微积分学广义积分敛散性判别

(3) a [ f (x) g(x)]d x a f (x) d x a g(x) d x .
(4)
u(x)v(x) d x
a
u(x)v(x)
a
u(x)v(x) d x .
a
(5) 无穷积分也可按照定积分的换元法进行计算.
(6) 若在[a, ) 上 f (x) g(x) , 则
d x a xp
(a 0)
P 积分当 p 1 时收敛；当 p 1 时发散.
2. 无穷积分的基本运算性质
设以下所有出现的积分均存在，则
a
(1) f (x) d x f (x) d x .
a
其它类型的无穷 积分的情形类似 于此.
c
(2) a f (x) d x a f (x) d x c f (x) d x c R .
一、无穷积分 —— 无穷区间上的广义积分
1. 无穷积分的概念
设函数 f (x) 在[a, ) 上有定义.
A R , A a , 且 f (x) R([a, A] ) . 记
A
f (x) d x lim f (x) d x ,
a
A a
称之为 f (x) 在[a, ) 上的无穷积分.
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
又已知函数F(x) 在[a, ) 上有上界, 从而
x
F (x) a f (t) d t
在[a, ) 上单调增加且有上界. 由极限存在准则
可知极限 lim F(x) lim
x
f (t) d t
存在.
x
x a
即无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
定理 （ 比较判别法 ）
设函数 f (x) , g(x) 在[a, ) 上有界, A R , A a ,
设函数 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 .
若积分上限函数 F(x)
x
f (t) d t
在[a, )
a
上有上界, 则无穷积分 f (x) d x 收敛 . a
证 因为 f (x) C( [a, ) ) , 且 f (x) 0 , 所以,
积分上限函数F(x) 在[a, ) 上单调增加.
f (x)d x F(x)
a
0
lim
x
F ( x)
F
(a)
.
b
f (x)d x F(x)
b
F (b)
lim
x
F
(x)
.
f (x)d x F(x)
lim
x
F ( x)
lim
x
F
(x)
.
这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.
例5
讨论 P－积分来自百度文库
d x a xp
(a 0) 的敛散性，
a
x
lim f (t) d t I .
x a
由于有极限的量在该极限过程中必有界, 故可知
G(x)
x
g(t) d t
在[a, ) 上有上界.
a
由 a x 时, 0 f (x) g(x) 得
x
x
0 a f (t) d t a g(t) d t ,
从而, 积分上限函数
F(x)
x
f (t) d t
定理 （比较判别法的极限形式法）
设 f (x) , g(x) 为定义在[a, ) 上的非负函数, A[a, ) ,
f (x) , g(x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim f (x) , 那么, x (x)
(1) 当 0 时 , 无穷积分 f (x) d x 与 g(x) d x 同时
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .
B B
c
(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
证
(1) 若积分
g(x)d x
收敛，则下列极限存在
B B
A c
若
c
f (x)d x 与
f (x) d x 同时收敛，则称
f
(x)d x
收敛 .
c
若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
c
对 f (x) d x 而言，由定积分对区间的可加性，
显然其收敛性与 c 值无关. 为方便起见，通常取 c 0.
f (x)d x
g(x)d x .
a
a
3. 无穷积分敛散性的判别法
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:
x
f (x) d x lim f (t) d t ;
a
x a
b
b
f (x) d x lim f (t) d t .
x x
这样可以利用积分上限函数来进行有关的讨论.
定理
其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a
a 1 p , p 1
p 1, 发散 p 1. 收敛
综上所述，
P－积分
a
a
收敛, 或同时发散.
(2) 当 0 时 , 无穷积分 g(x) d x 收敛 , 则 f (x) d x 收敛 .
例1 解
计算 x ex2 d x . 0
x ex2 d x lim A x ex2 d x
0
A 0
令 u x2
lim 1 A2 eu d u 2 A 0
lim 1 (eu ) A 2
A2 0
lim ( 1 eA2 1 )
A 2
2
1. 2
能否将这里的书 写方式简化？
为书写方便起见，若F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则约定
在[a, ) 上有上界,
a
故积分 f (x) d x 收敛 . a
(2) 运用反证法.
如果
f (x) d x 发散时, 积分
g(x)d x
收敛 ,
a
a
则由(1) 立即可得出矛盾: f (x) d x 收敛 . a
与级数的情形类似, 比较判别法也是判别无穷积分 敛散性的重要方法. P 积分是重要的比较标准之一.