2019届人教A版(理科数学) 平面向量的概念及其线性运算 单元测试

（二十八） 平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，若AB ―→＋AD ―→＝λAO ―→， 则λ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 根据向量加法的运算法则可知，AB ―→＋AD ―→＝AC ―→＝2AO ―→，故λ＝2. 2．在△ABC 中，AD ―→＝2DC ―→，BA ―→＝a ，BD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则下列等式成立的是( ) A ．c ＝2b －a B ．c ＝2a －b C ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：选D 依题意得BD ―→－BA ―→＝2(BC ―→－BD ―→)， 即BC ―→＝32BD ―→－12BA ―→＝32b －12a .3．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→， 故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．(2018·扬州模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ―→＝12NC ―→，P 是BN 上一点，若AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→，则实数m 的值是________．解析：如图，因为AN ―→＝12NC ―→，P 是BN ―→上一点．所以AN ―→＝13AC ―→，AP ―→＝m AB ―→＋29AC ―→＝m AB ―→＋23AN ―→，因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.答案：135．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ，b ，且AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－5a ＋6b ，CD ―→＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解析：选A AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝3a ＋6b ＝3AB ―→. 因为AB ―→与AD ―→有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数 使c ＝ d ( ＜0)，于是λa ＋b ＝ []a ＋(2λ－1)b . 整理得λa ＋b ＝ a ＋(2λ － )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为 ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3.如图，已知|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，OA ―→与OB ―→的夹角为120°，OC ―→与OA ―→的夹角为30°，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→ (λ，μ∈R)，则λμ等于( )A.32B ．233C.12D ．2解析：选D 过C 作OB 的平行线交OA 的延长线于点D .由题意可知，∠COD ＝30°，∠OCD ＝90°， ∴OD ＝2CD ，又∵OD ―→＝λOA ―→，DC ―→＝μOB ―→， ∴λ|OA ―→|＝2μ|OB ―→|，即λ＝2μ，故λμ＝2.4．(2018·遂昌期初)已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则实数t 的值为( ) A ．2 B ．1 C.23D.12解析：选D 由题可设13(a ＋b )＝λa ＋μt b ，因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，所以有λ＋μ＝1.所以13＝λ，μ＝23，所以13＝23t ，解得t ＝12.5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵D 为AB 的中点，则OD ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，又OA ―→＋OB ―→＋2OC ―→＝0，∴OD ―→＝－OC ―→，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4. 6．在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AN ―→＝3NC ―→，M 为BC 的中点，则MN ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ―→＝3NC ―→，得AN ―→＝34AC ―→＝34(a ＋b )，AM ―→＝a ＋12b ，所以MN ―→＝AN ―→－AM ―→＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 答案：－14a ＋14b7．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝ |AB ―→－ AC ―→|，则|AM ―→|＝________.解析：由|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|可知，AB ―→⊥AC ―→， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM ―→|＝12|BC ―→|＝2.答案：28．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ―→＝a ，CA ―→＝b ， 给出下列命题：①AD ―→＝12a －b ；②BE ―→＝a ＋12b ；③CF ―→＝－12a ＋12b ；④AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AD ―→＝12CB ―→＋AC ―→＝－12a －b ，故①错；BE ―→＝BC ―→＋12CA ―→＝a ＋12b ，故②正确；CF ―→＝12(CB ―→＋CA ―→)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD ―→＋BE ―→＋CF ―→＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．∴正确命题为②③④. 答案：39．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2 e 1－8 e 2，CB ―→＝e 1＋3 e 2，CD ―→＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3 e 1－ e 2，且B ，D ，F 三点共线，求 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2 e 1－e 2)－(e 1＋3 e 2)＝e 1－4 e 2， ∵AB ―→＝2 e 1－8 e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4 e 2，∵BF ―→＝3 e 1－ e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF ―→＝λBD ―→(λ∈R)， 即3 e 1－ e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ. 解得 ＝12.10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ―→＋4BP ―→ ＋5CP ―→＝0，延长AP 交BC 于点D ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，用a ，b 表示向量AP ―→，AD ―→.解：∵BP ―→＝AP ―→－AB ―→＝AP ―→－a ，CP ―→＝AP ―→－AC ―→＝AP ―→－b ， 又3AP ―→＋4BP ―→＋5CP ―→＝0，∴3AP ―→＋4(AP ―→－a )＋5(AP ―→－b )＝0， ∴AP ―→＝13a ＋512b .设AD ―→＝t AP ―→ (t ∈R)，则AD ―→＝13 t a ＋512 t b . ①又设BD ―→＝ BC ―→ ( ∈R)，由BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝b －a ， 得BD ―→＝ (b －a )．而AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝a ＋BD ―→.∴AD ―→＝a ＋ (b －a )＝(1－ ) a ＋ b . ②由①②得⎩⎨⎧13t ＝1－k ，512t ＝k ，解得t ＝43.代入①得AD ―→＝49 a ＋59b .∴AP ―→＝13 a ＋512 b ，AD ―→＝49 a ＋59 b .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AF ―→＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12 B ．⎝⎛⎫23，23 C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，12解析：选C 令BF ―→＝λBE ―→ ，则AF ―→＝AC ―→＋BF ―→＝AB ―→＋λBE ―→＝AB ―→＋λ⎝⎛⎭⎫12 AC ―→－AC ―→ ＝(1－λ)AB ―→＋12λAC ―→；令CF ―→＝μCD ―→，则AF ―→＝AC ―→＋CF ―→＝AC ―→＋μCD ―→ ＝AC ―→＋μ⎝⎛⎭⎫12 AB ―→－AC ―→ ＝12μAB ―→＋(1－μ)AC ―→. 由对应系数相等可得⎩⎨⎧1－λ＝12μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以AF ―→＝13AB ―→＋13AC ―→.故选C.2．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ―→＝2DC ―→. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE ―→＝λDC ―→(0≤λ≤1)． ∵AE ―→＝AD ―→＋DE ―→，又AE ―→＝AD ―→＋μAB ―→＝AD ―→＋2μDC ―→＝AD ―→＋2μλDE ―→，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 3．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ―→＝m OA ―→＋(1－m )OB ―→＝OB ―→＋m (OA ―→－OB ―→)， ∴OP ―→－OB ―→＝m (OA ―→－OB ―→)， 即BP ―→＝m BA ―→，∴BP ―→与BA ―→共线． 又∵BP ―→与BA ―→有公共点B ， ∴A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线， 则存在实数λ，使BP ―→＝λBA ―→， ∴OP ―→－OB ―→＝λ(OA ―→－OB ―→)． 又OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→.故有m OA ―→＋(n －1)OB ―→＝λOA ―→－λOB ―→， 即(m －λ)OA ―→＋(n ＋λ－1)OB ―→＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA ―→，OB ―→不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。