近世代数 B

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近世代数-文档资料

这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。
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数学上的确切描述
设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。
沿逆时针方向给珠子标号，
2
由于每一颗珠子的颜色有n种选
ห้องสมุดไป่ตู้
择，因而用乘法原理，这些有标 3
号的项链共有nm种。
图。问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？
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5.开关线路的构造与计数问题一个有两种状态的电子元件称为一个开关，
例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。
问题：用n个开关可以构造出多少种不同的开关线路？
了几十年。
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伽利略死后，直到19世纪末期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。
这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。
利用近世代数的方法可得到更高效的检错码与纠错码。
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7. 几何作图问题
古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用圆规和直尺能做出哪些图形？
而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上做记号。为什么会提出这样的问题呢？
一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。

近世代数学习系列-b1 集合论笔记

近世代数预备知识集合论集合集合论之所以是数学的基础，不仅因为它提供了定义各种概念的框架，更因为它完全规定了数学所要讨论的问题的范围——一个“命题”，从本质上来说，就是关于某个元是否属于某个集合的问题。

也就是说，从本质上来讲数学的语言里只有一个谓语“属于”，用来描述一个“对象”和一个“集合”的关系。

在严密贯彻集合论的逻辑体系里，所谓的“对象”同样也是一个集合。

但是通常可以把对象理解成“一个意义明确的东西或一些这种东西组成的集合”。

比如说一个自然数 3 ，或者一个字母x，或者两者的集合 { 3 , x }，都算做一个对象。

（在严密贯彻集合论的逻辑体系里，我们比如说是这么定义自然数的：上帝说，要有空集合。

于是就有了空集合（空集公理）。

我们把空集合定义为 0。

把集合{ 0 } 定义为 1。

把 { 0, 1 } 定义为 2。

把 { 0, 1, 2 } 定义为 3。

依此类推。

上帝看着这是好的，于是把上面定义好的这些东西全体做成了一个集合（无限公理），取名为自然数。

）不管怎么样，我们有了谓语，只要再规定构造名词（集合）的方法，再加上各种连接词（逻辑），就大功告成了。

只是为了避免由“不属于自身的所有集合组成的集合”（关于其是否属于自身）所造成的著名悖论，我们需要小心翼翼地规定什么样的东西才能算做集合。

除了这一点，我们把集合理解成为“一些对象组成的集体”的直观，通常是没有问题的。

不打算描述这里面的各种逻辑和技术细节，只列出一些常用的定义集合的方法，顺便规定一些记号。

集合的定义方法。

∙{ a, b, c } 列举。

a、b、c组成的集合。

∙{ x∈A| 命题 } 集合A中满足命题的所有元组成的子集。

注意这里有x∈A（x属于A）的限制，这样就可以避免定义出“不属于自身的所有集合组成的集合”之类的东西。

∙℘ ( A ) 幂集合。

集合A的所有子集组成的集合。

∙A∐B非交和。

把集合A的元和集合B的元合在一起看成是一个集合。

A的元与B的元总看成是不同的。

近世代数参考答案

近世代数参考答案《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案⼀、判断题（每题4分，共60分）1、如果循环群G=(a)中⽣成元a 的阶是⽆限的，则G 与整数加群同构。

（ √ ）2、如果群G 的⼦群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ × ）3、两个⼦群的交⼀定还是⼦群。

（ × ）4、若环R 满⾜左消定律，那么R 必定没有右零因⼦。

（ √ ）5、任意置换均可表⽰为若⼲个对换的乘积。

（ √ ）6、F （x)中满⾜条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极⼩多项式。

（ × ）7、已知H 是群G 的⼦群，则H 是群G 的正规⼦群当且仅当g G ?∈，都有 1gHg H -= （ √ ）8、唯⼀分解环必是主理想环。

( × )9、已知R 是交换环，I 是R 的理想，则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。

（ √ ）10、欧⽒环必是主理想环。

（ √ ）11、整环中，不可约元⼀定是素元。

（ √ ）12、⼦群的并集必是⼦群。

（ × ）13、任何群都同构于某个变化群。

( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。

( √ )15、集合,A Z B N ==，::2f A B nn →+是从A 到B 的映射。

（ × ）⼆、证明题（每题20分，共300分）1Q 上的最⼩多项式。

解：令=u 32==u u .于是3223323315(32-?-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平⽅，得到3222(152)(35)5+-=-?u u u .这是u 上满⾜的Q 上6次⽅程，故[():]6≤Q u Q .⼜3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，知2|[():]Q u Q .u (()=Q u Q u .⼜[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ，得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ，因⽽[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---?=u u u ，故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最⼩多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有⼦群，这些⼦群是否都是不变⼦群。

近世代数——精选推荐

近世代数⽬录基本概念元素。

集合。

空集合。

⼦集。

真⼦集。

A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。

幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。

交集。

并集。

性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。

关系：M ×M 的⼦集。

即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。

记做 aRb 和 a ¯R b 。

等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。

分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。

每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。

映射：集合 A ,B ，有⼀个法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。

记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。

y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。

满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。

单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。

双射：满射+单射。

逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。

有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。

相等映射： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。

映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。

代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。

代数系统：有代数运算的集合。

（注意代数运算的封闭性。

即 d ∈M ）。

⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。

近世代数教学大纲

混凝土加气块标准
1、砌块砌筑时，应上下错缝，搭接长度不宜小于砌块长度的1/3。

2、砌块内外墙墙体应同时咬槎砌筑，临时间断时可留成斜槎，不得留“马牙槎”。

灰缝应横平竖直，水平缝砂浆饱满度不应小于90%。

垂直缝砂浆饱满度不应小于80%。

如砌块表面太干，砌筑前可适量浇水。

3、地震区砌块应采用专用砂浆砌筑，其水平缝和垂直缝的厚度均不宜大于15mm。

非地震区如采用普通砂浆砌筑，应采取有效措施，使砌块之间粘结良好，灰缝饱满。

当采用精确砌块和专用砂浆薄层砌筑方法时，其灰缝不宜大于3mm。

4、后砌填充砌块墙，当砌筑到梁(板)底面位置时，应留出缝隙，并应等待7d后，方可对该缝隙做柔性处理。

5、切锯砌块应采用专用工具，不得用斧子或瓦刀任意砍劈。

洞口两侧，应选用规格整齐的砌块砌筑。

6、砌筑外墙时，不得在墙上留脚手眼，可采用里脚手或双排外脚手。

7、砌体结构尺寸和位置允许偏差。

【大学课程】近世代数教材习题答案

§1.1 集合1、设A B ⊆ ,证明：A B A = ,A B B = .证明：由A B ⊆，可知A 的所有元素都属于B ，既A 的所有元素，都是A 和B 的共同元，则由交集定义可知 A A B ⊆ . 又A B A ⊆ ,所以A B A = .由并集定义知，A B 的所有元素，都属于A 或B ；又A B ⊆，所以A B 的所有元素都属于B ，即A B B ⊆. 又B A B ⊆,故A B B =2、设B ,()i A i I ∈ 均为集合Ω 的子集，试证：()1 ()i i i I i I B A B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ ()2 ()i i i I i IBA B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ 证明：()1 由定义i i Ix B A ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x B ∈且x 属于某一i A ；当且仅当x 属于某一i B A ；当且仅当()i i Ix B A ∈∈.()2 由定义i i I x BA ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x 属于B ，或x 属于任一i A ，i I ∈；当且仅当x 属于任一i B A ，i I ∈；当且仅当()i i Ix B A ∈∈.§1.2 等价关系1、设为整数集，问以下各关系是否为M 的等价关系？1）0aRb ab ⇔≥ 2）4aRb a b ⇔+ 3）aRb a b ⇔= 4）220aRb a b ⇔+≥ 解：1）不是，因为不满足传递性2）不是，不满足反身性和传递性 3）是 4）是2、试指出上题中等价关系所决定的分类.解：3）每个元素是一个类 4）整个整数集作成一个类 3、找出下列证明中的错误：若S 的关系R 有对称性和传递性，则必有反身性.这是因为，对任意的a S ∈ ,由对称性，如果aRb ，则bRa .再由传递性，得aRa ，所以R 有反身性.解：以上证明过程中只考虑了当aRb 成立的情况，但是当对于元素a ，不存在b 使aRb 成立时，aRa 就不能得到.4、在复数集中，规定关系"" ：a b a b ⇔=. （1）证明：是的一个等价关系；（2）试确定相应的商集，并给出每个等价类的一个代表元素.（1）证明：设a ，b ，c ∈ ，则()a 因为aa =，所以a a ，于是是有反身性；()b 若ab ，则a b =，于是b a =，从而b a ，说明是具有对称性；()c 若ab ，bc ，则a b =，b c =，于是a c =，从而a c ，从而具有传递性.所以是的一个等价关系.（2）解：相应的商集[]{}0r r R r =∈≥且，其中[]{}()[]{}cos sin 0,2r x x r r i θθθπ=∈==+∈对任意的c ∈ ，等价是[]c ：代表元素可取作c .§1.31、{}1,2,,100S = ，找一个A A ⨯到A 的映射.解：设(),a b 表示A A ⨯的任意元素，,a b A ∈ ,则作映射:f A A A ⨯→ ,()(),f a b b = .f 是一个A A ⨯到A 的映射.2、设A ,B 是两个有限集合，则（1）A 到B 的不同映射共有多少？（2）A 到B 的单射共有多少个？解：（1）设A n = , B m =,则A 到B 的映射有n m 个（2）设A n = , B m =,若n >m ，则A 到B 没有单射；若n m ≤，则A 到B 有()!!m m n - 个单射. 3、设x 是数域F 上全体n （n >1）阶方阵作成的集合.问：:A A ϕ→是否为x 到F 的一个映射？其中A 为A 的行列式，是否为满射或单射？解：ϕ 是映射，且是满射，但不是单射4、设:f A B →为双射，则f 的逆映射1:f B A -→也是一个双射且()11f f --=.证明：设()() ,f x y x A y B =∈∈ ,则1:f y x -→，即()1f y x -=，因f 是A B →的双射，所以1f -是B 到A 的双射，且1f -的逆映射就是f ，即()11ff --=.5、设:f A B →，:g B C →为两个双射到:g f A C → 也是双射且()111g f f g ---= .证明：()()11111B C g f f g g g ---⋅⋅==，()()111111B A fg gf f f ----==，故g f 也是双射，且()111gf f g ---= .§1.41、设A 是一个有限集合，则A 上不同的二元运算共有多少个？解：设A n = ,则2A A n ⨯= ，故A A ⨯到A 有2n n 个不同的映射. 即A 上有2n n 个不同的二元运算.2、{},,A a b c = ，规定A 的两个不同的代数运算.解：()a 第一个代数运算() , ,R x y a xRy x y A →=∀∈ ()b 第二个代数运算() , ,R x y y xRy x y A →=∀∈3、设M 为整数集，问()22 ,a b a b a b M =+∀∈是否满足结合律和交换律.解：交换律满足，但结合律不满足.例如()1104=，()1102= 4、设M 为实数集，问：23a b a b =+ (),a b M ∀∈是否满足结合律和交换律.解：都不满足.例()1004=，()1002=，故()()100100≠，又102=，013=，故1001≠.5、数域F 上全体非零多项式的集合对于()()()()(),f x g x f x g x =是否满足结合律和交换律？其中()()(),f x g x 表示()f x 与()g x 的首项函数为1的最大公因式.解：显然是代数运算且满足交换律.又结合律也满足，因为根据最大公因式的性质知：())()(()()(),,,,f g h f g h f g h f g h ===§2.11、有限群中每个元素的阶都是有限的。

近世代数

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(*******),(******),(*****),(****),(***),(**), (*****)(**),(****)(**),(***)(**),(**)(**), (****)(***),(***)(***), (***)(**)(**), (**)(**)(**). 1,2,3,4,5,6,7,10,12. P 3. S9 20 S9 20 = 4 × 5, 2 × 2 × 3 × 3. (1234)(56789) σ 18 σ1 · · · σd , 18 σ1 σ 9323 2 4. A, B, C, D id, (AB )(CD), (AC )(BD), (AD)(BC ) 180 AB AB, BA, CD, DC, 5. P 20 σi m1 9 σ σ 9, 6, 3, 2 18 m1 = 6, σ 6 m1 ≤ 3, 6 18 m1 = 9, P 18 18 = 3 × 6 = 2 × 9 = 18 σ =
2006
1.1 ( 5 1. G G
) a ∗ b = aln(b) . ln(x)
G = {a ∈ R|a > 0, a = 1} aln(b) > 0 1 aln(b) = 0,
(a ∗ b) ∗ c = [aln(b) ]ln(c) = aln(b) ln(c) . a ∗ (b ∗ c) = a =a . (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), 2 e e ∗ a = eln(a) = a, ln(e) a∗e=a =a a∈G e 3 a ∈ G, b = 1/ ln(a).
n G = S3 , H a3 ∈ / H. H H s > r. K G H∩K K
k
1 (G : H ) = 3, 2 n as ∈ ar H, 3. H H ∩ K ) < ∞. A H G f : A → B,

近世代数习题解答

近世代数习题解答第一章基本概念1 集合1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =2.假定B A ⊂,?=B A ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A = ,B B A ⊃ , 及由B A ⊂得B B A ⊂ ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1，⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃a b c aa b c a b c b b c aaa a ac c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解׃ 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律? 解׃ d d c = , a c d =a b c aa b cb bc a cc a b从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:⊗⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕⊗,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ )()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗= 证׃)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ =])[(])[(221121b a a b a a ⊗⊕⊕⊗⊕ =)()(2121b b a a ⊕⊗⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕⊗⊕⊕⊗)()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=7 一一映射、变换1.A ={所有0〉的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证 φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即 A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =⇒=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b l o g =→-若 b a ≠, 则 b a log log ≠.即 --≠⇒≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证 a a a s i n :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ?)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃ a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→)证׃ )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于 y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态，-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态，证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。

近世代数前两章知识总结

近世代数论文师范学院14级数学与应用数学2班景羡林学号：12147139213一、上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幕集：以集合A的一切子集为元素构成的集合，记为p（A）或2\ （含n个元素的集合的子集有2•个，即無集中的元素共有2,个）2、积（笛卡尔积）：AXB={ （a, b） |aEA, b€B}叫A 与B 的积。

（AXBHBXA）3、A到B的对应法则0为A到E的映射u>①VxGA, x有象②Vxe A, x的象唯一@Vxe A, X的象在B中。

4、若A是含n个元素的集合，则A的映射共有涉个，一一映射共有n!个。

5、代数运算：一个AXB到D的映射叫做一个AXB到D的代数运算。

（。

为AXB到D的代数运算oV（a, b） GAXB, anb有意义，且aob唯一，属于D）。

6、满射：VyG A,设y=0 （x）,求出x （x为y的函数），若x存在且xGA,则0为满射。

（4中的每一个元素都有原象）;单射:Va, be A,若aHb,则0 （a） H0 （b）。

（元素不同象不同）：一一映射：即单乂满。

（一一映射都有逆映射，若A与B间是一一映射，则A、B 有限且元素个数相同）7、一个A到A的映射叫做A的一个变换:有限集A的一个一一变换，叫做A的一个置换。

& 一个A到才的映射叫做一个对于代数运算。

申10来说的，A到才的同态映射，假如满足：Va, b€A, a-» b~*b则aob~*ao^ （运算的象二象的运算）；A与力同态u>A与4存在同态满射0。

9、一个A到力的一一映射0，叫做一个对于代数运算。

和0来说的，A到4的同构映射。

（同构映射的逆映射也是同构映射）。

10、若R为法则，若R满足Va, bEA,要么aRb,要么龍乩唯一确定，则称R为A的元间的一个关系；集合A的元间的一个关系~叫做一个等价关系，假如满足①反射律（VaGA,有a〜a）②对称律③推移律111、A的一个分类即为A的一些子集41、金、…令满足：① A】U金U ...U A n =A.②如Ai4;=0 （iH j ）（不相交）。

近世代数知识点

近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。

下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。

首先是群的概念。

群是近世代数中最基本的结构之一。

简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。

比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。

群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。

环也是近世代数中的重要概念。

一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。

加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。

常见的环有整数环、多项式环等。

接下来是域。

域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。

比如有理数域、实数域和复数域。

同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。

同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。

如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。

同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。

在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。

子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。

再来说说商群和商环。

以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。

商群中的元素是由N 的陪集构成的。

近世代数中的重要定理也不少。

比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。

该定理指出，子群的阶整除群的阶。

最后，我们谈谈近世代数的应用。

在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。

近世代数北大版

近世代数北大版详解
近世代数，也被称为抽象代数，是一门研究数学结构和空间性质的学科。

它作为数学的一门分支，在数学的其他领域，如几何学、代数学、逻辑学等中有着广泛的应用。

而在中国，近世代数课程在大部分综合性大学和师范类院校的数学专业中都被列为必修课。

当我们提及近世代数北大版，这指的是由北京大学数学系编写的《近世代数》教材。

这本教材自1985年首次出版以来，经过多次修订和再版，已经成为中国数学教育领域的一部经典著作。

该教材从最基本的集合论概念开始，逐渐引入群、环、域等抽象代数的基本结构。

通过丰富的例子和详细的证明，北大版《近世代数》深入浅出地讲解了代数的核心概念，如同态、同构、群作用等。

同时，书中还有大量的习题，这些习题对于帮助学生深入理解抽象代数有极大的帮助。

值得一提的是，北大版《近世代数》不仅在中国国内有着广泛的影响，而且还被翻译成多种语言，成为国际上许多大学和研究机构采用的教材。

这不仅体现了中国数学研究的国际影响力，也表明了该教材在代数教育领域的卓越品质。

总体来说，北大版的《近世代数》是一部系统全面、深入浅出的教材。

无论是对于数学专业的学生还是对数学有兴趣的读者来说，这本书都是一个极好的学习资源。

通过学习这本书，读者可以深入了解代数的核心概念和方法，提高自己的数学素养和逻辑思维能力。

同时，它也是对中国数学教育成果的一次全面展示，彰显了中国在数学研究和教育领域的实力和影响力。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：${}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

—一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。

设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。

若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ；正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。

近世代数内容

近世代数内容近世代数是数学发展中的一个重要领域，它涉及到了许多重要的数学概念和定理。

在近世代数的发展中，许多数学家通过研究代数结构的性质和规律，推动了数学的发展。

本文将从多个角度介绍近世代数的一些重要内容。

一、群论群论是近世代数的基石之一，它研究的是集合上的一种代数结构。

群由一个集合和一个运算组成，这个运算满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。

群论的研究对象可以是任意集合，如整数集、矩阵集等。

群论的研究内容包括子群、正规子群、同态映射等，它对于研究对称性和变换具有重要的意义。

二、环论环论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的两个运算。

环由一个集合和两个运算组成，这两个运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。

环论的研究对象可以是整数集、多项式集等。

环论的研究内容包括理想、素环、域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域具有重要的影响。

三、域论域论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的四个运算。

域由一个集合和四个运算组成，这四个运算满足环的所有性质，并且除法运算有定义。

域论的研究对象可以是有理数集、实数集、复数集等。

域论的研究内容包括子域、域扩张、代数闭域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域起到了重要的推动作用。

四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。

线性代数的研究内容包括向量的线性组合、线性方程组的解、矩阵的特征值和特征向量等。

线性代数在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用，它是许多数学分支的基础。

五、代数几何代数几何是近世代数与几何学的结合，它研究的是代数方程的几何性质。

代数几何的研究内容包括代数曲线、代数曲面、射影空间等。

代数几何在解析几何、拓扑学和数论等领域有着广泛的应用，它为研究几何形体和曲线提供了重要的数学工具。

近世代数涵盖了群论、环论、域论、线性代数和代数几何等多个重要的数学分支。

这些数学概念和定理的研究推动了数学的发展，并在实际应用中发挥着重要作用。

近世代数文档

近世代数引言近世代数是数学中的一个分支，是研究代数结构的一种方法。

它主要研究了群、环、域等代数结构，以及它们之间的关系和性质。

本文将介绍近世代数的基本概念和一些重要的定理。

群群是近世代数的基础概念之一，它是一个集合和一个二元运算的组合。

这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。

封闭性对于群中的任意两个元素a和b，它们的运算结果ab也必须属于群中的元素。

结合律群中的运算满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b 和c，满足(a·b)·c = a·(b·c)。

单位元存在性群中存在一个元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，满足a·e = e·a = a。

逆元存在性对于群中的任意元素a，存在一个元素a’，称为逆元，满足a·a’ = a’·a = e，其中e是单位元。

环环是一种比群更一般的代数结构，它是一个集合和两个运算的组合。

这两个运算分别是加法和乘法，并且满足封闭性、结合律、分配律和单位元存在性等性质。

封闭性对于环中的任意两个元素a和b，它们的加法和乘法结果a+b和a·b也必须属于环中的元素。

结合律环中的加法和乘法满足结合律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)和(a·b)·c = a·(b·c)。

分配律环中的加法和乘法满足分配律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。

单位元存在性环中存在一个元素0，称为加法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a+0 = 0+a = a。

同时，环中存在一个元素1，称为乘法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a·1 = 1·a = a。

近世代数课件第15节布尔代数的理想和同态

近世代数
布尔代数与布尔环的等价性
定义2 环(R, +,◦)称为布尔环，如果环R中每个元素都是幂等元，即a ∈R，a◦a=a.
定理2 任一布尔代数都定义了一个有单位元素的布尔环.
定理3 任一有单位元素的布尔环都定义了一个布尔代数.
定理4(Stone) 布尔代数与具有单位元素的布尔环是两种等价的代数结构.
定理3 布尔代数(B,∧,∨, , 0, 1) 的理想I为极大理想 I为真理想且a∈B有a∈I 或 a∈I.
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近世代数
布尔代数的同态
定义1 设(B,∧,∨, , 0, 1)和(P, ∩,∪, ~, , I)是两个布尔
代数. 如果存在一个从B到P的满射f 使得x, y B有 f(x∧y) = f(x)∩f(y), f(x∨y) = f(x)∪f(y),
f(x) =~ f(x) 则称f 是B到P的一个满同态，而称B与P 满同态.
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近世代数
布尔代数的同态
布尔代数满同态的定义还可以简化:
定义1 设(B,∧,∨, , 0, 1)和(P, ∩,∪, ~, , I)是两个布
尔代数. 如果存在一个从B到P的满射f 使得x, y B有 f(x∧y) = f(x)∩f(y), f(x) =~ f(x)
统, ∧和◦是二元运算. 若∧和∨运算满足：
(1) 交换律, 即a, b∈B a∧b = b∧a, a∨b = b∨a
(2) 分配律, 即a, b, c∈B
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c),
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
(3) 同一律, 即存在0, 1∈B, 使得a∈B有
a∧1 = a, a∨0 = a

近世代数知识点

近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。

2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。

4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。

近世代数知识点

近世代数知识点近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和概念。

在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。

一、群论群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。

一个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。

群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物理学中的对称性研究等。

二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算规则。

一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。

环论的应用包括数论、代数几何等领域。

三、域论域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数结构。

域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。

域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。

四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。

向量空间是一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。

线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。

五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。

域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。

六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。

代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。

七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。

泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。

近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。

它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。

同时，近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。

总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。

近世代数学习系列-b2 集合论笔记(续)

近世代数预备知识集合论（续）____对“集合”的一些看法集合可以说是最简单的结构。

或者说简直简单得没有结构。

对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。

从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。

这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。

当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。

OK，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。

讲这话并不是找打。

我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。

所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：定义。

如果两个集合A和B是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。

写做A~ B。

这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。

我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。

对于任意一个集合A，它的浓度当然定义为与A同等的所有集合做成的等价类。

从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。

这句话中已经暗示了一个重要的定理。

首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。

而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：定义。

如果存在一个从集合A到集合B的单射f: A→ B（这时A和f( A) 同等），我们就说A比B小。

写做A≤ B。

而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。

我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。

这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。

定理。

≤ 是一个偏序关系。

证明。

显然对任意集合A都有A≤ A。

而如果A≤ B，B≤ C，只要考虑映射的合成我们就有A≤ C。

这个定理最主要的部分在于，如果A≤ B且B≤ A，就一定有A~ B。

第二章近世代数简介

对于元素A ( x ) = ∑ a i x 和
i i=0
n-1
B (x ) =
n -1
∑ b x ，多项式加“+”定义为：
i i i= 0
n-1
A ( x ) + B ( x ) = ∑ ( ai + bi )mod q xi
i =0
(2-2)
多项式modf(x)乘“.”定义为 :
n-1 n−1 j +k A ( x ) ⋅ B ( x ) = ∑∑ ( a j bk ) x (2-3) mod q k = 0 j =0 mod f ( x )
) 多项式剩余类环的环元素是模f(x)乘的产物，即 A ( x ) ⋅ B ( x除以f(x)的余式。余式也就是“剩余”类环名称的来历。 [ ] deg n 如果f(x)的最高次幂是n，称此f(x)是n次多项式，写做 deg [ f ( x)] =。这里表示阶次degree。显然，多项式剩余类环Rq ( x ) f ( x)中所有环元素的次数不高于n-1次，通式形式为：
∀a, b ∈ I , ∃a − b ∈ I ; ∀a ∈ I , r ∈ R, ∃a r = r a ∈ I ,
则I是R的理想子环，建成理想。与一般子环相比，理想子环要求更多的条件：R必须是交换环且具有凝聚力，即任意一个子环元素与任意一个非子环的环元素运算后所得的元素一定位于子环内。环R的任意多个理想子环的交集仍是R的理想子环。
②结合性（Associativity），即
∀ a , b ∈ G , ∃ a * (b * c ) = ( a * b ) * c o
③存在惟一的一个单元e（Identity），即
∀a ∈ G ,∃a * e = e * a = a o

近世代数 B

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近世代数学习系列-b1 集合论笔记

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近世代数前两章知识总结

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近世代数北大版

近世代数的基础知识

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近世代数课件 第15节 布尔代数的理想和同态

近世代数知识点

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第二章 近世代数简介

近世代数课件第15节布尔代数的理想和同态

第二章近世代数简介