高中数学第1章立体几何初步1.3-1.3.1空间几何体的表面积课件苏教版必修2

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高中数学第一章 1.3.1空间几何体的表面积配套课件苏教版必修2

研一研·问题探究、课堂(kètáng)更高效
1.3.1
问题 3 下图是正四棱台的展开图，设底面周长为 c，你能根据展开图，归纳出正 n 棱台的侧面积公式吗？
答 S 正棱台侧面积＝12n(a＋a′)h′＝12(c＋c′)h′.
第十二页，共26页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.3.1
1.3.1
解由题意，可设直角梯形上底、下底和高为 2x,4x， 5x，它们分别是圆台的上、下底面半径和高．
在图中，过点 B 作 BC⊥OA 于 C，则在 Rt△ABC 中，AC＝OA－OC＝ OA－O′B＝4x－2x＝2x，BC＝O′O＝ 5x，
所以 AB＝ AC2＋BC2＝ 2x2＋ 5x2＝3x.
答如图，图柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线), 设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，
则有：S 圆柱侧＝2πrl，S 圆柱表＝2πr(r＋l)，其中 r 为圆柱底面半径，l 为母线长．
第十四页，共26页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
1.3.1
问题 2 如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积？答圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆
第二十页，共26页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高效
1.3.1
因此，S 上∶S 下∶S 侧＝[π(2x)2]∶[π(4x)2]∶[π(2x＋4x)×3x] ＝2∶8∶9.
即这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为 2∶8∶9. 小结解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题．
锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为 θ＝rl×360°， S 圆锥侧＝πrl，S 圆锥表＝πr(r＋l)，其中 r 为圆锥底面半径，l 为母线长.

高中数学1.3.1空间几何体的表面积精品课件苏教版必修

即六棱锥 P － ABCDEF 的表面积为 (6 3 ＋ 12 2)cm2.
3.有一建筑物，其三视图如图所示，底部是一个高为 5 cm，半径为 1 m 的圆柱，顶部是一个高为 2 m，底面半径为 2 m 的圆锥，现要求建筑工人将此建筑物粉刷一遍，已知每升涂料可粉刷 2 m2，问共需多少升涂料？(精确到 0.1)
解析：圆锥底面周长为 2 2π ，母线长为 22＋2 1 ＝ 6，所以它的侧面积为 ×2 2π × 6＝2 3 2 π.
答案：2 3π
典题例证技法归纳
题型探究
多面体的表面积
(1)一个正三棱锥的高和底面边长都为 a，求它的侧面积． (2)正四棱台两底面边长分别为 a， b，侧面积等于 2 个底面积的和，求它的高．
线长是多少，如何计算等，都必须搞清楚．
失误防范 1.多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图，或者关键的线面长，如底面边长、高等． 2.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等．
(2)设高为 h，斜高为 h′. 1 ∵S 侧＝ (a＋b)h′×4＝2(a＋b)h′， 2 S 上＋S 下＝a2＋b2，又∵S 侧＝S 上＋S 下， 2 2 a ＋ b ∴2(a＋b)h′＝a2＋b2，h′＝， 2（a＋b） 1 ab 2 2 ∴h＝ h′ －[ （b－a）] ＝ . 2 a＋b
【名师点评】
求多面体的表面积，可以先
求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面的形状，并找出求面积的条件；求底
面积要清楚底面多边形的形状及求面积的条
件．
变式训练 1.已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是 9 和 15，高是 5，求此棱柱的侧面积和表面积．
解：设底面两条对角线的长分别为 a，b，菱形的边长为 x， 2 2 2 a ＋5 ＝9 ，则 2 2 2 b ＋5 ＝15 ， ∴ a2 ＝ 56 ， b2 ＝ 200 ， ∴ 菱形的边长 x ＝ a2＋b2 ＝8， 4 ∴S 侧＝4x×5＝4×8×5＝160， 1 S 表面积＝S 侧＋S 底＝160＋2× × 56×200＝160 2 ＋40 7. ∴此棱柱的侧面积为 160 ，表面积为 160 ＋ 40 7.

高中数学 1.31.3.1 空间几何体的表面积课件苏教版必修2

面图形，棱锥的侧面展开图是由___三__角__形_______构成的平
面图形，棱台的侧面展开图是由____梯__形________构成的平
面图形．
栏
目
2．多面体的底__面__积__与__侧__面__积__的__和__叫做多面体的表面
链接
积(又称全面积)．特别：①S柱体侧＝_______C_h________(C是底周长，h是高)；②S锥体侧＝__12_C_h_′_____(C为底周长，h′为
熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是记忆
和应用公式的关键，要谨记：圆柱的侧面展开图是矩形，
圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是由一大
栏目
链
扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．
接
四、球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)
记忆公式时要借助于球的截面圆进行记忆，即球
面面积等于它的大圆面积的4倍，另外公式的推导中应栏
平面上，得到它们的侧面展开图；从各个侧面的多边形的几何特征上推导
出公式．
三、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半
径，l为圆柱的母线长)；
栏
②S圆锥表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，
目链
接
l为圆锥的母线长)；
③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径， r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．
链接
斗是正四棱台形，(如右图所示)，它的两底面边长分别为
80 mm和440 mm，高为200 mm，制造这样一个下料斗需
多大铁板？
栏目链接
1.了解柱、锥、台、球的表面积的计算方法. 2.能用柱、锥、台、球的表面积公式解决有关问题.

高中数学第1章立体几何初步1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1空间几何体的表面积课件苏教版必修2

a＋b2＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2ab， a2＋b＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2bc， a＋c2＋b2＝ a2＋b2＋c2＋2ac. 因为 a＞b＞c＞0，所以 ab＞ac＞bc＞0，故最短线路的长为 a2＋b2＋c2＋2bc.
[错因与防范](1)解答多面体表面上两点间的最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段的长．多面体的表面展开图并不只是一种图形，在解答题过程中容易因思考不全面导致错误． (2)求解与侧面积和全面积有关的问题，借助侧面展开图是常用的思路．求几何体表面两点间最短距离，也应借助侧面展开图，将立体几何问题转化为平面几何问题，这时应对多面体展开图的各种情况考虑周全．避免因遗漏某些情况而导致错误．
通过经历几何体的侧面展开过程，了解几何体的学法表面积的推导过程，学会其表面积公式推导的思指导想方法，提高空间思维能力和空间想象能力，增
强探索问题和解决问题的信心.
1．几个特殊多面体 (1)直棱柱：侧棱和底面_____垂__直_______的棱柱． (2)正棱柱：底面为___正__多__边__形_____的直棱柱． (3)正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是____底__面__中__心____ (4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分．
与空间几何体表面积相关的综合题如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折起，使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面 ADB⊥平面 BDC； (2)若 BD＝1，求三棱锥 D－ABC 的表面积． (链接教材 P55 练习 T4)
[解] (1)证明：因为折起前 AD 是 BC 边上的高，所以当△ABD 折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又 DB∩DC＝D，所以 AD⊥平面 BDC，因为 AD⊂ 平面 ABD，所以平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

高中数学第一章立体几何初步1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1空间几何体的表面积课件1苏教版必修

底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少
(duōshǎo)平方米的铁板？（保留两位有S效数字）
解：如图，S表示塔的顶点(dǐngdiǎn)，O
表示底面中心，则SO是高，设SE是斜
高。
在Rt△SOE中，由勾股定理得
SE=
1.5 2 2
0.852
1.13(m)
E O
S正棱锥侧
1 2
ch'
cb
h
h
a
a
bc
S直棱柱侧＝（a b c) h ch
第五页，共19页。
棱锥数学(shùxué)理论
(léngz
正hu棱ī)：锥底面是正多边形，顶点在底面的 (léngzhuī射)：影是底面中心的棱锥.
h' h'
S正棱锥侧＝
1 2
ch'
第六页，共19页。
棱台
(léng tái)：
数学(shùxué)理论
1 2
1.5
4 1.13
3.4
m2
第十三页，共19页。
数学(shùxué)运用（例2）
边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面 ( jiémiàn)，则从点E沿圆柱的侧面到G点
的最短距离5 是( 2 1 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
H
E
H
G
F
G
第十四页，共19页。
数学(shùxué)运用（例3）
有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线(mǔxiàn)的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到 0.1cm）
系？
S圆锥侧＝S扇＝

高中数学第1章立体几何初步1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1空间几何体的表面积课件苏教版

求多面体的侧面积和表面积
[典例] 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的表面积．
[解] 如图，设 PO＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底， ∴4·12·BC·PE＝2BC2.∴BC＝PE. 在 Rt△POE 中，PO＝3，OE＝12BC＝12PE. ∴9＋P2E2＝PE2.∴PE＝2 3. ∴S 底＝BC2＝PE2＝(2 3)2＝12.S 侧＝2S 底＝2×12＝24. ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.
1.3 空间几何体的表面积和体积
1．3.1 空间几何体的表面积
预习课本 P53～55，思考并完成下列问题 1．直棱柱、正棱锥、正棱台定义是什么？
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与全面积的计算公式是什么？
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积的计算公式是什么？
[新知初探]
1．几种特殊的多面体 (1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱． (2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱． (3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥． (4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，_截__面_ 和底面之间的部分．
组合体的侧面积和表面积问题 [典例] 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？(精确到0.01 m2) [解] 上部分圆锥体的母线长为 1.22＋2.52 ，其侧面积为S1 ＝π×52× 1.22＋2.52.下部分圆柱体的侧面积为S2＝π×5×1.8. ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S＝S1＋S2＝π×52× 1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.04 (m2)．
[活学活用] 有两个相同的直棱柱，高为 2a ，底面三角形的边长分别为

高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积课件苏教版必修2

(2)已知圆锥的底面半径是r,侧面母线长是l,且它的侧面展开图是 �� 圆心角为90°的扇形,那么 �� = .
解析：由已知得,2πr= · 2πl,l=4r,故 =4.
4 ��
1
��
答案：4
典例导学
即时检测
一
二
三
一、求多面体的表面积正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积. 思路分析：审题时要画出正四棱锥的高、斜高、底面正方形的边心距组成的直角三角形,在此三角形中计算正四棱锥的关键量.
3
答案：(72+12 3) cm2
典例导学
即时检测
一
二
三
解析：如图,设正方体的棱长为 a,以 B,A1,C1,D 为顶点的四面体是正四面体,且每条棱长都是 2a,��- ��1 ��1 ��表=4��△��1 �� =4× ×
即时检测
一
二
三
典例导学
即时检测
一
二
三
解析：由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,圆柱的侧面积为S1=2π×2×4=16π,圆锥的侧面积
��· �� 3×4 12 ∴BD= �� = 5 = 5 . 1 1 ∴S=2BD· 2π· AB+ · BD· 2π· BC 2 1 = BD· 2π(AB+BC) 2 1 12 = × ×2π(3+4) 2 5 84 = π. 5
典例导学
典例导学
即时检测
一

2018年高中数学第1章立体几何初步 1.3.1 空间几何体的表面积课件8 苏教版必修2

SE=
2 2 2
12
1.41(m)
E O
S 正棱锥侧 1 2 c h ' 1 2 2 4 1 .4 1 5 .6m 2
课堂练习：
1.如图，E，F分别为正方形ABCD的边 BC,CD的中点,沿图中虚线折起来,它能围成怎样的几何体?
A
D
F
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
C1 A1
C A
B1
棱柱两底面的距离叫做棱柱的高.
B
把直(正)三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？
h
cb
a
h
a
h
bc
S直棱＝柱 a 侧（ bc)hch
练习:
1. 正四棱柱的高为h, 底面边长为a,则正四棱柱侧面积是______;全面积是_______。
2. 用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 那么这个圆锥筒的高是多少?
小结：
1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的侧面积公式
S三棱锥＝12 ch'
S圆锥=πrl
C’=0
r1=0
S正棱＝台1 2（c＋c')h'
C’=C
S直棱＝柱ch'ch
S圆台=π(r1+r2)l
r1=r2
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧

1c'ch'
2
1 S锥侧 2 ch '
数学运用
例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是1m，底面的边长是2m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？（保留两位有效数字）

高中数学第1章立体几何初步1.3空间几何体的表面积与体

第1章立体几何初步
1．3.2 空间几何体的体积
第1章立体几何初步
学习导航
1.了解柱、锥、台的体积公式的推导过程． 2．理解柱、锥、台体之间及它们的体积公式之间学习的关系，以及球的表面积的推导．(难点) 目标 3．掌握柱、锥、台体的体积公式和球的表面积、体积公式及应用，会运用体积的割补法、等积转换法等常规方法．(重点)
得 EF＝ AE2＋AF2＝
a2＋
22a2＝
6 2 a.
在 Rt△BCF 中，由 BF＝12CD＝ 22a，BC＝AD＝a，
得 CF＝ BF2＋BC2＝ 26a. 在 Rt△DCE 中，由 DE＝a，DC＝ 2a，
得 EC＝ DE2＋DC2＝ a2＋ 2a2＝ 3a. 所以 EF2＋FC2＝EC2，
学法指导
通过几何体的体积及球的体积和面积公式的推导，提高空间思维能力和空间想象能力，增强探索问题和解决问题的信心.
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积公式
柱体 V＝______S_h_______(S为底面面积，h为柱体的高) 1
锥体 V＝____3_S_h________(S为底面面积，h为锥体的高) 台体 V面＝面_积_13_(，S_′_h_＋为__台__S体_′_的_S_＋高__S)_)h_____(S、S′分别为上、下底

r＝，∴
πl＝2πr
l＝2
S ＝ 3· Sπ，
所以圆锥的体积为 V＝13S· 3
Sπ＝
3 3 S·
S π.
柱体的体积
圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，求圆柱的体积． (链接教材P59例1) [解] 设圆柱的底面半径为R，高为h， ①当圆柱的底面周长为6π时，高为4π，即2πR＝6π，h＝4π，∴R＝3， ∴V＝πR2·h＝π·32·4π＝36π2.

高中数学1.3.1空间几何体的表面积课件苏教版必修

解 S 锥表＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π. S 柱侧＝2πrl＝2π×DG×FG＝2π×1× 3＝2 3π. 故所求几何体表面积 S 表＝12π＋2 3π.
误区警示对几何体的表面积理解不全面致错
【示例】如图，从底面半径为 2a，高为 3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表面积 S2 之比．
∵AA1＝A1B，∴AB⊥A1E. ∵AE＝5，A1A＝13. ∴A1E＝12，∴S 侧＝12×10×2＋13×12＝396.
题型二正棱锥和正棱台的侧面积和表面积【例 2】设正三棱锥 S－ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO＝3，求此正三棱锥的全面积． [思路探索] 本题主要考查正棱锥的表面积的求法，关键是求其底面积和侧面积．利用 S 侧＝2S 底可求得斜高 h′与底面边长 a 的关系，再利用勾股定理可求出 a 与 h′.
【训练 1】斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC，AB＝AC＝ 10，BC＝12，棱柱顶点 A1 到 A、B、C 的距离相等，侧棱长是 13，求它的侧面积．
解如图，取 BC 的中点 D，则 BC⊥AD. 设 A1O⊥底面 ABC，则 O 在 AD 上， BC⊥A1A， ∴BC⊥ BB1，∴侧面 B1C1CB 是矩形，取 AB 的中点 E，
Q1 2 Q22 即 2l ＋ 2l ＝a2.
2 ∴4a2l2＝Q2 ＋ Q 1 2， 2 ∴2al＝ Q2 1＋Q2. 2 ∴S 侧＝4al＝2 Q2 ＋ Q 1 2.
规律方法关于直棱柱的侧面积问题，要求底面周长和高的乘积，因此解题时可逐个求解，也可以把其积作为一个整体求解．

高中数学第1章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积课件苏教版必修2

作业：课本Ｐ63习题1.3
1、3、4、8
Ｐ61 10
测反16课时
把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
扇形
S圆锥侧＝S扇＝
1 2
cl
rl
c 圆台的侧面积会求吗？
返回
思考：如何求几何体的侧面积？几何体的侧面展开图面积＝几何体的侧面积
多面体的平面展开图
多面体是由一些平面多边形围成的几何体. 一些多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.
分别指出下列图形是什么空间图形的平面展开图?
正方体
三棱柱
四棱锥
棱柱:
直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
侧面展开
h'
S正棱台侧
1 2
(c
c)h
h'
c,c’分别为上下底面周长，
h’为斜高，即侧面等腰注梯:形只有高正。棱锥和正棱台才有斜高.
棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间有何关系,如何转化？
上底扩大
上底缩小
S直棱柱=
ch
c’=c S正棱台=
c’=0 S正棱锥=
1 2
(c+c’)h’
1 2
ch’
数学运用
O’
B
O
A
练1.一个圆锥的母线与底面成60°的角,则侧面积与底面积的比为___2_:1____;
练2：一个无上盖圆柱形的锅炉，底面直径d=2m，
高h=2.5m，则锅炉的表面积为
。 6πm2
练3.圆锥的底面直径为5cm,母
线长为10cm,如图,一只蚂蚁从