态分布的概念
正态分布的相关概念
正态分布的相关概念
一、正态分布的基本概念
正态分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然现象和统计数据的分布情况。
正态分布曲线呈钟形，中间高，两边低，左右对称。
二、正态分布的参数
正态分布有两个参数，即均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了分布的中心位置，而标准差决定了分布的宽度。
三、正态分布的性质
正态分布具有以下基本性质：
1.集中性：正态分布曲线在均值处达到最高点，向两侧逐渐下降。
这意味着大多数数据值都集中在均值附近。
2.对称性：正态分布曲线关于均值对称，即对于任何x，都有p(x)=p(-x)。
这意味着正态分布不受符号影响。
3.均匀分布：在远离均值的地方，正态分布的概率密度逐渐减小，但不会为0。
这意味着在远离均值的地方仍然有可能出现数据值，但概率较小。
4.渐进性：当数据量足够大时，经验分布趋向于正态分布。
这意味着随着数据量的增加，数据的分布情况越来越符合正态分布。
5.偏态性：正态分布是略微偏左的，这是因为负值比正值出现的概率稍大。
但在某些情况下，可能会出现偏态分布。
四、正态分布的应用
正态分布在统计学中有着广泛的应用。
例如，在生物医学领域，
许多生理指标（如身高、体重）的分布都呈现出正态分布的特点。
此外，在金融领域，许多金融指标（如收益率、波动率）也服从正态分布。
五、正态分布的变种
除了基本形态的正态分布外，还有许多基于正态分布的变种。
例如，t分布、F分布等都是基于正态分布的变形。
这些变种在统计学中也有着广泛的应用。
《正态分布》说课稿
《正态分布》说课稿正态分布是统计学中非常重要的一个概念，它描述了大量随机变量的分布规律，被广泛应用于各个领域的数据分析和预测中。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质、应用以及如何利用正态分布进行统计推断。
一、正态分布的基本概念1.1 正态分布的定义：正态分布又称高斯分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，左右对称，中间最高。
1.2 正态分布的特点：正态分布具有唯一的均值和标准差，均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
1.3 正态分布的标准化：通过标准化可以将正态分布转化为标准正态分布，即均值为0，标准差为1的正态分布。
二、正态分布的性质2.1 正态分布的均值和中位数相等：正态分布的均值和中位数相等，即曲线对称中心位置处的值。
2.2 正态分布的68-95-99.7法则：约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
2.3 正态分布的线性组合仍然是正态分布：对于正态分布的线性组合，如两个正态分布的和或差，仍然是正态分布。
三、正态分布的应用3.1 在自然科学中的应用：正态分布常用于测量误差、实验数据分析等领域，如物理学、化学等。
3.2 在社会科学中的应用：正态分布被广泛应用于人口统计、心理学研究、经济学分析等领域。
3.3 在工程技术中的应用：正态分布在质量控制、可靠性分析、风险评估等方面有重要应用。
四、利用正态分布进行统计推断4.1 正态分布的参数估计：通过样本数据估计总体的均值和标准差，得到对总体的估计。
4.2 正态分布的假设检验：利用正态分布进行假设检验，判断总体参数是否符合某种假设。
4.3 正态分布的置信区间估计：通过正态分布的性质，构建总体参数的置信区间，对总体参数进行估计。
五、结语正态分布作为统计学中重要的概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
通过深入理解正态分布的基本概念和性质，我们可以更好地应用正态分布进行数据分析和推断，为各个领域的研究和实践提供有力支持。
高二数学正态分布1要点
正常值范围的确定步骤
4. 按资料特点选定不同方法计算正 常值范围上、下限。
– 正态分布法：适于正态分布资料。 对数正态分布的资料取对数后可用 正态分布法估计。 – 百分位数法：适于偏态分布资料或 分布不明类型的资料。所需样本含 量较大。
表1. 正常值范围的界值
正态分布法 ％ 百分位数法 单 侧 下限 上限 单 侧 下限 上限 P10 P90 P95 P99
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
双侧
双 侧
P5～P95
90
x 1.64s x 1.28s x 1.28s
95 x 1.96s x 1.64s x 1.64s P2.5～P97.5 P5 99 x 2.58s x 2.33s x 2.33s P0.5～P99.5 P1
应用正常值范围的注意事项
（1）不在正常值范围者不一定就是病人。
• μ±1.96σ范围内的面积为95%
• μ±2.58σ范围内的面积占99%
正态分布的应用
• 正态分布的判断和检验：经验法和正
态性检验
• 描述正态分布资料的频数（频率）分
布范围
• 医学参考值范围的制定（后）
• 质量控制：
正态分布的应用
• 例：从某地随机抽取100名一年级男
大学生，测得平均身高为166.2cm，标 准差为5.3cm，现欲估计该地身高界于 低于160cm，身高高于180cm，以及 身高在165cm~175cm范围内的一年级 男大学生的比例和人数。
165 166 . 2 u1 0.02 5.3
175 166.2 u2 1.66 5.3
• 查标准正态分布表得： Φ（u1）＝ Φ（－0.02）＝0.4920 Φ（u2）＝ Φ（1.66）＝0.0485 1－[Φ（u2）+ Φ（u1）]＝0.4595
15,16正态分布1,2
15正态分布1学习目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
学习重点：正态分布曲线的性质。
学习难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
学生探究过程：1、总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)2xx e xμσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()xμσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．2、正态分布如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .3、正态分布的典型案例经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如：长度测量误差说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3、正态曲线的性质：（1） （2） （3） （4） （5） 正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布。
正态分布判定标准(一)
正态分布判定标准(一)正态分布判定标准引言正态分布是统计学中最重要的分布之一，广泛应用在各个领域的数据分析和建模中。
判断一个数据集是否服从正态分布是数据分析的基础，本文将介绍常用的正态分布判定标准。
直方图观察法使用直方图是最常见的判断一个数据集是否服从正态分布的方法之一。
1.绘制直方图：将数据按照一定的组距分组，并绘制柱状图。
横轴表示数据的取值范围，纵轴表示该范围内数据的频数或频率。
2.观察直方图形状：正态分布的直方图呈钟形曲线状，均值处的频数最高，两侧对称逐渐变小。
如果数据的直方图近似呈现钟形曲线状，则可以初步认定数据集服从正态分布。
正态概率图观察法正态概率图是一种常用的判定数据服从正态分布的方法。
1.绘制正态概率图：将数据按照从小到大排序，并绘制点图。
横轴表示数据的排序位置，纵轴表示数据的值。
2.观察图形形状：如果数据集服从正态分布，图形应该近似为一条直线。
如果图形出现明显的非线性趋势或者拐点，则说明数据不服从正态分布。
正态概率图更加直观地展现了数据是否服从正态分布。
Shapiro-Wilk检验法Shapiro-Wilk检验是一种常用的正态性检验方法，适用于样本量较小的情况。
1.提出假设：首先提出原假设和备择假设。
原假设（H0）是“样本数据符合正态分布”，备择假设（H1）是“样本数据不符合正态分布”。
2.计算检验统计量：根据样本数据计算出Shapiro-Wilk检验的统计量W。
3.判断拒绝域：根据设定的显著性水平，查表得到临界值。
如果W小于临界值，则拒绝原假设，说明数据不服从正态分布；反之，则无法拒绝原假设，说明数据服从正态分布。
Shapiro-Wilk检验是一种较为准确的正态性检验方法，但对于样本量较大的数据集效果并不理想。
正态性指标判定法除了上述方法外，还可以通过一些统计指标来判定数据的正态性。
1.偏度（Skewness）：衡量数据分布的偏斜程度。
当偏度接近0时，数据分布较为对称，符合正态分布；当偏度大于0时，数据分布向右偏斜，当偏度小于0时，数据分布向左偏斜。
正态分布的概念和特点
正态分布的概念和特点
正态分布是一种概率分布，它的特点是集中性、对称性和均匀变动性。
1.集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
2.对称性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心左右对称且曲线两段无线趋近于横轴。
3.均匀变动性：正态分布曲线以均数所在的位置为中心均匀向左右两侧下降。
另外，正态分布函数公式如下：μ为均数，σ为标准差。
μ决定了正态分布的位置，与μ越近，被取到的概率就越大，反之越小。
σ描述的是正态分布的离散程度。
σ越大，数据分布越分散曲线越扁平；σ越小，数据分布越集中曲线越陡峭。
以上特点在生产条件不变的情况下，可以广泛应用于产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标的预测，以及同一种生物体的身长、体重等指标，同一种种子的重量，测量同一物体的误差，弹着点沿某一方向的偏差，某个地区的年降水量，以及理想气体分子的速度分量等等。
医学统计学-正态分布
37
习题
三、最佳选择题
❖ 1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（ ）指标较好。
A.全距 B.标准差
C.变异系数
D.四分位间距 E.方差
❖ 2、用均数和标准差可以全面描述（ ）资料的特征/
A.正偏态分布 B.负偏态分布 C.正态分布
D.对称分布 E.对数正态分布
❖ 3、各观察值均加（或减）同一数后（ ）。
2. 制定医学参考值范围
x 2s
3. 控制实验误差：上下警戒限：x 3s
上下控制限：
2021年9月29日星期三
23
四、医学参考值范围
❖参考值范围（reference ranges）
❖医学参考值(reference value)是指正常人的各种 生理、生化数据，组织或排泄物中各种成分的含 量。
❖ 正常人测定值的波动范围，称为参考值范围。参 考值范围在诊断方面可用于划分正常或异常。
是一种很重要的连续分布
2021年9月29日星期三
f(x)
x
μ 4
1.正态分布的概念和特征
❖ 正态分布的密度函数，即正态分布的方程
f(x)
1
1 ( xμ )2
e2 σ
σ 2π
x
π、e分别为圆周率和自然对数的底， μ为总体参数，σ为总体标准差
X 为连续随机变量
当x确定后，就可由此式求得其密度函数f(x), 即纵坐标的高度了，嘿嘿
2021年9月29日星期三
34
小结
❖ 3.正态分布用N(μ, σ2) 表示，为了应用方便，常对变量x 作 u 变x 换 ，使μ=0，σ =1，则正态分布转换为标准 正态分布，用N(0,1)表示。
❖ 4.正态曲线下面积的分布有一定规律。理论上μ±1σ， μ±1.96σ和μ±2.58σ区间的面积（观察单位数）各占总 面积的（总观察单位数）的68.27%，95%和99%，可 用来估计医学参考值范围和质量控制等方面。
7.5正态分布第1课时说课课件高二下学期数学人教A版选择性
0 -6 -4 -2 0 2 4 6 X (3)
设计意图：通过学生主体参与，让学 生体会正态曲线的生成，抛出问题，
引入新课
思考1 由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数 是否存在解析式呢?
( 4)
设计意图：通过对正态密度函数的分析，让学生了解正态分布的概念
困难分析
1.本节研究的是连续性随机变量， 和前面离散型随机变量不同； 2.如何认识正态密度曲线的特点 及其表示的意义、正态分布函数 较复杂，学生理解都存在一定难 度。
教学重点：描述正态分布随机变量的概率分布
三、目标分析
1、通过对正态分布函数和正态曲线的观察了解正态分布的 概念及其特征和参数的意义，提升学生直观想象和数学抽 象的核心素养； 2、能根据正态曲线的对称性、3σ原则解决正态分布的概率 问题，提升学生数学运算和逻辑推理核心素养； 3、能利用正态分布解决实际问题中的概率问题，提升学生 数学建模核心素养。
问题思考 性质探究
画误差分析直方图 钟形曲线 正态分布
正态曲线特点 正态分布的特征
3σ原则
提分出层问 作业 题学以致用 提总出结问 提升 题巩固理解 提应出用问 概念 题解决问题
第一环节：创设情境、引入新课
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，早期德国的10马克纸币上 印有高斯的头像和正态分布曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人 类文明影响最大的是“正态分布”何引导学生理解正态分布？
教学 如何引导学生了解正态分布的特征？ 问题2 启发引导法：引导学生观察正态曲线和动图展示，了解σ和μ的实际意义
如何引导学生建立正态分布模型解决问题？ 教学 问题3
5.正态分布(1)全解
均数μ相同、标准差σ不同的正态分布曲线
F0 0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
标准差σ相同、均数μ不同的正态分布曲线
•
二、标准正态分布
1、定义称参数为μ=0，σ=1的正态分布为标准 正态分布，即随机变量的概率密度为
Y 1 e 2
z2 2
, z
则称z服从标准正态分布，记作z～N（0，1）。 在数理统计中,一般正态分布都可以化为标准正 态分布,即
【例2】已知X～N（2.5,4),求 P(2.8<X<4.2),P(1.5<X<3.8),P(X<3.2) 【解】
2.5 4, 2 2.8 2.5 X 2.5 4.2 2.5 P(2.8 X 4.2) P( ) 2 2 2 P(0.15 Z 0.85) 0.3023 0.0596 0.2427 P(1.5 X 3.8) P(0.5 Z 0.65) P(0 Z 0.5) P(0 Z 0.65) 0.1915 0.2422 0.4337 P( X 3.2) P(Z 0.35) 0.5 P(0 Z 0.35) 0.5 0.1368 0.6368
200×0.0436=8.72≈9(人);200×3423=68.46≈69(人);200×0.00 51≈1(人)
3、利用正态分布进行能力分组或评定成绩的等第
例3 某师大一年级有学生300人,他们的某种能力指标可以用正态
分布来描述,现将他们按能力分成A、B、C、D、E五个组参加一 项测试，求各组人数。
2
4、3s原则：任何一组样本数据的观测值几 乎均位于平均值两侧3个标准差范围之内。
1. 正态分布均值的区间估计
正态分布是概率论和统计学中最重要的概率分布之一，它在自然界和社会科学中都有广泛的应用。
在很多实际问题中，我们需要对正态分布的均值进行估计，从而对总体均值进行推断。
本文将围绕着正态分布均值的区间估计展开讨论。
1. 正态分布的概念正态分布又称为高斯分布，是以数学家高斯命名的一种连续概率分布。
正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，中间高、两边低，左右对称，因此也被称为钟形曲线。
正态分布的特点在于其均值和标准差能完全描述其分布，因此在统计学中有着重要的地位。
2. 区间估计的重要性区间估计是统计推断的重要方法之一，它可以帮助我们对总体参数进行推断。
在现实问题中，很少有机会能够获得总体所有数据，只能通过样本来做出总体的推断。
而区间估计可以帮助我们根据样本数据估计出参数的范围，从而更加准确地进行推断和决策。
3. 正态分布均值的区间估计方法对于正态分布的均值来说，我们可以使用样本均值和标准差来对总体均值进行估计。
常用的区间估计方法有置信区间法和贝叶斯区间估计法。
3.1 置信区间法在置信区间法中，我们根据样本数据来计算均值的置信区间，通常是指在统计学上确定的一个包含总体参数的区间。
置信区间的确定需要指定置信水平，通常使用95和99置信水平。
置信区间的计算可参考t分布或者标准正态分布的分位数。
3.2 贝叶斯区间估计法贝叶斯区间估计法是基于贝叶斯统计学的方法，它将参数看作随机变量，并给出参数的概率分布。
通过贝叶斯定理和样本数据，可以得到参数的后验概率分布，进而得到参数的区间估计。
4. 区间估计的应用正态分布均值的区间估计方法在实际问题中有着广泛的应用。
比如在质量控制中，我们可以通过对正态分布均值的区间估计来判断产品的质量是否符合标准；在市场调查中，我们可以通过对正态分布均值的区间估计来对市场需求进行预测等等。
5. 区间估计的注意事项在进行正态分布均值的区间估计时，需要注意一些细节问题。
首先是样本容量的选择，样本容量的大小对区间估计的精度有着重要的影响；其次是置信水平的选择，不同的置信水平会得到不同的置信区间；最后是对总体分布是否服从正态分布的检验，如果总体分布不服从正态分布，需要进行修正或者使用其他方法来进行估计。
正态分布一个标准差
正态分布一个标准差正态分布，又称高斯分布，是概率论中最重要的概率分布之一。
它具有许多重要的性质，因此在自然科学和社会科学中有着广泛的应用。
在正态分布中，均值、方差和标准差是最基本的统计参数，它们能够描述数据的集中程度和离散程度。
本文将重点讨论正态分布中一个标准差的意义和应用。
首先，我们来看看一个标准差的定义。
标准差是方差的平方根，它衡量了数据集合中各个数据点与均值的偏离程度。
一个标准差表示了大约 68% 的数据点落在均值附近的范围内，两个标准差则包含了大约 95% 的数据点，而三个标准差则包含了大约 99.7% 的数据点。
因此，标准差提供了对数据分布的重要信息，能够帮助我们更好地理解数据的特征。
其次，一个标准差在正态分布中的应用非常广泛。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对数据进行分析和判断的情况，而正态分布和标准差的概念能够帮助我们更好地理解和处理数据。
例如，在质量控制中，我们可以利用标准差来衡量产品质量的稳定性，判断产品是否符合质量标准；在金融领域，标准差可以用来衡量资产的风险程度，帮助投资者进行风险管理和资产配置；在医学研究中，标准差可以用来衡量治疗效果的稳定性，评估新药的疗效等。
可以说，正态分布中一个标准差的概念在各个领域都有着重要的应用价值。
此外，了解一个标准差还可以帮助我们更好地理解正态分布曲线。
正态分布曲线呈钟形，中间高，两边低，曲线和横轴之间的面积为1，这意味着数据集中在均值附近，同时呈现出左右对称的特点。
通过标准差，我们可以更清晰地了解曲线的形状和特点，进而更好地分析和解释数据的分布规律。
综上所述，正态分布中一个标准差是一个非常重要的概念，它能够帮助我们更好地理解数据的分布规律，进行数据分析和判断。
在实际应用中，我们可以利用标准差来衡量数据的离散程度，评估风险和稳定性，进而做出更合理的决策。
因此，对于正态分布和标准差的理解和应用具有重要的意义，值得我们深入学习和研究。
正态分布1(5b)
课堂小结：
正态曲线具有的性质：
注意： E , D
2
思考：正态曲线的特征是什么？你能归纳一下吗？
分析三条正态曲线的共同特征： 正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征．
当时
函数表示式是 为标准正态曲线.
，正态总体称为标准正态总体，相应的
,相应的曲线称
二、 正曲线的性质
观察以上三条正态曲线，归纳出正态曲线的性质： ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线关于直线 对称，且在 ③当时 ，曲线上升；当时 时位于最高点. ，曲线下降．并且当
1、 在标准正态分布表中相应于 的值 体取值小于 的概率，即 ( x0 ) P ( x
( x0 )
x0 )
是指总
由于两阴影部分的面积相等可知： 2、当x0 0时，
( x0 ) 1 ( x0 )
3、当 x 在任意区间(x1 , x2)内取值的概率，利用标准正态 分布表，知直线 x=x1, x=x2，与正态曲线、x轴所围成的曲 边梯形的面积：
F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)
≈0.683；
F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-Φ(-2) ≈ 0.954； F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-Φ(-3) ≈ 0.997。
例 2 ：分别求正态总体 N( μ,σ 2 ) 在区间 ( μ - σ, μ+σ ) 、 (μ -2 σ, μ+2σ)、(μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率. F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1) ≈0.683；
0.8185
2、 正态分布向标准正态分布的转化
F(x)=Φ (
第四章 第一讲 正态分布及其性质
0 . 1587
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 3 某 种 器 件 的 寿 命 X 以 小 时 计 ） 服 从 μ 5 0 0， σ 6 0的 正 态 分 布 . （ （1） 求 P { X 5 6 0}（ 2） 求 P { X 5 0 0 2 0 0}（ 3） P { X x } 0 .1, 求 x . ; ;
1.6 1 0 1 P (0 X 1.6) 0.3094 2 2
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) (
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
第四章 第一讲 正态分布及其性质
4、标准正态分布的分位数
双侧分位数：
实数 u 满足 P X u ，则称 u 为标准正态分布关于 2 2 (x) 的双侧分位数.
第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布的期望和方差 分别为两个参数 μ 和 σ .
2
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
5、正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布(一) 【完整版】
课题：正态分布(一)〖教学目标〗(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.(4)会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.(5)会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.〖教学重点〗正态分布的意义,正态分布的主要性质.〖教学难点〗正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1．复习提问(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．(2)当n由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．[来源:通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．二、讲解新课1． 正态分布与正态曲线(1) 总体密度曲线可以用一个函数()y f x =的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数与它相近似(2) 如果随机变量ξ的概率密度为()f x =22()22x e μσπσ--(,,x R μσ∈为常数，且σ0>)，称ξ服从参数为,μσ的正态分布,用ξ～()2,N μσ表示,()f x 的表达式可简记为()2,N μσ,它的密度曲线简称为正态曲线.其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差例1 下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ． (1)22()2x f x π-=(2)2(1)8()2x f x π--=(3)22(1)()x f x π-+=(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝2． 正态曲线的性质通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、且关于某条直线对称.结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．[来源:曲线关于直线x ＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．例2正态总体的函数表示式是22(1) ()xf xπ-+=,(1)求f(x)的最大值．(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．3.标准正态分布与标准正态分布表(1)当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是22()2xf xπ-=（-∞＜x＜+∞）,记作ξ～(0,1)N.其相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．(2)标准正态分布的分布函数.若ξ～(0,1)N ,则ξ的分布函数通常用()x Φ表示,且有()x Φ=()P x ξ≤.对于一切0x ≥,()x Φ的值可在标准正态分布表中查到;对于0x <的()x Φ的值,可用()x Φ=1-()x Φ-求出.(3)()P a b ξ<≤的计算.若ξ～(0,1)N ,则()P a b ξ<≤=()()b a Φ-Φ,即通过查标准正态分布表中,x a x b ==时的()x Φ的值,可计算概率()P a b ξ<≤.三.练习[来源:面练习1.习题1.四.小结五.课后作业〖教学反思〗正态分布问题解决的两个途径：(1) 正态分布←正态曲线[来源:正态分布←标准正态总体←标准正态曲线注意μ和σ的几何意义是解决问题的一个重要环节. 研究正态曲线要注意各区间面积的求法及其意义.。
)正态分布-1
1
−1
1 −t 2 / 2 e dt 2π
= Φ (1) − Φ ( −1) = 2Φ (1) − 1 = 2 × 0.8413 − 1 = 0.6826 .
同法可算出
P (| X − µ |< 2σ ) = Φ (2) − Φ (−2) = 0.9545 ,
P(| X − µ |< 3σ ) = Φ (3) − Φ ( −3) = 0.9973 .
N(3,0.25)
0.8 0.4 0.6 0.4 0.2
N(0,1) N(0,4)
2 -3 -2 -1
N(0,0.25)
N(3,1) N(3,4)
0.2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
正态分布(3) 正态分布(3)
常用 Φ ( x) 记标准正态分布的分布函数.
若 X ~ N (0,1) ,则
因而
P ( X < x) = P ( X ≤ x) = Φ ( x) .
正态分布(1) 正态分布(1)
如果随机变量 X 的概率密度为
− 1 p ( x) = e 2π σ ( x − µ )2 2σ 2
, −∞ < x < +∞ ,
其中σ 和 µ 都是参数,σ > 0 , µ 可取任意实值,则称 X 服从 正态分布 N ( µ ,σ 2 ) ,记为 X ~ N ( µ ,σ 2 ) .
例3.4 已知 X ~ N ( µ , σ 2 ) ,求 P(| X − µ |< σ ) , P(| X − µ |< 2σ ) 和 P (| X − µ |< 3σ ) .
解 P (| X − µ |< σ ) = ∫
正态分布(1)
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 0.5 , 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=
P(2 X 2) =
0.9544
.
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。
概率密度曲线的形状特征．
频率 组距
概率密度曲线
“中间高，两头低， 左右对称”
总体在区间 (a , b)内取值的概率
a
b
产品 尺寸 （mm）
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
μ=0
1 2 f ( x) e x (,) 2
x2
σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
3.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
则称为X 为正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分 布记作X~ N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从 正态分布，则记作 X~ N（ μ，σ2）
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N
(, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a ≤ a)
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 ( a, a] 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
1的标准正态分布等于
1的标准正态分布等于标准正态分布是统计学中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在统计学中，我们经常会遇到各种分布，而标准正态分布则是最为特殊和重要的一种分布。
那么，什么是标准正态分布呢？标准正态分布又称为正态分布，是一种理想的连续概率分布。
它的概率密度函数呈钟型曲线，左右对称，中心峰较高，两侧逐渐减小。
标准正态分布的数学表达式为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(e\) 是自然对数的底，\(\pi\) 是圆周率。
标准正态分布的均值为0，标准差为1。
这意味着标准正态分布的平均值为0，标准差为1。
标准正态分布的性质是非常重要的。
在实际应用中，我们经常会将不同的随机变量转化为标准正态分布，以便进行统计分析和推断。
这是因为标准正态分布具有许多方便的性质，使得统计分析变得更加简单和直观。
标准正态分布的性质之一是68-95-99.7法则。
根据这一法则，大约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，大约95%的数据落在两个标准差范围内，大约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这一法则在实际统计分析中经常被使用，能够帮助我们快速了解数据的分布情况。
另一个重要的性质是标准正态分布的标准化。
通过标准化过程，我们可以将任意正态分布转化为标准正态分布。
这一过程十分简单，只需要将原始数据减去均值，再除以标准差即可。
标准化后的数据具有均值为0，标准差为1的特性，便于比较和分析。
标准正态分布还与统计推断和假设检验密切相关。
在假设检验中，我们经常会使用标准正态分布的临界值来进行判断。
通过比较实际观测值与标准正态分布的临界值，我们可以得出对总体参数的推断结论。
总之，标准正态分布在统计学中具有非常重要的地位，它的性质和应用远远超出了本文所能涵盖的范围。
通过深入学习和理解标准正态分布，我们能够更好地应用统计学知识，进行科学的数据分析和推断。
希望本文能够帮助读者更好地理解标准正态分布的概念和应用，为实际问题的解决提供帮助。
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正态分布曲线
学习目标
8．3 正 态 分 布 曲 线 课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.了解标准正态密度函数及图形． 2．通过查表求标准正态下的概率．
课前自主学案
温故夯基
np 1 ． 对 于 X ～ B(n ， p) ， 则 E(X) ＝ ____ ， D(X) ＝ np(1－p) 两点 _________，当n＝1时，是_____分布． 频率
用正态分布研究实际问题
若已知实际问题的 μ、 用 σ， 可求问题的 E(X)或 σ.
例2
|X－μ| P ≤1.96＝0.95 σ
内科医生对某病人进行了血压的测量，用X
表示测量的收缩压(单位：mmHg)．设X服从正态 分布，如果病人当时的真实收缩压是μ.
(1) 当 血 压 计 的 测 量 标 准 差 是 1 ， 计 算 P(|x －
知能优化训练
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在标准正态分布中，正态密度曲线关于y轴对称(偶 函数)且Φ(a)＋Φ(－a)＝1. 1 x2 例1 在标准正态分布中，φ(x)＝ e－ . 2 2π (1)求 Φ(0)； (2)若 Φ(2)≈0.977，求 P(x＞2)； (3)若 Φ(1)≈0.841，求 P(－1＜x＜1)．
【思路点拨】
Φ(a)＝P(x＜a)，可利用φ(x)关于y
P(x＜－1)＝P(x＞1)＝Φ(－1)＝0.159.
∴P(－1＜x＜1)＝1－P(x＜－1)－P(x＞1)
＝1－2Φ(－1)＝1－2×0.159＝0.682.
【思维总结】 Φ(a)表示概率P(x＜a)，故P(x1＜
x＜x2)＝Φ(x2)－Φ(x1)．
互动探究
在本例中，求P(1＜x＜2)．
解：Φ(2)＝P(x＜2)≈0.977， Φ(1)＝P(x＜1)≈0.841， ∴ P(1 ＜ x ＜ 2) ＝ Φ(2) － Φ(1)≈0.977 － 0.841 ＝ 0.136.
μ|≤1.96)；
(2) 当 血 压 计 的 测 量 标 准 差 是 1.5 ， 计 算 P(|x － n|≤2.94)．
|x－μ| P ≤1.96＝0.95， σ
【思路点拨】
即 P(|x－μ|≤1.96σ)＝0.95.
【解】
(1)∵σ＝1，∴P(x－μ)≤1.96＝0.95，
(2)当σ＝1.5时，
|x－μ|≤1.96σ，即|x－μ|≤2.94，
∴P(|x－n|≤2.94)＝0.95.
方法感悟
失误防范
1．根据标准正态分布下的某范围的概率，充分
利用图形的对称性．
2．P(b＜x＜a)表示由直线x＝a，x＝b及φ(x)与x
轴围成的封闭图形的面积．
失误防范
1．标准正态分布由μ，σ唯一确定． 2．P(x＜a)＝1－P(x＞a)．
组距 2．在频率分布直方图中，纵坐标的含义是______,
用小矩形的_____表示数据落在该组中的频率，在 面积 折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于 光滑的曲线 一条_____________．
知新益能
x2 1 e－ 2 2π 1．标准正态密度曲线的φ(x)＝__________.
2．标准正态密度曲线的特点： y轴 (1)曲线关于______对称； (2)φ(x)在______ 达到最大值； x＝0 1 (3)曲线和x轴所夹的面积等于____； (4)用Φ(a)表示曲线阴影部分的面积，则Φ(a)＋Φ( －a)＝____. 1
轴的对称性求面积．
【解】
(1)∵Φ(a)＋Φ(－a)＝1， 1 令 a＝0，∴2Φ(0)＝1，∴Φ(0)＝ . 2 (2)∵Φ(2)＋Φ(－2)＝1， ∴Φ(－2)＝1－Φ(2)＝1－0.977＝0.023， P(x＞2)＝P(x＜－2)＝Φ(－2)＝0.023.
(3)Φ(1)＋Φ(－1)＝1，
∴Φ(－1)＝1－Φ(1)＝1－0.841＝0.159，
3．用 E(X)＝μ 表示测量值 X 的数学期望，用 σ 表 |X－μ| 示测量的标准差， 则有如下的结果 P σ ≤1.96 0.95 ＝______.我们称随机变量 X 服从数学期望值 μ， 正态分布 标准差为 σ 的__________．
课堂互动讲练
考点突破
利用标准正态分布曲线求概率