成都市2010届高三二诊(数学理)

成都市2010届高中毕业班第二次诊断性检测 数学（理工农医类）考试时间： 9:00-11:00
(本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)卷两部分，满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
注意事项：
l.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.
参考公式：
如果事件B A ，互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+； 如果事件B A ，相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅；
如果事件
A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
)210()
1()(n k p p C k P k
n k k n n ，，，， =-=- 球的表面积公式24S
R π=， 球的体积公式33
4
R V π=，其中R 表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U R =，集合{|3}P x x =≥，{|4}M x x =<，则=)(M C P U ( ) (A)P (B)M (C){|34}x x ≤< (D){|4}x x ≥
2.
设复数122
ω=-
+，则化简复数21ω的结果是 ( )
(A)122-
-
(B)122-+ (C)i 23
21+
(D)122
i -
3.已知函数()sin(2)(0)3
f x x π
ωω=-
>的最小正周期为π，则函数()f x 的图像的一条对称轴方
程是( ) (A)12
x π
=
(B)6
x π
=
(C)512x π=
(D)3
x π= 4.若n
x )2
1
(-展开式中的第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 ( ) (A)
132 (B)164
(C)164- (D)1
128
5.设抛物线2
8y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于B A ，两点，若线段AB 的中点E
到y 轴的距离为3，则弦AB 的长为( ) (A)5 (B)8 (C)10 (D)12
6.已知32tan(),tan()6765π
παβ-
=+=，则tan()αβ+的值为 ( ) (A)2941 (B)129 (C)141
(D)1 7.在‚家电下乡‛活动中，某厂准备从5名销售员和4名技术员中选出3人赴邻近镇开展家电
促销活动，若要求销售员和技术员至少各一名，则不同的组合方案种数为( )
(A)140 (B)100 (C)80 (D)70 8.已知函数2log (1)
()(1)
x x f x x c x ≥⎧=⎨
+<⎩，则‚1c =-‛是‚函数()f x 在R 上递增‛的 ( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.在棱锥ABC P -中，侧棱PC PB PA ，，两两垂直，Q 为底面ABC ∆内一点，若点Q 到三个
侧面的距离分别为543，，
，则以线段PQ 为直径的球的表面积为 ( ) (A)π100 (B)π50 (C)π25 (D)π25
10.已知点F 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点，若椭圆上存在一点P ，
满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 ( )
(A)
3 (B)23
(C)2
(D)59
11.如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段1AD 上运
动，给出以下四个命题：①异面直线1C P 与1CB 所成的角为定值； ②二面角1P BC D --的大小为定值； ③三棱锥1D BPC -的体积为定值；
④异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值。

其中真命题的个数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
12.已知定义在(0,1)上的函数()f x ，对任意的,(1,)m n ∈+∞且m n <时，都有
)1()1()1(mn n
m f m f n f --=-记21()55
n a f n n =++，*n N ∈，则在数列{}n a 中，128...a a a +++=( ) (A)1()2f (B)1()3f (C)1()4f (D)1()5
f
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上;
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 将答案直接填写在题后的横线上） 13.在等差数列{}n a 中，已知372a a +=-，则数列{}n a 的前9项和9S =
14.若直线210x ky +-=（k R ∈）与曲线cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=-+⎩
（θ为参数）相切，则k 的值为 。

15.已知定义在R 上的减函数()f x 的图像经过点)23(，
-A 、(2,2)B -，若函数()f x 的反函 数为1f -()x ，则不等式51)2(221<+--x f 的解集为 .
16.如图，B 是AC 的中点，2BE OB =
，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且
OP xOA = +(,)yOB x y R ∈。

有以下结论：
①当0x =时，[2,3]y ∈； ②当P 是线段CE 的中点时，15
,22
x y =-=；
③若x y +为定值，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段；
④x y -的最大值为1-。

其中你认为正确的所有结论的序号为 。

三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12分) 设ABC ∆的三内角C B A ，，所对边的长分别为c b a ，，，平面向量
)cos (cos C A ，=，)(a c ，=，)02(，
b =，且0)(=-⋅. (Ⅰ)求A ∠的大小； (Ⅱ)当||x A ≤时，求函数()sin cos sin sin()6
f x x x x x π
=+-的值域。

18(本小题满分12分).如图，在直角梯形ABCD中，//
AB CD，o
90,1
ABC CD BC
∠===，2
=
AB，E为AB的中点，将ADE
∆沿DE翻折至'A DE
∆，使二面角B
DE
A-
-'A'为直二面角。

(Ⅰ)若G
F，分别为'A D、EB的中点，求证：//
FG平面'A BC；
(Ⅱ)求二面角'
D A B C
--的大小。

19(本小题满分11分)‚上海世博会‛于2010年在上海举行。

上海世博会事物协调局举办‚中国2010年上海世博会‘中国馆〃贵宾厅’艺术品方案征集‛活动。

某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征，假设代表作中中国画、书
法、油画入选‚中国馆〃贵宾厅‛的概率均为1
4，陶艺入选‚中国馆〃的概率为1
3
‛.
(Ⅰ)求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选‚中国馆〃贵宾厅‛的概率; (Ⅱ)设该地美书馆选送的四件代表作中入选‚中国馆〃贵宾厅‛的作品件数为随机变量ξ，求ξ的数学期望.
20(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*)(43)14(3
4
11N n S a a n n n n ∈⋅⋅=-=-，.
(Ⅰ)求数列{}n S 的通项公式； (Ⅱ)设,3n n
n
b a =
n T 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n x T →∞的值.
21(本小题满分12分)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，右准线
与x 轴交于点B ，且与一条渐近线交于点C ，点O 为坐标原点，又22=⋅=OC OA OB OA ，过点F 的直线与双曲线右交于点N M ，，点P 为点M 关于x 轴的对称点.
(Ⅰ)求双曲线的方程； (Ⅱ)证明：N P B ，，三点共线； (Ⅲ)求BMN ∆面积的最小值.
22(本小题满分14分)已知函数2()ln (0)f x ax x x =+>，()2()g x x x R =∈，函数
()()()h x f x g x =-在区间(0,)+∞上为增函数.
(Ⅰ)求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)设'()f x 、'()h x 分别是()f x 、()h x 的导函数，若方程'()0h x =在区间(0,)+∞ 上有唯一解，令函数1
()[']()''
n n n m x f x f x x =-+
，其中*n N ∈且2n ≥. ①求函数()n y m x =在区间(0,)+∞上的最小值； ②求证：对任意的正实数x ，都有215
()6
n
i i m x -<∑。