2017-2018年内蒙古阿拉善盟阿拉善左旗高中高二上学期期中数学试卷及解析(理科)

2017-2018学年内蒙古阿拉善盟阿拉善左旗高中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞3}C．{x|x＜1或x＞3}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.73．（5分）在△ABC中，a=2，b=3，则=（）A．B．C．D．不确定4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A．10 B．18 C．20 D．285．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣36．（5分）给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2．其中正确的是（）A．②④B．①③C．①②D．②③7．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，，b=1，B=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）掷两个骰子，恰好出现一个点数比另一个点数大3的概率（）A．B．C．D．10．（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”11．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．12．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在等比数列{a n}中，，则a n=．14．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．15．（5分）在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为．16．（5分）已知数列{a n}中，设{a n}的前n项和为S n，则S101的值为．三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，b=，解三角形．18．（12分）（1）在等差数列{a n}中，已知a1=3，d=4，a n=59，求n；（2）在等比数列{a n}中，已知，求a1与q．19．（12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．20．（12分）袋子中装有2个黑球和3个红球，从中任意摸出两个球．（1）求恰好摸出一红一黑的概率；（2）求至少摸出一个黑球的概率．21．（12分）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各是多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？22．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．2017-2018学年内蒙古阿拉善盟阿拉善左旗高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集为（）A．{x|x＜1}B．{x|x＞3}C．{x|x＜1或x＞3}D．{x|1＜x＜3}【解答】解：由方程（x﹣1）（x﹣3）=0，得x1=1，x2=3，所以不等式（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}．故选：C．2．（5分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7【解答】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选：C．3．（5分）在△ABC中，a=2，b=3，则=（）A．B．C．D．不确定【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=3，则由正弦定理可得=．故选：B．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（）A．10 B．18 C．20 D．28【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，故选：C．5．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．6．（5分）给出以下四个命题：①若a＞b，则＜；②若ac2＞bc2，则a＞b③若a＞|b|，则a＞b；④若a＞b，则a2＞b2．其中正确的是（）A．②④B．①③C．①②D．②③【解答】解：①若a＞0＞b，则＞，故①错误；②若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故②正确；③若a＞|b|，则a＞b，故③正确；④若a=1，b=﹣1，则a＞b，但a2=b2．故④错误；故选：D．7．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．8．（5分）在△ABC中，，b=1，B=30°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，b=1，c=，∴，∴sinC=，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面积为=或．故选：B．9．（5分）掷两个骰子，恰好出现一个点数比另一个点数大3的概率（）A．B．C．D．【解答】解：掷两个骰子，基本事件总数n=6×6=36，恰好出现一个点数比另一个点数大3包含的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），共6个，∴恰好出现一个点数比另一个点数大3的概率p==．故选：B．10．（5分）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【解答】解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故选：C．11．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．12．（5分）如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=x，由题意可得AD=x，BD=△ABD中，由余弦定理可得∴sinA=△ABD中，由正弦定理可得⇒sin∠ADB=∴△BDC中，由正弦定理可得故选：D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在等比数列{a n}中，，则a n=2n﹣3．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，∴a1q=，q3=8，解得q=2，a1=．则a n==2n﹣3．故答案为：2n﹣3．14．（5分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：115．（5分）在区间[0，9]上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为．【解答】解：本题属于几何概型解不等式1≤log2x≤2，可得2≤x≤4，∴在区间[0，9]上随机取一实数x，该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为故答案为：16．（5分）已知数列{a n}中，设{a n}的前n项和为S n，则S101的值为﹣1．【解答】解：∵，当n=1时，a1=﹣1，当n=2时，a2=﹣3，当n=3时，a3=5，当n=4时，a4=7，当n=5时，a5=﹣9，当n=6时，a6=﹣11，∴S4=﹣1﹣3+5+7=8，S8﹣S4=﹣9﹣11+13+15=8，每隔4项之和均为8，101÷4=25 (1)∵a101=﹣201．∴S101=8×25﹣201=﹣1，故答案为：﹣1三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，b=，解三角形．【解答】解：∵b=，由正弦定理可得=，∴sinC===，∵b＞c，∴C=30°，∴A=90°，∴a=2．18．（12分）（1）在等差数列{a n}中，已知a1=3，d=4，a n=59，求n；（2）在等比数列{a n}中，已知，求a1与q．【解答】解：（1）由通项公式可得：59=3+4（n﹣1），解得n=15．（2）a1q=，a1+a1q=，联立解得：q=1，a1=；，a1=6．19．（12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：（Ⅰ）A处与D处之间的距离；（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．20．（12分）袋子中装有2个黑球和3个红球，从中任意摸出两个球．（1）求恰好摸出一红一黑的概率；（2）求至少摸出一个黑球的概率．【解答】解：2个黑球为a，b，3个红球为c，d，e，则共有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de．一共10种（1）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件．所以P（A）==（2）记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，所以P（B）=．21．（12分）已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各是多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？【解答】解：设矩形的长和宽分别为x和y，圆柱的侧面积为z，（1分）依题意，得2x+2y=36，z=2πxy（7分）即x+y=18，可得z≤2=162π（11分）当x=y，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积为162π．（13分）22．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．∴对n∈N时，++…+＜．+。