画法几何2相对位置

C
c H m
M
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接 判别直线的可见性--观察法
13
例6 铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可 见性。 a’ d’ c’ b’
k’
e’ e
f’ O f d
X
k a(b) c
14
（2） 两平面相交
V
M B K F m N C c PH f n b k a L
h f
n
2 k
5、连接KH，KH即 为所求。
m 1
27
2-3 垂直问题
2.3.1 直线与平面垂直
2.3.2 平面与平面垂直
28
2.3.1 直线与平面垂直
V
A C E B D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
29
n
V
A C E a
k d
e
c
b
X
B
a k d e
54
作图过程
h
3
1 a
d
k
g
c X
e 4
2
f
b
l l O
a
b d
2 f
g
3 e 4 h 1 k
c
55
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
2. 相交问题
（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积 聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 （2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面 、面相交求交线的作图方法。 （ 3 ）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
3
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f a
b
e
X
f e
O
d
a g b
c
结论：直线AB不平行于定平面
4
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。 c f e b k a
d X e k d b f
5
a
O
c
2.1.2
平面与平面平行
P S B A C
b
e d
a
c f
n
34
例11 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °，与H 面的夹角为45 °。
n X n O
35
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹
角互为补角
A
C
D

E
B
36
作图过程
m k mn |yM-yN|
|zM-zN| X mn n n
h O
30° 45° NM
例12 平面由 BDF给定，试过定点 h K作已知平面的垂面 f c g k b O g b h
40
a
X d f
k c
a
d
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 h 垂直。 c
g
k f b a d
X
g
c
O
f k 结论：两平面不平行。 b
d
16
k
a
l
平面可见性的判别
V M B K F m L X n c m k
b l a O k b f a l
f
N C c
f
m
k
a
l
n
Hc
n
17
2.2.2
A E
辅助平面法
K
1
2
D
C
B
过AB作平面P垂直于H投影面
18
a
d
2
k 作题步骤： 1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 ⅠⅡ。 e O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 点K。 e
m
P
b f n k l a
c
X
m k b
O a l
f
l
H
c
n 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
15
平面可见性的判别
V
M B K c X m k
b l a a l
f
n
F
m C c N f n
L
O
m
k b f c H n
11
2.2.1 积聚性法
V
N
B P
A PH a M K C
b k
c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交 点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影 可在直线的另一个投影上找到。
12
直线可见性的判别
V
b N
a P k
n
B A PH a K
m
c
a
b k
n k b
在平面之前
X
k f
a
e e O f
k
25
b
c
分析 K F H
C
A
E
B 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于 H；连接KH，KH即为所求。
26
作图步骤
c PV m a b a b c f1 2 n
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
e e
2、过直线EF作正垂 平面P。 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。 4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
X
c c
r
O
r n d a f k s
8
e
b
m
例5
试判断两平面是否平行 s e f d b r c
O
a
X
e s
SH
d
a c b
9
f
结论：两平面平行
r P H
2-2 相交问题
2.2.1 积聚பைடு நூலகம்法
2.2.2 辅助平面法
10
交点与交线的性质
D P K A B
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平 面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直 线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的 共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共 有线的投影。
d
c X c
b
1 g a h g a h d f 2 f
PV
k k
2
O
1
e
b
46
例15 试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f
e X e
a O a
f
47
分析 A
E
K
F
过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。
48
作图过程
2
f
k
2
f
e
直径任取
k
|yM-yN| mn |zM-zN|
m
h
37
2.3.2
两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
38
A A
Ⅰ Ⅱ
B
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
39
a
d
1
k 2
c X 所求距离 c
b
e O
b
1 k 2
d
a
e
52
2.4.2 空间几何元素度量问题
例17 求交叉直线AB和CD的公垂线。 d
b c X a b a O
d
c
53
分析
D G
H F B A L
K E
P
C
过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平 面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与 直线CD交于点K；过点K作直线KL ∥AH交AB于L点，KL即为所求 的公垂线。
3. 垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
4. 综合问题分析及解法
（1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法； （2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解 题步骤和方法。
56
b
f l k c
O
2
a d
1
e
23
两平面相交，判别可见性
3
c k
b 1 (
n ) l 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
2
4
X m m
e
a b 2 e a O
3 4
c
( ) k
l
1
n
24
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
c a b
1
a
PV
1
e
a
e
e
2
a
2
k
a
f
f
1
1
49
例16 求点C到直线AB的距离。 a
c X c
b O
b
a
50
分析
A
K C
P
B 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直 的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与 AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
51
作图过程
43
2.4.1 空间几何元素定位问题