北京文科概率2006-2013

北京卷概率题（文）2006-2013
1．（2013北京文）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率;
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
解：（I）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天
的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是
6 13
.
（II）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量
重度污染的概率为
4 13
.
（III）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
2．（2012北京文）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可
回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2
S 最大时,写出,,a b c 的值(结论不要求证明),并求此时2
S 的值.
(注:方差2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-++- ,其中x 为12,,n x x x 的平均数)
2. 【考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不
要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量=2
3
=++400400100100
(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A 表示生活垃圾投放正确.
事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(A ),约为
++=0.740024060
1000
.所以P(A)约为1-0.7=0,3.
(3)当600a =,0b c ==时,2
S 取得最大值.因为1
()2003
x a b c =
++=, 所以222
21
[(600200)(0200)(0200)]80003
S =-+-+-=.
3．（2011北京文）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。

乙组记录中有一个
数据模糊，无法确认，在图中经X 表示。

（Ⅰ）如果X =8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为
19的概率。

（注：方差___
2
222
121[()()()],n s x x x n
x x x =-+-+⋯+-其中_x 为1x ，2x ，⋯n x 的
平均数） 【解析】：（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为;4
35
410988=+++=
x
方差为.16
11])43510()4359()4358[(412222
=-+-+-=s
（Ⅱ）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙
组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（A 3，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），（A 1，B 4），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4），用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：（A 1，B 4），（A 2，B 4），（A 3，B 2），（A 4，B 2），故所求概率为.4
1
164)(==C P
4．（2009北京文）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独
立的，遇到红灯的概率都是
1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率.
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()1114
1133327
P A ⎛
⎫⎛⎫=-⨯-⨯
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B ，这名学
生在上学路上遇到k 次红灯的事件()0,1,2k B k =.
则由题意，得()4
0216
381
P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
()()1
3
2
2
12142412321224,33813381P B C P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”， ∴事件B 的概率为()()()()0128
9
P B P B P B P B =++=
.
5．（2008北京文）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服
务，每个岗位至少有一名志愿者.
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么
P （E A ）=.401
44
233
3-A C A 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是
.40
1
（Ⅱ）记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E ，那么
P （E ）＝.101
44
2344=A C A 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P （E ）=1-P (E )=.10
9
6．（2007北京文）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站
开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I ）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
解：（I ）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为6
1066
1512
.15121010A P ==0≥． （II ）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为33666
91458
0.014581010C P ⨯=
==．
7．（2006北京文）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5，0.6，0.9，且三门课程考
试是否及格相互之间没有影响. 求： （Ⅰ）该应聘者用方案一考试通过的概率； （Ⅱ）该应聘者用方案二考试通过的概率.
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，
则P （A ）=0.5，P （B ）=0.6，P （C ）=0.9. （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率
)()()()(1C B A P C B A P C B A P C B A P p ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= =0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9 =0.03+0.27+0.18+0.27 =0.75.
（Ⅱ）应聘者用方案二考试通过的概率
)(31
)(31)(312C A P C B P B A P p ⋅+⋅+⋅= =31
×（0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9）
=3
1
×1.29
=0.43.。