1.4.1 排列组合的综合问题

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高中排列组合知识点+例题全面分类

辅导讲义―排列组合教学内容1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲．则不同的传递方式共有()A．5种B．2种C．3种D．4种2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．2793．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．104．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)题型一分类加法计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？分类计数原理与分步计数原理(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？题型二分步乘法计数原理的应用例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．题型三两个原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A．30种B．27种C．24种D．21种方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．3．混合问题一般是先分类再分步．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．A 组专项基础训练1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．82．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有( ) A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．9种3．集合P ＝{x,1}，Q ＝{y,1,2}，其中x ，y ∈{1,2,3，…，9}，且P ⊆Q .把满足上述条件的一对有序整数对(x ，y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( ) A ．9 B ．14 C ．15 D ．214．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．205．从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a 、b 、c ，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为( ) A ．6 B ．20 C ．100 D ．120. B 组专项能力提升1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有( ) A ．6种 B ．10种 C ．12种 D ．16种2．直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个3.如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( ) A ．96 B ．84 C ．60 D ．484．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.1．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8 B．24 C．48 D．1202．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．243．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．排列组合题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？从10位学生中选出5人参加数学竞赛．(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种(2)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168排列、组合问题计算重、漏致误典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．(2)“至少、至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解．方法与技巧1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．失误与防范求解排列与组合问题的三个注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.A组专项基础训练1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种3．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A354．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种5．如图所示，要使电路接通，开关不同的开闭方式有()1。

解决排列组合问题的常用方法

解决排列组合问题的常用方法(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解决排列组合问题的常用方法1.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例1：六人站成一排，求甲不在排头，乙不在排尾的排列数（）.520 C答案：A分析：法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有A种站法。

第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4种选择即C，还剩5个位置，甲不能再排头所以只有4种选择C，剩下的全排列，即有CCA种站法。

2.反面考虑法法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在排头，乙在排尾） A-A*2+A =504例2：某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议，其中甲乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有多少种（）.98 C答案：D解析：法1:①甲参加，乙不参加，有C=56种②乙参加，甲不参加，有C=56种③甲，乙都不参加，有C=28种则邀请的不同方法有56+56+28=140种法2:从反面考虑，甲乙都参加，有C=70种C -C=1403.捆绑法例3：A 、B 、C 、D 、E 五人排成一排，其中A 、B 两人必须站在一起，共有（）种排法。

.72 C D24答案：C解析:将A 、B 捆绑一起，与C 、D 、E 一起排，共有2444=A 种排法，A 、B 又有222=A 种排法，共有48224=⨯种排法。

例4：从单词“equation ”选5个不同的字母排成一排，且含有qu （其中qu 相连且顺序不变），共有（）种排法。

.480 C D840答案：B解析：①从剩下的6个字母里选3个，有C(6，3)=20，②再将这3个字母和qu 全排列A=24所以共有20×24=480种排法4.错位排列错位排列问题：有n 封信和n 个信封，每封信都不装在自己的信封里，比如： 2封信就有1种装法；3封信的具体装法 1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法；随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。

排列组合问题的20种解法

排列组合问题的20 种解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

复习巩固分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法，在第 2 类办法中有种不同的方法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第 1 步有种不同的方法，做第 2 步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 , 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求 , 再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.再解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合综合应用问题

④分为甲、乙、丙三组，每组4人；
⑤分为三组，每组4人。
练习1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。
答案
①C125.C74.C33
② C125.C74.C33
③ C125.C74.C33.A33
④C124.C84.C44
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是 5人。
⑥C122.
C105.C55 A22
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出
01
平均分配。这样分配问题就解决了。结论：给出组名(非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是
02
例2：求不同的排法种数。 ①6男2女排成一排，2女相邻； ② 6男2女排成一排，2女不能相邻； ③4男4女排成一排，同性者相邻； ④4男4女排成一排，同性者不能相邻。
×××× a;
说明：在解题过程中，有时用“排一排”会使思路更清楚。 “具体排”是一种好方法，它是把抽象转化为具体的一种思维方法
分析： ①由2女捆绑成一人与6男全排列,再把2女全排列，有A77.A22种 “捆绑法”
②把6男2女8人全排列，扣去 2 女“ 相邻”就是2女“ 不相邻”，所以有A88-A77.A22种。“排除法”
② 还可用“插空法”直接求解：先把6男全排列，再在6男相邻的7个空位中排2女，所以共有A66.A72种.
02
直接法：先组：分三类。第一类，没有甲、乙，有C54种；第二类，有甲无乙或有乙无甲，有 2C53种；第三类，既有甲又有乙。有C52种。
03
引例（曾经作过的题）： 4名运动员出组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲，乙两人不同时跑中间两棒的安排方法有多少种？

专题：排列组合问题综合题型高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

专题：排列组合的综合题型（4）知识梳理：1.熟练掌握处理排列组合最常见的原理和方法“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”2.在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系典型例题：一、排列组合与集合函数题型例1：设集合A 由n 个元素构成，即{}12,,,n A a a a =，则A 所有子集的个数为_______例2：若{}1,2,3A B =，则集合A ，B 共有___________种组合.例3：设集合{1,2,3,,10}A =，设A 的三元素子集中，三个元素的和分别为12,,,n a a a ，求12n a a a +++的值例4：集合{}1,2,3,,20S =的4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为1，这样的4元子集T 的个数有_____个例5：集合{}1,2,3,4,5M =,{}4,5,6N =,以M 为定义域,N 为值域的函数的个数为（） A ．60 B ．150 C ．540 D ．53二、排列组合与解析、立体几何题型例6：从集合｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任取3个不同元素分别作为直线方程0Ax By C ++=中的A 、B 、C ，则经过坐标原点的不同直线有条。

（用数字作答）例7：圆周上有20个点，过任意两点连接一条弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个例8：以正方体的顶点为顶点的四面体共有（） A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种例9：从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对例10：四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有（）对异面直线 A. 450 B. 441 C. 432 D. 423例11：四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？三、排列组合与数列题型例12：已知{}1,2,3,,40S =，A S ⊆且A 中有三个元素，若A 中的元素可构成等差数列，则这样的集合A 共有（）个A. 460B. 760C. 380D. 190例13：一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？专题：排列组合的综合题型（4）知识梳理：1.熟练掌握处理排列组合最常见的原理和方法“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”2.在知识的网络交汇点初设计命题是近几年高考命题改革强调的重要观念之一，要把握好知识间的纵横联系和综合，使所学知识真正融会贯通，运用自如，形成有序的网络化知识体系典型例题：一、排列组合与集合函数题型例1：设集合A 由n 个元素构成，即{}12,,,n A a a a =，则A 所有子集的个数为_______【答案】2n【解析】思路1：可将组成子集的过程视为A 中的元素一个个进行选择，要不要进入到这个子集当中，所以第一步从1a 开始，有两种选择，同样后面的23,,,n a a a 都有两种选择，所以总数2222n n N =⨯⨯⨯=个个【解析】思路2：一个集合有()n n N +∈个元素，则该集合的子集包括有含有0个元素、1个元素、2个元素、3个元素、4个元素……，n 个元素，所以这个集合的子集共有012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=例2：若{}1,2,3A B =，则集合A ，B 共有___________种组合. 【答案】27【分析】根据集合A 中元素的个数进行分类，没有元素，1个元素，2个元素，3个元素，根据分类计数原理可得答案.【详解】当集合A 为空集时，集合{1B =，2，3]有1种，当集合A 包含1个元素时，例如{1}A =，则集合B 可以为{1，2，3}或{2，3}，故有326⨯=种，当集合A 包含2个元素时，例如{1A =，2}，则集合B 可以为{1，2，3}，{1，3}，{2，3}，{3}，故有3412⨯=种，当集合A 包含3个元素时，例如{1A =，2，3}，则集合B 可以没有元素，1个元素，2个元素，3个元素，故有13318+++=种，根据分类计数原理可得，共有1612827+++=种，故答案为：27.例3：设集合{1,2,3,,10}A =，设A 的三元素子集中，三个元素的和分别为12,,,n a a a ，求12n a a a +++的值【答案】1980【解析】思路：A 的三元子集共有310C 个，若按照题目叙述一个个相加，则计算过于繁琐。

排列组合题型总结

排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。

在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。

1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。

解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。

公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。

2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。

解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。

公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。

3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。

解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。

公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。

4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。

解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。

公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。

示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

排列与组合综合算式的排列组合计算

排列与组合综合算式的排列组合计算排列与组合是概率与组合数学中常见的计算方式，用于解决排列和组合问题。

在计算排列与组合时，我们可以利用排列组合公式或者数学原理来进行计算，下面将具体介绍排列与组合综合算式的排列组合计算方法。

一、排列与组合的概念1. 排列：从n个元素中选取m个元素并按特定顺序排列，称为排列。

排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：从n个元素中选取m个元素，并不考虑其顺序，称为组合。

组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。

二、排列与组合综合算式的计算方法对于排列与组合综合算式的计算，可以通过一系列具体的例子来说明。

例1：从A、B、C、D、E中取出3个字母，有多少种排列方式？解：根据排列的定义和计算公式，可以得到排列的计算方法为P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。

因此，从A、B、C、D、E中取出3个字母的排列方式有60种。

例2：从1、2、3、4、5中取出3个数字，有多少种组合方式？解：根据组合的定义和计算公式，可以得到组合的计算方法为C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 10。

因此，从1、2、3、4、5中取出3个数字的组合方式有10种。

通过以上两个例子，我们可以看到排列与组合的计算方法可以很方便地解决排列与组合问题。

在实际应用中，排列与组合常常用于解决概率、统计和组合优化等问题，具有广泛的应用领域。

三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列与组合可以用于计算事件发生的概率。

例如，从1、2、3、4、5中取出3个数字，其中至少包含一个偶数的概率是多少？通过计算组合的方式，可以得到解答。

2. 组合优化：排列与组合可以用于解决组合优化问题，例如制定车辆调度、货物装箱等问题。

排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合的21种经典题型及解法

排列组合的21种经典题型及解法1.单选题：单选题要求考生从给定的选项中选出一个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案。

2.多选题：多选题要求考生从给定的选项中选出多个最佳答案。

解法：根据题目的问题和给定的选项，仔细分析，排除干扰，找出最佳答案，并判断是否有多个最佳答案。

3.判断题：判断题要求考生根据题目的问题和给定的信息，判断给出的答案是正确还是错误。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，判断出正确答案。

4.填空题：填空题要求考生根据题目的问题和给定的信息，填入正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，填入正确的答案。

5.问答题：问答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出详细的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出详细的答案。

6.排序题：排序题要求考生根据题目的问题和给定的信息，按照要求的顺序进行排列。

解法：根据题目的问题和给定的佶息，仔细分析，排除干扰，按照要求的顺序进行排列。

7.计算题：计算题要求考生根据题目的问题和给定的信息，运用数学计算得出答案。

解法:根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，运用数学计算得出答案。

8.简答题：简答题要求考生根据题目的问题和给定的信息，给出简短的答案。

解法：根据题目的问题和给定的信息，仔细分析，排除干扰，给出简短的答案。

9.完形填空：完形填空要求考生根据文章的内容，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，从文中空缺处填入正确的单词或词组。

10.阅读理解：阅读理解要求考生根据文章的内容，回答问题或做出判断。

解法：根据文章的内容，仔细分析，排除干扰，回答问题或做出判断。

11.词汇题：词汇题要求考生根据题目的问题和给定的单词，找出正确的答案。

解法：根据题目的问题和给定的单词，仔细分析，排除干扰，找出正确的答案。

12.语法题：语法题要求考生根据题目的问题和给定的句子，选择正确的语法形式。

微专题：排列组合问题的综合应用经典题型(含解析)

【学生版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。

【典例】题型1、特殊元素（位置）问题例1、大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4个孩子不考虑位置），其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．36种D．48种【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、相邻、相间问题例2、（1）某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有()A．12种B．24种C．18种D．36种【答案】【解析】；（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168【答案】【解析】；题型3、分组、分配问题例3、（1）现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为()A．36 B．9 C．18 D．15（2）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有种不同的分法．题型4、涂色问题例4、（1）如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(用数字作答)【说明】解决涂色问题，关键还是阅读理解与用好两个计数原理；【归纳】排列、组合的混合问题是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素；第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列；第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果；均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数；【即时练习】1、有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A．34种B．48种C．96种D．144种2、从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C210P48B．C19P59C．C18P59D．C18P583、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有种A．12种B．24种C．48种D．96种4、如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有种5、在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）（4）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？6、现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.（1）若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【教师版】微专题：排列组合问题的综合应用【主题】排列、组合问题的求解方法与技巧:1、特殊元素优先安排；2、合理分类与准确分步；3、排列、组合混合问题先选后排；4、相邻问题捆绑处理；5、不相邻问题插空处理；6、定序问题倍除法处理；7、分排问题直排处理；8、“整体”排列问题先整体后局部；9、构造模型；10、正难则反，等价条件。

排列组合中排数问题的汇总

排列组合中排数问题的汇总主要方法：捆绑法、插空法，特殊位置与特殊元素分析法，挡板法、间接法。

主要题型：排队、排数问题，分组问题，几何问题，选派与抽次问题，小球问题。

两个原理：1．4封信投入3个信箱，不同投法。

2．4名学生报名参加数理化竞赛，每人限报一科，有多少种报名方法。

3．4名学生争夺数理化竞赛冠军，有种不同结果。

4．A={1，2，3，4 }，B={ a ，b ，c }，从A 到B 的映射有个，以A 为定义域，B 为值域的函数有个。

5．A={ a ，b ，c }，B={0，1}，建立从A 到B 的映射f ，且f （a ）+f （b ）=f （c ），这样的映射有个。

6．{ a ，b ，c ，d ，e }集合的真子集个数7．用4种颜色给下列图形染色，要求相邻两部分不同色，则图（1）有染色方法，图（2）有方法。

8．（1）有面值为五分，一角，二角，五角，一元，二元，五元，十元，五十元，一百元的人民币各1张，共可组成种不同的币值。

（2）有一角，二角，五角人民币各1张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元2张，共可组成种不同的币值。

9．860的正约数共有个。

10．（a 1+a 2+a 3）（b 1+b 2+b 3+b 4）（c 1+c 2+c 3+c 4+c 5）展开式中共有项，（a+b+c ）4的展开式中，合并同类项后，共有项。

排队问题：1．8个学生从中选4个坐4个空位，共种不同的坐法。

4名学生坐8个空位，每人一座，有种不同的做法。

2．四支球队争冠军不同的结果有种。

3．某人射出8发子弹，命中4发，命中的4发恰有3发连在一起，则不同的结果有种。

4．有5名男生，4名女生排成一列，（1）从中选出3人排成一排，有种排法。

（2）要求女生排在一起，有种排发。

（3）若女生互不相邻，有种排法。

（4）若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有种排法。

（5）若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，丙男生不站中间，则有种排法。

排列组合题型方法总结

排列组合题型方法总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，是组合数学的一部分。

在实际问题中，排列组合经常用于解决具体的计数问题。

在本文中，我将总结一些常见的排列组合题型及解题方法。

一、排列题型排列是指将一组元素按照一定的顺序进行排列，其中每个元素只能使用一次。

在排列题中常见的有以下几个题型：1. 线性排列：将不同的元素排成一列，求出排列的总数。

解题方法：根据要求确定对应的元素个数，并使用乘法法则计算排列的总数。

2. 圆排列：将不同的元素排成一个圆，求出排列的总数。

解题方法：将圆转成线性排列问题，然后使用相应的公式计算总数。

3. 重复排列：将一组相同的元素排列，求出排列的总数。

解题方法：根据相同元素的个数和元素总数使用组合计数的方法求解。

4. 位置固定：将一组元素排列，其中有一些元素的位置是固定的，求出排列的总数。

解题方法：先将固定位置的元素排列，再将剩余的元素排列，最后将两部分排列的总数相乘。

二、组合题型组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合，其中元素的顺序不重要。

在组合题中常见的有以下几个题型：1. 选取固定元素数量：从一组元素中选取固定数量的元素，求出组合的总数。

解题方法：根据选取数量使用排列计数的方法求解，然后除以固定元素的排列数。

2. 选取至少/至多元素数量：从一组元素中选取至少或至多数量的元素，求出组合的总数。

解题方法：分别计算满足要求的最少元素数量和最多元素数量的组合数，再将两者相加。

3. 选取按顺序：从一组元素中按照一定的顺序选取元素，求出组合的总数。

解题方法：根据顺序确定每个元素的选取范围，然后使用乘法法则计算总数。

4. 选取排除元素：从一组元素中选取一部分元素，其中不能包含某些特定的元素，求出组合的总数。

解题方法：先计算从总元素中选取的组合数，再计算不包含特定元素的组合数，最后将两者相减。

三、应用题在实际问题中，排列组合常常用于解决具体的计数问题。

下面列举几个常见的排列组合应用题：1. 手环问题：将不同颜色的手环依次戴在手上，求出不同戴法的总数。

解决排列组合问题的常用方法

【例3】分别求出符合下列要求的不同排法的种数
（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；
（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；
（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；
（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；（非等分，有序）
⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为；（等分有序）
⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为；（非等分无序）
⑸是分堆的均匀问题：方法数为；（等分无序）
⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为；（局部等分有序）
⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为（局部等分无序）
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；
②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；
③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；
2、从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．
解：形如的数共有个，当这些数相加时，由“ ”产生的和是；形如的数也有个，当这些数相加时，由“ ”产生的和是；形如的数也有个，当这些数相加时，由“ ”产生的和应是．这样在所有三位数的和中，由“ ”产生的和是．同理由产生的和分别是，，，，因此所有三位数的和是．

排列组合问题解题思路

教师点评：对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面，而且挖掘出其中所蕴藏的数学思想方法，对学习排列组合有一定的指导性。
1、文氏图：
在文氏图中,以下图形的含义如下：
矩形：其内部的点表示全集的所有元素；
矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合；
圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。
2、三交集公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C
六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素
与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
七．分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方
法来处理。
八．试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4，的方格中，每方格填 1 个，方格标号
3．排列与组合的应用题历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。一般方法有：直接法和间接法。（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。特殊方法：（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。（4）其它方法。

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

快速解决数学排列与组合问题

快速解决数学排列与组合问题数学排列与组合问题在高中数学中常常出现，也是各大数学竞赛的重要考点。

解决这类问题需要一定的技巧和方法，下面将介绍几种快速解决数学排列与组合问题的方法。

首先，我们来看排列问题。

排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，关键是确定排列的顺序。

对于排列问题，我们可以使用阶乘的方法来求解。

假设有n个元素要进行排列，那么排列的总数就是n的阶乘。

例如，如果有4个元素要进行排列，那么排列的总数就是4的阶乘，即4×3×2×1=24。

当然，如果题目中给出了一些特殊条件，我们还需要根据题目要求进行一些限制条件的计算。

接下来，我们来看组合问题。

组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，关键是不考虑元素的顺序。

对于组合问题，我们可以使用组合数的方法来求解。

组合数可以通过排列数来计算，即C(n,m)=P(n,m)/m!。

其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的总数，P(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的总数，m!表示m的阶乘。

例如，如果有4个元素要进行组合，选取其中2个元素进行组合，那么组合的总数就是4的排列数除以2的阶乘，即4×3/2=6。

除了以上的基本方法外，还有一些特殊的排列与组合问题可以通过一些技巧来快速解决。

例如，当问题中的元素有重复时，我们可以使用分组的方法来求解。

假设有n个元素中有m个元素是重复的，那么排列或组合的总数就是n的阶乘除以m个重复元素的阶乘。

例如，如果有6个元素中有2个元素是重复的，那么排列或组合的总数就是6的阶乘除以2的阶乘，即6×5×4×3/2×1=60。

这种方法可以大大简化计算过程，提高解题效率。

此外，还有一些特殊的排列与组合问题可以通过数学公式来求解。

例如，当问题中的元素有限制条件时，我们可以使用二项式定理来求解。

二项式定理可以表示为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。

高中数学 1.4 第2课时排列、组合的综合应用课件北师大版选修23

第十四页，共46页。
从 52 张扑克牌(除大王、小王)中任取 5 张，计算： (1)有 4 张数值相同，另外 1 张不同，有多少种取法？ (2)有 3 张数值相同，另外 2 张数值也相同，有多少种取法？ (3)5 张数值顺序连续，花色可以不同，有多少种取法？
第十五页，共46页。
【解】 (1)扑克牌中共有 13 种数值(1～13)，有 4 张数值相同，则有 13 种可能，第 5 张则在余下的 48 张中选取．
所以符合条件的方法有 13·C418＝624 种． (2)3 张数值相同，有 C113·C34种；另外 2 张数值也相同，则有 C112·C42种，所以共有 C113·C34·C112·C24＝3 744 种．
第十六页，共46页。
(3)5 张数值连续，只有下述 9 种可能： 1,2,3,4,5； 2,3,4,5,6； 3,4,5,6,7； … 9,10,11,12,13. 任何一种数值都有 4 种花色供选择，所以 5 种数值的花色选配方法有 4×4×4×4×4＝45 种．所以符合条件的取法共有 9×45＝9 216 种．
第二页，共46页。
2．在解决排列与组合应用题时，如何看待题设中的元素与位置？
【提示】在排列、组合问题中，元素与位置没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随着解题者思维方式的变化而变化，要视具体情况而定，有时元素选位置，问题解决起来简捷，有时位置选元素效果会更好．
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在解答排列组合综合问题时，要注意准确地应用两个基本原理，要注意准确区分是排列问题还是组合(z问ǔh题é)，要注意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接(jiàn ji解ē)法题．
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排列组合的21种例题

高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。

1.4.1 排列组合的综合问题

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