【精选提分系列】2019届高考数学(文)一轮复习课时作业-第6章不等式、推理与证明 36

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2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第6章不等式 6-1

当 a>0 时，不等式的解集为xx≥a2或x≤－1

；

当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1 ；当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a .
方法技巧 1．一元二次不等式的求解策略 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．如典例 1，冲关针对训练．
第6章不等式
6.1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式
基础知识过关
[知识梳理]
3．必记结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<xb>0，m>0，则ba<ba＋＋mm； ba>ba－－mm(b－m>0)；ab>ab＋＋mm； ab<ab－－mm(b－m>0)．
{x|α<x<β，α>0，β>0}，求不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集是
____x_x_>_α1_或___x<__1β_}____．
采用方程组法先确定 a，b 的值，然后代入待解不等式求解．
解析 ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|α<x<β}， ∴a<0，α，β 为 ax2＋bx＋c＝0 的两根，0<α<β.

2019版高考数学一轮复习第六章不等式课时训练

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法一、填空题1. 函数f(x)＝3－2x －x 2的定义域为__________．答案：[－3，1]解析：由3－2x －x 2≥0，解得－3≤x≤1.2. 不等式x ＋5x －1≥0的解集是 ____________．答案：(－∞，－5]∪(1，＋∞)解析：由x ＋5x －1≥0，得(x ＋5)(x －1)≥0且x －1≠0，解得x ≤－5或x>1.3. 不等式2x 2－x<4的解集为________．答案：{x|－1＜x ＜2}解析：由题意得x 2－x<2⇒－1<x<2，解集为{x|－1＜x ＜2}．4. 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴ a ＜－4或a ＞4.5. 若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是__________．答案：(－2，2]解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立；②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，∴ －2<m<2.综合①②，得m ∈(－2，2]．6. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案：(－5，0)∪(5，＋∞)解析：由已知得f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x 2－4x ，因此f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x<0.不等式f(x)>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x>x 或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，－x 2－4x>x ，解得x>5或－5<x<0. 7. 已知函数f(x)＝x 2＋mx －1.若对于任意x∈[m，m ＋1]都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：二次函数f(x)对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.8. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x<0，则不等式f(x)<f(4)的解集为________．答案：{x|x<4}解析：f(4)＝42＝2，不等式即为f(x)<2，当x≥0时，由x 2<2，得0≤x<4；当x<0时，由－x 2＋3x<2，得x<1或x>2，因此x<0.综上，f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}．9. 在R 上定义运算：x ⊗y ＝x(1－y)，若∃x ∈R 使得(x －a)⊗(x ＋a)＞1成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：∵ ∃x 使得(x －a)⊗(x ＋a)＞1⇒(x －a)(1－x －a)＞1，即∃x 使得x 2－x －a 2＋a ＋1＜0成立，∴ Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12.10. 已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0），则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________．答案：{x|－1＜x ＜2}解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)＝12，从而x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，∴ －1＜x ＜2.二、解答题11. 已知f(x)＝－3x 2＋a(6－a)x ＋6. (1) 解关于a 的不等式f(1)＞0；(2) 若不等式f(x)＞b 的解集为{x|－1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值．解：(1) 由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋23，∴ 不等式的解集为{a|3－23＜a ＜3＋23}． (2) ∵ f(x)＞b 的解集为{x|－1＜x ＜3}，∴ 方程－3x 2＋a(6－a)x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝6－b －3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3，即a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12. 已知a∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0.解：原不等式等价于(ax －2)(x －2)>0，以下分情况进行讨论： (1) 当a ＝0时，x<2.(2) 当a<0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x －2)<0，由2a <0<2知2a <x<2. (3) 当a>0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x －2)>0，考虑2a －2＝2·1－a a 的正负： ① 当0<a<1时，2a >2，故x<2或x>2a ；② 当a ＝1时，2a ＝2，故x≠2；③ 当a>1时，2a <2，故x<2a或x>2.综上所述，当a<0时，该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ＜x ＜2；当a ＝0时，该不等式的解集为{x|x ＜2}；当0<a<1时，该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜2或x ＞2a ；当a≥1时，该不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜2a 或x ＞2.13. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1) 对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f(x)＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方，当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝4－4m （m －2）<0，解得m<1－2，综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)． (2) 设g(m)＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x<1，所以x 的取值范围是(0，1)．第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划一、填空题1. 若点(m ，1)在不等式2x ＋3y －5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是____________．答案：(1，＋∞)解析：由2m ＋3－5>0，得m>1.2. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为 _______________.答案：14解析：作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD＝12×(x C －x B )×12＝14.3. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≤4，x ＋3y≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案：7解析：由约束条件作出可行域，可知当过点(1，2)时z ＝3x ＋2y 的最大值为7.4. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x －y≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D.若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k的取值范围是________．答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴ 斜率的两个端点值为－3，3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴ k 的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．5. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案：－1解析：目标函数即y ＝34x －14z ，其中z 表示斜率为k ＝34的直线系与可行域有交点时直线的截距值的14，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1，1)处取得最小值z ＝3x －4y ＝－1.6. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1，y ≤2x －1x ＋y≤m.，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________．答案：5解析：画出可行域便知，当直线x －y －z ＝0通过直线y ＝2x －1与x ＋y ＝m 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋13，2m －13时，函数z ＝x －y 取得最小值，∴ m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.7. 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．答案：10解析：可行域如图所示，设z ＝x 2＋y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，由图可知，当圆x 2＋y 2＝z 过点(3，－1)时，z 取得最大值，即(x 2＋y 2)max ＝32＋(－1)2＝10.8. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：可行域为△ABC，如图，当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综合得－4＜a ＜2.9. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元．甲乙原料限额 A(吨) 3 2 12答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A(2，3)，则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．10. 设m 为实数，若{(x ，y)|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x≥0，mx ＋y≥0⊆{(x ，y)|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是________．答案：[0，43]解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果－m>0，则可行域取到x ＜－5的点，不在圆内，故－m≤0，即m≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴ m ＝43，∴ 0≤m ≤43.二、解答题11. 某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解：设A 型、B 型车辆分别为x ，y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y.由题意，得x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y≥900，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y≤300，4x ＋5y≤200，3x ＋10y≤300，x ≥15，y ≥15，目标函数为z ＝7x ＋12y ，作出可行域如图，作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．13. 变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1) 设z ＝yx ，求z 的最小值；(2) 设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3) 设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y)的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5，2)． (1) ∵ z＝y x ＝y －0x －0，∴ z 的值是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2) z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC|＝2，d max ＝|OB|＝29，故z 的取值范围是[2，29]．(3) z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝（－3－5）2＋（2－2）2＝8，故z 的取值范围是[16，64]．第3课时基本不等式一、填空题1. 已知x>54，则函数y ＝4x ＋14x －5的最小值为________．答案：7解析：y ＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．2. 设x ＞－1，则函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1的最小值为________．答案：9解析：因为x>－1，所以x ＋1>0.设x ＋1＝z ＞0，则x ＝z －1，所以y ＝（z ＋4）（z ＋1）z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z＋5≥2z·4z＋5＝9，当且仅当z ＝2，即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y 有最小值9. 3. 若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．答案：2 2解析：依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时等号成立．因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab≥22，所以ab 的最小值为2 2. 4. 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为__________．答案：26－3解析：由xy ＋2x ＋y ＝4，解得y ＝4－2x x ＋1，则x ＋y ＝x －2＋6x ＋1＝(x ＋1)＋6x ＋1－3≥26－3，当且仅当x ＋1＝6x ＋1，即x ＝6－1时等号成立．所以x ＋y 的最小值为26－3.5. 已知正实数x ，y 满足(x －1)(y ＋1)＝16，则x ＋y 的最小值为__________．答案：8解析：由题知x －1＝16y ＋1，从而x ＋y ＝16y ＋1＋(y ＋1)≥216＝8，当且仅当y ＋1＝16y ＋1，即y ＝3时取等号．所以x ＋y 的最小值为8.6. 已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__________．答案：9解析：x ＋8y xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x (x ＋2y)＝12(2＋8＋x y ＋y x ·16)≥12(10＋216)＝12×18＝9，当且仅当x y ＝4，x ＋2y ＝2，即y ＝13，x ＝43时等号成立．7. 若x>0，y>0，则x x ＋2y ＋yx的最小值为________．答案：2－12解析：(解法1)设t ＝y x (t>0)，则x x ＋2y ＋y x ＝11＋2t ＋t ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12－12≥212－12＝2－12，当且仅当t ＝2－12，即y x ＝2－12时等号成立. (解法2)设t ＝x y (t>0)，令x x ＋2y ＋y x ＝t t ＋2＋1t ＝f(t)，则f′(t)＝（t －2）2－8t 2（t ＋2）2，易知当t ＝2＋22时，f(t)min ＝2－12.8. 已知x ＞0，y ＞0，若不等式x 3＋y 3≥kxy(x ＋y)恒成立，则实数k 的最大值为________．答案：1解析：由题设知k≤（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）（x ＋y ）xy，∴k ≤x 2－xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x－1恒成立．∵x y ＋yx－1≥2－1＝1，当且仅当x ＝y 时等号成立，从而k≤1，即k 的最大值为1. 9. 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．答案：25解析：由1x ＋1y ＝1，得x ＋y ＝xy ，4x x －1＋9y y －1＝4（x －1）＋4x －1＋9（y －1）＋9y －1＝13＋4x －1＋9y －1＝13＋9x ＋4y －13xy －x －y ＋1＝9x ＋4y ＝(9x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋236＝25，当且仅当x y ＝23时等号成立． 10. 若不等式x 2－2y 2≤cx(y －x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22－4解析：由题意可得c≤x 2－2y 2xy －x 2＝x 2－2y 2x 2xy －x 2x 2＝1－2y2x 2y x－1，令y x ＝t ，则0<t<1，故c ≤1－2t 2t －1＝2t 2－11－t；令u ＝1－t ，则0<u<1，故c ≤2t 2－11－t ＝2（1－u ）2－1u ＝－4＋2u ＋1u ，得－4＋2u ＋1u 的最小值为22－4，故实数c的最大值为22－4.二、解答题11. 设x≥0, y ≥0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解： ∵ x≥0, y≥0, x 2＋y 22＝1，∴ x 1＋y 2＝x 2（1＋y 2）＝2x 2×1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324.当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时， x 1＋y 2取得最大值324. 12. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m 2)．(1) 求S 关于x 的函数解析式； (2) 求S 的最大值．解：(1) 由题设，得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8，450)．(2) 因为8<x<450，所以2x ＋7 200x ≥22x×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立．从而S≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.13. 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0，x ∈N )户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50(a>0)万元．(1) 在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x 的取值范围；(2) 在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a 的最大值．解：(1) 由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100，即x 2－50x≤0，解得0≤x≤50. 因为x>0，所以0<x≤50，x ∈N .(2) 从事蔬菜加工的农民的年总收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x 万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为3(100－x)(1＋2x%)万元，根据题意，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x ≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x ＋x 225恒成立．又x>0，所以a≤100x ＋x 25＋1恒成立，而100x ＋x25＋1≥5(当且仅当x ＝50时取等号)，所以a 的最大值为5.第4课时不等式的综合应用一、填空题1. 已知log 2x ＋log 2y ＝1，则x ＋y 的最小值为________．答案：2 2解析：由log 2x ＋log 2y ＝1得x>0，y>0，xy ＝2，x ＋y≥2xy ＝2 2.2. 若2x ＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]解析：∵ 2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1，∴ 2x ＋y≤14，∴ x ＋y ≤－2.3. 设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是________．答案：5－12解析：由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝1－x 22x .故x 2＋y 2＝x 2＋x 4－2x 2＋14x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2＋1x 2－12≥5－12.4. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x －y －1≤0，x ＋y ＋1≥0，则z ＝yx ＋1的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，z ＝yx ＋1的几何意义为区域内的点与点P(－1，0)的连线的斜率k ，由图象，得－1≤k≤12.5. 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．答案：4解析：P ，Q 两点关于原点O 对称，设P(m ，n)为第一象限内的点，则m ＞0，n ＞0，n ＝2m，所以PQ 2＝4OP2＝4(m 2＋n 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋4m 2≥16，当且仅当m 2＝4m 2，即m ＝2时取等号．故线段PQ 长的最小值是4.6. 若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a ＞1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案：27解析：∵ ab－4a －b ＋1＝0，∴ b ＝4a －1a －1，ab ＝4a ＋b －1.∴ (a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b＋1＝6a ＋4a －1a －1·2＋1＝6a ＋[4（a －1）＋3]×2a －1＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.∵ a＞1，∴a －1＞0.∴ 原式＝6(a －1)＋6a －1＋15≥26×6＋15＝27.当且仅当(a －1)2＝1，即a ＝2时等号成立．∴ (a＋1)(b ＋2)的最小值为27.7. 已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y的最大值为______．答案：43解析：设m ＝4x ＋y ＞0，n ＝x ＋y ＞0，则x ＝m －n 3，y ＝4n －m 3，4x 4x ＋y ＋y x ＋y ＝83－13⎝ ⎛⎭⎪⎫4n m ＋m n ≤83－43＝43.8. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≤b)的值域为[0，＋∞)，则b －a a ＋b ＋c的最大值是________．答案：13解析：由题意可得b 2－4ac ＝0，且b≥a>0，则c a ＝b 24a2.令y ＝b －a a ＋b ＋c ，则y ＝b －a a ＋b ＋c ＝b a －1c a ＋b a ＋1＝b a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋b a ＋1，令t ＝b a ，则t≥1，则y ＝4（t －1）t 2＋4t ＋4，再令t－1＝u ，则y ＝4u u 2＋6u ＋9，当u>0时，y ＝4u ＋9u＋6≤412＝13，当且仅当u ＝3时等号成立，即b －aa ＋b ＋c的最大值是13.9. 已知函数f(x)＝|x|＋|x －2|，则不等式f(x 2＋6)>f(5x)的解集是________．答案：(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)解析：因为当x>2时，f(x)单调递增，当x<0时，f(x)单调递减，且f(x)＝f(2－x)．因此不等式f(x2＋6)>f(5x)等价于2－(x 2＋6)<5x<x 2＋6，解得x>3或x<－4或－1<x<2，即所求不等式的解集为(－∞，－4)∪(－1，2)∪(3，＋∞)．10. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2，x ≤2，log 2x ，x>2，若∃x 0∈R ，使得f(x 0)≤5m－4m 2成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 解析：函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋2，x ≤2，log 2x ，x>2，当x≤2时，f(x)＝(x －1)2＋1≥1；当x>2时，f(x)＝log 2x>1，故函数f(x)的最小值为1，所以5m －4m 2≥1，解得14≤m ≤1.二、解答题11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x)≤18(x ＋2)2成立．(1) 求证：f(2)＝2；(2) 若f(－2)＝0，求f(x)的解析式．(1) 证明：由条件知f(2)＝4a ＋2b ＋c≥2恒成立，又取x ＝2时，f(2)＝4a ＋2b ＋c≤18×(2＋2)2＝2恒成立，∴ f(2)＝2.(2) 解：∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝2，4a －2b ＋c ＝0，∴ 4a ＋c ＝2b ＝1，∴ b ＝12，c ＝1－4a.又f(x)≥x 恒成立，即ax 2＋(b －1)x ＋c≥0恒成立．∴ a>0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12－4a(1－4a)≤0，解得a ＝18，b ＝12，c ＝12，∴ f(x)＝18x 2＋12x ＋12.12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写出定义域．(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－x －2x ＝64－48x ＋1－3x(0≤x≤5)． (2) L(x)＝64－48x ＋1－3x ＝67－⎣⎢⎡⎦⎥⎤48x ＋1＋3（x ＋1）≤67－248x ＋1·3（x ＋1）＝43.当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)，即x ＝3时取等号．故L(x)max ＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元．13. 如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P)，再沿直线PE 裁剪．(1) 当∠EFP＝π4时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．解：(1) 当∠EFP＝π4时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝π4.所以∠FPE＝π2.所以FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．所以四边形MNPE 的面积S ＝PN·MN＝2 m 2.(2) (解法1)设∠EFD＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ. 所以PF ＝2sin （π－2θ）＝2sin 2θ，NP ＝NF －PF ＝3－2sin 2θ，ME ＝3－2tan θ.由⎩⎪⎨⎪⎧3－2sin 2θ＞0，3－2tan θ＞0，0＜θ＜π2，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＞23，tan θ＞23，（*）0＜θ＜π2. 所以四边形MNPE 的面积S ＝12(NP ＋ME)·MN＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2tan θ×2＝6－2tan θ－2sin 2θ＝6－2tan θ－2（sin 2θ＋cos 2θ）2sin θcos θ＝6－⎝⎛⎭⎪⎫tan θ＋3tan θ≤6－2tan θ×3tan θ＝6－2 3. 当且仅当tan θ＝3tan θ，即tan θ＝3，θ＝π3时取等号．此时，(*)式成立．故当∠EFD＝π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23)m 2.(解法2)设BE ＝t m ，3＜t ＜6，则ME ＝6－t.因为∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以PE ＝PF ，即（3－BP ）2＋22＝t －BP.所以BP ＝13－t 22（3－t ），NP ＝3－PF ＝3－PE ＝3－(t －BP)＝3－t ＋13－t22（3－t ）.由⎩⎪⎨⎪⎧3＜t ＜6，13－t22（3－t ）＞0，3－t ＋13－t22（3－t ）＞0，得⎩⎨⎧3＜t ＜6，t ＞13，t 2－12t ＋31＜0.(*)所以四边形MNPE 的面积S ＝12(NP ＋ME)·MN＝12{[3－t ＋13－t 22（3－t ）]＋(6－t)}×2＝3t 2－30t ＋672（3－t ）＝6－[32(t －3)＋2t －3]≤6－2 3. 当且仅当32(t －3)＝2t －3，即t ＝3＋233时取等号．此时，(*)式成立．故当点E 距B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋233m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23)m 2.。

2019版高考数学一轮复习第6章不等式6.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式习题课件文

得a＝12[f－1＋f1]， b＝12[f1－f－1]，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故 5≤f(－2)≤10.
16．已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.当 x∈(－3,2)时，f(x)>0.
14．(2017·江苏模拟)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈ R)的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m， m＋6)，则实数 c 的值为___9_____．
解析解法一：由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b ＝x＋a22＋b－a42. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)， ∴b－a42＝0，即 b＝a42， ∴f(x)＝x＋a22. 又∵f(x)<c，∴x＋a22<c，
A．12 元 B．16 元 C．12 元到 16 元之间 D．10 元到 14 元之间
解析设销售价定为每件 x 元，利润为 y，则 y＝(x－ 8)[100－10(x－10)]，依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，即 x2－28x＋192<0，解得 12<x<16，所以每件销售价应定为 12 元到 16 元之间．故选 C.
所以 a＝－3，b＝5，
所以 f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3x＋122＋18.75，
函数图象关于 x＝－12对称，且抛物线开口向下，在区
间[0,1]上 f(x)为减函数，函数的最大值为 f(0)＝18，最小值
为 f(1)＝12，故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．

2019版高考数学一轮复习训练：基础与考点过关第六章不等式

2 ③ 当 a＜ 0 时，原不等式化为 x－ a (x ＋1) ≤０.
2
2
当 a＞－ 1，即 a＜－ 2 时，解得－ 1≤x≤ a；
2 当 a＝－ 1，即 a＝－ 2 时，解得 x＝－ 1；
2
2
当 a＜－ 1，即 a＞－ 2 时，解得 a≤ x≤－ 1.
综上所述，当 a＝ 0 时，不等式的解集为 {x|x ≤－ 1} ；当 a＞ 0 时，不等式的解集为
1 答案： x|x< － 2或x>1
解析：∵
2x
2－ x － 1>0，∴
(2x
＋ 1)(x
－1)>0 ，∴ x>1
1 或 x<－ .
2
2
3. ( 必修 5P77 练习 3(1) 改编 ) 不等式－ x － 2x＋ 3>0 的解集为 __________ ．
答案： {x| － 3<x<1}
2
解析：原不等式可化为 x ＋ 2x－3<0，得－ 3<x<1. 4. ( 必修 5P80 习题 8(2) 改编 ) 已知不等式 x2－ 2x＋ k 2－ 3>0 对一切实数 x 恒成立，则实数
ax2＋ bx ＋ c ＝
0(a ≠0) ．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜” ，便得到一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c＞
0( 或＜ 0) ．因此，可以通过 y ＝ax2＋ bx＋c(a ≠0) 图象与 x 轴的交点求得一元二次不等式的
解，具体如表所示：
2. 用一个流程图来描述求解一元二次不等式
k 的取值范围是 ________．
答案： k>2 或 k<－ 2
2
解析：由 Δ ＝ 4－ 4(k － 3)<0 ，解得 k>2 或 k<－ 2.

2019版高考数学一轮复习第六章不等式课时训练.doc

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法一、填空题1. 函数f (X )=寸3—2x —X?的定义域为 ________ . 答案：[-3, 1]解析：由 3—2x _x 2^0,解得一3WxWl.Y -4—斤2. 不等式十$0的解集是 ________________ ・X — 1答案：(一8, -5]u(l, +->)x 5解析：rfl NO,得(x + 5) (x — 1) NO 且 x —1H0,解得 xW —5 或 x>l.x — 13. 不等式2X 2-X <4的解集为答案：｛x|-l<x<2｝解析：由题意得X 2—x<2=> —l<x<2,解集为｛x | —l<x<2). 4. _________________________________________________________ 不等式x 2+ax + 4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ________________________答案：(一°°, —4) U (4, + °°)解析：不等式x 2+ax + 4<0的解集不是空集，只需A =a 2—16>0, 4或a> 4. 5. 若不等式mx 2+2mx —4<2X 2+4X 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是 ________ . 答案：(一2, 2]解析：原不等式等价于(m-2)x 2+2(m-2)x-4<0,①当m=2时，对任意x 不等式都成立；②当 m-2<0时,A=4(m-2)2+16(m-2)<0, A -2<m<2.综合①②，得 mF (-2, 2].6. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时，f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 ________ •x<0, . 、解得 x>5 或一5<x<0. —x~ —4x>x, 7. ____________己知函数f (x) =x 2 + mx —1.若对于任意xe[m, m+1]都有f (x) <0成立，则实数m 的取值范围是 .答案：(_乎'o)解析：二次函数f(x)对于任意X e [rn, m+ 1],都有f(x) <0成立，则 f (m) =m 2+m J —KO,f (m+1 ) = (m+1) 2+m (m+1) —l<0,x 、 R x>0,&已知f (x)=『则不等式f (x) <f ⑷的解集为 _________ ・、一x?+3x, x<0,答案:{x|x<4}解析：f(4) =|=2,不等式即为f (x)<2,当x$0时，由欣2,得0Wx 〈4；当x 〈0吋,由一 X 2+3X <2,得 X <1 或 X >2,因此 x<0 •综上,f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}.9. ___________ 在R 上定义运算：x®y=x 仃一y),若3 xeR 使得(x —a)®(x+a)> 1成立，答案：(-5, 0) U (5, +oo)解析：由己知得 f(0) = 0,当 x<0 时，f(x) = —f (―x) = —X 2 —4x,因此 f(x) =x$0,x 2—4x>x^X 2—4x, xNO,2 / "不等式f (x )>x 等价于—x —4x, x<0・解得 <m<0.答案:解析: *.* 3 x 使得(X—a)®(x+a) >1=> (x—a) (1—x—a) >1,即m x 使得x'—x—a?+a 则实数a 的取值范围是・+ 1< 0 成立，・•・ A =l-4(-a 2+a+l)>0^4a-4a-3>0,解得 a>-«Ka<-~x' + x (xMO),10. 已知f(x)=2.…、则不等式f (x 2-x + l)<12的解集是 __________ ・[-x +x (x<0),答M ： {x|-l<x<2}解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3) = 12,从而X 2-X +1<3,即疋一x —2<0, —l<x<2.二、解答题11. 己知 f (x) = — 3x 2+a(6 —a)x + 6. (1) 解关于a 的不等式f(l)>0；(2) 若不等式f(x)>b 的解集为{x|-l<x<3},求实数a, b 的值.解：(1)由题意知 f (1) =—3 + a(6—a)+6=—a' + 6a+3>0,即 a 2—6a —3<0,解得 3-2^/3<&<3 + 2^/3,・・・不等式的解集为{a|3-2V3<a<3+2V3}. ⑵・・・f(x)>b 的解集为{x|—lVx<3},.*•方程一3x'+a(6—a)x + 6 —b = 0 的两根为一1, 3,即a 的值为3+^3或3_羽,b 的值为一3. 12. 已知aWR,解关于x 的不等式ax 2—2 (a+1)x+4>0. 解：原不等式等价于(ax -2) (x-2)>0,以下分情况进行讨论: (1)当 a = 0 时，x<2. o 9(x-2)<0,由-<0<2 知一〈x 〈2・a a o i _a (x —2)>0,考虑一一2 = 2 • 的正负:aa 2 2① 当 0<a<l 时,->2,故 x 〈2 或 x>? 2② 当3=1时，一 =2,故xH2；a 2 2③ 当Q >1时，一〈2,故x 〈一或x>2.a a综上所述，当乳0时，该不等式的解集为|x||<x<2j ；当a = 0时，该不等式的解集为｛x|x<2｝；当 0〈a<l 时,该不等式的解集为p|x<2或x>「；当时，该不等式的解集为｛x|x<二或x>2».I a J a13. 已知不等式 mx 2—2x+m —2<0.(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|<2的一切in 的值都成立，求x 的取值范围.解：(1)对所有实数x,都有不等式mx 2-2x + m-2<0恒成立，即函数f(x)=mx 2-2x + m-2的图象全部在x 轴下方，当m=0吋，一2x —2〈0,显然对任意x 不能恒成立；当m^O m 〈0, l时，由二次函数的图象可知有 4 z — 解得01<1-^2，综上可知m 的取值范〔A =4 — 4m (m-2) <0, v围是(一8, 1—^2).(2)设g(m) = (x 2+l)m —2x —2,它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2+l>0知g(m)HH(-1) a (6 —a)3 ・・・<(-1) V6-b解得a=3±^3, b=-3,在［— 2, 2］上为增函数,则由题意只需g(2)<0即可，即2X2+2-2X-2<0,解得0<x<l,所以X 的取值范围是(0, 1).第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划一、填空题1.若点(m, 1)在不等式2x + 3y-5>0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是答案：(1, +8)解析：由 2m+3 — 5>0,得 m>l.”yW —x + 2,2.不等式组yWx —1, 所表示的平面区域的面积为 _____________________答案：|=29所以 SzsBCD="^X (xc —Xu) X~ = ~答案：7解析：由约束条件作岀可行域，可知当过点(1, 2)时z = 3x + 2y 的最大值为7. 'x + yWl,4. 已知不等式组｛x — y$ — l,所表示的平面区域为D.若直线y = kx —3与平面区域D 、y$o有公共点，则k 的取值范围是 ________ •解析：作出不等式组对应的区域为△BCD, 由题意知XB =1, XC =2・得Y D3.若实数x ，答案：(一8，-3]U[3, +OQ)解析：依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y=kx—3过定点(0, —3),・・・斜率的两个端点值为一3, 3,两斜率之间存在斜率不存在的情况，・・・k的取值范围为( — 8, —3] U [3, + °°).x —y$0,5.________________________________________________________ 若x, y满足约朿条件＜ x + y —2W0,贝ij z = 3x—4y的最小值为_________________________ •.y$0,答案：一13 1 Q解析：目标函数即y =/—孑，其屮z表示斜率为山彳的直线系与可行域有交点时直线的截距值的扌，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点A(1, 1) 处取得最小值z = 3x —4y= —1.y$l,6.已知实数x, y满足＜ yW2x—1,如果目标函数z = x—y的最小值为一1,则实数m .x + yW DL答案：5解析：画出可行域便知，当直线X —y —z = 0通过直线y = 2x —1与x + y=m的交点笛丄，加？[时,函数z = x — y取得最小值，x + y W2,7.________________________________________________ 若变量x, y满足*x—3yW9,则x2+y2的最大值是____________________________________、xN0,答案：10解析：可行域如图所示，x + y=2, |x = 3,设z = x2+y2,联立L°小得由图可知，当圆x2+y2=z ii点(3, -1) 2x—3y=9,时,z 取得最大值,即(x2+y2)max=32+(-l)2=10.x + y^l,&若x, y满足约束条件＜x — yM — l,目标函数z = ax + 2y仅在点(1, 0)处取得最小、2x —yW2,值，则实数a的取值范围是答案：（一4, 2）解析：可行域为△ABC,如图，当a=0时，显然成立.当a>0时，直线ax + 2y —z = 0 的斜率 k =-|>k AC =-l, a<2.当 aVO 时,k = -|<k A B=2, a>-4.综合得一4VaV2.9. __________________________ 某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元, 则该企业每天可获得最大利润为万元.屮原料限额A （吨）32 12B (吨)1 2 8答案：18解析：设每天甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得S目标函数z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示: 可得目标函数在点A 处取到最大值. x + 2y=8,得 A （2, 3）,3x+2y=12,则 z max =3X2 + 4X3 = 18（万元）.x —2y + 530,10. 设m 为实数,若｛（x, y ）卜3-xNO,jnx + y^O.围是4厂3x+2yW12,x + 2y W8, x20,、y$0,匕{(x,y) |x 2+y 2^25},则m 的取值范答案：［0,自解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果一m>0, 在圆内，故一mWO,即m>0.当mx + y=0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置.此 . 4 4 一，4 时 —m =—亍，・°・m=§，・；二、解答题11. 某客运公司用A, B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A, B 两种车辆的载客量分別为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天运送人数不少于900,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解：设A 型、B 型车辆分别为x, y 俩，相应营运成本为z 元，则z=l 600x + 2 400y. 厂 x + yW21,yWx+7,由题意，得x, y 满足约朿条件彳36x + 60y>900,x$0, xWN,在y 轴上的截距亍為最小，即z 取得最小值，故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小.12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，己知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5 千瓦吋，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，[9x+4yW300,4x + 5yW200,则线性约束条件为< 3x+10yW300,目标函数为z = 7x+12y,作出可行域如图, x215,<y>15,则可行域取到x< —5的点，不、y20, yWN.作可行域如图所示,由图可知，当直线z = l 600x + 2 400y 经过可行域的点P 时，直线z=l 600x + 2 400y作出一组平行直线7x + 12y = t,当直线经过直线4x + 5y=200和直线3x + 10y = 300的交点A(20, 24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大,Zmax = 7X20+12X24=428(万元).答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大.X —4y + 3W0,13. 变量 x, y 满足v 3x + 5y —25W0,x^l. 9 ・・・Z 的值是可行域中的点与原点0连线的斜率.观察图形可知如=畑=〒 (2) z = x 2+y 2的儿何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离屮，dmin=|0C|=迈,d,nax = | OB | =y[29,故z 的取值范围是[2, 29]・(3) z = x 2+y 2+6x-4y+13=(x + 3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3, 2)的距离中，dmin=l — ( — 3)=4,dmax =y] ( 3 — 5 ) 2+ (2 — 2) 2 = 8, 故7的取值范围是[16, 64]・第3课时基本不等式一、填空题1. _________________________________________ 己知x>|,则函数y = 4x+長士的最小值为 ________________________________________________ .答案：71 1 1 3 解析：y = 4x+辰二(4x — 5) + 衣二^+532 + 5 = 7.当且仅当 4x —5=4^__,即 x=- 时取等号.3x+5y —25=0, 解得A (l,普) fx = l,ftli 解得 C(l, 1). X —4y + 3 = 0,x —4y + 3 = 0, o , ； or A 解得 B(5, 2). 3x + oy —25 = 0,… y y_o (1/ • Z—— 门， x x —0 由丿解: x = l, 设z=',求Z 的最小值；X 设z = x 2+y 2,求z 的取值范围；设z = x 2+y 2 + 6x —4y+13,求z 的収值范围.(x-|-斤)(V-U9)2.设x>-l,则函数y= ；+i 的最小值为答案：9 (7+4) (7 + 1) 解析：因为x>—L 所以x + l>0.设x+l = z>0,则x = z —1,所以y =Z 2+5Z + 4 , 4 t = ------------ =z +-+ 5 $ 2 z z时，函数y 有最小值9.i o 3.若实数a, b 满足：+匚=肩，则ab 的最小值为答案：2迈) 2 解析：依题意知a>0, b>0,贝 a b号成立.因为品，所以即淑总2寸L 所以ab 的最小值为2迈.4.已知正实数x, y 满足xy+2x + y=4,则x + y 的最小值为 ________________ ・答案：2、伍一3解析：由 xy + 2x + y = 4,解得 y=不〒，则 x + y = x —2+(x + 1) 322& -3,当且仅当x + l= 市，即x=〒一1时等号成立.所以x + y 的最小值为2^6-3.5.已知正实数x, y 满足(x —1) (y+1) =16,则x+y 的最小值为 _________________ .答案：8 [6 解析：由题知X —1=匸门,从而x + y =即y = 3时取等号.所以x + y 的最小值为&6.已知正数x, y 满足x + 2y = 2,则出空的最小值为 xyX V7-若皿y>°，则右+：的最小值为答案：A /2-|当 t = 2+2y[2时，f(t)xin=£_g 8. ________________________________________________________________已知x>0, y>0,若不等式x' + y 3^kxy (x + y)恒成立，则实数k 的最大值为 ____________________答案：14 r+X9,当且仅当z = 即x=l 时取等号，所以当x=l給需’当且仅当詈即b=2a 吋等 (y+1) ^2^/16=8,当且仅当丫+1 答案：9解析:—=^；+^(x + 2y) 4(2+8 + y + x 2 x 1 4仅当丁=4, x + 2y = 2,即y=§, x=§时等号成立.xy；• ；• • 16)昜(10 + 2伍)=*X18=9,当且解析：(解法1)设W (t 〉o ),则為+孑占十汁2t + 22=边-£，当且仅当t=^2 1即'=退二时等号成立. X VV (解法 2)设 r (t 〉0)，F2 2 x = tT2 + t = f(t)，则 f‘ 仕)=；(二2) 2*，易知12 2 + (+产 2解析：由题设知kW (x + y) (x-xy+y )(x + y) xy仝丄+丫_］恒成立.xy y xV-+-—1S：2 —1 = 1,当且仅当x = y时等号成立，从而kWl,即k的最大值为1. y xI 4x Q v9-己知正数X，y满足計厂1，则R+盘的最小值为答案：25亠1」zn . 4x ( 9y 4 (x-1) +4 ( 9 (y-1) +9 . 4 解析：由一+—=1,得x + y = xy, + ---------- = ----------- ----- + ----------- ------ =13+ ------- -x y x— 1 y— 1 x— 1 y — 1 x — 1 +~^~j~=]3+ 9x + 4y 豊=9x+4y= (9x+4yy—1 xy —x —y+1x 9 仅当-=云时等号成立.y 310.若不等式X，—2y，Wcx(y —x)对任意满足x>y>0的实数x, y恒成立，则实数c的最大值为__________ .答案：2^2-44 v 9x 1= 13+=+丁$13 + 2侮= 25,当且x2— 9V2x2解析：由题意可得cW——= -------------xy —x xy —x2 o 2 o 2x —2y 2yx A y ci 丄，1— 2t2「令；=t，则0〈t<l,故CW t_]--1 x _X9X*-2t2-l 2 (1-u) 2-l2t2—1——；令u=l —t,则0<u<l,故cW1 — t 1 — t u的最小值为2迈一4,故实数c的最大值为2^2—4.二、解答题=—4+2u+*,得—4 + 2u+*2 ________________________11.设xMO, y$0, x2+y=l,求x#l +『的最大值.x2+y=l,・•・ xpl + y2=a (1+『)=、2x?乂干解：•・• x20, y20,.1+y2 2. y2. 1r ?x 4~2~=Q —2 最大值半12.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900分的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 ni,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 ni宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图.设矩形温室的室内长为x(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为SO・求S关于x的函数解析式；求S的最大值.x2m,2〒2 3A/2 4 :当且仅当x"」J ,即x=¥，y =，x#l+『収得900 、—-2 =-2x7 200w：(1)由题设，得S=(x-8) 卜916, xe (8, 450).7 200 / 7 200 (2)因为8<x<450,所以2x+—/2xX —^=240,当且仅当x=60时等号成从而SW676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 ml 13.某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元.为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工.据估计，如果能动员x(x>0, xe N)户农氏从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%,从事蔬(1)在动员X 八农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从爭蔬菜种植的农民的年总收入，试求x 的取值范围;(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a 的最大值.解：(1)由题意得 3(100—x) (l+2x%)M3X100, 即 xJOxWO,解得 0 WxW50.因为 x>0,所以 0〈xW50, xEN.入为 3(100-x) (l+2x%)万元，根据题意，得 3|^a-—Jx^3(100-x) (l+2x%)恒成立，即2ax<100 + x+~|f 成立.又x>0,所以命+1恒成立，而有+&5(当且仅当x = 50时取等号)，所以a 的最大值为5. 第4课时不等式的综合应用一、填空题1. 已知log2x + log 2y = L 则x+y 的最小值为 __________ ・答案：2^2解析：由 log 2x+log 2y= 1 得 x 〉0, y>0, xy = 2, x + y$2寸云=2寸L2. 若2x + 2y =l,则x + y 的取值范围是 ___________ ・答案：(一°°, —2]解析：J 2'+2—2書石，且2'+2'=1,・・・・・・x + yW —2.3. 设实数x, y 满足x 2+2xy-l=0,则x 2+y 2的最小值是 _______________ ・答案.口 • 2解析：由 x? + 2xy —1=0,得『=丄=■•故 x 2 + y 2 = x 2+-―=^5x 2+^—审一12・X —2y + l>0, 4.已知实数x, y 满足卜y —1W0,贝ij 的取值范围是x + y+1^0,答案：一1，| 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，的几何意义为区域内的点与x 万元，从事蔬菜种植的农民的年总收菜加工的农民每户年均收入为3卜一守 @>0)万元.3x (2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3(a 5()点P(—1, 0)的连线的斜率k,由图象，得一25. 在平面直角坐标系xOy 屮，过坐标原点的一条直线与函数f(x)=-的图象交于P, Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ________ .答案：4解析：P, Q 两点关于原点0对称，设P(m, n)为第一象限内的点，则m>0, n>0, n = 半，所以PQ 2=40P 2=4(m 2+n 2) =4(in'+洛216,当且仅当即时取等号.故线段PQ 长的最小值是4.6. 若实数 a, b 满足 ab —4a —b+l=0(a>l),则(a+1) (b+2)的最小值为 __________________ . 答案：274l,・・・ a-l>0. A 原式=6Q —1)+^"+1522p6X6+15 = 27.当且仅当(a —1严=1,即a=2时等号成立.・・・(a+1) (b + 2)的最小值为27.4x v7. ___________________________________________ 已知x, y 为正实数，则辰匚;+〒的最大值为 ____________________________________________ ・4答案：§"十、门 . . , m —n4n —m 4x t y 8 lrln . m解析：设 m=4x+y>0, n = x + y>0,则 x=—p, y=— ' 1 8 4 4&若二次函数f (x) =ax' + bx + c(aWb)的值域为[0, 答案：§c b 2解析：由题意可得b 2-4ac = 0,且b^a>0,贝叮=肓・+ b + 2 = 6a + 2b +1 = 6a + 4a-l a —1• 2+l=6a + [4 (a-l) +3]X2 a —1 +1 =6a+8 + 6 a —1 ，4x + y + x + y = 3_3lV +n+ 8)，则占M 的最大值是b —a 卩a+b + c‘bu— 1 ni b —aa则y =a+b + c ca a令则t>l,则y=4 (t-1) t2+4t+4 再令t —l=u,4uu"+6u+9‘当u>0时,4y= ~9- u+一+6 u4 1当且仅当u=3时等号成立, 的最大值是29.己知函数f(x) = |x| + |x—2|,则不等式f(x2+6)>f(5x)的解集是答案：(一8, -4) U (-1, 2) U (3, +8)解析：因为当x>2时,f(x)单调递增,当x<0时，f(x)单调递减，且f(x)=f(2 —x).因此不等式 f (X 2+6) >f (5x)等价于 2— (X 2+6) <5X <X 2+6,解得 x>3 或 x<—4 或—l<x<2,即所求不等式的解集为(一8, —4)U ( —1, 2)U (3, +oo).X 2—2X + 2, X W210. 已知函数f(x)= 若m xoGR,使得f (xo) ^5m —4m 2成立，则实 log2X, x>2,数m 的取值范围是________ .答案：£ 1x?—2x + 2, xW2,n ' 7 '当 xW2 时，f(x) = (x-l)2+l^l ；当 x>2 时， log2X, x>2, f (x) =log 2x>l,故函数f (x)的最小值为1,所以5m-4m 空1,解得二、解答题11. 已知二次函数f (x) =ax 2+bx+c(a, b, cWR)满足：对任意实数x,都有f(x)2x, 且当 xW (l, 3)时,有 f(x)W*(x+2)2成立.(1)求证：f ⑵=2； (2)若f(—2)=0,求f(x)的解析式.(1)证明：由条件知f(2)=4a+2b + cM2恒成立，又取x = 2时，珥2)= 4a+2b + cW* X (2+2)2=2 恒成立，・•・ f(2)=2.[4a+2b + c = 2，(2)解：T ••• 4a + c=2b=l,[4a —2b + c = 0, .•・ b=], c = l —4a.又 f (x) Mx 恒成立，即 ax'+(b —l)x + c20 恒成立.・：a>0, △—4a (1—4a) WO,解得 a=~, b=~, c=~, .I f (x) =-x 2+~x+-12. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量、v (单位：百千克)与肥料费用x(单位: 百元)满足如下关系：、v=4—丁p 且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(B|J 16百元/ 百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元).(1) 求利润L(x)的函数解析式，并写岀定义域.(2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x) =16(4— ^Y ) — X — 2X = 64—^—3x(00x05).(2) L(x) =64—-r-3x = 67- —7+3 (x+1) x-Fl [_x 十 148当且仅当j 肓=3(x+l),即x = 3时取等号.故L(x)Bax =43. 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300 元. 13. 如图，某机械厂要将长6 m,宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.己知点F 为AD 的中点,点E 在边BC 上,裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C, D 分别落在直线BC 下方点M, N 处，F7交边BC 于点P),再沿直线PE 裁剪.(1) 当ZEFP=屮寸，试判断四边形M,PE 的形状，并求其面积；{ W67 —2、(X +1)=43.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面枳最大，请给出裁剪方案，并说明理由.解：（1）当ZEFP=十时，由条件得ZEFP= ZEFD= ZFEP=y.所以ZFPE=y.所以FN 丄BC,四边形MNPE 为矩形.所以I 川边形MNPE 的面积S = PN ・MN=2 （2）（解法 1）设ZEFD=（）（0<（）<勻，由条件，知ZEFP=ZEFD=ZFEP =（）・2 2 2 2 所以 PF=・丫打=・ ° NP = NF_PF = 3_ ・…，ME = 3-;——-sin （兀—2 0 ） sin 2 8 sin 2 8 tan H r 2 3- , 9 n >0,sin 2（）兀0< 0所以四边形 MNPE 的而积 S=|(NP+ME)・ MN=*{［3_t+㊁:二厂］+ (6 — t)} X2 = 3t 2-30t + 67 r 3z 、. 2 .一厂2 (3-t) =6-E 2(t_3) +戸］导一2书.当且仅当扣一3)=三，即t = 3+翠时収等号.此时，(*)式成立.故当点E 距B时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6—2电)1『. 13 —t? 2 （3-t ）>0, {3<t<6, t>V13,（*） /）所以四边形MNPE 的而积S=|（NP+ME ）・MN=*（3 —2 2 2 -------- — ----------- =6 — ----------- tan （） sin 2 0 tan （）2A /tan （）X —J \ tan 0 2 （sin 2 0 +cos 2。

2019版高中数学(文)课时作业：第六章不等式、推理与证明 32 Word版含答案

证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.
又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，
∴(a－c)2>(b－d)2>0，
∴0< < .
又∵e<0，∴ > .
[能力挑战]
11．(2018·江西七校联考)若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()
A．a2>b2B．( )a<( )b
C．lg(a－b)>0 D. >1
答案：≥
7．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－ >0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是________．
解析：∵ －＝ >0，
∴bc－ad与ab同号，
∴用任意两个作为条件，另一个作为结论都是正确的．
答案：3
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：当a<b时， < <0不一定成立；当 < <0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件，选B.
答案：B
3．(2018·厦门一模)对于0<a<1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)<loga(1＋ )；②loga(1＋a)>loga(1＋ )；③a1＋a<a ；④a1＋a>a
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.
答案：B
二、填空题
6．已知p＝a＋，q＝( ) ，其中a>2，x∈R，则p________q.
解析：p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．∵x2－2≥－2，∴q＝( ) ≤( )－2＝4，当且仅当x＝0时取等号．∴p≥q.

2019届高三人教A版数学一轮复习练习：第六章不等式、推理与证明第2节

第六章第2节[基础训练组]1．(导学号14577509)不等式≤x －2的解集是( )4x －2A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：B [原不等式可化为≤0.－x 2＋4xx －2即Error!由标根法知，0≤x <2，或x ≥4.]2．(导学号14577510)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3，或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：B [由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)．]3．(导学号14577511)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，Error!故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．]4．(导学号14577512)若不等式组Error!的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)C．[－4,20] D．[－40,20)解析：B　[设f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，根据已知可转化为存在x0∈[－1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[－1,3]上为增函数，故只需f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.] 5．(导学号14577513)已知不等式|a－2x|>x－1，对任意x∈[0,2]恒成立，则a的取值范围为( )A．(－∞，1)∪(5，＋∞) B．(－∞，2)∪(5，＋∞)C．(1,5) D．(2,5)解析：B　[当0≤x<1时，不等式|a－2x|>x－1对a∈R恒成立；当1≤x≤2时，不等式|a－2x|>x－1，即a－2x<1－x或a－2x>x－1，x>a－1或3x<1＋a，由题意得1>a－1或6<1＋a，a<2或a>5；综上所述，则a的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．] 6．(导学号14577514)已知f(x)＝Error!则不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤3的解集是　________　.解析：∵f(x－1)＝Error!∴x＋(x＋1)f(x－1)≤3等价于Error!或Error!，解得－3≤x<1或x≥1，即x≥－3.答案：{x|x≥－3}7．(导学号14577515)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为　________　.解析：∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.∴a的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]8．(导学号14577516)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围为　________　.解析：函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，所以m<5，即m的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．(导学号14577517)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为(x ＋1)≥0⇒x ≥或x ≤－1.(x －2a )2a ③当a <0时，原不等式化为(x ＋1)≤0.(x －2a )当>－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤；2a 2a 当＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1；2a 当<－1，即a >－2，原不等式等价于≤x ≤－1.2a 2a 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为；[－1，2a ]当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2<a <0时，原不等式的解集为；[2a ，－1]当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪.[2a ，＋∞)10．(导学号14577518)已知函数f (x )＝的定义域为R .ax 2＋2ax ＋1(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0.22解：(1)∵函数f (x )＝的定义域为R ，ax 2＋2ax ＋1∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有Error!解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝＝，ax 2＋2ax ＋1a (x ＋1)2＋1－a ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝，1－a 由题意得，＝，∴a ＝，1－a 2212∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －＜0.解得－＜x ＜，341232所以不等式的解集为.(－12，32)[能力提升组]11．(导学号14577519)对一切正整数n ，不等式＞恒成立，则实数x 的取值2x －1xnn ＋1范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：D [由条件知只需＞max ，而＝＜1.∵≥1，解得2x －1x(n n ＋1)n n ＋111＋1n 2x －1xx ∈(－∞，0)∪[1，＋∞)．]12．(导学号14577520)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0，或x >3}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2，或x >1}解析：A [由题意知a <0且－1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴Error!，∴Error!∴不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，即为a (x 2＋1)－a (x －1)－2a >2ax ，∴x 2－3x <0，∴0<x <3.]13．(导学号14577521)设奇函数f (x )在[－1,1]上是单调函数，且f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是　__________　.解析：∵f (x )为奇函数，f (－1)＝－1，∴f (1)＝－f (－1)＝1.又∵f (x )在[－1,1]上是单调函数，∴－1≤f (x )≤1，∴当a ∈[－1,1]时，t 2－2at ＋1≥1恒成立，即t 2－2at ≥0恒成立．令g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，∴Error!解得t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：(－∞，－2]∪∪[2，＋∞){0}14．(导学号14577522)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100元．(5x ＋1－3x )(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意，200≥3 000，(5x ＋1－3x )整理得5x －14－≥0，3x 即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝·100900x (5x ＋1－3x )＝9×104(5＋1x －3x 2)＝9×104，[－3(1x －16)2＋6112]故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

全国通用近年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时作业三十六6.2二元一次不等式(组)与简单

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课时分层作业三十六二元一次不等式（组)与简单的线性规划问题一、选择题（每小题5分,共35分）1。

下列各点中,与点（2，2)位于直线x+y-1=0的同一侧的是（）A。

（0，0) B.（—1，1)C。

(—1,3） D.（2,-3）【解析】选C.点（2，2)使x+y-1>0,点(-1,3）使x+y—1>0，所以此两点位于x+y—1=0的同一侧。

2.若函数y=log2x的图象上存在点（x，y），满足约束条件则实数m的最大值为（）A.B。

1 C.D。

2【解析】选B。

如图，作出不等式组表示的可行域,当函数y=log2x的图象过点(2,1）时,实数m 有最大值1。

3。

(2018·铁岭模拟)已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（)A.1 B。

2 C.3 D.4【解析】选B.作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0),（—1,—2)，验证知当直线z=2x+y过点A(1，0）时，z最大是2.【变式备选】（2018·石家庄模拟）已知x，y满足约束条件则下列目标函数中,在点(4，1）处取得最大值的是（)A.z=x—y B。

2019届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第1节不等关系与不等式练习新人教A版

第六章第1节不等关系与不等式 I 提考能课时冲关打造能力各个击礦[基础训练组]1.（导学号14577495）设 a , b € R 贝厂’a > 1 且 b > 1” 是“ ab > 1” 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：A [a > 1 且 b > 1? ab > 1 ；但 ab > 1,贝U a > 1 且 b > 1 不一定成立，如 a = — 2, b =- 2 时，ab = 4> 1.故选 A.]2.（导学号14577496）（2018 •临汾市质检）下列命题中，正确的是（）A. 若 a >b , c >d,则 ac >bdB. 若 ac >bc ,则 a >ba bC. 若 pv -?,贝U a <bc cD. 若 a >b ,少d,则 a — c >b — d解析：C [取 a = 2, b = 1, c =— 1, d =— 2，可知 A 错误；当 c <0时，ac >bc ? a 0,「. a 2, x € R,贝U p , q 的大小关系是（）A. p >qC. p <q—2>— 2,所以q = — 2<号—2= 4,当且仅当x = 0时取等号.所以p >q .]一一 1 1 … …4.（导学号14577498）已知-<-<0,给出下面四个不等式：①| a |>| b | •，②a b 3.其中不正确的不等式的个数是（）B. p >q D. p w q解析：A [p = a +1 a — 21a — 2+ 2> 2+ 2= 4，当且仅当 a = 3时取等号.因为A. 0B. 1C. 21 1解析：C [由-< <0可得b<a<0，从而| a|<| b|，①不正确；a>b,②不正确；a + b<0, a bab>0,则a+ b<ab成立，③正确；a3>b3，④正确.故不正确的不等式的个数为 2.]5. （导学号14577499）若0, n>0且n v 0，则下列不等式中成立的是（）A.—n v m v n v—mB.—n v m v- m v nC. m v —n v- m v nD. m v —n v n v- m解析：D [法一：（取特殊值法）令m=—3, n= 2分别代入各选项检验即可.法二：m n n v 0? m v —n? n v —n,又由于m v 0v n,故m v —n v n v —m成立.]6. （导学号14577500）设x, y € R,则“ x>2 且y >2” 是“ x2+ y2>4” 的__________ 条件.解析：■/ x>2 且y >2,「. x2+ y2>4,「." x>2 且y>2” 是"x2+ y2>4” 的充分条件；而x + y >4不一定得出x>2且y>2,例如当x<—2且y< —2时，x + y >4亦成立，故“x>2且y>2”不是"x + y >4”的必要条件.•••“ x>2且y >2”是“ x2+ y2>4”的充分不必要条件.答案：充分不必要7. （导学号14577501）（2018 •邯郸市质检）对于实数a, b, c有下列命题：①若a>b,贝U ac<bc；②若ac2>bc2，贝U a>b；③若a<b<0,贝U a2>ab>b2；④若c>a>b>0,^y—c —a c —b1 1⑤若a>b, 一>，则a>0, b<0.a b其中是真命题的是 ___________ (写出所有真命题的序号).2 2 2 解析：若c>0,则①不成立；由ac >bc ,知c 丰0,则a>b,②成立；由a<b<0,知a >ab,a bab>b，即a >ab>b，③成立；由c>a>b>0,得0<c—a<c—b,故> ，④成立；若a>b,c —a c —b1 1 b—a孑—b=K>°，则ab<0,故a>0, b<0,⑤成立.故所有的真命题为②③④⑤•答案：②③④⑤8. (导学号14577502)已知f(n) =4n2+ 1 —n, g(n) = n —寸n2—1, $ ( n)=丄(n€ N, n n>2)，则f (n), g( n) , $ ( n)的大小关系是__________ .解析：f(n) = V n2+ 1 —n= —<2n= $ ( n),寸n + 1+ n 2n口— 1 1g( n) = n—n—1 = ------- 2 >2；= $ ( n),n + 7 n —1 2n• f(n)< $ (n)<g( n).答案：f (n)< $ (n)<g( n)D. 32〉2”9.(导学号 14577503)若 a > b >0, c v d v 0, e v 0.求证:证明：T c v d v 0,「.一 c >— d >0. 又••• a > b >0,.•• a — c >b — d >0.2 2•°. (a — c ) > (b — d ) > 0.10. （导学号14577504）某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.解：设该单位职工有n 人（n € N ）,全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，小 3 1 3 4贝U y 1 = x + 4X •( n — 1) = 4X +4xn , y 2 = g nx . 13411 y 1—y 2=4x + 4xn —5nx = 4x — 20nx 11.（导学号14577505）已知x >y >z , x + y + z = 0，则下列不等式中成立的是（）A. xy >yzB. xz >yzC. xy >xzD. x | y |> z | y |解析：C [因为 x >y >z , x + y + z = 0，所以 3x >x + y + z = 0,3 z <x + y + z = 0，所以 x >0,x>0z <0.所以由可得xy >xz .]i y >za12.（导学号14577506）若6<a <10, 2匕b<2a , c = a + b ,那么c 的取值范围是（）B. (15,30) b -d••• 0v12Va — c1b — d2. 又•/ e v 0,e2>a — ceb — d2. 当 n >5 时，yy y 2 ；当 n v 5 时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为人时，乙车队更优惠.5人时，两车队收费相同；多于［能力提升组］5人时，甲车队更优惠；少于 5 A.[9,18] C.所以当 n = 5 时，y 1= y 2 ；D. (9,30)2〉2”a 3a解析：D [ T 空三 bw2 a ,「. ~2 w a + bw3 a ,3a即—w c w3 a .•••6<a <10,.・. 9<c <30.故选 D.]13. (导学号14577507)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %第二次提价q %方案乙：每次都提价P -^q %.若p >q >0,则提价多的方案是 __________________解析：设原价为a,方案甲提价后为 a (1 + p %)(1 + q %),方案乙提价后为> (1+ 氐 1 +) 2= (1 + p %)(1 + q %),又T p >q >0,「.等号不成立，则提价多的为方案乙. 答案：乙a14. (导学号 14577508)已知 12v a < 60,15 v b < 36,求 a — b ,二的取值范围.解：•/ 15< b < 36,「.一 36<— b <— 15. 又 12< a < 60,12 — 36< a — b < 60 — 15, •••— 24< a — b <45,即a — b 的取值范围是（—24,45）. 1 1 1■/ —< -< ——, 36 b 15'12 a 60 1 a•••二< < 77，•匚< < 4, 36 b 15 3 b '即b的取值范围是14.。

2019年高考数学(文)一轮复习第六章不等式、推理与证明及答案

第六章⎪⎪⎪不等式、推与证明第一节不等关系与不等式1．两个实比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒3a________3b．答案：(1)＞(2)＜(3)＞2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是__________．答案：v≤40 km/h3．若0<a<b，c>0，则b＋ca＋c与a＋cb＋c的大小关系为________．答案：b＋ca＋c>a＋cb＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c．2．在乘法法则中，要特别注意“乘c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．1．设a，b，c∈R，且a>b，则( )A．ac>bc B．1a <1 bC．a2>b2D．a3>b3答案：D2．若ab>0，且a>b，则1a与1b的大小关系是________．答案：1a <1 b考点一比较两个式的大小基础送分型考点——自主练透1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B 2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5．当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q 3－－q 5q 4－q＝－q －1q4＜0，所以S3a3＜S5 a5．综上可知S3a3＜S5a5．答案：S3a3＜S5a5比较两实(式)大小的2种常用方法考点二不等式的性质重点保分型考点——师生共研1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A (a－b)·a2＜0，则必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b时，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件．2．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A ．a d ＞b cB ．a d ＜b cC ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以1－d ＞1－c ＞0．又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c，所以a d ＜b c ．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒ccd ＜dcd＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd＝－1，排除选项C 、D ；又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．1．(2016·河南六市第一次联考)若1a＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A．a2＜b2B．ab＜b2C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b|解析：选 D ∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，∴选项A、B、C均正确，∵b＜a＜0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D项错误，故选D．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④若a＞b，则1a＞1b．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B ①由ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当0＞c＞d时，不等式不成立．④错误，令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B．考点三不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研已知函f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10．即f (－2)的取值范围为．利用不等式性质可以求某些代式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ． B ．(15,30) C ．D ．(9,30)解析：选D ∵a2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2．由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18．答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．设a ，b ∈1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1．答案：1．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0．解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．解一元二次不等式的4个步骤考点二含参的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1＜x ＜1a ．当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1a ＜x ＜1．解含参的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转为一次不等式或二次项系为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．当不等式中二次项的系含有参时，不要忘记讨论其等于0的情况．1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集．解：原不等式可为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3．当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞．考点三一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明一元二次不等式与其对应的函与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围；(2)形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围；(3)形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围．角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实m 对所有的实x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝4－4m －m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈)确定参范围2．已知函f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈时，f (x )为增函，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参m ∈)确定x 的范围3．对任意m ∈，函f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈，函f (x )的值恒大于零．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 (1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实x 恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0； (2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参交换位置，构造以参为变量的函，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转为一次函f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m f n ，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m ，f n1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4．答案：2．设函f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．C ．解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94． 3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，则实a 的取值范围为( )A ．B ．(－∞，－2]∪∪解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2．答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) 解析：选 A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1．3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实)，1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，所以－1＜k＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x元，利润为y，则y＝(x－8)，依题意有，(x－8)＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是的子集，则a的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为，此时只要a≤3即可，即1<a≤3．综上可得－4≤a≤3．6．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实a的取值范围是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16．∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实x 恒成立，则实a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6．(1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ．(1)若a ＝2，试求函y ＝f x x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2．所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2．(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围；(2)若函f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a＜0．解：(1)∵函f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是()答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A 时，目标函取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值．1．若用阴影表示不等示组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图．要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整的点，则整a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二求目标函的最值题点多变型考点——多角探明线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函的最值； (2)求非线性目标函的最值； (3)线性规划中的参问题．角度一：求线性目标函的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函的最值2．(2016·江苏高考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25．所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5．答案：51．求目标函的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函，即可求出最值．2．常见的3类目标函 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a．注意转的等价性及几何意义．1．(2017·海口调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125 B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x －y－4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y 取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________．解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．答案：216 0001．解线性规划应用题3步骤(1)转——设元，写出约束条件和目标函，从而将实际问题转为线性规划问题；(2)求解——解这个纯学的线性规划问题；(3)作答——将学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整、是否是非负等．(3)正确地写出目标函，一般地，目标函是等式的形式．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选D由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞5．(2017·昆明七校调研)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤4，x ＋y ≥0.则z ＝x ＋3y 的最小值为________．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x ＋3y ＝0，如图，平移直线y ＝－x3，当直线经过点(4，－4)时，在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝x ＋3y 取得最小值4＋3×(－4)＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52．2．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)．所以|AB |＝|CD |＝＋12＋－2－2＝32．故选C ．4．(2017·湖南东部六校联考)实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a ＜1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A ．211B ．14C ．12D ．112解析：选B 如图所示，平移直线2x ＋y ＝0，可知在点A (a ，a )处z 取最小值，即z min ＝3a ，在点B (1,1)处z 取最大值，即z max ＝3，所以12a ＝3，即a ＝14．5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 B．30,20C．20,30 D．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3y－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0.画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≥0，x＋y≥a，x≤2.表示的区域为一个三角形，则实a的取值范围为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ≤2表示的区域如图所示．易求得A (2,5)．画出直线l ：x ＋y ＝a ．由题意及图可得a ＜7．答案：(－∞，7)7．(2017·河南六市联考)已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函z ＝x －y 的最小值为－1，则实m ＝________．解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.又A (2,3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m＝5．答案：58．(2017·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．答案：9．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D 的不等式组．(2)设点B (－1，－6)，C (－3,2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0．原点(0,0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有＜0，即(14－a )(－18－a )＜0，解得－18＜a ＜14．故a 的取值范围是(－18,14)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1．所以z 的最大值为1，最小值为－2．(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2．故所求a 的取值范围为(－4,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·通一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．解析：∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a >0，作出可行域如图所示，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．答案：12．(2016·天津高考)某肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨如下表所示：现有A种原料种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮．(1)用x，y列出满足生产条件的学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． (2)设利润为z 万元，则目标函为z ＝2x ＋3y ．考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z3，它的图象是斜率为－23，随z 变的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112．答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．第四节基本不等式1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均与几何平均设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均为a ＋b2，几何平均为ab ，基本不等式可叙述为：两个正的算术平均不小于它们的几何平均．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(教材习题改编)设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值。

2019届高考数学一轮复习第6单元不等式、推理与证明作业理

第六单元不等式、推理与证明课时作业(三十三)第33讲不等关系与不等式基础热身1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有()A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N2.[2017·襄阳五中模拟]设a,b∈R,则“a>b”是“|a|>|b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是()A.<bB.a2>b2C.>D.a|c|>b|c|4.已知-1≤a≤3,-5<b<3,则a+|b|的取值范围是.5.有外表相同,重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>c+b,a+c<b,则a,b,c,d由大到小的排列顺序为.能力提升6.已知下列四个关系:①若a>b,则ac2>bc2;②若a>b,则<;③若a>b>0,c>d>0,则>;④若a>b>1,c<0,则a cb,则下列各式一定正确的是()A.a lg x>b lg xB.ax2>bx2C.a2>b2D.a·2x>b·2x8.[2017·广西玉林质检]已知a=log23,b=,c=log53,则()A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<aD.b<a<c9.[2017·南阳一中月考]设a>b>0,x=-,y=-,则x,y的大小关系为()A.x>yB.x<yC.x=yD.x,y的大小关系不定10.若a<b,d<c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则a,b,c,d的大小关系是()A.d<a<c<bB.a<c<b<dC.a<d<b<cD.a<d<c<b11.[2017·北京东城区二模]据统计,某超市两种蔬菜A,B连续n天的价格(单位:元)分别为a1,a2,a3,…,a n和b1,b2,b3,…,b n.令M={m|a m”“<”或“=”).13.[2017·咸阳模拟]已知函数f=ax+b,0<f<2,-1<f<1,则2a-b的取值范围是.14.[2018·河南天一大联考]已知实数a∈(-3,1),b∈,,则的取值范围是.难点突破15.(5分)[2017·杭州质检]若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y-5≤ax+by+c≤3x+4y+5,则()A.a+b-c的最小值为2B.a-b+c的最小值为-4C.a+b-c的最大值为4D.a-b+c的最大值为616.(5分)[2017·盐城一模]已知-1≤a+b≤3,2≤a-b≤4,若2a+3b的最大值为m,最小值为n,则m+n= .课时作业(三十四)第34讲一元二次不等式及其解法基础热身1.不等式-x2+3x+10>0的解集为 ()A.(-2,5)B.(-∞,-2)∪(5,+∞)C.(-5,2)D.(-∞,-5)∪(2,+∞)2.[2017·上饶四校联考]设x∈R,则“0<x<2”是“x2-x-2<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.[2017·淮北一中四模]若(x-1)(x-2)<2,则(x+1)(x-3)的取值范围是()A.(0,3)B.C.D.4.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是.5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m= .能力提升6.如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<3},那么b a等于()A.-81B.81C.-64D.647.若存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1]B.(-∞,-8]C.[1,+∞)D.[-8,+∞)8.[2017·岳阳质检]设函数f(x)=若不等式xf(x-1)≥a的解集为[3,+∞),则实数a的值为()A.-3B.3C.-1D.19.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()A.a<-2B.a>-2C.a>-6D.a<-610.[2017·银川二中一模]已知a1>a2>a3>0,则使得(1-a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x的取值范围是()A.B.C.D.11.某省每年损失耕地20万亩,每亩耕地价值24 000元,为了减少耕地损失,决定按耕地价格的t%征收耕地占用税,这样每年的耕地损失可减少t万亩,为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元,则t的取值范围是()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1,若关于x的不等式f[f(x)]<0的解集为空集,则实数a的取值范围是.13.设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,则x的取值范围是.14.[2017·惠州二调]已知函数f(x)=则不等式f[f(x)]≤3的解集为.难点突破15.(5分)[2017·苏北三市(连云港、徐州、宿迁)三模]已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范围是 ()A.B.C.D.16.(5分)[2017·湖州、衢州、丽水三市联考]已知函数f=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若存在实数a∈[1,2],对任意x∈[1,2],都有f≤1,则7b+5c的最大值是.课时作业(三十五)第35讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础热身1.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域为()图K35-12.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围为()A.(-24,7)B.(-∞,-7)∪(24,+∞)C.(-7,24)D.(-∞,-24)∪(7,+∞)3.[2017·阜阳质检]不等式|x|+|3y|-6≤0所对应的平面区域的面积为()A.12B.24C.36D.484.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的形状是.5.[2017·桂林、崇左、百色一模]设x,y满足约束条件则x2+y2的最大值为.能力提升6.已知实数x,y满足约束条件则目标函数z=x-2y的最小值为()A.-1B.1C.3D.77.[2017·南充三诊]若实数x,y满足不等式组则z=2x+y的最大值是()A. B.C.14D.218.设x,y满足约束条件则的最大值为()A. B.2C. D.09.[2017·惠州二模]设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.10.[2017·宁德质检]已知约束条件表示的平面区域为D,若存在点P(x,y)∈D,使x2+y2≥m成立,则实数m的最大值为()A.B.1C.D.11.[2017·大庆实验中学一模]已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则·的取值范围是.12.[2017·淮南二模]已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解(1,3),则实数m的取值范围是.13.(15分)[2017·天津河东区二模]制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,还要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划的投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问:投资人对甲、乙两个项目分别投资多少万元,才能使可能的盈利最大?最大盈利额是多少?14.(15分)某人有一套房子,室内面积共计180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费50元.装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天才能获得最大的房租收益?难点突破15.(5分)[2017·衡阳二联]集合M={(x,y)|x+y≤1,y≤x,y≥-1},N={(x,y)|(x-2)2+y2=r2,r>0},若M∩N≠⌀,则r的取值范围为()A. B.C.D.16.(5分)[2017·九江模拟]已知实数x,y满足若z=mx+y的最大值为 3,则实数m的值是()A.-2B.3C.8D.2课时作业(三十六)第36讲基本不等式基础热身1.[2017·北京海淀区一模]若m<n<0,则下列不等式中正确的是()A.>B.>C.+>2D.m+n>mn2.[2017·青岛质检]已知x>1,y>1,且lg x,2,lg y成等差数列,则x+y有()A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2003.[2017·赤峰模拟]若函数f=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a=()A.1+B.1+C.3D.44.[2017·天津河东区二模]已知a>0,b>0,且2a+b=4,则的最小值是.5.[2017·成都九校联考]设正数a,b满足a+2b=1,则+的最小值为.能力提升6.[2017·郑州三模]若实数a,b,c均大于0,且(a+c)·(a+b)= 6-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2-27.[2017·雅安三诊]对一切实数x,不等式x2+a+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.8.[2017·乌鲁木齐三模]已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2-xy的最小值是()A.35B.105C.140D.2109.[2017·泉州模拟]已知2a+2b=2c,则a+b-2c的最大值为()A.-2B.-1C. D.-10.[2017·深圳调研]若函数f=x+(m为大于0的常数)在(1,+∞)上的最小值为3,则实数m的值为.11.用一根长为12的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架,则该三棱柱的侧面积的最大值是.12.[2017·日照三模]已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为.13.(15分)[2017·盐城三模]已知a,b,c为正实数,且a+b+c=3,证明: ++≥3.14.(15分)[2017·黄冈中学模拟]某公司生产一批A产品需要原材料500吨,每吨原材料可创造利润12万元.该公司通过设备升级,生产这批A产品所需原材料减少了x(x>0)吨,且每吨原材料创造的利润提高了0.5x%.若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的B产品,每吨原材料创造的利润为12a-x万元,其中a>0.(1)若设备升级后生产这批A产品的利润不低于原来生产这批A产品的利润,求x的取值范围;(2)若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批A产品的利润,求a的最大值.难点突破15.(5分)[2017·河南豫南六市联考]已知函数f=ax2+bx+c(b>a),对任意的x∈R,f≥0恒成立,则的最小值为()A.3B.2C.1D.016.(5分)[2017·湛江二模]已知a>b,二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立,又存在x0∈R,a+2x0+b=0,则的最小值为.课时作业(三十七)第37讲合情推理与演绎推理基础热身1.[2017·鹰潭一模]用“三段论”推理:任何实数的绝对值大于0,因为a是实数,所以a的绝对值大于0.你认为这个推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的2.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体()A.各正三角形内的点B.各正三角形的中心C.各正三角形某高线上的点D.各正三角形各边的中点3.观察图K37-1中各正方形图案,则所有圆点总和S n与n的关系式为()图K37-1A.S n=2n2-2nB.S n=2n2C.S n=4n2-3nD.S n=2n2+2n4.[2017·兰州模拟]观察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,….由以上式子可推测出一个一般性结论:对于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1= .5.[2017·烟台二模]在正项等差数列中有=成立,则在正项等比数列中,类似的结论为.能力提升6.[2017·郑州一中调研]“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.2016年是“干支纪年法”中的丙申年,那么2017年是“干支纪年法”中的()A.丁酉年B.戊未年C.乙未年D.丁未年7.下面说法正确的是()①数列{a n}的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式为a n=n;②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理;③在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适;④“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.A.①②B.②③C.③④D.②④8.[2017·临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学联考]已知[x]表示不大于x的最大整数,设函数f(x)=log2,得到下列结论:结论1:当2<x<3时,f=-1.结论2:当4<x<5时,f=1.结论3:当6<x<7时,f=3.……照此规律,结论6为.9.如图K37-2甲所示,在直角三角形ABC中,AC⊥AB,AD⊥BC,D是垂足,则有AB2=BD·BC,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O为垂足,且O在△BCD内,类比直角三角形中的射影定理,则有.图K37-2难点突破10.(5分)[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f'(0)(x),f(2)(x)=f'(1)(x),…,f(n)(x)=f'(n-1)(x),则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2017)(15°)的值是()A.B.C.0D.111.(5分)[2017·江南十校二模]某地突发地震后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队分别从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的.(1)甲轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向.有下列判断:①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.课时作业(三十八)第38讲直接证明与间接证明基础热身1.[2017·莱芜一中模拟]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0没有实数根”时,应假设()A.方程x2+ax+b=0至多有一个实根B.方程x2+ax+b=0至少有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根2.要证明a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1≤C.-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥03.[2017·南昌二模]已知等差数列的前n项和为S n,若S2k+1>0,则一定有()A.a k>0B.S k>0C.a k+1>0D.S k+1>04.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设≥1.其中正确说法的序号是.能力提升5.[2017·大连模拟]“一支医疗救援队里的医生和护士,包括我在内,总共是13名.下面讲到的人员情况,无论是否把我计算在内,都不会有任何变化.在这些医务人员中:①护士不少于医生;②男医生多于女护士;③女护士多于男护士;④至少有一位女医生.”由此推测这位说话人的性别和职务是()A.男护士B.女护士C.男医生D.女医生6.[2017·福建师大附中一模]若O为△ABC平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为()A.钝角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形7.设A,B,C为锐角三角形ABC的三个内角,M=sin A+sin B+sin C,N=cos A+2cos B,则()A.M<NB.M=NC.M>ND.M,N大小不确定8.[2017·武汉模拟]已知f=,a≠b,则|f-f|与|a-b|的大小关系为 ()A.>B.<C.=9.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设命题的结论不成立的正确叙述是(填序号).①假设三个角都不大于60°;②假设三个角都大于60°;③假设三个角至多有一个大于60°;④假设三个角至多有两个大于60°.难点突破10.(5分)[2017·山西运城调研]在△ABC中,AC=5,+-=0,则BC+AB=()A.6B.7C.8D.911.(5分)[2017·北京海淀区二模]已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心),两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域,小圆盘上所写的实数分别记为x1,x2,x3,x4,大圆盘上所写的实数分别记为y1,y2,y3,y4,如图K38-1所示.将小圆盘逆时针旋转i(i=1,2,3,4)次,每次转动90°,记T i(i=1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和,例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1.若x1+x2+x3+x4<0,y1+y2+y3+y4<0,则以下结论正确的是 ()A.T1,T2,T3,T4中至少有一个为正数B.T1,T2,T3,T4中至少有一个为负数C.T1,T2,T3,T4中至多有一个为正数D.T1,T2,T3,T4中至多有一个为负数图K38-1课时作业(三十九)第39讲数学归纳法基础热身1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a n+1=(a≠1,n∈N*)”,在验证n=1时,左端所得的项为()C.1+a+a2D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明“凸n边形对角线的条数f=”时,第一步应验证()A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立3.用数学归纳法证明“1+++…+=”时,由n=k到n=k+1,等式左边需要添加的项是()A.B.C.D.4.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=(n∈N*),可以猜想数列的通项公式为.5.用数学归纳法证明“1+++…+<2-(n≥2,n∈N*)”时第一步需要验证的不等式为.能力提升6.已知n为正偶数,用数学归纳法证明“1-+-+…+=2++…+”时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立()A.k+1B.k+2C.2k+2D.2(k+2)7.用数学归纳法证明“1+++…+<F”时,假设n=k时不等式成立,则n=k+1时,不等式左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+18.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总可推出f(k+1)≥k+2成立.那么,下列说法正确的是()A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立9.设平面内有n(n≥3)条直线,它们任何2条不平行,任何3条不共点,若k条这样的直线把平面分成f个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f+ .10.用数学归纳法证明“2n>2n2-2n+1对于n≥n0的正整数n均成立”时,第一步证明中的起始值n0应取.11.设f(n)=1-+-+…+,则f(k+1)=f+ .(不用化简)12.用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+”时,假设n=k时等式成立,则n=k+1时,等式右边为.13.(10分)[2017·山西孝义质检]数列满足a n+5a n+1=36n+18,且a1=4.(1)写出的前3项,并猜想其通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.难点突破14.(5分)如果命题P(n∈N*)对n=k(k∈N*)成立,则它对n=k+1也成立,现已知P对n=4不成立,则下列结论中正确的是 ()A.P对任意n∈N*成立B.P对n>4成立C.P对n<4成立D.P对n≤4不成立15.(5分)已知f(m)=1+++…+(m∈N*),用数学归纳法证明f>时,f-f= .课时作业(三十三)1.A[解析] 因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N,故选A.2.D[解析] 因为“a>b”不能推出“|a|>|b|”成立,且“|a|>|b|”也不能推出“a>b”成立,所以“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件.故选D.3.C[解析] 取a=1,b=-1,排除选项A;取a=0,b=-1,排除选项B;取c=0,排除选项D;显然>0,则不等式a>b的两边同时乘,所得不等式仍成立.故选C.4.[-1,8)[解析] 因为-5<b<3,所以0≤|b|<5,又因为-1≤a≤3,所以-1≤a+|b|<8,所以a+|b|的取值范围是[-1,8).5.d>b>a>c [解析] ∵a+b=c+d,a+d>c+b,∴2a>2c,即a>c,∴b<d.∵a+c<b,∴a<b.综上可得d>b>a>c.6.B[解析] c=0时,①错误;a>0>b时,②错误;根据不等式的性质知③正确;根据指数函数的性质可知④正确.故正确的有2个.7.D[解析] A中,当x=1时,不成立;B中,当x=0时,不成立;C中,当a=0,b=-1时,不成立;D 中,因为2x>0,所以a·2x>b·2x成立.故选D.8.A[解析] 由题可知a=log2<log2==b,又a=×=×,那么c=log53=×=×<×=a,则c<a<b.故选A.9.B[解析] ∵x>0,y>0,==<1,∴x<y,故选B.10.A[解析] ∵a<b,(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,∴a<c<b,且d<a或d>b,结合d<c,知d<a<c<b.故选A.11.C[解析] 特例法:例如蔬菜A连续10天的价格分别为1,2,3,4,…,10,蔬菜B连续10天的价格分别为10,9,…,1时,A≺B,B≺A同时不成立,故选C.12.< [解析] ∵a≠b,a<0,∴a-2b-=<0,∴a<2b-.13.[解析] 由函数的解析式可知0<a+b<2,-1<-a+b<1,又2a-b=(a+b)-(-a+b),结合不等式的性质可得2a-b∈-,.14.(-24,8)[解析] 当-3<a≤0时, ∈(-24,0];当0<a<1时, ∈(0,8).故的取值范围是(-24,8).15.A[解析] 当x=1,y=-1 时,-6≤a-b+c≤4,所以a-b+c的最小值为-6,最大值为4,故B,D 错误;当x=-1,y=-1 时,-12≤-a-b+c≤-2,则2≤a+b-c≤12,所以a+b-c的最小值为2,最大值为12,故A正确,C错误.故选A.16.2[解析] 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得因为-≤(a+b)≤,-2≤-(a-b)≤-1,所以-≤(a+b)-(a-b)≤,即-≤2a+3b≤,所以m+n=2.课时作业(三十四)1.A[解析] 由x2-3x-10<0,解得-2<x<5.2.A[解析] 由x2-x-2<0,得-1<x<2,故选A.3.C[解析] 由(x-1)(x-2)<2,解得0<x<3,所以(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,0),故选C.4.(-∞,-6]∪[2,+∞)[解析] 由已知得方程x2-ax-a+3=0有实数根,即Δ=a2+4(a-3)≥0,故a≥2或a≤-6.5.2[解析] 由题意知,a≠0,方程ax2-6x+a2=0的根为1,m,且m>1,则所以m=2.6.B[解析] 不等式x2<ax+b可化为x2-ax-b<0,其解集是{x|1<x<3},那么,由根与系数的关系得得所以b a=(-3)4=81.故选B.7.A[解析] 设f(x)=2x-x2,则当x∈[-2,3]时,f(x)=-(x-1)2+1∈[-8,1],因为存在x∈[-2,3],使不等式2x-x2≥a成立,所以a≤f(x)max,所以a≤1,故选A.8.B[解析] 由题意知3是方程xf(x-1)=a的一个根,则a=3f(3-1)=3×(2-1)=3,故选B.9.A[解析] 令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),易得g(x)<g(4)=-2,所以a<-2.10.B[解析] 由题意有(1-a i x)2<1⇔x2-2a i x<0⇔x x-<0,所以不等式的解集为0,.又0<<<,所以x的取值范围为0,,故选B.11.B[解析] 由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为20-t万亩,则税收收入为20-t×24 000×t%万元,由题意有20-t×24 000×t%≥9000,整理得t2-8t+15≤0,解得3≤t≤5,∴当耕地占用税税率为3%~5%时,既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9000万元.∴t的取值范围是3≤t≤5,故选B.12.(-∞,-2][解析] f(x)=x2-2ax+a2-1=[x-(a+1)][x-(a-1)],则f(x)<0⇒a-1<x<a+1,则f[f(x)]<0⇒a-1<f(x)<a+1.而f(x)=(x-a)2-1≥-1,若关于x的不等式f[f(x)]<0的解集为空集,则(a-1,a+1)∩[-1,+∞)=⌀,则a+1≤-1,解得a≤-2.13.,[解析] 记f(m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m+1-2x(|m|≤2),则f(m)<0恒成立等价于解得<x<.14.[解析] 由题意,f[f(x)]≤3,则f(x)≥0或∴f(x)≥-3,∴x<0或∴x≤.15.B[解析] 设f(x)=x2-2(a-2)x+a,当Δ=4(a-2)2-4a<0,即1<a<4时,f(x)>0对x∈R恒成立.当Δ=0时,a=1或a=4,当a=1时,f=0,不合题意;当a=4时,f(2)=0,符合题意.当Δ>0时,需满足即即4<a≤5.综上,实数a的取值范围是(1,5].16.-6[解析] 因为x∈[1,2],所以ax2+bx+c≤1等价于a≤,由题意知存在a∈[1,2],使得不等式a≤对任意x∈[1,2]恒成立,所以≥1,即x2+bx+c-1≤0对x∈[1,2]恒成立,所以即所以7b+5c=3(b+c)+2(2b+c)≤-6,即7b+5c的最大值为-6.课时作业(三十五)1.C[解析] 原不等式等价于不等式组或分别画出两个不等式组所表示的平面区域(图略),观察可知选C.2.C[解析] ∵点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,∴(-9+2-a)(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24,故选C.3.B[解析] 如图,不等式+-6≤0所对应的平面区域为一个菱形及其内部,菱形的对角线长分别为12,4,所以其面积为×12×4=24,故选B.4.正方形[解析] 不等式组表示的平面区域由四条直线x=1,x=-1,y=2,y=4围成,其形状为正方形.5.5[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,由得得A(2,-1).由图可知x2+y2的最大值为22+(-1)2=5,故答案为5.6.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z=x-2y可化为y=x-z,其中-z表示斜率为的直线在y轴上的截距,通过平移可知,当直线经过点A(3,1)时-z取到最大值,即z取得最小值,最小值为1.故选B.7.B[解析] 作出可行域如图所示,目标函数z=2x+y可化为y=-2x+z,其中z表示斜率为-2的直线在y轴上的截距,由图可知,当直线过点A,时z取得最大值,故选B.8.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又表示区域内的点与原点连线的斜率,由图知,==,故选A.9.D[解析] 画出可行域(图略),由题意知只需要点(-m,m)在直线x-2y=2的下方即可,得到-m-2m>2,解得m<-.故选D.10.A[解析] 如图,作出可行域D,要存在点P(x,y)∈D,使x2+y2≥m成立,只需m≤(x2+y2)max.而x2+y2表示可行域D中的点与原点间距离的平方,由图可知,点A,与原点间距离的平方最大,所以(x2+y2)max=,即m≤,所以m的最大值为,故选A.11.[0,2][解析] ·=-x+y,在平面直角坐标系内作出可行域如图所示.由图可知,当M在点C(0,2)处时,·=-x+y有最大值,即(·)max=-0+2=2;当M在点A(1,1)处时,·=-x+y有最小值,即(·)min=-1+1=0.所以·的取值范围为[0,2].12.m>1[解析] 画出可行域如图所示,易知A(1,3),要使目标函数z=y-mx取得最大值时有唯一的最优解(1,3),则需直线y=mx+z过点A时在y轴上的截距最大,此时直线斜率大于1即可,故m>1.13.解:设投资人对甲、乙两个项目分别投资x万元、y万元,盈利为z万元,由题意有即z=x+0.5y.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线y=-2x+2z过点M时,在y轴上的截距最大,这时z也取得最大值.解方程组得即M(4,6),z max=1×4+0.5×6=7.故投资人投资甲项目4万元,投资乙项目6万元,才能使可能的盈利最大,最大盈利额为7万元.14.解:设隔出大房间x间,小房间y间,获得的收益为z元,则即目标函数为z=200x+150y,作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分(包含边界)内的整点所示.由图可知,当直线z=200x+150y过点A时,z取得最大值,∵A点的坐标不是整数,而x,y∈N,∴点A不是最优解.由图可知,使目标函数取得最大值的整数点一定分布在可行域的右上侧,这些整数点有(0,12),(1,10),(2,9),(3,8),(4,6),(5,5),(6,3),(7,1),(8,0),分别代入z=200x+150y,逐一验证,可得取整数点(0,12)和(3,8)时,z max=1800,∴应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,才能获得最大收益.15.C[解析] 画出集合M表示的平面区域如图所示,N表示以P(2,0)为圆心,半径为r的圆.又M∩N≠⌀,所以当圆P与直线x+y=1相切时半径r最小,此时r=;当圆P过直线y=x和y=-1的交点时r最大,此时r=.故选C.16.D[解析] 作出可行域如图所示.将z=mx+y化为y=-mx+z,由图可得,当-m≥2,即m≤-2时,直线y=-mx+z过点A,-1时,z取得最大值m-1=3,解得m=8(舍);当-m≤-1,即m≥1时,直线y=-mx+z过点B(2,-1)时,z取得最大值2m-1=3,解得m=2;当-1<-m<2,即-2<m<1时,直线y=-mx+z过点C(1,0)时,z取得最大值m+0=3,得m=3(舍).故选D.课时作业(三十六)1.C[解析] 因为>0,>0,·=1,≠,所以+>2,故选C.2.B[解析] 由题意得4=lg x+lg y,所以xy=104,又x>1,y>1,所以x+y≥2=200,当且仅当x=y=100 时取等号,即x+y有最小值200,故选B.3.C[解析] f(x)=x+=x-2++2≥4,当且仅当x-2=1,即x=3时等号成立,∴a=3,故选C.4.[解析] 因为a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,即≤2⇒ab≤2,当且仅当a=1,b=2时等号成立,所以≥.5.3+2[解析] ∵a+2b=1,∴+=+(a+2b)=3++≥3+2,当且仅当a=b且a+2b=1时等号成立,∴+的最小值为3+2.6.D[解析] 根据题意,2a+b+c=(a+c)+(a+b),又a,b,c均大于0,∴a+c>0,a+b>0,∴2a+b+c=(a+c)+(a+b)≥2=2=2×(-1)=2-2,即2a+b+c的最小值为2-2,故选D.7.B[解析] 当x=0时,任意实数a均满足题意;当x≠0时,a≥=-|x|-恒成立,又-|x|-≤-2,当且仅当x=±1时取等号,所以a≥-2.故选B.8.B[解析] ∵x,y∈R,x2+y2+xy=315,∴x2+y2=315-xy,∴315-xy≥2xy,∴xy≤105,∴x2+y2-xy=315-2xy≥315-210=105.故选B.9.A[解析] 由2a+2b=2c,得2a-c+2b-c=1,∴2a-c+ 2b-c= 1≥2,∴≤,∴2a+b-2c≤= 2-2,∴a+b-2c≤-2.故选A.10.1[解析] 因为f(x)=x-1++1≥2+1,所以2+1=3,解得m=1.11.6[解析] 设正三棱柱的底边长为x,高为y,则6x+3y=12,由基本不等式可得6x+3y=12≥2⇒xy≤2⇒3xy≤6,故三棱柱的侧面积的最大值为6.12.[解析] ∵a∥b,∴4-n-2m=0,即2m+n=4.∵m>0,n>0,∴+=(n+2m)+=×10++≥×10+2=,当且仅当4m=n=时取等号.∴+的最小值是.13.证明:因为a,b,c为正实数,所以由基本不等式得,+a≥2c,+b≥2a,+c≥2b,三式相加,得++≥a+b+c,又a+b+c=3,所以++≥3.14.解:(1)由题意得12×(500-x)(1+0.5x%)≥12×500,整理得x2-300x≤0,解得0≤x≤300,又x>0,故0<x≤300.(2)由题意知,生产B产品创造的利润为12a-x x万元,设备升级后,生产A产品创造的利润为12(500-x)(1+0.5x%)万元,则12a-x x≤12(500-x)(1+0.5x%)恒成立,∴ax≤+500+x恒成立,且x>0,∴a≤++恒成立.∵+≥4,当且仅当x=250时等号成立,∴0<a≤5.5,∴a的最大值为5.5.15.A[解析] 易知a>0,Δ≤0,故c≥,则≥==≥==3,当3a=b-a且c=,即b=c=4a时,取得最小值3,故选A.16.2[解析] 二次不等式ax2+2x+b≥0恒成立,则a>0且Δ=4-4ab≤0,即ab≥1.又存在x0∈R,a+2x0+b=0,所以Δ=0,所以ab=1.又a>b,所以a>1,所以==>0,所以===.令a2+=t>2,则==(t-2)+4+≥4+4=8,当且仅当t=4时等号成立,所以的最小值为=2.课时作业(三十七)1.A[解析] 实数0的绝对值等于0,不大于0,大前提错误.2.B[解析] 将三角形的边类比为四面体的面,因此三边的中点类比成各正三角形的中心,故选B.3.A[解析] 观察各个正方形图案可知其圆点的个数依次为4,8,12,16,…,所以各图案中圆点的个数构成一个首项为4,公差为4的等差数列,因此S n=(n-1)×4+×4=2n2-2n,故选A.4.n2[解析] 第1个式子和为1,第2个式子和为4,第3个式子和为9,第4个式子和为16,故第n个式子和为n2.5.=[解析] 结合等差数列和等比数列的性质,类比题中的结论可得,在正项等比数列中,类似的结论为=.6.A[解析] 由题意有,2016年是丙申年,则2017年是丁酉年,故选A.7.D[解析] 所给条件无法确定整个数列满足a n=n,①错误;由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,是合情推理,②正确;类比时,平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适,③错误;所给命题满足三段论推理,但其结论确实错误,④正确.故选D.8.当12<x<13时,f(x)max=9[解析] 结论1:当2<x<3时,f(x)max=-1=2×1-3.结论2:当4<x<5时,f(x)max=1=2×2-3.结论3:当6<x<7时,f(x)max=3=2×3-3.根据规律,可以归纳得出,结论6:当12<x<13 时,f(x)max=2×6-3=9.故答案为:当12<x<13 时,f(x)max=9.9.=S△BCO·S△BCD[解析] 从题中条件不难发现:图甲中的AC⊥AB对应图乙中的AD⊥平面ABC,图甲中的AD⊥BC对应图乙中的AO⊥平面BCD,因此在类比的结论中,图甲中的边AB 对应图乙中的△ABC,图甲中的BC对应图乙中的△BCD,图甲中的BD对应图乙中的△BOC.故有=S△BCO·S△BCD.10.A[解析] 由题设可得f(1)(x)=cos x,f(2)(x)=-sin x,f(3)(x)=-cos x,f(4)(x)=sinx,f(5)(x)=cos x,显然f(n)(x)=f(n+4)(x).又f(1)(x)+f(2)(x)+f(3)(x)+f(4)(x)=0,且2017=504×4+1,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=f(1)(15°)=cos 15°=,故选A.11.①③[解析] 由题设得,丁所在方向是A方向,如果丙所在方向不是D方向,那么丁所在方向就不是A方向,故丙所在方向是D方向,从而乙所在方向是C方向,甲所在方向是B方向,故①③正确.课时作业(三十八)1.B[解析] 没有实根的反面为至少有一个实根,故选B.2.D[解析] 由题意,将不等式左边因式分解即可,故选D.3.C[解析] 由等差数列的前n项和公式得S2k+1==(2k+1)a k+1>0,故选C.4.②[解析] ①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2 的否定应为p+q>2,故①错误.②已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0 的两根的绝对值都小于1,根据反证法的定义,可假设≥1,故②正确.5.A[解析] 设女护士、男护士、女医生、男医生人数分别为a,b,c,d,则有:①a+b≥c+d;②d>a;③a>b;④c≥1.所以d>a>b>c≥1.易知只有a=4,b=3,d=5,c=1时符合要求.又a,b,c,d 中只有b减1后仍符合要求,故说话人是男护士.故选A.6.B[解析] 由题意可得·(+)=0,即(-)·(+)=0,据此有=,即△ABC为等腰三角形,故选B.7.C[解析] 因为A,B,C∈0,,所以A+B>,则sin A>sin-B,即sin A>cos B①,同理sin B>sin-A⇒sin B>cos A②,sin C>sin-B⇒sin C>cos B③,将不等式①②③两边相加可得M>N,故选C.8.B[解析]|f-f|=|-|==<≤=|a-b|,所以|f-f|<|a-b|,故选B.9.②[解析] 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,应假设命题的否定成立,而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是“三角形的三个内角都大于60°”,故答案为②.10.B[解析] 分别作∠ABC,∠BCA,∠CAB的平分线相交于点O,过O作OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB.设AF=m,BF=n,OD=OE=OF=r,则AE=m,BD=n.∵AC=5,∴CE=CD=5-m.在Rt△AOF中,tan∠BAO=,∴=,同理:=,=.∵+-=0,∴+-=0,∴n=1,∴AB+BC=m+n+n+5-m=2n+5=7,故选B.。

2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件：第6章不等式、推理与证明重点强化课3 不等式及其应用课件

所以 m≤fxfx2＋4对于 x∈R 恒成立.
8分
而fxfx2＋4＝f(x)＋f4x≥2 fx·f4x＝4，且f0f02＋4＝4，所以 m≤4，故实数
m 的最大值为 4.
12 分
[规律方法] 基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法： (1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． (2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
重点 3 基本不等式的综合应用
(2016·江苏高考节选)已知函数 f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设 a ＝2，b＝12. (1)求方程 f(x)＝2 的根； (2)若对于任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，求实数 m 的最大值.
【导学号：00090203】
[解] 因为 a＝2，b＝12，所以 f(x)＝2x＋2－x.
2分
(1)方程 f(x)＝2，即 2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即
2x＝1，解得 x＝0.
5分
(2)由条件知 f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为 f(2x)≥mf(x)－6 对于 x∈R 恒成立，且 f(x)>0，
(2)由已知得x＋22y＝1. 则x＋xy8y＝1y＋8x＝1y＋8xx＋22y ＝1210＋xy＋1x6y≥12(10＋2 16)＝9，当且仅当 x＝43，y＝13时取等号．]
(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋z.作直线 l0：y＝－ax，平移 l0，

【新】2019届高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质、一元二次不等式课时作业

第一节不等式的性质、一元二次不等式课时作业 A 组——基础对点练1．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－x －6＜0}，则集合A 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：不等式x 2－x －6＜0的解集为{x |－2＜x ＜3}，又x ∈N ，所以A ＝{0,1,2}，故集合A 的子集的个数为23＝8，故选D. 答案：D4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A. 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故C 项不成立．答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D7．不等式(1＋x )(1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以aa (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以aa (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n . 答案：B9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 答案：A11．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2B ．a 2＞ab ＞b 2C.1a ＜1bD ．b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为__________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是__________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B.a c >b c⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab <0⇒1a >1b D ．⎭⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a >1b 解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >bc⇒a 0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D ．32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m－1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0bC ．a b>b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a恒成立．所以选D. 答案：D6．若a |b | B ．1a －b >1aC.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a 0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B.答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 123，c ＝f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5] 解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝－2＋t －2＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝－2＋t －2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －x ，2x －1x ，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －a ＋的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －＋a 的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0，得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.。

【精选提分系列】2019届高考数学(文)一轮复习课时作业-第6章 不等式、推理与证明 36

2019版高考数学(文)高分计划一轮课件：第6章 不等式 6-1