[VIP专享]1.4 生活中的优化问题举例(陈会岗)
1.4 生活中的优化问题举例
4
高为
由题意知 x>0,x+0.5>0,且 3.2-2x>0,
∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3,
则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V'=-6x2+4.4x+1.6.
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令 V'=0,有 15x2-11x-4=0,
解得
4
x1=1,x2=-15(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V'(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V'(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在
x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m.
此时 Smax=42=16(m2).
答案:16 m2
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2.用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所
制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容
积最大?并求出它的最大容积.
解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,
14.8-4x-4(x+0.5)
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助
椭圆的方程,可表示出等腰梯形的高.
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解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如
图所示),则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为
1[1].生活中的优化问题举例
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V ∴ S ( R ) = 2πR ⋅ 2 + 2πR 2 = 2V + 2 π R 2 . πR R
2V + 4 π R = 0 . 解得 R = 2 R V V 3 从而 h = = 2⋅ 即h=2R. 2 πR 2π 由 S ′( R ) = −
3
V 则 h = πR
2
.
V . 2π
可以判断S(R)只有一个极值点 且是最小值点 只有一个极值点,且是最小值点 可以判断 只有一个极值点 且是最小值点. 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省. 答 罐高与底的直径相等时 所用材料最省
s ( x ) = ( x + 4 )( 128 x + 2 ) − 128
= 2 x +
512 求导数， 求导数，有 S ' ( x ) = 2 − 2 , x 512 令s' ( x ) = 2 − 2 = 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 解得， 舍去） 舍去 x
于是宽为 128 128 = =8 x 16
1 1 S ′ = (4 x − 2l ) = (2 x − l ) 16 8 l 令S ′ = 0, 得x = 2
由问题的实际意义可知： 由问题的实际意义可知：
l l 当x = 时, S取最小值. 最小值为 . 32 2
2
问题2:饮料瓶大小对饮料公司 问题 饮料瓶大小对饮料公司 有影响吗? 利润 有影响吗
πR
2
2mn
如何解决优化问题?
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
生活中的优化问题举例( 生活中的优化问题举例(二)
利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
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两地相距 100 千米.
（1）当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
三、合作探究，问题解决。
题型一：面积、容积的最值问题
例 1：用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截
1
2
2
1
C． | x | dx 2 | x | dx
1
0
1
3、用定积分表示下列阴影部分的面积（不要求计算）：
（1）S=
Hale Waihona Puke （图①；（2）S=b
D． (x 1)dx xdx
2
4、用图象表示定积分 | x 1 | dx ，并通过几何意义求定积分的值。
1
三、合作探究，问题解决。
一、自主学习，明确目标 1、通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2、能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 3、提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识. 4、求解有关函数最大值、最小值的实际问题（重点） 5、把实际问题转化成抽象的数学问题（难点） 6、在解决实际问题时注意函数的定义域（易混点） 二、研讨互动，问题生成 1、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积为最大，则高为（ ）
3 A、 cm
3
10 3
B、
cm
3
16 C、 3cm
3
20 3
D、
cm
3
2、某公司生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加
100 元，若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
34生活中的优化问题举例
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．
2 由S′＝8－6 x2＝0，得唯一的极值点x ＝ 3 3，
2
由 V (x) 60x 3 x2 0 2
解得 x1=0 (舍), x2=40.
h x
解: 设箱底边长为 x, 箱子容积为h 60 x
V (x) x2(60 x) (0 x 60) 2
2
由 V (x) 60x 3 x2 0
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10x)(50 x) (50 x) 20
10x2 340x 8000
令W '(x) 0,求得x 17 当W '(x) 0时, x 17 ；当W '(x) 0时, x 17
x 17，利W 最大 房价：180 1017 350（元）
x
求导数，有
S'( x)
2
512 x2 ,
令s'(
x)
2
512 x2
0,
解得，x=16 (x=-16舍去）于是宽为128 128 8
x 16
当x (0,16)时, s'( x) 0; 当x (16,)时, s'( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也 是最小值点。所以，当版心高为16dm,宽 为8dm时，能使四周空白面积最小。
3
令 f '(r) 0.8 (r 2 2r) 0
1.4生活中的优化问题举例
V 解:设桶底面半径为R, 则桶高为h R2
h
R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值
当半径为R
V 时使用材料最省 2
制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时， 容器的容积最大？并求出它的最大容积。
解：设容器底面短边的边长为x m,则另一边长为（x+0.5) m
14.8 4 x 4( x 0.5) 高为 =(3. 2－2x) m 4
由 x＞0且3. 2－2x ＞0,得 0＜x＜1.6
设容器的容积为y,则 y=x(x+0.5)(3. 2－2x) ( 0＜x＜1.6 )
解：设容器底面短边的边长为x m,则另一边长为（x+0.5) m 14.8 4 x 4( x 0.5) 高为 =(3. 2－2x) m 4 由 x＞0且3. 2－2x ＞0,得 0＜x＜1.6
设容器的容积为y,则 y=x(x+0.5)(3. 2－2x) ( 0＜x＜1.6 ) y′= -6x2+4.4x+1.6
例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子， 箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
x
60 x 解:设箱底边长为x cm， 箱高 h 2 2 3 60 x x 2h (0 x 60) 箱子容积为V=x 2
当x=4时取S(x)极大值，这个极大值就是S(x)的最大值
答：矩形场地的最大面积为32m2
类型一：面积（体积、容积）最大问题
在实际问题中，如果函数 区间内只有一个 极值点，那么不必与端点比较， f ( x0 )就是所求 的最大值或最小值.
(所说区间适用于开区间或无穷区间)
1.4生活中的优化问题1
1 2 产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p 24 200 x , 5
【解析】每月生产x吨产品时的利润为 1 2 f x (24 200 x )x (50 000 200x) 5 1 3 由 f x 3 x 2 24 000 0 x 24 000x 50 000(x 0) 5 5 解得：x=200或x=-200（舍去）．因为f(x)在［0,+≦)内只 有一个点x=200
（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值点一定是最值点。
例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进 行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下 两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设 计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
（1）若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.
∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.
∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0. （3）解法一由题意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.
【典例】（2010·湖北高考）为了在夏季降温和冬季供 暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚 的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费 用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关 k Cx 0 x 10 ， 若不建隔热层，每年能源 系： 3x 5 消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能 源消耗费用之和． （1）求k的值及f(x)的表达式； （2）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求 最小值． 【审题指导】根据自变量x和函数值C的实际意义以及题 目条件可知C（0）＝8.由此可求出f(x)的表达式，进而 求f(x)的最小值.
生活中的优化问题举例课件
实例探究二：利润最大问题
换一个角度: 如果我们不用导数工具,直接
从函数的图象(图1.4-2)上观察,你 有什么发现?
f (r) 0.8 ( r3 r 2 )
3
y
从图象上容易看出, 1.当r=3时,f(3)=0,即瓶子半径是 3cm时,饮料的利润与饮料瓶的 成本恰好相等; 2.当r>3时,利润才为正值.
h
2 R
R
V(R)= S 2 R2 R2 = 1 (S 2 R2 )R 1 SR R3
2 R
2
2
令V '(R) =0 S 6 R2
6 R2 2 Rh 2 R2 h 2R ．
Page 17
作业:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
n
f (r) R r • 2r 2 r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量 越大。
Page 23
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
Page 13
2
0
3r
(图1.4-2)
方法小结
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的
统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过
研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题
得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有
利的工具，其基本思路如以下流程图所示:
建立数学模型
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
1.4 生活中的优化问题举例
1.4 生活中的优化问题举例一、知识点阅读1. 优化问题：生活中求利润最大、用料最省、效率最高、体积面积最大等问题，称为优化问题.2. 解决优化问题的一般步骤（1）审：认真阅读并理解题目，化繁为简，揭示数学本质；（2）设：在阅读理解的基础上，建立数学模型，选定未知量，设未知数； （3）列：建立相关的函数关系式； （4）解：利用导数的知识求解最优解； （5）验：回归实际问题进行检验； （6）答：结合题意作答.二、题型阅读例1 把长为cm 12的细铁丝截成两段，分别围成一个正方形和一个正三角形，问如何截取可使二者的面积之和最小？解：设围成正方形的一段长为xcm ，那么围成正三角形的一段为cm x )12(-，记二者面积之和为)(x S ，那么3sin )312(21)4(22πx x S -+=（120<<x ）.239128)('⨯-+=x x x S ，令0)('=x S ， 得11)433(48349348-=+=x . 当)11)433(48,0(-∈x 时，0)('<x S ；当)12,11)433(48(-∈x 时，0)('>x S ；因此，11)433(48-=x 是函数)(x S 的极小值点，也是最小值点，所以围成正方形的一段长截取为cm 11)433(48-时，二者面积之和最小.答：围成正方形的长为cm 11)433(48-时，面积和最小.【模仿1】把长为cm 12的细铁丝截成两段，分别围成两个正三角形，则两正三角形面积之和最小为.夹角正弦边长边长⨯⨯⨯=∆21S例2ml 500的圆柱形金属饮料罐，它的高与半径应该怎样选择，才能使所饮料罐用材料最省？解: 设半径为rcm ，高为hcm ，那么5002=h r π，得2500r h π=. 记表面积为)(r S ，那么2250022)(rr r r S πππ⋅+=， 即r r r S 10002)(2+=π. 求导得210004)('r r r S -=π，令010004)('2=-=rr r S π，得3250π=r .当)250,0(3π∈r 时，0)('<r S ；当),250(3∞+∈πr 时，0)('>r S ；因此，3250π=r 是函数)(r S 的极小值点，也是最小值点，此时32)250(500ππ=h ，才能使所饮料罐用材料最省. 答：饮料罐半径为cm 3250π，高为32)250(500ππ时，饮料罐用材料最省.反思：解答最优化问题的关键是列出正确的函数关系式，余下的就是导数的最值问题.例3 某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为3210453700)(x x x x R -+=（单位：万元），成本函数为5000460)(+=x x C （单位：万元）. 求：（1）利润函数)(x P (提示：利润＝产值－成本)的解析式；（2）年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？解：（1）P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000 (x ∈N 且x ∈[1,20]). （2）P ’(x)＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x ＋9)(x －12) (x ∈N 且x ∈[1，20])，当1≤x ≤12时，P ’(x)＞0，P(x)单调递增；【模仿2】（1）圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为（ ）A. 2∶1B. 1∶2C. 1∶4D. 4∶1（2）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为 .当12＜x ≤20时，P ’(x)＜0，P(x)单调递减；∴x ＝12时，P(x)取最大值，即年造船12艘时，造船 公司的年利润最大.答：年造船12艘时，造船公司的年利润最大. 小结：关于利润问题常用的两个等量关系：①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数.例4 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进 行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q ，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元. 若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则（1）试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数. 如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈 利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 分析：（1）利用题中等量关系列出y 与x 的函数 关系式，将x ＝100代入所求关系式判断y >0还是y <0； （2）先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求 最值.解：(1)由题意，每年销售Q 万件，年成本共为)332(+Q 万元. 年销售收入是%50%150)332(⋅+⨯+x Q .∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝%50%150)332(⋅+⨯+x Q x Q -+-)332( ＝)332(21x Q -+＝)311332(21x x x -+++⨯ ＝)0()1(235982≥+++-x x x x ，∴所求的函数关系式为：)0()1(235982≥+++-=x x x x y因为100=x 时，0<y ，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)由)0()1(23598)(2≥+++-==x x x x x f y ，得【模仿3】某产品的销售收入P (万元)是产品x (千台)的函数：217x P =)0(>x ；生产总成本Q (万元)也是x (千台)的函数：232x x Q -=)0(>x ，为使利润最大化，应生产（ ）A. 9千台B. 8千台C. 6千台D. 3千台)0()1(2632)('22≥++--=x x x x x f .令0)('=x f ，则2x ＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍去) ，或x ＝7. 又∵当x ∈(0，7)时，0)('>x f ； 当x ∈(7，＋∞)时，0)('<x f ， ∴极大值)(x f ＝)7(f ＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴极大值)()(max x f x f =＝)7(f ＝42.答：当年广告费投入7万元时，企业年利润最大. 小结：用导数解决优化问题的实质是求函数的最值. 根据题意设出变量，列出函数关系式，注明定义域，再利用导数求最值，若在定义域内只有一个极值，则这个极值就是最值. 解决此类问题，也要灵活运用数学结合的方法.用导数解决优化问题的基本思路：三、综合训练1.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为23481313-+-=x x y ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件 2. 某箱子的容积与底面边长x 的关系为)600)(260()(2<<-=x xx x V ,则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为 ( )A.30B.40C.50D.203. 用长为24m 的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为 ( )3mA.8B.12C.16D.244. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则其高应为 ( )cmA.20 33B.100C.20D.2035. 某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k (k >0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ,x ∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x 的取值为 ( )A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.048 66. 把一个周长为12cm 的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为.7. 用长为90cm ,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为.8. 统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为]120,0(,880312800013∈+-=x x x y ,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.9. 请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为m 1的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为m 3的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时,帐篷的体积最大？最大体积是多少？（帐篷体积=正六棱柱的体积+正六棱锥的体积）。
1.4生活中的优化问题举例
64 64 8 =72, S 4( x ) 8 4 2 x x x 64 x x 8 , x=－8(舍). x
2 1
128
1
即海报版面长为10dm, 宽为20dm时, … 2 128 解:设版心长为: xdm, 宽为: dm, x 128 海报版面长为: (x＋2)dm, 宽为: ( 4)dm, x 128 海报的四周空白面积: s ( x 2)( 4)－128 x 64 256 4x 8 4( x ) 8 x x
练习: P37
4~5
本节课到此结束, 请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!
Homework: 习题1.4 :1、3、6 聚焦课堂:
再见!
64 S ' 4(1 2 ) =0 x
x=8 或x=－8 (舍)
2
当x∈(0,8)时: S ’( x)<0. S(x)单调递减, 当x∈(8, ＋∞)时: S’( x)>0. S(x)单调递增, 1 128 1 当x=8时, S(8)最小. 即海报版面长为10dm, 宽为20dm时, … 2 128 解:设版心长为: xdm, 宽为: dm, x 128 海报版面长为: (x＋2)dm, 宽为: ( 4)dm, x 128 海报的四周空白面积: s ( x 2)( 4)－128 x 64 256 4x 8 4( x ) 8 x x
(0 r 6). f '(r ) 0.8 r 2r =0, r=2 或r=0 (舍) 当r∈(0,2)时: f ’( r)<0. f(r)单调递减, r 此时半径越大, 利润越低. 2 当r∈(2,6)时: f ’( r)>0. f(r)单调递增, 0 6 此时半径越大, 利润越高.
1.4生活中的优化问题举例(共81张PPT)
(整理)14生活中的优化问题举例(陈会岗).
§1.4 生活中的优化问题举例一、自主学习，明确目标1、通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.2、能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.3、提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识.4、求解有关函数最大值、最小值的实际问题（重点）5、把实际问题转化成抽象的数学问题（难点）6、在解决实际问题时注意函数的定义域（易混点） 二、研讨互动，问题生成1、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为（ ） A 、cm 33B 、cm 3310 C 、cm 3316D 、cm 3320 2、某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x(0≤x ≤390)的关系是R(x)=x x 4009003+-，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（ ）A 、150B 、300C 、250D 、2003、设一个容积V 固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h ，底面半径为r ，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则h ：r= 时，造价最低.4、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式可以表示为y=)1200(880312800013≤<+-x x x .已知甲乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 三、合作探究，问题解决。
题型一：面积、容积的最值问题例1：用长为90cm ，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？题型二：费用最省、用料最少的问题例2：已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水而行到B 地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v 千米/小时（8<v ≤v 0），若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比。
高中数学 专题1.4 生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教
生活中的优化问题举例【教学目标】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 【教法指导】本节学习重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 本节学习难点：导数在解决实际问题中的作用． 【教学过程】 ☆复习引入☆生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题． 解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之. ☆探索新知☆探究点一 面积、体积的最值问题思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？例1 学校或班级举行活动，通常需要X 贴海报进行宣传．现让你设计一X 如图所示的竖向X 贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x2.令S ′(x )＝2－512x2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0； 当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值X 围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米． 答案 32,16探究点二 利润最大问题r 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f (r )＝0.2×43πr 3πr 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫r33－r 2，0<r ≤6. 令f ′(r π(r 2－2r )＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三 费用(用材)最省问题例3 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域X 围内．跟踪训练3 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得y ＝500x x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300，令y ′＝0， 解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． ☆课堂提高☆1．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R 【答案】C2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6 【答案】 B【解析】 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2(0<x <0.048 6)． 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 3【答案】 B当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值 从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．4．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( ) A ．25件 B ．20件 C ．15件 D ．30件 【答案】 A【解析】 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0， x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．5．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为．6．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数， 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小。
(完整)生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例（一)教材分析本节内容是数学选修2-2 第一章导数及其应用1。
4生活中的优化问题举例，是在学习了导数概念、导数的计算及导数在研究函数中的应用后体会导数在解决实际问题中的作用。
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习可知,导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节利用导数，解决一些生活中的优化问题。
教材首先给出背景性的问题，在生活经验的基础上,逐步引入到数学问题中，按照学生的思维过程,逐步展开问题,解决问题，让学生体会数学建模的过程.培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
课时分配本节内容用1课时的时间完成，通过两个例题的教学，培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识。
教学目标：重点: 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，让学生体会数学建模的过程，体会导数在解决实际问题中的作用。
难点:让学生发现问题、分析问题、解决问题,数学建模。
知识点：利用导数求函数最大(小）值，解决一些生活中的优化问题。
能力点：主动发现问题、分析问题、解决问题，曾强数学的应用意识。
教育点：利用导数,解决一些生活中的优化问题。
自主探究点：分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域,再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决.考试点：利用导数求函数最大（小）值，解决一些生活中的优化问题。
易错易混点:建立适当的函数关系,并确定函数的定义域.拓展点：利用导数解决优化问题的基本思路：教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小）值的有力工具．这一节，我们利用导数,解决一些生活中的优化问题。
二、探究新知探究(一）:海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm。
生活中的优化问题举例
4 3
故当 r 3 时，ymin 310 .
2
3
【方法总结】利用导数解决生活中的优化问题的一般
步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题
的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系
y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0.
【解题指南】首先依据图形建立合适的坐标系，设出
点的坐标，引入变量构建与面积有关的函数关系式，
再利用导数求最值.
【解析】以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标 系，则D(4，2). 设抛物线方程为y2=2px. 因为点D在抛物线上， 所以22=8p，解得p= 1 .
2
所以抛物线方程为y2=x(0≤x≤4).
改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的
收益最大.
【方法总结】利润问题中的等量关系
解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条 件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
【跟踪训练】某商场销售某种商品的经验表明，该商
品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/ 千克)满足关系式y=
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点， 则|PQ|=2+y，|PN|=4-y2.
所以矩形游乐园的面积为
S=|PQ|×|PN|=(2+y)(4-y2)=8-y3-2y2+4y.
求导得S′=-3y2-4y+4，令S′ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0，
得3y2+4y-4=0，解得y= 2 或y=-2(舍).
2 当y∈ (0， ) 时，S′>0，函数S为增函数; 3 3
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（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
三、合作探究，问题解决。
题型一：面积、容积的最值问题
例 1：用长为 90cm，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截
掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折 90°，再焊接而成，问该容器的高为多少
时，容器的容积最大？最大容积是多少？
位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，则 h：r=
时，造价最低.
4、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y（升）关于行驶速度
x（千米/时）的函数解析式可以表示为 y= 1 x3 3 x 8(0 x 120) .已知甲乙 128000 80
两地相距 100 千米.
（1）当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
中变量之间的函数关系 y f (x) ; （2）求函数的导数 f (x) ，解方程 f (x) 0 ； （3）比较函数在区间端点和使 f (x) 0 的点的数值的大小，最大（小）者为最大
（小）值。 （4）写出答案：
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
3 A、 cm
3
10 3
B、
cm
3
16 C、 3cm
3
20 3
D、
cm
3
2、某公司生产一种产品，固定成本为 20000 元，每生产一单位的产品，成本增加
100 元，若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)
= x3 400x ，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（
§1.4 生活中的优化问题举例
一、自主学习，明确目标 1、通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2、能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 3、提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识. 4、求解有关函数最大值、最小值的实际问题（重点） 5、把实际问题转化成抽象的数学问题（难点） 6、在解决实际问题时注意函数的定义域（易混点） 二、研讨互动，问题生成 1、要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积为最大，则高为（ ）
题型三：利润最大问题 例 3：某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x（吨）与每吨产品的价格
1
2
2
1
b
xdx
B．
a
b
A． 0dx b a
aLeabharlann 2、下列等式成立的是（ ）
D．-2
C．-1
B．2
A．0
1、已知 xdx 2 ，则 xdx 等于（ ）
t
0
0
t
二、研讨互动，问题生成。
6、常与定积分的求法相联系综合考查。
5、利用定积分的基本性质解题。（难点）
4、利用定积分的几何意义解题。（重点）
3、掌握定积分的基本性质。
2、理解定积分的几何意义。
1、了解定积分的概念。
一、自主学习，明确目标。
1.5 定积分的概念
2、利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题
）
900
A、150
B、300
C、250
D、200
3、设一个容积 V 固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为 h，底面半径为 r，已知单
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5+**÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
题型二：费用最省、用料最少的问题 例 2：已知 A、B 两地相距 200 千米，一只船从 A 地逆水而行到 B 地，水速为 8 千 米/小时，船在静水中的速度为 v 千米/小时（8<v≤v0），若船每小时的燃料费与其在静 水中的速度的平方成正比。当 v=12 千米/小时时，每小时的燃料费为 720 元，为了使全 程燃料费最省，船在静水中的速度为多少？