2019-2020学年北京市东城区文汇中学八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年八年级第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣5B．3，﹣4，5C．3，4，5D．3，4，﹣52．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≤3B．x≠3C．x≠﹣3D．x≥33．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．4．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC＝3，AC＝4，则线段CD的长是（）A．2B．3C．D．55．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．56．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形7．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（）A．k＞l B．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣18．▱ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，△DOE的面积为l0cm2，则△ABD的面积为（）A．15cm2B．20cm2C．30cm2D．40cm29．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3B．4C．5D．610．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm二、填空题（本题24分，每小题3分）11．一元二次方程x2＝2x的根是．12．若有意义，则x的取值范围是．13．如图，▱ABCD中，AC＝AD，BE⊥AC于E，若∠D＝70°，则∠ABE＝．14．在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，E为BC中点，则∠AED＝．15．已知y＝++5，则＝．16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．18．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是．三、解答题（本题共46分，第19-20题，每小题8分，第21题4分，第22-24题.每题6分，第25题8分）19．计算：（1）π0+2﹣1﹣﹣|﹣|；（2）（3﹣2）2﹣（3+2）2．20．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．21．作图题：在数轴上表示出﹣的点．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．23．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？24．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．25．阅读下列材料：问题：如图1，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，∠EAB＝60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．求证：EG＝AG+BG．小明同学的思路是：作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB＝60°”改为“∠EAB＝90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，﹣4，﹣5B．3，﹣4，5C．3，4，5D．3，4，﹣5【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：一元二次方程3x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣4，﹣5．故选：A．【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≤3B．x≠3C．x≠﹣3D．x≥3【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可解答．解：根据题意得：x﹣3≥0，解得x≥3，故选：D．【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足被开方数非负．3．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（）A．﹣4B．4C．2D．【分析】根据题意把x＝2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．解：∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的一个根，∴把x＝2代入得：22+2a﹣3a＝0，解得：a＝4．故选：B．【点评】本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．4．在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC＝3，AC＝4，则线段CD的长是（）A．2B．3C．D．5【分析】根据勾股定理列式求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．解：∵AC＝4cm，BC＝3，∴AB＝＝5，∵D为斜边AB的中点，∴CD＝AB＝×5＝．故选：C．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．5【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．6．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】根据矩形和平行四边形的判定判断即可．解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．7．如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0有实根．那么以下结论正确的是（）A．k＞l B．k＝﹣1C．k≥﹣1D．k＜﹣1【分析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．解：由题意知△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）≥0，解得：k≥﹣1，故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．8．▱ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E是CD的中点，△DOE的面积为l0cm2，则△ABD的面积为（）A．15cm2B．20cm2C．30cm2D．40cm2【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△COD＝20cm2，根据平行四边形的性质可得O为AC和BD中点，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△AOD＝S△COD ＝S△AOB＝20cm2，进而可得答案．解：∵点E是CD的中点，∴S△DOE＝S△COD，∵△DOE的面积为l0cm2，∴S△COD＝20cm2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△AOD＝S△COD＝S△AOB＝20cm2，∴△ABD的面积为40cm2，故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中线的性质，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．三角形的中线平分三角形的面积．9．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，点E是AB边的中点，图中已有三角形与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】首先利用平行四边形的性质证明△ADB≌△CBD，从而得到△CDB，与△ADB 面积相等，再根据DO＝BO，AO＝CO，利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△DOC、△COB、△AOB、△ADO面积相等，都是△ABD的一半，根据E 是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC＝AB，在△ADB和△CBD中：，∴△ADB≌△CBD（SSS），∴S△ADB＝S△CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO＝BO，CO＝AO，即：O是DB、AC中点，∴S△DOC＝S△COB＝S△DOA＝S△AOB＝S△ADB，∵E是AB边的中点，∴S△ADE＝S△DEB＝S△ABD，∴S△DOC＝S△COB＝S△DOA＝S△AOB＝S△ADE＝S△DEB＝S△ADB，∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形的中线平分三角形面积，解决问题的关键是熟练把握三角形的中线平分三角形面积这一性质．10．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．故选：A．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．二、填空题（本题24分，每小题3分）11．一元二次方程x2＝2x的根是x1＝0，x2＝2．【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．解：移项，得x2﹣2x＝0，提公因式得，x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．12．若有意义，则x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．解：要是有意义，则2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．如图，▱ABCD中，AC＝AD，BE⊥AC于E，若∠D＝70°，则∠ABE＝20°．【分析】首先利用等边对等角可得∠ACD的度数，再利用平行四边形的性质可得∠BAC 的度数，然后根据直角三角形的性质可得∠ABE的度数．解：∵AC＝AD，∴∠D＝∠ACD＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＝∠ACD＝70°，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝20°，故答案为：20°．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．14．在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，E为BC中点，则∠AED＝90°．【分析】根据平行四边形的性质和已知推出AB＝BE＝AF＝DF，AF＝BE，AF∥BE，得到平行四边形AFEB，推出AF＝BE＝DF，根据直角三角形的判定求出即可．解：取AD的中点F，连接EF，∵平行四边形ABCD，BC＝2AB，E为BC的中点，∴AD∥BC，AD＝BC＝2AB＝2BE＝2AF＝2DF，∴AB＝BE＝AF＝DF，∴AF＝BE，AF∥BE，∴四边形AFEB是平行四边形，∴EF＝AB＝AF＝DF，∴∠AED＝90°．故答案为：90°．【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出AF＝DF＝EF是解此题的关键．15．已知y＝++5，则＝．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．解：∵与有意义，∴，解得x＝2，∴y＝5，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．16．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根0，则a值为﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a﹣1≠0，a2﹣1＝0，求出a的值即可解：把x＝0代入方程得：a2﹣1＝0，解得：a＝±1，∵（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a﹣1≠0且a2﹣1＝0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．【分析】根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'DG，则A'D＝AD ＝3，A'G＝AG，则A'B＝5﹣3＝2，在Rt△A'BG中根据勾股定理求AG的即可．解：在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，∴BD＝＝＝5，由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，∴A'D＝AD＝3，A'G＝AG，∴A'B＝BD﹣A'D＝5﹣3＝2，设AG＝x，则A'G＝AG＝x，BG＝4﹣x，在Rt△A'BG中，x2+22＝（4﹣x）2解得x＝，即AG＝．【点评】此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．18．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是．【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，求出BE、BF、EF，根据全等得出CH＝BF＝1，根据三角形的面积公式求△DEF的面积即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB∥CD，AB＝CD＝3，∵E为BC中点，∴BE＝CE＝2，∵∠B＝60°，EF⊥AB，∴∠FEB＝30°，∴BF＝1，由勾股定理得：EF＝，∵AB∥CD，∴∠HCE＝∠B，在△BFE和△CHE中∴△BFE≌△CHE（ASA），∴EF＝EH＝，BF＝CH＝1，即HD＝1+3＝4，∴S△DEF＝EF×DH＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．三、解答题（本题共46分，第19-20题，每小题8分，第21题4分，第22-24题.每题6分，第25题8分）19．计算：（1）π0+2﹣1﹣﹣|﹣|；（2）（3﹣2）2﹣（3+2）2．【分析】（1）利用零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算；（2）先利用平方差公式计算，然后根据二次根式的乘法法则运算．解：（1）原式＝1+﹣﹣＝；（2）原式＝（3﹣2+3+2）（3﹣2﹣3﹣2）＝6×（﹣4）＝﹣24．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．【分析】（1）利用配方法求解比较简单；（2）利用因式分解法求解比较简单．解：（1）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝3，∴（x+2）2＝3，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；（2）∵2（x﹣3）2＝x2﹣9．∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，∴x1＝3，x2＝9．【点评】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21．作图题：在数轴上表示出﹣的点．【分析】因为10＝1+9，所以只需作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可．解：过表示﹣3的点B作数轴的垂线AB，取AB＝1，连接OA，以O为圆心，OA为半径画弧，与数轴的负半轴交于点C，则C点表示的数为﹣．【点评】本题考查的是实数与数轴，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．【分析】（1）先把方程化为一般式：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；（2）先利用因式分解法求出两根：x1＝2，x2＝2k﹣1．先分类讨论：若a＝4为底边；若a＝4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．【解答】（1）证明：方程化为一般形式为：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，∵△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）＝（2k﹣3）2，而（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0，整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]＝0，∴x1＝2，x2＝2k﹣1，当a＝4为等腰△ABC的底边，则有b＝c，因为b、c恰是这个方程的两根，则2＝2k﹣1，解得k＝，则三角形的三边长分别为：2，2，4，∵2+2＝4，这不满足三角形三边的关系，舍去；当a＝4为等腰△ABC的腰，因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k﹣1＝4，则三角形三边长分别为：2，4，4，此时三角形的周长为2+4+4＝10．所以△ABC的周长为10．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质和三角形三边的关系．23．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次，列出方程求解即可；（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有20（1+x）2＝28.8，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增长率为20%；（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，解得y1＝20，y2＝21，∵每碗售价不得超过20元，∴y＝20．答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝CD；（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD∥BC，求出∠FAD＝∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD＝∠FAB，求出∠AFB＝∠FAB，即可得出答案；（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝，解直角三角形求出EF＝2，BF＝4，AB＝BF＝4，BC＝AD＝2，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∴BF＝CD；（2）解：∵由（1）知：AB＝BF，又∵∠BFA＝60°，∴△ABF为等边三角形，∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，∵BE⊥AF，∴点E是AF的中点．∵在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝，∴EF＝2，BF＝4，∴AB＝BF＝4，∵四边形BACD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，∴CE＝EF，∴△ECF是等边三角形，∴CE＝EF＝CF＝2，∴BC＝4﹣2＝2，∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4＝12．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．25．阅读下列材料：问题：如图1，在▱ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，∠EAB＝60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．求证：EG＝AG+BG．小明同学的思路是：作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）完成上面问题中的证明；（2）如果将原问题中的“∠EAB＝60°”改为“∠EAB＝90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，则∠GAB＝∠HAE，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，由∠GAH＝∠EAB＝60°可知△AGH是等边三角形，故可得出结论；（2）作∠GAH＝∠EAB交GE的延长线于点H，先根据ASA定理得出△ABG≌△AEH，故可得出BG＝EH，AG＝AH，根据∠GAH＝∠EAB＝90°可知△AGH是等腰直角三角形，所以AG＝HG，由此可得出结论．解：（1）证明：如图1，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H，则∠GAB＝∠HAE．∵∠EAB＝∠EGB，∠GAB＝∠HAE，∴∠ABG＝∠AEH．又∵AB＝AE，∴（ASA），∴△ABG≌△AEH．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG＝HG．∴EG＝AG+BG；（2）线段EG、AG、BG之间的数量关系是EG＝AG﹣BG．理由如下：如图2，作∠GAH＝∠EAB交GE的延长线于点H，则∠GAB＝∠HAE．∵∠EGB＝∠EAB＝90°，∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．∴∠ABG＝∠AEH．又∵AB＝AE，∴（ASA），∴△ABG≌△AEH．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG＝HG，∴EG＝AG﹣BG．【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，难度适中．。