数形结合法-2019年高考数学(理)30分钟拿下选择、填空题 Word版含解析

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2019年浙江省高考数学(含解析版)

【详解】因为双曲线的渐近线为，所以，则，双曲线的离心率 .
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3.若实数满足约束条件，则的最大值是（）
A. B.1
C.10D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】方法1：由分布列得，则
，则当在内增大时，先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）
A.当 B.当
C.当 D.当
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.复数（为虚数单位），则 ________.
12.已知圆的圆心坐标是，半径长是 .若直线与圆相切于点，则 _____， ______.
13.在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
8.设三棱锥底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）
A. B.
C. D.
9.已知，函数，若函数恰有三个零点，则（）

高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)

高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4，当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点，所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点；当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点，故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩，若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点，故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >，所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称，故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =，由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点，所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−，则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==，故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =，选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |，所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =，所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−，故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===，则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足．故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−，所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯，即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)．在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===，因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥，再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反，又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯，所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误；对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯，正方体表面积为26a ，所以D 对．故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−；由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意；当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______．【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ，令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，故123752263x x x πππ++=−−=−．故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____．【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。

高考数学理二轮专题复习典型例题在线：专题30 数形结合的思想方法

由平面几何知识知，OA2 (1AB)2 d2，
2
即 122cos 4 d2a2c 2b2，
所以 cos2 21cos2 a2c 2b2，
命题得证.
15
(6)利用“正余弦定理”构图例 6 求 s i n 2 2 0 c o s 2 5 0 s i n 2 0 c o s 5 0 的值．解析:将原式变形为 sin2 20 sin2 40 2sin20 sin40cos120，于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分别为20、40、120，并设此三角形外接圆直径为1，则此三角形三边长分别为sin20、sin40、sin120，
11
因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，
从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示，由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)．
点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：
例 1求函数 fxx24x13x212x37
的最小值．
-
4
解析：将函数式变形，得
f x x2 4x 13 x2 12x 37
x 22 0 32 x 62 0 12，
设A2,3，B 6,1，P x,0，则上述问题转化为求
-
PA PB 的最小值，如图点A关于x轴的对称点为 C (2， 3)，因为 PA PB PC PB BC 4 2，
由余弦定理可得 sin2 20 sin2 40 2sin20sin40cos120 sin2120 3 .

以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题(word+答案)

以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题【考查知识点】探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

这种类题型的题目主要考查了学生分析问题解决问题的能力，也考察了初中数学中的各种数学思想。

【解题思路】掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。

解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.【典型例题】【例1】（2019·湖北中考真题）观察下列一组数的排列规律：112121123412145,,,,,,,,,,,,,,355993171717173333113333… 那么，这一组数的第2019个数是_____. 【名师点睛】本题考查数字的变化类问题，把数据的分子、分母分别找出规律是解题关键.【例2】（2019·辽宁中考真题）如图，直线l 1的解析式是y x=，直线l 2的解析式是y =，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作111A B l ⊥交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以点A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B 2B 3为邻边在l 1，l 2间作菱形A 2B 2B 3C 2，分别以点A 2，B 3为圆心，以A 2B 2为半径画弧得扇形B 2A 2C 2和扇形B 2B 3C 2，记扇形B 2A 2C 2与扇形B 2B 3C 2重叠部分的面积为S 2……按照此规律继续作下去，则n S =________．（用含有正整数n 的式子表示）【名师点睛】本题考查了扇形的计算，规律型：点的坐标，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【例3】（2019·内蒙古中考真题）如图，有一条折线11223344A B A B A B A B L ，它是由过1(0,0)A ，1(4,4)B ，2(8,0)A 组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线2y kx =+与此折线有2n （1n ≥且为整数）个交点，则k 的值为_____．【名师点睛】一次函数图象和点的坐标规律.数形结合分析问题，寻找规律是关键.【例4】（2018·内蒙古中考真题）观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第n 个“星阵”中的★的个数是__．【名师点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．【例5】（2018·山东中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：第1行1第2行234第3行98765第4行10111213141516第5行252423222120191817…则2018在第_____行．【名师点睛】本题属于探究规律类题目，解答本题需掌握题目中数的排列规律，考虑从最大数与行数入手.【方法归纳】1.图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.2.对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.3.对于坐标变化规律问题,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.4. 对于数形结合规律型问题，解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.【针对练习】1．（2018·湖北中考真题）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712．（2019·山东中考真题）已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1=-112-，-1的差倒数是11=1(1)2--．如果12a =-，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么12100a a a +++L 的值是（） A ．-7.5B ．7.5C ．5.5D ．-5.53．（2019·湖北中考真题）观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-⋅⋅⋅已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋅⋅⋅、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是（） A ．222a a -B ．2222a a --C ．22a a -D ．22a a +4．（2018·重庆中考真题）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为（）A ．11B ．13C ．15D ．175．（2017·江苏中考真题）如图所示，一动点从半径为2的上的点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；接着又从点出发，沿着射线方向运动到上的点处，再向左沿着与射线夹角为的方向运动到上的点处；…按此规律运动到点处，则点与点间的距离是( )A ．4B ．C ．D ．06．（2018·山东中考真题）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，F （n ）=3n+1；②当n 为偶数时，F （n ）=2kn（其中k 是使F （n ）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（） A ．1B ．4C ．2018D ．420187．（2019·四川中考真题）如图，过点0(0,1)A 作y 轴的垂线交直线:l y =于点1A ，过点1A 作直线l 的垂线，交y 轴于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交直线l 于点3A ，…，这样依次下去，得到012A A A ∆，234A A A ∆，4564A A ∆，…，其面积分别记为1S ，2 S ，3 S ，…，则100S （）A ．1002⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．100C ．1994D ．39528．（2019·甘肃中考真题）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．9．（2019·山东中考真题）如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．如图，当12CD AC =时，13tan 4α=；如图，当13CD AC =时，25tan 12α=；如图，当14CD AC =时，37tan 24α=；……依此类推，当11CD AC n =+（n 为正整数）时，tan n α=_____． 10．（2019·贵州中考真题）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是__________．11．（2019·山东中考真题）观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭， L请利用你发现的规律，计算：____． 12．（2019·浙江中考真题）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共_____个．13．（2018·湖北中考真题）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记11a =，23a =，36a =，410a =，…，那么41110210a a a +-+的值是__________．14．（2019·湖南中考真题）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_____．15．（2017·湖北中考真题）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点.16．（2019·贵州中考真题）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转90o 得到，第2019个图案与第1个至第4个中的第___个箭头方向相同（填序号）．17．（2018·浙江中考真题）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+b a =102×ba符合前面式子的规律，则a+b=_____. 18．（2019·山东中考真题）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.19．（2017·山东中考真题）某广场用同一种如图所示的地砖拼图案.第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3的图案，第四次拼成形如图4的图案……按照只有的规律进行下去，第次拼成的图案用地砖块.20．（2019·湖北中考真题）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________ 21．（2019·西藏中考真题）观察下列式子第1个式子：224193⨯+＝＝第2个式子：2681497⨯+＝＝第3个式子：21416122515⨯+＝＝ ……请写出第n 个式子：_____．22．（2019·广西中考真题）123456,,,,,a a a a a a ，…，是一列数，已知第1个数14a =，第5个数55a =，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数2019a 的值是___．23．（2018·广西中考真题）如图，直线l 为，过点A 1（1，0）作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x 轴于点A 3；……，按此作法进行下去，则点A n 的坐标为（_______）．24．（2018·四川中考真题）已知0a >，11S a =，211S S =--，321S S =，431S S =--，541S S =，…（即当n 为大于1的奇数时，11n n S S -=；当n 为大于1的偶数时，11n n S S -=--），按此规律，2018S =__________. 25．（2019·辽宁中考真题）如图，在11A C O V 中，1112A C A O ==，1130AOC ∠=︒，过点1A 作121AC OC ⊥，垂足为点2C ，过点2C 作2211C A C A P 交1OA 于点2A ，得到221A C C V ；过点2A 作231A C OC ⊥，垂足为点3C ，过点3C 作3311C A C A P 交1OA 于点3A ，得到332A C C V ；过点3A 作341A C OC ⊥，垂足为点4C ，过点4C 作4411C A C A P 交1OA 于点4A ，得到443A C C V ；……按照上面的作法进行下去，则11n n n A C C ++V 的面积为_____．（用含正整数n 的代数式表示）以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题【考查知识点】探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

2019版高考数学复习第一板块学通考场解题常用12术——解得快讲义理(重点生,含解析)

第一板块学通考场解题常用12术——解得快第1术抛砖引玉活用特例方法概述所谓特例法，又叫特殊化法，就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时，可以从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径应用题型 (1)选择题或填空题；(2)在解答题中，当求解目标尚未明确时，往往需要考查题设条件中所含参变因素的某些特殊情况或极端情况方法一：取特殊数值[例1] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2[4x －1]，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x <2，若f (x 0)>3，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1,3) [常规解法]当x 0≥2时，log 2[4(x 0－1)]>3，即log 24＋log 2(x 0－1)>3，∴log 2(x 0－1)>1， ∴x 0－1>2，即x 0>3.当x 0<2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋1>3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>2，∴x 0<－1.综上可知x 0>3或x 0<－1，即x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． [提速解法]取x 0＝1，则f (1)＝12＋1＝32<3，故x 0≠1，排除B 、D ；取x 0＝3，则f (3)＝log 28＝3，故x 0≠3，排除A ，故选C.[答案] C[例2] 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1(n ≥2)，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[常规解法] ∵a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1，∴a n －a n －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln nn －1＝ln n －ln(n －1)．又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .[提速解法]不妨取n ＝2，则a 2＝a 1＋ln 2＝2＋ln 2，选项A 、B 符合，C 、D 不符合，排除C 、D ；再取n ＝3，则a 3＝a 2＋ln 32＝2＋ln 3，选项B 中，a 3＝2＋2ln 3，不符合，排除B ，故选A.[答案] A 方法二：取特殊点[例3] 函数f (x )＝|1－x 2|1－|x |的图象是( )[常规解法] f (x )＝|1－x 2|1－|x |＝|1－x 1＋x |1－|x |.当x >1时，f (x )＝－x －1；当x <－1时，f (x )＝x －1；当0≤x <1时，f (x )＝x ＋1；当－1<x ≤0时，f (x )＝－x ＋1，画出f (x )的图象可知C 图符合． [提速解法]因为x ≠±1，所以排除A ；因为f (0)＝1，所以排除D ；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1221－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝32，所以排除B ，故选C.[答案] C[例4] 如图，点P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于D ，E 两点，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )A ．1B ．2 C.12D.13[常规解法]设P (x ，y )，由题意可知直线AB 的方程为x 5＋y3＝1，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－53y ，y ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3－35x . 又∵N (5，y )，M (x ,3)， ∴S △ADN ＝12×y ×53y ＝56y 2，S 梯形ACME ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋3×(5－x )＝310(25－x 2)．∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 225＋y 29＝1，∴y 2＝9－9x225，∴56y 2＝310(25－x 2)． ∴S △ADN ＝S 梯形ACME .∵矩形PMCN 的面积是S 1，三角形PDE 的面积是S 2， ∴S 1∶S 2＝1∶1. [提速解法]不妨取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，95，则可计算S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－95×(5－4)＝65.由题易得PD ＝2，PE ＝65，所以S 2＝12×2×65＝65，所以S 1∶S 2＝1. [答案] A方法三：取特殊函数[例5] 若函数y ＝f (x )对定义域D 中的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使f (x 1)·f (x 2)＝1成立，则称f (x )为“影子函数”，有下列三个命题：①“影子函数”f (x )的值域可以是R ； ②“影子函数”f (x )可以是奇函数；③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”．上述命题正确的序号是( ) A ．① B ．② C ．③D ．②③[解析] 对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错误；对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1x 1，则f(x 1)f (x 2)＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1x(x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错误．[答案] B方法四：取特殊位置[例6] 已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ―→＝m AB ―→，A Q ―→＝n AC ―→，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13[常规解法]分别过点B ，C 作BM ∥AD ，CN ∥AD ，分别交P Q 于点M ，N . ∵D 是BC 的中点，∴DE 是梯形CNMB 的中位线．又AP ―→＝m AB ―→，A Q ―→＝n AC ―→， ∴m ＝|AP ―→||AB ―→|，n ＝|A Q ―→||AC ―→|，∴1m ＋1n ＝|AB ―→||AP ―→|＋|AC ―→||A Q ―→| ＝|AP |＋|BP ||AP |＋|A Q|＋|Q C ||A Q|＝1＋|BP ||AP |＋1＋|Q C ||A Q|＝2＋|BP ||AP |＋|Q C ||A Q|＝2＋|BM ||AE |＋|CN ||AE |＝2＋|BM |＋|CN ||AE |＝2＋2|DE ||AE |＝2＋|AE ||AE |＝2＋1＝3.[提速解法]由于直线P Q 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图(1)，令P Q ∥BC ，则AP ―→＝23AB ―→，A Q ―→＝23AC ―→，此时，m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.法二：如图(2)，直线BE 与直线P Q 重合，此时，AP ―→＝AB ―→，A Q ―→＝12AC ―→，故m ＝1，n＝12，所以1m ＋1n＝3. [答案] A[例7] 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝B Q ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D.3∶1[常规解法]设三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V ，∵侧棱AA 1和BB 1上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝B Q ， ∴四边形P Q BA 与四边形P Q B 1A 1的面积相等，故四棱锥C P Q BA 的体积等于三棱锥C ABA 1的体积，等于13V ，则几何体CP Q C 1B 1A 1的体积等于23V ，故过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1. [提速解法]将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝B Q(＝0)，则有VC AA 1B ＝VA 1ABC ＝13VABC A 1B 1C 1.因此过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1. [答案] B方法五：取特殊图形[例8] AD ，BE 分别是△ABC 的中线，若|AD ―→|＝|BE ―→|＝1，且AD ―→与BE ―→的夹角为120°，则AB ―→·AC ―→＝______________________________________________________________.[常规解法]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧BA ―→＋BC ―→＝2BE ―→，AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，解得⎩⎪⎨⎪⎧AB ―→＝23 AD ―→－23BE ―→，AC ―→＝43AD ―→＋23BE ―→，所以AB ―→·AC ―→＝89|AD ―→|2－49|BE ―→|2－49AD ―→·BE ―→＝23.[提速解法]若△ABC 为等边三角形，则|AB ―→|＝233，∴AB ―→·AC ―→＝|AB ―→||AC ―→|cos 60°＝23.[答案] 23[即时应用体验]1．动点A 在双曲线x 2m 2－y 2n2＝1上，B ，C 为其左、右焦点．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝10，c －b ＝6，则tan B 2tan C2＝( )A.14 B.12 C.34D ．1解析：选A 由题意得双曲线的方程为x 29－y 216＝1，取特殊位置AC ⊥BC ，可得C ＝π2，则a 2＋b 2＝(6＋b )2，解得b ＝163，故tan B ＝815，则tan B 2＝14，所以tan B 2tan C 2＝14.2．若f (x )和g (x )都是定义在实数集R 上的函数，且方程x －f [g (x )]＝0有实数解，则g [f (x )]的解析式不可能是( )A ．y ＝x 2＋x －15B ．y ＝x 2＋x ＋15C ．y ＝x 2－15D ．y ＝x 2＋15解析：选B 法一：设x 0为方程x －f [g (x )]＝0的一个实根，则f [g (x 0)]＝x 0.设g (x 0)＝t 0，则f (t 0)＝x 0.所以g (x 0)＝g [f (t 0)]＝t 0，即g [f (t 0)]－t 0＝0，这说明方程g [f (x )]－x ＝0至少有一个实根t 0，而对于选项B ，当g [f (x )]＝x 2＋x ＋15时，方程x 2＋x ＋15＝x 无实根，故选B.法二：取特殊函数法．令f (x )＝x ，即可把原题改写为x －g (x )＝0有实数解，g (x )不可能是哪个代数式．A 、C 、D 均可使x －g (x )＝0有实数解，只有B 不能使x －g (x )＝0有实数解，故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则使所有x 均满足不等式xf (x )≤g (x )的函数g (x )为( )A ．sin xB ．xC ．x 2D ．|x |解析：选D 若g (x )＝sin x ，应有xf (x )≤sin x ，取x ＝2，则f (x )＝1，于是2<sin 2，矛盾，排除A ；若g (x )＝x ，应有xf (x )≤x ，取x ＝－2，则f (x )＝0，于是0≤－2，矛盾，排除B ；若g (x )＝x 2，取x ＝0.2，则0.2≤0.22，矛盾，排除C.故选D.4．cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)＝__________. 解析：令α＝0°，则原式＝32.答案：325．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB ―→·AC ―→＝________. 解析：将△ABC 视作特殊的三角形：边AB ＝AC 的等腰三角形，如图，则AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34.由余弦定理得cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，所以AB ―→·AC ―→＝34×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－817＝－16. 答案：－166．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________________________________________________________．解析：设P (x ，y )，则当∠F 1PF 2＝90°时，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，由此可得点P 的横坐标x ＝±355.又当点P 在x 轴上时，∠F 1PF 2＝0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－355，355.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－355，355第2术探求思路图作向导方法概述对题设条件不够明显的数学问题求解，注重考查相关的图形，巧用图形作向导是思维入手、领会题意的关键所在．尤其是对一些用函数、三角函数、不等式等形式给出的命题，其本身虽不带有图形，但我们可换个角度思考，设法构造相应的辅助图形进行分析，将代数问题转化为几何问题来解．力争做到有图用图，无图想图，补形改图，充分运用其几何特征的直观性来启迪思维，从而较快地获得解题的途径．这就是我们常说的图解法应用题型选择题、填空题、解答题中均有应用，主要涉及函数最值、不等式、解析几何中范围等问题应用一：求解函数问题[例1] 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 画出y ＝2x，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象如图所示，观察图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x <2，x ＋2，2≤x <4，10－x ，x ≥4，所以f (x )的最大值在x ＝4时取得，且为6. [答案] C[例2] 设f (x )＝(x －2)2e x ＋a e －x ，g (x )＝2a |x －2|(e 为自然对数的底数)，若关于x 的方程f (x )＝g (x )有且仅有6个不等的实数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 22e －1，＋∞B ．(e ，＋∞)C ．(1，e)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 22e －1[解析] 由f (x )＝g (x )，得|x －2|2e 2x－2a |x －2|e x ＋a 2＝a 2－a ，即(|x －2|e x －a )2＝a 2－a .所以|x －2|e x ＝a ± a 2－a ，其中a ≤0或a ≥1. 设h (x )＝|x －2|e x，m 1＝a ＋a 2－a ，m 2＝a －a 2－a . ①当x <2时，h (x )＝(2－x )e x，h ′(x )＝e x(1－x )．于是，当x <1时，h ′(x )>0，则h (x )单调递增；当x >1时，h ′(x )<0，则h (x )单调递减．由此可得，函数h (x )max ＝h (1)＝e. 所以0<h (x )≤e.②当x >2时，h (x )＝(x －2)e x，h ′(x )＝e x (x －1)>0.则h (x )在(2，＋∞)上单调递增，画出函数h (x )的大致图象如图所示．故方程f (x )＝g (x )有六个不等的实数解等价于直线y ＝m 1，y ＝m 2与曲线h (x )＝|x －2|e x各有三个交点．由图知，则需0<a －a 2－a ，且a ＋a 2－a <e. 解得1<a <e22e －1.[答案] D应用二：求解不等式问题[例3] 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1]D ．[－1,2][解析] 分别作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0和y ＝x 2的图象如图所示．由图可知，f (x )≥x 2的解集为[－1,1]． [答案] A应用三：求解平面向量问题[例4] 设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2[解析] 由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1.当θ＝0时，(a ＋b )·c 取得最大值且最大值为 2.故所求的最小值为1－ 2.[答案] D[例5] 已知△ABC 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量OB ―→＝(2,0)， OC ―→＝(2,2)，CA ―→＝(2cos α，2sin α)，则∠AOB 的范围为__________．[解析] 由|CA ―→|＝2cos α2＋2sin α2＝2，可知点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作圆的切线，切点分别为M ，N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA ―→与OB ―→的夹角θ的范围是[∠MOB ，∠NOB ]．由图可知∠COB ＝π4，因为|OC ―→|＝22，由|CM ―→|＝| CN ―→|＝12|OC ―→|，知∠COM ＝∠CON ＝π6，所以∠BOM ＝π4－π6＝π12，∠BON ＝π4＋π6＝5π12，所以π12≤θ≤5π12，故∠AOB 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12应用四：求解解析几何问题[例6] 已知F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 26＝1的左、右焦点，点P 为右支上一点，O 为坐标原点．若向量OP ―→＋OF 2―→与PF 2―→的夹角为120°，则点F 2到直线PF 1的距离为( )A. 3B.7 C ．2 3D.21[解析] 如图，取PF 2的中点M ，连接OM ，则OP ―→＋OF 2―→＝2OM ―→，故〈OM ―→，PF 2―→〉＝120°， ∠OMF 2＝60°. 因为O 为F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 1，所以∠F 1PF 2＝∠OMF 2＝60°.在△F 1PF 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，因为a ＝1，b ＝6，所以c ＝7，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即cos 60°＝m 2＋n 2－282mn ＝12，整理得m 2＋n 2－mn ＝28，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝2，m 2＋n 2－mn ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝6，n ＝4.过点F 2作F 2N ⊥PF 1于N ，在Rt △PF 2N 中，|F 2N |＝|PF 2|·sin 60°＝23，即点F 2到直线PF 1的距离为2 3. [答案] C[即时应用体验]1．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且函数f (x ＋1)是偶函数．若当x ∈[0,1]时，f (x )＝sin πx 2，则函数g (x )＝f (x )－e －|x |在区间[－2 018，2 018]上的零点个数为( )A ．2 017B ．2 018C ．4 034D ．4 036解析：选D 由y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得f (x )是偶函数，即f (－x )＝f (x )．因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝sin πx 2，所以当x ∈[－1,0]时，f (x )＝f (－x )＝－sin πx2.因为函数f (x ＋1)是偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，故f (x )是周期为2的偶函数．作出函数y ＝f (x )与函数y ＝e －|x |的图象如图所示，可知每个周期内两个图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e－|x |在区间[－2 018,2 018]上的零点个数为2 018×2＝4 036.2．在平面上， AB 1―→⊥AB 2―→，|OB 1―→|＝| OB 2―→|＝1，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，若|OP ―→|<12，则|OA ―→|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72 C.⎝⎛⎦⎥⎤52，2D.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 解析：选D 根据AB 1―→⊥AB 2―→，AP ―→＝AB 1―→＋AB 2―→，可知四边形AB 1PB 2是一个矩形．以A 为坐标原点，AB 1，AB 2所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b .点O 的坐标为(x ，y )，点P (a ，b )． ∵|OB 1―→|＝|OB 2―→|＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋y 2＝1，x 2＋y －b 2＝1，变形为⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＝1－y 2，y －b2＝1－x 2.∵|OP ―→|<12，∴(x －a )2＋(y －b )2<14，∴1－x 2＋1－y 2<14，∴x 2＋y 2>74.①∵(x －a )2＋y 2＝1，∴y 2≤1. 同理，x 2≤1. ∴x 2＋y 2≤2.②由①②可知：74<x 2＋y 2≤2.∵|OA ―→|＝x 2＋y 2，∴72<|OA ―→|≤ 2.3．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE ―→＝12( OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( )A.102B.105C.10D. 2解析：选A 由题意可知E 为FP 的中点，且OE ⊥FP .记F ′为双曲线的右焦点，作出示意图如图所示，连接F ′P ，则F ′P 綊2OE ，且FP ⊥F ′P ，所以|F ′P |＝a ，由双曲线的定义可得|FP |＝3a .又FP ⊥F ′P ，可得(2c )2＝10a 2，所以e ＝ca ＝102. 4．已知a >0，b >0，则不等式a >1x>－b 的解是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1b ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞解析：选D 法一：直接求解法．－b <1x<a⇔⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋b >0，1x －a <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋bxx >0，1－ax x <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x bx ＋1>0，x1－ax <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－1b ，x >1a 或x <0⇔x <－1b或x >1a ，故选D.法二：数形结合法．利用y ＝1x的图象，如图所示，故选D.5．已知关于x 的方程|x |＝ax ＋1有一个负根，但没有正根，则实数a 的取值范围是__________．解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝|x |，y ＝ax ＋1，y ＝x ＋1的图象．由图可知，当直线y ＝ax ＋1的斜率a ≥1时，直线y ＝ax ＋1与y ＝|x |的图象有且仅有y 轴左侧一个交点，即|x |＝ax＋1有一个负根，但没有正根．答案：[1，＋∞)6．已知a ，b 为单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是__________________．解析：令OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OD ―→＝a ＋b ，OC ―→＝c ，如图所示，则|OD ―→|＝2，又|c －a －b |＝1，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知点C 与O ，D 共线时|OC ―→|取到最值，最大值为2＋1，最小值为2－1，所以|c |的取值范围为[2－1，2＋1]．答案：[2－1，2＋1]第3术解题常招设参换元方法概述在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路．这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法，就是设参换元法，也就是我们常说的换元法应用题型此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、三角、解析几何中广泛应用方法一：三角换元[例1] 已知x ，y ∈R ，满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为__________． [常规解法]由x 2＋2xy ＋4y 2＝6，得2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，所以6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，所以x 2＋4y 2≥4，当且仅当x ＝2y 时，取等号．又因为(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，所以z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12，综上可得4≤x 2＋4y 2≤12. [提速解法]已知x 2＋2xy ＋4y 2＝6，即(x ＋y )2＋(3y )2＝(6)2，故设x ＋y ＝6cos α，3y ＝6sin α，即x ＝6cos α－2sin α，y ＝2sin α.则z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ＝6－2(6cos α－2sin α)·2sin α＝8－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6.所以8－4≤z ≤8＋4，即z 的取值范围为[4,12]． [答案] [4,12]方法二：比值换元[例2] 设x ，y ，z 满足关系x －1＝y ＋12＝z －23，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．[解析] 令x －1＝y ＋12＝z －23＝k ，则x －1＝k ，y ＋1＝2k ，z －2＝3k ，即x ＝k ＋1，y＝2k －1，z ＝3k ＋2.∴x 2＋y 2＋z 2＝(k ＋1)2＋(2k －1)2＋(3k ＋2)2＝14k 2＋10k ＋6＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋5142＋5914.∴当k ＝－514，即x ＝914，y ＝－127，z ＝1314时，x 2＋y 2＋z 2取最小值5914.[答案] 5914方法三：整体换元[例3] 如图，已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．[解] (1)由已知得椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，F (c,0)(c ＝a 2－b 2)．由已知可得e 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，故c ＝3b . 又S △ABF ＝12|AF |·|OB |＝12(a －c )b ＝1－32.所以b ＝1，a ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)圆O 的圆心为坐标原点，半径r ＝1，由直线l ：y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝164k 2－m 2＋14k 2＋12.② 将①代入②，得|x 1－x 2|2＝48k 24k 2＋12，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·43|k |4k 2＋1＝43k 2k 2＋14k 2＋1. 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×1＝23k 2k 2＋14k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1(t ≥1)，则k 2＝t －14，代入上式，得S ＝2·3×t －14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋1t 2＝32· t －1t ＋3t 2＝32· －1t 2＋23t ＋13＝32· －⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49，所以当t ＝3，即4k 2＋1＝3，解得k ＝±22时，S 取得最大值，且最大值为32×49＝1.方法四：局部换元[例4] 设对一切实数x ，不等式x 2log 24a ＋1a ＋2x log 22a a ＋1＋log 2a ＋124a2>0恒成立，则a 的取值范围为__________．[解析] 注意到log 24a ＋1a 和log 22a a ＋1及log 2a ＋124a2之间的关系，换元化为一元二次不等式在R 上恒成立问题．设log 22aa ＋1＝t ，t ∈R ，则log 24a ＋1a ＝log 28a ＋12a ＝3＋log 2a ＋12a ＝3－log 22a a ＋1＝3－t ，log 2a ＋124a2＝2log 2a ＋12a＝－2t . ∴原不等式可化为(3－t )x 2＋2tx －2t >0，它对一切实数x 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－t >0，Δ＝4t 2＋8t3－t <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧t <3，t <0或t >6，∴t <0，即log 22a a ＋1<0,0<2aa ＋1<1，解得0<a <1. [答案] (0,1)[提醒] 一般地，解指数与对数不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对已知条件进行适当变形，发现各个量之间的联系再换元，这是我们要注意的一点．方法五：两次换元[例5] 已知u ≥1，v ≥1且(log a u )2＋(log a v )2＝log a (au 2)＋log a (av 2)(a >1)，则log a (uv )的最大值和最小值分别为________，________.[解析] 令x ＝log a u ，y ＝log a v ，则x ≥0，y ≥0.已知等式可化为(x －1)2＋(y －1)2＝4(x ≥0，y ≥0)．再设t ＝log a (uv )＝x ＋y (x ≥0，y ≥0)，由图可知，当线段y ＝－x ＋t (x ≥0，y ≥0)与圆弧(x －1)2＋(y －1)2＝4(x ≥0，y ≥0)相切时(图中CD 位置)，截距t 取最大值，t max ＝2＋22；当线段端点是圆弧端点时(图中AB 位置)，截距t 取最小值，t min ＝1＋ 3.因此log a (uv )的最大值是2＋22，最小值是1＋ 3.[答案] 2＋2 2 1＋ 3[提醒] 利用两次换元探究动点的轨迹方程，数形结合使问题变得直观．换元中应注意旧变量对新变量的限制．[即时应用体验]1．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积为________．解析：已知x 24＋y 23＝1，则F (－1,0)．设A (2cos θ，3sin θ)，B (2cos θ，－3sin θ)，则|AF |＝|BF |＝2cos θ＋12＋3sin 2θ＝2＋cos θ，故△FAB 的周长l ＝2(2＋cos θ)＋23sin θ＝4＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6. 当θ＝π3时，l 取得最大值，此时△FAB 的面积为S ＝12(1＋2cos θ)·23sin θ＝3sin θ(1＋2cos θ)＝3.答案：32．不等式log 2(2x－1)·log 2(2x ＋1－2)<2的解集是________．解析：设log 2(2x －1)＝y ，则log 2(2x ＋1－2)＝1＋log 2(2x－1)＝y ＋1，故原不等式可化为y (y ＋1)<2，解得－2<y <1.所以－2<log 2(2x－1)<1，解得log 254<x <log 23，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254，log 23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254，log 233．y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值是________．解析：设sin x ＋cos x ＝t ∈[－2，2]，则sin x cos x ＝sin x ＋cos x2－12＝t 22－12，所以y ＝t 22＋t －12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y max ＝12＋ 2. 答案：12＋ 24．已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则 a ＋12＋b ＋12的取值范围是________．解析：法一：设a ＝12－x ，b ＝12＋x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，则a ＋12＋b ＋12＝1－x ＋1＋x .由(1－x ＋1＋x )2＝2＋21－x 2∈[2＋3，4]，得a ＋12＋b ＋12的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋22，2.法二：令 a ＋12＝x, b ＋12＝y ，则x ，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，62且x 2＋y 2＝2. 再令⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，则a ＋12＋b ＋12＝x ＋y ＝2cos θ＋2sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋22，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋22，25．在椭圆x 2＋4y 2＝8中，AB 是长为52的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积的取值范围．解：设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入椭圆方程整理得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4(b 2－2)＝0. 故x 1＋x 2＝－8kb 4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－24k 2＋1. 由|AB |2＝(k 2＋1)(x 2－x 1)2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝16k 2＋14k 2＋12[2(4k 2＋1)－b 2]＝254，得b 2＝2(4k 2＋1)－254k 2＋1264k 2＋1，又原点O 到AB 的距离为|b |k 2＋1.所以△AOB 的面积S ＝54·|b |k 2＋1.记u ＝4k 2＋1k 2＋1，则S 2＝2516·b 2k 2＋1＝2516⎣⎢⎡⎦⎥⎤24k 2＋1k 2＋1－254k 2＋1264k 2＋12＝－6251 024⎝ ⎛⎭⎪⎫u 2－12825u ＝4－6251 024⎝ ⎛⎭⎪⎫u －64252.又u ＝4k 2＋1k 2＋1＝4－3k 2＋1的范围为[1,4](u ＝4为竖直弦)．故u ＝6425时，S 2max ＝4；而u ＝1时，S 2min ＝2 5751 024. 因此S 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤510332，2.第4术出奇制胜巧妙构造方法概述构造法是指根据题设条件和结论的特征、性质，运用已知数学关系式和理论，构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法．构造法应用的技巧是“定目标构造”，需从已知条件入手，紧扣要解决的问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题．解题时常构造函数、构造方程、构造平面图形等应用题型适用于各类题型，多涉及函数、方程、平面图形等知识方法一：构造函数[例1] 已知偶函数f (x )的定义域为－π2，π2，其导函数是f ′(x )．当0<x <π2时，有f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，则关于x 的不等式f (x )<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·cos x 的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2[解析] 令F (x )＝f xcos x，则F ′(x )＝f ′x cos x ＋f x sin xcos 2x. 当0<x <π2时，有f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，则F ′(x )<0，所以F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．因为F (－x )＝f －x cos －x ＝f x cos x ＝F (x )，所以F (x )为偶函数，所以F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，cos x >0，则f (x )<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x 等价于f x cos x <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cosπ4，即F (x )<F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以|x |>π4，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以－π2<x <－π4或π4<x <π2.[答案] B[例2] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定[解析] 由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m . [答案] A方法二：构造方程[例3] 已知a 2－3a ＝1，b 2－3b ＝1，且a ≠b ，则1a 2＋1b2＝__________.[解析] 由题意可知a ，b 是方程x 2－3x －1＝0的两个实数根，由根与系数的关系可知a ＋b ＝3，ab ＝－1，所以1a 2＋1b 2＝a 2＋b 2a 2b 2＝a ＋b 2－2ab a 2b 2＝32－2×(－1)＝11.[答案] 11方法三：构造平面图形[例4] 已知实数a ，b 是利用计算机产生的0～1之间的均匀随机数，设事件A 为(a －1)2＋(b －1)2>14，则事件A 发生的概率为( )A.π16 B ．1－π16C.π4D ．1－π4[解析] 由题意知，计算机产生的0～1之间的均匀随机数a ，b 的对应区域是边长为1的正方形，面积为1；事件A 对应的区域是边长为1的正方形减去四分之一的圆圆心为(1,1)，半径为12，如图所示，则事件A 对应的区域的面积为1－π16.由几何概型的概率计算公式得事件A 发生的概率为1－π16.[答案] B[即时应用体验]1．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意的实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：选A 由已知得f x ＋1x ＋1＝f xx，故构造函数g (x )＝f x x ，则g (x ＋1)＝f x ＋1x ＋1，所以g (x ＋1)＝g (x )，即g (x )是周期为1的函数．又f (x )为偶函数，所以g (x )为奇函数．故再构造一个特例函数g (x )＝sin 2πx (x ∈R)，所以f (x )＝x sin 2πx ，从而有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52sin 5π＝0，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f (0)＝0，因此选A. 2．已知数列{a n }，a n ＝2a n －1＋n ＋1，a 1＝1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 解析：由已知可得a n ＋n ＋3＝2[a n －1＋(n －1)＋3]．设b n ＝a n ＋n ＋3，则b n ＝2b n －1，所以{b n }是公比为2的等比数列，且b 1＝a 1＋1＋3＝5，所以b n ＝5×2n －1，所以a n ＝5×2n －1－n －3.答案：5×2n －1－n －33．已知不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >112log a (a －1)＋23对于一切大于1的自然数n 都成立，则实数a 的取值范围为________．解析：构造数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ≥2，n ∈N *)． ∵a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋12n ＋2>0，∴a n ＋1>a n ，故a n ≥a 2＝712，即a n 的最小值为712.要使1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >112log a (a －1)＋23对于一切自然数n (n ≥2)都成立，则必有712>112log a (a －1)＋23，即log a (a －1)<－1. 又因为a >1，所以a －1<1a ，解得1<a <1＋52，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋52.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋524．函数f (x)＝x2－4x＋13＋x2－10x ＋26的值域为__________．解析：f (x)＝x－22＋0－32＋x－52＋0－－12，其几何意义是平面内动点P(x,0)到两定点M(2,3)和N(5，－1)的距离之和(如图所示)，求其值域只要求其最值即可．易知当M，N，P三点共线(即P在线段MN上)时，f (x)取得最小值，且f (x)min＝|MN|＝5，f (x)无最大值，故得函数的值域为[5，＋∞)．答案：[5，＋∞)5．函数y＝sin xcos x－3的最大值和最小值分别为__________，__________.解析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P(cos x，sin x)与定点Q(3,0)连线的斜率，为此构造一个单位圆，探究单位圆上动点P(cos x，sin x)与定点Q(3,0)连线的斜率问题．如图，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大、最小，设切点分别为R，M.易知k O R＝22，k OM＝－22，所以k Q R＝－24，k Q M＝24，所以－24≤k P Q≤24.即y＝sin xcos x－3的最大值为24，最小值为－24.答案：24－24第5术声东击西换位推理方法概述对有些问题在直接求解时会感到困难或根本难以从条件入手，这时可避开正面强攻，从结论的对立面入手，或考查与其相关的另一问题，或反例中也可找到解决问题的途径，有时甚至还能获得最佳的解法．这就是“声东击西，换位推理”的战术应用题型既有选择、填空题，也有解答题．主要体现为补集法、相关点法及反证法等方法一：补集法[例1] 若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞[解析] 假设抛物线y ＝x 2上存在两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.因为直线y ＝k (x －3)垂直平分弦AB ，所以x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k.又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，所以－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在弦能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.[答案] D方法二：相关点法[例2] 已知P (4,0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APB Q 顶点Q 的轨迹方程．[解] 连接AB ，P Q ，设AB 与P Q 交于点M ，如图所示．因为四边形APB Q 为矩形，所以M 为AB ，P Q 的中点，连接OM . 由垂径定理可知OM ⊥AB ，设M (x M ，y M )，由此可得|AM |2＝|OA |2－|OM |2＝36－(x 2M ＋y 2M )．① 又在Rt △APB 中，有|AM |＝|PM |＝x M －42＋y 2M .②由①②得x 2M ＋y 2M －4x M －10＝0，故点M 的轨迹是圆．因为点M 是P Q 的中点，设Q(x ，y )，则x M ＝x ＋42，y M ＝y2，代入点M 的轨迹方程中得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋422＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－4×x ＋42－10＝0，整理得x 2＋y 2＝56，即为所求点Q 的轨迹方程．方法三：反证法[例3] 给定数列{a n }，若满足a 1＝a (a >0且a ≠1)，对于任意的n ，m ∈N *，都有a n ＋m ＝a n ·a m ，则称数列{a n }为指数数列．(1)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝3·2n －1，b n ＝3n，试判断{a n }，{b n }是不是指数数列(需说明理由)；(2)若数列{a n }是指数数列，a 1＝t ＋3t ＋4(t ∈N *)，证明：数列{a n }中任意三项都不能构成等差数列．[解] (1)因为a n ＝3·2n －1，所以a 1＝3，a 2＝6，a 3＝12. 因为a 3＝a 1＋2≠a 1·a 2，所以数列{a n }不是指数数列．对于数列{b n }，因为b n ＋m ＝3n ＋m＝3n ·3m ＝b n ·b m 对任意的n ，m ∈N *恒成立，所以数列{b n }是指数数列．(2)证明：因为数列{a n }是指数数列，所以对于任意的n ，m ∈N *，都有a n ＋m ＝a n ·a m . 令m ＝1，则a n ＋1＝a n ·a 1＝t ＋3t ＋4·a n ，所以{a n }是首项为t ＋3t ＋4，公比为t ＋3t ＋4的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3t ＋4n .假设数列{a n }中存在三项a u ，a v ，a w 构成等差数列，不妨设u <v <w ，则由2a v ＝a u ＋a w ，得2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3t ＋4v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋3t ＋4u ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋3t ＋4w,所以2(t ＋4)w －v(t ＋3)v －u＝(t ＋4)w －u＋(t ＋3)w －u.当t 为偶数时，2(t ＋4)w －v(t ＋3)v －u是偶数，(t ＋4)w －u是偶数，(t ＋3)w －u是奇数，故2(t ＋4)w －v(t ＋3)v －u＝(t ＋4)w －u＋(t ＋3)w －u不能成立；当t 为奇数时，2(t ＋4)w －v (t ＋3)v －u是偶数，(t ＋4)w －u是奇数，(t ＋3)w －u是偶数，故2(t ＋4)w －v(t ＋3)v －u＝(t ＋4)w －u＋(t ＋3)w －u不能成立．综上，对任意的t ∈N *,2(t ＋4)w －v(t ＋3)v －u＝(t ＋4)w －u＋(t ＋3)w －u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不能构成等差数列．[即时应用体验]1．设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( )A ．a ∧b ≥2，c ∧d ≤2B ．a ∧b ≥2，c ∨d ≥2C ．a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D ．a ∨b ≥2，c ∨d ≥2解析：选C 从定义知，a ∧b ＝min(a ，b )，即求a ，b 中的最小值；a ∨b ＝max(a ，b )，即求a ，b 中的最大值．假设0<a <2,0<b <2，则ab <4，与已知ab ≥4相矛盾，则假设不成立，故max(a ，b )≥2，即a ∨b ≥2.假设c >2，d >2，则c ＋d >4，与已知c ＋d ≤4相矛盾，则假设不成立，故min(c ，d )≤2，即c ∧d ≤2.故选C.2．某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况，从高一，高二，高三三个年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级来自不同年级的概率为________．解析：记高一年级中抽取的1个班级为a ，高二年级中抽取的2个班级为b 1，b 2，高三年级中抽取的3个班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级来自不同年级”为事件A ，则事件A 为抽取的两个班级来自同一年级．两个班级来自同一年级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种．所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级来自不同年级的概率为1115.答案：11153．方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围为____________________．解析：假设三个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－4－4a ＋3<0，a －12－4a 2<0，4a 2＋8a <0，解得－32<a <－1.因为三个方程中至少有一个方程有实根．所以所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)4．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)<h (t )<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0<h (t )<18.由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 5.如图，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解：(1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1.(2)设动点M (x ，y )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0. 由Δ＝0，解得k ＝1y 1，所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12.同理可得，l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 1y 22，y ＝y 1＋y22.易知直线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8消去x 并整理得，。

2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(解析版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D.}{23x x <<【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D.22(+1)1y x +=【答案】C 【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.300.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26261105x x y +==+，得42.07, 5.15x cmy cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以c o s θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D.A =112A+【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2s i n fx x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()s i n s i n 2s i nfx xx x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴======2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D .【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数形结合的典型题目探析(可编辑修改word版)

2 2 高考数形结合的典型题目探析所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路。

下面以高考题为例看看数形结合的神奇效果。

例 1、直线 y ＝2k 与曲线9k 2 x 2 + y 2 = 18k 2 | x | (x ∈ R ，且 k ≠ 0) 的公共点的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4解：曲线9k 2 x 2 + y 2 = 18k 2 | x | 的图象关于 x 轴、y 轴对称，只需作出其在第一象限9k 2 x 2 - 18k 2 x + y 2 = 0(x ≥ 0, y ≥ 0) ，即(x - 1)2 + y 29k 2 = 1(x ≥ 0, y ≥ 0) 的图象，即可得该曲线的图象如图所示，由图象可得其与直线 y ＝2k 的公共点的个数有 4 个，故应选 D.点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，若用传统数学方法解决，需要一定解题策略，而用数形结合法直观、形象，易于理解。

例 2、已知函数 f (x ) = 1 (sin x + cos x ) - 1 2 2| sin x = cos x |，则 f （x ）的值域是（）A 、[－1，1]B 、[-,1] 2C 、[-1, ]2D 、[-1,- ]2解：当sin x ≥ cos x , f (x ) = cos x ，当sin x < cos x , f (x ) = sin x ，⎧cos x (sin x ≥ cos x )所以 f (x ) = ⎨ ⎩sin x (sin x < cos x )图象如图实线表示所以值域为[-1,] ，故选 C. 2点评：本题考查了三角函数知识，数形结合是解决三角不等式的最佳工具，作图过程能够将两曲线的交点及各函数的特征描述清楚，明确解题目的，准确把握图形特点及变化趋势。

2022届高考数学一轮专题复习之数形结合(含解析)

数形结合 A 组一、选择题1. 函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-)1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f (x )=a 有且只有一个实根，那么a 满足( )A.a <0B.0≤a <1C.a =1D.a >1答案：C解析：由图知a =1时，图象只有一个交点，故选C.2.已知函数f (x )＝x 2＋e x－12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eB.()－∞，eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e答案：B解析：由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x－12有正解，即e－x－ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x－1x ＋a<0，故函数F (x )＝e －x－ln(x ＋a )－12在(0，＋∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x－ln(x ＋a )－12≥0，所以a ≤1e 2e x x ---，又y ＝1e 2e x x ---在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02e 0---＝12e ，选B.3.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 答案：B解析.根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.4.设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )·(y －1x)≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( ) A.34π B.35π C.47π D.π2答案：D 解析：因为对于集合A ，(y －x )⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0，其表示的平面区域如图.对于集合B ，(x －1)2＋(y －1)2≤1表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π.由题意意知A ∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1x与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成S 1，S 2，S 3，S 4四部分.因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1x的图象都关于直线y ＝x 对称，从而S 1＝S 2，S 3＝S 4，而S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝π，所以S 阴影＝S 2＋S 4＝π2.二、填空题5.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________.答案：(210，＋∞) 解析由已知得h x ＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立.在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞).6．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【解析】 ∵|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )，得a 2＝5c 2，∴e ＝c a ＝55.【答案】 55三、解答题7.已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ，f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，∴当g ′(x )＝0时，x ＝1.当1e <x <1时，g ′(x )>0；当1<x <e 时，g ′(x )<0.故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1.又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2，g (e)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝4－e 2＋1e 2<0，则g (e)<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值是g (e)．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1<m ≤2＋1e2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋1e 2.8.已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1. 解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x . 从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5). ②证明因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

(完整word版)高考数形结合的典型题目探析

高考数形结合的典型题目探析所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路。

下面以高考题为例看看数形结合的神奇效果。

例1、直线y ＝2k 与曲线R x x k y x k ∈=+(||1892222，且)0≠k 的公共点的个数为（）A 、1B 、2C 、3D 、4解：曲线||1892222x k y x k =+的图象关于x 轴、y 轴对称，只需作出其在第一象限)0,0(01892222≥≥=+-y x y x k x k ，即)0,0(19)1(222≥≥=+-y x k y x 的图象，即可得该曲线的图象如图所示，由图象可得其与直线y ＝2k 的公共点的个数有4个，故应选D.点评：本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，若用传统数学方法解决，需要一定解题策略，而用数形结合法直观、形象，易于理解。

例2、已知函数|cos sin |21)cos (sin 21)(x x x x x f =-+=，则f （x ）的值域是（） A 、[－1，1] B 、]1,22[-C 、]22,1[-D 、]22,1[-- 解：当x x f x x cos )(,cos sin =≥，当x x f x x sin )(,cos sin =<，所以⎩⎨⎧<≥=)cos (sin sin )cos (sin cos )(x x x x x x x f 图象如图实线表示所以值域为]22,1[-，故选C. 点评：本题考查了三角函数知识，数形结合是解决三角不等式的最佳工具，作图过程能够将两曲线的交点及各函数的特征描述清楚，明确解题目的，准确把握图形特点及变化趋势。

专题02 选填题解法——数形结合法-高考数学选择填空必备解题技巧

高中数学选填题解法——数形结合法邓小平说过，不管黑猫白猫能抓老鼠的就是好猫。

在数学选择题里，不是每道题都要正面去解，有时正面解反而易错，本专题介绍选择题的方法。

数形结合法在选择题如果运用好的话，往往会有出其不意的效果。

1、已知函数f(x)=()⎩⎨⎧≥++< 0x 2x ln 0x x 4x 2若方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，则a 的取值范围是（） A 、（0,4） B 、[)4,0 C 、[)4,ln2 D 、(]4,2ln【答案】C【解析】本题是2019莆田高三第二学期质检文科第10题，本题可采用数形结合法。

在坐标轴中分别画出|f(x)|与y=a 图像。

从图像中易知当方程|f(x)|-a=0有四个不同的解，当y=a 这条直线为y=ln2时刚好有四个交点，当y=a 这条直线为y=4时最多只有三个交点，所以a 取值范围为[)4,ln2，即答案为C 。

2、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+++0,22x 0x 1,|2-2|2x x x > 若方程f(x)=kx+2k 有四个不同的解，则实数k 取值范围为（）A 、（-∞，-2-22）∪（31，1） B 、（22-2，1） C 、（31，1） D 、（31，22-2）【答案】B【解析】本题是华大新高考联盟2019届1月教学质量监测文科数学第11题，在直角坐标系中画出y 1=f(x)图像（蓝色部分），再做出y 2=kx+2k=k （x+2）图像，恒过定点（-2,0）。

从图像上可发现当y 2=kx+2k=k （x+2）过（0,2）时即图中m 直线，y 1与y 2图像有三个交点，此时k=1；当y 2=kx+2k=k （x+2）与22x 2++x 相切时即图中n 直线，此时k=22-2或k=22--2，而当k=22--2时即图中q 直线，显然y 1与y 2只有一个交点，舍去。

当y 2直线在直线n 与直线m 直线质检移动时，y 1与y 2有四个交点，所以k 取值范围为（22-2，1），答案为B 。

高考数学(理)二轮专题练习【专题8】(2)数形结合思想(含答案)

第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．热点一利用数形结合思想讨论方程的根例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0.作出函数y ＝f (x )及y ＝x 的函数图象如图所示，由图可得交点有3个．热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.思维升华求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．(1)设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是__________．(2)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2解析 (1)集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1. (2)令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．又因为点(－2，－2)在直线上，所以k ＝22＋21＋2＝ 2.热点三利用数形结合思想解最值问题例3 (1)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(2)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 (1)22 (2)B解析 (1)从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.(2)画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16. ∵d 2＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.∴取值范围是[2,16]．思维升华 (1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．(1)(2013·重庆)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 (2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是____．答案 (1)B (2)2解析 (1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ |的最小值为圆心到直线x ＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ |min ＝3－(－3)－2＝4.故选B.(2)可行域如图所示．又yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2.1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.真题感悟1．(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17答案 A解析设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2. 而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45， ∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，所以a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D.4．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2，消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1，联立可得0<a <1. 当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4. 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，故Δ＝a 2－10a ＋9>0，且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1，联立可得a >9，综上知，0<a <1或a >9. 押题精练1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．2．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 A解析 f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x <－3)，2x ＋2 (－3≤x <1)，4 (x ≥1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.3．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．答案2解析由题意知原点O 到直线x ＋y －2＝0的距离为|OM |的最小值．所以|OM |的最小值为22＝ 2. 5．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．答案－33解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33.6．设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行． (1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0， g ′(x )＝2bx －1x ⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，即g (x )在(0,1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减， x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－1,0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示，从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解．当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递增， x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－1,0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a .又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所示，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.。

(完整word)数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)汇总,推荐文档

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

2019年高考浙江卷数学真题试题(word版,含答案与解析)

2019年高考数学真题试卷（浙江卷）原卷+解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1.（2019•浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（）A. {-1}B. {0，1}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1，3}【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：，所以={-1}.故答案为：A.【分析】根据集合的补写出即可得到.2.（2019•浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】 C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得，所以离心率e= .故答案为：C.【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到，即可求出离心率e.3.（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（）A. -1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【考点】简单线性规划的应用【解析】【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.4.（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。

若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，其底面积,所以体积V=27 .故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.5.（2019•浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】作出直线y=4-x和函数的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.6.（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=log a(x+ ），（a>0且a≠0）的图像可能是（）A B C D【答案】 D【考点】函数的图象【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；y=log a(x+ ）过（，0）单调递增，没有符合条件的图象；当0<a<1时，y= 的底数大于1，故过（0,1）单调递增；y=log a(x+ ）过（，0）单调递减；故答案为：D.【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.7.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是X 0 a 1P则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：E（X）= ，，根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；故答案为：D.【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.8.（2019•浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。

利用数形结合法来解数学选择题

方法也比较多，比如：直接法、概念辨析法、图像分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现．又是解题的有效手段，下面我介绍如何用数形结合法解答数学的选择题． “ 数” 与“ 形” 是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中．可以先根据题意．作出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图像的特征，得出结论．例ｌ：（２００９・海南）用ｍｉｎ｛ａ，ｂ，ｃｌ表示ａ，ｂ，ｃ三个数中的最小值，￣ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ｛２ ‘ ，ｘ＋２，１０一Ｘｌ（ｘ ≥０），￣Ｊｌｆ（ｘ）的最大值（）
４ｌ６
的元素是函数ｖ＝３的图像上的点．由数形结合，可知ＡｎＢ中有２个元素，因此ＡｎＢ的子集的个数为４．例３：函数ｆ（ｘ）＝１ — １２ｘ一１ｌ，则方程ｆ（ｘ）・２＝１的实根的个数
考试周刊２叭３年第１期
利用数形结合法来解数学选择题

2023年高考数学填选压轴题专题20 用数形结合法求解零点问题

专题20 用数形结合法求解零点问题【方法点拨】1.函数的零点的实质就是函数图象与x 轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题.2.分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线，要把构造“好函数”作为第一要务.3.作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确.【典型题示例】例1 已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2g x f x kx x =-- （k R ∈）恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞【答案】D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.点评：本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围.例2 已知函数()2e 143,13xx f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩，，若函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，则实数k的取值范围是__________．【答案】151e 0,,15e 3⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭ 【解析】作()2e ,143,13xx f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+-<<⎪⎩与2y k x =+图象，由243(2),0,2x x k x k x -+-=+>>-得2222(1)(44)430k x k x k ++-++=由2222(44)4(1)(43)0k k k ∆=--++=得2101515k k k =>∴=，对应图中分界线①; 由(2),0,2y k x k x =+>>-过点(1,)e 得3ek =，对应图中分界线②；当(2),0,2y k x k x =+>>-与x y e =相切于00(,)x x e 时，因为e xy '=，所以0001(2)01,x k e k x k x k e==+>∴=-=，对应图中分界线③；因为函数()()2g x f x k x =-+有三个零点，所以实数k的取值范围是1e ,e 3⎛⎛⎤⎥ ⎝⎦⎝⎭ 故答案为：1e 0,,15e 3⎛⎛⎤⎥ ⎝⎦⎝⎭ 例3 已知函数与的零点分别为和．若，则实数的取值范围是．【答案】(),1-∞-【分析】将问题转化为函数y m =与函数1()1h x x x =--和1()ln 2e x x x =-交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果.【解析】由2()(1)10f x x m x =-+-=，得11m x x=--，对于函数1()1h x x x=--，在()0,∞+上单调递增，在(),0-∞上单调递减，由()ln 220g x x x m =--=，得1ln 2m x x =-，对于1()ln 2e x x x =-，'112122x y x x -=-=得1ln 2y x x =-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，最大值为111ln 222-，其图像如图， 2()(1)1f x x m x =-+-()ln 22g x x x m =--12x x ，34x x ，1324x x x x <<<m令111ln 2x x x x --=-得(1,1)A -，要1324x x x x <<<，则直线y m =要在A 点下方，1m ∴<-，∴实数的取值范围是(,1)-∞-．例4 已知函数22(1), 0()2, 0k x f x xx k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是．【答案】(27，+∞)【分析】由()()()g x f x f x =-+知，()()()g x f x f x =-+是偶函数，研究“一半”，问题转化为22(), 0k g x x k x x =+->有且仅有两个不同的零点，分离函数得()21210x x k x=-+>，两边均为基本初等函数，当曲线在一点相切时，两曲线只有一个交点，利用导数知识求出切点坐标，当抛物线开口变大，即函数值小于切点的纵坐标即可. 【解析】易知()()()g x f x f x =-+是偶函数，问题可转化为22(), 0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点. 分离函数得()21210x x k x=-+>，由图形易知k ＞0，问题进一步转化为()21210y x y x k x==-+>、有两个交点问题.先考察两曲线相切时的“临界状态”，此时，两曲线只有一个交点m所以当21133k ⨯<时，即k ＞27时，上述两个函数图象有两个交点综上所述，实数k 的取值范围是(27，+∞)．点评：1.本题解法较多，但利用“形”最简单，只要函数分离的恰当，这种题实现“分分钟”解决也是可及的.2.有关函数零点的问题解法灵活，综合考察函数的图象与性质、导数的几何意义、分离函数的意识、分离参数的意识等，综合性强，较难把握.3.利用“数学结合法”求解零点问题的要点有二.一是分离函数，基本策略是“一静一动、一直一曲，动直线、定曲线”,函数最好是基本初等函数；二是求解过程中的“临界状态”的确定，若是一直一曲，一般相切是“临界状态”，若是两曲，一般公切是“临界状态”（曲线的凸凹性相反，即曲线在公切线的两侧）例5 已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是．【答案】2(,)4e -∞-【解析】2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，是偶函数，问题转化为2=0x e mx +，即2=x e mx -（0x >）有两个零点易知0m <，两边均为曲线，较难求解.两边取自然对数，()=ln 2ln x m x -+，即()ln 2ln x m x --= 问题即为：()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点先考察直线y x b =+与()2ln h x x =相切，即只有一点交点的“临界状态” 设切点为00(,2ln )x x ，则002()1h x x '==，解得02x =，此时切点为(2,2ln 2)代入2ln22b =-再求()()ln g x x m =--与()2ln h x x =有两个交点时，m 的取值范围由图象知，当()()ln g x x m =--在直线y x b =+下方时，满足题意故()ln 2ln 22m b --<=-，解之得24e m <-，此时也符合0m <所以实数m 的取值范围是2(,)4e -∞-．点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数. 例6 若函数3||()2x f x kx x =-+有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为．【答案】 27(,)32-∞-⋃+∞(0,) 【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：3||2x kx x =+2||(2)x kx x x =+、3||(2)x k x x=+，31(2)x x k x +=，···，但利用31(2)x x k x +=较简单. 【解析】易知0是函数3||()2x f x kx x =-+一个的零点，当x ≠0时，3||()02x f x kx x =-=+可化为31(2)x x k x +=，考虑1y k=与3(2)()x x g x x +=有且只有两个非的取值范围是．【答案】()4ln 2,ln(e 1)2+-【分析】从结构上看，首先考虑“对化指”，方程24242ln(e1)2e1e0x x x a x a --+-+=+-⇔+-=，属于复合函数的零点问题，内函数是指数型，外函数是二次函数.设242()e 1ex x a h x -+-=+-，x R ∈，则()h x 为偶函数，研究 “一半”，令2ex t -=，x ＞0，则关于t 的方程2e 10at t -+=在(2e -，+∞)内有两个不相等的实根，分离参数，利用“形”立得. 【解析】方程24242()()ln(e 1)2e1e0x x x a f x g x x a --+-=⇔+=+-⇔+-=令242()e1ex x a h x -+-=+-，x R ∈，则显然()h x 为偶函数，所以方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()e 1e x x a h x -+-=+-，x ＞0有两个零点，令2ex t -=，x ＞0，则关于t 的方程2e 10at t -+=，即1e at t=+在(2e -，+∞)内有两个不相等的实根，结合函数1y t t=+，2e t ->的图像，得222e e e a -<<+，即4ln 2ln(e 1)2a <<+-，则实数a 的取值范围是()4ln 2,ln(e 1)2+-．【巩固训练】1.已知函数22()(21)(31)(2)(2)xx f x a a e a x e x =---+++有四个零点，则实数a 的取值范围是__________．A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B. 11,2e +⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭ D. 11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数21,0()1,02x xx x x f x e e x x ⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩，()xg x me =（其中m 是非零实数），若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有且仅有两个交点，则m 的取值范围为 .3.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.4.已知e 为自然对数的底数，若方程|xlnx —ex +e |=mx 在区间[e1,e 2]上有三个不同实数根，则实数m 的取值范围是________. 5.已知关于x 的方程2x kx x =-有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是______6.已知关于x 的方程33kx x x =+有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 .7. 若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为____________.8. 若函数有两个零点,则实数的取值范围是 . 9．已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则实数a 的取值范围是____________. 10. 已知函数()f x ax =，ln ()x g x x =，其中a 为实数．若关于x 的方程()()f x g x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数解，则实数a 的取值范围为．11. 已知函数32, 0(), 0ax x x f x x x ⎧++<⎪=⎨>⎪⎩，若函数()(1)(1)g x f x f x =-+-有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是． 12．已知函数3()f x x a a x=--+，，若关于的方程()2f x =有且仅有三个不同的实根，且它们成等差数列，则实数取值的集合为．()(0a 1)xf x a x a a =--≠＞），且a a R ∈x a【答案与提示】1.【答案】 D【提示】()(2)(21)(2)x xf x ae x a e x ⎡⎤⎡⎤=-+--+⎣⎦⎣⎦，根据对称性，只需考察1(2)x e x a=+有两个零点，得0a e <<，故有002121a e a e a a <<⎧⎪<-<⎨⎪≠-*⎩，前两者是保证两方程各自有两解，这里（*）易漏，它是保证两方程解不相同的.2.【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛e 3,121,0【提示】转化为函数21,0()11,02xx x x e F x x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩与函数()G x m =的图象有且仅有两个交点最简.3.【答案】(0,1){2}-【提示】易知0是其中一个零点，问题转化为y a =与函数22ln ,0()1,0e xx x k x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪+<有两个不同的零点.4.【答案】1eln ex ex，问题转化为)yf 与m 的图象在区间[e1,e 2]上有三个交点.∵221(e x ef x xx x， ∴当1(,)xe e时，()0f x ，()f x 减；当2(,)x e e 时，()0f x ，()f x 增.故当x e 时，()f x 取得极小值，且20e .又(1)f 210e e ，21()20f e e e作出()y f x 的图象，由图象知实数m 的取值范围是：12,2ee e）.5.【答案】102k <<【解析】1,021,02,0x x k x x R x ⎧>⎪-⎪⎪=-<⎨-⎪=⎪⎪⎩，画图得出k 的取值范围．6.【答案】0>k 或41-<k ．【提示】参见例6.思路二：（半分）32, 0t at t t -=-->12.【答案】95⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭【提示】变形为3=+3x a a x -+转化为y x a a =-+与3=+3y x有且仅有三个不同的交点，而函数y x a a =-+的图象是定点在直线y x =上、开口向上的V 形折线.。

2019年上海市秋季高考数学试卷word版含参考答案与解析

上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。

________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在在第一象限，角在第三象限；②存在在第二象限，角在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1）求直线AQ 与平面ABCD 的夹角；（2）求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1）求Be 长度；（2）若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集；（2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。

高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)

1 3 1 时，要使 P 点落在指定区域内，即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评：平面向量经常和平面图形结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。题型 3：代数式的几何意义应用例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边界 ) 运动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的取值范围是是；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段