第二节 高斯定理
第4章-2-高斯定理
第四章 第七章
§4.2
静电场的高斯定理 基本内容： 基本内容：
一、电场线 二、电场强度通量 三、高斯定理
第二节 静电场的高斯定理 7-3 一. 规定 电场线
第四章 第七章
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 切线方向为该点电场方向 通过垂直于电场方向单位面积 垂直于电场方向单位面积电场线的条 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线的条 数为该点电场强度的大小. 数为该点电场强度的大小.
第四章 第七章
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
第二节 静电场的高斯定理 7-3
第四章 第七章
电场线的特点
始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远, 1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远) 不会在没有电荷处中断. 向无穷远)，不会在没有电荷处中断. 电场线不相交. 2） 电场线不相交. 静电场电场线不闭合. 3） 静电场电场线不闭合. 电场线不仅能够表示电场强度的方向， 4) 电场线不仅能够表示电场强度的方向，而且 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。 电场线在空间的密度分布还能表示电场强度的大小。
dS＇dS
+
任取两个球面， 任取两个球面，一 个包围曲面， 个包围曲面，另一 个在曲面内： 个在曲面内：则两 个球面的电通量都 q/ε 为q/ε0
通过任意形状的包围点电 的闭合面的电通量等于q/ q/ε 荷q的闭合面的电通量等于q/ε0
电通量-高斯定理PPT
引入电势.
e
E dS
1
s
0
qi
qi 0 e 0
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面,所以 正电荷是静电场的源头。
qi 0 e 0
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，所以 负电荷是静电场的尾。
15
课堂讨论
●q ●q
1．立方体边长
3. 静电场电力线的性质
（1）起自正电荷(或∞处)、终止于负电荷(或∞处)， 不形成闭合回线、也不中断 。
（2）任意两条电力线不相交。(E是唯一的)。
二、电通量
通过电场中任一给定截面的电场线的总数称为 通过该截面的电通量或E通量，用符号Φe表示
在匀强场中(平面)
在非匀强场中(曲面)
S
S
E
S/
E
E
S
位于中 心
q
a，求
e
q
6 0
过每一面的通量
位于一顶点
e
0 q
• q2
24 0
2．如图 讨论
• q 1 移动两电荷对场强及通量的影响
16
四、高斯定理的应用
高斯定理解题应注意: 适用对象：
有球、柱、平面对称的某些电荷分布
解题步骤：
(1) 首先分析场源的对称性 (2) 选取一个合适的高斯面 (3) 由高斯定理求 E
e ES
e E S
e ES cos
de
E dS
e
5
E
S
dS
电场中的任意闭合曲面S、非均匀电场强度E的通量
“穿出”面元法线正向
θ 90
“穿进”面元法线反向
θ 90
规定：法线的正方向为指向闭合曲面的外侧。
高二物理竞赛课件：高斯定理
• (2) 每一条磁力线是环绕电流的无头无尾 的闭合线；－》磁场环路定理。
• （3）电流与磁场方向满足右手螺旋定则。
磁通量：仿照电通量概念，定义曲面S的磁通量为
m B dS B dS
S
S
单位： 1Wb 韦伯 1T m2
B dm ds
用磁感应线描述磁场的分布，规定： 方向：曲线上切线，代表磁感强度的方向. 大小：曲线的密度, 与磁感强度的大小成正比.
实验和理论都证明：在任何磁场中，每一条磁感线都是环 绕电流的无头无尾的闭合线，而且每条闭合磁感线都与闭合 载流回路互相套合。
磁力线的特性： • （1）它是连续的， 在磁场中任一点磁力线
dm B dS
m d B dS
直导线磁感线分布：
B 0I 2a
B
o
x
圆电流磁感线分布：
B
o
x
[证明]：因为任意一磁场，都是由许多电流元产生 的磁场叠加而成，其磁通量也满足叠加原理，所 以只需证明电流元产生的磁场遵守高斯定理。
取电流元为坐标原点，Z轴沿电流元强度的方向，
dB
B
0 4
I
L
dl r r3
0 4
I
L
dR r r3
0 Ir0 4 r03
I
L
dR
0 4 r03
I
L
R dR
30 4 r05
I
L
(r0
R)(r0 dR)
＝ 0 4
m r03
0 4
3(m r0 )r0 r05
对于闭合电流，磁矩m或园面积S与坐标原点的选取无关。
磁感应线及磁通量
02高斯定理
【解】 电荷体密度
分析对称性
q
4
3
π
R23
R13
由电荷分布的中心对称性→
场强分布球对称且沿径向。
R2
R1
r
O
dq1 dE2
dq2 P
dE1
dE 所以选取通过场点的同心 球面为高斯面（应用高斯
（q）（dq2= dq1）
定理的闭合面）
12
◆球E对 d称S场对球E型d高S斯面 的E 电d通S量：E4 r 2
一. 高斯定律的证明:
1.通过点电荷q为球心的球面的电通量
等于q/0
nˆ E e E d S
S
r dS
rˆ
q
1
4π0
q r2
rˆ d Snˆ
1q
q
4 π0 r 2
dS
0
6
2.通过包围点电荷 q 的任意封闭曲面的
电 通量都等于q/0
这是因为点电荷q 的
高斯面上各处的 E ; 而 q内只是对高斯面内的
电荷求和。
8
明确几点： 1.高斯面为闭合面。
e E d S （S）
q内
0
高斯面为几何面， q内 和 q外 总能分清。
2. 式中的电场强度为高斯面上某点的场强，是由空间 所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。
3.电通量 Φ 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。
高斯定理高斯定理公式高斯定理求场强高斯定理的应用静电场的高斯定理大学物理高斯定理磁场的高斯定理静电场高斯定理高斯定理适用范围磁场高斯定理
电磁学
电场中的高斯定理
张三慧教材： 10.4、10.5、10.6
磁场中的高斯定理.
v B
线为闭合线，进入
曲面的磁力线数目等于
穿出曲面的磁力线数
S
目，即通过任意闭曲面 的磁通量恒等于零。
∫∫
Bv
⋅
v dS
=
0
S
上式称为磁场中的高斯定律。它反映了自然界中没有 单一磁极存在。磁场是无源场（涡旋场）。
例：如图，无限长导体通有电流 I，
dr
求通过矩形线圈的磁通量。
I
解：dΦ = BdS = µ0I l dr
v B
的量值：
B = ∆N ∆S⊥
∆N = B∆S⊥ = Φm (单位：T ⋅ m2－－Wb韦伯）
3、磁通量
通过一给定曲面的磁力线数称为通过该曲面的磁
通量。
dsv
v B
dΦ
=
BdS
cosθ
=
v B
⋅
v dS
Φ
=
∫
dΦ
=
∫∫
Bv
⋅
v dS
S
nv
三、磁场中的n高v 斯定律 规定曲面外法线方向为正。
v B
l
2πr
a
b
r
∫ ∫ Φ = dΦ = a+b µ0I l dr
a 2πr
= µ0I l ln a + b 2πr a
第二节 磁通量 磁场中的高斯定理
一、磁力线 磁通量
1、磁力线
曲线上各点切线方向为该点来自r B的方向，用磁力
线的疏密来表示磁场的强弱。
性质：(I) 磁力线不会相交。 (II) 磁力线为闭合线。
电力线和磁力线的不同反映了电场和磁场基本性质的 不同。 电场－－有源场
磁场－－涡旋场
2、磁在力与线B密v 垂度直的平面上取单位面积的磁力线数等于该点
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
§2.高斯定理(Gauss theorem)
q ee E d s ds 2 40r s s q q 2 4 r 2 40r 0 思考：q不在球心，
曲面不是球面，
曲面内有多个电荷，
q在球心。
dS
e ?
q
0
0 其中： qi 曲面内电荷的代数和。 E 为闭合曲面（高斯面）上的场强。
和
两均匀带电球壳如图，求电场分布。设场点距球心为r.
解：
(1)当r R1时，作高斯面如图。有：
1q. 1R
1 ( r球面）
E COSdS
E1 0
q
0
r
R2.q2
( r球面）
(2)同理，当R1 r R2时有：
q
E2 cos dS
0
E2 .4r
n
θ
若为非匀强场，任意曲面，
dS
则可用微元法求φ，见图：
d EdS cos
E cosdS
3.的正负：
对闭合曲面法线方向规定向外。
s
0 s theorem)
1.导出：特例，求点电荷q的φe。
如图，封闭面为球面，
n
在上.下底面上 0 0 而且E为常量 有：
(S )
2
即： 2 ES
E cosdS E cos dS 2ES
（.上，下底）
0
S
E 2 0
1 2 e E We e dV 2 （4） (v)
(3) 求 平行板电容器间的场强. 面电荷密度为
2
0
q1
即E2
40 r
q1
2
(3)当r R2时。
E
3
第二节 高斯定理
SE dS
1
0
q内
(不连续分布的源电荷)
Φe
SE dS
V
1 dV 0
(连续分布的源电荷)
E是所有电荷产生的; e 只与内部电荷有关。
结论பைடு நூலகம்
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
——高斯定理
说明
(1)高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和场源的 内在联系．它从一个侧面反映了静电场是有源场。
根据高斯定理得
E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
n r
l n
E
n
当电场分布不具备对称性，或虽有一定的对称性，但对称 性不够高时，这里难以用高斯定理求解电场分布，并不是说在 这种情况下高斯定理不正确，而是电场强度 E 不能作为常量从 积分号内分离出来，使得计算相当困难。这时应该用点电荷的 场强公式和场强叠加原理这一基本方法求解电场分布。
0 ES ES 2ES
E
根据高斯定理有
n
2ES 1 S
E
0
2 0
n
E
n
➢ 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：
E
E
E外 0
E内
０
E外 0
根据场强叠加原理由图可知：
E外 0
E内 E E
S
E
n
E
dS
E
n
ds
3. 闭合曲面电通量
dΦe E dS
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
第二讲 高斯定理课件
如图所示，在流速场中（在流体力学中，速度v
是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一
微小面元Δ s,n为面元Δ s的法线方向的单位矢量.
vn
S
ˆ n
v
单位时间内流过Δ S的流体体积叫做Δ S的通量，由于 Δ S很小，可以认为其上各点的流速v处处相等。单位时间 内通过Δ S的流体体积，它在数值上等于以Δ S为底以v为 母线的柱体体积，即
E E S ES cos
即场强 E 与面元 S 在场强方向的投影的乘积就是面 S
元的电通量。
n
S
S
E
S
. P
E
n
下面，我们对电通量作进一步的讨论 （1）电通量是代数量。场强 E 和面元矢量 S 的 夹角θ 之不同，电通量有正、负。
二、 高斯定理
如何实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲 面的电通量呢？1839年，德国科学家高斯在这方面作 了重要工作，高斯定理可以表述为：静电场中任意闭 合曲面s的电通量φ e，等于该曲面所包围的电荷的代 数和Σ qi除以ε 0，与闭合面外的电荷无关。这里s通 常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学 形式为：
E ds
S
q
i 1
n
i
0
高斯定理的证明：（根据库仑定律和场强叠加原
理从特殊到一般，分几步来证明这个定理。） （1）包围点电荷 q 的同心球面的电通量都等于 以正点电荷q所在处为中心，任意半径r作一球 面，根据库仑定律，球面上场强具有球对称性，在 球面上任取一小面元ds，其外法线矢量n也是沿半 径方向向外的，即n与E 的夹角为0，
间距离Ｌ比所考虑的场点到二者的距离小的多时，这一电荷系
电磁学高斯定理
电磁学高斯定理
高斯定理（也称高斯定律）是电磁学中的一个重要定理，它描述了电场和电荷密度之间的关系。
高斯定理可以表示为：
\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}
其中，\vec{E} 是电场强度，d\vec{S} 是闭合曲面S 上的微小面积元素，Q 是在闭合曲面S 内任意一点的总电荷量，\epsilon_0 是真空中的电常数。
式子的意义是：在闭合曲面S 上对电场进行积分，得到的结果等于该曲面内的总电荷量除以\epsilon_0。
高斯定理的图解意义是：假设球形曲面S 包围着一些电荷，电场线在球面上的密度与电荷的大小成正比。
将球面分为无数小面元，每个面元上的电场线密度相同，电场线穿过球面的一小段面元可以看作是平行放置的棒状体。
这些面元的单位面积处的电场强度是相同的，因此此处电场线条数与电荷量成正比。
当电荷密度不均匀时，可以将球面分为更小的部分，每个小部分使用相同的方法即可，最终可以通过积分得到整个曲面内的电场强度。
高斯定理在电场分析中非常有用，常用于计算具有对称性的电荷分布所产生的电场，如点电荷、电偶极子等。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
第二讲 高斯定理
面积为S的电通量。
S
O
n
E
n
n
E
S1
n
S2
X
Z
ES ( 3i 2 j ) Si
n
O
R
S1 S 2 0
S1 ( ER 2 ) 0 S1 ER 2
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3S
高斯定理
一、高斯定理
1
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dE
dq r0 2 4 0 r
1
E dE
1 dq r 2 0 4 0 r
原则上可以求出任意带 电体在空间任意点激发 的电场强度
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求解连续分布电荷的电场的一般步骤：
• 依几何体形状和带电特征任取电荷元dq
• 写出电荷元dq的电场表达式dE • 写出dE在具体坐标系中的分量式，并对这些分量 式作积分 ·将分量结果合成，得到所求点的电场强度
0
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(4)任意点电荷系情况： N个点电荷的点电荷系激发的电场。 S q1 n个点电荷在封闭曲面S内； qn q N q2 (N-n)个点电荷在封闭曲面S外。 qn1 此封闭曲面的电场强度通量为：
E dS
S
qi 0
内
E dS
r
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⑵点电荷位于任意封闭曲面内： 通过面元ds的电场强度通量为：
ds
E
n
d E ds E ds cos
S
r
⊕ q
ds
E ds
q E r 2 0 4 0 r
高斯定理2.pptx
以 >0为例：∵两底面上各点场强∥底面，
∴通 过两 底面的电通 量为0.
E dS
S
E dS＋ E dS＋ E dS
上底
下底
侧面
EdS
侧面
E
2rh8
E 2rh
qi
0
E
qi
2rh 0
2 Rh 2 R 1
2 rh 0
2 0r
令2πR · 1 · σ = λ
（作为Gauss面S）
由24个小正方形
q
平面组成。
电场线均匀辐射
由Gauss定理，有
q
？
S
E
dS
24 S1 q
E
1 S1 E dS 24 0
dS
正方体0 为一闭合曲面
正方体是封闭合图形
14
练习2、有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上
距中心o为a/2处有一电量为q的正点电荷，如图，
(电荷面密度为 ) 的电场分布。
解：(1)对称 性分析：
各点的 E ⊥平面（ >0， 向外； <0 ，指向 平面）
到平面等距的点 E 大小 相等。
oP
6
(2) 选取Gauss面，如图所示。 (3)应用Gauss定理：
以 >0为例：
∵侧面上各点场强∥侧面，
oP
∴通过侧面的电通量为0.
E dS E dS＋ E dS＋ E dS
的电场分布。 利用课件例8结论
解：根据电场分布的轴对称性，可以选与圆筒同
轴的圆柱面(上下封顶)作高斯面。再根据高斯定
律即可得出：
在筒内，r < R1 ： E 0
在筒间， R1 < r < R2 ：
高斯定理的解释和公式
高斯定理的解释和公式
高斯定理，也称为散度定理，是数学中的一个重要定理。
它描述了一个向量场通过一个封闭曲面的总量。
高斯定理在物理学和工程学的许多领域中都有广泛的应用，如电磁学、流体力学和热传导等。
高斯定理的数学表达形式如下：
对于一个平滑的三维矢量场F=(Fx,Fy,Fz)，定义一个封闭曲面S来围绕一个具有体积V的区域D。
那么，高斯定理可以写作：
∬S F·dS = ∭D ∇·F dV
其中，F·dS表示向量场F在曲面元dS上的点积积分，∇·F表示向量场F的散度，dV表示体积元。
这个定理的物理解释是，对于一个流经封闭曲面的流体量，其发散性（流出和流入区域的总和）等于其在包围该区域的体积中的源和汇的总量。
高斯定理的应用非常广泛。
在电磁学中，它可以用来计算通过一个闭合曲面的电场强度和磁场强度的总量。
在流体力学中，它可以用来计算液体或气体通过一个封闭曲面的流量。
在热传导中，它可以用来计算热量通过一个封闭曲面的扩散量。
总之，高斯定理提供了一个非常强大的工具，用于计算向量场通过封闭曲面的总量。
它在物理和工程学中的应用使得我们能够更好地理解和分析各种自然现象和工程问题。
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一、电场线 (几个典型带电体周围电场线的分布)
静电场电场线特点：
(1)不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷(或无穷远 处)、止于负电荷(或无穷远处).
(2)任何两条电力线不相交.说明静电场中每一点的场强是惟 一的.
为了有效的描述电场，引入电场 线时规定:
➢ 场强方向沿电场线切线方向， ➢ 场强大小取决于电场线的疏密
0 ES ES 2ES
E
根据高斯定理有
n
2ES 1 S
E
0
2 0
n
E
n
➢ 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：
E
E
E外 0
E内
０
E外 0
根据场强叠加原理由图可知：
E外 0
E内 E E
SE dS
1
0
q内
(不连续分布的源电荷)
Φe
SE dS
V
1 dV 0
(连续分布的源电荷)
E是所有电荷产生的; e 只与内部电荷有关。
结论
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以
1 0
——高斯定理
说明
(1)高斯定理是静电场的基本定理之一，揭示了场和场源的 内在联系．它从一个侧面反映了静电场是有源场。
(2)库仑定律只适用于静电场，而高斯定理适用于迅变电磁场， 因此高斯定理比库仑定律应用更广泛。
(3)
E
与电荷量，电荷的分布有关
E dS 与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关 s 净电荷 就是电荷的代数和
四、 高斯定理求解场强
利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路
➢分析电荷对称性； ➢根据对称性取高斯面；
4 π0r 2
q
0
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
(2) q 在任意闭合面内，电通量为
Φe
SE dS
q
0
qr
穿过闭合面的电力线 条数仍为 q/ 0
e 与曲面的形状和 q 的位置无关的，只与闭合曲面
包围的电荷电量 q 有关。
(3) q 在闭合面外 e 0
穿出、穿入的电力线条数相等 + q
➢ 根据高斯定理求电场强度。
例 均匀带电球面，总电量为Q，半径为R
dE
求 电场强度分布
dq /
dq /
dq
解 1.电荷均匀分布的球面，其球 面内任一点的场强一定为零。
注意：不能简单地说，因为球面内没 有电荷，所以球面内任一点的场强为零
dq
dE
对称性分析
2. 球面外一点的场强
dq r
dE
O dq /
n
n
与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。
总的通量Φe穿出、穿入闭合面电力线条数之差
三、静电场的高斯定理 以点电荷电场为例的简单证明
E
dS
1.一个点电荷 球面电通量为
(1) q 在球心处， NhomakorabeaΦe SE dS SEdS ESdS
q 4πr 2
高斯定理无法完全确定空间电场分布，只能求解高度对
称的电场分布。
E
Q
4 0r 2
例 已知球体半径为R，带电量为q（电荷体密度为）
求 均匀带电球体的电场强度分布
q
解 球内 r R
E
ds
E
ds
E 4r2
s1
s1
o RE
r
q 4 r3 1
0
3
0
E
E 1 r 1 Qr
1q
3 0
30 4 R3
E dN dS
E dS
二、 电通量
穿过任意曲面的电场线条数称
为电通量。 Φe
1.均匀场中dS 面元的电通量
de dN EdS
E cos dS
矢量面元
dS
dS
n
de E dS
2.非均匀场中曲面的电通量
e de S E dS
dS
2. 多个电荷
E E1 E2 ... E5
任意闭合面电通量为
e E dS
(E1 E2 ... E5) dS
q5
q1 q2 q3
0 0 0
E
dS
1
0
q内
q4
q3 q2 q1
3.任意带电系统
e
4 0 R 2
E Qr
3
R
球外 r R
E
Q
r
oR
r
例已知“无限大”均匀带电平面上电荷面密度为
求 电场强度分布
解 电场强度分布具有面对称性
选取一个圆柱形高斯面
e SE dS
侧 E dS 左底 E dS 右底 E dS
例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为
求 +距直线r 处一点P 的电场强度
解 电场分布具有轴对称性
过P点作高斯面
P
e SE dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
n r
l n
E
n
当电场分布不具备对称性，或虽有一定的对称性，但对称 性不够高时，这里难以用高斯定理求解电场分布，并不是说在 这种情况下高斯定理不正确，而是电场强度 E 不能作为常量从 积分号内分离出来，使得计算相当困难。这时应该用点电荷的 场强公式和场强叠加原理这一基本方法求解电场分布。
S
E
n
E
dS
E
n
ds
3. 闭合曲面电通量
dΦe E dS
e de SE dS
dS 以曲面的外法线方向为正
方向，因此：
0电通 量,从π2为曲正面值穿；出的电力线，
n
通π2量为,穿负π入值曲；面的电力线，电
n
n
S
E
P
P
R
R
均匀带电球面在球面外的电场分布具有球对称性（或说点对
称性） 因此，过P点作一与带电球面同心的高斯球面，则由对称性可
知，球面上各点的E值相同，于是有
E dS
EdS E dS E4r 2
s
s
s
根据高斯定理
E4r 2
qi
i
0
qi
E
i
4 0r 2