广东省六校联盟2016届高考数学模拟试题(A卷)文
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷(文科)(a卷)(解析版)
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（文科）（A卷）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，A=，B={x|lnx＜0}，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|x＜﹣1或x≥2}D．{x|0＜x＜2}2．已知复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z（1﹣2i）为实数，则=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．3．下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3C．y=ln D．y=|x|+14．A是半径为2的圆O内一个定点，P是圆O上的一个动点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，则|OQ|•|QA|的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为（）A．B．C．D．6．已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A．B．C．±D．±7．点P（﹣，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为．①f（x）的最小正周期是π；②f（x）的值域为[0，2]；③f（x）的初相φ为④f（x）在[，2π]上单调递增．以上说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．1D．1+9．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]10．执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．30611．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．612．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段BB1和线段A1B1上移动，∠EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE，AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所在部分的体积为V（θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上）13．如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为．14．函数y=sinx和y=cosx在x=处的两条切线与x轴围成封闭区域D，点（x，y）∈D，则x+2y的最小值为．15．已知0＜a≤，设函数f（x）=+sinx（x∈[﹣a，a]）的最大值为P，最小值为Q，则P+Q的值为．16．在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在正项数列{a n}、{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）证明：{}成等差数列，并求出a n，b n；（2）设c n=，求数列{c n}的前n和S n．18．在某次足球比赛中，对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分．（1）根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值（精确到小数点后两位），并给出一个正确的统计结论；（2）规定跑动距离为9.0km及以上的球员为优秀球员，跑动距离为8.5km及以上的球员为积极球员，其余为一般球员．现从两队的优秀球员中随机抽取2名，求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率．19．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．（1）求证：DF⊥平面ABCD；（2）若△ABD是边长为2的等边三角形，且BF与平面ABCD所成角的正切值为1，求点E到平面BDF的距离．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，过F且倾斜角为的直线l被抛物线C截得的线段长为8．（1）求抛物线C的方程；（2）已知直线y=﹣x和抛物线C交于点O，A，线段AO的中点为Q，在AO的延长线上任取一点，P作抛物线C的切线，两切点分别为M、N，直线MQ交抛物线C于另一点B，问直线AB的斜率k0是否为定值？如果是，求k0的值，否则，说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=+的最大值M．（1）求实数M的值；（2）求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，A=，B={x|lnx＜0}，则A∪B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|x＜﹣1或x≥2}D．{x|0＜x＜2}【考点】并集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：≤0，即（x+1）（x﹣2）＜0，且x﹣2≠0，解得：﹣1≤x＜2，即A={x|﹣1≤x＜2}，由B中不等式变形得：lnx＜0=ln1，得到0＜x＜1，即B={x|0＜x＜1}，则A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故选：B．2．已知复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z（1﹣2i）为实数，则=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接把复数z=a+bi代入z（1﹣2i），然后由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：∵z（1﹣2i）=（a+bi）（1﹣2i）=（a+2b）+（b﹣2a）i为实数，∴b﹣2a=0，即．故选：A．3．下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3C．y=ln D．y=|x|+1【考点】函数单调性的性质．【分析】逐一分析四个函数的奇偶性，单调性，判断是否满足既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，可得答案．【解答】解：函数y=x2﹣2x为非奇非偶函数；函数y=x3为奇函数；函数y=ln的定义域为（﹣1，1），函数y=|x|+1既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，故选：D4．A是半径为2的圆O内一个定点，P是圆O上的一个动点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，则|OQ|•|QA|的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得|OQ|+|QA|=|OQ|+|QP|=|OP|=2，从而2=|OQ|+|QA|≥2，由此能求出|OQ|•|QA|的最大值．【解答】解：∵A是半径为2的圆O内一个定点，P是圆O上的一个动点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，∴|OQ|+|QA|=|OQ|+|QP|=|OP|=2，∴2=|OQ|+|QA|≥2，∴|OQ|•|QA|≤1，当且仅当Q为OP中点时取等号，∴|OQ|•|QA|的最大值为1．故选：A．5．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号不相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号不相连的概率．【解答】解：有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共有10种，其中选出的火炬手的编号不相连的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5），共有6种，故选出的火炬手的编号不相连的概率=6．已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A．B．C．±D．±【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积为0，列出方程即可推出结果．【解答】解：||=3，||=5，与不共线，向量k+与k﹣互相垂直，可得（k+）（k﹣）=0，得k2||2﹣||2=0，k2=，解得k=．故选：D．7．点P（﹣，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为．①f（x）的最小正周期是π；②f（x）的值域为[0，2]；③f（x）的初相φ为④f（x）在[，2π]上单调递增．以上说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，得出结论，从而得到答案．【解答】解：∵点P（﹣，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，∴m=1，ω•（﹣）+φ=kπ，k∈Z．∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为=•=，∴ω=2，∴φ=kπ+，∴φ=，f（x）=sin（2x+）+1．故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；③f（x）的初相φ为，正确；④在[，2π]上，2x+∈[，]，再根据函数的周期性，等价于2x+∈[﹣，]，故函数f（x）单调递增，故④正确，故选：D．8．已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．1D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，代入双曲线方程，得出e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，∠PF2x=60°，∴P（2c，c），代入﹣=1，可得﹣=1，∴4e4﹣8e2+1=0，∵e＞1，∴e=．故选：B．9．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．10．执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．306【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的P的最小值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，S=0，输入P，S=0+2=2，n=2，S≤P，S=2+22=6，n=3，S≤P，S=﹣6+23=2，n=4，S≤P，S=2+24=18，n=5，S≤P，S=﹣18+25=14，n=6，S≤P，S=14+26=78，n=7，S≤P，S=﹣78+27=50，n=8，S≤P，S=50+28=306，n=9，S＞P，终止循环，输出n=9；所以P的最小值为78．故选：C．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．12．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在线段BB 1和线段A 1B 1上移动，∠EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE ，AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为V （θ），则函数V=V （θ），θ∈（0，）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据条件求出V=V （θ）的表达式，即可得到结论．【解答】解：当时，BE=tanθ，则三棱柱的体积为，当θ∈（，）时，AE=tan（﹣θ）=cotθ，则棱BC所在部分的体积为V（θ）=1﹣tan（﹣θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的图象关于点对称，故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上）13．如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，画出直观图并求出棱长、判断出线面的位置关系，代入棱锥体积公式可得答案．【解答】解：由几何体的三视图得几何体是侧放的四棱锥S﹣ABCD，直观图如图所示：其中底面ABCD是直角梯形ABCD，且AB∥CD，AD⊥AB，AD⊥AS，AB=4，CD=AD=AS=2，且AS⊥平面ABCD，∴这个几何体的体积V==4，故答案为：4．14．函数y=sinx和y=cosx在x=处的两条切线与x轴围成封闭区域D，点（x，y）∈D，则x+2y的最小值为﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和方程，作出两切线，可得三角形的区域，作出直线l0：x+2y=0，平移l0，即可得到所求最小值．【解答】解：函数y=sinx的导数为y′=cosx，可得在x=处的切线斜率为，切点为（，），方程为y﹣=（x﹣），即为y=x+﹣；函数y=cosx的导数为y′=﹣sinx，可得在x=处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣），即为y=﹣x++．作出两切线，可得区域D，作出直线l0：x+2y=0，平移l0，可得通过点A（﹣1，0），x+2y取得最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．15．已知0＜a≤，设函数f（x）=+sinx（x∈[﹣a，a]）的最大值为P，最小值为Q，则P+Q的值为4030．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】给出一个具体函数想研究最值，可以考虑函数的单调性，本题需要对分式型的式子进行变形．【解答】f（x）==2016+sinx+，∵0，f（x）在[﹣a，a]上单调递增，∴P+Q=f（﹣a）+f（a）=4032﹣sina﹣+sina﹣=4032﹣﹣=4030，故答案为：403016．在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．【考点】余弦定理．【分析】令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得关于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，则：AB=3，BC=3m，则利用余弦定理可得：．∴．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在正项数列{a n}、{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）证明：{}成等差数列，并求出a n，b n；（2）设c n=，求数列{c n}的前n和S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）由题意可得：2b n=a n+a n+1，，由b n＞0，a n＞0，，可得，即可证明，进而得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）证明：由题意可得：2b n=a n+a n+1，，∵a1=2，b1=4，∴a2=6，b2=9，b n＞0，a n＞0，a n，b n，a n+1成等差数列，∴，∴成等差数列，∴，a n==n（n+1）．（2）解：，=．18．在某次足球比赛中，对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分．（1）根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值（精确到小数点后两位），并给出一个正确的统计结论；（2）规定跑动距离为9.0km及以上的球员为优秀球员，跑动距离为8.5km及以上的球员为积极球员，其余为一般球员．现从两队的优秀球员中随机抽取2名，求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】（1）由茎叶图可知甲队球员跑动距离的中位数和乙队球员跑动距离的中位数，求出甲队球员跑动距离的平均数和乙队球员跑动距离的平均数，由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离，球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论．（2）根据茎叶图可知，两队的优秀球员共5名，其中甲队2名，乙队3名．由此利用列举法能求出这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率．【解答】解：（1）由茎叶图可知，甲队球员跑动距离的中位数为8.2km，乙队球员跑动距离的中位数为8.1km，…甲队球员跑动距离的平均数为：..乙队球员跑动距离的平均数为：..由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离，因而可知乙队球员相对甲队球员跑动的更加积极，而从中位数对比可知甲队球员跑动距离的中位数比乙队球员跑动距离的中位数大，因而球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论．…（2）根据茎叶图可知，两队的优秀球员共5名，其中甲队2名，乙队3名．将甲队的2名优秀球员分别记为a，b，乙队的3名优秀球员分别记为A，B，C，则从中随机抽取2名，所有可能的结果为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10个．其中既有甲队球员又有乙队球员（记为事件M）包含的结果为aA，aB，aC，bA，bB，bC 共6个…由古典概型的概率计算公式知，这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率为：．…19．如图，在多面体EF ﹣ABCD 中，ABCD ，ABEF 均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=，DCEF 为平行四边形，平面DCEF ⊥平面ABCD ． （1）求证：DF ⊥平面ABCD ；（2）若△ABD 是边长为2的等边三角形，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1，求点E 到平面BDF 的距离．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由∠ABE=∠ABC=可得AB ⊥平面BCE ，于是EF ⊥平面BCE ，从而EF ⊥CE ，故四边形CDFE 为矩形，于是D ⊥CD ，根据面面垂直的性质得出DF ⊥平面ABCD ； （2）连接BD ，DE ，则∠FBD 为BF 与平面ABCD 所成角，故而得出DF=BD=2，计算出BC ，CD ，根据V B ﹣DEF =V E ﹣BDF 列方程即可得出点E 到平面BDF 的距离．【解答】证明：（1）∵，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE ∩BC=B ， ∴AB ⊥平面BCE ，∵EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCE ，∵CE ⊂平面BCE ，∴EF ⊥CE ．又四边形CDFE 是平行四边形， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ⊥DC ．又平面DCEF ⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面CDFE=CD ，DF ⊂平面CDFE ， ∴DF ⊥平面ABCD ． （2）连接BD ，DE ．∵△ABD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC=，∴．由（1）得DF ⊥平面ABCD ，∴∠FBD 为BF 与平面ABCD 所成角的角， ∴tan ∠FBD=1，即DF=BD=2．∴V B ﹣DEF ===．设E 到平面BDF 的距离为d ，则V E ﹣BDF ===∵V B ﹣DEF =V E ﹣BDF ，∴=，解得．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，过F且倾斜角为的直线l被抛物线C截得的线段长为8．（1）求抛物线C的方程；（2）已知直线y=﹣x和抛物线C交于点O，A，线段AO的中点为Q，在AO的延长线上任取一点，P作抛物线C的切线，两切点分别为M、N，直线MQ交抛物线C于另一点B，问直线AB的斜率k0是否为定值？如果是，求k0的值，否则，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得直线l的方程，代入抛物线的方程求得交点，运用弦长公式，可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）由解得O（0，0），A（4，﹣4），OA的中点为Q（2，﹣2），设点P（m，﹣m），M（x1，y1），N（x2，y2），求得切线MP，NP的方程，进而得到直线MQ的方程，代入抛物线的方程，求得B的纵坐标，运用直线的斜率公式计算即可得到定值﹣1．【解答】解：（1）过F（，0）且倾斜角为的直线l的方程为y=x﹣，代入抛物线y2=2px，可得y2﹣2py﹣p2=0，解得y=（1±）p，可得弦长为•|y1﹣y2|=4p=8，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x；（2）由解得O（0，0），A（4，﹣4），OA的中点为Q（2，﹣2），设点P（m，﹣m），M（x1，y1），N（x2，y2），过M的切线为y1y=2（x+x1），切线过P，可得（y1+2）（﹣m）=2x1，同理可得（y2+2）（﹣m）=2x2，相除可得==，化为y1y2（y2﹣y1）=2（y1﹣y2）（y1+y2），由y1≠y2，可得y1y2=﹣2（y1+y2），即y2=﹣，直线MQ：y+2=（x﹣2）=（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣（﹣2）y﹣2（y1+2）﹣2（﹣4）=0，即有y1+y B=，可得y B=，则k NB═====﹣1．则直线NB的斜率k0为定值﹣1．21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，g（x）为减函数．所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．①当2a≥1，即时，，于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．②当0＜2a＜1，即时，＞1，，若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，所以不符合题意．综上所述，a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据弦切角定理，推导出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的长．（2）根据切割线定理，推导出△ABC∽△DBA，得，，由此能求出．【解答】解：（1）根据弦切角定理，知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则，故．…（2）根据切割线定理，知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，两式相除，得（*）由△ABC∽△DBA，得，，又，由（*）得．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），把代入即可得出；由斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）即可得出直线的参数方程．（II）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．l的参数方程为（t为参数，t∈R），（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，解得，t1=，t2=．则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=+的最大值M．（1）求实数M的值；（2）求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【分析】（1）利用不等式的基本性质求得f（x）的最大值，可得M的值．（2）由绝对值三角不等式可得|x﹣|+|x+2|≥3=M，结合题意可得本题即求|x﹣|+|x+2|=M=3的解集，从而求得x的范围．【解答】解：（1）因为a，b＞0时，≤，∴，当且仅当时等号成立．故函数f（x）的最大值M为3．（2）由绝对值三角不等式可得：|x﹣|+|x+2|≥|x﹣﹣（x+2）|=3=M，即|x﹣|+|x+2|≥M，当且仅当﹣2≤x≤时，取等号．又不等式|x﹣|+|x+2|≤M，∴只有|x﹣|+|x+2|=M=3，故要求的不等式的解集为{x|﹣2≤x≤}．2016年10月17日。
广东省“六校联盟”2016届高三第三次联考数学文试题
2016届“六校联盟”高三第三次联考 文科数学试题命题学校：惠州一中 2021，12，17一、选择题（本大题共12小题，每题5分，总分值60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）1． 已知U ＝{y|y ＝lnx ，x>1}，1|,3A y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，那么∁U A ＝( ) A. )31,0( B. ()0，＋∞ C. ),31+∞⎢⎣⎡ D.(]－∞，0∪),31+∞⎢⎣⎡2．已知x 为实数，假设复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数，那么31x ii++的值为( ) A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3．已知在等比数列}{n a 中，45,106431=+=+a a a a ，那么等比数列}{n a 的公比q 的值为( )A ．41 B ．21C ．2D ．8 4．设22222log 3log 2,log 9log 3,log3,a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ．a b c >> 5．在中，已知，那么( ) A ．AC AB 3132+ B ．AC AB 3132- C ．1233AB AC + D ．1233AB AC -6．直线l 通过点A （2,1）和B （1，2m ）（m R ∈），那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0απ≤< B ．04πα≤≤或2παπ<<C ．04πα≤≤D ．42ππα≤<或2παπ<<7．已知命题p ：函数23x y a+=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(－2,4)点；命题q ：已知平面α∥平面β，那么直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 那么以下命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B. p q ⌝∧⌝ C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧8.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削取得，现用油漆对该型号零件表面进行防锈处置，假设100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处置约需油漆（ ）.（π取）千克千克千克千克9.《九章算术》以后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日趋功疾（注：从第2天起天天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，此刻一月（按30天计），共织390尺布”，那么从第2天起天天比前一天多织（ ）尺布. A ．1629B ．815C ．1631 D ． 1210.设F 1，F 2是双曲线12422=-y x 的两个核心，P 是双曲线上的一点，且||4||321PF PF =，那么21F PF ∆的面积等于（ ） A ． 24 B ．38 C ．24 D ．4811．x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，如 [1.2]=1，[－1.2]=－2；那么函数f(x)＝[x [x]]在(－1,1)上( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．是增函数 12.已知a ＞0，且a≠1，那么函数2()(1)2xf x a x a =+--的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 与a 有关 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．假设向量()cos ,1a α=，()1,2tan b α=，且//a b ，那么sin α= ． 14．设,0,9x y x y >+=，那么15x y +++的最大值为 ．15．点(,)a b 在两直线2y x =-和4y x =-之间的带状区域内（含边界），那么(,)f a b =22222a ab b a b -++-的最小值与最大值的和为 ．16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，极点在一个球面上，那么该球的表面积为_______.三.解答题：解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤。
理综卷_2016届广东省六校联盟高三高考模拟试题(A卷)(2016.05).
C.甲、乙、丙、丁细胞中含有的染色体组数目依次为
1、 2、4、 1
D.没有突变、交叉互换发生时，如果乙的基因组成是
EEeeFFff ，那么丁的基因组成是
4. 关于蛋白质与核酸的叙述，错误．．的是
A. 细胞核中含有蛋白质和多种 RNA
B.
蛋白质多样性的体现与核酸有关
C.DNA分子的复制不需要蛋白质的参与
＞c (OH ) ＞c (H
+)
D．若将 CO2 通入 0.1mol/L Na2CO3 溶液至溶液中性， 则溶液 中：2c（ CO32-）+c（ HCO3-）= 0.1mol/L
13、某实验小组依据反应 AsO4 3- +2H++2I -
AsO3 3- +I 2+H2O设计如图原电池， 探究 pH对 AsO43-
8、设 NA为阿伏伽德罗常数的值，下列说法正确的是 A． l mol Fe （ NO3） 3 与足量 HI 溶液反应时转移的电子数为 3NA B．将 lmol Cl 2 通入水中， HC1O、Cl - 、 C1O- 粒子数之和为 2NA
C．分子数目为 0.1N A 的 N2 和 NH3 混合气体，原子间含有的共用电子对数目为
2016 届“六校联盟”高考模拟
理 科 综 合 试 题 (A 卷)
可能用到的相对原子质量：
O 16 Na 23 C 12 H 1
命题学校：珠海一中
Br 80
第 I 卷 （选择题 共 126 分）
一、选择题：本题共 13 小题，每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 线粒体内的绝大多数蛋白质是由核基因编码合成的，然后转移到线粒体，与线粒体
2015-2016学年广东省“六校联盟”高三(上)第三次联考数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）2．（5分）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q的值为（）A．B．C．2 D．84．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c5．（5分）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．6．（5分）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π7．（5分）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q8．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取3.14）A．1.13千克 B．1.45千克 C．1.57千克 D．1.97千克9．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．10．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．4811．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.2]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数12．（5分）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．14．（5分）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．15．（5分）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a ﹣2b的最小值与最大值的和为．16．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．19．（12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省“六校联盟”高三（上）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015秋•广东月考）已知U={y|y=lnx，x＞1}，A={y|y=，x＞3}，则∁U A=（）A． B．（0，+∞）C．[）D．（﹣∞，0]∪[）【分析】化简集合U、A，求出A在U中的补集．【解答】解：U={y|y=lnx，x＞1}={y|y＞0}=（0，+∞），A={y|y=，x＞3}={y|0＜y＜}，∴∁U A={y|y≥}=[，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016春•衡水校级月考）已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，∴，a=1．则====﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2011•广东校级模拟）已知在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a4+a6=，则等比数列{a n}的公比q 的值为（）A．B．C．2 D．8【分析】先设公比为q，用a4+a6除以a1+a3正好等于q3进而求得q．【解答】解：依题意，设公比为q，由于a1+a3=10，a4+a6=，所以q3==，∴q=，故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4．（5分）（2015秋•广东月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c【分析】利用对数的性质、运算法则、换底公式求解．【解答】解：∵设，∴a=，b===a，c==a，∴a=b＞c．故选：B．【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则、换底公式的合理运用．5．（5分）（2016•河南模拟）如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．【分析】根据向量的减法法则，结合题中等式得=3（），化简可得=+，得到本题答案．【解答】解：∵=，∴由已知，得=3（）化简=+故选：C【点评】本题给出△ABC中，点D是BC边的一个三等分点，求向量关于、的表示式，着重考查了平面向量的减法法则和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．6．（5分）（2012秋•大田县校级期中）直线经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α＜πB．或πC．D．或π【分析】由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，进而可得l的斜率为K==1﹣m2，进而可得K的范围，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ≤1，进而由正切函数的图象分析可得答案．【解答】解：由倾斜角的范围可得0≤θ＜π，根据斜率的计算公式，可得l的斜率为K==1﹣m2，由二次函数的性质易得k≤1，由倾斜角与斜率的关系，可得tanα≤1，由正切函数的图象，可得θ的范围是，，故选B【点评】本题考查直线的倾斜角，结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系是解决问题的关键，属基础题．7．（5分）（2015秋•广东月考）已知命题p：函数y=a x+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣2，4）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∧￢q D．￢p∧q【分析】分别判断命题p和命题q的真假，再利用符合命题真假表判断选项是否为真命题．【解答】选项中“∧”表示逻辑联结词“且”，易判断命题p为真命题．∵直线m∥α是直线m∥β的即不充分也不必要条件，故命题q为假命题．∴￢q为真命题，A选项：p真q假，故p∧q为假B选项：￢p为假￢q为真，故￢p∧￢q为假C选项：p为真￢q为真，故p∧￢q为真D选项：￢p为假q为假，故￢p∧q为假故答案选C【点评】考查复合命题的真假判断，指数型函数过定点问题，空间线面位置关系．是常规题型，属于基础题．8．（5分）（2016•河南模拟）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，现用油漆对该型号零件表面进项防锈处理，若100平方厘米的零件表面约需用油漆10克，那么对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆（）（π取3.14）A．1.13千克 B．1.45千克 C．1.57千克 D．1.97千克【分析】根据三视图得出几何体是由两个圆柱组成，求出组合体的表面积，再计算100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆数．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，所以组合体的表面积是：32π+2π•3•2+22π+2π•2•4+π（32﹣22）=46π=46×3.14≈145（cm3）；对100个该型号零件表面进行防锈处理约需油漆为：×10×100=1450（克）=1.45（千克）．故选：B．【点评】本题考查了三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，也考查了空间想象能力以及计算能力，是基础题目．9．（5分）（2016•茂名二模）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．10．（5分）（2016•黄山一模）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B． C．24 D．48【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．11．（5分）（2015秋•广东月考）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[﹣1.2]=﹣2；则函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上（）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数【分析】根据[x]的定义，求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，f（x）=x[x]]=[x•0]=0，∴函数f（x）=[x[x]]在（﹣1，1）上既是奇函数又是偶函数，故选：C．【点评】本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简是关键．12．（5分）（2016•河南模拟）已知a＞0，且a≠1，则函数f（x）=a x+（x﹣1）2﹣2a的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．与a有关【分析】令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，而x=1时：g（x）=a x﹣2a=﹣a＜0，h（x）=﹣（x﹣1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点．【解答】解：令f（x）=0，得：a x﹣2a=﹣（x﹣1）2，令g（x）=a x﹣2a，h（x）=﹣（x﹣1）2，x=1时：a x﹣2a=﹣a＜0，﹣（x﹣1）2=0，a＞1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0＜a＜1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上）13．（5分）（2015秋•广东月考）若向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，则sinα=．【分析】根据平面向量平行（共线）的坐标表示，列出方程，求出sinα的值．【解答】解：∵向量=（cosα，1），=（1，2tanα），且，∴cosα•2tanα﹣1×1=0，即2sinα=1，∴sinα=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量平行（共线）的坐标表示与运算问题，也考查了同角的三角函数的关系与应用问题，是基础题目．14．（5分）（2015秋•广东月考）设x，y＞0，x+y=9，则的最大值为．【分析】根据题意，分析可得（x+1）+（y+5）=15，令t=，对t求平方可得t2=（x+1）+（y+5）+2，由基本不等式计算可得t2的最大值，进而计算可得t的最大值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设x，y＞0，x+y=9，则（x+1）+（y+5）=15；令t=，则t2=（x+1）+（y+5）+2=15+2≤15+[（x+1）（y+5）]=30，故t≤，即的最大值为；故答案为：【点评】本题考查基本不等式的运用，注意将（x+1）与（y+5）看成一个整体，利用基本不等式分析求解．15．（5分）（2015秋•广东月考）点（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界），则f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为32．【分析】要先画出满足约束条件y=x﹣2和y=x﹣4的平面区域，又由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b），我们只要求出（a﹣b）的取值范围，然后根据二次函数在定区间上的最值问题即可求解【解答】解：由f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b=（a﹣b）2+2（a﹣b）=（a﹣b+1）2﹣1又（a，b）在两直线y=x﹣2和y=x﹣4之间的带状区域内（含边界）如图所示：得2≤（a﹣b）≤4，根据二次函数在定区间上的最小值为f（2）=8，根据二次函数在定区间上的最大值为f（4）=24，∴f（a，b）=a2﹣2ab+b2+2a﹣2b的最小值与最大值的和为8+24=32，故答案为：32．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，数形结合是解决问题的基本方法，是中档题．16．（5分）（2015秋•福州校级期末）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O 就是球心，则其外接球的半径为OA1，又设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1==在直角三角形OEA1中，OE=，由勾股定理∴，球的表面积为，故答案为：．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•太原三模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且2asin（C+）=b．（1）求角A的值：（11）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：（2）若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2asin（C+）=b，∴2sinAsin（C+）=sin（A+C），∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAsinC=cosAsinC，∴tanA=，∴A=60°；（2）设AC=2x，∵AB=3，AC边上的中线BD的长为，∴13=9+x2﹣2×3×x×cos60°，∴x=4，∴AC=8，∴△ABC的面积S==6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•广东月考）已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，且2S3=5S1+3S2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求的最大值．【分析】（1）由等比数列的通项公式可知：2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），即可求得q=2，求得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，c n===﹣，采用“裂项法”即可求得数列{c n}的前n 项和T n，由==，由基本不等式的性质即可求得的最大值．【解答】解：（1）∵2S3=5S1+3S2，∴2（a1+a1•q+a1•q2）=5a1+2（（a1+a1•q），…（1分）整理得：2q2﹣q﹣6=0 …（2分）解得：q=2或q=﹣…（3分）∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=﹣不合题意…（4分）∴{a n}的通项公式为：a n=2n；…（5分）（2）由（1）可知：b n=log2a n=n，…（6分）∴c n===﹣，…（7分）∴数列{c n}的前n项和T n=c1+c2+…+c n，=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=…（8分）==，…（9分）∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立…（10分）∴≤…（11分）的最大值是．…（12分）【点评】本题考查等比数列的通项公式及性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016•河南模拟）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB ∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值．（2）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD．【解答】解：（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE．…（1分）则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角…（2分）设BC=a，则AB=2a，BE=a，所以CE=a，…（3分）直角三角形CBE中，sin∠CEB===…（4分）可得：…（5分）即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为．…（6分）（2）存在点F，且=时，有EC∥平面FBD．证明如下：…（7分）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF因为AB∥CD，AB=2CD，所以，…（8分）所以，…（9分）因为=，所以FM∥EC…（10分）EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足=时，有EC∥平面FBD．…（12分）【点评】本题主要考查直线和平面所成角的计算，以及线面平行的判断，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•天河区校级月考）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣3，0），F2（3，0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为4+6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若|k|＞，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意得，解出即可得出．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由AF2⊥BF2，可得•=0，再利用根与系数的关系化简整理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a2=12，b2=3．∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由，化为（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=0，x1x2=，易知，AF2⊥BF2，∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），∴•=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（1+k2）x1x2﹣3（x1+x2）+9=（1+k2）x1x2+9=0．∴+9=0，将其整理为k2==﹣1﹣．∵|k|＞，∴12＜a2＜18，解得，∴离心率．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014•甘肃一模）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x有相同极值点．（1）求函数f（x）的最大值；（2）求实数a的值；（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（2）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（3）先求出x1∈[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．【解答】解（1）f′（x）=﹣2x+=﹣2×（x＞0），由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．由（1）知，x=1是函数f（x）的极值点．又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，∴x=1是函数g（x）的极值点．∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意（3）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴∀x1∈（，3），f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1．由①知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．故g（x）在[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，e）上为减函数，在（1，3]上为增函数．∵g（）=e+，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）．∴∀x2∈[，e]，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．当k﹣1＞0，即k＞1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max⇔k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1．∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．当k﹣1＜0，即k＜1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立⇔k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min⇔k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1．∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3．又∵k＜1，∴k≤﹣+2ln3．综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3））∪（1，+∞）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•新余二模）已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆上上的点（不与点A、C重合），延长BD至F．（1）求证：AD延长线DF平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．【分析】（1）根据A，B，C，D四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（2）设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，设圆半径为r，则r+r=2+，求出r，即可求△ABC外接圆的面积．【解答】（1）证明：如图，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC．又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，又由对顶角相等得∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE．…（5分）（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC．连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°，设圆半径为r，则r+r=2+，得r=2，外接圆的面积为4π．…（10分）【点评】本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查外接圆的面积，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016•衡阳三模）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．【分析】本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．【解答】解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016•河南模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|．（1）求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的性质表示成分段函数形式，进行解不等式即可．（2）设，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（1）函数f（x）=，…（3分）若x≥3，由f（x）＞4得x﹣＞4，得x＞，若1＜x＜3，由f（x）＞4得x+＞4，得x＞7，此时x无解，若x≤1，由f（x）＞4得﹣x+＞4，得x＜﹣1，此时x＜﹣1，综上f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）…（5分）（2）设，g（x）表示过点，斜率为a的直线，…（6分）的解集非空，即y=f（x）的图象在g（x）图象下方有图象，或与g（x）图象有交点，…（7分）当经过点A（3，2）时，（3+）a=2，得a=，当，与y=﹣x+平行时，a=﹣，结合图象可知…（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的求解，以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．。
2016届广东省“六校联盟”高三第二次联考文科数学试题及答案
2016届“六校联盟”高三第二次联考文科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,5}A =，集合{2,5}A B = ，{}1,2,3,4,5,6A B = ，则集合B = A ．{2,5} B ．{2,4,5} C ．{2,5,6}D ．{2,4,5,6}2．已知sin()43πα-=，则sin 2α的值为 A ．79B ．59C ．13D ．59-3．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l β⊥，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题4．已知()1,1A -、()1,2B x x -，若向量OA 与OB（O 为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是A ．111,,33⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()()1,33,-+∞D ．(),1-∞-5．各项都是正数的等比数列{n a }，若2a ，321a ，12a 成等差数列，则5443a a a a ++的值为A ．2B ．2或1-C ．12D ．12或1- 6．已知函数()f x 是偶函数，当120x x ≤<时，0)()(1212>--x x x f x f 恒成立，设(2)a f =-，(1)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 7．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，所第10题图得图象关于y 轴对称．则函数()f x 的解析式为A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．给出如下四个判断：①若“p 或q ”为假命题，则p 、q 中至多有一个为假命题； ②命题“若a b >，则22log log a b >”的否命题为“若a b ≤，则22log log a b ≤”； ③对命题“2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+≤”； ④在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中 的充分不必要条件．其中不正．．确．的判断的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．09．已知点P 为ABC ∆所在平面上的一点，且13AP AB t AC =+，其中t 为实数，若点P 落在ABC ∆的内部，则t 的取值范围是A ．203t << B ．103t << C ．1233t << D ．01t <<10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．31π+ B．3π+C．21π+ D．2π+11．定义运算法则如下：22,lg a b b a b a -⊕=⊗=-；若272M =⊕，252N =⊗，则M N += A ．2 B ．3 C ．4 D ．512．已知数列{}n a 满足1a a =，11(1)32(1)n n n n n a a a a a +⎧>⎪-=⎨⎪≤⎩，若31a a =成立，则a 在(]0,1内的可能值有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
六校联盟高考数学模拟试卷(理科)(A卷).docx
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．2454．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．B．8 C． D．45．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B．C．D．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C 为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A．31 B．30 C．28 D．329．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10）则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．1610．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（）A．B．（2，+∞）C．（1，2）D．12．已知函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，3）C．（，3）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______（用数字作答）14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为______．15．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ（λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是______．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为______．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验统计量，其中n=a +b +c +d ．19．如图1，直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2．（Ⅰ）当AG +GC 最小时，求证：BD ⊥CG ；（Ⅱ）当2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF 时，求二面角D ﹣BG ﹣C 平面角的余弦值．20．已知点C 为圆（x +1）2+y 2=8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A （1，0）和AP 上的点M ，满足•=0， =2． （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k 的直线 l 与圆x 2+y 2=1相切，直线 l 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且≤•≤时，求k 的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2﹣（a +2）x +alnx ，其中常数a ＞0． （Ⅰ）当a ＞2时，求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D 上的函数y=h （x ）在点P （x 0，h （x 0））处的切线方程为l ：y=g （x ），若＞0在D 内恒成立，则称P 为函数y=h （x ）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f （x ）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （Ⅰ）求证：AC •BC=AD •AE ；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ﹣4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，实部与虚部互为相反数即可求值．【解答】解：由复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，可得﹣a+2=0．故选D．2．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据特称命题的定义进行判断B．根据全称命题的定义进行判断C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断D．根据充分条件的定义进行判断．【解答】解：A．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e x0≤0为假命题，B．当x=2时，2x=x2，则∀x∈R，2x＞x2不成立，故B为假命题．C．当a=b=0时，满足a+b=0但=﹣1不成立，故C为假命题，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，故D为真命题，故选：D3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．245【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等比数列的通项公式及等差数列的性质，求出公比q，从而得到a n=2n﹣1，由此能求出数列{a n}的前10项之积为T10．【解答】解：在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，∴4a4=4a3+a5，∴4q3=4q2+q4，解得q=2，∴a n=2n﹣1，∵数列{a n}的前n项之积为T n，∴T10=20×2×22×24×25×26×27×28×29=20+1+2+3+4+5+6+7+8+9=245．故选：D．4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A． B．8 C． D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】转化不等式为不等式组，画出约束条件表示的可行域，结合图形求解图形的面积．【解答】解：因为不等式|y﹣2|≤x≤2等价于，它的可行域为：可行域是三角形，由得交点A（2，4），C的坐标由解得，为（2，0），B的坐标（0，2），可行域三角形的面积为：×4×2=4．故选：D．5．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B．C．D．【考点】二阶行列式的定义；函数的图象与图象变化．【分析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．【解答】解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：D．7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，只要写出试验发生所包含的所有事件和满足条件的事件对应的线段长度即可，把方程整理成一元二次方程，通过一元二次方程的判别式来解．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，化为x2+2ax+b=0，方程有实根，△≥0即4a2﹣4b≥0∴b≤a2∴方程有实根的概率为∫01a2d a==．故选B．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A．31 B．30 C．28 D．32【考点】计数原理的应用．【分析】该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据6前面的数字的个数多少分类即可．【解答】解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C51=5种，当6前有2个数字时，有C52=10种，当6前有3个数字时，有C53=10种，当6前有4个数字时，有C54=5种，根据分类计数原理，共有5+10+10+5=30种，故选：B．9．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10）则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．16【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的3倍，y每次减小2．【解答】解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果n x y循环前：1 1 0第1次：（1，0）3 2﹣2第2次：（2，﹣2）5 4﹣4第3次：（4，﹣4）7 8﹣6第4次：（8，﹣6）9 16﹣8第5次：（16，﹣8）11 32﹣10第6次：（32，﹣10）则数组中的x=32故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，其直观图如下图所示：∵三棱柱的体积V==2，挖去的棱锥体积V==，故该几何体的体积为2﹣=，故选：C11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（）A．B．（2，+∞）C．（1，2）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为y=x，求得与渐近线垂直的直线方程，联立方程解得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得B的坐标，运用点在圆内的条件可得|BF1|＜c，化简整理，运用离心率公式即可得到所求范围．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为y=x，过点F2与渐近线垂直的直线方程为y=﹣（x﹣c），联立，解得A（，），设B（m，n），由，可得（﹣c，）=2（m﹣，n﹣），可得m=﹣，n=，即B （﹣，），由点B 在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆内，可得|BF 1|＜c ，可得（﹣+c ）2+（）2＜c 2，化为+a 2＜c 2，即为+a 2＜c 2，即c 2＞5a 2，由e=，可得e ＞．故选：A ．12．已知函数f （x ）=e x （x ﹣ae x ）恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（1，3）C ．（，3）D ．（，1）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据题意，对函数f （x ）求导数，得出导数f ′（x ）=0由两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f （x ）=e x （x ﹣ae x ）， ∴f ′（x ）=（x +1﹣2a •e x ）e x ，由于函数f （x ）的两个极值点为x 1，x 2， 即x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两不等实根， 即方程x +1﹣2ae x =0，且a ≠0，∴=e x ；设y 1=（a ≠0），y 2=e x ，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0＜a ＜，所以a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是（用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r=3求出第4项的系数．【解答】解：∵展开式中中间项的二项式系数最大∴展开式共7项∴n=6展开式的通项为当r=3时是第4项所以第4项的系数是故答案为14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为97．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出成绩在[120，130）的频率以及平均成绩；【解答】根据频率分布直方图，得：成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.004×10+0.012×10+0.016×10+0.03×10+0.02×10+0.006×10+0.004×10）=1﹣0.92=0.08；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97，所以该校的数学平均成绩为97；故答案为：9715．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ（λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是1．【考点】平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值．【解答】解：设AC=b，AB=c，又∠A=120°，•=﹣2，则bccos120°=﹣2，即有bc=4，由AD是△ABC的中线，则有=（+），即有||2=（++2）=（b2+c2﹣4）≥（2bc﹣4）=×（8﹣4）=1．当且仅当b=c时||的最小值是为1，故答案为：1．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为193．【考点】数列的求和．【分析】由于正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，要求a9的最大值，必须要求a1到a8尽可能的取得越小越好，a10到a18与a9越接近越好．即可得出．【解答】解：由于正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，要求a9的最大值，必须要求a1到a8尽可能的取得越小越好，a10到a18与a9越接近越好．当1≤n≤8时，取a n=n，则a1+…+a8==36．当9≤n≤18时，不妨取a n=a9+n﹣9，则10a9+≤2011﹣36．解得a9≤193．因此a9的最大值为193．故答案为：193．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由三角函数公式化简可得f（x）=+sin（2x+），解可得单调递增区间；（II）可得，由余弦定理得表达式，由锐角三角形可得再由正弦定理得的范围，由函数的值域可得．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）=+sin（2x+）=1，∴sin（2x+）=，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2=a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得∴18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；【解答】解：（1）根据题意列出2×2列联表如下：咻得多少咻得多咻得少合计手机系统安卓 3 2 5IOS 2 3 5合计 5 5 10K2==0.4＜2.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==故X的分布列为：X 0 1 2P∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．19．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD 的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；（Ⅱ）当2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF 时，求二面角D ﹣BG ﹣C 平面角的余弦值． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，BE ⊥EF ，建立空间坐标系E ﹣xyz ，利用向量法能求出BD ⊥CG ．（Ⅱ）法一：设EG=k ，由AD ∥平面EFCB ，得到点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．分别求出平面DBG 的法向量和面BCG 的一个法向量，利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．（Ⅱ）法二：由已知条件指法训练出EG=1，过点D 作DH ⊥EF ，垂足H ，过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD ．由已知条件推导出∠DOH 就是所求的二面角D ﹣BG ﹣C 的平面角，由此能求出此二面角平面角的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴EF ∥BC ，又∠ABC=90°，∴AE ⊥EF ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．…翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG +GC 最小．EG=BC=2，又∵EA=EB=2．则A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0）， D （0，2，2），E （0，0，0），G （0，2，0），∴=（﹣2，2，2），=（﹣2，﹣2，0）∴=（﹣2，2，2）（﹣2，﹣2，0）=0，∴BD ⊥CG ．…（Ⅱ）解法一：设EG=k ，∵AD ∥平面EFCB ，∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．∵ [（3﹣k ）+4]×2=7﹣k ，∴=，又=，∵2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF ，∴=， ∴k=1即EG=1…设平面DBG 的法向量为，∵G （0，1，0），∴，=（﹣2，2，2），则，即取x=1，则y=2，z=﹣1，∴…面BCG 的一个法向量为则cos＜＞=…由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为锐角，所以此二面角平面角的余弦值为…（Ⅱ）解法二：由解法一得EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，∴∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角．…由于HG=1，在△OHG中，又DH=2，在△DOH中…∴此二面角平面角的余弦值为．…20．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤•≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…∴，即．…②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…∴．…所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…下面加以证明：当时，…①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，﹣1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；（II）利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2=5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|=2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1=0，圆心到直线l的距离=，解得k=±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，由此求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得m的范围．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．2016年9月20日。
2016届高考模拟试题_广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校2016届高三第一次联考数学(文)试题附答案
三、解答题：
第 17 到 21 题为必做题，从第 22、23、24 三个小题中选做一题，满分 70 分。 17.（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的三内角 A, B, C ，所对三边分别为 a, b, c ，且 sin( A （1）求 tan A 的值； （2）若 ABC 的面积 s 24, b 10， 求 a 的值。
C．
x2 y2 1 2 4
D．
相邻两个对称中心的距离为 )( 0）
x2 y2 1 4 2
f ( x)
2
， 以下哪个区间是函数
的单调减区间（ A． [
, ] 2 6 3 3 8．曲线 y ln x 2 x 在点 (1,2) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( ) 1 3 A． B． C． 1 D． 2 2 4
(2) 年龄属于 [ 25,30) 和 [ 40,45) 的分别有 4 人，2 人，………………………8 分 分别记为 A1，A2，A3，A4，B1，B2 则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1， B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)， (A4，B2)，(B1，B2)，共 15 种，………………………10 分 其中，两人属于同一年龄组的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3， A4)，(B1，B2)共 7 种， ∴ 所求的概率为 ………………………………………………………11 分
3 x y 2 0 15．设变量 x，y 满足约束条件 x 2 y 1 0 ，则 z 3 x y 的最小值为_______ 2 x y 8 0
广东省六校联盟2016届高三高考模拟理综试卷(A卷).pdf
B.果脯在腌制过程中慢慢变甜，是细胞主动吸收糖分的结果
C.人小肠上皮细胞和红细胞运输葡萄糖的载体蛋白相同
D.低温环境不影响物质自由扩散和协助扩散的速率
3.以下甲至丁为某高等动物体内的一些细胞分裂图，图中所示细胞分裂具有连续性，有关判断正确的是
A.细胞分裂的顺序依次为：乙→丁→丙→甲
D．将CO2通过Na2O2使其增重a克时，反应中转移电子数为
9、与下列事实对应的化学用语不正确的是
A．用热的纯碱溶液可以清洗油污：CO32+H2O?HCO3+OH
B．配制FeSO4溶液时加入适量的铁粉：Fe3++Fe2Fe2+
C．向NH4HSO4溶液中加过量的NaOH溶液并加热：NH4++H++2OHNH3↑+2H2O
二、选择题：本题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项符合题目要求，第
18～21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．丹麦物理学家奥斯特于1820年7月通过实验首先发现通电导线的周围存在磁场。如图在赤道处，把一根长直导
18. 已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零。设想在地球赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一绕
地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面。两物体分别在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力，设
地球半径为R,则
A: 两物体的线速度大小之比为 B: 两物体的线速度大小之比为 C: 两物体的加速度大小之比为 D: 两物体的加速度大小之比为 19、如图所示，A、B为平行板电容器的金属板，G为静电计，开始时开关S闭合，静电计指针张开一定角度。下述结 论正确的是 A、若保持开关S闭合，将A、B两极板靠近些，指针张开角度将变小； B、若保持开关S闭合，将A、B两极板正对面积变小些，指针张开角度将不变 C、若断开开关S后，将A、B两极板靠近些，指针张开角度将变小 D、若断开开关S后，将A、B两极板正对面积变小些，指针张开角度将变大 20、如图是某缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与直杆相连，直杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力 恒为Ff，直杆质量不可忽略．一质量为m的小车以速度v0撞击弹簧，最终以速度v弹回．直杆足够长，且直杆与槽间的最 大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计小车与地面的摩擦．则 ? A．小车被弹回时速度v一定小于v0 ? B．直杆在槽内移动的距离等于 ? C．弹簧的弹力可能大于直杆与槽间的最大静摩擦力 ? D．直杆在槽内向右运动时，小车与直杆始终保持相对静止 21、如图所示，固定的竖直光滑U型金属导轨，间距为L，上端接有阻值为R的电阻，处在方向水平且垂直于导轨平 面、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m、电阻为r的导体棒与劲度系数为k的固定轻弹簧相连放在导轨上，导轨的电 阻忽略不计．初始时刻，弹簧处于伸长状态，其伸长量为，此时导体棒具有竖直向上的初速度v0．在沿导轨往复运动的 过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．则下列说法正确的是 A． 初始时刻导体棒受到的安培力大小 ? B． 初始时刻导体棒加速度的大小 C．导体棒开始运动直到最终静止的过程中，克服安培力做功等于棒上电阻r的焦耳热 D． 导体棒开始运动直到最终静止的过程中，回路上产生的焦耳热 第II卷（非选择题 共174分） 三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。第22题～32题为必考题，每个试题考生都必须做答。第33题～40题为 选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题（共129分） 22（6分）为了“探究动能改变与合外力做功”的关系，某同学设计了如下实验方案： A、第一步他把带有定滑轮的木板有滑轮的一端垫起，把质量为M的滑块通过细绳与质量为m的带夹重锤相连，然后 跨过定滑轮，重锤夹后连一纸带，穿过打点计时器，调整木板倾角，直到轻推滑块后，滑块沿木板匀速运动，如图甲所 示． B、第二步保持木板的倾角不变，将打点计时器安装在木板靠近滑轮处，取下细绳和重锤，将滑块与纸带相连，使 其穿过打点计时器，然后接通电源释放滑块，使之从静止开始加速运动，打出纸带，如图乙所示． 打出的纸带如图丙 试回答下列问题： （1）已知O、A、B、C、D、E、F相邻计数点的时间间隔为Δt，根据纸带求滑块速度，当打点计时器打B点时滑块速 度vB＝________。 （2）已知重锤质量m，当地的重力加速度g，要测出某一过程合外力对滑块做的功，还必须测出这一过程滑块 _______（写出物理量名称及符号），合外力对滑块做功的表达式W合＝________。 （3）测出滑块运动OA段、OB段、OC段、OD段、OE段合外力对滑块所做的功以及vA、vB、vC、vD、vE.以v2为纵轴 ，以W为横轴建立坐标系，描点作出v2W图象，可知它是一条过坐标原点的倾斜直线，若直线斜率为k，则滑块质量 M＝________. 23（9分）学校物理兴趣小组为探究多用表欧姆档的原理，决定自己动手设计一个可以测量 电阻的装置。手边 的器材有：干电池组，电流计A，电阻箱，待测电阻Rx . 其中电流计刻度盘刻线清晰，但是读数已经模糊。 （1）小组成员先将电池组与电流计电流计A进行串联，电路两端分别接好表笔，如图（1）所示；将表笔短接，发 现电流表指针刚好能够指在刻度盘最右端刻度处。 （2）将两表笔分别与电阻箱两接线柱相连，调节电阻箱，直到电流计指针指在刻度盘正中央，电阻箱示数如图 （2），则电阻箱接入电路的电阻值为_______Ω。
广东省深圳市六校联盟2016届高三高考模拟数学(文)试题
绝密★启用前 2016届“六校联盟”高考模拟文 科 数 学 试 题 (A 卷)命题学校：中山纪念中学一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集R U =，，则A B =2.已知复数(,,0)Z a bi a b R ab =+∈≠且,若(12)Z i -为实数，则ba＝ A.2 B.－2 C.－12 D.123.下列四个函数中，既是偶函数又在),0(+∞上为增函数的是A ．x x y 22-= B ．3x y = C ．21ln x y -= D ．1||+=x y 4.A 是半径为2的圆O 内一个定点，P 是圆O 上的一个动点，线段AP 的垂直平分线l 与半径OP 相交于点Q ，则QA OQ ⋅的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.45.在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为 A ．310 B ．53 C ．710 D ．256.已知3,5a b ==，a 与b 不共线，向量ka b +与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 7.点(,1)6P π-是函数()sin()(0,)2f x x m ωϕωϕ=++><π的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为4π. ①()f x 的最小正周期是π ； ②()f x 的值域为[0,2]； ③()f x 的初相ϕ为3π④()f x 在5[,2]3ππ上单调递增.以上说法正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4ACD8.已知点P 在以12F F ，为焦点的双曲线()2222100x y a b a b-=>>，上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形12F F PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为A．1+．19.设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ,若y ax z +=的最大值为42+a ,最小值为1+a ,则实数a 的取值范围是A.]2,1[-B.]1,2[-C.]2,3[--D.]1,3[-10.执行如右图所示的程序框图，若输出的9=n ，则输入的整数p 的最小值是 A ．50 B ．77 C ．78 D ．30611.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径长为 A．4＋43π B ． C ．4＋23πD ．6 12.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.如图网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为___________ 14.函数sin y x =和cos y x =在4x π=处的两条切线与x 轴围成封闭区域D ，点(,)x y D ∈,则2x y +的最小值为______________15．已知,20π≤<a 设函数[]()120162014()sin ,20161x x f x x x a a ++=+∈-+ 的最大值为P ,最小值为Q ,则Q P +的值为_____________．16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在， 则B cos = ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在正项数列{}n a 、{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列.（1）证明：成等差数列，并求出na，n b ；（2）设11n n c b =-，求数列{}n c 的前n 和n S .18.（本题满分12分）在某次足球比赛中,对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km ）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分.(1)根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值(精确到小数点后两位),并给出一个正确的统计结论;(2)规定跑动距离为km 0.9及以上的球员为优秀球员,跑动距离为km 5.8及以上的球员为积极球员,其余为一般球员.现从两队的优秀球员中随机抽取2名,求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率.19．（本题满分12分）如图，在多面体EF ABCD - 中，,ABCD ABEF 均为直角梯形， 2ABE ABC π∠=∠=,DCEF 为平行四边形， 平面DCEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ⊥平面ABCD ；（2）若ABD ∆是边长为2的等边三角形，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1,求点E 到平面BDF 的距离.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 被抛物线C 截得的线段长为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线y x =-和抛物线C 交于点,O A ，线段AO 的中点 为Q ，在AO 的延长线上任取一点P 作抛物线C 的切线，两切点分 别为N M ,，直线MQ 交抛物线C 于另一点B ，问直线NB 的斜率0k 是否为定值？若是，求出0k 的值;若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '． （1）求函数()()()21g x f x a x '=+-的极值；（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于B A ,两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于D C ,两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知10,5==DB BC ． （1）求AB 的长； （2）求DECF．23.(本小题满分10)选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+l 交y 轴 于点)1,0(E .(1)求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；(2)直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求EB EA +的值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x M ． （1）求实数M 的值；（2）求关于x 的不等式M x x ≤++-222的解集．2016届“六校联盟”高考模拟 文科数学试题(A 卷)答案一.选择题:(本题共12小题，每小题5分，共60分.)二.填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.4 14.14π-15.4030 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解：（1）由题意可得：12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=⋅， 226,9a b ⇒==.......3分0,0n n b a >>22)n ⇒=≥，∴=分∴成等差数列.........5分(n =-，2(1)n b n ⇒=+，(1)n a n n =+...........5分（2）21111()(1)122n c n n n ==-+-+， .......9分1111111111(1)232435112n S n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+--++.......11分1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++.......12分 18.（本题满分12分）解:(1)由茎叶图可知,甲队球员跑动距离的中位数为km 2.8,乙队球员跑动距离的中位数为km 1.8, ..........2分甲队球员跑动距离的平均数为km 35.7132.38.34.43.78.77.72.83.86.88.86.88.91.9≈++++++++++++..3分乙队球员跑动距离的平均数为km 73.7134.43.42.58.76.79.88.85.81.80.88.96.95.9≈++++++++++++..4分由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离,因而可知乙队球员相对甲队球员跑动的更加积极,而从中位数对比可知甲队球员跑动距离的中位数比乙队球员跑动距离的中位数大,因而球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论 ......6分 (2)根据茎叶图可知,两队的优秀球员共5名,其中甲队2名,乙队3名.将甲队的2名优秀球员分别记为b a ,,乙队的3名优秀球员分别记为C B A ,,,则从中随机抽取2名,所有可能的结果为BC AC AB bC bB bA aC aB aA ab ,,,,,,,,,共10个 ........9分 (3)其中既有甲队球员又有乙队球员(记为事件M )包含的结果为bC bB bA aC aB aA ,,,,,共6个. ........11分 (4)由古典概型的概率计算公式知,所求概率为53106)(==M P . ........12分 19．（本题满分12分）（1）证明：因为2ABE ABC π∠=∠=，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ⋂BC=B,又AB ⊥ 平面BCE所以AB CE ⊥ ………………3分//,//AB CD CE DF ，所以CD DF ⊥ ………………4分 又平面DCEF ⊥ 平面ABCD ，且两平面相交于CD所以DF ⊥ 平面ABCD . ……………………6分 （2）由（1） DF ⊥ 平面ABCD ，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1, 所以1tan =∠FBD ，即2DF BD == …………………7分 在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆是边长为2的等边三角形所以2,1,BD CD BC ===……………………9分//,BDF BDF CE DF CE DF ⊄⊂平面，平面，//BDF CE ∴平面， 点E 到平面BDF 的距离即为点C 到平面BDF 的距离，设距离为d C BDF F BDC V V --∴=1133BDF BDC d S DF S ∴⋅⋅=⋅⋅ 代入计算可得2d =……………………12分20.（本小题满分12分） 解:(1)过点F 且倾斜角为4π的直线2:px y l -=交抛物线px y 22=于L K , 由)2(22Py p y +=,得0222=--p py y 所以2,2p y y p y y L K L K -=⋅=+ .............2分 所以842==-=p y y KL L K .............3分 所以抛物线方程为x y 42= .............4分(2)联立⎩⎨⎧=-=xy xy 42解得OA A O ),4,4(),0,0(-的中点)2,2(-Q ............5分设点),(m m P -,切点),(),,(2211y x N y x M过M 的切线:)(211x x y y +=,因为切线过),(m m P -,则112))(2(x m y =-+ 同理可知..222))(2(x m y =-+ .........6分两式相除得2221212122y y x x y y ==++化简得))((2)(12211221y y y y y y y y +-=-,而21y y ≠ 所以)(21221y y y y +-=,即22112+-=y y y ...........8分 MQ 的方程为:)2(242)2(22221111--+=--+=+x y y x x y y ,联立x y 42= ..........9分 得0)224(2)2(2)24(422112121=---+---+y y y y y y 所以281211+-=+y y y y B ,则2)4(228111121++-=-+-=y y y y y y B 所以12244111120-=+++=+=y y y y k B ...........11分 所以直线NB 的斜率为定值. ...........12分21.（本小题满分12分）试题分析：（1）由于()()()21ln 1g x f x a x x x '=+-=-+，所以求不含参数函数的极值，只需求出导函数在定义区间上的零点，并列表分析即可（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：2ln 1x x a x >-的最大值，而2ln ,(1)1x xy x x =>-最大值，可利用导数进行求解：22221(1)ln ,(1)x x xy x --+'=- 令222111(1)ln ,2(2)ln 2ln ,x t x x x t x x x x x x x x+'=--+=--=--则21112ln 0(1)0(1)00(1)2t x t t t t y y y x '''''=-+-<⇒<=⇒<=⇒<⇒<→（洛必达法则）也可分类讨论22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲解：（1）根据弦切角定理，知∠BAC=∠BDA ，∠ACB=∠DAB ，∴△ABC ∽△DBA ，则，故．……………4分（2）根据切割线定理，知CA 2=CB •CF ，DA 2=DB •DE ，两式相除，得（*） 由△ABC ∽△DBA ，得，，又，由（*）得．……………10分（本小题满分10分）解：（1）由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1) 2＋(y －1) 2＝2． …………3分l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．（t 为参数, t ∈R ）……5分(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．代入(x －1) 2＋(y －1) 2＝2得t 2－t －1＝0， ……7分 解得t 1＝1＋52，t 2＝1－52， ……8分 则|EA|＋|EB|＝| t 1|＋| t 2|＝|t 1－t 2|＝5．……10分24.（本小题满分10分）解：（I ）因为a ，b ＞0时，， ……1分所以()f x =3分当且仅当152x =时等号成立． 故函数()f x 的最大值……………4分 （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得. ………6分所以不等式的解x即是方程的解． ………7分由绝对值的几何意义得，当且仅当时，． ………9分所以不等式的解集为：…………10分。
广东省佛山市六校联考2016届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
2015—2016学年度第一学期第三次月考高三文科数学试卷一、单项选择题：(本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)1. 若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R2. 若(x-i)i=y+2i,x,y ∈R,则复数x+yi 等于 ( ) A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i3. 如图，在△ABC 中，已知BD 2DC = ，则AD=( ) A.13AB AC 22-+B.13AB AC 22+C.12AB AC 33+D.12AB AC 33-4.设α是第二象限角，(),4P x 为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（ ） A .43 B.34C.34-D.43-5. 圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )． A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝06. 函数y=x 2-x+2在[a,+∞)上单调递增是函数y=a x 为单调递增函数的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件7. 已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |=52,则|b |= ( ) A.5B.10C.5D.258. 设函数f(x)=x 2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<09. 设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且||||PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（ ）A. 270x y +-=B. 50x y +-=C. 240y x --=D. 210x y --=10. 已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数，对x ∈R 都有f(2+x)=-f(2-x),则f(2016)=( ) A.2B.-2C.4D.011. 已知点M (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程是2r by ax =+，则( ) A ．l ∥m 且l 与圆相交 B ．l ⊥m 且l 与圆相切 C ．l ∥m 且l 与圆相离D ．l ⊥m 且l 与圆相离12. 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数x e x f y ⋅=)(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是( )二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在答题卡中的横线上.)13．设函数4()1f x x=-，若f (α)＝2，则实数α＝ . 14. 圆C ：x 2+y 2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 .15. 已知A （3，2），B （1，0），P （x,y ）满足12OP x OA x OB =+(O 是坐标原点)，若x 1+x 2=1，则P 点坐标满足的方程是 .16. 已知点P 在曲线14+=xe y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ， B ，C 所对的边长，1+2cos(B+C)=0，求边BC 上的高.18.(12分) 圆C 通过不同的三点P （k,0），Q （2，0），R （0，1），已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程.19. ( 12分) 在直角坐标系中，已知A （cos x,sin x ），B （1，1），O 为坐标原点，2OA OB OC f(x)|OC |.+== ， （1）求f(x)的对称中心的坐标及其在区间［-π，0］上的单调递减区间.（2）若003f (x )3x 24ππ=+∈［，］，求tan x 0的值.20.(12分) 已知过原点O 的一条直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点. （1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.21. (12分) 点B A ,分别在射线)0(2:1≥=x x y l ，)0(2:2≥-=x x y l 上运动，且4=∆AOB S ..(4)x a x +-在(1,)+∞上是增函数. （2）在（1）的结论下，设2()||,[0,ln 3]2xa g x e a x =-+∈，求函数)(x g 的最小值.答案解析1. A 【解析】因为A B B = ，所以B A ⊆.又因为集合{}0A x x =≥，所以集合B 可能是{}1,2.2. B 【解析】因为(x-i)i=xi-i 2=xi+1,所以xi+1=y+2i,得则x+yi=2+i.3. C 【解析】因为AD AB BD =+2AB BC32AB AC AB 312AB AC.33++-+＝＝（）＝ 4.D 【解析】因为α是第二象限角,所以0x <.由三角函数的定义,有1cos 5x α==,解得()30x x =-<.所以44tan 33α==--. 5. A 【解析】因为两圆的圆心坐标分别为())2,1(,0,1-，那么过两圆圆心的直线x ＋y －1＝0，与公共弦垂直且平分6. B 【解析】由已知y=x 2-x+2的对称轴为x=,开口向上,故在上单调递增,故a ≥,推不出y=a x 是递增函数.反之y=a x 单调递增,则a>1,显然y=x 2-x+2在[a,+∞)上单调递增,故选B.7. C 【解析】因为a =(2,1),所以|a |=.又因为|a +b |=5,|a +b |2=a 2+b 2+2a ·b , 所以(5)2=()2+|b |2+2×10,即|b |2=25,所以|b |=5.8. C 【解析】因为函数f(x)图象的对称轴是x=-,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.9. B10. D 【解析】∵f(x)在R 上是奇函数且f(2+x)=-f(2-x),∴f(2+x)=-f(2-x)=f(x-2),∴f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 016)=f(0)=0.11.C 【解析】计算可得，直线m 的方程为222r b a by ax <+=+所以m 与l 平行，且圆心到直线l 的距离r b a r d >+=222. 12.D 【解析】设x e x f x h ⋅=)()(，则x e c b x b a ax x h ))2(()(2/++++=， 由x ＝－1为函数x e x f y ⋅=)(的一个极值点，代入上式，可得c a =， 所以a bx ax x f ++=2)(，若0)(=x f 有两个零点，21,x x ，那么121==⋅aax x ，D 中的图象一定不满足13.－1 【解析】代入计算可得14. 3 【解析】因为圆心坐标为(-1,1)，所以圆心到直线3x+4y+14=0的距离为3.=15. x-y-1=0 【解析】由于12OP x OA x OB =+且x 1+x 2=1,则A(3,2),B(1,0),P(x,y)三点共线， 而AB =（-2，-2），BP=（x-1，y ），由共线向量的坐标充要条件知 （-2）y-(-2)(x-1)=0，即x-y-1=0.16.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,43 【解析】1214)1(42'-≥++-=+-==x x x x ee e e y k 17. 【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=π-A ，得 1-2cos A=0，cos A=12，…………………………2分 由正弦定理，得sin B=bsin A a =. …………………………4分 由b ＜a 知B ＜A ，所以B 不是最大角，B ＜2π， 从而=…………………………6分 由上述结果知：sin C=sin(A+B)=1().222+ …………………………8分 设边BC 上的高为h ，则有h=bsin C=1.2…………………………10分 另解：直接得到060=A ,045=B ,则075=C ，再计算sin C 18. 【解析】设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则k,2为x 2+Dx+F=0的两根， …………………………2分 ∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2)，F=2k. …………………………4分 又圆过R （0，1），故1+E+F=0.∴E=-2k-1. …………………………6分 故所求圆的方程为x 2+y 2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0，…………………………7分圆心坐标为k 22k 1.22++（，） …………………………8分 ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，CP 2k 1k 12k+∴=-=-，∴k=-3， …………………………10分 ∴D=1,E=5,F=-6.∴所求圆C 的方程为x 2+y 2+x+5y-6=0. …………………………12分另解：线段RQ 的垂直平分线方程为：0324=--y x ；直线PC 的方程为：k x y +-=；联立可得圆心C ：⎪⎭⎫⎝⎛-+634,632k k且22CQ CP =，可得2226346926342⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，解得3-=k 或2=k （舍）19. 【解析】∵OA =(cos x,sin x),OB=(1,1),则OC OA OB =+=(1+cos x,1+sin x), …………………………1分∴()()222f (x)|OC |1cos x 1sin x ,==+++=3+2(sin x+cos x)=3).4π++ …………………………3分（1）由x k ,4π+=πk ∈Z,即x k ,4π=π-k ∈Z,∴对称中心是k ,3,4ππ-（）k ∈Z. …………………………5分 当32k x 2k ,242ππππ+≤+≤π+k ∈Z 时，f(x)单调递减，即52k x 2k 44πππ+≤≤π+，k ∈Z 时，f(x)单调递减，∴f(x)的单调递减区间是52k 2k 44πππ+π+［，］，k ∈Z ，……………………7分∴f(x)在区间［-π，0］上的单调递减区间为3.4π-π-［，］………………8分 （2）00f (x )3)34π=++=+0001sin(x ).4233x x ,2444π∴+=ππππ∈∴+∈π ［，］，［，］ 05x ,46ππ∴+=即07x 12π=， …………………………10分07tan x tan tan()21234πππ∴==+=- …………………………12分20. 【解析】（1）设A 、B 的横坐标分别为12x x 、，由题设知1211x x >>、， 得点181282(,log )(,log )A x x B x x 、，121222(,log )(,log )C x x D x x 、，…………1分A 、B 在过点O 的直线上，∴818212log log x x x x =， …………………………3分 8182212211223log 3log log log OC ODx x x x k k x x x x ====，，…………………………5分 得：OC OD k k =，∴O 、C 、D 共线 …………………………6分 （2）由BC 平行于x 轴，有3218221log log x x x x =⇒=…………………………8分 代入818212log log x x x x =，得3181181log 3log x x x x =， …………………………10分 11x >,81log 0x ∴≠∴3113x x =，1xA …………………………12分21. 【解析】（1）设),(y x M ，),(11y x A ，),(22y x B ，∠AOB θ2=， …………1分 由x y 2=可得，2tan ==k θ，那么54122sin 2=+=k k θ，……………………3分又因为15x OA =，25x OB =所以42sin 21=⋅⋅=∆θOB OA S AOB ，化简得221=⋅x x ，…………①式……………5分 因为),(y x M 是),(11y x A 与),(22y x B 的中点，所以x x x 221=+，y y y 221=+，且112x y =，222x y -=，联立可得222144y x x x -=⋅，并代入①式，得8422=-y x ，…………………………7分所以中点M 的轨迹方程是8422=-y x ，0>x …………………………8分 （2）设中点M 到射线OA 、OB 的距离分别为1d 、2d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=222221212212y x d yx d ， …………………………10分那么585421221222222221=-=++⋅+-=⋅y x y x y x d d 所以中点M 到两射线的距离积为定值 …………………………12分22. 【解析】（1）1()4f x x a x'=++-， …………………………1分∵()f x 在[1,)+∞上是增函数，∴()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立……………………2分 ∴14()a x x≥-+恒成立， …………………………3分∵12x x +≥，当且仅当1x =时取等号，∴14()2x x-+<，………………………4分 ∴2a ≥. …………………………5分（2）设xt e =，则2()||2a h t t a =-+，∵0ln 3x ≤≤，∴13t ≤≤. …………………………7分当23a ≤≤时，22,12(),32a t a t a h t a t a a t ⎧-++≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，…………………………8分∴()h t 的最小值为2()2a h a =， …………………………9分当3a >时，2()2a h t t a =-++，∴()h t 的最小值为2(3)32a h a =-+. …………………………11分综上所述，当23a ≤≤时，()g x 的最小值为22a ，当3a >时，()g x 的最小值为232a a -+. …………………………12分。
六校联盟2016年高考数学模拟试卷(理科)(a卷) 含解析
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）(A卷）一、选择题：本大题共12个小题;每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数(2+ai)i（a∈R）的实部与虚部互为相反数,则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．下列命题中,是真命题的是（)A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a,b为实数，则a＞1,b＞1是ab＞1的充分条件3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3,2a4，a5成等差数列，若数列｛a n｝的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．2454．在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是（）A． B．8 C． D．45．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0）,若所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是（）A． B．C．D．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C 为120°的四面体ABCD,则四面体的外接球的表面积为（)A．25πB．26πC．27πD．28π7．利用计算机在区间(0,1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？(）A．31 B．30 C．28 D．329．某程序框图如图所示，现将输出（x,y)值依次记为:(x1,y1），(x2,y2）,…,（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是(x，﹣10）则数组中的x=（)A．32 B．24 C．18 D．1610．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线,垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心,｜OF1｜为半径的圆内，则C的离心率取值范围为(）A．B．（2，+∞) C．（1，2) D．12．已知函数f(x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是(）A．（0，）B．（1，3）C．(,3）D．（,1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数,且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大,则第4项的系数是______（用数字作答）14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分）,为了估计该校学生的数学考试情况,从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组［60，70）,第二组［70，80)，…，第八组［130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为______．15．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ(λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则｜｜的最小值是______．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18,a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为______．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ)求函数f（x)的单调递增区间;(Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A,B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C)=1，求的取值范围．18．某课题组对春晚参加“咻一咻"抢红包活动的同学进行调查,按照使用手机系统不同(安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查,发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”,否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0。
广东省东莞市六校2016届高三上学期联考数学(文)试卷(含答案)
东莞市2015-2016学年度第一学期六校联考试题高三数学（文科）试题说明：本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项1．题号后面的括号内是命题学校的简称，非题目内容，与作答无关。
2.回答第Ⅰ卷时，把答案用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡上交，此卷自己妥善保管。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（虎中）集合{}123456U =，，，，，，{}23A =，，{}2650B x Z x x =∈-+<，则()A B C U ⋂=（ ）A .{}156，，B .{}1456，，，C .{}234，，D .{}16， 2. （长中）若复数iim -+2为纯虚数，则实数m =（ ） A ． 2 B ．21 C ． 2- D ．21-3．（济中改）下列函数中，以2π为最小正周期的奇函数是（ ）A ． x x y 2cos 2sin +=B ． x x y 2cos 2sin 22-= C ．)24sin(π+=x y D ． x x y 2cos 2sin ⋅=4. （四中）已知两个向量(2,1),b (1,)a x ==- ,若(2a b)a ⊥-，则x 等于（ ）．A ．12B ．6-C ．6D ． 12-5. （五中）一元二次方程022=++m x x 有实数解的一个必要不充分条件为 ( ) A. 1<m B .1≤m C. 1≥m D. 2<m6. （厚中）一个几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为 （ ） A ．12 B ． 1 C ． 13D ．617．（四中）曲线x x x f ln )(=在e x =处的切线方程为( )A ．e x y -=2B ． e x y -=C ．x y =D ．e x y +=28．（长中）执行如图所示的程序框图,若输出的5=k ,则输入 的整数p 的最大值为( )A ． 7B ．15C ．31D ． 63 9、（长中改）已知正三棱锥P-ABC 中，底边8=AB ，顶角090=∠APB ，则过P 、A 、B 、C 四点的球体的表面积是（ ）A ． π384B ．π192C ．π96D ． π24 10．（济中改）已知函数1x y a-=（0a >,且1a ≠）的图象恒过定点A ,若点A 在一次函数y mx n =+的图象上,其中0>m ，0>n ，则nm 41+的最小值为 （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．13 11.（虎中）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象（ ） A .向右平移3π个长度单位 B .向左平移3π个长度单位 C .向右平移6π个长度单位 D .向左平移6π个长度单位12、（五中改）已知偶函数)(x f 的定义域为R ，且 )1()1(x f x f -=+，又当]1,0[∈x 时，x x f =)(，函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=)0(4)0(log )(4x x x x g x，则函数)()()(x g x f x h -=在区间［－4,4］上的零点个数为( )A 、8B 、6C 、9D 、7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
广东省“六校联盟”2016届高三第二次联考数学理考试试题
2016届六校高三第二次联考理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={2|230,x x x x Z --<∈}，则集合M 的真子集个数为 A ． 8 B ． 7 C ． 4 D ． 32．已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是 A ．2- B ．0 C ．1 D ．2 3．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ． 236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．369,,a a a 成等比数列 4．下列选项叙述错误的是 A ．命题“若1x ≠,则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =” B ．若命题P ：2,10,x R x x ∀∈++≠则2:,10p x R x x ⌝∃∈++= C ．若p q ∨为真命题，则p,q 均为真命题 D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5．已知4cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）A ．2425B ．725C ．2425±D ．725±6．若11<<0a b ,则下列结论不正确的是( )A ．22a b <B ．2ab b < C ．0a b <＋ D ．||a b a b >＋＋7． 下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ．()sin f x x = B ．()1f x x =-+C ．2()ln2x f x x -=+ D ．()1()2x x f x a a -=+ 8．已知n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且51013S S =，那么520S S =A ．1B ．1 C ．1D ．13的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移）A ．,,63k k k Z ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ,,62k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C. 2,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D. 5,,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 10．在四边形ABCD 中，AB DC =，已知8,5,AB AD ABAD ==与的夹角为11cos=20θθ，且，3CP PD =，则AP BP = A ．2 B. 4 C. 6 D. 1011．设0,022x y ππ<<<<，且sin cos x x y =，则,x y 的大小关系是A.2x y x << B . 32x x y << C. 42x xy << D . y x > 12. 函数)(x f 是定义在R 上的奇函数, 当0>x 时, ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(|1|x x f x x f x ，则函数1)()(-=x xf x g 在),6[+∞-上的所有零点之和为A ．32-B ． 32C ．16D ．8二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．由直线12x =，2x =，曲线1y x=及x 轴所围成的图形的面积是 ． 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3813a a +=且735S =，则7a = ．15．定义在R 上的函数()f x 满足()f x =⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则()2015f 的值为 ．16．已知O 是ABC ∆的外心，6,10AB AC ==，若,AO x AB y AC =+且2105x y +=，则ABC ∆的面积为 .三、解答题: 本大题包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题 ，第22题~第24题为选做题． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且6a c ＋＝，2b ＝，7cos =9B . （1）求a c ，的值；（2）求sin()A B －的值．18.（本小题满分12分）某工厂2016年计划生产A 、B 两种不同产品，产品总数不超过300件，生产产品的总费用不超过9万元．A 、B 两个产品的生产成本分别为每件500元和每件200元,假定该工厂生产的A 、B 两种产品都能销售出去，A 、B 两种产品每件能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该工厂如何分配A 、B 两种产品的生产数量，才能使工厂的收益最大？最大收益是多少万元？19.（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是2a 与4a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12log n n n b a a =，12n n S b b b =+++，求使1250n n S n ++>成立的正整数n 的最小值．20.（本小题满分12分）已知函数()axf x x b=+满足：(1)1f =，(2)4f -=． （1）求,a b 的值，并探究是否存在常数c ,使得对函数()f x 在定义域内的任意x ，都有()()4f x f c x +-=成立；（2）当[1,2]x ∈时，不等式2(1)|()|mx m f x x ≤+-恒成立，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数ln ()1=++a x bf x x x，()=y f x 的图象在点()1,(1)f 处的切线方程为230+-=x y . （1）设()()1()h x x f x =+，求函数()h x 的单调区间；（2）设ln ()1x kg x x x=+-，如果当0>x ，且1≠x 时，函数()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求k 的取值范围．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答。
广东省六校联盟高考数学模拟试卷(理科)(a卷) Word版含解析
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．2454．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A． B．8 C． D．45．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B．C．D．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C 为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A．31 B．30 C．28 D．329．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10）则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．1610．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（）A．B．（2，+∞）C．（1，2）D．12．已知函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，3）C．（，3）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______（用数字作答）14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为______．15．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ（λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是______．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为______．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如（）如果认为咻得红包总金额超过元为咻得多，否则为咻得少，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．19．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD 的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；（Ⅱ）当2V B﹣ADGE =V D﹣GBCF时，求二面角D﹣BG﹣C平面角的余弦值．20．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，实部与虚部互为相反数即可求值．【解答】解：由复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，可得﹣a+2=0．故选D．2．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据特称命题的定义进行判断B．根据全称命题的定义进行判断C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断D．根据充分条件的定义进行判断．【解答】解：A．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e x0≤0为假命题，B．当x=2时，2x=x2，则∀x∈R，2x＞x2不成立，故B为假命题．C．当a=b=0时，满足a+b=0但=﹣1不成立，故C为假命题，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，故D为真命题，故选：D3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．245【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等比数列的通项公式及等差数列的性质，求出公比q，从而得到a n=2n﹣1，由此能求出数列{a n}的前10项之积为T10．【解答】解：在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，∴4a4=4a3+a5，∴4q3=4q2+q4，解得q=2，∴a n=2n﹣1，∵数列{a n}的前n项之积为T n，∴T10=20×2×22×24×25×26×27×28×29=20+1+2+3+4+5+6+7+8+9=245．故选：D．4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A． B．8 C． D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】转化不等式为不等式组，画出约束条件表示的可行域，结合图形求解图形的面积．【解答】解：因为不等式|y﹣2|≤x≤2等价于，它的可行域为：可行域是三角形，由得交点A（2，4），C的坐标由解得，为（2，0），B的坐标（0，2），可行域三角形的面积为：×4×2=4．故选：D．5．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B．C．D．【考点】二阶行列式的定义；函数的图象与图象变化．【分析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．【解答】解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：D．7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，只要写出试验发生所包含的所有事件和满足条件的事件对应的线段长度即可，把方程整理成一元二次方程，通过一元二次方程的判别式来解．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，化为x2+2ax+b=0，方程有实根，△≥0即4a2﹣4b≥0∴b≤a2∴方程有实根的概率为∫01a2d a==．故选B．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A．31 B．30 C．28 D．32【考点】计数原理的应用．【分析】该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据6前面的数字的个数多少分类即可．【解答】解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C51=5种，当6前有2个数字时，有C52=10种，当6前有3个数字时，有C53=10种，当6前有4个数字时，有C54=5种，根据分类计数原理，共有5+10+10+5=30种，故选：B．9．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10）则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．16【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的3倍，y每次减小2．【解答】解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果n x y循环前：1 1 0第1次：（1，0）3 2﹣2第2次：（2，﹣2）5 4﹣4第3次：（4，﹣4）7 8﹣6第4次：（8，﹣6）9 16﹣8第5次：（16，﹣8）11 32﹣10第6次：（32，﹣10）则数组中的x=32故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，其直观图如下图所示：∵三棱柱的体积V==2，挖去的棱锥体积V==，故该几何体的体积为2﹣=，故选：C11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（）A．B．（2，+∞）C．（1，2）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为y=x，求得与渐近线垂直的直线方程，联立方程解得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得B的坐标，运用点在圆内的条件可得|BF1|＜c，化简整理，运用离心率公式即可得到所求范围．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为y=x，过点F2与渐近线垂直的直线方程为y=﹣（x﹣c），联立，解得A（，），设B（m，n），由，可得（﹣c，）=2（m﹣，n﹣），可得m=﹣，n=，即B （﹣，），由点B 在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆内，可得|BF 1|＜c ，可得（﹣+c ）2+（）2＜c 2，化为+a 2＜c 2，即为+a 2＜c 2，即c 2＞5a 2，由e=，可得e ＞．故选：A ．12．已知函数f （x ）=e x （x ﹣ae x ）恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（1，3）C ．（，3）D ．（，1）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据题意，对函数f （x ）求导数，得出导数f ′（x ）=0由两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f （x ）=e x （x ﹣ae x ）， ∴f ′（x ）=（x +1﹣2a •e x ）e x ，由于函数f （x ）的两个极值点为x 1，x 2， 即x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两不等实根， 即方程x +1﹣2ae x =0，且a ≠0，∴=e x ；设y 1=（a ≠0），y 2=e x ，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0＜a ＜，所以a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是（用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r=3求出第4项的系数．【解答】解：∵展开式中中间项的二项式系数最大∴展开式共7项∴n=6展开式的通项为当r=3时是第4项所以第4项的系数是故答案为14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为97．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出成绩在[120，130）的频率以及平均成绩；【解答】根据频率分布直方图，得：成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.004×10+0.012×10+0.016×10+0.03×10+0.02×10+0.006×10+0.004×10）=1﹣0.92=0.08；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97，所以该校的数学平均成绩为97；故答案为：9715．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ（λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是1．【考点】平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值．【解答】解：设AC=b，AB=c，又∠A=120°，•=﹣2，则bccos120°=﹣2，即有bc=4，由AD是△ABC的中线，则有=（+），即有||2=（++2）=（b2+c2﹣4）≥（2bc﹣4）=×（8﹣4）=1．当且仅当b=c时||的最小值是为1，故答案为：1．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为193．【考点】数列的求和．【分析】由于正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，要求a9的最大值，必须要求a1到a8尽可能的取得越小越好，a10到a18与a9越接近越好．即可得出．【解答】解：由于正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，要求a9的最大值，必须要求a1到a8尽可能的取得越小越好，a10到a18与a9越接近越好．当1≤n≤8时，取a n=n，则a1+…+a8==36．当9≤n≤18时，不妨取a n=a9+n﹣9，则10a9+≤2011﹣36．解得a9≤193．因此a9的最大值为193．故答案为：193．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由三角函数公式化简可得f（x）=+sin（2x+），解可得单调递增区间；（II）可得，由余弦定理得表达式，由锐角三角形可得再由正弦定理得的范围，由函数的值域可得．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）=+sin（2x+）=1，∴sin（2x+）=，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2=a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得∴18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；122K2==0.4＜2.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==X∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．19．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD 的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；（Ⅱ）当2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF 时，求二面角D ﹣BG ﹣C 平面角的余弦值． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，BE ⊥EF ，建立空间坐标系E ﹣xyz ，利用向量法能求出BD ⊥CG ．（Ⅱ）法一：设EG=k ，由AD ∥平面EFCB ，得到点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．分别求出平面DBG 的法向量和面BCG 的一个法向量，利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．（Ⅱ）法二：由已知条件指法训练出EG=1，过点D 作DH ⊥EF ，垂足H ，过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD ．由已知条件推导出∠DOH 就是所求的二面角D ﹣BG ﹣C 的平面角，由此能求出此二面角平面角的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴EF ∥BC ，又∠ABC=90°，∴AE ⊥EF ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．…翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG +GC 最小．EG=BC=2，又∵EA=EB=2．则A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0）， D （0，2，2），E （0，0，0），G （0，2，0），∴=（﹣2，2，2），=（﹣2，﹣2，0）∴=（﹣2，2，2）（﹣2，﹣2，0）=0，∴BD ⊥CG ．…（Ⅱ）解法一：设EG=k ，∵AD ∥平面EFCB ，∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．∵ [（3﹣k ）+4]×2=7﹣k ，∴=，又=，∵2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF ，∴=， ∴k=1即EG=1…设平面DBG 的法向量为，∵G （0，1，0），∴，=（﹣2，2，2），则，即取x=1，则y=2，z=﹣1，∴…面BCG 的一个法向量为则cos＜＞=…由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为锐角，所以此二面角平面角的余弦值为…（Ⅱ）解法二：由解法一得EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，∴∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角．…由于HG=1，在△OHG中，又DH=2，在△DOH中…∴此二面角平面角的余弦值为．…20．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤•≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…∴，即．…②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…∴．…所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…下面加以证明：当时，…①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，﹣1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；（II）利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2=5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|=2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1=0，圆心到直线l的距离=，解得k=±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，由此求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得m的范围．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．2016年9月20日。
广东省广州市2016届高三数学一模试卷 文(含解析)
2016年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．127．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F 是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20π B．C．5πD．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．故选：B．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f（α+）=sin（α++）=sin（α+）=sinαcos+cosαsin=﹣（﹣）=，故选：C．9．如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F 是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+x n=10，则|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（）A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n+1，由此能求出结果．【解答】解：∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，x1+x2+…+x n=10，∴|P1F|+|P2F|+…+|P n F|=（x1+1）+（x2+1）+…+（x n+1）=x1+x2+…+x n+n=n+10．故选：A．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A．20π B．C．5πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p3：若，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），可得=（﹣a，﹣b），=（c，﹣b），由，可得﹣ac+b2=0，即有b2=c2﹣a2=ac，由e=，可得e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，，CD=5，BD=2AD，则AD的长为 5 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，在RT△ACE，CE===，由得BC=2CE=5，在RT△BCD中，BD===10，则AD=5，故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2log2a n﹣1，求数列{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n}中，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n=2log2a n﹣1，求出b n，利用错位相减法求出T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，．）因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2（a3+2）=a2+a4．即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2﹣2q=0．因为公比q≠0，所以q=2．所以（n∈N*）．（Ⅱ）因为，所以b n=2log2a n﹣1=2n﹣1．所以．则，①，，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．（Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明A1O⊥BD．CO⊥BD．即可证明BD⊥平面A1CO．（Ⅱ）解法一：说明点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．设点C到平面OBB1的距离为d，通过，求解点C到平面OBB1的距离．解法二：连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，推出OA1O1C为平行四边形．证明CH⊥平面BB1D1D，然后求解点C到平面OBB1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1O⊥BD．…因为ABCD是菱形，所以CO⊥BD．…因为A1O∩CO=O，A1O，CO⊂平面A1CO，所以BD⊥平面A1CO．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD是菱形，AC∩B D=O，AB=AA1=2，∠BAD=60°，所以OB=OD=1，．…所以△OBC的面积为．…因为A1O⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以A1O⊥AO，．…因为A1B1∥平面ABCD，所以点B1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O．…由（Ⅰ）得，BD⊥平面A1AC．因为A1A⊂平面A1AC，所以BD⊥A1A．因为A1A∥B1B，所以BD⊥B1B．…所以△OBB1的面积为．…设点C到平面OBB1的距离为d，因为，所以．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD⊥平面A1CO，因为BD⊂平面BB1D1D，所以平面A1CO⊥平面BB1D1D．…连接A1C1与B1D1交于点O1，连接CO1，OO1，因为AA1=CC1，AA1∥CC1，所以CAA1C1为平行四边形．又O，O1分别是AC，A1C1的中点，所以OA1O1C为平行四边形．所以O1C=OA1=1．…因为平面OA1O1C与平面BB1D1D交线为OO1，过点C作CH⊥OO1于H，则CH⊥平面BB1D1D．…因为O1C∥A1O，A1O⊥平面ABCD，所以O1C⊥平面ABCD．因为OC⊂平面ABCD，所以O•1C⊥OC，即△OCO1为直角三角形．…所以．所以点C到平面OBB1的距离为．…20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a＞b＞0），结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f （x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），设h（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．…因为g'（x0）=0时，所以，即lnx0=﹣x0．…当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R）．…设h（x）=e x﹣x﹣1，则h'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，h'（x）＜0，当x＞0时，h'（x）＞0，所以当x＜0时，函数h（x）单调递减，当x＞0时，函数h（x）单调递增．所以h（x）≥h（0）=0．所以e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…所以要证明e x﹣lnx﹣2＞0，只需证明（x+1）﹣lnx﹣2＞0．…下面证明x﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，则．当0＜x＜1时，p'（x）＜0，当x＞1时，p'（x）＞0，所以当0＜x＜1时，函数p（x）单调递减，当x＞1时，函数p（x）单调递增．所以p（x）≥p（1）=0．所以x﹣lnx﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．…由于取等号的条件不同，所以e x﹣lnx﹣2＞0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…（若考生先放缩lnx，或e x、lnx同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明e x﹣lnx＞2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t（t＞0）与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则．其中，（t＞0）．①设h（t）=e t﹣t（t＞0），则h'（t）=e t﹣1．因为t＞0，所以h'（t）=e t﹣1＞0．所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（0）=1．所以．②设g（t）=t﹣lnt（t＞0），则．因为当0＜t＜1时，g'（t）＜0；当t＞1时，g'（t）＞0，所以当0＜t＜1时，g（t）=t﹣lnt单调递减；当t＞1时，g（t）=t﹣lnt单调递增．所以g（t）≥g（1）=1．所以．所以．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出两种思路证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，则．设，则．所以函数h（x）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0，所以，即lnx 0=﹣x 0﹣lnm ．… 当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0．所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．…故．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．…思路2：先证明e x ≥x+1（x ∈R ），且lnx ≤x+1（x ＞0）．…设F （x ）=e x ﹣x ﹣1，则F'（x ）=e x ﹣1．因为当x ＜0时，F'（x ）＜0；当x ＞0时，F'（x ）＞0，所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F （x ）取得最小值F （0）=0．所以F （x ）≥F （0）=0，即e x ≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x ≥x+1（x ∈R ），得e x ﹣1≥x （当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx ≤x ﹣1（x ＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x ﹣lnx ﹣2＞0．因为x ＞0，m ≥1，且e x ≥x+1与lnx ≤x ﹣1不同时取等号，所以me x ﹣lnx ﹣2＞m （x+1）﹣（x ﹣1）﹣2=（m ﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE ∥CA 交BA 的延长线于点E ．（I ）求证：DE 2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且EF=4，EA=2，求线段AC 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．。
广东省六校联盟2016届高三上学期第三次联考数学理试题
2016届“六校联盟”高三第三次联考理科数学试题命题学校：中山纪中 2015，12，17第一部分 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合(){}10,ln 1x M x R N x R y x x ⎧-⎫=∈≤=∈=-⎨⎬⎩⎭，则M N = （ ） A ．∅ B. {}1x x ≥C. {}1x x >D. {}10x x x ≥<或2．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③3．下列四个条件中，p 是q 的必要不充分件的是（ ） A ．:p a b >，22:q a b >B ．:p a b >，:22a bq >C ．:p 非零向量a 与b 夹角为锐角，:0q a b ⋅>D ．2:0p ax bx c -+>，2:0c bq a x x -+>4．设函数()4ln ,03f x x x x =-->则函数()y f x =（ ）A ．在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B ．在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点 .D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.5．要得到函数2y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度;B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度;C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度; D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度．6．已知{}n a 是等比数列，251,42a a ==，则13221++++n n a a a a a a = （ ） A ．()1218n - B ．()12124n + C. ()14124n - D. ()14216n- 7．如果点P 在平面区域2202030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ的最小值为（ ）A1- B．1 C ．2 D18．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()21x m f x -+=-（m R ∈），记()()42log 5,(log 3),a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若AD DB λ= ，()1,3CD CA CB R μλμ=+∈，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．已知函数()()()120121f x f x x f x dx '=++⎰在区间(),12a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A．B ．433 C ． 43 D ．33 12．已知定义在(0,)+∞上的连续函数()y f x =满足：()()xxf x f x xe'-=且()()13,20f f =-=.则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值第二部分 非选择题（共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知223a c b -=，且sin cos 2cos sin ,A C A C = 则b = .14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21n n S a n N *=-∈，则数列{}n na 项和n T = .15．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的表面积是 2cm .16. 若不等式()1na -⋅<()1911n n n +⋅-++对任意n N +∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、 解答题：包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间[,]62ππ-上的最值.18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，2375a S =且1413,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n a 为递增数列，求证：13≤11S ＋21S ＋……＋nS 1＜43．19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ,底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===,O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ； （2）求证：DG PBC ∥平面； （3）求二面角A PC B --的大小.20．（本小题满分12分）已知点P 是圆22:1O x y +=上任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ,延长QP 到点M ,使QP PM =.（1）求点M 的轨迹E 的方程；正视图侧视图俯视图P OC D AG（2）过点(),0C m 作圆O 的切线l ，交（1）中曲线E 于,A B 两点，求AOB ∆面积的最大值.21．（本小题满分12分）已知函数()()()2ln 1f x x ax x a R =++-∈.(1)若12a =，求曲线()yf x =在点()()00f ，处的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性；（3）若存在[)00,x ∈+∞，使()0f x <成立，求实数a 的取值范围.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016届“六校联盟”高考模拟 文 科 数 学 试 题 (A 卷)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集R U =，，则A B = 2.已知复数(,,0)Z a bi a b R ab =+∈≠且,若(12)Z i -为实数，则a＝ A.2 B.－2 C.－12 D.123.下列四个函数中，既是偶函数又在),0(+∞上为增函数的是A ．x x y 22-=B ．3x y =C ．21ln x y -=D ．1||+=x y 4.A 是半径为2的圆O 内一个定点，P 是圆O 上的一个动点，线段AP 的垂直平分线l 与半径OP 相交于点Q ，则QA OQ ⋅的最大值为 A.1 B.2 C.3 D.45.在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为A ．310B ．53C ．710D ．256.已知3,5a b == ，a 与b 不共线，向量ka b + 与ka b - 互相垂直，则实数k 的值为A.53 B.35 C.35± D.53± 7.点(,1)6P π-是函数()sin()(0,)2f x x m ωϕωϕ=++><π的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为4π. ①()f x 的最小正周期是π ； ②()f x 的值域为[0,2]； ③()f x 的初相ϕ为3π④()f x 在5[,2]3ππ上单调递增.以上说法正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.48.已知点P 在以12F F ，为焦点的双曲线()2222100x y a b a b-=>>，上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形12F F PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为ACDA．12+ B．1+．19.设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ,若y ax z +=的最大值为42+a ,最小值为1+a ,则实数a 的取值范围是A.]2,1[-B.]1,2[-C.]2,3[--D.]1,3[-10.执行如右图所示的程序框图，若输出的9=n ，则输入的整数p 的最小值是 A ．50 B ．77 C ．78 D ．306 11.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径长为 A ．4＋43π B ． C ．4＋23πD ．6 12.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.如图网格纸上小正方形的边长为l ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为___________ 14.函数sin y x =和cos y x =在4x π=处的两条切线与x 轴围成封闭区域D ，点(,)x y D ∈,则2x y +的最小值为______________15．已知,20π≤<a 设函数[]()120162014()sin ,20161x x f x x x a a ++=+∈-+ 的最大值为P ,最小值为Q ,则Q P +的值为_____________．16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在， 则B cos = ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在正项数列{}n a 、{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列.（1）证明：成等差数列，并求出na，n b ；（2）设11n n c b =-，求数列{}n c 的前n 和n S .18.（本题满分12分）在某次足球比赛中,对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km ）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分.(1)根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值(精确到小数点后两位),并给出一个正确的统计结论;(2)规定跑动距离为km 0.9及以上的球员为优秀球员,跑动距离为km 5.8及以上的球员为积极球员,其余为一般球员.现从两队的优秀球员中随机抽取2名,求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率.19．（本题满分12分）如图，在多面体EF ABCD - 中，,ABCD ABEF 均为直角梯形， 2ABE ABC π∠=∠=,DCEF 为平行四边形， 平面DCEF ⊥平面ABCD .（1）求证：DF ⊥平面ABCD ；（2）若ABD ∆是边长为2的等边三角形，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1,求点E 到平面BDF 的距离.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 被抛物线C 截得的线段长为8.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线y x =-和抛物线C 交于点,O A ，线段AO 的中点 为Q ，在AO 的延长线上任取一点P 作抛物线C 的切线，两切点分 别为N M ,，直线MQ 交抛物线C 于另一点B ，问直线NB 的斜率0k 是 否为定值？若是，求出0k 的值;若不是，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x x ax a =-+（R a ∈），其导函数为()f x '．（1）求函数()()()21g x f x a x '=+-的极值；（2）当1x >时，关于x 的不等式()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于B A ,两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于D C ,两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ．已知10,5==DB BC ． （1）求AB 的长； （2）求DECF．23.(本小题满分10)选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+l 交y 轴 于点)1,0(E .(1)求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；(2)直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求EB EA +的值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()f x 的最大值M ． （1）求实数M 的值；（2）求关于x 的不等式M x x ≤++-222的解集．2016届“六校联盟”高考模拟 文科数学试题(A 卷)答案B二.填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.4 14.14π-15.4030 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解：（1）由题意可得：12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=⋅， 226,9a b ⇒==.......3分0,0n n b a >> 22)n ⇒≥，∴分∴成等差数列.........5分(n -，2(1)n b n ⇒=+，(1)n a n n =+...........5分（2）21111()(1)122n c n n n ==-+-+， .......9分1111111111(1)232435112n S n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+--++.......11分1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++.......12分 18.（本题满分12分）解:(1)由茎叶图可知,甲队球员跑动距离的中位数为km 2.8,乙队球员跑动距离的中位数为km 1.8, ..........2分 甲队球员跑动距离的平均数为km 35.7132.38.34.43.78.77.72.83.86.88.86.88.91.9≈++++++++++++..3分乙队球员跑动距离的平均数为km 73.7134.43.42.58.76.79.88.85.81.80.88.96.95.9≈++++++++++++..4分由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离,因而可知乙队球员相对甲队球员跑动的更加积极,而从中位数对比可知甲队球员跑动距离的中位数比乙队球员跑动距离的中位数大,因而球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论 ......6分 (2)根据茎叶图可知,两队的优秀球员共5名,其中甲队2名,乙队3名.将甲队的2名优秀球员分别记为b a ,,乙队的3名优秀球员分别记为C B A ,,,则从中随机抽取2名,所有可能的结果为BC AC AB bC bB bA aC aB aA ab ,,,,,,,,,共10个 ........9分 (3)其中既有甲队球员又有乙队球员(记为事件M )包含的结果为bC bB bA aC aB aA ,,,,,共6个. ........11分 (4)由古典概型的概率计算公式知,所求概率为53106)(==M P . ........12分 19．（本题满分12分）（1）证明：因为2ABE ABC π∠=∠=，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ⋂BC=B,又AB ⊥ 平面BCE所以AB CE ⊥ ………………3分 //,//AB CD CE DF ，所以CD DF ⊥ ………………4分 又平面DCEF ⊥ 平面ABCD ，且两平面相交于CD所以DF ⊥ 平面ABCD . ……………………6分 （2）由（1） DF ⊥ 平面ABCD ，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1, 所以1tan =∠FBD ，即2DF BD == …………………7分 在直角梯形ABCD 中，因为ABD ∆是边长为2的等边三角形所以2,1,BD CD BC ===……………………9分//,BDF BDF CE DF CE DF ⊄⊂ 平面，平面，//BDF CE ∴平面， 点E 到平面BDF 的距离即为点C 到平面BDF 的距离，设距离为d C BDF F BDC V V --∴=1133BDF BDC d S DF S ∴⋅⋅=⋅⋅ 代入计算可得d =……………………12分 20.（本小题满分12分） 解:(1)过点F 且倾斜角为4π的直线2:px y l -=交抛物线px y 22=于L K , 由)2(22Py p y +=,得0222=--p py y 所以2,2p y y p y y L K L K -=⋅=+ .............2分 所以842==-=p y y KL L K .............3分 所以抛物线方程为x y 42= .............4分(2)联立⎩⎨⎧=-=xy x y 42解得OA A O ),4,4(),0,0(-的中点)2,2(-Q ............5分设点),(m m P -,切点),(),,(2211y x N y x M过M 的切线:)(211x x y y +=,因为切线过),(m m P -,则112))(2(x m y =-+ 同理可知..222))(2(x m y =-+ .........6分两式相除得2221212122y y x x y y ==++化简得))((2)(12211221y y y y y y y y +-=-,而21y y ≠ 所以)(21221y y y y +-=,即22112+-=y y y ...........8分 MQ 的方程为:)2(242)2(22221111--+=--+=+x y y x x y y ,联立x y 42= ..........9分 得0)224(2)2(2)24(422112121=---+---+y y y y y y 所以281211+-=+y y y y B ,则2)4(228111121++-=-+-=y y y y y y B 所以1222)4(244111120-=+-+++-=+=y y y y y y k B ...........11分 所以直线NB 的斜率为定值. ...........12分21.（本小题满分12分）试题分析：（1）由于()()()21ln 1g x f x a x x x '=+-=-+，所以求不含参数函数的极值，只需求出导函数在定义区间上的零点，并列表分析即可（2）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：2ln 1x x a x >-的最大值，而2ln ,(1)1x xy x x =>-最大值，可利用导数进行求解：22221(1)ln ,(1)x x xy x --+'=-令222111(1)ln ,2(2)ln 2ln ,x t x x x t x x x x x x x x+'=--+=--=--则21112ln 0(1)0(1)00(1)2t x t t t t y y y x '''''=-+-<⇒<=⇒<=⇒<⇒<→（洛必达法则）也可分类讨论22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：（1）根据弦切角定理， 知∠BAC=∠BDA ，∠ACB=∠DAB ，∴△ABC ∽△DBA ，则，故．……………4分（2）根据切割线定理， 知CA 2=CB •CF ，DA 2=DB •DE ，两式相除，得（*）由△ABC ∽△DBA ，得，，又，由（*）得．……………10分（本小题满分10分）解：（1）由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1) 2＋(y －1) 2＝2． …………3分 l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 12t ，y ＝1＋32t ．（t 为参数, t ∈R ）……5分11 (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ 1 2t ，y ＝1＋32t ．代入(x －1) 2＋(y －1) 2＝2得t 2－t －1＝0， ……7分 解得t 1＝1＋52，t 2＝1－52， ……8分 则|EA|＋|EB|＝| t 1|＋| t 2|＝|t 1－t 2|＝5． ……10分24.（本小题满分10分）解：（I ）因为a ，b ＞0时，， ……1分所以()fx =3分当且仅当152x =时等号成立． 故函数()fx 的最大值……………4分（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得.………6分所以不等式的解x即是方程的解．………7分由绝对值的几何意义得，当且仅当时，． ………9分所以不等式的解集为：…………10分。