八年级数学下册因式分解.公式法课件北师大版

北师大版数学八年级下册《公式法》第1课时PPT课件

请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号, 使等式成立.
(1) 2-a= － (a-2) (2) y-x= － (x-y)
(3) b+a=＋ (a+b) (4) (b-a)2= ＋ (a-b)2 (5) –s2+t2= － (s2-t2) (6)-m-n= － (m+n)
例1 把下列各式分解因式：
① x2－25
② 9x2－ y 2
□2－△2
(2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积, 并与同伴交流.
➢平方差公式
（1）公式：a²- b²= (a+b)·(a-b)
（2）语言：两个数的平方差，等于这两
个数的和与这两个数的差的积. 这个公式就是平方差公式.
说说平方差公式的特点：
a2−b2= (a+b)(a−b) ①左边两个数的平方差；只有两项 ②右边两数的和与差相积形象地表示为 □2－△2＝(□＋△)(□－△) ☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
解:原式=[3Baidu Nhomakorabeam+n)]2-(m-n)2
解:原式=2x(x2-4)
=[3(m+n)+(m-n)] [3(m+n)-(m-n)] =2x(x2-22)
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)

北师大版八年级数学下册【教学课件】第四章 4.1 因式分解 (共11张PPT)

（二）分解因式的方法：
（1）、提取公因式法（2）、运用公式法
（3）、十字相乘法（4）、分组分解法
（1）、提公因式法：
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如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）例题：把下列各式分解因式 ① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
解：原式=x3-x2+5x2-x3-9 =4x2-9 =(2x+3)(2x-3)
又∵ 2x-3=0, ∴ 原式=0
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
②p（y-x）-q（x-y）
解：原式=p(y-x)+q(y-x) =(y-x)(p+q)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
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（2）运用公式法：
运用公式法中主要使用的公式有如下几个： ① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
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y 2.
(Leabharlann Baidu2+2xy+y2)
解:原式=4(x2-4y2) =4(x+2y)(x-2y)

公式法(课件)-八年级数学下册同步精品课堂(北师大版)

随堂练习
3. -4+0.09a2因式分解的结果是( A ) A.(0.3a+2)(0.3a-2) B.(2+0.3a)(2-0.3a) C.(0.03a+2)(0.03a-2) D.(2+0.03a)(2-0.03a)
随堂练习
4.因式分解. (1)x2-y2= (x+y)(x-y) . (2)x2-9= (x+3)(x-3) . (3)x5-x3= x3(x+1)(x-1) . (4)a3-ab2= a(a+b)(a-b) . 5.计算:552-452= 1 000 .
（2）-16 x4 81y 4
解:(1)原式 ( y2 )2 - (92 )2 = =( y2 + 9 )( y2- 9 )
(2)原式=81y4 - 16x4 交换位置 =(9 y2)2 -(4 x2 )2
=( y2 + 9 )( y2- 32)
=(9y2 +4x2 )(9y2- 4x2)
=(9y2+ 4x2)(3y-2x) (3y+2x)
这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 2.因式分解与整式乘法的关系：
是互为相反的变形（互逆的）
情境导入
3.提公因式法：
定系数：各项系数的最大公约数；定字母：各项都含有的字母；定多项式：各项都含有的多项式（看成整体）；定指数：相同字母或多项式的最小指数.

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件

解：－x2－2xy＋1－y2 ＝1－(x2＋2xy＋y2) ＝1－(x＋y)2 ＝(1＋x＋y)(1－x－y)
知1－练
1 多项式x2－4与x2－4x＋4的公因式为( D ) A．x＋4 B．x－4 C．x＋2 D．x－2
2 把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是( B ) A．(4x2－y)－(2x＋y2) B．(4x2－y2)－(2x＋y) C．4x2－(2x＋y2＋y) D．(4x2－2x)－(y2＋y)
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
பைடு நூலகம்
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解：甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)．乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)．请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.
知1－练

八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法》课件

反思ຫໍສະໝຸດ Baidu结
1、今天主要学习了利用平方差公式进行因式分解
2、当多项式的各项有公因式时,通常先提出这个公因式, 然后进行因式分解
在多项式x²+y², x²-y²,x²+y², -x²-y²中,能利用平
方差公式分解的有( B )
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
判断正误
(1)x²+y²=(x+y)(x+y) ( ) (2)x²-y²=(x+y)(x-y) ( ) (3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)( )
a2 b2 (a b)(a b)（分解因式）
整单项式乘以单项式与分解因式无关
式乘法
单项式乘以多项式多项式乘以多项式
与分解因式有关
乘法平方差公式
公式完全平方公式
a2-b2=(a+b)(a-b) (a+b)(a-b)=a2-b2
x2-25 = x2-52=(x+5)(x-5)
9x2-y2 = (3x)2-y2=(3x+y)(3x-y)
创新与应用
已知, x+ y =7, x-y =5,求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值.
答:平方前符号为正，平方下的式子（数）为ａ平方前符号为负，平方下的式子（数）为ｂ

北师大版八年级数学下册《公式法(第1课时)》精品课件

公式法（一）
北师大版八年级下册
新知导入
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样式子的变形，叫做因式分解(或分解因式)。问题2：我们已学过哪一种分解因式的方法?
提公因式法问题3：把下列各式因式分解 (1)am-an (2)7x3-21x2 (3)a(x-y)+b(x-y)
新知讲解
3：把多项式x4-16因式分解. 解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
注意：每个因式要分解到不能再分解为止.
拓展提高如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
a2-b2=(a+b)(a-b)
2-
2=（ + ）（ - ）
首2-尾2=（首+尾）（首-尾） 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
新知讲解
例1：将下面的多项式分解因式
1) 25-16 x² 解：
2)Байду номын сангаас9a² - 4b²
25-16 x²= 5²- (4x)² =( 5 + 4x)( 5 - 4x)
新知讲解
例2.把下列各式因式分解（1） 9( m + n)²- ( m - n )²

公式法(第2课时)八年级数学下册课件(北师大版)

（2）(m + n)2 – 6(m + n) + 9 =(m + n)2 – 2· (m + n) ·3 + 32 = [(m + n) - 3]2 = (m + n - 3)2.
完全平方式中的“头”和 “尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。
典例探究深化新知
把下列完全平方式因式分解：（1）3ax2 + 6axy + 3ay2;
三项
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？是第一项和第三项底数的积的±2倍
归纳总结认知升华
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
a2+2ab+b2 = (a+b)2 a2 -2ab+b2 = (a-b)2
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.
体验新知学以致用
完全平方公式简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.

4-3 公式法课件2022-2023学年北师大版数学八年级下册

2 49 a b 16 a b
2
2
7 a b 4 a b
7 a b 4 a b 7 a b 4 a b
7a 7b 4a 4b 7 a 7b 4a 4b
4
2. 把下列各式因式分解:
1 m n
2
3 x
2 2
2
y
n2

x2 y2
2 49 a b
4 p 4 1
2
16 a b
2
解：
1.
1 a 2 81
2 9a 2 p 2 b 2 q 2
a 2 92
4
2
2
2
2
跟踪练习1
把下列各式因式分解.
1 2 2 − 2
解：原式 =(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m)
(2)-16x2+81y2
原式 =81y2-16x2
=(9y)2-(4x)2
=(9y+4x)(9y-4x)
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
1 9 m n m n
2
2
2 2x
3
8x
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.

公式法课件北师大版八年级数学下册

(2)原式=2a(a2-4) =2a(a+2)(a-2)
【当堂检测】
7.计算下列各题：
(1)1012-992
(2)53.52×4-46.52×4
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99) ＝200×2 ＝400
(2)原式＝4(53.52-46.52)
＝4(53.5＋46.5)(53.5-46.5) ＝4×100×7 ＝2800
【当堂检测】
2.若多项式x2-3mx+36能用完全平方公式分解因式，求m的值.
解：根据题意可知：对应的a2=x,b2=36 即a=x,b=6 ∵多项式x2-3mx+36能用完全平方公式分解因式 ∴-3m=±2ab =±(2·x·6)=±12x ∴m=±4
四、典型例题
例2.(1)16x2+24x+9
D.-(2a+1)(2a-1)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21
B．21
C．-10
D．10
【当堂检测】
4.分解因式. (1)-x2+43
(2)(a+b)2-9(a-b)2
解：(1)原式=-x2+64 =64-x2
(2)原式=(a+b)2-[3(a-b)]2 =[(a+b)+3(a-b)][(a+b)-3(a-b)]

北师大版八年级下册数学课件第4章第3节公式法 (共28张PPT)

小结：
1.用平方差公式进行分解因式。 2.分解因式的步骤。
第2课时
运用完全平方公式分解因式
➢学习目标：
1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解．
2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．
➢学习重点：
运用完全平方公式分解因式．
一、温故知新用完全平方公式因式分解
解: (1) 16x2 + 24x + 9= (4x)2 +2·4x·3 +32
利用 anbn=(ab)n 进行变形
a2 + 2 ·a ·b + b2 = ( 4x + 3 )2
三、应用新知三、应用新知
能用完全平方公式法分
例1: 分解解因因式式吗：？为什么？
(2) –x2 + 4xy – 4y2.
个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是
_________________(填上一个你认为正确的即可).
3、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用
公式来分解.你编写的三项式是______________，
分解因式的结果是________________.
问题二4、：探究新知
具有什么特点的多项式能用完全平方公式因式分解？
形如 a2 2ab b2 或 a2 2ab b2
a b a 2ab b 2

北师大版八年级下册4.3《公式法》课件(共21张PPT)

解:(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2；
(2)-x2-4y2+4xy =-(x2+4y2-4xy) =-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
结论总结
这节课你有什么收获？
1. 运用公式法分解因式：平方差公式和完全平方公式；
(a+b)(a-b)= a2 - b2 .
(2)完全平方公式
(a±b)2= a2 2ab b2 .
新课学习
（1）观察多项式 x2-25 和 9x2-y2，它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积.
新课学习
多项式x2-25和9x2-y2都可以写成两个式子的平方差的形式：
课堂练习
3、下列哪些式子可以利用平方差公式分解因式？
(1) 9x2-4y2 (2) 16x2-y2 (3) -16x2+y2 (4) 16x2+y2 (5) -y2-x2
可以可以可以不可以不可以
课堂练习
4、判断下列各式是不是完全平方式，若不是，说一说怎样将其变为完全平方式.
(1) a2+4a+4
2. 分解因式时通常先考虑提公因式法，再考虑公式法；

北师大版八年级下册数学《公式法》因式分解说课教学复习课件

（2）（m＋n）²－6（m+n）＋9
解：(1) x ²＋14x＋49
=x ²+2×7x+7 ²
=(x+7) ²
(2)（m＋n）²－6（m+n）＋9
=[(m+n)-3] ²
=(m+n-3) ²
合作探究
探究点二问题1：因式分解下列各式（1）3ax²+6axy+3ay²；（2）－x²－4y²+4xy. 解：（1）3ax²+6axy+3ay²
（1）这种方法的关键是凑成完全平方式；
（2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解.
合作探究
问题：阅读材料我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）² 的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了，我们可以采用如下的办法： x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a² =（x+a）²-（2a）² =(x+3a)(x-a) （2）用上述方法把a ²－8a+15因式分解. 解：（2）a²-8a+15= a²-8a+16-16+15
4. a,b,c为∆ ABC的三条边长，且b²+2ab=c²+2ac,试用因式分解的有关知识判断三角形ABC的形状.

4-3-2 公式法(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)

探究新知
例1：分解因式：（1）16x2+24x+9；
分析：(1)中，16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
（2）-x2+4xy-4y2.
(2)中首项有负号，先提取负号，注意各项要变号。先变形为-(x2-4xy+4y2)
a2 2ab +b2 解： (1)16x2+ 24x +9
新课标北师大版八年级下册
第四章因式分解 4.3.2公式法（第2课时）
学习目标
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点。
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式。
情境导入
1.因式分解的概念是什么？把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解.
现在我们把完全平方公式反过来，可得： a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
探究新知
归纳总结 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 定义：由两个数的平方加上或减去两个数的积的2倍构成的多项式叫做完全平方式. 完全平方式的特点： 1、含有三项； 2、其中两项可写成两数的平方和的形式，另一项刚好是两项积的2倍； 3、a和b即可以是数，也可以是单项式或多项式.

北师大版数学八年级下册4.3.1公式法课件(共24张PPT)

会用平方差公式因式分解。
•学习重点：
准确理解和掌握公式的结构特点，会用平方差公式进行因式分解。
•学习难点：
综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解。
•情感、态度与价值观：
学师与学友的合作意识、和谐互助意识。
一、交流预习-精心准“备”
环节1：师友交流
核对答案，红笔订正错题！
7 1、(1) xy；(2)
=（□+○）（□-○）会用平方差公式因式分解。四、归纳总结-制胜妙“招”
2n1 2n12n12n1 五、巩固反馈-“王”者归来
经历通过平方差公式的逆向变形得出因式分解的平方差公式的过程，发展逆向思维和推理能力。综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解。二、互助探究-携手共“进”
三、互助提高-智勇冲“关”
具体要求： 21、、师师友友展交示流。。学（友2分先钟说），学师补充。
二、互助探究-携手共“进”
环节2：教师点拨
公式的特点：
（□）²-（○）² =（□+○）（□-○）
系数能平方，指数要成双，减号在中央，能用平方差。
二、互助探究-携手共“进”
环节12：师教友师交点流拨
判断：下列各式能用平方差公式因式分解吗？能用在（）内打“√”；不能用打“×”，并说明理由。
1、（□）²-（○）²=（□+○）（□-○）

北师大版八年级数学下册课件《公式法第2课时》

四结果必须到不能分解为止
有一些可以用
整体的思想看
成两项或三项
探究新知
素养考点 3 因式分解的综合运用
例1
把下列各式因式分解：
（1） + + ；（2）− − + .
解：(1) + +
(2)− − +
= + +
完全平方公式
将上面的等式倒过来看，能得到：
+ + = ( + )
b
ab
b²
a
a²
ab
a
b
素养目标
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因
式分解进行计算.
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式.
探究新知
知识点 1
完全平方公式与完全平方式
判断下列各式从左到右的变形，是不是因式分解？
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
探究新知
例4 先分解因式，再计算求值:
已知 − = , = ，求 − + 的值.
解： − +
= − +
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：
（1）x²+4x+4= (