湖南师大附中博才实验中学2019-2020学年九年级(上)开学数学试卷

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湖南师大附中高新实验中学2019年9月九年级数学入学考试试卷

湖南师大附中高新实验中学2019-2020学年度第一学期九年级入学检测试卷数学时量：120分钟满分：120分一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．方程2x =16的解是（） A ．4 B ．±4 C ．－4 D ．8 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等 3．一次函数y = －x －1的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知方程x 2－4x +k =0有一个根是－1，则该方程的另一根是（） A ．1 B ．0 C ．－5 D ．55．某农机厂四月份生产零件40万个，第二季度共生产零件162万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．40(1+x )2=162B ．40+40(1+x )+40(1+x )2=162C ．40(1+2x )＝162D ．40+40(1+x )+40(1+2x )=162 6．如图是二次函数22+4y x x =-+的图象，使y ≥1成立的x 的取值范围是（ )A ．13x -≤≤B ．1x -≤C ．x ≥1D ．1x -≤或3x ≥7. 如图，直线y =32x +3交坐标轴于A ，B 两点，则△AOB 的面积是（） A ．3B ．6C ．2D ．328. 如图，在平行四边形ABCD 中，DB =DC 、∠A =70°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE 为 ( ) A ．70° B ．40° C ．20° D ．30° 9. 下列数据方差为0的是（）A ．0，1，2，3，5B ．1，2，3，4，5C ．2，2，2，2，2D ．2，2，2，3，3第7题图10．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋5配方后为y ＝(x －3)2－4，则b 的值分别为( )A ．0B ．5C ．6D ．－611．同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是( )12．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0； ②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④abc >0，其中正确结论的个数是（）A ． 4个B ． 1个C ． 2个D ． 3个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．若关于x 的一元二次方程（m +1）x 2＋5x ＋m 2－3m －4＝0的常数项为0，则m 的值等于．14．某课外小组的同学们实践活动中调查了20户家庭某月用电量，如下表所示：则这户家庭用电量的中位数是_____．15．一元二次方程2x 2﹣3x －k =0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 16．如图，在□ABCD 中，AB =6cm ，AD =9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，则CF 的长为 cm ．17．将抛物线y =4x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为．18．如图，已知E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB =6cm ，∠ABC =60°，则四边形EFGH 的面积为cm 2．三、解答题（第19、20题每题6分；第21、22题每题8分；第23、24题每题9分；第25、26每题10分）19．解方程：①x 2－4x +4=0（2）x 2+8x －20=0第12题图DF第18题图20．右图是某汽车行驶的路程S (km )与时间t (分钟) 的函数关系图；观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）求汽车在前9分钟内的平均速度是．（2）汽车在中途停了多长时间？（3）当16≤t ≤30时，求S 与t 的函数关系式．21．为了丰富同学们的课余生活，某学校计划举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点是？”的问卷调查，要求学生必须从“A （洪家关），B （天门山），C （大峡谷），D （黄龙洞）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为；（2）请将两个统计图补充完整；（3）若该校共有2000名学生，请估计该校最想去大峡谷的学生人数．22．已知关于x 的一元二次方程：()2120x t x t --+-=. (1)求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；(2)当t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．23．为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车，经市场调查得知，购买3量男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元．(1)求男式单车和女式单车的单价；(2)该社区要求男式单比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？24．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连结AE 、BD 且AE =AB ．（1）求证：∠ABE =∠3；（2）若∠1 = 2 ∠2，求证：四边形ABCD 是菱形.25．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x ﹣1，它们的相关函数为y =()()1010x x x x -+<⎧⎪⎨-≥⎪⎩．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y =ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y =﹣x 2+4x ﹣12． ①当点B （m ，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值； ②当﹣3≤x ≤3时，求函数y =﹣x 2+4x ﹣12的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y =﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．26．如图，抛物线与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为，抛物线的对称轴x =1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；()2y ax bx c a 0=++≠()2,0-1（ 2 () 3（3）平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．。

湖南省长沙市师大附中博才实验中学2019-2020年初三第一学期第一次月考数学试卷(word版、无答

湖南师大附中博才实验中学2019-2020学年度第一学期九年级第一次月考试题卷·数学一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列实数中，为无理数的是（）A. 0.1B.15C.D. 5-2. 中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（） A. 50.67510⨯B. 46.7510⨯C. 367.510⨯D. 267510⨯3. 下列运算中，正确的是（）. A. 34x x x += B. 236()x x = C. 321x x -=D. 222()a b a b -=-4. 某校篮球队13名同学的身高如下表：则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（） A. 182，180B. 180，180C. 180，182D. 188，1825. 下列命题中，真命题是（） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形6. 不等式组373243x xx x +≤+⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.7. 如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（）A. CM DM =B. CB DB =C. ACD ADC ∠=∠D. OM BM =8. 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和12，则b 的面积为（）A. 4B. 17C. 16D. 559. 已知0k >，0b <，则一次函数y kx b =-的大致图象为（）A. B. C. D.10. 如图，在ABC ∆中，65CAB ︒∠=，将ABC ∆在平面内绕点A 旋转到AB C ∆''的位置．若25CAB ︒∠'=，则'CAC ∠的度数为（）A. 25︒B. 40︒C. 65︒D. 70︒11. 长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润200元，其利润率为10%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（） A. 475元B. 875元C. 562.5元D. 750元12. 已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象如图所示，给出以下结论： ①0a b c ++<；②240b ac ->；③0b >；④420a b c -+<； ⑤23a c +<，其中正确结论的个数是（） A. ②③④B. ①②⑤C. ①②④D. ②③⑤第7题图第8题图第10题图二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13.x 的取值范围是 . 14. 若223x y y -=，则xy= . 15. 如图，直线123l l l ，点A 、B 、C 分别在直线123l l l 、、上．若170︒∠=，250︒∠=，则ABC ∠= 度．16. 如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且8AB cm =，5OC cm =，则OD的长是 .17. 设a b c 、、是实数，且满足2(3)10a c ++++=，则()c b a -的值为 . 18. 如图，正方形AEFG 与正方形ABCD 的边长都为1，正方形AEFG 绕正方形ABCD 的顶点A 旋转一周，在此旋转过程中，线段DF 的长取值范围为.三、解答题（本题共2小题，每题6分，满分12分） 19.（本小题6分）计算：01123π-+--.20.（本小题6分）先化简，再求值：22244(4)2x x x x x+--÷+，其中3x =-.第15题图第16题图第18题图21.（本小题8分）博才中学校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．（1）求本次被调查的学生人数；（2）补全条形统计图；（3）博才中学共有7200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？22.（本小题8分）已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D （如图）．（1）求证：AC BD =；（2）若大圆的半径10R =，小圆的半径8r =，且圆O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．23.（本小题9分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案：方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每件文具的利润不低于25元且不高于29元. 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．24.（本小题9分）如图，四边形ABCD 中，90BCD D ︒∠=∠=，E 是边AB 的中点．已知1AD =，2AB =．（1）若AB AC =，求B ∠的度数；（2）设BC x =，CD y =，求y 关于x 的函数关系式；（3）当ACE ∆为直角三角形时，求边BC 的长．25.（本小题10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于1p，则称p 为这个函数的“开心值”．在函数存在“开心值”时，该函数的最大“开心值”与最小“开心值”之差q 称为这个函数的“开心长度”．特别地，当函数只有一个“开心值”时，其“开心长度”q 为零．（1）分别判断函数14y x =，2y x =有没有“开心值”？如果有，直接写出其“开心长度”；（2）函数2y x b =-+①若其“开心长度”为零，求b 的值；②若34b ≤≤，求其“开心长度”q 的取值范围；（3）记函数430y x x m m =-≥>（，）的图象为1G ，将1G 沿x m =翻折后得到的函数图象记为2G ，函数G 的图象由1G 和2G 两部分组成，求函数G “开心长度”q 取值范围为多少？26.（本小题10分）如图1，直线y n =+交x 轴于点A ，交y 轴于点C （0，，抛物线223y x bx c =++经过点A ，交y 轴于点B （0，2-）．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD PD ⊥于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当BDP ∆为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；（3）如图2，将BDP ∆绕点B 逆时针旋转，得到BD P ∆''，且旋转角PBP OAC ∠'=∠，当点P 的对应点P '落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．。

湖南省长沙市师大附中博才实验中学2019-2020学年度初三第一学期入学考试数学试卷(pdf版,无答案)

A. x 1
B. x 1
C. x 1
D. x 1
5. 抛物线 y 2(x 1)2 3 可以看作是由抛物线 y 2x2 经过以下哪种变换得到的（）
A. 向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 C. 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D. 向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位
2. 平行四边形不具有而矩形具有的性质是（）
A.对边相等
B.对边平行
C.对角相等
D.对角线相等
3. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如下表，现要根据这
些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（）.
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
4. 在函数 y x 1 中，自变量 x 的取值范围是（）
24.（9 分）如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A、D 不重合），射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q ．（1）求证： PDE≌QCE ；（2）过点 E 作 EF BC 交 PB 于点 F ，连结 AF ，当 PB PQ 时， ①求证：四边形 AFEP 是平行四边形； ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由．
段 BD 的长等于
.
17. 如图，已知：函数 y 3x b 和 y ax 3 的图象交于点 P （ 2 ， 5 ），则根据图象
可得不等式 3x b ax 3 的解集是
.
18. 若二次函数 y x2 2x k 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程

湖南师大附中博才实验中学2019-2020学年初三第一学期第二次月考数学模拟试卷(含解析)

湖南师大附中博才实验中学 2019—2020 学年度第一学期第二次月考试题卷·数学模拟试卷时量：120 分钟满分：120 分一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分）1. 湖南师大附中博才实验中学梅溪湖校区于 2018 年秋季正式揭牌开学，校区位于麓云路和映日路交汇处西北角，规划用地面积约为 62000m 2，净用地面积约为 51000m 2，总建筑面积 35819.6m 2，办学规模 54 个班。

62000 用科学记数法表示为（）A ．6.2×10﹣4B ．6.2×104C ．﹣6.2×104D ．0.62×1042. 下列运算正确的是（）A ．a 2•a 3=a 6B ．a 3+a 2=a 5C ．（a 2）4=a 8D ．a 3﹣a 2=a3. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（）A ．B． C． D ．4. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 N （﹣1，﹣2）绕点 O 旋转 180°，得到的对应点的坐标是（） A ．（1，2） B ．（﹣1，2） C ．（﹣1，﹣2） D ．（1，﹣2）5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错．误．的是（） A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 已知α、β是一元二次方程 x 2﹣2x ﹣3＝0 的两个根，则α+β的值是（） A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣37. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，E 为 AD 边中点，OE 的长等于 4，则菱形 ABCD 的周长为（）A ．16B ．20C ．24D ．32图 18. 随机抽查某商场四月份 5 天的营业额分别如下（单位：万元）3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额约是（）A ．3 万元B ．15 万元C ．90 万元D ．450 万元9. 点 M （﹣3，y 1），N （﹣2，y 2）是抛物线 y ＝﹣（x +1）2+3 上的两点，则下列大小关系正确的是（）A ．y 1＜y 2＜3B ．3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 1＜3D ．3＜y 2＜y 12 10. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，∠BAC =30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB 1C 1，连接 BC 1，则 BC 1 的长为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12图 2 图 3 图411. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED =1 寸），锯道长 1 尺（AB =1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图 6 所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（） A ．13 寸 B ．20 寸 C ．26 寸 D ．28 寸12.如图 4：二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的图象所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③当 m ≠1 时，a +b＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若 ax 12+bx 1＝ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，则 x 1+x 2＝2，正确的个数为（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 13. 在平面直角坐标系中，点 P （- 4,2）与 P 1 关于原点对称，则 P 1 的坐标是 14.若二次函数 y ＝ax 2﹣bx +5（a ≠5）的图象与 x 轴交于（1，0），则 b ﹣a +2015 的值是． 15.如图 5，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE ，这时点 B ，C ，D 恰好在同一直线上，则 ∠B 的度数为．图 5 图 6 图 7 图 8 16.如图 6，在矩形 ABCD 中，AD =3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG ，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE =EF ，则 AB 的长为． 17. 如图 7，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为．18.如图 8，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点， P 是 A'B'的中点，连接 PM ．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是三．解答题（共 8 小题）21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1,1） B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以 O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。

湖南师大附中教育集团2019-2020学年九年级上学期第一次联考数学试题(解析版)

湖南师大附中教育集团2019-2020学年度第一次九年级联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间【答案】C【解析】【分析】根据5.766 6.25,1.962 2.25<<<<,即可求出和的取值范围,+,即可得出结论．【详解】解:∵5.766 6.25,1.962 2.25<<<<∴2.4 2.5,1.4 1.5<<<∴2.4 1.4 2.5 1.5+<+<+即3.84<+3和4之间故选C ．【点睛】此题考查的是判断无理数的取值范围,根据被开方数的取值范围,求出算术平方根的取值范围是解决此题的关键．2.下列运算正确的是（）A. 428a a a =•B. 2242a a a +=C. 222()a b a b +=+D. 326(2)4a a -= 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方逐一判断即可．【详解】解：A ． 44262a a a a +==•，故本选项错误；B ． ()2222112a a a a +=+=，故本选项错误； C ． 222()2a b a ab b +=++，故本选项错误；D ． 322326(2)(2)4a a a ⨯-=-=，故本选项正确．故选D ．【点睛】此题考查的是幂的运算性质、合并同类项和完全平方公式，掌握同底数幂的乘法、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方是解决此题的关键．3.太阳与地球之间的平均距离约为150000000km ，用科学记数法表示这一数据为（）A. 81.510km ⨯B. 71510km ⨯C. 100.1510km ⨯D. 91.510km ⨯【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：根据科学记数法的定义：150000000km =81.510km ⨯故选A ．【点睛】此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键．4.2019年全国高中数学联赛，湖南师大附中入选省队人数、签约清北人数、一等奖人数均为全省第一．其中一等奖获奖人数附中及其他三所兄弟学校从高到低依次为：20，17，12，12．这组数据的中位数是（）A. 17B. 12C. 14．5D. 15．5 【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的一个数或最中间两个数据的平均数，即可得出结论．【详解】解：根据中位数的定义，这组数据的中位数是（17＋12）÷2=14.5故选C ．【点睛】此题考查的是求一组数据的中位数，掌握中位数的定义是解决此题的关键．5.如图，//AB CD ，EF 分别为交AB ，CD 于点E ，F ，150∠=o ，则2∠的度数为（）A. 50oB. 120oC. 130oD. 150o【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠BEF=∠1=50°，然后根据平角的定义即可求出∠2的度数．【详解】解：∵//AB CD∴∠BEF=∠1=50°∴∠2=180°－∠BEF=130°故选C ．【点睛】此题考查的是平行线的性质和平角的定义，掌握两直线平行，同位角相等和平角的定义是解决此题的关键．6.如图，O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为( )A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆心角等于同弧所对圆周角的2倍得到∠COE=45︒,由垂径定理得到CD=2CE, 90CEO ∠=︒,，用勾股定理求得CE =CD=2CE= 【详解】∵22.5A ∠=︒，∵∵COE=45︒,∵直径AB 垂直于弦CD ，∵CD=2CE, 90CEO ∠=︒,∵4OC =,∵CE=sin 4542OC ⋅︒=⨯=，∵CD=2CE=故选：A.【点睛】此题考查圆的垂径定理、圆周角定理，利用∠COE=45︒求得CE =CD=2CE=.7.如图，D ，E 分别是ABC ∆中AB ，AC 边上的点，//DE BC ，下列结论错误的（）A. AD AE AB AC =B. AD AE DB EC =C. AB AC DB EC =D. DE AE BC EC= 【答案】D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理及推论逐一判断即可．【详解】解：∵//DE BC ∴AD AE AB AC=，故A 正确；AD AE DBEC =，故B 正确； AB AC DB EC=，故C 正确； DE AE AE BC AC EC=≠，故D 错误．故选D ．【点睛】此题考查的是平行线分线段成比例定理及推论，掌握根据平行线分线段成比例定理及推论判断比例式是解决此题的关键．8.若1x 、2x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则1211+x x 的值是（） A. 75 B. 75- C. 57 D. 57- 【答案】A【解析】【详解】这里a=1，b=-7，c=5，由题意知，x 1x 2=5，x 1+x 2=7，则1211+x x =121275x x x x += 故选A9.如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边AD 中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（）A. 3．5B. 4C. 7D. 14【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质和周长，即可求出AD ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．【详解】解：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AD=AB=BC=CD=28÷4=7，∠AOD=90°∵E 为边AD 中点，∴在Rt △AOD 中，OE=1 3.52AD = 故选A ．【点睛】此题考查的是菱形的性质和直角三角形的性质，掌握菱形的四边都相等、菱形的对角线互相垂直和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决此题的关键．10.化简22422b a a b b a+--的结果是（） A. 2a b -+B. 2a b --C. 2a b +D. 2a b -【答案】B【解析】【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可. 【详解】原式22422b a a b a b=--- 2242b a a b-=- (2)(2)2b a b a a b+-=- 2a b =--故选：B.【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键11.一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象交于(1,2)A -、(2,1)B -两点，使12y y >成立的自变量x 的取值范围是（）A. 12x -<<B. 10x -<<或2x >C. 1x <-或2x >D. 1x <-或02x << 【答案】D【解析】【分析】在同一直角坐标系中，画出两个函数的图象，根据图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时，x 的取值范围即可．【详解】解：在同一直角坐标系中，根据A 、B 两点坐标画出一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象，如下图所示由图可知：当12y y >时，1x <-或02x <<故选D ．【点睛】此题考查的是一次函数和反比例函数的结合题，掌握一次函数和反比例函数图象的画法、结合图象求自变量的取值范围是解决此题的关键．12.如图，在平行四边形ABCD 中，78ABC ∠=o ，AE BC ⊥于点E ，AE 交BD 于点F ，若2DF AB =，则AFD ∠的大小是（）A. 62oB. 64oC. 66oD. 68o【答案】B【解析】【分析】取DF 的中点G ，连接AG ，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠FAD=∠AEB=90°，∠CBD=∠GDA ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出AB=AG=FG=DG ，根据等边对等角可得∠ABG=∠AGB ，∠GAD=∠GDA ，然后根据三角形的外角的性质和已知条件即可求出∠GDA ，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出结论．【详解】解：取DF 的中点G ，连接AG ，如下图所示∵四边形ABCD 是平行四边形，AE BC ⊥∴BC ∥AD ，∠AEB=90°∴∠FAD=∠AEB=90°，∠CBD=∠GDA在Rt △FAD 中，DF=2AG=2FG=2GD∵2DF AB =∴AB=AG=FG=DG∴∠ABG=∠AGB ，∠GAD=∠GDA∴∠ABG=∠AGB=∠GAD ＋∠GDA=2∠GDA=2∠CBD∴∠ABC=∠ABG ＋∠CBD=3∠CBD=78°∴∠CBD=26°∴∠GDA=26°在Rt △AFD 中，∠AFD=90°－∠GDA=64°故选B ．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边对等角是解决此题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上） 13.因式分解：2818a b b -=__________．【答案】2(23)(23)b a a -+【解析】【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可【详解】解：2818a b b -=()2249b a -=2(23)(23)b a a -+故答案为：2(23)(23)b a a -+．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 14.从大小形状完全相同标有1、2、3数字的三张卡片中随机抽取两张，和为偶数的概率为____. 【答案】13【解析】试题解析：画出树状图得：∵和为偶数的情况有两种，所有可能的情况有6种，∴P （和为偶数）=21=63．15.圆心角为120o 的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为__________．【答案】3π【解析】【分析】根据扇形的面积公式：S 扇形=2360n r π计算即可．【详解】解：这个扇形的面积为212033360ππ••= 故答案为：3π．【点睛】此题考查的是求扇形的面积，掌握扇形的面积公式S 扇形=2360n r π是解决此题的关键． 16.如图，AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上两点，若50ABC ∠=o ，则D ∠的度数为__________．【答案】40o【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠CAB ，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D ．【详解】解：∵AB 为圆O 的直径，50ABC ∠=o∴∠ACB=90°∴∠CAB=90°－∠ABC=40°∴∠D=∠CAB=40°故答案为：40°．【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角、同弧所对的圆周角相等和直角三角形的两个锐角互余是解决此题的关键．17.计算：22244(4)2x x x x x+--÷+= ．【答案】x -2【解析】试题解析：原式=244(2)(2)(2)x x x x x x x +-+⨯+-=2(2)(2)(2)(2)x x x x x x -+⨯+- =x-2.考点：分式的混合运算.18.已知关于x 的一元二次方程2(1)40ax a x -+-=的两根分别为1x ，2x ，且110x -<<，223x <<，则实数a 的取值范围是__________．【答案】332a << 【解析】【分析】设2(1)4y ax a x =-+-，根据一元二次方程的解和二次函数图象与x 轴交点的关系，并求出二次函数的图象与y 轴的交点坐标，即可画出二次函数的大致图象，然后根据图象分别找到当x=-1、x=2、x=3时，y 的取值范围代入即可求出a 的取值范围．【详解】解：设2(1)4y ax a x =-+-∵关于x 的一元二次方程2(1)40ax a x -+-=的两根分别为1x ，2x ， ∴二次函数2(1)4y ax a x =-+-的图象与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，将x=0代入二次函数解析式中，解得y=-4∴二次函数的图象与y 轴交于（0，-4）∵110x -<<，223x <<，∴该二次函数的图象大致为如下图所示，由图可知：a ＞0，当x=-1时，y ＞0，即()()211(1)40y a a =---+->，解得：32a >；当x=2时，y ＜0，即222(1)40y a a =-+-<，解得：3a <当x=3时，y ＞0，即233(1)40y a a =-+->，解得：76a >∴实数a 的取值范围是332a << 故答案为：332a <<．【点睛】此题考查的是一元二次方程的解和二次函数图象与x 轴交点的关系，掌握把一元二次方程的问题转化成二次函数的问题是解决此题的关键．三、解答题：本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.201(()(12-⨯--【答案】-7【解析】【分析】根据二次根式的性质、负指数幂的性质和零指数幂的性质计算即可．【详解】解：原式2(2)41=+-⨯- 281=--7=-【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的性质、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解决此题的关键．20.解不等式组2723222334x x x x x --⎧≤⎪⎪⎨--⎪<-+⎪⎩．【答案】24x <≤【解析】【分析】根据不等式的基本性质分别解出不等式①和②，然后取公共解集即可．【详解】解：2723222334x x x x x --⎧≤⎪⎪⎨--⎪<-+⎪⎩①② 解不等式①，得4x ≤解不等式②，得2x >∴不等式组的解集为24x <≤【点睛】此题考查的是解不等式组，掌握不等式组的解法和公共解集的取法是解决此题的关键． 21.为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是人；（2）图1中α∠的度数是，并把图2条形统计图补充完整；（3）该县九年级有学生4500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为．（4）老师想从4位同学（分别记为E 、F 、G 、H ，其中E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．【答案】（1）40；（2）162o ，图详见解析；（3）450；（4）12．【解析】【分析】（1）根据B 级的人数和所占抽样总人数的百分率，即可求出抽样总人数；（2）先用抽样总人数减去A 级、B 级、D 级人数即可得到C 级的人数，用C 级人数除以抽样总人数乘360°即可得出α∠的度数，然后补全条形统计图即可．（3）根据D 级的人数和抽样总人数求出不及格率，再乘九年级总人数即可；（4）根据题意画出树形图，然后根据树形图求概率即可．【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数是12÷30%=40人故答案为：40．（2）C 级人数为40－6－12－4=18人∴α∠=1836016240⨯︒=︒ 故答案为：162o条形统计图如下图所示：（3）不及格率为：4÷40×100%=10%∴不及格的人数为4500×10%=450人故答案为：450（4）根据题意画树形图如下：共有12种等可能的结果，其中选中小明的有6种，则P （选中小明）61122==．【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，掌握结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息和画树状图求概率是解决此题的关键．22.如图，AD 是圆O 的弦，AB 经过圆心O ，交圆O 于点C ，30DAB B ∠=∠=o ．（1）求证：直线BD 与圆O 相切．（2）连接CD ，若5CD =，求AB 的长．【答案】（1）详见解析；（2）15【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等边对等角可得30ODA DAB B ∠=∠=∠=o ，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠ODB ，最后根据切线的判定定理即可得；（2）先证出DOC ∆是等边三角形，即可求出OA=OD=CD=5，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出OB ，从而求出AB ．【详解】解：（1）连接OD∵OA=OD ，30DAB B ∠=∠=o∴30ODA DAB B ∠=∠=∠=o∴18018030303090ODB ODA DAB B ∠=-∠-∠-∠=---=o o o o o o∴直线BD 与圆O 相切（2）由（1）知，30ODA DAB ∠=∠=o∴60DOB ODA DAB ∠=∠+∠=o又∵OC OD =∴DOC ∆是等边三角形∴5OA OD CD ===又∵30B ∠=o ，90ODB ∠=o∴210OB OD ==∴51015AB OA OB =+=+=【点睛】此题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握切线的判定定理、等边对等角、等边三角形的判定及性质和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．23.某商店计划购进一批A 、B 两种型号的计算器，若购进A 型计算器10只和B 型计算器8只，共需要资金880元；若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只，共需要资金380元．（1）求A 、B 两种型号的计算器每只进价各是多少元？（2）该商店计划购进这两种型号计算器共50只．根据市场行情，销售一只A 型计算器可获利9元，销售一只B 型计算器可获利18元．该商店希望销售完这50只计算器，所获利润不少于购进总成本的25%．则该商店至少要采购B 型计算器多少只？【答案】（1）A 种型号的计算器每只进价40元，B 种型号的计算器每只进价为60元；（2）该经销商至少要采购B 型计算器13只．【解析】【分析】（1）设A 种型号的计算器每只进价x 元，B 种型号的计算器每只进价为y 元，根据题意，列出二元一次方程组，并解方程组即可；（2）设该经销商要采购B 型计算器m 只，根据“所获利润不少于购进总成本的25%”列不等式，并解不的【详解】解：（1）设A 种型号的计算器每只进价x 元，B 种型号的计算器每只进价为y 元，根据题意，得 10888025380x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：4060x y =⎧⎨=⎩答：A 种型号计算器每只进价40元，B 种型号的计算器每只进价为60元．（2）设该经销商要采购B 型计算器m 只，根据题意，得189(50)[6040(50)]25%m m m m +-≥+-•解之，得12.5m ≥所以，该经销商至少要采购B 型计算器13只答：该经销商至少要采购B 型计算器13只．【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．24.如图，四边形ABCD 中，AB AD =，60BAD ∠=o ，30BCD ∠=o ，将AC 绕着点A 顺时针旋转60o 得AE ，连接BE ，CE ．（1）求证：ADC ∆≌ABE ∆；（2）求证：222AC DC BC =+；（3）若2AB =，点Q 在四边形ABCD 内部运动，且满足222AQ BQ DQ =+，求点Q 运动路径的长度．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）23π．【解析】的（1）根据等式的基本性质可得DAC BAE ∠=∠，然后利用SAS 即可证出ADC ∆≌ABE ∆；（2）根据四边形的内角和和全等三角形的性质可得270ABC ABE ∠+∠=o ，从而求出∠CBE=90°，根据勾股定理可得222CE BE BC =+，根据等边三角形的判定及性质可得CE AE AC ==，从而证出结论；（3）如图，设Q 为满足条件的点，将AQ 绕着点A 顺时针旋转60度得AF ，连接QF ，BF ， QB ，DQ ，AF ， DB ，先利用SAS 证出ADQ ∆≌ABF ∆，从而得出BF DQ =，∠AQD=∠AFB ，然后证出AFQ ∆为等边三角形，△ADB 为等边三角形，从而得出AQ FQ =， DB=AB=2，然后根据勾股定理的逆定理可得90FBQ ∠=o，根据四点共圆证出点Q 的路径为过B 、D 、C 三点的圆上»BD ，求出圆心角和半径即可求出点Q 运动路径的长度．【详解】证明：（1）∵60CAE DAB ∠=∠=o∴DAB CAB CAE CAB ∠-∠=∠-∠∴DAC BAE ∠=∠在ADC ∆和ABE ∆中AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC ∆≌ABE ∆（2）在四边形ABCD 中360270ADC ABC DAB DCB ∠+∠=-∠-∠=o o∵ADC ∆≌ABE ∆∴ADC ABE ∠=∠，CD BE =∴270ABC ABE ABC ADC ∠+∠=∠+∠=o∴360()90CBE ABE ABC ∠=-∠+∠=o o∴222CE BE BC =+又∵AC AE =，60CAE ∠=o∴△AEC 为等边三角形∴CE AE AC ==∴222AC DC BC =+（3）如图，设Q 为满足条件的点，将AQ 绕着点A 顺时针旋转60度得AF ，连接QF ，BF ， QB ，DQ ，AF ， DB ．∵60QAF DAB ∠=∠=o∴DAB QAB QAF QAB ∠-∠=∠-∠∴DAQ BAF ∠=∠在ADQ ∆和ABF ∆中 AD AB DAQ BAF AQ AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADQ ∆≌ABF ∆∴BF DQ =，∠AQD=∠AFB ，∵60QAF ∠=o ，AQ=AF ，∠DAB=60°，AD=AB∴AFQ ∆为等边三角形，△ADB 为等边三角形∴AQ FQ =， DB=AB=2∵222AQ BQ DQ =+∴222FQ BQ BF =+∴90FBQ ∠=o∴()360DQB AQD AQB ∠=-∠+∠o()()360360360150AFB AQB QAF FBQ =-∠+∠⎡⎤=--∠+∠⎣⎦=o o o o∵∠BCD=30°∴∠DQB ＋∠BCD=180°∴点Q 的路径为过B 、D 、C 三点的圆上»BD设圆心为O ，连接OD 、OB则260BOD BCD ∠=∠=o ，∴△OBD 为等边三角形∴2DO DB ==，∴点Q 的运动的路径长为：60221803ππ⨯=．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及逆定理、四点共圆和求点的运动路径长度，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定定理、等边三角形的判定及性质、勾股定理及逆定理、利用四点共圆判定点的运动路径及弧长公式是解决此题的关键．25.四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．（1）如图1，四边形ABCD 中，100DAB ∠=o ，130DCB ∠=o ，对角线AC 平分DAB ∠，求证：AC 是四边形ABCD 的相似对角线；（2）如图2，直线33y x =-+分别与x ，y 轴相交于A ，B 两点，P 为反比例函数k y x=（k 0<）上的点，若AO 是四边形ABOP 的相似对角线，求反比例函数的解析式；（3）如图3，AC 是四边形ABCD 的相似对角线，点C 的坐标为(3,1)，//AC x 轴，30BCA DCA ∠=∠=o ，连接BD ，BCD ∆A ，C 两点的抛物线2y ax bx c =++（0a <）与x 轴交于E ，F 两点，记1m AC =+，若直线y mx =与抛物线恰好有3个交点，求实数a 的值．【答案】（1）详见解析；（2）y x =或y x -=y x-=；（3）12a =-或92a =- 【解析】【分析】（1）设ACD α∠=，则130ACB α∠=-o ，然后根据角平分线的性质可求得∠BAC=∠DAC=50°，根据三角形的内角和定理可得B α∠=，最后根据相似三角形的判定定理可证AC 是四边形ABCD 的相似对角线；（2）根据一次函数即可求出点A 、B 的坐标，再根据锐角三角函数值即可求出30OAB ∠=o ，60OBA ∠=o ，然后根据相似对角线的定义和相似三角形对应角的情况分类讨论，分别利用锐角三角函数求出点P 的坐标，即可求出反比例函数的解析式；（3）根据锐角三角函数和面积公式可得4CD BC •=，然后根据相似对角线的定义即可求出AC ，从而求出两个m 的值和两条直线的解析式3y x =-和3y x =，根据图形可知3y x =-，一定与抛物线有两个交点，故3y x =与抛物线有且仅有一个交点，然后联立方程令一元二次方程的△=0即可求出a 的值．【详解】（1）证明：如图1，设ACD α∠=，则130ACB α∠=-o∵100DAB ∠=o ，AC 平分DAB ∠∴∠BAC=∠DAC=1502DAB ∠=o ∴18018050(130)B BAC ACB αα∠=-∠-∠=---=o o o o在ABC ∆和ACD ∆中∵B ACD ∠=∠，BAC CAD ∠=∠∴ABC ∆∽ACD ∆∴AC 是四边形ABCD 的相似对角线．（2）如图2，可求得直线33y x =-+与两坐标轴交点分别为(4,0)A ，(0,)3B ∴OA=4，在Rt △AOB中，tan OB OAB OA ∠== ∴30OAB ∠=o ，60OBA ∠=o当OA 是四边形OBAP 的相似对角线时，有如下情况：①当∠APO=∠AOB=90°时，过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，如下图所示，此时又分以下两种情况的（i ）当60AOP ABO ∠=∠=o ，Rt △OAP 中，OP=OA ·cos ∠AOP=2在Rt △OPQ 中，OQ=OP ·cos ∠AOP=1，PQ= OP ·sin ∠∴此时点(1,P ，将P 点坐标代入k y x=，得k =∴该反比例函数的解析式为y =；（ii ）30BAO AOP ∠=∠=o ，在Rt △OAP 中，OP=OA ·cos ∠在Rt △OPQ 中，OQ=OP ·cos ∠AOP=3，PQ= OP ·sin ∠∴此时点(3,P ，将P 点坐标代入k y x=，得k =-∴该反比例函数的解析式为y x-= ②当∠OAP=∠AOB=90°时，此时又分以下两种情况（i ）当∠AOP=∠OAB=30°时，如下图所示，∵OA=AO ，∠OAP=∠AOB=90°∴△OAP ≌AOB ，不符合相似对角线的定义，故舍去；（ii ）当60AOP ABO ∠=∠=o 时，如下图所示，在Rt △OAP 中，AP=OA ·tan ∠AOP=∴此时点(4,P -，将P 点坐标代入k y x=，得k =-该反比例函数的解析式为y =； ③当∠AOP=∠AOB=90°时，此时点P 在y 轴上，故不存在反比例函数图象，故舍去．综上所述：反比例函数的解析式为y =y =y =．（3）如图3，作BCD ∆的底边CD 边上的高BH ，则30CBH ∠=o ， ∴12CH BC =在Rt CHB ∆中，由勾股定理可求得BH BC =，∵12BCD S CD BC ∆=BC •=∴4CD BC •=∵AC 是四边形ABCD 的相似对角线若BCA ∆∽DCA ∆，由CA=CA 可得BCA ∆≌DCA ∆，不符合相似对角线的定义，故舍去，∴BCA ∆∽ACD ∆， ∴BC AC AC DC=， ∴2AC CD BC =•∴24AC =，即2AC =由点C 的坐标为(3,1)可知，点A 的坐标为(1,1)，将A ，C 两点的坐标代入抛物线2(0)y ax bx c a =++<，得1931a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩解得4b a =-，31c a =+，所以抛物线的解析式可化为2431y ax ax a =-++ 由1m AC =+，得直线y mx =的解析为3y x =,3y x =-，∵直线3y x =-与抛物线2431y ax ax a =-++(0)a <的交点必有两个∴直线3y x =与该抛物线的交点有且只有一个∴方程组23431y x y ax ax a =⎧⎨=-++⎩有且只有一组解即关于x 的一元二次方程2(43)310ax a x a -+++=有两个相等的实数根．∴2(43)4(31)0a a a ∆=+-+=，解得12a =-或92a =-【点睛】此题考查的是新定义问题、新定义与反比例函数、新定义与二次函数的综合大题，此题难度较大，涉及知识点较多，掌握相似三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数解析式、二次函数与一次函数交点个数与一元二次方程根的判别式的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．26.如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A 和点(2,0)B -，与交y 轴于点(0,4)C ，0()f x 表示当自变量为0x 时的函数值，对于任意实数m ，均有(1)(3)f m f m -=-．（1）求该二次函数的解析式；（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2,0)．是否存在这样的直线l ，使得ODF ∆是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2142y x x =-++；（2）(1,0)Q ；（3）存在，点P 的坐标为：(1+或(1-或(1+或(1【解析】【分析】（1）根据题意即可求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性即可求出点A 的坐标，设二次函数的解析式为(2)(4)y a x x =+-，将点C 的坐标代入即可求出二次函数的解析式，化为一般式即可；（2）设点Q 的坐标为(,0)m ，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，根据点A 、B 、C 的坐标即可求出OA 、OB 、OC 、BQ 和AB ，根据相似三角形的判定及性质，即可用含m 的式子表示EG ，然后根据CQE CBQ EBQ S S S ∆∆∆=-即可求出CQE S ∆与m 的二次函数关系式，根据二次函数求最值即可；（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别在每种情况下求出点F 的坐标，然后根据点P 和点F 的纵坐标相等，将点P 的纵坐标代入二次函数解析式中即可求出点P 的横坐标．【详解】解：（1）当1x m =-与3x m =-时函数值相等，可知抛物线的对称轴为1312m m x -+-==，由点B 的坐标(2,0)-可求得A 点的坐标为(4,0)设二次函数的解析式为(2)(4)y a x x =+-将点(0,4)C 代入，得12a =- 所以，二次函数解析式为2142y x x =-++．（2）设点Q 的坐标为(,0)m ，过点E 作EG x ⊥轴于点G ，如图∵A （4,0），(2,0)B -， (0,4)C ，∴OA=4，OB=2，OC=4， BQ=m+2∴AB=6∵//QE AC ∴BE BQ BC BA = ∵//EG OC ∴BE EG BC CO= ∴EG BQ CO BA =，即246EG m +=， ∴243m EG += ∴CQE CBQ EBQ S S S ∆∆∆=-1122BQ CO BQ EG =•-• ()12BQ CO EG =•- 124(2)(4)23m m +=+- 21(1)33m =--+ 又∵24m -≤≤ 的∴当1m =时，CQE S ∆有最大值3，此时(1,0)Q（3）存在．①若DO DF =，如下图所示则2AD OD DF ===，∴∠DOF=∠DFO ，∠DAF=∠DFA∴∠DOF+∠DAF=∠DFO+∠DFA=∠OFA∴AFO ∆是直角三角形，OF ⊥AC∵OA=OC=4∴点F 为AC 的中点∴根据中点坐标公式：点F 的坐标为4004,(2,2)22++⎛⎫=⎪⎝⎭∵直线l ∥x 轴 ∴点P 的纵坐标=点F 的纵坐标=2，将y=2代入二次函数解析式中，得21422x x -++=，得11x =+21x =此时点P 的坐标为：(12)P +或(12)P -②若FO FD =，过点F 作FM x ⊥轴于点M由等腰三角形的性质得：112OM OD ==， ∴3AM =，在等腰直角三角形AOC 中，∠OAC=45°∴△AMF 也是等腰直角三角形∴FM=AM=3∴(1,3)F∵直线l ∥x 轴∴点P 的纵坐标=点F 的纵坐标=3，将y=3代入二次函数解析式中，得由21432x x -++=，得11x =，21x =此时，点P 的坐标为：(1P +或(1P③若OD OF =，∵4OA OC ==，且90AOC ∠=o∴AC =∴点O 到AC 的距离为而2OF OD ==<∴AC 上不存在点F 使得2OD OF ==此时，不存在这样的直线l ，使得ODF ∆是等腰三角形综上，存在这样的直线l ，使得ODF ∆是等腰三角形，所求点P 的坐标为：(1+或(1-或(1或(1【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，难度系数较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、把面积最值问题转化为二次函数最值问题和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．。

湖南师大附中博才实验中学2019-2020年初三第一学期第二次月考数学模拟试卷(Word版,无答案)

湖南师大附中博才实验中学2019-2020年初三第一学期第二次月考数学模拟试卷（Word 版，无答案）湖南师大附中博才实验中学 2019—2020 学年度第一学期第二次月考试题卷·数学模拟试卷时量：120 分钟满分：120 分一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分）1. 湖南师大附中博才实验中学梅溪湖校区于 2018 年秋季正式揭牌开学，校区位于麓云路和映日路交汇处西北角，规划用地面积约为 62000m 2，净用地面积约为 51000m 2，总建筑面积 35819.6m 2，办学规模 54 个班。

62000 用科学记数法表示为（）A ．6.2×10﹣4B ．6.2×104C ．﹣6.2×104D ．0.62×1042. 下列运算正确的是（） A ．a 2•a 3=a 6B ．a 3+a 2=a 5C ．（a 2）4=a 8D ．a 3﹣a 2=a 3. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（） A．B． C． D ． 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 N （﹣1，﹣2）绕点 O 旋转 180°，得到的对应点的坐标是（）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（1，﹣2）5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错．误．的是（） A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 已知α、β是一元二次方程 x 2﹣2x ﹣3＝0 的两个根，则α+β的值是（） A ．2 B ．﹣2 C ．3 D ．﹣37. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，E 为 AD 边中点，OE 的长等于 4，则菱形 ABCD 的周长为（） A ．16 B ．20 C ．24 D ．32 图 18. 随机抽查某商场四月份 5 天的营业额分别如下（单位：万元）3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额约是（） A ．3 万元 B ．15 万元C ．90 万元D ．450 万元9. 点 M （﹣3，y 1），N （﹣2，y 2）是抛物线 y ＝﹣（x +1）2+3 上的两点，则下列大小关系正确的是（）A ．y 1＜y 2＜3B ．3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 1＜3D ．3＜y 2＜y 12 10. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，∠BAC =30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB 1C 1，连接 BC 1，则 BC 1 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．12图 2 图 3 图 4 11. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED =1 寸），锯道长 1 尺（AB =1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图 6 所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（）A ．13 寸B ．20 寸C ．26 寸D ．28 寸12.如图 4：二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的图象所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③当 m ≠1 时，a +b＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若 ax 12+bx 1＝ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，则 x 1+x 2＝2，正确的个数为（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13. 在平面直角坐标系中，点 P （- 4,2）与 P 1 关于原点对称，则 P 1 的坐标是 14.若二次函数 y ＝ax 2﹣bx +5（a ≠5）的图象与 x 轴交于（1，0），则 b ﹣a +2015 的值是．15.如图 5，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE ，这时点 B ，C ，D 恰好在同一直线上，则 ∠B 的度数为．图 5 图 6 图 7 图 816.如图 6，在矩形 ABCD 中，AD =3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG ，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE =EF ，则 AB 的长为．17. 如图 7，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A ，B，C三点的圆的圆心坐标为．18.如图 8，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点， P 是 A'B'的中点，连接 PM ．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是三．解答题（共 8 小题）21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1,1）B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以 O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。

博才初三入学数学考试试卷及答案

9-2-2018-19-003博才初三入学数学考试试卷数学总分：120分时量：120分钟一、选择题(每小题3分，共36分) 1.2019的相反数( )A .2019-B .12019-C .12019D .20192.下列运算正确的是( ) A .()2211x x -=-B .()()2111x x x -+--=--C .21=12-⎛⎫- ⎪⎝⎭D .()222424ab a b --=- 3.已知11x y =⎧⎨=-⎩是方程23x ay -=的一个解，那么a 的值是( )A .1B .3C .3-D .1-4.如图，在平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、O 、F 分别是AB 、BD 、BC 的中点，且32OE OF ==，，则平行四边形ABCD 的周长是( ) A .10 B .20 C .15 D .6第4题第5题第6题5.如图，为估计池塘岸边A 、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，10OB =米，A 、B 间的距离不可能是( ) A .10米 B .15米 C .20米 D .26米6.如图，直线12//l l ，以直线2l 上的点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于点B 、C ，连接AB ，BC .若140∠=︒，则ABC ∠=( ) A .40° B .50° C .70° D .80°7.火箭队的哈登当选为2017-2018赛季NBA 常规赛MVP ，下表是他8场比赛的得分，则这8场比赛得分8.一元二次方程23210x x -+=根的情况是( ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .只有一个实数根 D .没有实数根 9.已知点()21A a a +-，在平面直角坐标系的第四象限内，则a 的取值范围为( ) A .21a -<< B .21a -≤≤ C .12a -<<D .12a -≤≤10.下列四个函数图象中，当0x >时，y 随x 的增大而增大的是( )A .B .C .D . 11.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少尺？( ) A .5.3 B .6.8 C .4.7 D .3.212.已知P 是抛物线2114y x =+上一动点，点M 的坐标为)，F 的坐标为()0,2，则△PMF 周长的最小值是( ) A .3B .4C .5D .6第12题图第15题图第18题图二、填空题(每题3分，共18分)13.在平面直角坐标系中，点()2,5P -关于原点对称点的坐标是 .14.已知63x y xy +==-，，则22x y xy += .15.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，7050A C ∠=︒∠=︒，，那么sin AEB ∠的值为 . 16.关于x 的一元二次方程2201820190x x --=有两个实数根分别为1x 和2x ，则1212x x xx +-= . 17.一个不透明的袋中装有若干个红球.为了估计袋中红球的个数，小杰在袋中放入6个白球(每个球除颜色外其余都与红球相同).摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到白球的频率是37，则袋中红球约为个.18.如图，点()3P a a ，是反比例函数()0ky k x=>与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 .三、解答题(共66分)19.()03020131π︒--.20.先化简，再求值：222122121x x yx xy x x x +-÷+--+，其中2410x y +-=21.随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A 、B 、C 、D 、E 等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五·一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：某市2017年“五·一”长假期间旅游情况统计图(1)2017年“五·一”期间，该市周边景点共接待游客万人，扇形统计图中A 景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图.(2)根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五·一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E 景点旅游？(3)甲、乙两个旅游团在A 、B 、D 三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明.22.王亮同学要测量广场内被湖水隔开的两颗大树A 和B 之间的距离，它在A 处测得B 在A 的北偏西30°方向，他从A 处出发向北偏东15°方向走了200米到达C 处，这是测得大树B 在C 的北偏西60°的方向. (1)求∠ABC 的度数；(2)求两颗大树A 和B 之间的距离(结果精确到1米)( 1.414, 2.449≈).23.某种蔬菜的销售单价1y 与销售月份x 之间的关系如图1所示，成本2y 与销售月份x 之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？(收益＝售价－成本) (2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由.(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？图1 图224.如图，在四边形ABCD 中，68242690AB BC CD AD B ====∠=︒，，，，，以AD 为直径作圆O ，过点D 作//DE AB 交圆O 于点E (1)证明点C 在圆O 上； (2)求tan CDE ∠的值；(3)求圆心O 到弦ED 的距离.25.在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点()1P x m ，是图形1G 上的任意一点，点()2Q x n ，是图形2G 上的任意一点，若存在直线():0l y kx b k =+≠满足1m kx b ≤+且2n kx b ≥+，则称直线():0l y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”.如图1，直线4y x =--是函数()60y x x=<的图象与正方形OABC 的一条“隔离直线”. (1)在直线1232313y x y x y x =-=+=-+，，中，是图1函数()60y x x=<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”的为__________；(2)如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直线顶点D 的坐标是)，⊙O 的半径为2.是否存在△EDF 与⊙O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式；若不存在，请说明理由；(3)正方形1111A B C D 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的右侧，点()1M t ，是此正方形的中心.若存在直线2y x b =+是函数()22304y x x x =--≤≤的图象与正方形1111A B C D 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围.26.如图1，抛物线21:2C y ax ax c =-+交x 轴于点()2,0E -，交y 轴于点()0,2M -.(1)求抛物线的解析式；(2)连接MF ，在x 轴上找一点P ，使得△PMF 是以MF 为腰的等腰三角形，求点P 的坐标；(3)如图2，直线()1:02l y x b b =+<与抛物线1C 交于点G ，H ，连接EG ，EH 分别交y 轴于点S ，T ，则OS O T +是否为定值，若是定值，请求出定值，若不是定值，请说明理由.图1 图29-2-2018-19-003博才初三入学数学考试试卷参考答案。

湖南省师大附中2019-2020学年上学期初中九年级第一次联考数学试卷

湖南省师大附中2019-2020学年上学期初中九年级第一次联考数学试卷注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。

在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。

）1A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间2．下列运算正确的是A ．428a a a ⋅=B ．2242a a a +=C ．()222a b a b +=+D ．()23624a a -= 3．太阳与地球之间的平均距离纸业150000000km ，用科学记数法表示这一数据为A ．81.510km ⨯B ．71510km ⨯C ．91.510km ⨯D ．100.1510km ⨯4．2019年全国高中数学联赛，湖南师大附中入选省队人数、签约清北人数、一等奖人数均为全省第一，其中一等奖获奖人数附中及其他三所兄弟学校从高到低依次为：20，17，12，12。

这组数据的中位数是A ．17B ．12C ．14.5D ．15.55．如图，//AB CD ，EF 分别为交AB ，CD 于点E ，F ，50∠=︒，则2∠的度数为A ．50°B ．120°C ．130°D ．150°6．如图，O e 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，22.5,4A OC ∠=︒=的长为A． B ．4 C． D ．87．如图，D ，E 分别是ABC ∆中AB ，AC 边上的点，//DE BC ，下列结论错误的是A ．AD AE AB AC= B ．AD AE DB EC =C ．AB AC DB EC =D ．DE AE BC EC= 8．12,x x 是一元二次方程2750x x -+=的两根，则实数1211x x +的值为 A ．75- B ．75 C ．57- D ．579．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边AD 中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于A ．3.5B ．4C ．7D ．1410．化简22422b a a b b a+--的结果是 A ．2a b -- B ．2b a - C ．2a b - D ．2b a +11．一次函数1y kx b =+与反比例函数2m y x=的图象交于()()1,2,2,1A B --两点，使12y y >成立的自变量x 的取值范围是A ．12x -<<B ．10x -<<或2x >C ．1x <-或2x >D ．1x <-或02x << 12．如图，在平行四边形ABCD 中，78,ABC AE BC ∠=︒⊥于点E ，AE 交BD 于点F ，若2DF AB =，则AFD ∠的大小是A ．62°B ．64°C ．66°D ．68°二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．因式分解：2818a b b -=________。

2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学九年级数学第一学期开学统考试题【含答案】

2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学九年级数学第一学期开学统考试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知直线y=-x+6交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段OA 上，将△PAB 沿BP 翻折，点A 的对应点A′恰好落在y 轴上，则PA OP 的值为()A ．2B ．1C D ．2、（4分））A ．16B ．4C ．2D ．-43、（4分）已知，，是反比例函数的图象上的三点，且，则、、的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击了10次、甲、乙两人的成绩如表所示，丙、丁两人的成绩如图所示.欲选一名运动员参赛，从平均数和方差两个因素分析，应选（）.甲乙平均数98方差11A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5、（4分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，连接OE ，若OB ＝8，S 菱形ABCD ＝96，则OE 的长为（）A ．B ．C ．6D ．86、（4分）班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x 人，则可列方程为()A ．x(x－1)＝90B ．x(x－1)＝2×90C ．x(x－1)＝90÷2D ．x(x＋1)＝907、（4分）已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A ．∠A=∠B B ．∠A=∠C C ．AC=BD D ．AB ⊥BC 8、（4分）一次函数y ＝kx ﹣6（k ＜0）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝BC ，若EF ＝13，则线段AB 的长为_____．10、（4分）如图，一次函数y=-2x+2的图象与轴、轴分别交于点、，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，且，则点C 坐标为_____.11、（4分）若一次函数y ＝kx ﹣1的图象经过点（﹣2，1），则k 的值为_____．12、（4分）如图,已知四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积为______。

2019-2020学年湖南师大附中博才实验中学九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)

2019-2020学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列五个实数2√2，√4，−π2，0，−1.6无理数的个数有( ) A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2. 某航空母舰的满载排水量为60900吨．将数60900用科学记数法表示为( ) A. 0.609×105B. 6.09×104C. 60.9×103D. 609×102 3. 下列运算中，计算正确的是( ) A. (3a 2)3=27a 6B. (a 2b)3=a 5b 3C. x 6+x 2=x 3D. (a +b)2=a 2+b 24. 某男子排球队20名队员的身高如表：身高(cm) 180 186188 192 208 人数(个) 46 5 3 2A. 186，186B. 186，187C. 208，188D. 188，1875. 下列命题中，假命题是( )A. 有三个角是直角的四边形是矩形B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 对角线相等的四边形是矩形6. 不等式组{2(x +5)≥6,5−2x >1+2x的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B.C. D.7. 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点H ，E 是⊙O 上的点，若∠BEC =25°，则∠BAD 的度数为( )A. 65°B. 50°C. 25°D. 12.5°8.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为ℎ1、ℎ2、ℎ3.若ℎ1=2，ℎ2=1，则正方形ABCD的面积为()A. 9B. 10C. 13D. 259.若实数a，b满足：a+b=0且a<b，则函数y=bx+a的图象可能是()A. B.C. D.10.如图，将△ABC绕顶点A旋转到△ADE处，若∠BAD=40°，则∠ADB的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D.80°11.某种商品的进价为每件180元，按标价的九折销售时，利润率为20%，这种商品每件的标价为()元．A. 200B. 240C. 245D. 25512.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②4a+2b+c<0；③a−b+c>0；④(a+c)2<b2.其中正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ①③④D.①②③④二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.当x=______时，二次根式√x+3的值为0．14. 若a−b b =34，则ab =______． 15. 如图，DE//AB ，若∠A =50°，则∠ACD = ______ ．16. 如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是______．17. 若|a +3|+√b −2+(m −7)2=0，则(a +b)m 的值为______ ．18. 如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的周长是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. (6−π)0+(−15)−1−3√13+|−√3|四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20. 先化简，再求值：(1−1x−1)÷x 2−4x 2−2x+1，其中x =5．21.某校开展“阳光体育”活动，决定开设乒乓球、篮球、跑步、跳绳这四种运动项目，学生只能选择其中一种，为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成两张不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：(1)样本中喜欢篮球项目的人数百分比是______；其所在扇形统计图中的圆心角的度数是______；(2)把条形统计图补画完整并注明人数；(3)已知该校有1000名学生，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？22.如图，已知在⊙O中，AB，CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段．(1)求圆心O到CD的距离；(2)若⊙O的半径为8cm，求CD的长．23.我市某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.24.已知：如图，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于O，Q为线段DB上的一点，∠MQN=90°，点M、N分别在直线BC、DC上，(1)如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+13BM=12BC；(2)如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，探索：线段DN、BM、BC的数量关系为_______________________ ；(3)在(2)的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB：MC=3：1，NQ=9√5，求EF的长．25.对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m时，其函数值等于−m，则称−m为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小反向值之差n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离n为零．例如，图中的函数有4，−1两个反向值，其反向距离n等于5．(1)分别判断函数y=−x+1，y=−1，y=x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距离；x(2)对于函数y=x2−4b2x，①若其反向距离为零，求b的值；②若−1≤b≤3，求其反向距离n的取值范围；26.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)、B(3,0)两点，且交y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合)，过M作MN//y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：五个实数2√2，√4，−π2，0，−1.6中，无理数的有2√2，−π2这2个．故选：C．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.答案：B解析：解：将数60900用科学记数法表示为6.09×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：A解析：解：A、(3a2)3=27a6，故A正确；B、(a2b)3=a6b3，故B错误；C、x6与x2不是同类项，不能合并，故C错误；D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故D错误；故选：A．根据积的乘方和幂的乘方、合并同类项的法则、完全平方公式进行计算即可．本题考查了积的乘方和幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．4.答案：B解析：【分析】本题考查了众数与中位数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或最中间两个数的平均数)为中位数可得答案．【解答】解：在这一组数据中身高为186cm的有6人，最多，故众数是186cm；排序后处于中间位置的两个数是186cm、188cm，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是187cm；故选B．5.答案：D解析：【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及命题的概念等知识，熟练掌握相关定理是解题关键．根据矩形、菱形、正方形的判定、性质得出答案即可．【解答】解：A.有三个角是直角的四边形是矩形，故此命题是真命题，故此选项错误；B.根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是真命题，故此选项错误；C.四条边都相等的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项错误；D.对角线相等的四边形是矩形，也可能是等腰梯形，故此命题是假命题，故此选项正确．故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：令{2(x +5)≥6①5−2x >1+2x②, 解不等式①得：x ≥−2，解不等式②得：x <1，则不等式组的解集为：−2≤x <1，在数轴上表示为C 选项，故选C ．7.答案：C解析：【分析】本题考查了圆周角定理及垂径定理的知识，解题的关键是构造辅助线得到等弧所对的圆周角相等．连接AC ，根据直径AB ⊥弦CD 于点H ，利用垂径定理得到BC⏜=BD ⏜，从而利用等弧所对的圆周角相等得到∠CAB =∠DAB ，利用圆周角定理得到∠BAD =∠BAC =25°．【解答】解：连接AC ，∵直径AB ⊥弦CD 于点H ，∴BC⏜=BD ⏜， ∴∠CAB =∠DAB ，∵∠BAC =∠BEC =25°，∴∠BAD =∠BAC =25°．故选C ．8.答案：C解析：【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．过点A作AM⊥l3分别交l2、l3于点N、M，过C点作CH⊥l2分别交l2、l 3于点H、G，由正方形ABCD，l1//l2//l3//l4，得AB=CD，∠BAE=∠BCD=90°，再得用AAS证△ABN≌△CDG，得出AN=CG=ℎ1，BN=CH=ℎ1+ℎ2，在Rt△ABE中由勾股定理得AB2=AN2+BN2=22+32，即可得出正方形ABCD的面积．【解答】解：过点A作AM⊥l3分别交l2、l3于点N、M，过C点作CH⊥l2分别交l2、l 3于点H、G，如图，∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠ABN+∠HBC=∠ABC=90°，∵CH⊥l2，∴∠BCH+∠HBC=90°，∴∠BCH=∠ABN，同理∠BCH=∠CDG，∴∠ABN=∠CDG，∵∠ANB=∠CGD=90°，∴△ABN≌△CDG(AAS)，∴AN=CG，BN=CH=ℎ2+ℎ3，∵l1//l2//l3//l4，∴ℎ3=ℎ1=2，BN=2+1=3，在Rt△ABN中由勾股定理得AB2=AN2+BN2=22+32=13，∴正方形ABCD的面积=AB2=13．故选C．9.答案：C解析：【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．先根据有理数的性质得到a<0，b>0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．【解答】解：∵a+b=0且a<b，∴a<0，b>0，∴函数y=bx+a的图象经过第一、三、四象限．故选C．10.答案：C解析：解：∵△ADE由△ABC旋转而成，∴AB=AD，∵∠BAD=40°，∴∠ADB=180°−∠BAD2=180°−40°2=70°．故选C．先根据图形旋转的性质得出AB=AD，再根据等腰三角形的性质即可得出∠ADB的度数．本题考查的是图形旋转的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．11.答案：B解析：【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键知道利润=售价−进价，根据此可列方程求解．设这种商品的标价是x元，根据某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%可列方程求解．【解答】解：设这种商品的标价是x元，90%x−180=180×20%x=240这种商品的标价是240元．故选：B．12.答案：C>0，则b<0，正确；解析：解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a>0，−b2a②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，错误；③当x=−1时，y=a−b+c>0，正确；④∵a−b+c>0，∴a+c>b；∵当x=1时，y=a+b+c<0，∴a+c<−b；∴b<a+c<−b，∴|a+c|<|b|，∴(a+c)2<b2，正确．所以正确的结论是①③④．故选C．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，利用图象将x=1，−1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，将x=1，−1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键，得出b<a+c<−b 是本题的难点．13.答案：−3解析：【分析】根据二次根式的值为零时，被开方数是零解答．主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．【解答】解：依题意得：x+3=0，解得x=−3．故答案是：−3，14.答案：74解析：解：∵a−bb =34，∴4(a−b)=3b，∴4a=7b，∴ab =74．故答案为：74．根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．15.答案：50°解析：解：∵DE//AB，∠A=50°，∴∠A=∠ACD=50°，故答案为：50°．根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可得出结论．本题考查了平行线的性质，关键是根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等解答．16.答案：√5解析：【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．先根据垂径定理得到BC=AC=2，然后根据勾股定理可计算出OB．【解答】解：∵OC⊥弦AB于点C，∴BC=AC=12AB=12×4=2，在Rt△OBC中，OC=1，BC=2，∴OB=√OC2+BC2=√5．故答案为√5．17.答案：−1解析：解：∵|a+3|+√b−2+(m−7)2=0，∴a=−3，b=2，m=7∴(a+b)m=(−3+2)7=−1．故答案为：−1．首先根据绝对值、平方与二次根式的非负性，得出a、b、m的值，然后代入多项式(a+b)m中直接计算即可解决问题．此题主要考查了非负数的性质和幂的运算，有一定的综合性．18.答案：2√2解析：解：连接AC1，∵四边形AB1C1D1是正方形，×90°=45°=∠AC1B1，∴∠C1AB1=12∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，∴∠B1AB=45°，∴∠DAB1=90°−45°=45°，∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，∵正方形ABCD的边长是1，∴四边形AB1C1D1的边长是1，在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=√12+12=√2，则DC1=√2−1，∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，∴∠C1OD=45°=∠DC1O，∴DC1=OD=√2−1，同理求出A、B1、C三点共线，求出OB1=√2−1，∴四边形AB1OD的周长是AD+OD+OB1+AB1=1+√2−1+√2−1+1=2√2，故答案为2√2．连接AC1，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1=√2，求出DC1=√2−1=OD，同理求出A、B1、C三点共线，求出OB1=√2−1，代入AD+OD+OB1+AB1求出即可．本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．19.答案：解：原式=1−5−3×√33+√3=−4．解析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.答案：解：原式=x−2x−1⋅(x−1)2 (x+2)(x−2)=x−1x+2，当x=5时，原式=5−15+2=47．解析：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．21.答案：(1)20%；72°；(2)调查的总人数是：44÷44%=100(人)，则喜欢篮球的人数是：100×20%=20(人)，；(3)全校喜欢乒乓球的人数是1000×44%=440(人)．答：根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是440人．解析：【解答】解：(1)1−44%−8%−28%=20%，所在扇形统计图中的圆心角的度数是：360×20%=72°，故答案为：20%，72°；(2)见答案；(3)见答案．【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)利用1减去其它各组所占的比例即可求得喜欢篮球的人数百分比，利用百分比乘以360度即可求得扇形的圆心角的度数；(2)根据喜欢A乒乓球的有44人，占44%即可求得调查的总人数，乘以对应的百分比即可求得喜欢篮球的人数，补全统计图即可；(3)总人数1000乘以喜欢乒乓球的人数所占的百分比即可求解．22.答案：解：(1)过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，则∠ONE=∠OME=90°，∵AB⊥CD，∴∠NEM=90°，∴四边形ONEM是矩形，∴ON=EM．∵OM⊥AB，∴AM=12AB=12(4+10)=7cm，∴EM=7−4=3cm，∴ON=3cm，即圆心O到CD的距离为3cm；(2)连接OD，∵ON⊥CD，∴ND=12CD，∵ON=3cm，OD=8cm，∴ND=√82−32=√55cm，∴CD=2√55cm．解析：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．(1)过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，易知四边形ONEM是矩形，所以ON=EM，再根据垂径定理和已知数据求出EM的长即可得到ON的长，即圆心O到CD的距离；(2)连接OD，先根据勾股定理求出ND的长，再由垂径定理即可得出CD的长．23.答案：解：(1)由题意y=(x−5)(100−x−60.5×5)=−10x2+210x−800故y与x的函数关系式为：y=−10x2+210x−800(2)要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=−10x2+210x−800=−10(x−10.5)2+302.5=240解得，x1=8，x2=13∵−10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．(3)∵每件文具利润不超过80%∴x−55≤0.8，得x≤9∴文具的销售单价为6≤x≤9，由(1)得y=−10x2+210x−800=−10(x−10.5)2+302.5∵对称轴为x=10.5∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大∴当x=9时，取得最大值，此时y=−10(9−10.5)2+302.5=280即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．解析：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x=−b2a时取得．(1)根据总利润=每件利润×销售量，列出函数关系式，(2)由(1)的关系式，即y≥240，结合二次函数的性质即可求x的取值范围(3)由题意可知，利润不超过80%即为利润率=(售价−进价)÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求．24.答案：解：(1)如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°，DO=BO．∴∠DPQ=45°，DQ=PQ．∴∠DPQ=∠DBC，∴△QPN∽△QBM，∴NPMB =PQQB．∵Q是OD的中点，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=12DC，∴BQ=3DQ.DN+NP=12BC，∴BQ=3PQ，∴NPMB =13，∴NP=13BM．∴DN+13BM=12BC；(2)BM−13DN=12BC;(3)∵MB：MC=3：1，设CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=13ND，∴ND=3x，∴CN=7x ∵四边形ABCD是正方形，∴ED//BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴NDCN =DECM=NENM,DEBM=EFFM，∴3x7x =DEx,NENM=37，∴DE=37x，∴37x3x=EFFM=17，∵NQ=9√5，∴QM=3√5，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：MN=√(9√5)2+(3√5)2=15√2．，∴15√2=37，∴NE=45√27，∴EM=60√27，设EF=a，则FM=7a，∴a+7a=60√2 7∴a=15√214．解析：【分析】本题是一道相似的综合试题，考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定于性质的运用，勾股定理的运用及平行线等分线段定理的运用，在解答时利用三角形相似的性质求出线段的比是解答本题的关键．(1)如图1，过Q点作QP⊥BD交DC于P，然后根据正方形的性质证明△QPN∽△QBM，就可以得出结论；(2)如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，通过证明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性质就可以得出结论；(3)由条件设CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由(2)相似的性质可以求出MQ的值，再根据勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出结论．【解答】(1)见答案；(2)如图2，过Q点作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°．∵∠OCB=45°，∴QH//OC．∵Q是OB的中点，∴BH=CH=12BC∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴HMND =QHDQ=QMNQ=13，∴HM=13ND，∵BM−HM=HB，∴BM−13DN=12BC．故答案为：BM−13DN=12BC;(3)见答案．25.答案：解：(1)由题意可得，当−m=−m+1时，该方程无解，故函数y=−x+1没有反向值，当−m=−1m 时，m=±1，∴n=1−(−1)=2，故y=−1x有反向值，反向距离为2，当−m=m2，得m=0或m=−1，∴n=0−(−1)=1，故y=x2有反向值，反向距离是1；(2)①令−m=m2−4b2m，解得，m=0或m=4b2−1，∵反向距离为零，∴|4b2−1−0|=0，解得，b=±12；②令−m=m2−4b2m，解得，m=0或m=4b2−1，∴n=|4b2−1−0|=|4b2−1|，∵−1≤b≤3，∴0≤n≤35．解析：本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题目中的新定义，找出所求问题需要的条件，利用新定义解答相关问题． (1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应的反向距离；(2)①根据题意可以求得相应的b 的值；②根据题意和b 的取值范围可以求得相应的n 的取值范围．26.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1,0)、B(3,0)两点，∴{a −b +3=09a +3b +3=0，解得{a =−1b =2， ∴抛物线的解析式：y =−x 2+2x +3；(2)由抛物线y =ax 2+bx +3可知，C(0,3)，设直线BC 的解析式为：y =kx +3，代入B(3,0)得，3k +3=0，解得k =−1故直线BC 的解析式：y =−x +3，已知点M 的横坐标为m ，MN//y ，则M(m,−m +3)、N(m,−m 2+2m +3)，∴故MN =−m 2+2m +3−(−m +3)=−m 2+3m(0<m <3)；(3)如图；∵S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN(OD +DB)=12MN ⋅OB ，∴S △BNC =12(−m 2+3m)⋅3=−32(m −32)2+278(0<m <3)； ∴当m =32时，△BNC 的面积最大，最大值为278．解析：本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求二次函数解析式以及待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，利用三角形的面积得出二次函数是解题关键．(1)直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC 、抛物线的解析式中，可得到M 、N 点的坐标，N 、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长；(3)设MN 交x 轴于D ，那么△BNC 的面积可表示为：S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN(OD +DB)=12MN ⋅OB ，MN 的表达式在(2)中已求得，OB =3，由此列出关于S △BNC 关于m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC 是否具有最大值．。

湖南师大附中博才实验学校2024年九年级数学第一学期开学监测模拟试题【含答案】

湖南师大附中博才实验学校2024年九年级数学第一学期开学监测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）-（-6）等于（）A ．-6B ．6C ．16D ．±62、（4分）如图，直线y ax =()0a ≠与反比例函数k y x =()0k ≠的图象交于A ，B 两点．若点B 的坐标是()3,5，则点A 的坐标是（）A ．()3,5--B ．()5,3--C ．()3,5-D ．()5,3-3、（4分）某车间5月上旬生产零件的次品数如下（单位：个）：0，2，0，2，3，0，2，3，1，1．则在这10天中该车间生产零件的次品数的（）A ．众数是3B ．中位数是1.5C ．平均数是2D ．以上都不正确4、（4分）将直线y ＝2x 向右平移2个单位，再向上移动4个单位，所得的直线的解析式是()A ．y ＝2xB ．y ＝2x+2C ．y ＝2x ﹣4D ．y ＝2x+45、（4分）下列运算正确的是()A ．B =213C ．=D ．26、（4分）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（）A ．222345，，B ．111345，，C ．9,41,40D ．2,3,47、（4分）正比例函数y=3x 的大致图像是()A ．B ．C ．D ．8、（4分）点P （﹣3，m +1）在第二象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式：222m -=_________________________．10、（4分）如图，已知：l 1∥l 2∥l 3，AB=6，DE=5，EF=7.5，则AC=__．11、（4分）如图，已知一次函数1x b y =+与一次函数2mx n y =-的图像相交于点P （-2,1），则关于不等式x+b≥mx-n 的解集为_____.12、（4分）函数y ＝x 中，自变量x 的取值范围是_____．13、（4分）分式293x x --当x __________时,分式的值为零.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥CA ，AE ∥BD ．（1）求证：四边形AODE 是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD ”，其余条件不变，则四边形AODE 是_．15、（8分）已知一次函数()212y a x a =-+-．（1）若这个函数的图像经过原点，求a 的值．（2）若这个函数的图像经过一、三、四象限，求a 的取值范围．16、（8分）如图，一架5米长的梯子AB 斜靠在一面墙上，梯子底端B 到墙底的垂直距离BC 为3米．（1）求这个梯子的顶端A 到地面的距离AC 的值；（2）如果梯子的顶端A 沿墙AC 竖直下滑1米到点D 处，求梯子的底端B 在水平方向滑动了多少米？17、（10分）某校为了开展读书月活动，对学生最喜欢的图书种类进行了一次抽样调查，所有图书分成四类：艺术、文学、科普、其他．随机调查了该校m 名学生（每名学生必选且只能选择一类图书），并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）m ＝，n ＝，并请根据以上信息补全条形统计图；（2）扇形统计图中，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是度；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．18、（10分）先化简，再求值：23224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在菱形ABCD 中，AB =4，线段AD 的垂直平分线交AC 于点N ，△CND 的周长是10，则AC 的长为__________.20、（4分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1＋S 2等_________．21、（4分）若实数a 、b 满足a ＋b ＝5，a 2b ＋ab 2＝－10，则ab 的值是_______．22、（4分）在菱形ABCD 中，∠A=60︒，对角线BD=3，以BD 为底边作顶角为120︒的等腰三角形BDE ，则AE 的长为______.23、（4分）如果a 是一元二次方程2350x x --=的一个根，那么代数式283a a -+=__________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）已知直线y kx b =+的图象经过点(2,4)和点(2,2)--（1）求b 的值；（2）求关于x 的方程0kx b +=的解（3）若11(,)x y 、22(,)x y 为直线上两点，且12x x <，试比较1y 、2y 的大小25、（10分）如图，在△ABC 中，点D 为边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE 点F 在AB 上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF 是平行四边形（2）线段AB ，BF ，AC 之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论26、（12分）某市为了美化环境，计划在一定的时间内完成绿化面积200万亩的任务，后来市政府调整了原定计划，不但绿化面积要在原计划的基础上增加20%，而且要提前1年完成任务，经测算要完成新的计划，平均每年的绿化面积必须比原计划多20万亩，求原计划平均每年的绿化面积．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】根据相反数的概念解答即可．【详解】解：－（－1）=1．故选：B ．本题主要考查相反数的概念，属于应知应会题型，熟知定义是关键．2、A 【解析】求出函数关系式，联立组成方程组求出方程组的解即可，也可以直接利用对称性直接得出点A 的坐标．【详解】把点B （3，5）代入直线y=ax （a≠0）和反比例函数y=k x 得：a=53，k=15，∴直线y=53x ，与反比例函数y=15x ，5315y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：121233,55x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，∴A （-3，-5）故选：A ．考查一次函数和反比例函数的交点坐标的求法，常规求法是先求出各自的函数关系式，联立方程组求解即可，也可以直接根据函数图象的对称性得出答案．3、B【解析】根据众数、中位数和平均数的定义即可得出答案．【详解】根据题意可得：众数为0和2，中位数为(1+2)÷2=1.5，平均数为(0×3+1×2+2×3+3×2)÷10=1.4，故答案选择B ．本题考查的数众数、中位数和平均数，比较简单，注意求中位数之前要先对数组进行排序．4、A 【解析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【详解】解：y ＝2（x ﹣2）+4＝2x ．故选A ．本题考查一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．5、C 【解析】根据同类二次根式的定义、二次根式的乘、除法公式和二次根式的性质逐一判断即可．【详解】A ．不是同类二次根式，故本选项错误；B ．=3≠213，故本选项错误；C ．()42824=⨯⨯=⨯，故本选项正确；D ．2-2，故本选项错误.故选C ．此题考查的是二次根式的运算，掌握同类二次根式的定义、二次根式的乘、除法公式和二次根式的性质是解决此题的关键．6、C【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A 、92+162≠252，故不是直角三角形，故不符合题意；B 、（13）2+（14）2≠（15）2，故不是直角三角形，故不符合题意；C 、92+402=412，故是直角三角形，故符合题意；D 、22+32≠42，故不是直角三角形，故不符合题意．故选C ．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．7、B 【解析】∵3>0,∴图像经过一、三象限.故选B.点睛：本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y =kx ，当k ＞0时，y =kx 的图象经过一、三象限；当k ＜0时，y =kx 的图象经过二、四象限.8、C 【解析】由第二象限纵坐标大于零得出关于m 的不等式，解之可得．【详解】解：由题意知m +1＞0，解得m ＞﹣1，故选：C ．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、2(1)(1)m m +-．【解析】试题分析：222m -=22(1)m -=2(1)(1)m m +-．故答案为2(1)(1)m m +-．考点：提公因式法与公式法的综合运用．10、15【解析】l 1∥l 2∥l 3,AB DE AB BC EF DE =++,所以6512.5AC =，所以AC =15.11、2x ≥-【解析】观察函数图象得到，当2x ≥-时，一次函数y 1=x+b 的图象都在一次函数y 2=mx-n 的图象的上方，由此得到不等式x+b ＞mx-n 的解集．【详解】解：不等式x+b≥mx-n 的解集为2x ≥-.故答案为2x ≥-.本题考查一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12、x ≥1．【解析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【详解】解：根据题意得，x ﹣1≥0且x ≠0，解得x ≥1且x ≠0，所以，自变量x 的取值范围是x ≥1．故答案为x ≥1．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．13、=-3【解析】根据分子为0，分母不为0时分式的值为0来解答.【详解】根据题意得：290x-=且x-3≠0解得：x=-3故答案为：=-3.本题考查的是分式值为0的条件，易错点是只考虑了分子为0而没有考虑同时分母应不为0.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）证明见解析；（2）矩形【解析】（1）根据矩形的性质求出OA=OD，证出四边形AODE是平行四边形即可；（2）根据菱形的性质求出∠AOD=90°，再证出四边形AODE是平行四边形即可．【详解】解：（1）∵矩形ABCD，∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，∴OA=OD，∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∴四边形AODE是菱形．（2）∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴平行四边形AODE是矩形．故答案为：矩形．本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和证正出∠AOD=90°、OA=OD是解此题的关键．15、（1）2；（2）12 2a<<【解析】（1）y=kx+b经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b的图象经过一、三、四象限，k＞0，b＜0，据此列出不等式组求解即可．【详解】解：（1）由题意得20a-=，∴2a=．（2）由题意得21020 aa->⎧⎨-<⎩解得：12 2a<<∴a的取值范围是：12 2a<<考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键，难度不大．16、（1）4（2）1【解析】（1）在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长；（2）首先求出CD的长，利用勾股定理可求出CE的长，进而得到BE=CE-CB的值．【详解】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+CB2=AB2，即AC2+32=52，所以AC=4（m），即这个梯子的顶端A到地面的距离AC为4m；（2）DC=4-1=3（m），DE=5=m，在Rt△DCE中，由勾股定理得DC2+CE2=DE2，即32+CE2=52，所以CE=5（m），BE=CE-CB=4-3=1（m），即梯子的底端B在水平方向滑动了1m．本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变这一关系进行求解是解题的关键．17、（1）50，30；（2）72；（3）270名学生.【解析】（1）根据其他的人数和所占的百分比即可求得m 的值，从而可以求得n 的值，求得喜爱文学的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据扇形统计图中的数据可以求得“艺术”所对应的扇形的圆心角度数；（3）根据统计图中的数据可以估计该校900名学生中有多少学生最喜欢科普类图书．【详解】解：（1）510%50%155030%m n =÷==÷=，，文学有：501015520---=，补全的条形统计图如右图所示；故答案为50，30；（2）由题意可得，“艺术”所对应的扇形的圆心角度数是：103607250︒⨯=，故答案为72；（3）由题意可得，1590027050⨯=，即该校900名学生中有270名学生最喜欢科普类图书．本题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18、28x +，1．【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x =1代入计算即可求出值．试题解析：原式=（()()()()2322422x x x x x x x x +---⋅-+=()()()()()242222x x x x x x x +-+⋅-+=2(x +4)当x =1时，原式=1.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、6【解析】∵菱形ABCD 中，AB=4，AD 的垂直平分线交AC 于点N ，∴CD=AB=4，AN=DN ，∵△CDN 的周长=CN+CD+DN=10，∴CN+4+AN=10，∴CN+AN=AC=6.故答案为6.20、2π【解析】试题解析：2222121111ππππ228228AC BC S AC S BC ⎛⎫⎛⎫=⋅==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以()22212111πππ162π888S S AC BC AB +=+==⨯=．故答案为2π．21、－1【解析】先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．【详解】解：a+b=5时，原式=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-1．学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………故答案为：-1.本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解本题的关键，也是难点．22、3或23【解析】四边形ABCD 为菱形，∠A=60︒，BD=3，得△ABD 为边长为3等边三角形，分别讨论A ，E 在同侧和异侧的情况，在通过∠BED=120°算出即可【详解】画出示意图，分别讨论A ，E 在同侧和异侧的情况，∵四边形ABCD 为菱形，∠A=60︒，BD=3，∴△ABD 为边长为3等边三角形，则AO=332，∵∠BED=120°，则∠OBE=30°，可得OE=32，则AE=3，同理可得OE’=32，则AE’=23，所以AE 的长度为3或23本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．23、1【解析】根据一元二次方程的解的定义得到a 2-1a=5，再把8-a 2+1a 变形为8-（a 2-1a ），然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：把x=a 代入x 2-1x-5=0得a 2-1a-5=0，所以a 2-1a=5，所以8-a 2+1a=8-（a 2-1a ）=8-5=1．故答案为：1．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）b=1；（2）23x =-；（3）12y y <.【解析】（1）将直线经过的两点代入原直线，联立二元一次方程组即可求得b 值；（2）求出k 值，解一元一次方程3102x +=即可；（3）根据k 的大小判断直线是y 随x 的增大而增大的，由此可知1y 、2y 的大小.【详解】解：（1）将（2，4），（-2，-2）代入直线得到：4222k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得：321k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴b=1；（2）已知32k =，b=1，令3102x +=，解得23x =-，∴关于x 的方程0kx b +=的解是23x =-；（3）由于32k =>0，可知直线是y 随x 的增大而增大的，∵12x x <，∴1y <2y .本题考查一次函数表达式，增减性，解题时要注意理解一次函数与方程的关系.25、（1）见解析；（2）1()2BF AB AC =-，理由见解析【解析】（1）延长CE 交AB 于点G ，证明AEG ∆≅AEC ∆，得E 为中点，通过中位线证明DE //AB ，结合BF=DE ，证明BDEF 是平行四边形（2）通过BDEF 为平行四边形，证得BF=DE=12BG ，再根据AEG ∆≅AEC ∆，得AC=AG ，用AB-AG=BG ，可证1()2BF AB AC =-【详解】（1）证明：延长CE 交AB 于点G ∵AE ⊥CE ∴90AEG AEC ︒∠=∠=在AEG ∆和AEC ∆GAE CAE AE AE AEG AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEG ∆≅AEC ∆∴GE=EC∵BD=CD∴DE 为CGB ∆的中位线∴DE //AB∵DE=BF∴四边形BDEF 是平行四边形（2）1()2BF AB AC =-理由如下：∵四边形BDEF 是平行四边形∴BF=DE ∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点∴BF=DE=12BG ∵AEG ∆≅AEC ∆∴AG=AC BF=12（AB-AG ）=12（AB-AC ）．本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键．26、原计划平均每年完成绿化面积40万亩.【解析】本题的相等关系是：原计划完成绿化时间−实际完成绿化实际＝1．设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩，则原计划完成绿化完成时间200x 年，实际完成绿化完成时间：200(120%)20x ++年，列出分式方程求解【详解】解：设原计划平均每年完成绿化面积x 万亩.根据题意可列方程：200200(120%)120x x +-=+去分母整理得：26040000x x +-=解得：140x =，2100x =-经检验：140x =，2100x =-都是原分式方程的根，因为绿化面积不能为负，所以取40x =．答：原计划平均每年完成绿化面积40万亩.本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验它是否是原方程的根，第二步检验它是否符合实际问题．。

湖南师大附中2019-2020九年级第一学期第二次月考数学模拟试卷

62000 用科学记数法表示为（）A ．6.2×10﹣4B ．6.2×104C ．﹣6.2×104D ．0.62×1042. 下列运算正确的是（） A ．a 2•a 3=a 6B ．a 3+a 2=a 5C ．（a 2）4=a 8D ．a 3﹣a 2=a 3. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（） A．B． C． D ． 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，将点 N （﹣1，﹣2）绕点 O 旋转 180°，得到的对应点的坐标是（）A ．（1，2）B ．（﹣1，2）C ．（﹣1，﹣2）D ．（1，﹣2）5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错．误．的是（） A ．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B ．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C ．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D ．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 已知α、β是一元二次方程 x 2﹣2x ﹣3＝0 的两个根，则α+β的值是（） A ．2 B ．﹣2 C ．3 D ．﹣37. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，E 为 AD 边中点，OE 的长等于 4，则菱形 ABCD 的周长为（） A ．16 B ．20 C ．24 D ．32 图 18. 随机抽查某商场四月份 5 天的营业额分别如下（单位：万元）3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，试估计这个商场四月份的营业额约是（） A ．3 万元 B ．15 万元C ．90 万元D ．450 万元9. 点 M （﹣3，y 1），N （﹣2，y 2）是抛物线 y ＝﹣（x +1）2+3 上的两点，则下列大小关系正确的是（）A ．y 1＜y 2＜3B ．3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 1＜3D ．3＜y 2＜y 12 10. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，∠BAC =30°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△AB 1C 1，连接 BC 1，则 BC 1 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．12图 2 图 3 图 4 11. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED =1 寸），锯道长 1 尺（AB =1 尺=10 寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图 6 所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径 AC 是（）A ．13 寸B ．20 寸C ．26 寸D ．28 寸12.如图 4：二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的图象所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a +b ＝0；③当 m ≠1 时，a +b＞am 2+bm ；④a ﹣b +c ＞0；⑤若 ax 12+bx 1＝ax 2 +bx 2，且 x 1≠x 2，则 x 1+x 2＝2，正确的个数为（）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13. 在平面直角坐标系中，点 P （- 4,2）与 P 1 关于原点对称，则 P 1 的坐标是14.若二次函数 y ＝ax 2﹣bx +5（a ≠5）的图象与 x 轴交于（1，0），则 b ﹣a +2015 的值是．15.如图 5，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE ，这时点 B ，C ，D 恰好在同一直线上，则 ∠B 的度数为．图 5 图 6 图 7 图 816.如图 6，在矩形 ABCD 中，AD =3，将矩形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG ，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE =EF ，则 AB 的长为．17. 如图 7，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O ，A ，B ，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为．18.如图 8，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C ，M 是 BC 的中点， P 是 A'B'的中点，连接 PM ．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是三．解答题（共 8 小题）21.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A （1,1）B （4,1），C （3,3）.（1）将△ABC 向下平移 5 个单位后得到△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；（3）判断以 O ，A 1，B 为顶点的三角形的形状，并说明理由。

2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级(上)开学数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 函数y =√x −2，自变量x 的取值范围是( )A. x >2B. x <2C. x ≥2D. x ≤22. 甲、乙、丙、丁四个小组参加体育测试，他们成绩的平均分均为26分，方差分别为：S 甲2=2.5，S 乙2=15.7，S 丙2=9，S 丁2=11.2，则这四个小组体育测试成绩最稳定的是( )A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组3. 一次函数y =2x +3的图象不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 用配方法解方程x 2−6x +1=0，方程应变形为( )A. (x −3)2=8B. (x −3)2=10C. (x −6)2=10D. (x −6)2=85. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A. 内角和为360°B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角线互相垂直6. 如图，M 、N 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若∠A =65°，∠ANM =45°，则∠B =( )A. 20°B. 45°C. 65°D. 70°7. 把抛物线y =−12x 2经过怎样的移动可得y =−12(x −1)2的图象( )A. 向左平移1个单位B. 向右平移1个单位C. 向上平移1个单位D. 向下平移1个单位8. 国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路，某地区2017年底有贫困人口50000人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至10000人．设2017年底至2019年底该地区贫因人口的平均下降率为x ，根据题意列方程得( )A. 50000(1−x)2=10000B. 50000(1+x)2=10000C. 50000(1−2x)=10000D. 50000(1+2x)=100009.长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数7次及以上654321次及以下人数81231241564这次抽样的样本数据说法正确的是()A. 极差是4B. 中位数是4C. 众数是5D. 平均数是510.已知A(0,y1)，B(1,y2)，C(4,y3)是抛物线y=x2−3x上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为()A. y1>y2>y3B. y3>y1>y2C. y3>y2>y1D. y2>y1>y311.在同一坐标系内，函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致如图()A. B.C. D.12.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；其中正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.直线y=−2x+3与x轴的交点坐标是______．14. 李明参加某单位招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为86分、80分、90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则李明的成绩是______．15. 已知直线y =kx +b 与直线y =−3x 平行，且经过点(2,4)，则b 的值是______． 16. 如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，∠BAD =60°，BD 长为4，则菱形ABCD 的面积是______．17. 函数y =kx 与y =6−x 的图象如图所示，则不等式6−x ≥kx 的解集为______．18. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =6，BC =10，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，求EF 的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分） 19. 计算：(π−3)0−(13)−1−12×√12−|√3−2|．20. 解方程：8−x(x +2)=5．21.2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》.长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”.为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：(1)这次调查活动共抽取______人；(2)m=______，n=______；(3)请将条形统计图补充完整；(4)若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．22.已知关于x的方程x2−4x+m+2=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若x1，x2是方程的两个根，是否存在实数m使得x12+x22−x1x2=1成立，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由；23.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；(2)若AD=4，AB=2，且MN⊥AC，求DM的长．24.某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件)1119日销售量y(件)182请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？25. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC =2√3，点O 是AB 的中点，点M(不与点C 重合)是射线CO 上的一个动点，且∠AOC =60°． (1)若四边形ACBM 是平行四边形，求OM 的长； (2)当△ABM 为直角三角形时，求AM 的长； (3)设OM =x ，求AMBM 的最大值和最小值．26. 已知自变量x 含绝对值的函数y =x 2−2|x|+2={x 2−2x +2(x ≥0)x 2+2x +2(x <0)．(1)求该函数的最小值；(2)当|x|≤m 时，该函数的最小值为m 1，最大值为m 2，若m 1+m 2=4m ，求m 的值；(3)若直线y =57x +507与该函数的图象交于A 、B 两点，点C 在该函数的图象上且位于直线AB 的下方，是否存在点C 使得△ABC 的面积为整数？若存在，请求出满足条件的点C 的个数，若不存在请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意得，x −2≥0，解得x ≥2．故选：C ．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．2.【答案】A【解析】解：∵S 甲2=2.5，S 乙2=15.7，S 丙2=9，S 丁2=11.2， ∴S 甲2<S 丙2<S 丁2<S 乙2，∴这四个小组体育测试成绩最稳定的是甲组，故选：A ．根据方差的意义求解可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．3.【答案】D【解析】解：∵k =2>0，图象过一三象限，b =3>0，图象过第二象限， ∴直线y =2x +3经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选D ．根据k ，b 的符号确定一次函数y =2x +3的图象经过的象限．本题考查一次函数的k >0，b >0的图象性质．需注意x 的系数为1，难度不大．4.【答案】A【解析】解：∵x2−6x+1=0，∴x2−6x+9=8，∴(x−3)2=8，故选：A．根据配方法即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的配方法，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不一定具有的性质为对角线相等，故选C．6.【答案】D【解析】解：∵M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，∴MN//BC，∴∠C=∠ANM=45°，∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−65°−45°=70°，故选：D．根据三角形中位线定理得出MN//BC，进而利用平行线的性质解答即可．此题考查三角形中位线定理，关键是根据三角形中位线定理得出MN//BC解答．7.【答案】Bx2向右平移1个单位即可得【解析】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y=−12(x−1)2．到抛物线y=−12故选：B．直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8.【答案】A【解析】解：设2017年底至2019年底该地区贫因人口的平均下降率为x，根据题意得：50000(1−x)2=10000，故选：A．等量关系为：2017年贫困人口×(1−下降率)2=2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：A、极差是：7−1=6；=5(次)；B、这次调查中的中位数是5+52C、这次调查中的众数是5；(8×7+6×12+5×31+4×24+3×15+2×6+1×4)=4.4．D、平均数是：1100故选：C．根据平均数、中位数、众数和极差的概念分别对每一项进行分析即可得出答案．此题考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．把A(0,y1)，B(1,y2)，C(4,y3)代入求出相应的y的值即可．【解答】解：把x1=0，x2=1，x3=4分别代入y=x2−3x得：y1=0，y2=−2，y3=4，∴y3>y1>y2，故选：B．11.【答案】D【解析】解：由一次函数解析式为：y=kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．分别利用函数解析式分析图象得出答案．此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，得出直线交y轴的正半轴是解题关键．12.【答案】C【解析】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，=1，∴对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a，∴2a+b=0，故①正确，符合题意；②当x=−1时，0=a−b+c，∴a+2a+c=0，∴c=−3a，∴2c=3b，故②错误，不符合题意；③∵二次函数y=ax2−2ax−3a，(a<0)∴点C(0,−3a)，当BC=AB时，4=√9+9a2，∴a=−√7，3当AC=BA时，4=√1+9a2，∴a=−√15，3∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确，符合题意；故选：C．=1，可得b=−2a，可判断①；将点A坐标代入解析由图象可得对称轴为直线x=−b2a式可得c=−3a，可判断②；由等腰三角形的性质和两点距离公式，可求a的值，可判断③．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数关系，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．,0)13.【答案】(32【解析】解：当y=0时，−2x+3=0，，解得：x=32,0)．∴直线y=−2x+3与x轴的交点坐标是(32,0)．故答案为：(32代入y=0求出与之对应的x值，进而可得出直线与x轴的交点坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．14.【答案】86.2分=86.2(分)．【解析】解：86×2+80×3+90×52+3+5故李明的成绩是86.2分．故答案为：86.2分．根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出李明的成绩．本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．15.【答案】10【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=−3x平行，∴k=−3，∵直线y=−3x+b过点(2,4)，∴(−3)×2+b=4，∴b=10．故答案为10．先根据两直线平行的问题得到k=−3，然后把(2,4)代入y=−3x+b中可计算出b的值．本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．16.【答案】8√3【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=2，∴AB=AD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=12∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=4，∴AO=√AB2−BO2=√16−4=2√3，∴AC=4√3，AC×BD=8√3，∴菱形ABCD的面积=12故答案为：8√3．BD=2，可证△ABD 由菱形的性质可得AB=AD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=12是等边三角形，可得AB=BD=4，由勾股定理可求AO的长，即可求解．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．17.【答案】x≤2【解析】解：∵函数y=kx与y=6−x的图象交点横坐标为2，∵由图象可知，不等式6−x≥kx的解集为x≤2．故答案为x≤2．结合图象写出不等式6−x≥kx的解集即可．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．18.【答案】4.8【解析】解：连接AP，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最小，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，由勾股定理得：AC=√BC2−AB2=√102−62=8，由三角形面积公式得：△ABC的面积=12×AB×AC=12×BC×AP，∴AP=AB×ACBC =6×810=4.8，即EF=4.8，故答案为：4.8．根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．本题利用了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、三角形面积等知识，解此题的关键是确定出当AP⊥BC时，AP最小，EF最短．19.【答案】解：原式=1−3−√3+√3−2=−4．【解析】根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：方程整理为一般式，得：x2+2x−3=0，则(x+3)(x−1)=0，∴x+3=0或x−1=0，解得x1=−3，x2=1．【解析】先将方程组整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21.【答案】解：(1)200；(2)86，27；(3)200×20%=40(人)，补全条形统计图如图所示：(4)3000×27%=810(人)，答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．【解析】解：(1)20÷10%=200(人)，故答案为：200；(2)200×43%=86(人)，54÷200=27%，即，n=27，故答案为：86，27；(3)见答案；(4)见答案．(1)从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；(2)“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，(3)求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；(4)“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．22.【答案】解：(1)根据题意得△=(−4)2−4(m+2)>0，解得m<2．故m的取值范围是m<2；(2)不存在．理由如下：根据题意得x1+x2=4，x1x2=m+2，∵x12+x22−x1x2=1，∴(x1+x2)2−3x1x2=1，即42−3(m+2)=1，解得m=3，∵m<2；∴不存在m的值．【解析】(1)根据判别式的意义得到△=(−4)2−4(m+2)>0，然后解不等式即可；(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=m+2，利用x12+x22−x1x2=1得到(x1+x2)2−3x1x2=1，则42−3(m+2)=1，然后解方程后利用(1)中m的范围确定m 的值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca，反过来也成立．也考查了根的判别式．23.【答案】解：(1)证明：∵在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，∴AD//BC ，AO =CO ，∴∠OAM =∠OCN ，∠OMA =∠ONC ，在△AOM 和△CON 中，{∠OAM =∠OCN ∠AMO =∠CNO AO =CO，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM =CN ，∵AM//CN ，∴四边形ANCM 为平行四边形；(2)∵在矩形ABCD 中，AD =BC ，由(1)知：AM =CN ，∴DM =BN ，∵四边形ANCM 为平行四边形，MN ⊥AC ，∴平行四边形ANCM 为菱形，∴AM =AN =NC =AD −DM ，∴在Rt △ABN 中，根据勾股定理，得AN 2=AB 2+BN 2，∴(4−DM)2=22+DM 2，解得DM =32．【解析】(1)在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，可得AD//BC ，AO =CO ，可以证明△AOM≌△CON 可得AM =CN ，进而证明四边形ANCM 为平行四边形；(2)根据MN ⊥AC ，可得四边形ANCM 为菱形；根据AD =4，AB =2，AM =AN =NC =AD −DM ，即可在Rt △ABN 中，根据勾股定理，求DM 的长．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．24.【答案】解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得： {3a +2b =602a +3b =65，解得：{a =10b =15．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x +b 1，将(11,18)，(19,2)代入得：{11k 1+b 1=1819k 1+b 1=2，解得：{k 1=−2b 1=40． ∴y 与x 之间的函数关系式为y =−2x +40(11≤x ≤19)．(3)由题意得：w =(−2x +40)(x −10)=−2x 2+60x −400=−2(x −15)2+50(11≤x ≤19)．∴当x =15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．【解析】本题考查了二元一次方程组和二次函数在实际问题中的应用及待定系数法求一次函数的解析式等知识点，理清题中的数量关系并明确相关函数的性质是解题的关键．(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得关于a 、b 的二元一次方程组，求解即可．(2)设y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x +b 1，用待定系数法求解即可．(3)根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．25.【答案】解：(1)∵∠BAC =90°，AC =2√3，∠AOC =60°．∴∠ACO =30°，∴AO =2，∴CO =2AO =4，∵点O 是AB 的中点，∴AB =4，∵四边形ACBM 是平行四边形，∴CO =OM =4；(2)分三种情况：①若∠ABM =∠CAB =90°，如图1，且AO=BO，∠AOC=∠BOM，∴△AOC≌△BOM(ASA)∴AC=BM=2√3，∴AM=√AB2+BM2=√16+12=2√7，②若∠AMB=90°，如图2，∵O是AB的中点，AB=4，∴OM=OB=4，AB=2=OA=OB，Rt△AMB中，OM=12∴∠BAM=∠AMO=30°，AB=2，∴BM=12∴AM=2√3；③若∠AMB=90°时，如图3，∵O是AB的中点，AB=4，∴OM=OA=4，又∵∠AOC=60°，∴△AOM是等边三角形，∴AM=AO=2，综上所述，满足条件的AM的长为2√7或2√3或2．(3)如图4中，过点M作MN⊥AB于N．在Rt△MNO中，∵∠NMO=30°，OM=x，∴ON=12OM=12x，MN=√3ON=√32x，∴AM2=(2−12x)2+(√32x)2=x2−2x+4，BM2=(2+12x)2+(√32x)2=x2+2x+4，设AM2BM2=x2−2x+4x2+2x+4=t，则有(t−1)x2+2(t+1)x+4t−4=0，①当t=1时，x=0，此时t=1．②当t≠1时，原方程有解，∴△=4(t+1)2−16(t−1)2≥0，∴3t2−10t+3≤0，∴(t−3)(3t−1)≤0，解得13≤t≤3且t≠1，综上所述，13≤t≤3，∴AM2BM2的最小值为13，AM2BM2的最大值为3，∴√33≤AMBM≤√3．【解析】(1)先计算AB的长，根据平行四边形的性质：对角线互相平分可得结论．(2)分三种情况：①若∠ABM=∠CAB=90°，如图1，②若∠AMB=90°，如图2，③若∠AMB=90°时，如图3，分别根据图形计算即可．(3)如图4中，过点M作MN⊥AB于N.易知AM2=(2−12x)2+(√32x)2=x2−2x+4，BM2=(2+12x)2+(√32x)2=x2+2x+4，设AM2BM2=x2−2x+4x2+2x+4=t，则有(t−1)x2+2(t+1)x+4t−4=0，求出t的取值范围即可解决问题．此题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、30度的直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：(1)当x≥0时，y=x2−2x+2，对称轴为x=−−22=1，当x=1时，y最小=12−2×1+2=1，当x<0时，y=x2+2x+2，对称轴x=−22=−1，当x=−1时，y 最小=(−1)2+2×(−1)+2=1，∴该函数的最小值为1；(2)将|x|=m代入y=x2−2|x|+2得y=m2−2m+2，当0<m≤1时，m2=2，m1=m2−2m+2，∴m1+m2=m2−2m+2+2=m2−2m+4=4m，∴m2−6m+4=0，解得，m1=3−√5，m2=3+√5(舍去)，当m>1时，m1=1，m2=m2−2m+2，∴m1+m2=1+m2−2m+2=4m，∴m2−6m+3=0，解得，m1=3+√6，m2=3−√6(舍)，∴m的值为：3−√5或3+√6；(3)存在，联立方程组：{y=x2−2|x|+2 y=57x+507，x≥0时，x2−2x+2=57x+507，整理得，7x2−19x−36=0，解得，m1=4，m2=−97(舍去)，x <0时，x 2+2x +2=57x +507，整理得，7x 2+9x −36=0，解得，x 1=−3，x 2=127(舍去)，∴A 、B 横坐标分别为4，−3；∴S △ABC =12×[57x C +507−(x C 2−2|x C |+2)]×|x A −x B | =12[4−(−3)][57x C +507−(x C 2−2|x C |+2] =72[57x C +507−(x C 2−2|x C |+2], 要使S △ABC 为整数，则[57x C +507−(x C 2−2|x c |+2)]为2的倍数，∴有2个．【解析】(1)分x ≥0和x <0两种情况求出函数的最小值，再进行比较即可；(2)将|x|=m 代入y =x 2−2|x|+2得y =m 2−2m +2，再分0<m ≤1和m >1两种情况得到关于m 的一元二次方程求解即可；(3)联立方程组{y =x 2−2|x|+2y =57x +507，求解方程组得到A 、B 的横坐标，再根据三角形面积公式求解即可．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．。

湖南省师大附中2019~2020学年度第一学期期末九年级数学教学质量检测

湖南师大附中2019~2020学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学（人教版）注意事项：1.全卷共4页。

2.答卷前，将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷一、选择题1.一元二次方程x2−4=0的解为( )A.x1=2, x2=−2B.x=−2C.x=2D.x1=2,x2=02.在一个不透明的袋子里装有6个颜色不同的球（除颜色不同外，质地、大小均相同），其中2个球为红球，4个球为白球，若从该袋子里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为( )A.12B.13C. 16D.233.点M(2,−3)关于原点对称的点N的坐标是( )A.(−2,−3)B.(−2,3)C.(2,3)D.(−3,2)4.若⊙O的半径为3，且点P到⊙O的圆O的距离是5，则点P在( )A.⊙O内B.⊙O上C.O外D.都有可能5.若将抛物线y=3x2的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为( )A. y=3(x−1)2+2B.y=3(x+1)2−2C. y=3(x−1)2−2D.y=3(x−1)2+26.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、DF，连接DF、EF、OD、OE，若∠A= 100∘,∠C=30∘，则∠DFE的度数是( )A.55∘B.60∘C.65∘D.70∘7.在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同. 若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15.和0.45，则该袋子中的白色球可能有( )A.6个B.16个C.18个D.24个8.若一个三角形的两条边的长度分别为2和4，且第三条边的长度是方程x2−6x+8=0的解，则它的周长是( )A.10B.8或10C.8D.69.若一个圆锥的母线长为10，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是( )A.10πB.20πC.50πD.100π10.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且该二次函数图象过点A(−3,0)，对称轴为x=−1. 给出四个结论：①b2>4ac;②2a+b=0；③a−b+c=0；④5a<b. 其中正确结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷二、填空题11.二次函数y=x2−2x+3的最小值是 .(k≠0）的图象上，则k= .12.若点P（2,5在反比例函数y=kx13.现有6张正面分别标有数字−1,0,1,2,3,4的不透明卡片，这些卡片除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使得关于x的一元二次方程x2−2x+a−2=0有实数根的概率为 .14.如图，一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，若添加一个半径为R的圆形纸片，使得两张纸片恰好能组合成一个圆锥体，则添加的圆形纸片的半径R为cm.三、解答题15.解方程：3x2−6x−2=016.篮球课上，朱老师向学生详细地讲解传球的要领时，叫甲、乙、丙、丁四位同学配合朱老师进行传球训练，朱老师把球传给甲同学后，让四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲同学第一个传球时，求甲同学传给下一个同学后，这个同学再传给甲同学的概率17.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系四边形OABC的顶点A的坐标为(3,2)，顶点B的坐标为(6,2)，顶点C的坐标为(3,0)，请在图中画出四边形OABC关于原点O(0,0).对称的四边形OA1B1C1.(k≠0的图象交于一点M，且M点的横18.已知正比例函数y1=2x的图象与反比例函数y2=kx坐标为1.（1）求反比例函数的解析式；(k≠0的取值范围（2）当2≤x≤5时，求反比例函数y2=kx19.如图，CD为⊙O的直径，AB、BC为⊙O上的两条弦，且CD⊥AB于点F, AO⊥BC，交AO 延长线于点E，OA=1.（1）求∠DCB的度数；（2）求阴影部分的面积20.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？21.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC=4√2，∠BAC=45∘，∠ABC=75∘，求AB的长.22.新区一中为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查。

2019-2020学年湖南师大附中九年级(上)第一次联考数学试卷 (含解析)

2019-2020学年湖南师大附中九年级（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. (a3)2=a5C. (a+3)2=a2+9D. −2a2·a=−2a32.如图，AB//CD，∠D=30°，∠E=35°，则∠B的度数为()A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°3.若a<b，则下列式子中错误的是()A. a−3<b−3B. a+3<b+3C. 12a<12b D. −2a<−2b4.某小组7位同学的中考体育测试成绩(满分50分)依次为47，50，49，47，50，48，50，则这组数据的众数与中位数分别是()A. 50，47B. 50，49C. 49，50D. 50，485.在平面直角坐标系中，若点P(a−3,a+1)在第二象限，则a的取值范围为()A. −1<a<3B. a>3C. a<−1D. a>−16.已知一元二次方程2x2+mx−7=0的一个根为x=1，则另一根为()A. 1B. 2C. −3.5D. −57.如图是“北大西洋公约组织”标志的主体部分(平面图)，它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的.测得AB=BC，OA=OC，OA⊥OC，∠ABC=36°，则∠OAB的度数是()A. 116°B. 117°C. 118°D. 119°8.如图所示，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE，②BC=ED，③∠C=∠D，④∠B=∠E，其中能使△ABC≌△AED成立的条件有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.如图，半径为3的⊙O中有弦AB，以AB为折痕对折，劣弧恰好经过圆⏜的长为()心O，则AOBA. πB. 2πC. 3πD. 4π10.若ab>0，则函数y=ax+b与函数y=b在同一坐标系中的大致图象可能是()xA. B.C. D.11.圆锥的底面半径为4，母线长为10，则该圆锥的侧面积为()A. 80πB. 40πC. 20πD. 10π12.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④2c<3b；⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数)．其中正确结论的有()A. ①②③B. ①③④C. ③④⑤D. ②③⑤二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.因式分解：3y2−12=______ ．14.将数字302000用科学记数法表示为______．15.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的球共10个，从中随机摸出一个球，若摸到红色球，则袋子中红色球的个数是______．的概率为3516.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且DC=5cm，则AB=______ ．17.设x1，x2是方程5x2−3x−1=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为______ ．18.不等式组{20−x>52(x+1)+2≤10x3的整数解共有______个．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）19.小芳去商店购买甲、乙两种商品．现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元；信息2：甲商品零售单价比甲进货单价多1元，乙商品零售单价比乙进货单价的2倍少1元．请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？(2)若小芳准备用不超过400元钱购买100件甲、乙两种商品，其中甲种商品至少购买多少件？四、解答题（本大题共7小题，共57.0分）20.计算下列各题：(1)√3×(−√6)+|−2√2|+(12)−3．(2)√24×√13−4×√18×(1−√2)0．21.先化简，再求值：(3xx−1−xx+1)÷2xx2−1，其中x=−3．22.进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：(1)这次学校抽查的学生人数是______；(2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？23.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，AB=CD，EF与GH有什么位置关系？请说明理由．24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F．(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O半径为5，CD=6，求DE的长；(3)求证：BC2=4CE⋅AB．25.在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C(a,b)为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．(1)当点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(1,3)时，特征点C的坐标为________；(2)若抛物线y=ax2+bx，如图所示，请求出点A、点B的坐标(用含a，b代数式表示)；(3)设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为(1,0)，DE//CF．①若特征点C为直线y=–4x上一点，求点D及点C的坐标；<tan∠ODE<2，求b的取值范围．②若1226.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0)，B(−1,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点(异于点A、C)，连接BC，AC，PA，PB，PB与AC交于点D，设点P的横坐标为m．①若△CBD，△DAP的面积分别为S1和S2，当S1−S2最小时，求点P的坐标；②过点P作x轴的垂线，交AC于点E.以原点O为旋转中心，将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′.当线段P′E′与直线PE有交点时，设交点为F，求交点F的路径长．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则及完全平方公式．【解答】解：A.a2和a3不是同类项，不能合并，故此选项错误；B.(a3)2=a6，故此选项错误；C(a+3)2=a2+6a+9，故此选项错误；D.−2a2·a=−2a3，此选项正确．故选D．2.答案：B解析：解：∵∠D=30°，∠E=35°，∴∠1=∠D+∠E=30°+35°=65°，∵AB//CD，∴∠B=∠1=65°．故选：B．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等解答即可．本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．3.答案：D解析：【分析】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两边都乘1，不等号的方向不变，故C正确；2D、不等式的两边都乘以−2，不等号的方向改变，故D错误；故选：D．4.答案：B解析：解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中50出现了3次，次数最多，故众数是50；将这组数据从小到大的顺序排列为：47，47，48，49，50，50，50，处于中间位置的那个数是49，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是49．故选B．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5.答案：A解析：【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，属于基础题．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点P(a−3,a+1)在第二象限，∴{a−3<0 ①a+1>0 ②，解不等式①得，a<3，解不等式②得，a>−1，∴−1<a<3．故选：A．6.答案：C解析：【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.设方程的另一个根为t，根据两根之积得到1×t=−72，然后解一次方程即可．【解答】解：设方程的另一个根为t，，解得t=−3.5．根据题意得1×t=−72故选C．7.答案：B解析：∵∠AOC=90°，∠ABC=36°，∴∠AOC+∠ABC=90°+36°=126°．∴∠OAB+∠OCB=360°−126°=234°．∴∠OAB=×234°=117°．8.答案：B解析：【分析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法有“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”.根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再根据AC=AD及增加的条件逐一判断即可．【解答】解：∵∠1=∠2，AC=AD，∴∠BAC=∠EAD．∴当添加①AB=AE，可用SAS判定△ABC≌△AED，故①成立；当添加②BC=ED，SSA不可判定△ABC≌△AED，故②不成立；当添加③∠C=∠D，可用ASA判定△ABC≌△AED，故③成立；当添加④∠B=∠E，可用AAS判定△ABC≌△AED，故④成立．共3个成立的条件，选项B正确．故选B．9.答案：B解析：【分析】本题考查的是弧长的计算及翻折变换的性质，根据题意画出图形，作出辅助线利用数形结合解答．连AO，接AO，过O作OD⊥AB，交AB⏜于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE=DE=12再根据直角三角形的性质得出∠AOE=60∘，∠AOB=2∠AOE=120∘，然后根据弧长公式计算即可得到答案．【解答】解：如图所示，连接AO，过O作OD⊥AB，交AB⏜于点D，交弦AB于点E，∵AB⏜折叠后恰好经过圆心，AO，∴OE=DE=12∴∠OAE=30∘，∴∠AOE=60∘，∴∠AOB=2∠AOE=120∘，∵⊙O的半径为4，，故选B．10.答案：C解析：解：∵ab>0，∴分两种情况：(1)当a>0，b>0时，一次函数y=ax+b数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第一三象限，选项C符合；(2)当a<0，b<0时，一次函数的图象过第二、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项．故选：C．根据ab>0及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a>0，b>0和a<0，b<0两方面分类讨论得出答案．本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．11.答案：B解析：【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×4×10÷2=40π．故选B．12.答案：C解析：解：①由图象可知：a<0，对称轴x=−b2a=1，所以b>0，c>0，abc<0，故①错误；②当x=−1时，y=a−b+c<0，即b>a+c，故②错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故③正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c<0，且x=−b2a=1，即a=−b2，代入得9(−b2)+3b+c<0，得2c<3b，故④正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c>am2+bm+c，故a+b>am2+bm，即a+b>m(am+b)，故⑤正确．综上所述，③④⑤正确．故选：C．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．13.答案：3(y+2)(y−2)解析：解：3y2−12，=3(y2−4)，=3(y+2)(y−2)．先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.答案：3.02×105解析：【分析】此题主要考查的是用科学记数法表示较大数的方法．要注意是科学记数法的表示形式a ×10n 中，a 的取值范围为：1≤|a|<10．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【解答】解：302000=3.02×105．故答案为3.02×105．15.答案：6解析：【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P(A)=m n ，首先设袋子中红球有x 个，利用概率公式求即可得方程，进而解答即可．【解答】解：设袋子中红球有x 个，根据题意可得：x 10=35，解得：x =6，故答案为：6． 16.答案：10cm解析：解：∵∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，∴AB =2CD =10cm ，故答案为：10cm ．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17.答案：−3解析：解：∵x 1，x 2是方程5x 2−3x −1=0的两个实数根，∴x 1+x 2=35，x 1⋅x 2=−15，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=35−15=−3．故答案为：−3．根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=35、x 1⋅x 2=−15，将1x 1+1x 2通分后可得x 1+x 2x 1⋅x 2，代入x 1+x 2=35、x 1⋅x 2=−15即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x 1+x 2=35、x 1⋅x 2=−15是解题的关键． 18.答案：12解析：解：{20−x >5①2(x +1)+2≤10x 3② ∵解不等式①得：x <15，解不等式②得：x ≥3，∴不等式组的解集为3≤x <15，不等式组的整数解为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，共12个，故答案为：12．先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，即可得出答案．本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键． 19.答案：解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别为x 、y 元．{x +y =53(x +1)+2(2y −1)=19，解得：{x =2y =3答：甲、乙两种商品的进货单价分别为2元、3元；(2)由(1)得：甲商品零售价为x +1=3(元)，乙商品零售价为2y −1=35(元)设甲种商品购买m 件．3m +5(100−m)≤400，解得：m ≥50，答；甲种商品至少购买50件．解析：(1)根据题意，列出方程组求解，即可解决问题．(2)根据题意列出关于m 的不等式，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解题关键是根据题中所给的信息找出其中的等量关系进行求解，难度一般．20.答案：解：(1)原式=−3√2+2√2+8=8−√2；(2)原式=2√2−√22=3√22．解析：(1)先化简二次根式再利用负整数指数幂进行计算即可；(2)根据二次根式的化简、零指数幂进行计算即可．本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂运算，掌握运算法则是解题的关键．21.答案：解：先化简，原式=3x(x+1)−x(x−1)(x+1)(x−1)×x2−12x=2x2−2xx2−1×x2−12x=2x+1将x=−3代入原式得，2×(−3)+1=−5解析：先将3xx−1−xx+1进行通分后再计算即可此题主要考查分式的化简求值，分式通分中常利用平方差公式进行计算．22.答案：(1)40(2)C项目的人数为40−12−14−4=10(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有1000×440=100(人)．解析：解：(1)这次学校抽查的学生人数是12÷30%=40(人)，故答案为：40人；(2)见答案(3)见答案【分析】(1)利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；(2)计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；(3)用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23.答案：解：连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG=12AB，同理HF=12AB，FG=12CD，EH=12CD，又∵AB=CD，∴EG=GF=FH=EH，∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．解析：连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理即可证得EG=GF=FH=EH，则四边形EFGH是菱形，利用菱形的性质即可证得．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定与性质，正确证明四边形EFGH是菱形是关键．24.答案：解：(1)EF与⊙O相切，理由如下：连接AD，OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴CD=BD=12BC．∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∴EF与⊙O相切．(2)解：由(1)知∠ADC=90°，AC=AB=10，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=√AC2−CD2=√102−62=8．∵S ACD=12AD⋅CD=12AC⋅DE，∴12×8×6=12×10×DE．∴DE=245．(3)证明：由(1)得：CD=12BC，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵EF⊥AC，∴∠DEC=90°=∠ADC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CDAC =CECD，∴CD2=CE⋅AB，∵AB=AC，∴14BC2=CE⋅AB，∴BC2=4CE⋅AB．解析：(1)连接AD，OD，证明OD是△ABC的中位线，得出OD//AC.由已知条件证得EF⊥OD，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AD，再由三角形面积计算即可；(3)由(1)得CD=12BC，AD⊥BC，证明△CDE∽△CAD，得出CDAC=CECD，则CD2=CE⋅AB，即可得出结论．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．25.答案：解：(1)(3,0)；(2)联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+(b−a)x−b=0，∴(ax+b)(x−1)=0，解得：x=−ba，x=1，∴A(1,a+b)，B(−ba,0)．点A、点B的位置如图所示；；(3)①如图，∵特征点C为直线y=−4x上一点，∴b=−4a．∵抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴x=−b2a=2．∴点D的坐标为(2,0)．∵点F的坐标为(1,0)，∴DF=1．∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为(0,b)．∵点C的坐标为(a,b)，∴CE//DF．∵DE//CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE=DF=1.∴a=−1．∴特征点C的坐标为(−1,4)；②由已知和已证得：C(a,b)，E(0,b)，F(1,0)，D(−b2a,0)，∵12<tan∠ODE<2，∴12<OEOD<2，∴12<|b−b2a|<2，解得：12<|2a|<2，∴−1<a<−14或14<a<1，∵DE//CF，CE//DF，∴CE =DF ，由题意可得：1+b 2a =a ，整理得：b =2a 2−2a即：b =2(a −12)2−12当b =2(a −12)2−12时，当−1<a <−14，可得58<b <4．当14<a <1时，可得−12≤b <0综上所述：58<b <4或−12≤b <0．解析：【分析】本题考查了新定义特征点、特征线及二次函数综合应用，题目整体难易适中，对学生最大的难点在于对新定义的理解．(1)根据点A 、B 求出直线解析式，得到a 、b 值，即可写出点C 坐标；(2)联立直线与抛物线解析式，即可求出点A(1,a +b)，B(−b a ,0)，根据图象描出两点即可；(3)求出点D 坐标，根据点F 、C 、E 坐标及平行四边形性质，即可求出特征点C 的坐标，根据已知和已证得：C(a,b)，E(0,b)，F(1,0)，D(−b 2a ,0)，由CEDF 平行四边形性质可以得出b 关于a 的函数关系式，利用已知12<tan∠ODE <2求出a 的取值范围，进而求出b 的取值范围．【解答】解：(1)∵A(0,0)，B(1,3)，代入：直线y =ax +b ，解得：a =3，b =0，∴C(3,0)．故答案为：(3,0)；(2)见答案；(3)①见答案；②见答案． 26.答案：解：(1)抛物线的表达式为：y =a(x −3)(x +1)=a(x 2−2x −3)，故−3a =3，解得：a =−1，故抛物线的表达式为：y =−x 2+2x +3；(2)将点A 、C(0,3)的坐标代入一次函数表达式得：直线AC 的表达式为：y =−x +3，设点P(m,−m2+2m+3)，则点E(m,−m+3)，①S1−S2=S△BAC−S△BAP=12×AB×(3+m2−2m−3)=2(m2−2m)，∴当m=1时，S1−S2最小，此时点P(1,4)；②将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′，则点E′、P′的坐标分别为：(−m+3,−m)、(−m2+2m+3,−m)，当线段P′E′与直线PE有交点时，即点F在E′P′之间，即−m+3≤m≤−m2+2m+3，解得：32≤m≤1+√132，故交点F的路径长为：1+√132−32=√13−22．解析：(1)抛物线的表达式为：y=a(x−3)(x+1)=a(x2−2x−3)，即可求解；(2)①S1−S2=S△BAC−S△BAP=12×AB×(3+m2−2m−3)=2(m2−2m)，即可求解；②将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′，则点E′、P′的坐标分别为：(−m+3,−m)、(−m2+2m+ 3,−m)，当线段P′E′与直线PE有交点时，即点F在E′P′之间，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形旋转、图形的面积计算等，其中(2)②，关键是求出旋转后对应点的坐标，进而求解．。

湖南师大附中博才实验学校梅溪湖校区2019-2020年人教版九年级(上)第二次月考数学试卷解析版

2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷一．选择题（共12小题）1．在实数π，0，﹣3，中，最小的实数是（）A．πB．0 C．﹣3 D．2．暑期爆款国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获4930000000，开启了国漫市场崛起新篇章，4930000000用科学记数法可表示为（）A．49.3×108B．4.93×109C．4.93×108D．493×1073．下列字母可以看作是中心对称图形的是（）A．M B．H C．C D．U4．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，把△ABC绕点C旋转一定角度后得到△DEC，点A、C、E在同一直线上，则这个旋转角度为（）A．60°B．90°C．120°D．150°6．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，且弧CA＝弧AE，若∠CDE＝70°，则∠BOC＝（）A．110°B．80°C．140°D．70°7．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．下列事件是必然事件的是（）A．通常加热到100℃，水沸腾B．购买一张彩票，中奖C．任意画一个四边形，内角和为180°D．发射一枚导弹，未击中目标9．《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主日：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿饲料5斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？设羊的主人赔x斗，根据题意，可列方程为（）A．4x+2x+x＝5 B．C．D．x+2x+3x＝5 10．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 11．如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（）A．12 B．10 C．8 D．612．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一点，a取值范围是（）A．﹣≤a≤﹣B．﹣≤a≤﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣≤a≤﹣二．填空题（共6小题）13．因式分解：2x2﹣4x═．14．有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3，从每组牌中各摸出一张，求出这两张牌牌面数字的和称为一次试验，小明做了200次试验后发现和为2的情况出现了21次，请据此估计牌面数字和是2的概率约是（精确到0.1）15．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为度．16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是．17．若扇形的面积为π，圆心角为60°，则该扇形的半径为．18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是直径AD上的一个动点，若⊙O的半径为2cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为cm．三．解答题（共8小题）19．计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+（）0﹣2﹣1．20．先化简，后求值：，其中a＝﹣．21．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想要了解本小区居民对“广场舞”的看法，于是进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四类：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）①本次被抽查的居民人数是人；将条形统计图补充完整．②图1中∠α的度数是度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A类和B类）的大约有人．（2）小王想从甲，乙，丙，丁四位居民中随机选取两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好同时选中甲和乙两位居民的概率．22．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（20≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．提示：每天的销售利润＝每天的销售量×（销售单价﹣单个成本价）（1）当销售单价定为每个35元时，求每天的销售利润；（2）求w与x之间的函数解析式，并求出每天的销售利润最大值．23．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝45°，以点D为圆心，菱形的高DH为半径画弧，交AD于点E，交CD于点F．（1）求证：BC是弧EF所在⊙D的切线；（2）求弧EF的长．24．已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象是C1．（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1关于点R（1，0）作中心对称得到图象C2，①设图象C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当AB＝18时，求a的值；②当2≤x≤5时，图象C2所对应函数的最大值为a2﹣4，求C2所对应函数的解析式．25．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，问：存在多少组a、b的值使得t为整数？请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a为常数，且a≠0）与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点D，以AB为直径的⊙M恰好经过点D，且与y轴负半轴交于点C，P是劣弧BC上一动点．（1）求⊙M的半径及a的值；（2）如图1，Q为弧PC的中点，弦AP、DQ交于点G，连接AD，求证：AD＝AG；（3）如图2，连接PA、PB、PC、PD，求代数式的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在实数π，0，﹣3，中，最小的实数是（）A．πB．0 C．﹣3 D．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵π＞0＞＞﹣3，∴在实数π，0，﹣3，中，最小的实数是﹣3．故选：C．2．暑期爆款国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获4930000000，开启了国漫市场崛起新篇章，4930000000用科学记数法可表示为（）A．49.3×108B．4.93×109C．4.93×108D．493×107【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：4930000000＝4.93×109．故选：B．3．下列字母可以看作是中心对称图形的是（）A．M B．H C．C D．U【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项不合题意；B、是中心对称图形．故本选项符合题意；C、不是中心对称图形．故本选项不合题意；D、不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：B．4．如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】连结OA，OD⊥AB，根据垂径定理得到AD＝BD，且OD＝3cm，在Rt△AOD中根据勾股定理计算出AD，然后利用AB＝2AD求解．【解答】解：连结OA，OD⊥AB，如图，∴AD＝BD，OD＝3cm，在Rt△AOD中，OA＝5cm，OD＝3cm，∴AD＝＝4cm，∴AB＝2AD＝8cm．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，把△ABC绕点C旋转一定角度后得到△DEC，点A、C、E在同一直线上，则这个旋转角度为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】先根据三角形内角和计算出∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得∠BCE等于旋转角，然后利用平角的定义计算∠BCE即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点C旋转一定角度后得到△DEC，点A、C、E在同一直线上，∴∠BCE等于旋转角，而∠BCE＝180°﹣∠ACB＝120°，∴旋转角度为120°．故选：C．6．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，且弧CA＝弧AE，若∠CDE＝70°，则∠BOC＝（）A．110°B．80°C．140°D．70°【分析】连接OE，根据弧、圆心角的关系求出AOE的度数，由等腰三角形的性质求出∠DOE的度数，进而可得出∠BOC的度数．【解答】解：连接OE，如图所示：∵∠CDE＝70°，∴∠COE＝2∠CDE＝140°，∵弧CA＝弧AE，∴∠AOC＝∠AOE＝70°，∴∠AOC＝∠CDE，∠DOE＝40°，∴∠BOC＝∠AOD＝∠AOE+∠DOE＝110°；故选：A．7．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算．【解答】解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2）．故选：B．8．下列事件是必然事件的是（）A．通常加热到100℃，水沸腾B．购买一张彩票，中奖C．任意画一个四边形，内角和为180°D．发射一枚导弹，未击中目标【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：A、通常加热到100℃水沸腾，属于必然事件，符合题意；B、购买一张彩票中奖，是随机事件，不合题意；C、任意画一个四边形内角和为180°，属于不可能事件，不合题意；D、发射一枚导弹，未击中目标，属于随机事件，不合题意；故选：A．9．《九章算术》中记载：“今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主日：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？”其大意是：牛、马、羊吃了别人的青苗，要赔偿饲料5斗．羊吃的是马的一半，马吃的是牛的一半，问牛、马、羊的主人各应赔多少？设羊的主人赔x斗，根据题意，可列方程为（）A．4x+2x+x＝5 B．C．D．x+2x+3x＝5 【分析】设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，据此求得总和是5斗．【解答】解：设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，依题意得：4x+2x+x＝5．故选：A．10．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x＝．又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．故选：B．11．如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线分别交AB、AC于D、E两点，若△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，则BC的长为（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，由切线长的性质得出DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，由△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，得出12BC＝12，即可得出答案．【解答】解：如图，设⊙I与DE的切点为点M，⊙I与△ABC三边的切点分别为N、G、H，∵⊙I为△ABC的内切圆，∴DM＝DN，EM＝EH，BN＝BG，CH＝CG，∵△ABC的周长与△ADE的周长的差等于12，∴AB+AC+BC﹣（AD+DE+AE）＝12，即AD+DN+BN+AE+EH+CH+BC﹣（AD+DM+EM+AE）＝12，∴2BC＝12，∴BC＝6；故选：D．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一点，a取值范围是（）A．﹣≤a≤﹣B．﹣≤a≤﹣C．﹣≤a≤﹣D．﹣≤a≤﹣【分析】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．【解答】解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，∴，解得﹣≤a≤﹣；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，∴，解得﹣≤a≤﹣；∵顶点可以在矩形内部，∴﹣≤a≤﹣，故选：A．二．填空题（共6小题）13．因式分解：2x2﹣4x═2x（x﹣2）．【分析】直接提取公因式2x，进而分解因式即可．【解答】解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣2）．14．有两组相同的纸牌，它们的牌面数分别是1，2，3，从每组牌中各摸出一张，求出这两张牌牌面数字的和称为一次试验，小明做了200次试验后发现和为2的情况出现了21次，请据此估计牌面数字和是2的概率约是0.1 （精确到0.1）【分析】根据题意结合概率的计算方法进行解答即可．【解答】解：根据题意得：≈0.1，答：估计牌面数字和是2的概率约是0.1；故答案为：0.1．15．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为35 度．【分析】本题可先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可．【解答】解：∵等腰三角形的一个外角为70°，∴与它相邻的三角形的内角为110°；①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和＝220°＞180°，不合题意，舍去；②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角＝（180°﹣110°）÷2＝35°．因此等腰三角形的底角为35°．故答案为：35．16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是m＞1 ．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到△＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0，解得：m＞1．故答案为：m＞1．17．若扇形的面积为π，圆心角为60°，则该扇形的半径为．【分析】利用扇形的面积公式构建方程即可解决问题．【解答】解：设扇形的半径为r，由题意：π＝，∴r＝（负根已经舍弃），故答案为．18．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是直径AD上的一个动点，若⊙O的半径为2cm，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为6cm．【分析】此题可采用取特殊点的方法进行计算，即当O为圆心时进行计算．【解答】解：如图所示，取正六边形的中心P．过P作PH⊥BC于H，根据正六边形的性质可知，∠BPC＝60°，即∠BPH＝∠BPC＝×60°＝30°，BH＝BC＝×2＝1cm；∴PH＝＝＝，∴正六边形各边的距离之和＝6PH＝6×＝6（cm）．故答案为：6．三．解答题（共8小题）19．计算：|﹣4|﹣（﹣2）2+（）0﹣2﹣1．【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|﹣4|﹣（﹣2）2+（）0﹣2﹣1＝4﹣4+1﹣0.5＝0.520．先化简，后求值：，其中a＝﹣．【分析】首先计算括号里面分式的减法，然后再计算除法，化简后再代入a的值可得答案．【解答】解：原式＝[﹣]，＝•，＝•，＝2（a+2），＝2a+4，当a＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．21．居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想要了解本小区居民对“广场舞”的看法，于是进行了一次抽样调查，把居民对“广场舞”的看法分为四类：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）①本次被抽查的居民人数是40 人；将条形统计图补充完整．②图1中∠α的度数是54 度；该小区有3000名居民，请估计对“广场舞”表示赞同（包括A类和B类）的大约有1350 人．（2）小王想从甲，乙，丙，丁四位居民中随机选取两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好同时选中甲和乙两位居民的概率．【分析】（1）①由B看法的人数及其所占百分比可得总人数，根据四种看法的人数之和等于总人数求出C的人数，从而补全条形图；②用360°乘以A看法人数所占比例即可得，用总人数乘以样本中A和B看法人数和占被调查人数的比例即可得；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和A与B同时被选中的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）①本次被抽查的居民人数是12÷30%＝40（人），则C看法的人数为40﹣（6+12+8）＝14（人），补全图形如下：②图1中∠α的度数是360°×＝54°；若该小区有3000名居民，所以克估计对“广场舞”表示赞同（包括A类和B类）的大约有3000×＝1350（人），故答案为：①40；②54，1350；（2）由题意可得，由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好同时选中甲和乙两位居民的有2种结果，所以恰好同时选中甲和乙两位居民的概率为＝．22．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（20≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．提示：每天的销售利润＝每天的销售量×（销售单价﹣单个成本价）（1）当销售单价定为每个35元时，求每天的销售利润；（2）求w与x之间的函数解析式，并求出每天的销售利润最大值．【分析】（1）每天的销售利润W＝每天的销售量×每件产品的利润，代入x＝35求得销售利润即可；（2）根据配方法，可得答案．【解答】解：（1）w＝（x﹣20）•y＝（﹣x+60）（x﹣20）当x＝35时，w＝95×15＝1425；（2）根据题意得：w＝﹣x2+20x+60x﹣1200＝﹣x2+80x﹣1200＝﹣（x﹣40）2+400，∵﹣1＜0，当x＝40时，w有最大值，最大值是400．23．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝45°，以点D为圆心，菱形的高DH为半径画弧，交AD于点E，交CD于点F．（1）求证：BC是弧EF所在⊙D的切线；（2）求弧EF的长．【分析】（1）连接BD，过D作DG⊥BC于G，根据菱形的性质得到∠DBH＝∠DBG，根据全等三角形的性质得到DG＝DH，于是得到结论；（2）根据已知条件得到△ADH是等腰直角三角形，求得∠ADH＝45°，DH＝AD＝2，根据弧长的计算公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接BD，过D作DG⊥BC于G，∵DH⊥AB，∴∠DHB＝∠DGB＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DBH＝∠DBG，∵DB＝DB，∴△DBH≌△DBG（AAS），∴DG＝DH，∴BC是弧EF所在⊙D的切线；（2）解：∵∠DAB＝45°，DH⊥AB，∴△ADH是等腰直角三角形，∴∠ADH＝45°，DH＝AD＝2，∵CD∥AB，∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°，∴弧EF的长为＝．24．已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象是C1．（1）求C1的顶点坐标；（2）将C1关于点R（1，0）作中心对称得到图象C2，①设图象C1、C2与y轴的交点分别为A、B，当AB＝18时，求a的值；②当2≤x≤5时，图象C2所对应函数的最大值为a2﹣4，求C2所对应函数的解析式．【分析】（1）因为C1和C2关于点R（1，0）中心对称，所以它们的顶点也中心对称．先求出y＝ax2+4ax+4a﹣1的顶点坐标；（2）根据中心对称的定义求出C2的顶点坐标，便可进一步求出C2的函数解析式；①把x＝0代入解析式即可得到A、B点的纵坐标，将纵坐标相减，其差的绝对值即为18，可列出等式求出a的值；②根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：（1）由y＝ax2+4ax+4a﹣1＝a（x+2）2﹣1，可知抛物线C1的顶点为（﹣2，﹣1）．（2）由顶点（﹣2，﹣1）关于点R（1，0）中心对称的点为（4，1），以N（4，1）为顶点，与抛物线C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2也是抛物线，且C1与C2的开口大小相同且方向相反，故抛物线C2的函数解析式为y＝﹣a（x﹣4）2+1，即y＝﹣ax2+8ax﹣16a+1．①令x＝0，得抛物线C1、C2与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a﹣1和﹣16a+1．∴AB＝|（4a﹣1）﹣（﹣16a+1）|＝|20a﹣2|．∴|20a﹣2|＝18．当a≥时，有20a﹣2＝18，得a＝1；当a＜时，有2﹣20a＝18，得a＝﹣．②∵抛物线C2的顶点为（4，1），∵2＜4＜5，∴当﹣a＜0时，a2﹣4＝1，解得a＝；当﹣a＞0时，则当x＝2，图象C2所对应函数有最大值a2﹣4，∴把x＝2代入y＝﹣a（x﹣4）2+1得，﹣a（2﹣4）2+1＝a2﹣4，解得a1＝﹣5，a2＝1，∴a＝﹣5，综上，当2≤x≤5时，图象C2所对应函数的最大值为a2﹣4，求C2所对应函数的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+1或y＝5（x﹣4）2+1．25．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝8a﹣b2，问：存在多少组a、b的值使得t为整数？请说明理由．【分析】本题是一元二次方程的解法与新定义“邻根方程”的综合题，运用一元二次方程的解法，结合新定义便可解答．（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况；（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由t＝8a﹣b2，得t与a的关系，最后根据t为整数，思考a的值，从而得出最后结果．【解答】解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，x＝3或x＝﹣2，∵2≠﹣3+1，∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；②x＝，∵，∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，∴x＝m或x＝﹣1，∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，∴m＝0或﹣2；（3）解方程得，x＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，∴，∴b2＝a2+4a，∵t＝8a﹣b2，∴t＝4a﹣a2，∵a＞0，∴a为任意整数时，t都为整数，∴存在无数组a、b的值使得t为整数．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a为常数，且a≠0）与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点D，以AB为直径的⊙M恰好经过点D，且与y轴负半轴交于点C，P是劣弧BC上一动点．（1）求⊙M的半径及a的值；（2）如图1，Q为弧PC的中点，弦AP、DQ交于点G，连接AD，求证：AD＝AG；（3）如图2，连接PA、PB、PC、PD，求代数式的值．【分析】（1）由已知可知：A（﹣1，0），B（3，0），⊙M的半径为2，在Rt△DMO中求出DO＝，可得D（0，），将点D代入y＝a（x+1）（x﹣3），即可求a＝﹣；（2）连接AQ、AC、DP，由Q为弧PC的中点，得到∠CDQ＝∠PDQ，∠DCA+∠CDQ＝∠Q+∠QAP，所以∠AGD＝∠ADG，即AD＝AG；（3）设P（m，n），过点P作x轴垂线与x轴交于点T，过点P作y轴垂线交于点H，在Rt△DHP中，PD2＝PH2+DH2，在Rt△PHC中，PC2＝PH2+CH2，可求PD2﹣PC2＝DH2﹣CH2＝﹣4n，在Rt△ABP中，AB•PT＝PA•PB，4（﹣n）＝PA•PB，即可求＝＝．【解答】解：（1）由已知可知：A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴⊙M的半径为2，∵OM＝1，DM＝2，∴DO＝，∴D（0，），将点D代入y＝a（x+1）（x﹣3），∴a＝﹣；（2）连接AQ、AC、DP，∵Q为弧PC的中点，∴∠CDQ＝∠PDQ，∵∠CDA＝∠Q，∴∠DCA+∠CDQ＝∠Q+∠QAP，∴∠AGD＝∠ADG，∴AD＝AG；（3）设P（m，n），过点P作x轴垂线与x轴交于点T，过点P作y轴垂线交于点H，在Rt△DHP中，PD2＝PH2+DH2，在Rt△PHC中，PC2＝PH2+CH2，∴PD2﹣PC2＝DH2﹣CH2＝（DH+CH）（DH﹣CH）＝CD•（﹣n﹣n﹣）＝2•（﹣2n）＝﹣4n，在Rt△ABP中，AB•PT＝PA•PB，∴4（﹣n）＝PA•PB，∴＝＝．。

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湖南师大附中博才实验中学2019-2020学年九年级（上）开学数
学试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列计算结果正确的是（）
A．2+＝2B．＝2
C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．（a+1）2＝a2+1
2．（3分）平行四边形不具有而矩形只有的性质是（）
A．.对边相等B．对边平行C．.对角相等D．对角线相等3．（3分）甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）在函数中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
5．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的（）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
6．（3分）已知﹣4是关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根，则a的值是（）A．12B．﹣20C．20D．﹣12
7．（3分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）
A．7600（1+x%）2＝8200B．7600（1﹣x%）2＝8200
C．7600（1+x）2＝8200D．7600（1﹣x）2＝8200
8．（3分）下列函数中，当x＞0时，y随x增大而减小的是（）
A．y＝x2B．y＝x﹣1C．y＝D．y＝﹣x2
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0 10．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8．则D′F的长为（）
A．2B．4C．3D．2
11．（3分）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．
C．D．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：
①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S
△EDH ，其中结论正确的有（）
＝13S
△DHC
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是．
14．（3分）某校规定学生的学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分、90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是分．
15．（3分）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为．
16．（3分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于．
17．（3分）如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是．
18．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝．
三、解答题（共66分）
19．（6分）计算：
20．（6分）解方程：x（x﹣1）＝3x+12．
21．（8分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值为；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0
（1）求证：无论k为何值，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根之和x1+x2＝7，求方程的两根x1，x2．
23．（9分）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）
与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．24．（9分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式；
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N （点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
26．（10分）我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D ＝85°，则∠C＝．
（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD ＝3．求对角线AC的长．
（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c （a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．。