Baidu-线性代数-吧-部分问答-汇总
大一新生学习线性代数课程问答
1.对于我们大一新生来说，高代算是一门比较陌生的学科，可以简略的说一下高代主要学习什么内容吗？它是用来解决什么实际问题的？高等代数（或线性代数）里关注的核心问题是“有限维线性空间中的线性变换”，而就细节来说，主要学习的几部分内容是行列式定义与性质、矩阵的性质与运算、线性方程组的解的讨论、线性空间的相关定义与结构、线性变换的描述与研究、二次型问题的讨论等。
贯穿这些始终的是线性方程组求解及对矩阵的研究，它为我们深入研究线性变换提供了工具和平台，务必重点关注。
高等代数和数学分析可以说是现代数学最重要的两门基础课程，并不是为了专门解决某个实际问题而产生的，因为它们的重要性已经渗透在几乎所有需要数学工具的各个应用领域，不论是经管金融，还是航天国防，抑或工程建筑。
瑞典数学家 Lars Garding 在其名著 Encounter withMathematics 中曾说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。
”在大一这一年，打好高等代数、数学分析这两门课的基础，大家将来一定会受益匪浅。
2.学习高代需要什么习惯，需要具备什么样的思维呢，您认为预习是必须的吗?所有的数学课程的学习，方法都是相通的。
我认为很重要的一个习惯应该是勤于思考、勤于分析、勤于总结吧。
大学数学课程里都有很多抽象的概念、不易理解的性质或定理，所有这些理论的提出都经过了较为漫长的积累和提炼得出的，大家学习过程中应该积极思考这些定义、方法的内在思想和本质，多追本溯源，多关注一些相关学科的历史，想必对课本中有难度的知识会有很多新的认识。
至于预习，是好习惯，当然也因人而异，不一定必须。
相比之下，我想，认真听课并能做到每次课后都花一定时间巩固复习更为必须。
3.我们发现高代课本上的习题相对较少，我们需要在课外找一些习题做吗？如果需要，是买专门的习题集还是找一些零散的题练练手就可以了呢？课本的题目当然不够，通过课外的习题加以练习是有必要的，但希望大家不要为了做题而做题，大学里做题的目的应该是巩固知识，加深理解，切忌单纯为了应付考试而刷题。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a j n=迟（-1）"" "a ij i a2j2...a nj n j l j2 j n（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式D=D T）②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的 k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式皿厂代数余子式A j =（-1）厲皿耳定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：D j非齐次线性方程组：当系数行列式D式0时，有唯一解：X j =—=1、2……n）D齐次线性方程组：当系数行列式D=1^0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特殊行列式:a ii a i2 a i3 a ii a2i a3i①转置行列式：a2i a 22 a23 T a i2 a22 a32a3i a 32 a 33 a i3 a23 a33②对称行列式：a j = a j i③反对称行列式：a j = -a ji奇数阶的反对称行列式值为零⑤上（下）三角形行列式： 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、lA* B = ( a ik )m*l * (b kj )l*n 二(•— a ik b kj ) m*n乘法1注意什么时候有意义般AB=BA ，不满足消去律；由 AB=0，不能得 A=0或B=0方幕：A kl A k ^ A k1 k2(A kl )k2 = A kl k2对角矩阵:若 AB 都是 N 阶对角阵，k 是数，则 kA 、A+B 、数量矩阵：相当于一个数（若……） 单位矩阵、上 （下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方是0a 11 a 12 a 13④三线性行列式：a 21 a 22a 31a 33方法：用k022把a 2i 化为零，。
线性代数部分习题解答与提示
线性代数难题解答∙73页习题4. 证明, 在自然数1,2,…,n的所有排列中, 一定存在这样的排列, 它不能经过小于n-1次对换变为标准排列12…n.提示：对任意排列σ, 定义σ的块数为最大的整数k使得{1,2,…,n}可分解为k个无交子集的并, 而且每个子集在σ的作用下保持不变. 对任意对换τ, τ(σ)的块数≥σ的块数-1.∙116页习题1. (12) 计算行列式.提示：.∙116页习题1. (13) 计算行列式.提示：.∙118页习题3. (Burnside) 设n阶方阵A＝(a ij)满足a ij=-a ji, 1≤i,j≤n, 则方阵A称为斜对称方阵. 证明, 奇阶斜对称方阵的行列式恒为零, 而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.提示：当n为偶数时, 设, 其中A1为偶阶斜对称方阵, 则A 4-A3A1-1A2也是偶阶斜对称方阵.∙133页习题1. (4) 计算矩阵乘积.提示：令, 则原式.∙144页习题4. (3) 计算行列式.提示：.∙155页习题1. (4) 计算n阶方阵的逆矩阵.提示：令, 其中.∙156页习题10. 设A ij是n阶方阵A＝(a ij)的行列式detA的元素a ij的代数余子式. 证明, .提示：不妨设i＝k＝1, j＝l＝2. 设, 则有.∙157页习题14. 设A∈R2n×2n, 且. 证明, detA=1.提示：设. 当A1可逆时, 由Schur公式易证. 当A1不可逆时, 设, 则A1+A2S可逆, 考虑.∙169页习题3. (2) 求矩阵的逆矩阵.提示：原矩阵.∙169页习题3. (3) 求矩阵的逆矩阵.提示：对于一般Cauchy矩阵, 有,, 其中.∙183页习题4. 设A和B为n阶方阵, AB＝BA＝0, 并且rank(A2)＝rank(A). 证明, rank(A+B)＝rank(A)+rank(B).提示：.∙337页习题8. 设n维复线性空间V的线性变换A与B可交换. 证明线性变换A与B具有公共特征向量.提示：对A的一个特征子空间用归纳法.∙337页习题9. 设n阶复方阵A与B可交换. 证明存在n阶可逆方阵P, 使得P-1AP 与P-1BP都是上三角方阵.提示：结合337页习题8和330页例1.∙364页习题5. 证明, A为循环变换的充分条件是, A的最小多项式等于A的特征多项式.提示：先对V作根子空间分解, 寻找每个根子空间的循环向量. 再构造V 的循环向量.∙365页习题11. 设A是数域F上n维线性空间V的线性变换, 而且V的任意一个与A可交换的线性变换B都可表为A的多项式. 证明, A为循环变换.提示：反证法. 若A不为循环变换, 则存在极大循环子空间C≠V. 然后构造直和分解V=C+U, 其中U为不变子空间. 于是可构造B与A可交换, 但不可表为A的多项式.∙469页习题5. 证明, n阶实方阵A为规范的必要且充分条件是, 存在实系数多项式f(λ), 使得A*=f(A).提示：插值多项式f(λ)的系数为实数.勘误表∙89页习题 5. 给定n阶方阵A=(a ij). 证明,∙109页最后一行∙115页习题1. (6)∙117页习题1. (17)∙133页习题1. (4)∙133页习题1. (7)∙170页习题8. 设A∈R m×n. 证明, rankAA'=rankA'A=rankA.∙183页第6行∙184页习题6. 设A∈F m×n, B∈F n×m. 证明, rankAB=rankA的必要且充分条件是, 存在C∈F m×n, 使得A=ABC. 在此条件下证明, 如果方阵AB幂等, 则方阵BA也幂等.∙192页例1倒数第二行.∙194页例2倒数第二行.∙223页习题9. 命题错误.∙260页习题2. 命题错误.∙249页例4. 证明, 无限数域F上线性空间V不能被它的有限个真子空间所覆盖.∙252页习题6. (2) 等式U∩(V+(U∩W))=(U∩V)+(U∩W)恒成立.∙253页习题11. 命题错误.∙253页习题13. 证明, 如果β∈U, 但β不∈W, 则α∈K.∙253页习题16. A,B,C的意义同上题. 证明, 如果rankB=rankAB则rankBC=rankABC. ∙260页习题4. 设U,V和W是线性空间L的子空间. 如果其中每一个都与另外两个之和的交是零子空间，则这三个子空间称为无关的. 证明, L=U⊙(V⊙W)的必要且充分条件是, U,V,W是无关的, 并且L=U+V+W.∙417页习题3. 证明, 任意一个实方阵A都实相似于准对角形, 其对角块具有如下形式：, 或者,其中λ0,a和b都是实数, 且a2＜4b.∙444页习题12. 设α=β+iγ是正交方阵O的属于特征值λ的特征向量, 其中β与γ是实向量, i2=-1. 证明, |λ|=1, 而且当λ非实数时, 实向量β与γ正交, 范数相等.∙454页习题2. 设A与B是n维Euclid空间V的线性变换, A与B可交换, A*与A可交换. 证明, A*与B也可交换.∙454页习题8. 设{α1,α2,...,αn}是n维Euclid空间V的标准正交基, V的线性变换A在这组基下的方阵A=(a ij)n×n. 证明, a ij=(A*(αi),αj), 1≤i,j≤n.∙477页习题8. 设n阶正交方阵O的特征值不等于-1. 证明方阵I n+O可逆, 方阵K=(I n-O)(I n+O)-1是斜对称方阵, 且O=(I n-K)(I n+K)-1.∙504页习题14. 证明, n阶实方阵A规范的必要且充分条件是, 方阵A具有极分解A=SO=OS, 其中S≥0, O为正交方阵.∙504页习题15. 命题错误, 除非将477页习题7中“A的不变子空间U”改为“A的子空间U”.∙504页习题18. 证明,“实方阵A的所有奇异值都是特征值且重数相同”的必要且充分条件是A≥0.∙538页习题3. (3) 命题错误.∙552页习题2. 设H是n阶正定Hermite方阵, A是n×m列满秩矩阵. 求逆矩阵.∙552页习题3. ...... 设H1与H1是n阶Hermite方阵, 其中H1≥0, rank H1=r, 且......∙556页倒数第10行。
Baidu-线性代数-吧-部分问答-汇总
矩阵
若 n 阶非零实数矩阵的转置和它的伴随相等, 怎么证明它可逆? [证明] 记A的转置为AT, A的伴随矩阵为A*, A的秩为r(A). (1) 当n = 2 时, 设A = a b , 则A* = d −b , AT = a c . c d −c a b d
( )
(
)
( )
故由条件可得 a = d, b = −c, 而且 a, b 不全为 0. 于是|A| = ad − bc = a2 + c2 > 0, 因而A可逆. (2) 当n > 2 时, 由条件可知 0 < r(A) = r(AT) = r(A*). 又因为r(A) < n−1 时, A中各元素aij的余子式Mij = 0, 相应的代数余子式Aij = 0, 因而 A* = 0, 此时 r(A*) = 0, 这与 r(A*) = r(A) > 0 矛盾. 若 r(A) = n−1, 则 A*不等于 0, 且 AA* = 0. 可见 0 < r(A*) ≤ 1, 因而 r(A*) = 1 < n−1 = r(A), 这与 r(A*) = r(A)矛盾. 上述矛盾表明, r(A) 只能等于 n, 即 A 可逆. [证明] 因为A不等于零, 所以AAT不等于 0. 假若A不可逆, 则|A| = 0, 于是AAT = AA* = |A|E = 0, 矛盾! 所以 A 可逆. [证明] 设A中某个元素aij不等于零, 则 AAT 的第i行第i列处的元素为 (ai1, ai2, ..., ain)(ai1, ai2, ..., ain)T = ai12 + ai22 + ... + ain2 > 0. 又因为AAT = AA* = |A|E, 比较等式两端的第i行第i列处的元素可得 |A| = ai12 + ai22 + ... + ain2 > 0, 所以 A 可逆.
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数问题集锦
线性代数问题集锦
如何理解线性代数中当⼀个矩阵的值不等于零，其就代表组成矩阵的向量线性⽆关？
矩阵的秩按定义就是构成矩阵的线性⽆关向量的数量。
如果矩阵是满秩的，那就是各个向量之间都是线性⽆关的了。
如果告诉你秩不满，就是在告诉你这些向量线性相关啦。
⽽秩与向量数的差值就是等于可以被其余向量线性表达出来的向量数了。
所以，⽆需通过秩来判断是否线性相关，告诉你矩阵的秩了，就是告诉你是相关还是⽆关了。
怎么判断矩阵可不可以对⾓化？
第⼀步，看是不是实对称矩阵，如果是实对称矩阵，⽴即推可相似对⾓化，如果不是实对称矩阵，看第⼆步；
第⼆步，求⽅阵的n个特征值，如果特征值彼此都不相同，也就是都是单根的话，⽴即推可相似对⾓化，如果有重根，看第三步；
第三步，来验证k重根是不是具备k个线性⽆关的特征向量，也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k，若相等，⽴即推可相似对⾓化，不相等，则不能进⾏相似对⾓化
以上步骤⼀般来说适⽤于具体的数字型n阶矩阵能否进⾏相似对⾓化的判定，如果是抽象型的，⼤部分题⽬会设置成有重根的，去验证第三步成⽴与否就可以了
同时值得注意的是：
⼀、实对称矩阵可相似对⾓化；
⼆、⽅阵的n个特征值彼此都不同时，也就是都是但单根时的话，说明该矩阵可以相似对⾓化，如果有重根，则要看第三种情况。
三、验证k重根是不是具有k个线性⽆关的特征向量，也就是看A-λE或λE-A的秩是否等于n-k，若相等，则矩阵可以相似对⾓化，不相等时则不能相似对⾓化。
即⼏何重根等于代数重数才能相似对⾓化。
但特征根的⼏何重数等于代数重数等于1.
可逆矩阵不⼀定就能够相似对⾓化，需要满⾜以上三个条件之⼀才⾏。
线性代数习题4完整解答
习题四答案：1.C，举一个反例：设，且不能由，，。
，显然，可以由，，。
线性表示。
2. C，A错在，虽然A的列向量组的秩为3，但不是任何三个行向量都线性无关；B错在，不是所有3阶子式都为非0子式；D错在，A就算不是最后一行各元素为0，也可以满足秩为3的条件E错在，线性相关的部分组可以只有2个向量，如：，由，构成的部分组显然线性相关3.B，A错在，虽然向量组秩为3，但是并不一定任何3个向量都线性无关C的错误与第2题中的E一样，也可借用那个反例加以说明D错在，若，并不一定需要零向量存在，例如，，且，，，E错在，若，，，。
就会线性相关4.因为，，，线性无关，所以，，线性无关，；又，，，线性相关，所以可以由，，线性表出。
①讨论可否由，，，线性表出，显然可以，因为可以由，，，因而更可以由，，，线性表出。
②讨论可否由，，，线性表出，则归结到是否有：R（，，，）=R，，，显然R，，，（，，，）=4而R（，，，）不一定为4，例如：，，，（），（）此时R（，，，）=3，如果，，，（），（）此时R（，，，）=4不一定可以由，，，③讨论可否由，，，线性表出，同样归结到是否有：R（，，，）=R，，，显然R，，，（，，，）=4而R（，，，）不一定为4，例如：，，，（），（）此时R（，，，）=3 如果，，，（），（）此时R（，，，）=4不一定可以由，，，④讨论可否由，，，线性表出，同样归结到是否有：R（，，，）=R，，，显然R，，，（，，，）=4而R（，，，）不一定为4，例如：，，，（），（）此时R（，，，）=3 如果，，，（），（）此时R（，，，）=4不一定可以由，，，⑤讨论可否由，，，线性表出，同样归结到是否有：R（，，，）=R，，，显然R，，，（，，，）=4而R（，，，）=3一定存在（，，，），，，不可以由，，，5.注意这里强调一下，按照标准写法，表示列向量，，表示行向量。
所以以后除非题目强调是行向量，否则一律视为列向量。
线性代数习题参考答案
第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax by ay bzaz bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
最新线性代数第二章习题部分答案(
第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= 137240115 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。
2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
线性代数习题及解答知识交流
线性代数习题及解答线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),TT+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数课后习题答案04
第四章 向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61T T T --+==(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------971820751610402230421301~r⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A ,所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由)1)(1(111111||+-=--=a a a aa a A知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=, 设211λλλ+-=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示.解 设a 1=e 1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0), a 2=a 3= ⋅ ⋅ ⋅ =a m =0, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性表示. (2)若有不全为0的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a m 线性相关, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b m 亦线性相关. 解 有不全为零的数λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λm 使λ1a 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm a m +λ1b 1+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm b m =0,原式可化为λ1(a 1+b 1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +λm (a m +b m )=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,⋅⋅⋅,a m=e m=-b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关, b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0⇒λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0⇒λ1=-(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3, b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ⋅ ⋅ ⋅, b r =a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a r , 且向量组a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125;解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211. 解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1401131302151201221113142~r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------22201512015120122112343~r r r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15. 设向量组(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T的秩为2, 求a , b .解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.16. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法一 记A =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ), E =(e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使E =AK .两边取行列式, 得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.证法二 因为e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n 能由a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性表示, 所以R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )≤R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n ),而R (e 1, e 2,⋅ ⋅ ⋅, e n )=n , R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )=n , 从而a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关.17. 设a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk a k=0,a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λk-1a k-1),即a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k-1线性表示.19.设向量组B:b1,⋅⋅⋅,b r能由向量组A:a1,⋅⋅⋅,a s线性表示为(b1,⋅⋅⋅,b r)=(a1,⋅⋅⋅,a s)K,其中K为s⨯r矩阵,且A组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明令B=(b1,⋅⋅⋅,b r),A=(a1,⋅⋅⋅,a s),则有B=AK.必要性: 设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使⎪⎭⎫⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形. 于是(b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )C =( a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a s )KC =(a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r ).因为C 可逆, 所以R (b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r )=R (a 1, ⋅ ⋅ ⋅, a r )=r , 从而b 1, ⋅ ⋅ ⋅, b r 线性无关.20. 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n nn ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价. 证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为0)1()1(0111101*********||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ⋅ ⋅ ⋅, αn 与向量组β1, β2, ⋅ ⋅ ⋅, βn 等价.21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;解 因为AP =A (x , A x , A 2x )=(A x , A 2x , A 3x )=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B . (2)求|A |.解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/3100401 2683154221081~r A , 于是得⎩⎨⎧+=-=43231)4/1()4/3(4x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=+--03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A , 于是得⎩⎨⎧+-=+-=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +2x n -1+x n =0.解 原方程组即为x n =-nx 1-(n -1)x 2- ⋅ ⋅ ⋅ -2x n -1.取x 1=1, x 2=x 3= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-n ;取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;⋅ ⋅ ⋅ ;取x n -1=1, x 1=x 2= ⋅ ⋅ ⋅ =x n -2=0, 得x n =-2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n )T ,ξ2=(0, 1, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 0, -n +1)T ,⋅ ⋅ ⋅,ξn -1=(0, 0, 0, ⋅ ⋅ ⋅, 1, -2)T .23. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=82593122A , 求一个4⨯2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2.解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛--=8/118/5108/18/101 82593122~rA , 所以与方程组AB =0同解方程组为⎩⎨⎧+=-=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .因此所求矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=800811511B .24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.25. 设四元齐次线性方程组I : ⎩⎨⎧=-=+004221x x x x , II : ⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.解 (1)由方程I 得⎩⎨⎧=-=4241x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T .由方程II 得⎩⎨⎧-=-=43241x x x x x . 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T .(2) I 与II 的公共解就是方程III : ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解. 因为方程组III 的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000210010101001 1110011110100011~r A , 所以与方程组III 同解的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==-=4342412x x x x x x . 取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明R (A )+R (A -E )=n .证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A -E )=n .27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当. 证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1. 当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0.28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x ; 解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=213 843231x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎪⎩⎪⎨⎧==-=043231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵进行初等行变换, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B . 与所给方程组同解的方程为⎩⎨⎧--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x . 当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解η=(1, -2, 0, 0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为⎩⎨⎧-=+-=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,求该方程组的通解.解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T为其基础解系向量, 故此方程组的通解:x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++---βαβαα34001110121 ~r . (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一.当α=-4, β=0时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000013101201 ~r , 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c c c c x x x 1312011132321, c ∈R . 因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3)l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关. 32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.解 由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1, 1, 1, 1)T 是方程A x =b 的一个解. 由a 1=2a 2- a 3得a 1-2a 2+a 3=0, 知ξ=(1, -2, 1, 0)T 是A x =0的一个解. 由a 2, a 3, a 4线性无关知R (A )=3, 故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量. 因此ξ=(1, -2, 1, 0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1, -2, 1, 0)T +(1, 1, 1, 1)T , c ∈R .33. 设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:(1)η*, ξ1, ξ2, ⋅ ⋅ ⋅, ξn -r 线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r线性无关.证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r 线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn-r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,⋅⋅⋅,k s 为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1. 证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b (i=1, 2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n-r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,⋅⋅⋅,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn-r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λ n-rξ n-r=0,即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+⋅⋅⋅+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,亦即-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λ n-rηn-r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn-r+1线性无关知-(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn-r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn-r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn-r线性表出,设x-η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n-r+1ξn-r=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+⋅⋅⋅+k n-r+1(ηn-r+1-η1),x=η1(1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.令k1=1-k2-k3⋅⋅⋅-k n-r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅-k n-r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n-r+1ηn-r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0},V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T| x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=0,λa 1+λa 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +λa n =λ(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )=0,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∈V 1,λα=(λa 1, λa 2, ⋅ ⋅ ⋅, λa n )T ∈V 1.V 2不是向量空间, 因为任取α=(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅, b n )T ∈V 1,有 a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n =1,b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n =1,从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ⋅ ⋅ ⋅ +(a n +b n )=(a 1+a 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n )+(b 1+b 2+ ⋅ ⋅ ⋅ +b n )=2,所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n +b n )T ∉V 1.37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.证明 设A =(a 1, a 2, a 3), 由02011101110||≠-==A , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2. 证明 设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价. 因为向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V 1=V 2.39. 验证a 1=(1, -1, 0)T , a 2=(2, 1, 3)T , a 3=(3, 1, 2)T 为R 3的一个基, 并把v 1=(5, 0, 7)T , v 2=(-9, -8, -13)T 用这个基线性表示. 解 设A =(a 1, a 2, a 3). 由06230111321|) , ,(|321≠-=-=a a a , 知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3为R 3的一个基. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1, 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=2, x 2=3, x 3=-1, 故线性表示为v 1=2a 1+3a 2-a 3. 设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321x x x x x x x x , 解之得x 1=3, x 2=-3, x 3=-2, 故线性表示为v 2=3a 1-3a 2-2a 3.40. 已知R 3的两个基为 a 1=(1, 1, 1)T , a 2=(1, 0, -1)T , a 3=(1, 0, 1)T , b 1=(1, 2, 1)T , b 2=(2, 3, 4)T , b 3=(3, 4, 3)T . 求由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵P . 解 设e 1, e 2, e 3是三维单位坐标向量组, 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a , 1321321111001111) , ,() , ,(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a e e e , 于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-341432321111001111) , ,(1321a a a , 由基a 1, a 2, a 3到基b 1, b 2, b 3的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1010104323414323211110011111P .。
线性代数答疑题
答 疑 题 库——线性代数与解析几何（一）1、计算n 阶行列式00100002000010n n D n -=分析 由定义知，n 阶行列式共有n!项，每一项的一般形式为()()n np pp p p p r a a a ,2121211 -若某一项n 阶元素的乘积中有零因子，则该项为零，由于本行列式中零元素较多，因而为零的项就较多，故只须找出那些不为零的项就可求得该行列式的值。
解 所给行列式中，第一行元素除了12a （即21=p ）以外其余都为零，而第二行元素中除了23a （即32=p ）以外其余都为零，继续分析第三行、第四行…第n 行，可知在n!项中只一项1,12312n n n a a a a - 不为零，且它的列标排列2 3…n 1的逆序数为n －1，于是()()!1111,123121n a a a a D n n n n n n ----=-=2、计算n 阶行列式nn n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=2122212111解 当1=n 时，111b a D += 当2=n 时，()()12212b b a a D --= 当3≥n 时，0=n D 综上可得()()⎪⎩⎪⎨⎧≥=--=+=3,02,1,122111n n b b a a n b a D n注 （1）由该例可见，对一般的n 阶列式，其值可能随价数n 的改变而变化，应注意讨论。
3、计算2249132513232213211x x D --=解 显而易见，当122=-x ，即1±=x 时，4D 中第一、二行对应元素相等，此时04=D ，即4D 有因子()()11+-x x 。
当592=-x 即2±=x 时，4D 中第三、四行对应元素相等，因此4D 还有因子()()22+-x x又根据行列式定义知，4D 为x 的4次多项式，所以()()()()22114+-+-=x x x x a D 现只要求出4x 的系数即可，令0=x ，可算出124-=D ，于是3-=a ，故()()()()221134+-+--=x x x x D 注 该题方法称为析因子法，即运用行列式性质找出4D 的全部因子，最后再确定最高次项系数。
线性代数第二章习题部分答案(
第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。
2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
线性代数第二章习题部分答案(
第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。
2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。
解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。
线性代数习题解答第一二三章
β （图1）总习题一 一、问答题1. 试解释二、三阶行列式的几何意义.解 在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121b b a a ==βα如图，以βα,为邻边的平行四边形的面积为><=βαβα,sin ||||S 平行四边形，而||||,cos βαβαβα⋅>=< ，故|-1|2><=βαβα,sin ||||S 平行四边形 ||||21211221b b a a b a b a =-=这就是说，二阶行列式2121b b a a 表示平面上以),(),,(2121b b a a ==βα为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量α沿逆时针方向转到向量β而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量α沿顺时针方向转到向量β而得到时面积取负值．空间三向量),,(),,,(),,,(321321321c c c b b b a a a ===γβα的混合积)(γβα⨯⋅的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即=平行六面体V |||)(321321321c c c b b b a a a |=⨯⋅γβα 三阶行列式321321321c c c b b b a a a 表示以γβα，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当γβα，，构成右手系时，体积取正值；当γβα，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．类比二、三阶行列式，n 阶行列式|,,,|D n n ααα 21=是由n 维向量n,,,ααα 21张成的n 维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n 维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．- 2 - 习 题 解 答2. 行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？ 解 由定义知，在行列式ijn nD a ⨯=中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，保持相对位置不变得到的1n -阶行列式称为该元素的余子式，记为ij M ．而把(1)i j ij M +-称为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余子式．例如：在行列式1D =123451789-中，将第二行元素都换成1，得2D =123111789，那么2D 的第二行各元素的代数余子式与1D 的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1s i s i D A a sk nk ik ， ⎩⎨⎧≠==∑=)(,0)(,1t j t j D A a kt nk kj ． 3. 试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.解 线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()(333332222211111πππ d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a , 三个方程在空间分别表示三个平面123,,πππ，该方程组有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利地迁移到对n 元线性方程组的解地理解上去。
线代问答题
线性代数作业1非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩阵吗?不是2设A，B，C 是与E 同阶的方阵, 其中E 是单位矩阵. 若ABC = E，问：BCA = E，ACB = E，CAB =E，BAC = E，CBA = E 中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？3如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的逆矩阵都有些什么方法？4一个矩阵的行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵有何异同?5用初等行变换法求矩阵A 的逆矩阵时, 如何判断A 是否可逆?6若向量组a1, a2 , ···, ar 线性相关, 那么是否对于任意不全为零的数k1 , k2 , ···, kr , 都有k1a1 + k2a2 + ···+ krar = 0 ?7. 若向量组a1, a2 , ···, ar 线性无关, 那么是否对于任意不全为零的数k1 , k2 , ···, kr , 使得k1a1 + k2a2 + ···+ krar =0 ?8如果向量组a1, a2 , ··· , a r ( r ≥ 2 )中任取m ( m < r )个向量所组成的部分向量组都线性无关,那么这个向量组本身是否线性无关?9 如何用矩阵的初等行变换求向量组的一个最大无关组, 并用该最大无关组表示其余向量?10 n 阶方阵A 是否一定有n 个线性无关的特征向量?11 一个特征向量只对应于一个特征值, 反之, 一个特征值是否只对应于一个特征向量?12 如何证明方阵A 能对角化?13 二次型的标准形是否唯一?14 两个正定矩阵之和、差、积是否还是正定矩阵？。
线代综合问题(自问自答)
线性代数综合题问题----自问自答1、在线性代数中，除了行列式的定义和性质之外，列举出至少三个和行列式计算有关的方法或定理。
比如：什么叫范德蒙德行列式，如何计算？2、行列式与矩阵主要有哪些不同之处？矩阵作为一种简捷的符号语言，它在线性代数中有哪几个主要的应用?3、写出n 阶可逆矩阵A 的6种不同的充分必要条件。
并且举例说明 求逆矩阵的几种不同方法是什么？4、简述矩阵的初等行变换有哪些具体的应用？5、写出n 维向量组12,,,m ααα线性无关的四个等价说法。
写出n 维向量组12,,,m ααα线性相关的四个等价说法。
6、简述向量组的秩和最大线性无关组的概念在齐次线性方程组解的 结构理论中有什么意义？7、问齐次线性方程组0()0A E x λ-=的解向量是否都是A 属于0λ的特征向量？假如12,,,m x x x 都是A 属于0λ的特征向量，问12,,,m x x x 的任意线性组合是否都是A 的特征向量？8、两个矩阵假如等价（相抵），它们是否相似？又假如相似，是否等 价（相抵）？用矩阵秩的概念说明哪些矩阵与单位矩阵等价（相 抵）？用特征值的概念说明哪些矩阵与单位矩阵相似？用正定的 概念说明哪些矩阵与单位矩阵合同？9、若123,,βββ是向量空间3R 中线性无关的3个3维向量，且令122133,,γβγβγβ===，试问123,,βββ与123,,γγγ是否为3R 的两个不同的基？为什么？举例说明。
10、方阵A 是否一定能和一个对角矩阵相似呢？（书P123定理4） 11、假如n 阶矩阵A 的特征值是12,,,n λλλ，A 的n 个特征向量是 12,,,n x x x ，且令P =（12,,,n x x x ），试问下式是否成立？为什么？12100000n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（请参考书P122-P123） 11、什么叫正交矩阵，什么叫正交变换？如何利用正交变换化一个n 元二次型为标准形？其标准性唯一吗？举例说明。
线性代数第一次答疑
线性代数第一次语音答疑答疑提纲一、关于课程自学线性代数主要研究了三种对象：矩阵、方程组和向量。
这三种对象在一定情况下可以相互转化。
熟练地从一种理论的叙述转移到另一种去，是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。
也是大家应该掌握和熟悉的。
三种对象表述问题的形式不同，视角也不同，向量偏向于从整体性和结构性考虑方面来考虑问题，矩阵则是更易于表示和操作的方式，而线性方程组则是一种更为直观、清楚地表示方式。
大家掌握矩阵、方程组和向量其中的的内在联系，遇到问题就能左右逢源，举一反三，化难为易。
在学习的过程中，大家对书中的一些定义定理及重要结论，首先记忆、在记忆的基础上理解、通过做题练习来巩固所学。
不能硬背，数学课程的考试不会纯考概念、定理的证明等，一定是在具体的题目中应用这些概念。
因此大家一定要多动手练习，同一类型的题目反复练习，做到熟能生巧。
二、课程资源教材课本《线性代数》杨荫华著这本书是我们课程的主要教材，大家需要认真阅读，弄懂书上面的定义、定理，能够独立做出书上面的例题，对于课后主要习题认真练习。
完成这些，线性代数基本上就学的不错了。
课程录像自学时可以参照课程录像学习，关于课程录像的下载地址，找相关老师询问。
课程论坛，上面公共课程->线性代数板块这是我跟大家沟通交流的主要场所，大家在学习中遇到什么问题可以在论坛上提出来，我会帮大家进行解答。
面授课这是根据大纲的内容来对课程做一个讲解，对于北京地区的的学生，有时间希望大家周六上午尽量来北大听课，本学期有五次面授课程，听课之前最好做好预习，课上有问题可以随时提问，这样效率也会比较高。
作业作业希望大家一定要独立完成，弄懂作业中的问题，学会举一反三，灵活运用。
三、课程主要内容《线性代数》书本总共七章，学习范围是前六章，考试范围是前五章，重点是行列式计算，线性方程组求解，线性相关与无关，矩阵的计算及矩阵逆的求法。
行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
−1 T
其中λ1, λ2, ..., λn为A的特征值.
⎛ λ1 ⎞ ⎜ ⎟ λ 2 【注 4】把上述定理中的矩阵 ⎜ ⎟ 记为Λ, 则 % ⎜ λn ⎟ ⎝ ⎠
Q−1A2Q = Q−1AAQ = Q−1AQQ−1AQ = ΛΛ ⎛ λ12 ⎞ ⎛ λ1 ⎞ ⎛ λ1 ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ λ2 λ2 λ2 = = ⎜ ⎜ ⎟. ⎟⎜ ⎟ % % % ⎜ ⎜ ⎜ λn ⎟ λn ⎟ λn2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 [推论] 若对称方阵A满足A = 0, 则A = 0. [证明] 设对称方阵A满足A2 = 0, 且A的特征值为λ1, λ2, ..., λn.
( )
不等于 0.
【注 6】对于 2 阶矩阵A = 0 1 , 可以验证A2 = 0 但是A不等于 0. 0 0 A, B为可逆矩阵, 求证A−1B + B−1A = E. [答] 该命题不成立. 例如: 取A = B = E, 则A, B为可逆矩阵, 但是A−1B + B−1A = 2E. 设 A 是 n 阶矩阵, 证明存在可逆矩阵 B 和等幂阵 C 使 A = BC. [证明] 设A的等价标准形为D = E O , 则存在可逆矩阵P, Q使得PAQ = D, O O 且D2 = D. 于是令B = P−1Q−1, C = QDQ−1, 则可直接验算A = BC, 且C2 = C. A, B为同阶方阵, A2 = E, B2 = E, 则(AB)2 = E的充要条件是AB = BA. [证明] 若(AB)2 = E, 则 BA = E(BA)E = (A2)(BA)(B2) = (AA)(BA)(BB) = A(AB)(AB)B = A(AB)2B = AEB = AB. 反之, 若 AB = BA, 则 (AB)2 = (AB)(AB) = A(BA)B = A(AB)B = (AA)(BB) = A2B2 = EE = E. 设A可逆, 求证(A*)−1 = (A−1)*. [证明] 因为 A 可逆, 所以|A| ≠ 0, 而且由 AA* = |A|E 得 A* = |A|A−1. 用A−1替换(1)式中的A可得 (A−1)* = |A−1|(A−1)−1. 在(1)式两边分别求逆可得
矩阵
若 n 阶非零实数矩阵的转置和它的伴随相等, 怎么证明它可逆? [证明] 记A的转置为AT, A的伴随矩阵为A*, A的秩为r(A). (1) 当n = 2 时, 设A = a b , 则A* = d −b , AT = a c . c d −c a b d
( )
(
)
( )
故由条件可得 a = d, b = −c, 而且 a, b 不全为 0. 于是|A| = ad − bc = a2 + c2 > 0, 因而A可逆. (2) 当n > 2 时, 由条件可知 0 < r(A) = r(AT) = r(A*). 又因为r(A) < n−1 时, A中各元素aij的余子式Mij = 0, 相应的代数余子式Aij = 0, 因而 A* = 0, 此时 r(A*) = 0, 这与 r(A*) = r(A) > 0 矛盾. 若 r(A) = n−1, 则 A*不等于 0, 且 AA* = 0. 可见 0 < r(A*) ≤ 1, 因而 r(A*) = 1 < n−1 = r(A), 这与 r(A*) = r(A)矛盾. 上述矛盾表明, r(A) 只能等于 n, 即 A 可逆. [证明] 因为A不等于零, 所以AAT不等于 0. 假若A不可逆, 则|A| = 0, 于是AAT = AA* = |A|E = 0, 矛盾! 所以 A 可逆. [证明] 设A中某个元素aij不等于零, 则 AAT 的第i行第i列处的元素为 (ai1, ai2, ..., ain)(ai1, ai2, ..., ain)T = ai12 + ai22 + ... + ain2 > 0. 又因为AAT = AA* = |A|E, 比较等式两端的第i行第i列处的元素可得 |A| = ai12 + ai22 + ... + ain2 > 0, 所以 A 可逆.
Hale Waihona Puke (3)线性方程组若 AX = 0 的解一定是 BX = 0 的解, 则 B 的行向量都能表示成 A 的行向量的线 性组合. [证明] 令 C 为分块矩阵 A (注意 A 与 B 的列数相同, 都等于 X 的行数), B
()
则 AX = 0 与 CX = 0 同解. 因而秩(A) = 秩(C). (注意 AX = 0 的基础解系中解向量的个数 = n − 秩(A), 其中 n 表示未知数的个 数, 即 X 的行数, 亦即 A 的列数; 同时 CX = 0 的基础解系中解向量的个数 = n − 秩(C)) 设 A 中某 r 行构成 A 的行向量组的极大无关组, 则这 r 行也构成 C 的行向量组 的极大无关组. (注意, 秩为 r 的向量组中, 任意 r 个线性无关的向量都构成极大无关组) 因而 B 的行向量都能由这 r 行线性表示, 进而能由 A 的行向量线性表示, 即能 表示成 A 的行向量的线性组合. Suppose an m×n matrix A has n pivot columns. Explain why for each b ∈ Rm the equation Ax = b has at most one solution. [Answer] If both x1 and x2 are solutions of Ax = b, then A(x1 − x2) = Ax1 − Ax2 = b − b = 0. But Ax = 0 has at most one solution according to the hypothesis. It follows that x1 − x2 = 0, i.e. x1 = x2. 齐次线性方程组 Ax = 0 有唯一零解是线性方程组 Ax = b 有唯一解的( (A) 充分必要条件; (B) 充分条件; (C) 必要条件; (D) 无关条件. [答] C. 设 A, B 都是 n 阶非零矩阵, 且 AB = 0, 则 A 和 B 的秩( (A) 必有一个等于零; (B) 都小于 n; (C) 必有一个等于 n; (D) 有一个小于 n. [答] B.
版本号：2010/10/30 z990303@ ; 2印本文档，请选择双面格式或用废纸
[证明] 设对称方阵A满足A2 = 0, 则ATA = AA = A2 = 0, 因而秩(ATA) = 0. 由命题 4 可知秩(A) = 秩(ATA) = 0, 所以A = 0.
2 2 【注 1】n维向量a = (a1, a2, ..., an)的长度||a|| = a12 + a2 . + " an
2 2 【注 2】若n维向量a = (a1, a2, ..., an), 则aaT = a12 + a2 = ||a||2. + " an
【注 3】n 维向量 a = 0 当且仅当 ||a|| = 0. 【注 4】设A为m行n列的矩阵, AT表示A的转置, 则AT为n行m列的矩阵. 记A的第一行为A1, 第二行为A2, ..., 第m行为Am, 则AT的第一列为A1T, 第二列为A2T, ..., 第m列为AmT. 因而AAT的主对角线上的元素依次为 A1A1T, A2A2T, ..., AmAmT, 即||A1||2, ||A2||2, ..., ||Am||2. [命题 5] 设A为m行n列的矩阵满足AAT = 0, 则A = 0. [证明] 因为AAT = 0, 所以||A1||2 = ||A2||2 = ... = ||Am||2 = 0, 因而A1 = A2 = ... = Am = 0, 可见A = 0. [推论] 若对称方阵A满足A2 = 0, 则A = 0. [证明] 设对称方阵A满足A2 = 0, 则AAT = AA = A2 = 0, 根据命题 5 可得 A = 0. [定理] 设 A 为 n 阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵 Q 使得
版本号：2010/10/30 z990303@ ; 272365083@
( )
( )
(印本文档，请选择双面格式或用废纸
(A*)−1 = (|A|A−1)−1. 比较(2)式和(3)式可得 (A*)−1 = (A−1)*.
版本号：2010/10/30 z990303@ ; 2印本文档，请选择双面格式或用废纸
【注 1】由上面的证明可以看出|A| > 0. 【注 2】当n > 2 时, 由AAT = AA* = |A|E可得 |A|2 = |A||AT| = |AAT| = |AA*| = |A|n, 因而|A|n−2 = 1. 进而由|A| > 0 得|A| = 1. 【注 3】当n > 2 时, 由上面的|A| = 1 可得AAT = AA* = |A|E = E, 即A为正交矩 阵. 设A为n阶方阵, 对某整数k > 1, Ak = 0, 证明(E−A)−1 = E + A + A2 + ... + Ak−1. [证明] 因为Ak = 0, 所以 (E−A)(E + A + A2 + ... + Ak−1) = E(E + A + A2 + ... + Ak−1) − A(E + A + A2 + ... + Ak−1) = E + A + A2 + ... + Ak−1 − A − A2 − ... − Ak−1 − Ak = E, 可见(E−A)−1 = E + A + A2 + ... + Ak−1. 对称方阵A满足A2 = 0. 证明A = 0. 设A为m行n列的矩阵, B = ATA, 其中AT表示A的转置, 则有以下结论: [命题 1] 线性方程组Ax = 0 的解一定是Bx = 0 的解. (其中B = ATA) [证明] 设向量 a 是 Ax = 0 的解, 则 Aa = 0. 于是Ba = ATAa = AT0 = 0. 可见 a 是 Bx = 0 的解. [命题 2] 线性方程组Bx = 0 的解一定是Ax = 0 的解. (其中B = ATA) [证明] 设向量 b 是 Bx = 0 的解, 则 Bb = 0. 于是bTBb = bT0 = 0. 另一方面, bTBb = bTATAb = (Ab)T(Ab) = ||Ab||2, 其中||Ab||表示向量Ab的长度. 由上述两个方面可得||Ab||2 = 0, 因而||Ab|| = 0, 进而得Ab = 0. 可见 b 是 Ax = 0 的解. [命题 3] 线性方程组Ax = 0 与Bx = 0 同解. (其中B = ATA) [证明] 综合上面的命题 1 和命题 2 立得. (注意: 线性方程组 Ax = 0 含有 m 个方程 n 个未知数; Bx = 0 含有 n 个方程 n 个未知数. 根据命题 3, 它们具有相同的基础解系) [命题 4] 秩(A) = 秩(B). (其中B = ATA) [证明] 因为线性方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 的基础解系中所含解向量的个数分别 为 n−秩(A) 与 n−秩(B), 故由命题 3 可见 n−秩(A) = n−秩(B). 因而秩(A) = 秩(B). [推论] 若对称方阵A满足A2 = 0, 则A = 0.