人教版数学九年级上册21.2.2公式法教案

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九年级数学上册21.2.2公式法教案(新版)新人教版

21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、温故知新（学生活动）用配方法解下列方程总结用配方法解一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知明晰新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+x=-配方，得：x2+x+（）2=-+（）2即（x+）2=∵b2-4ac>0且4a2>0∴≥0直接开平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．3(=)(x2-x-1_)(6)3通过上面三个方程的求解，你发现了b2-4ac 与方程的根有什么关系吗？三、师生互动促进理解同学们，学方程的目的是解决实际问题，请看本章引言的问题你能解决吗？求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程解：得如果上面的解题过程看作思维操的话，下面的两题就是花样体操。

人教版九年级上册数学 21.2.2 公式法优秀教案

21．2.2公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念．2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)x2－x＋14＝0；(3)x2－x＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a>2 B．a<2C．a<2且a≠1 D．a<－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x的方程2x2＋kx－1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k2－4×2×(－1)＝k2＋8，无论k取何值，k2≥0，所以k2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x2＋kx－1＝0有两个不相等的实数根．方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x1＝－2，x2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.。

人教初中数学九年级上册 21.2.2 公式法教案

一、复习引入
【问题】（学生总结，老师点评）
1.用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0（2）4x2-3x=52
2．总结用配方法解一元二次方程的步骤。
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
四、巩固练习分三个层次单一知识点相对应练习、知识点综合训练、拔高训练，习题设计有选择余地
教材P12练习第1、2题．
补充习题：
用公式法解下列方程．
（1）x2-5x-6=0（2）7x2+2x-1=0（3）3x2-5x+2=0
（4）5x2+2x-6=0（5）4x2-7x+2=0（6）2x2- x- =0
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
① 或
② 或
③
解：（1）存在．根据题意得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1 时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？

数学人教版九年级上册《21.2.2 公式法》教学设计.2.2 公式法》教学设计

21.2.2 公式法版本：人民教育出版社执教：甘肃省陇南市武都区两水中学唐小平教学目标知识与技能1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程.2. 会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.过程与方法1. 经历探索求根公式的过程，激发学生的探究欲望和探究热情，培养学生的推理能力.2. 培养学生的运算能力，并让学生养成良好的运算习惯.情感态度与价值观1. 通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力.2. 培养学生积极探索、勇于创新的精神.3. 让学生学会和他人合作，分享合作学习的乐趣、体会发现知识后的成就感，建立学好数学的自信心.重点难点重点求根公式的推导和公式法的运用.难点一元二次方程求根公式的推导.教学方法启发式、探究式、讲练结合式.教具学具教具：彩笔、多媒体教学平台.学具：笔、学生学案.教材分析本节课选自2013年教育部审定通过的义务教育教科书《数学》编著开发中心中学数学课程教材研究材研究所人民教育出版社课程教的九年级上册“第二十一章一元二次方程”第二节“21.2 解一元二次方程”第二课时“21.2.2 公式法”的内容.一元二次方程的解法在初中数学教学中占有重要的位置，也是每年中考的热点考题之一，研究它很有现实意义和探索价值，讨论它是增进学生对数学知识理解并应用的很好素材.学情分析本节课的内容继 “21.2.1 配方法”后，又在“21.2.3 因式分解法”之前，根据维果斯基的“最近发展区理论”，学生已经掌握了用配方法解具体的数字系数的一元二次方程，对于一般形式的一元二次方程，02=++c bx ax 学生可以根据用配方法解具体数字系数的一元二次方程的经验可能化成22244)2(aac b a b x -=+的形式（即学生可能的发展水平），至于要用到分类讨论的数学思想，这要通过教师引导、启发学生才能获得这方面的能力.所以本节课估计学生在学习过程中感到困难之处是：讨论当，042>-ac b ，042=-ac b042<-ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根的情况.教学环节一、创设情境导入新课1.用配方法解方程.08922=+-x x2.能否也可以用配方法解一般形式的一元二次方程02=++c bx ax 呢？（设计意图：通过复习引入，让学生先回忆配方法的解题思路，并通过练习题巩固所学知识，同时为本节课的学习做好铺垫.）二、探究新知进行新课根据用配方法解具体数字系数的一元二次方程的经验解一般形式的一元二次方程 .02=++c bx ax二次项系数化为1，得.02=++ac x a b x 移项，得.2ac x a b x -=+ 配方，得,)2()2(222a b a c a b x a b x +-=++即 .44)2(222aac b a b x -=+ ① 因为，0≠a 所以.042>a 式子ac b 42-的值有以下三种情况：(1)当042>-ac b 时，,04422>-a ac b 由①得 .2422aac b a b x -±=+ 方程有两个不相等的实数根.24,242221aac b b x a ac b b x ---=-+-=(2) 当042=-ac b 时，,04422=-a ac b 由①可知方程有两个相等的实数根 .221ab x x -== (3)当042<-ac b 时，,04422<-a ac b 由①可知，0)2(2<+a b x 而x 取任何实数都不能使，0)2(2<+ab x 因此方程无实数根. 一般地,对于一元二次方程02=++c bx ax ，当042≥-ac b 时，它的实数根是aac b b x 242-±-= 这个式子叫做一元二次方程02=++c bx ax 的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.用公式法解一元二次方程时需要注意两点:①必须是一般形式的一元二次方程；02=++c bx ax ② .042≥-ac b（设计意图：让学生亲自动手实验，探究结论，激发兴趣.培养学生爱动脑思考的好习惯.）三、运用新知巩固新课例1 用公式法解方程.12452=-x x （2016·中考）例2 用公式法解方程.8110442x x x -=++例 3 用公式法解方程.01252=+-x x（设计意图：加深对一元二次方程02=++c bx ax 求根公式的理解.）思考：以上三个例题中方程的根有什么规律？一元二次方程02=++c bx ax 的根有三种情况：当042>-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 无实数根.一般地，式子ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式，通常用希腊字母”“∆表示它，即.42ac b -=∆四、回顾内容小结新课师：通过这节课的学习，同学们都有哪些收获？生1：……生2：………………………………………………………………………………………………………………师：……用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，并写出 c b a ，，的值；②求出ac b 42-的值（特别注意:当042<-ac b 时无实数解）；③代入求根公式；a ac b b x 242-±-= ④写出方程的解.21x x ，（设计意图：梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系.）五、布置作业结束新课1. 预习教材第12----14页；2. 课外作业教材第17页习题21.2第4，5题.3. m 取什么值时，方程04)12(22=-+++m x m x 有两个实数根.4. 关于x 的一元二次方程，02=++c bx ax 当c b a ，，满足什么条件时，方程的两个实数根互为相反数？（设计意图：教师分层要求，学生课下完成，巩固所学知识.）六、教后反思本节课的教学采取了以学生为主体、教师为主导的方式，让学生尽可能地参与到教学的全过程中.通过学生的观察、发现、学生与学生的讨论交流、教师与学生的密切合作，有意识地培养了学生的一些能力（如口头表达能力、运算能力、归纳总结能力等）；通过多媒体辅助教学，教学内容与中考题挂钩，启发、引导学生勤于思考问题，激发了学生的探究欲望、探究热情和求知欲望，另外，教师给学生逐步设疑，组织学生积极回答、学习，然后肯定其成绩，这样，学生既有成就感，也能加深其印象，更能增强他们学习数学的信心，学习效果比教师硬塞给学生现成的结论要好得多.七、板书设计。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是学习二次函数求解的重要内容。

本节内容通过公式法，引导学生掌握二次函数的求解过程，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材以实例引入，让学生通过观察、分析、归纳，探索并掌握二次函数的求解公式，并能在实际问题中灵活运用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本概念和图像，但对二次函数的求解方法可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，深入理解公式法的原理和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的求解公式，能够运用公式法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生探索二次函数求解方法的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，提高学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的求解公式及应用。

2.难点：灵活运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳，探索二次函数的求解方法。

3.合作交流法：鼓励学生与他人合作，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的求解过程。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用公式法求解。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商品打8折后的价格是120元，求原价。

引导学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的求解方法。

2.呈现（10分钟）展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），引导学生观察实例中的二次函数，发现其特点。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用公式法求解一个实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生回答问题：如何判断一个二次方程有实数根、有两个相等的实数根还是有三个实数根？并解释原因。

人教版初中数学九年级上册21.2.2公式法解方程(教案)

人教版初中数学九年级上册21.2.2公式法解方程（教案）
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第21章第2节“一元二次方程”，本节课主要聚焦于21.2.2公式法解方程。内容包括：
（1）回顾一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）；
（2）介绍公式法解一元二次方程的原理，即求根公式：x1,2 = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了公式法解一元二次方程的基本概念、求根公式的应用和根的判别式的意义。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，方程2x^2 - 5x + 3 = 0，我们将展示如何使用求根公式求解这个方程，并解释它在实际中的应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆和使用，以及根的判别式Δ的应用。对于难点部分，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
在学生小组讨论环节，我尝试扮演了一个引导者的角色，让学生们自主发现问题、分析问题并解决问题。这种教学方式取得了较好的效果，学生们在讨论中相互启发，共同进步。但我也发现，有些学生在分享成果时表达不够清晰，这可能是他们在语言组织和逻辑思维方面还有待提高。因此，在今后的教学中，我将加强对学生表达能力的培养，提高他们的逻辑思维能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第21章21.2.2 公式法

21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法一、教学目标【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程；2.能熟练应用公式法求一元二次方程的解.【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.【情感态度与价值观】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】用公式法解一元二次方程.【教学难点】推导一元二次方程求根公式的过程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.利用配方法解一元二次方程2704x x --=.（出示课件2）学生板演如下：解：移项，得274x x -=，配方222171242xx ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 2122x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭由此可得12x -=，112x =+212x =-2. 用配方法解一元二次方程的步骤?（出示课件3）学生口答：化：把原方程化成 x 2＋px ＋q = 0 的形式. 移项：把常数项移到方程的右边，如x 2＋px =－q. 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方. x 2＋px ＋(2p )2=－q ＋(2p)2 开方：根据平方根的意义，方程两边开平方. (x+2p )2=－q ＋(2p )2 求解：解一元一次方程. 定解：写出原方程的解.我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax 2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？（二）探索新知探究一公式法的概念教师问：一元二次方程的一般形式是什么？（出示课件5）学生答：ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0).教师问：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？师生共同探究：用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=)0(≠a （出示课件6）解:移项，得ax 2+bx=-c. 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca. 配方，得x 2+b a x+2()2b a =-ca+2()2b a ，即2224(42)b a a a b x c-+=.教师问：（1）两边能直接开平方吗？为什么？（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 师生共同完善认知：（出示课件7）20,40,≠>a a当240,-b ac ≥.2b x a +=±x 1=-b+√b 2-4ac 2a ， x 2=-b -√b 2-4ac 2a.出示课件8：由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a≠0).当b 2-4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x=2b a-±，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.例1用公式法解方程：(1)x 2-4x-7=0; （出示课件9）学生思考后，共同解答如下：解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.=x∴12=+x 22=-x(2)2x 2x+1=0;（出示课件10）教师问：这里的a 、b 、c 的值分别是什么？解：2, 1.==-=a b c224(4210.△=-=--⨯⨯=b ac则方程有两个相等的实数根：122==-=-=b x x a（3）5x 2-3x=x+1;（出示课件11）解：原方程可化为25410x x --= 1,4,5-=-==c b a ，224(4)45(1)36＞0△b =-=--⨯⨯-=ac则方程有两个不相等的实数根46.10±===x12464611,.10105+-====-x x（4）x 2+17=8x.（出示课件12）解：原方程可化为28170x x -+=，17c 8,1,=-==b a ，,0＜41714)8(422-=⨯⨯--=-=ac b △方程无实数根.教师归纳：（出示课件13）⑴当∆=b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根; ⑵当∆=b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根; ⑶当∆=b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有的实数根. 教师问：用公式法解一元二次方程的步骤是什么？学生思考后，共同总结如下：（出示课件14）用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将方程化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值. 2.求出 ∆ 的值.3. (1)当 ∆ >0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.(2)当∆=0时，代入求根公式：2b x a-±=，写出一元二次方程的根.（3）当∆<0时，方程无实数根.出示课件15：用公式法解方程：23620x x --= 学生自主思考并解答. 解：a=3, b=-6, c=-2,∆=b 2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.=x1=x 2=x探究二一元二次方程的根的情况出示课件16：用公式法解下列方程：（1）x 2＋x －1=0；（2）x 2－＋3=0；（3）2x 2－2x ＋1=0.学生板演后，教师问：观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？教师进一步问：（出示课件17）不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴x 2＋2x －8=0； ⑵x 2=4x －4； ⑶x 2－3x=－3.学生思考后回答：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根. 教师问：你有什么发现？学生答：b 2－4ac 的符号决定着方程的解. 师生共同总结如下：（出示课件18）一元二次方程）（0 02≠=++a c bx ax的根的情况⑴当b 2-4ac ＞0 时，有两个不等的实数根：12,;x x ==（2）当b 2-4ac=0时，有两个相等的实数根：12;2bx x a -== （3）当b 2-4ac<0时，没有实数根.一般的，式子 b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b 2-4ac.出示课件20，21：例1 不解方程，判断下列方程根的情况：（1） 06622=-+-x x ；（2）x 2+4x=2.（3）4x 2+1=-3x;（4）x ²-2mx+4（m-1）=0. 师生共同讨论解答如下：解：⑴a ＝﹣1，b＝，c ＝﹣6, ∵△= b 2-4ac=24－4×（﹣1）×（-6）=0. ∴该方程有两个相等的实数根.⑵移项，得x2+4x-2=0,a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,∵△=b2-4ac=16-4×1×（-2）=24＞0.∴该方程有两个不相等的实数根.⑶移项，得4x2+3x+1=0，a＝4，b＝3 ，c＝1,∵△= b2-4ac=9-4×4×1=-7＜0.∴该方程没有实数根.⑷a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,∵△= b2-4ac=（-2m）²-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0.∴该方程有两个实数根.选一选：（出示课件22）（1）下列方程中，没有实数根的方程是（）A.x²=9B.4x²=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y²+6y+7=0（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（）A.b²-4ac＞0B.b²-4ac＜0C.b²-4ac≤0D.b²-4ac≥0学生口答：⑴D ⑵D出示课件23：例2 m 为何值时，关于x 的一元二次方程 2x 2-（4m+1）x+2m 2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？学生思考后，教师板演解题过程：解：a=2，b=-（4m+1），c=2m 2-1,b 2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m 2-1）=8m+9.（1）若方程有两个不相等的实数根，则b 2-4ac ＞0，即8m+9＞0，∴m ＞98-；（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0，∴m=98-；（3）若方程没有实数根，则b2-4ac ＜0即8m+9＜0, ∴m ＜98-.∴当m ＞98-时，方程有两个不相等的实数根；当m=98-时，方程有两个相等的实数根；当m ＜98-时，方程没有实数根.出示课件24：m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.学生自主思考并解答.解：b 2−4ac=[−(m −1)]2−4[−3(m+3)] =m 2+10m+37 =m 2+10m+52−52+37 =(m+5)2+12.∵不论m 取任何实数，总有（m+5）2≥0, ∴b 2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根. （三）课堂练习（出示课件25-29）1.若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ＞1D ．m ＜12.解方程x 2﹣2x ﹣1=0．3.方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根4.关于x 的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k 的取值范围是（）A.k>-1B.k>-1且k ≠ 0C.k<1D.k<1且k ≠05.已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.参考答案： 1.D2.解：a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b 2﹣4ac=4+4=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，2x 12±===±1211x x ==-3.B4.B5.证明：∵没有实数根，∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.对于方程 x 2＋mx ＝1-2m ，即. ，∵，∴△>0.∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（21.2.3）的相关内容。

21.2.2公式法教案

21.2.2 公式法教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道用公式前先将方程化为一般形式，会用判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.重点难点1.会用根的判别式判断方程根的情况.2. 能用求根公式解一元二次方程.教学过程一、回顾：1.配方法解一元二次方程的步骤♦ 移项:把常数项移到方程的右边;♦ 化 1：把二次项系数化为1；♦ 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;♦ 开方:根据平方根意义,方程两边开平方;♦ 求解:解一元一次方程;♦ 定解:写出原方程的解.2.用配方法解一元二次方程：3x ²+6x-4=0二、复习引入任何一元二次方程都可以写成一般形式ax ²+bx+c=0（a ≠0）例：x ²+2x=5；5x ²-3x=2；4x ²=5x-3我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）？三、新课讲解配方法解一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）1.移项，得ax²+bx=-c2.二次项系数化为1，得x²+ x=3.配方x²+ x+（）²= +（）² 即（x+ ）²= a b a c -a b a b 2a c -a b 2ab 2因为，a≠0，所以4a²＞0，式子b²-4ac 的值有三种情况（1）b²-4ac ＞0则＞0，那么由（x+ ）²=,可得 x+ =±所以，方程有两个不等的实数根x1= ，x2=（2）b²-4ac=0则 =0 ，那么由（x+ ）²= 可得（x+ ）²=0 即x1=x2=-所以，方程有两个相等的实数根（3）b²-4ac ＜0则＜0 ，那么由（x+ ）²=可得（x+ ）²＜0因为任何数的平方都是非负数，所以无论x 取何值都不可能使方程成立即，方程没有实数根注意:一元二次方程的根不可能多于两个，可能出现两个实数根，一个实数根，或者没有实数根一般的，式子b²-4ac 叫做方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b²-4ac 。

人教版九上数学21.2.2公式法教案

4.一元二次方程根的情况.
作
业
习题20.1 1. 3.
7、设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根．
(1)试用含有a，b，c的式子表示x1＋x2，x1x2；
(2)求代数式a(x ＋x )＋b(x ＋x )＋c(x1＋x2)的值．
板
书
设
计
21.2.2公式法
1.求根公式的概念及其推导过程.
2.公式法的概念.
3.应用公式法解一元二次方程.
过渡语：齐读配方法解一元二次方程的步骤。
互助探究二
例1、用公式法解方程5x2-4x-12=0
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公式计算;
5.定根:写出原方程的根.
四、拓展提高
1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
过渡语：今天我们一起来学习一元二次方程的万能解法。
二、自主学习(自学课本9—12页内容，注意圈点勾画)
1、结合互助探究一，理解公式法的探究过程并识记求根公式。
2、一元二次方程的解有几种情况，谁决定方程解的情况？
3、结合例2认真思考用公式法解一元二次方程的一般步骤。
过渡语：下面我们共同来解决在自学中遇到的问题。
教学过程
复备
一、复习导入
1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数)；
2、把常数项移到方程右边；
3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。

但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。

三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。

2.能够熟练运用公式法求解二次方程。

3.理解公式法背后的数学原理。

四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。

2.难点：理解公式法背后的数学原理。

五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。

进而引入本节课的主题——公式法。

2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。

让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。

老师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教案2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”，主要介绍了二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法。

这一节内容是学生在学习了二次函数图像和性质的基础上，进一步深化对二次函数的理解。

本节内容的教学，旨在让学生掌握二次函数的顶点坐标公式，能够运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念、图像和性质，对于二次函数有一定的了解。

但是，对于二次函数的顶点坐标公式和判别式的计算方法，部分学生可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾二次函数的相关知识，帮助学生理解和掌握顶点坐标公式和判别式的计算方法。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的顶点坐标公式。

2.让学生学会运用判别式判断二次函数图象与x轴的交点个数。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的顶点坐标公式的记忆和应用。

2.判别式的计算方法和判断二次函数图象与x轴交点个数的方法。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、讨论法、练习法等教学方法，以教师为主导，学生为主体，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的基本概念、图像和性质，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解二次函数的顶点坐标公式，并通过示例让学生理解公式的含义和应用。

接着，介绍判别式的计算方法，让学生学会判断二次函数图象与x轴的交点个数。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的几个二次函数的图象，运用顶点坐标公式和判别式计算方法，判断函数图象与x轴的交点个数，并解释原因。

4.巩固（10分钟）让学生回答一些有关二次函数的判断题，检验学生对顶点坐标公式和判别式计算方法的掌握程度。

人教版九年级数学上册21.2.2公式法教案

蒙阴四中教师教案一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？二、自主探究活动 1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？ ○1；6x 2-7x+1=0 ○2()002≠=++a c bx ax 活动 2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+22.二次项系数化为1得到ac x a b x x x -=+-=-22,6167 3.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2 x 2+b a x+（2b a）2=-c a +（2b a ）24.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a ）2=2244b ac a -5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a）2=2244b ac a -是否可以直接开平方？三、尝试应用教师提出问题，学生思考学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导学生尝试归纳，师生总结学生初步使用公式，教师规范板书。

之后总结使用公式步骤学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．活动3.对（x+2b a ）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b aca -的值与0的关系进行讨论活动 4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 活动 5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号○2求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.○3在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式x=242b b ac a-±-进行计算，最后写出方程的根. 四、补偿提高1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=02.课本例2 五、小结归纳本节课应掌握：1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 六、作业设计必做：P42：4、5 选做：P43：11、12补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过学生归纳，总结阐述，体会，应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？部分还要按每千瓦时100A元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．。

数学人教版九年级上册21.2.2公式法教案

第二十一章一元二次方程21.2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力.2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.【重点】根的判别式及用公式法解一元二次方程.【难点】一元二次方程求根公式的推导过程.一、复习导入按照配方法解方程的一般步骤,将方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成完全平方形式.解:移项,得ax2+bx=-c,方程中的二次项系数化为1,得x2+x=-,配方,得x2+x+=-,即=-.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),将方程左边配成完全平方式,过程同思路一的板书过程.问题1一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后的方程=-一定有实根吗?【师生活动】学生小组讨论,共同探究,规范书写过程.教师按思路一继续板书过程.∵4a2>0,当b2-4ac≥0时,-≥0,∴= -,直接开平方,得x +=±-,即x=- -,∴x 1=- -,x 2=- - -.当b 2-4ac<0时,-<0,∴原方程没有实数根.[设计意图] 设计共同探究环节,让学生亲身经历一元二次方程求根公式的推导,有利于对公式的掌握,同时经过体验知识的形成过程,在发现问题、共同交流的过程中,培养了学生分析问题、解决问题的能力.归纳总结:思考:(1)如何判断一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)根的情况? (2)一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)的求根公式是什么? 小组交流,共同得出结论.结论一:一般地,式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)根的判别式,常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b 2-4ac.当Δ=b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac<0时,方程没有实数根.结论二:解一元二次方程时,先将方程化为一般形式ax 2+bx +c=0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x=- -就得到方程的根,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 教师强调:(1)一元二次方程的根由系数a ,b ,c 共同决定;(2)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a ,b ,c 的值.[设计意图] 经过讨论,加深对根的判别式和求根公式的认识,可使学生在运用公式的过程中自觉地计算判别式的值,并熟练记忆求根公式,同时培养了学生归纳总结能力和学习数学的严谨性. 三、例题讲解【课件3】判断下列方程根的情况,试着求解方程. (1)x 2-4x-7=0; (2)2x 2-2 x +1=0; (3)5x 2-3x=x +1; (4)x 2+17=8x.【学生活动】学生迅速演算或口算出b 2-4ac ,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确.然后用公式法解上边的方程.【师生活动】学生思考后,课件展示解题过程,教师规范答题格式. 解:(1)a=1,b=-4,c=-7,b 2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,∴x=- -=- - ± = ,即x 1=2+ ,x 2=2- . (2)a=2,b=-2 ,c=1,b 2-4ac=(-2 )2-4×2×1=0,方程有两个相等的实数根,∴x 1=x 2=-=-- =. (3)将原方程化为5x 2-4x-1=0,a=5,b=-4,c=-1,b 2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0,∴x=- -=- - ±=.即x 1=1,x 2=-.(4)原方程即为x 2-8x +17=0.a=1,b=-8,c=17,b 2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0,∴方程无实数根.[设计意图] 通过练习让学生熟练掌握本节课的重点,看谁判断的速度快,激发学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态度和逻辑思维能力.[知识拓展] 公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0; (2)找出系数a ,b ,c ,注意各项系数的符号; (3)计算b 2-4ac ,若结果为负数,方程无解; (4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.练习 1.解方程:(1)x 2-7x-18=0; (2)x 2+3=2 x ; (3)(x-2)(1-3x )=6.三、课堂小结1.方程ax 2+bx +c=0(a ≠0),当b 2-4ac ≥0时,式子x=- -叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.2.式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)根的判别式,常用“Δ”表示. 当Δ=b 2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当Δ=b 2-4ac<0时,方程没有实数根. 3.用公式法解方程应注意的问题:先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当Δ=b2-4ac≥0时,将a,b,c的值代入求根公式.4.公式法解一元二次方程的步骤.练习2不解方程判别下列方程的根的情况.(1)x2-6x+1=0(2 2x2-x+2=0 (3)9x2+12x+4=0四、检测反馈题组一:解下列方程:(1)x2-2x-8=0; (2)9x2+6x=8;(3)(2x-1)(x-2)=-1; (4)3y2+1=2y.题组二:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m .变式1:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个相等的实数根,则m .变式2:关于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0没有实数根,则m .2.[想一想]清清和楚楚两位同学刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0,清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定,根的情况跟m 的值有关”.那你认为呢?并说明理由.五、板书设计21.2.2 公式法一、公式法解一元二次方程的一般步骤二、根的判别式当Δ=b 2-4ac>0时,✕✕ 当Δ=b 2-4ac=0时,✕✕ 当Δ=b 2-4ac<0时,✕✕方程ax 2+bx +c=0(a ≠0),当b 2-4ac ≥0时,式子x=- -叫求根公式.三、例题讲解六、布置作业教材作业：【必做题】教材第12页练习的1题. 【选做题】教材第17页习题21.2的13题.课后作业：【基础巩固】1.下列方程中没有实数根的是()A.x2+x-1=0B.x2+x+2=0C.x2+8x+1=0D.x2-2x+2=02.用公式法解方程4x2-12x=3,得到()A.x=-±B.x=C.x=-±D.x=3.方程x2+x-1=0的一个根是()A.1-B.C.1+D.-4.关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()A.m>B.m<C.m=D.m<-5.关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+(2+k2)=0有实根,则k的取值范围是.6.当x= 时,代数式x2-8x+12的值是-4.7.求证:关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.8.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0:(1)当m取何值时,方程有实数解?(2)当m取何值时,方程没有实数解?9.用公式法解下列方程.(1)2x2-4x-1=0;(2)5x+2=3x2;(3)(x-2)(3x-5)=1;(4)4x2-3x+1=0.【能力提升】10.设方程x2-2x-2=0的较小根为x1,下面对x1的估计正确的是()A.-2<x1<-1B.-1<x1<0C.0<x1<1D.1<x1<211.已知关于x的方程x2+(1-m)x+=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值是.12.用公式法解关于x的方程x2-2ax-b2+a2=0.【拓展探究】13.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)的求根公式时,对于b 2-4ac>0的情况,她是这样做的:由于a ≠0,所以可将方程ax 2+bx +c=0变形为: x 2+ x=- ,…第一步∴x 2+ x + =- ,…第二步∴ =- ,…第三步 ∴x + =±- (b 2-4ac>0),…第四步 ∴x=- - .…第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误.事实上,当b 2-4ac>0时,方程ax 2+bx +c=0(a ≠0)的求根公式是 .用公式法解方程x 2-2x-24=0.【答案与解析】1.B(解析:分别求各方程的根的判别式b 2-4ac ,满足b 2-4ac<0的方程是x 2+x +2=0.故选B.)2.D(解析:移项,得4x2-12x-3=0,则a=4,b=-12,c=-3,代入求根公式得x=- - = .故选D.) 3.D(解析:方程中a=1,b=1,c=-1,代入求根公式可得x=- - =- ± .故选D.) 4.B(解析:根据题意得Δ=(-3)2-4m>0,解得m< .故选B.)5.k≥(解析:根据题意得Δ=(2k+1)2-4×(2+k2)≥0,解得k≥.故填k≥.)6.4(解析:根据题意列方程得x2-8x+12=-4,解方程可得x1=x2=4.故填4.)7.证明:∵Δ=b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0恒成立,∴方程有两个不相等的实数根.8.解:已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0,Δ=4m2+9+12m-4m2=12m+9.(1)当Δ≥0时方程有实数解,∴12m+9≥0,解得m≥-,∴当m≥-时方程有实数解. (2)当Δ<0时方程没有实数解,∴12m+9<0,解得m<-,∴当m<-时方程没有实数解.9.解:(1)a=2,b=-4,c=-1,b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,∴x==,∴x1=,x2=. (2)将方程化为一般形式为3x2-5x-2=0,a=3,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,∴x==,∴x1=2,x2=-. (3)将方程化为一般形式为3x2-11x+9=0,a=3,b=-11,c=9,∴b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,∴x==,∴x1=,x2=. (4)a=4,b=-3,c=1,∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0,∴方程无实数根.10.B(解析::x2-2x-2=0,即(x-1)2=3,所以x-1=±,所以x1=1-,x2=1+,即较小根为x1=1-,所以-1<x1<0.故选B.)11.0(解析:根据题意得Δ=(1-m)2-4×>0,解得m<,所以m的最大整数值为0.故填0.)12.解:由题意得Δ=4a2+4b2-4a2=4b2,∴x===a±,∴x1=a+b,x2=a-b.--13.四x=解:a=1,b=-2,c=-24,b2-4ac=(-2)2-4×1×(-24)=100>0,∴x==.∴x1=6,x2=-4.教学反思：本节课的重点是通过配方法探究一元二次方程的求根公式,最突出的特点是探究活动中设计了一个个小问题,在整个过程中始终做到给学生留下了很大的思维空间,始终围绕问题动手操作、小组合作交流,让学生积极参与、自主探究,学生是课堂的主体,无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下,学生自己完成的,注重了知识的形成过程,锻炼了学生的发散思维.在课堂检测中编排的习题既注重本节课基础知识的训练,又注重学生能力的培养,整节课学生在愉悦的课堂气氛中掌握了知识,培养了能力.本节课有一元二次方程根的判别式和求根公式两个重点内容,在探究公式的过程中有部分学生对含字母系数的方程不够熟悉,造成推导公式的困难,所以在时间安排上,学生思考时间过短,如一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系,没给学生留充分的思考时间.另外过高地估计了学生的能力,学生对求根公式是陌生的,造成课堂训练中计算出错较多的情况.这节课不是让学生背公式、套公式解方程,而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的意识,由学生亲身体会公式推导的全过程,提高学生推理能力和逻辑思维能力,同时进一步发展学生合作交流的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度.。

人教版九年级数学上册21.2.2 公式法优质教案

21.2.2 公式法教学时间课题21.2.2公式法课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.过程方法1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.情感态度 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.教学重点求根公式的推导，公式的正确使用教学难点求根公式的推导教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程()002≠=++a c bx ax ？二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？ ○1；6x 2-7x+1=0 ○2()002≠=++a c bx ax 活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到6x 2-7x=-1，c bx ax -=+2教师提出问题，学生思考. 学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导让学生尝试对2244b ac a -的值进行分析为推导公式作铺垫，激发学生探索欲望学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式对比探究，结2.二次项系数化为1得到ac x ab x x x -=+-=-22,61673.配方得到 x 2-76x+（712）2=-16+（712）2x 2+b a x+（2b a ）2=-c a+（2b a ）24.写成（x+m ）2=n 形式得到（x-712）2=25144，（x+2b a）2=2244b ac a -5.直接开平方得到x-712=±512，注意：（x+2b a）2=2244b aca -是否可以直接开平方？活动3.对（x+2b a）2=2244b ac a -观察，分析，在0≠a 时对2244b ac a -的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.活动5.初步使用公式解方程6x 2-7x+1=0.活动6.总结使用公式法的一般步骤：○1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号○2求出ac b 42-的值，方程()002≠=++a c bx ax ，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.○3在ac b 42-≥0的前提下把a ，b ，c 的值带入公式x=242b b aca-±-进行计算，最后写出方程的根.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=02.课本例2 四、小结归纳本节课应掌握：1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根学生尝试归纳，师生总结学生初步使用公式，教师规范板书。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计2

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计2一. 教材分析人教版九年级数学上册第21章“勾股定理”的21.2.2节“公式法”是本章的重要内容，主要介绍了求解直角三角形的方法之一——公式法。

通过本节的学习，学生能够掌握直角三角形中边长之间的数量关系，并能运用勾股定理解决实际问题。

本节课的内容是学生对直角三角形性质的进一步了解，为后续学习三角函数、解析几何等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对直角三角形有一定的了解。

但是，对于勾股定理的推导和证明，部分学生可能还存在困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，引导学生积极参与，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.了解勾股定理的公式及推导过程。

2.能够运用勾股定理解决实际问题。

3.提高空间想象能力和逻辑思维能力。

4.培养合作交流、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：勾股定理的公式及运用。

2.难点：勾股定理的推导过程和证明。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究。

2.利用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。

3.采用合作交流的学习方式，培养学生的团队协作能力。

4.运用练习法，巩固所学知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.勾股定理的相关教学素材。

3.练习题及答案。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的直角三角形现象，如篮球架、房屋建筑等，引导学生思考直角三角形的特点和性质。

然后，提问：你能用已学的知识解释这些现象吗？从而引出本节课的主题——勾股定理。

呈现（10分钟）教师通过多媒体展示勾股定理的推导过程，引导学生观察、思考并总结出勾股定理的公式。

在这个过程中，教师要注意引导学生理解直角三角形中边长之间的数量关系。

操练（15分钟）教师给出一些具体的直角三角形实例，让学生运用勾股定理计算斜边长或其他边长。

学生独立完成后，教师选取部分答案进行讲解和分析。

人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》

人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《公式法》是二次函数求解部分的重要内容。

本节主要介绍公式法求解二次方程的步骤和应用。

教材通过例题和练习题，使学生掌握公式法的基本原理，能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和图像，对二次函数有一定的认识。

但学生在求解二次方程时，可能还不太熟悉公式法，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.了解公式法求解二次方程的基本原理。

2.掌握公式法求解二次方程的步骤。

3.能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。

4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：公式法求解二次方程的基本原理和步骤。

2.难点：如何灵活运用公式法求解实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的基本原理和步骤。

2.案例分析法：分析例题，引导学生运用公式法解决问题。

3.练习法：通过练习题，巩固所学知识。

4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.教材和人教版数学九年级上册相关资料。

2.投影仪和电脑。

3.练习题和答案。

4.教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。

然后提出问题：“如何求解二次方程？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）介绍公式法求解二次方程的基本原理和步骤。

通过讲解和示例，让学生明白公式法的运用过程。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）分组讨论：如何运用公式法解决实际问题？让学生通过讨论，提高解决问题的能力。

5.拓展（5分钟）出示一些实际问题，让学生运用公式法解决。

教师点评学生的解题过程，指出不足之处。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调公式法在解决二次方程中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关公式法的练习题，让学生巩固所学知识。