2019-2020学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级(上)月考数学试卷及答案解析
福建省福州市延安中学2019-2020年度第二学期九年级数学月考测试题
福州延安中学2019-2020学年度第二学期初三数学月考测试卷（测试范围：中考范围测试时间：120分钟 满分：150分） 姓名成绩一、选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）（4 分）的相反数是（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣4 （4 分）2019 年 10 月 1 日，天安门广场迎来新中国成立以来的第 15 次国庆阅兵．据统计，截止至当天下午 6 点，央视新闻置顶的“国庆阅兵”阅读数已超过 34 亿．数据 34 亿用科学记数法表示为（ ） A ．0.34×1010B ．3.4×109C ．3.4×108D ．34×108（4 分）如图几何体的主视图是（ ）A ．B ． D ． （4 分）如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕着点 A 旋转至△ADE ，点 B 的对应点点D 恰好落在BC 边上，若 ，∠B ＝60°，则 C D 的长为（ ） A ．2B ．3①分别以 B ，C 为圆心，大BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点 M ，N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ，连接 CD ．若 CD ＝CA ，∠A ＝50°，则∠ACB 的度数为（ ） A ．90° B ．95° C ．100° D ．105° （4 分）如图，在四边形 A BCD 中，对角线 A C ，BD 相交于点 O ，且 O A ＝OC ，OB ＝OD ．若要使四边形 ABCD 为菱形，则可以添加的条件是（ ） A ．AC ＝BDB ．AB ⊥BCC ．∠AOB ＝60°D ．AC ⊥BD第 4 题第 5 题第 6 题（4 分）如图，七边形 A BCDEFG 中，AB 、ED 的延长线交于点 O ，着∠1、 ∠2、∠3、∠4 对应的邻补角和等于 215°，则∠BOD 的度数为（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45°（4 分）若反比例函数 y =-2的图象上有两个不同的点，这两个点关于 yx 轴对称点都在一次函数 y = -x + m 的图象上，则m 的取值范围是（ ）A． m ＞2 B ． m ＜-2 C ． m ＞2 或m ＜-2 D -2 2＜m ＜2（4分）如图，在△O A B中，顶点O（0，A （﹣3，4），B （3，4），将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为（ ） A ．（10，3） B ．（﹣3，10） C ．（10，﹣3）①这个函数图象的顶点始终在直线 y ＝﹣x +1 上； ②存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； ③点 A （x 1，y 1）与点 B （x 2，y 2）在函数图象上，若 x 1＜x 2，x 1+x 2＞2m ，则 y 1＜y 2；④当﹣1＜x ＜2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m ≥2． 其中错误结论的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 二、填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分） （4 分）若式子 x +在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．（4 分）中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是 ．第 12 题 第 13 题 第 14 题 （4 分）已知一次函数 y ＝kx +b 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 3kx ﹣b ＞0 的解集为 ．4 分）如图，是一个半径为 6cm ，面积为 12πcm 2 的扇形纸片，现需要一个半径为 R 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则 R 等于 cm ．2 22 2（4 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝119°，过点 C 的圆的切线交 B O 于点 P ，则∠P 的度数为 ．（4 分）如图，在反比例函数 y ＝﹣的图象上有一点 A ，连接 A O 并延长交图象的另一支于点 B ，在第一象限内有一点 C ，满足 AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数 y ＝ 的图象上运动，若 tan ∠CAB ＝3，则 k＝ ．三、解答题（共 9 小题，满分 86 分） （6 分）解方程：x 2+8x ﹣4＝0．（6 分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求证：∠E ＝∠ C ．（10 分）某体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）两个班共有女生多少人？（2）将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中 E 部分所对应的扇形圆心角度数；（4）身高在170≤x＜175（cm）的5 人中，甲班有3 人，乙班有2 人，现从中随机抽取两人补充到学校国旗队．请用列表法或画树状图法，求这两人来自同一班级的概率．（8 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别是边A B，AC 上的点，连接D E，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E 是AC 的中点，AD＝8，AB＝10，求AE 的长．（9 分）自2016 年1月10 日零时起，金丽温高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10 人，人均旅游费用为200 元，如果人数超过10 人，每增加1 人，人均旅游费用降低 5 元，但人均旅游费用不得低于150 元．（1）如果某单位组织12 人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用元；（2）现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625 元，那么该单位有多少名员工参加旅游？（10 分）如图，△ABC 中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF 相交于点D．（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．（12 分）阅读下面材料：学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集，例如求不等式 x ﹣ 3＞的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线 y 1＝x ﹣3 与函数 y 2＝的图象（如图 1），观察图象 可知：它们交于点 A （﹣1，﹣4），B （4．当﹣1＜x ＜0，或 x ＞4 时，y 1＞y 2，即不等式 x ﹣3＞的 解集为﹣1＜x ＜0，或 x ＞4．小东根据学习以上知识的经验，对求不等式 x 3+3x 2﹣x ﹣3＞0 的解集进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当 x ＝0 时，原不等式不成立；x ＞0 时，原不等式转化为 ； 当 x ＜0 时，原不等式转化为 ； （2）构造函数，画出图象设 ，在同一坐标系（图 2）中分别画出这两个函数的图象． （3）借助图象，写出解集观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合（1）的讨论结果，可知：不等式 x 3+3x 2 ﹣x ﹣3＞0 的 解 集 为 ．（12 分）如图，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以A B 为直径的半圆O交A C 于点D，点E是上不与点B，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F，连接BE 并延长交AC 于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若A B＝4，且点E的中点，求D F 的长为；②的中点H，当∠EAB 的度数为30°时，求证：四边形O BEH 为菱形．（13 分）已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．（1）求证：无论k 为何值，抛物线G 总与x 轴有两个交点；（2）若抛物线G 的图象不经过第三象限，求k 的取值范围；（3）对于一个函数，当自变量x 取a 时，函数值y 也等于a，我们称a 为这个函数的对等值．若函数y ＝x2+（k﹣5）x+1﹣k 有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k 的最大整数值．。
福建省福州延安中学2019-2020学年九年级第一学期期中试卷(pdf有答案)
延安中学2019-2020年第一学期初三期中考试物理试卷（满分100分，考试时间90分钟）一、选择题（共16题，每题2分，共32分）1.下列估测符合实际的是（）A．温水的温度为70℃B．人体比较舒适的温度为24℃C．人体正常的体温约为37.8℃D．福州冬天最低的温度为-10℃2.如图所示是各种不同电路器件的实物图片，属于用电器的是（）A．正在充电的电池B．电流表C．漏电保护开关D．高压输电线3.在图所示的四位科学家中，以其名字命名电阻单位的科学家是（）A．法拉第B．焦耳C．安培D．欧姆4.如图所示物态变化现象中，属于凝固现象的是（）A．“雾凇”的形成B．河水结冰C．樟脑丸逐渐变小D．露珠的形成5.如图所示为甲、乙两种物质温度T随加热时间t变化的图象，下列说法正确的是（）A．甲物质是晶体，乙物质是非晶体B．甲物质的熔点为210℃C．乙物质在BC段时处于固液共存状态D．乙物质在BC段温度不变，不吸热6.在炎热的夏天，福州的气温可高达39℃，小马同学在家使用电风扇吹风，感到凉爽，是因为（）A．电风扇吹出的风，能够降低气温B．电风扇吹出的风为冷风C．电风扇吹出的风，能吸收人体的能量D．电风扇吹出的风，能加快人体汗液的蒸发7.如图所示是内燃机工作循环中的一个冲程，它是（）A．压缩冲程，将化学能转化成内能B．压缩冲程，将机械能转化成内能C．做功冲程，将内能转化成机械能D．做功冲程，将机械能转化成内能8.下列生活情景中，通过热传递改变物体内能的是（）A．锯木头时，锯条变热B．反复弯折铁丝，弯折处变热C．用冰袋降温D．跑步使身体变得暖和9.关于比热容和热值，下列说法正确的是（）A．冰熔化成水，它的比热容不变B．燃料完全燃烧时热值较大，不完全燃烧时热值较小C．燃料热值越大，燃烧时放出的热量越多D．一桶汽油用去一半，比热容和热值都不变10.a、b、c三个金属小球均带电，如a、b两球相互排斥，b、c两球相互吸引，若将a球与不带电的d球接触后，则c、d两球之间（）A．相互吸引B．相互排斥C．既不吸引，也不排斥D．都有可能11.用电流表分别测量电路中两盏电灯的电流，发现它们的电流相等，由此推断这两灯的连接方式是（）A．一定是串联B．一定是并联C．串联、并联都有可能D．无法判断12.下列说法中错误的是（）A．当加在导体两端的电压改变时，电压与电流的比值也随着改变B．用不同的导体研究电流和电压的关系时，得到的结论都一样C．相同的电压加在电阻不同的导体两端，电流一定不同D．同一导体，两端电压越大，通过的电流也越大13.如图所示，闭合开关S后，灯泡L没有发光，电流表和电压表的示数均为0．若电路中只有一处故障，则可能的故障是（）A．灯泡L断路B．电阻R断路C．灯泡L短路D．电阻R短路14.如图是小明按设计连接的铅笔芯变阻器电路，将导线a固定在铅笔芯一端，闭合开关后，把导线b沿铅笔芯向右移动，灯泡变亮。
福建省福州市延安中学2020—2021学年第一学期九年级月考(10月份)
延安中学2020-2021学年第一学期初三月考(10月份)一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣3图象的顶点坐标为（）A ．（0，3）B ．（－2，﹣3）C ．（﹣3，﹣2）D ．（0，－3）2．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．4．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．5000（1+2x ）＝7500B ．5000×2（1+x ）＝7500C ．5000（1+x ）2＝7500D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2＝75005．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，EB AE ＝32，四边形BCFE 的面积为21，则△ABC 的面积是（）A ．391B ．25C ．35D ．636．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x 经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 顺时针旋转60°得到△BCD ，若点B 的坐标为（2，0），则点C 的坐标为（）A ．（5，3）B ．（5，1）C ．（6，3）D ．（6，1）第5题第6题7．如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，F 是AD 、BE 的交点，CE ＝2AE ，BF ＝EF ，EN ∥BC 交AD 于N ，若BD ＝2，则CD 长度为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．在同一坐标系内，二次函数y ＝ax 2+b 与y ＝ax +b （ab ≠0）的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，交CD 于点F ，交BC 的延长线于点G ，则下列结论中不正确的是（）A ．AD ＝DFB ．BGADEG AE C ．AE 2＝EF •EG D ．AE 2＝FG •EG10．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表：x ﹣1013y﹣1353给出四个结论：①ac ＜0；②x ＞2时，y 的值随x 值的增大而减小；③－1是方程ax 2+（b ﹣1）x +c ＝0的一个根；④当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x +c ＞0．其中正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．已知点A （a ，1）与点B （3，b ）关于原点对称，则a +b ＝．12．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x +a 2﹣1＝0有一个根为x ＝0，则a ＝．13．若二次函数y ＝x 2+3x ﹣c 的图象与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△AB 'C '．若点B '恰好落在BC 边上，且AB '＝CB '，则∠C '的度数为.15．如图，已知点O 是△ABC 中BC 边上的中点，且AB BD ＝53，则AECE＝．16．如图，等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，M 为AB 中点，D 是射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接ED 、ME ，则点D 在运动过程中ME 的最小值为．三．解答题（共9小题）17．解方程（1）2x2+3x﹣1＝0（2）2（x+3）2＝3x＋918．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2的坐标为（8，﹣6）．（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是．19．如图，在等腰△ABC中，AC＝AB，∠CAB＝90°，E是BC上一点，将E点绕A点逆时针旋转90°到AD，连接DE、CD．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）当BC＝6，CE＝2时，求DE的长．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围．（2）若方程两实数根为x1、x2，且满足3x1+2x2＝6，求实数m的值．21．刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝800步，点D、B、H成一线，从B处退行120步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行200步到点G处，从G 观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（结果用步来表示）．（这里古制3丈＝5步）22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．（1）求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若∠APC＝2∠ABC．PD＝4，AB＝6，PB＝3，求PC的长．23．福州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x （单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x ≤19时，甲商品的日销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表：销售单价x （元/件）1119日销售量y （件）182请写出当11≤x ≤19时，y 与x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w 元，当甲商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？24．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求BECF的值，（3）若DM ＝1，CM ＝2，求正方形AEFG 的边长．25．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点．抛物线y＝ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．。
2019-2020年九年级数学上学期月考检测题 新人教版
DC B A 2019-2020年九年级数学上学期月考检测题 新人教版 （考试时间：100分钟，满分：120分）班有： 姓名： 座号： 评分：一、选择题。
（本大题共42分，每小题3分）在下列各题的4个答案中，有且只有一个是正确的。
1、-3的相反数是（ ）A ．-3B ．3C ．-D ．2、不等式x-1＜0的解集为（ ）A . x ＞-1 B. x ＜-1 C . x ＞1 D. x ＜13、下列运算中，正确的是（ ）A.a 2+a 4=a 6B.a 6÷a 3=a 2C.(-a 4)2=a 6D.a 2·a 4=a 64、一个正方形的面积为15，估计它的边长大小在（ ）A.2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间5、从-1，-2，3，4这四个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率为（） A. B. C. D6、5. 如图所示几何体的主（正）视图是（ ）7、已知一组数据5，2，3，x ，4的众数为4，则这组数据的中位数为（ ）A.2B.3C.4D.4.5 8、“比a 的2倍大1的数”用代数式表示是（ ）A.2（a+1）B.2(a-1)C.2a+1D.2a-19、下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A.2x+1=0B.y+x=1C.x 2-1=0D.x 2-=010、下列各组的四组线段中，成比例线段的是（ ）A.2cm ，3cm ，4cm ，1cmB.3cm ，4cm ，5cm ，6cmC.1.1cm ，2.2cm ，3.3cm ，4.4cmD.1cm ，2cm ，2cm ，4cm11、如图1，在12、“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）A.必然事件B.随机事件C.确定事件D.不可能事件14．在正方形网格中，的位置如图3所示，则 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2二、填空题。
（本大题共16分，每小题4分）15、分解因式：x 2-4= 。
16、17、若=，则= 。
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级(上)开门考数学试卷 (解析版)
2020-2021学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）开门考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）方程x2＝3x的解是（）A．x＝﹣3B．x＝3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3 3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝0D．（x﹣1）2＝0 4．（4分）菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．245．（4分）若方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（）A．6B．5C．3D．46．（4分）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）7．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（）A．四边形ADEF一定是平行四边形B．若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣4，m），（﹣3，n），若x1，x2是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且﹣4＜x1＜﹣3，x2＞0，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＞0B．m﹣n＜0C．m•n＜0D．＞010．（4分）表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y…7m14k14m7…根据表中提供的信息，有以下4个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当x＝时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）其中判断正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是．12．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是．13．（4分）已知二次函数的图象与抛物线y＝﹣2x2+3的开口大小、方向完全相同，且顶点坐标为（2，﹣1），则该二次函数的表达式为．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，2），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为．15．（4分）已知x2+3x﹣5＝0，则x（x+1）（x+2）（x+3）的值是．16．（4分）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD 为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为．三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2+4x+2＝0；（2）3（2x+1）2＝4x+2．18．（8分）小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？19．（8分）已知函数y＝mx2+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．20．（8分）已知关于x的方程kx2+（k+3）x+3＝0（k≠0）．（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝9，求菱形ADCF的面积．22．（10分）如图，三角形ABC，将三角形ABC绕点A逆时针旋转120°，得到三角形ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应．（1）画出三角形ADE；（2）求直线BC与直线DE相交的锐角的度数．23．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24．（12分）如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B 为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．（1）当c＝4时，若点B（3，10）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；（2）已知点M（t﹣3，5），N（t+3，5）在该二次函数的图象上，求t的取值范围；（3）当a＝1时，若该二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，且PQ＝，求b的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．（4分）方程x2＝3x的解是（）A．x＝﹣3B．x＝3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3．故选：C．3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后所得的方程为（）A．（x+1）2＝2B．（x﹣1）2＝2C．（x+1）2＝0D．（x﹣1）2＝0解：移项得，x2﹣2x＝1，配方得，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2．故选：B．4．（4分）菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．24解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，∴菱形的边长为：＝5，∴菱形的周长为：4×5＝20，故选：C．5．（4分）若方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可以是（）A．6B．5C．3D．4解：∵方程有两个不相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4×1×c＞0，即16﹣4c＞0．解得：c＜4．故选：C．6．（4分）如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（）A．（1，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（2，0）解：作线段AD、BE、FC的垂直平分线，它们相交于点P（0，1），如图，所以△DEF是由△ABC绕着点P逆时针旋转90°得到的．故选：B．7．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3）C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，∴抛物线与x轴有两个交点．故选：C．8．（4分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（）A．四边形ADEF一定是平行四边形B．若∠B+∠C＝90°，则四边形ADEF是矩形C．若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形D．若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴EF＝AD＝DB＝AB，DE＝AF＝FC＝AC，EF∥AB，DE∥AC∴四边形ADEF是平行四边形故A正确，若∠B+∠C＝90°，则∠A＝90°∴四边形ADEF是矩形，故B正确，若四边形ADEF是菱形，则AD＝AF，∴AB＝AC∴△ABC是等腰三角形故C不一定正确若四边形ADEF是正方形，则AD＝AF，∠A＝90°∴AB＝AC，∠A＝90°∴△ABC是等腰直角三角形故D正确故选：C．9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣4，m），（﹣3，n），若x1，x2是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且﹣4＜x1＜﹣3，x2＞0，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＞0B．m﹣n＜0C．m•n＜0D．＞0解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣4，m），（﹣3，n），x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且﹣4＜x1＜﹣3，x2＞0，∴m＞0，n＜0或m＜0，n＞0，∴当m＞0，n＜0时，m+n的正负不好确定，m﹣n＞0，mn＜0，＜0，当m＜0，n＞0时，m+n的正负不好确定，m﹣n＜0，mn＜0，＜0，由上可得，一定正确的结论是mn＜0，故选：C．10．（4分）表中所列x，y的7对值是二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7x…x1x2x3x4x5x6x7…y…7m14k14m7…根据表中提供的信息，有以下4个判断：①a＜0；②7＜m＜14；③当x＝时，y的值是k；④b2≥4a（c﹣k）其中判断正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先增大后减小，∴抛物线开口向下，∴a＜0，①符合题意；∴7＜m＜14＜k，∴7＜m＜14，②符合题意；根据图表中的数据知，只有当x＝＝x4时，抛物线的顶点坐标纵坐标是k，即y 的值是k，③不符合题意；∵≥k，a＜0，∴4ac﹣b2≤4ak，∴b2≥4a（c﹣k），④符合题意．综上，可得判断正确的是：①②④．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）．解：点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）．故答案为：（﹣3，﹣4）．12．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3的最大值是﹣3．解：∵y＝﹣（x﹣2）2﹣3，∴此函数的顶点坐标是（2，﹣3），且抛物线开口方向向下，即当x＝2时，函数有最大值﹣3．故答案是：﹣3．13．（4分）已知二次函数的图象与抛物线y＝﹣2x2+3的开口大小、方向完全相同，且顶点坐标为（2，﹣1），则该二次函数的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣9．解：设该二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的图象与抛物线y＝﹣2x2+3的开口大小、方向完全相同，∴a＝﹣2，∵顶点坐标为（2，﹣1），∴h＝2，k＝﹣1，∴该二次函数的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，即y＝﹣2x2+8x﹣9．故答案为y＝﹣2x2+8x﹣9．14．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，2），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，则线段OC的长度为．解：如图，作CH⊥x轴于H．∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠BAO+∠HAC＝90°，∠HAC+∠ACH＝90°，∵AB＝AC，∴△ABO≌△CAH（AAS），∴AH＝OB＝2，CH＝OA＝3，∴OH＝OA+AH＝3+2＝5，∴C（5，3），∴OC＝＝＝，故答案为：．15．（4分）已知x2+3x﹣5＝0，则x（x+1）（x+2）（x+3）的值是35．解：∵x2+3x﹣5＝0，∴x2+3x＝5，即x（x+3）＝5，∴原式＝x（x+3）（x+1）（x+2）＝5（x2+3x+2）＝5×（5+2）＝35，故答案为：35．16．（4分）如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD 为正方形，P为射线BM上一动点，连结CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连结BE，若AB＝4，则BE的最小值为2+2．【解答】解法1：如图所示，将BC绕着点C顺时针旋转90°得FC，作直线FE交OM 于H，则∠BCF＝90°，BC＝FC，∵将CP绕点C按顺时针方向旋转90°得CE，∴∠PCE＝90°，PC＝EC，∴∠BCP＝∠FCE，在△BCP和△FCE中，，∴△BCP≌△FCE（SAS），又∵∠BCF＝90°，∴∠BHF＝90°，∴点E在直线FH上，即点E的轨迹为射线，∵BH⊥EF，∴当点E与点H重合时，BE＝BH最短，∵当CP⊥OM时，Rt△BCP中，∠CBP＝30°，∴CP＝BC＝2，BP＝CP＝2，又∵∠PCE＝∠CPH＝∠PHE＝90°，CP＝CE，∴正方形CPHE中，PH＝CP＝2，∴BH＝BP+PH＝2+2，即BE的最小值为2+2，故答案为：2+2．解法2：如图，连接PD，由题意可得，PC＝EC，∠PCE＝90°＝∠DCB，BC＝DC，∴∠DCP＝∠BCE，在△DCP和△BCE中，，∴△DCP≌△BCE（SAS），∴PD＝BE，当DP⊥OM时，DP最短，此时BE最短，∵∠AOB＝30°，AB＝4＝AD，∴OD＝OA+AD＝4+4，∴当DP⊥OM时，DP＝OD＝2+2，∴BE的最小值为2+2．故答案为：2+2．三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：（1）x2+4x+2＝0；（2）3（2x+1）2＝4x+2．解：（1）x2+4x+2＝0，x2+4x＝﹣2，x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，x+2＝±，x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．（2）3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，2x+1＝0或6x+1＝0，x1＝﹣，x2＝﹣．18．（8分）小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．19．（8分）已知函数y＝mx2+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．解：①当m＝0时，函数y＝x是一次函数，与x轴只有一个交点．②当m≠0时，函数y＝mx2+（2m+1）x+m是二次函数．∵函数图象与x轴只有一个公共点，∴关于x的方程mx2+（2m+1）x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，又△＝（2m+1）2﹣4m2＝4m2+4m﹣4m2＝4m+1，∴4m+1＝0，解得：m＝．综上所述，当m＝0或时，函数图象与x轴只有一个公共点．20．（8分）已知关于x的方程kx2+（k+3）x+3＝0（k≠0）．（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．【解答】（1）证明：∵k≠0，△＝（k+3）2﹣4•k•3＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴方程一定有两个实数根；（2）解：∵x＝，∴x1＝﹣1，x2＝﹣，∵方程的两个实数根都是整数，∴正整数k＝1或3．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝9，求菱形ADCF的面积．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，如图所示：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝9，∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF＝AC▪DF＝×8×9＝36．22．（10分）如图，三角形ABC，将三角形ABC绕点A逆时针旋转120°，得到三角形ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应．（1）画出三角形ADE；（2）求直线BC与直线DE相交的锐角的度数．解：（1）如图所示，△ADE即为所求；（2）如图，延长BC，ED，交于点F，由旋转可得，△ABC≌△ADE，∴∠E＝∠ACB，∠CAE＝120°，∵∠ACB+∠ACF＝180°，∴∠E+∠ACF＝180°，∴四边形ACFE中，∠F＝360°﹣∠CAE﹣（∠ACF+∠E）＝360°﹣120°﹣180°＝60°，∴直线BC与直线DE相交的锐角的度数为60°．23．（10分）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？解：（1）y＝300+30（60﹣x）＝﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W＝（x﹣40）（﹣30x+2100）＝﹣30（x﹣55）2+6750．∴x＝55时，W最大值＝6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x＝52时，销售300+30×8＝540，当x＝58时，销售300+30×2＝360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24．（12分）如图，在等边△BCD中，DF⊥BC于点F，点A为直线DF上一动点，以B 为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，连接EC．（1）当点A在线段DF的延长线上时，①求证：DA＝CE；②判断∠DEC和∠EDC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DEC＝45°时，连接AC，求∠BAC的度数．【解答】（1）①证明：∵把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等边△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，∵∠CBE＝60°+∠FBA，∴∠DBA＝∠CBE，∴△BAD≌△BEC，∴DA＝CE；②∠DEC+∠EDC＝90°，∵DB＝DC，DA⊥BC，∴，∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，在等边△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC＝90°；（2）分三种情况考虑：①当点A在线段DF的延长线上时，由（1）可得，△DCE为直角三角形，∴∠DCE＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，由（1）得DA＝CE，∴CD＝DA，在等边△DBC中，BD＝CD，∴BD＝DA＝CD，∴∠BDC＝60°，∵DA⊥BC，∴，在△BDA中，DB＝DA，∴，在△DAC中，DA＝DC，∴，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°+75°＝150°．；②当点A在线段DF上时，∵以B为旋转中心，把BA顺时针方向旋转60°至BE，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，在等边△BDC中，BD＝BC，∠DBC＝60°，∴∠DBC＝∠ABE，∠DBC﹣∠ABC＝∠ABE﹣∠ABC，即∠DBA＝∠EBC，∴△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∴DF＜DC，∵DA＜DF，DA＝CE，∴CE＜DC，由②可知△DCE为直角三角形，∴∠DEC≠45°．③当点A在线段FD的延长线上时，同第②种情况可得△DBA≌△CBE，∴DA＝CE，∠ADB＝∠ECB，在等边△BDC中，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DA⊥BC，∴，∴∠ADB＝180°﹣∠BDF＝150°，∴∠ECB＝∠ADB＝150°，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝90°，当∠DEC＝45°时，∠EDC＝90°﹣∠DEC＝45°，∴∠EDC＝∠DEC，∴CD＝CE，∴AD＝CD＝BD，∵∠ADB＝∠ADC＝150°，∴，，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°，综上所述，∠BAC的度数为150°或30°．25．（14分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（1，2）．（1）当c＝4时，若点B（3，10）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式；（2）已知点M（t﹣3，5），N（t+3，5）在该二次函数的图象上，求t的取值范围；（3）当a＝1时，若该二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，且PQ＝，求b的值．解：（1）∵c＝4，∴二次函数的表达式为y＝ax2+bx+4，∵点A（1，2），B（3，10）在二次函数的图象上，∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝2x2﹣4x+4；（2）∵点M（t﹣3，5），N（t+3，5）在该二次函数的图象上，∴该二次函数的对称轴是直线x＝t，∵抛物线（a＞0）开口向上，A（1，2），M，N在该二次函数图象上，且5＞2，∴由二次函数的图象及性质得，点M，N分别落在点A的左侧和右侧，∴t﹣3＜1＜t+3，∴t的取值范围是﹣2＜t＜4；（3）当a＝1 时，y＝x2+bx+c，∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，2），∴2＝1+b+c，即c＝1﹣b，∴二次函数表达式为y＝x2+bx+1﹣b，根据二次函数的图象与直线y＝3x﹣1交于点P，Q，联立，得x2+bx+1﹣b＝3x﹣1，解得x1＝1，x2＝2﹣b，∴点P，Q的横坐标分别是1，2﹣b，∴可设点P的横坐标是1，则点P与点A重合，即P的坐标是（1，2），∴点Q的坐标是（2﹣b，5﹣3b），∵PQ＝，∴（2﹣b﹣1）2+（5﹣3b﹣2）2＝（）2，解得，b1＝0，b2＝2，∴b的值为0或2．。
2019-2020学年福建省福州市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件3．点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍5．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸）（）A．五丈B．四丈五尺C．五尺D．四尺五寸6．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（）A．35°B．40°C．60°D．70°7．二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（）A．最大值﹣7 B．最小值﹣7 C．最大值7 D．最小值78．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2012 B．2016 C．2020 D．20219．如图，点A是反比例图数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y ＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣1210．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9 B．8 C．1 D．二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线．12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是．13．一个扇形的面积为6π，半径为4，则此扇形的圆心角为°．14．已知m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m2+2m+n﹣mn＝．15．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为米．16．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．三．解答题（共9小题，86分）17．（用配方法解一元二次方程）：2x2+x﹣1＝0．18．已知二次函数y＝x2+2x+a﹣2的图象和x轴有两个交点．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，a取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．19．“特色福州，美好生活”，福州举行金色秋天旅游活动．明明和华华同学分析网上关于旅游活动的信息，发现最具特色的景点有：①鼓岭、②森林公园、③青云山．他们准备周日下午去参观游览，各自在这三中个景点任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）明明同学在三个备选景点中选中鼓岭的概率是．（2）用树状图或列表法求出明明和华华他们选中不同景点参观的概率是多少？20．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面积．21．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．（1）尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．（2）求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．22．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM交DB于点N．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．23．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是，求一次函数y＝kx+b的表达式．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．25．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．参考答案一．选择题（共10小题，每题4分，共40分）1．下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．“2020年的6月21日是晴天”这个事件是（）A．确定事件B．不可能事件C．必然事件D．不确定事件解：“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D．3．点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：点P（﹣2019，2020）关于原点的对称点P′（2019，﹣2020）在第四象限．故选：D．4．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．12倍解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．5．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷有题如下：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：“有一根竹竿不知道它的长短，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长是五寸，则这根竹竿的长度为多少尺？”可得这根竹竿的长度为（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸）（）A．五丈B．四丈五尺C．五尺D．四尺五寸解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45（尺）．45尺合四丈五尺．故选：B．6．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（）A．35°B．40°C．60°D．70°解：∵∠DOE＝40°，∴∠BOD+∠COE＝180°﹣∠DOE＝140°，∵OD＝OB，OE＝OC，∴∠B＝∠BDO，∠C＝∠OEC，∴∠B+∠C+∠BDO+∠OEC＝180°﹣∠BOD+180°﹣∠EOC，∴∠B+∠C＝（360°﹣140°）＝110°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝70°，故选：D．7．二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（）A．最大值﹣7 B．最小值﹣7 C．最大值7 D．最小值7解：二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7中，k＝﹣3＜0，∴二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7，当x＝﹣1时有最大值﹣7，故选：A．8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2012 B．2016 C．2020 D．2021解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣5）＝2020．故选：C．9．如图，点A是反比例图数y＝（x＜0）图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y ＝（x＜0）图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为3，则m+n＝（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B，而m＜0，n＜0，∴S△AOC＝|m|＝﹣m，S△BOC＝|n|＝﹣n，∵AB＝2BC，∴S△ABO＝2S△OBC＝3，即﹣n＝，解得n＝﹣3∵﹣m＝3+，解得m＝﹣9，∴m+n＝﹣9﹣3＝﹣12．故选：D．10．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A．9 B．8 C．1 D．解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，∴b＝2﹣a，c＝3a+4，∵b，c都是非负数，∴，解不等式①得，a≤2，解不等式②得，a≥﹣，∴﹣≤a≤2，又∵a是非负数，∴0≤a≤2，S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，＝a2+2a+6，∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，∴a＝0时，最小值n＝6，a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，∴m﹣n＝14﹣6＝8．故选：B．二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）11．抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线x＝2 ．解：抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线x＝﹣＝2．故答案为x＝2．12．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是．解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××1×2＝4，∴飞镖落在阴影部分的概率是，故答案为：．13．一个扇形的面积为6π，半径为4，则此扇形的圆心角为135 °．解：∵S＝，∴n＝＝＝135，故答案为：135．14．已知m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m2+2m+n﹣mn＝ 1 ．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，∴m2+2m+n﹣mn＝m+n﹣mn+1，∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣1，∴m2+2m+n﹣mn＝﹣1+1+1＝1．故答案为：1．15．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为米．解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，依题意得：（30+4x+24+4x）x＝80整理得：4x2+27x﹣40＝0解得x1＝﹣8（舍去），x2＝．故答案为：．16．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是t＝或﹣1≤t＜1 ．解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），把点C的坐标代入直线解析式，得t＝y﹣x＝，当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；故答案为t＝或﹣1≤t＜1．三．解答题（共9小题，86分）17．（用配方法解一元二次方程）：2x2+x﹣1＝0．解：∵2x2+x﹣1＝0，∴x2+x+＝，∴（x+）2＝，∴x＝﹣1或；18．已知二次函数y＝x2+2x+a﹣2的图象和x轴有两个交点．（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，a取最大整数值时，求这个二次函数图象的顶点坐标．解：（1）∵根二次函数y＝x2+2x+a﹣2的图象和x轴有两个交点，∴△＝22﹣4×1×（a﹣2）＞0，解得：a＜3；（2）由题意，当a＝2时，函数为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．19．“特色福州，美好生活”，福州举行金色秋天旅游活动．明明和华华同学分析网上关于旅游活动的信息，发现最具特色的景点有：①鼓岭、②森林公园、③青云山．他们准备周日下午去参观游览，各自在这三中个景点任选一个，每个景点被选中的可能性相同．（1）明明同学在三个备选景点中选中鼓岭的概率是．（2）用树状图或列表法求出明明和华华他们选中不同景点参观的概率是多少？解：（1）明明同学在三个备选景点中选中鼓岭的概率是，故答案为：．（2）根据题意画图如下：共有9种等可能的结果数，其中明明和华华他们选中不同景点参观的有6种，则明明和华华他们选中不同景点参观的概率是＝．20．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．（1）证明：GF是⊙O的切线；（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面积．解：（1）如图，连接OE，∵，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∴GF是⊙O的切线；（2）设OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，解得：r＝3，即OE＝3，则S△GOE＝•OE•GE＝×3×＝9．21．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．（1）尺规作图：作出将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．（2）求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．解：（1）将△PAC绕点A逆时针旋转60°后所得到的△P′AB如图：（2）如图，∵△PAC绕点A逆时针旋转60°后，得到△P′AB，∴∠PAP′＝60°，PA＝P′A＝6，P′B＝PC＝10，∴△PAP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝6，∠P′PA＝60°，在△BPP′中，P′B＝10，PB＝8，PP′＝6，∵62+82＝102，∴PP′2+PB2＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠P′PB+∠BPP′＝60°+90°＝150°．22．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM交DB于点N．（1）求证：△ABD∽△BCD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．解：（1）证明：∵AB•CD＝BC•BD∴＝在△ABD和△BCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°∴△ABD∽△BCD；（2）∵△ABD∽△BCD∴＝，∠ADB＝∠BDC又∵CD＝6，AD＝8∴BD2＝AD•CD＝48∴BC＝＝＝2∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC，∠MBC＝∠BCD＝90°∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∴MC＝＝＝2．23．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC＝OC．一次函数y＝kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是，求一次函数y＝kx+b的表达式．解：（1）∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，AC＝OC，∴AC•OC＝9，∴AC＝OC＝3，∴点A的坐标为（3，3）；（2）∵四边形ABOC的面积是，∴（OB+3）×3÷2＝，解得OB＝2，∴点B的坐标为（0，2），依题意有，解得．故一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+2．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．（1）求证：AB＝BF．（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．解：（1）连接AF，∵AE是⊙O的直径，∴AF⊥EG，∵四边形BDGE是平行四边形，∴BD∥EG，∴BD⊥AF，∵∠BAC＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD垂直平分AF，∴AB＝BF；（2）∵当F为BC的中点，∴BF＝BC，∵AB＝BF，∴AB＝BC，∵∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，∵AB＝BF，∴∠ABD＝30°，∴BD＝2，∴⊙O的直径长为2．25．如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．解：如图：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．∴解得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）存在．理由如下：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，∴m＝3，∴D（2，3），∵C（0，3）∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．连接CD，∴CD∥x轴，∴∠DCB＝∠OBC＝45°，∴∠DCB＝∠OCB，在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）∴∠DBC＝∠GBC．设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得k＝﹣，b＝1，∴BP解析式为y BP＝﹣x+1．y BP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3当y＝y BP时，﹣x+1＝﹣x2+2x+3，解得x1＝﹣，x2＝3（舍去），∴y＝，∴P（﹣，）．（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．。
2019-2020学年福建福州九年级上数学月考试卷 (1)
2019-2020学年福建福州九年级上数学月考试卷一、选择题1. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()A. B.C. D.2. 二次函数y=−2(x−1)2+3的图象的顶点坐标是（）A.(1, 3)B.(−1, 3)C.(1, −3)D.(−1, −3)3. 二次函数y=−x2+2图象可能是( )A. B. C. D.4. 将抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2(x−4)2−1()A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B=70∘，则∠CAE的度数是( )A.70∘B.50∘C.40∘D.30∘6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()A.x(x+1)=1035B.x(x−1)=1035C.12x(x+1)=1035 D.12x(x−1)=10357. 在⊙O中，将圆心绕着圆周上一点A旋转一定角度θ，使旋转后的圆心落在⊙O上，则θ的值可以是（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘8. 已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的方程x2+ x+c=0的两实数根分别是( )A.1和−1B.1和−2C.1和2D.1和39. 抛物线y=2x2−x+1与坐标轴的交点个数是( )A.0B.1C.2D.310. 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l（单位：米）与时刻t（单位：时）的关系满足函数关系l=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是()A.12.75B.13C.13.33D.13.5二、填空题11. 若y=(m−2)x m2−2是二次函数，则m=________．12. 若x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m=________．13. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16米，半径OA=10米，高度CD为________米．14. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s=60t−15t2，则飞机着陆后从开始滑行到完全停止所用的时间是_______秒．15.某二次函数的几组对应值如下表所示，若x1<x2<x3<x4<x5，则该函数图象的开口方向是________.16. 二次函数y=(x−2m)2+m，当m<x<m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是________.三、解答题17. 用适当的方法解下列方程．(1)y2+4y−5=0；(2)(x+1)(x−2)=2x−4.18. 如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O 为原点建立直角坐标系，回答下列问题：(1)将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标________；(2)将△A1B1C1绕点(0, −1)顺时针旋转90∘得到△A2B2C2，画出A2B2C2；(3)观察图形发现，A2B2C2是由△ABC绕点________顺时针旋转________度得到的．m−1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．19. 关于x的一元二次方程(x−2)2=1420. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?"此问题的实质就是解决下面的问题．“如果CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，那么直径CD的长为多少寸?”请你求出CD的长.21. 如图，△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=1，将△ABC绕点B顺时针旋转45∘，得到△DBE（A，D两点为对应点），画出旋转后的图形，并求出线段AE的长．22.下表是二次函数y=ax2+bx+c的部分x，y的对应值：(1)二次函数图象的开口向________，顶点坐标是________，m的值为________；(2)当x>0时，y的取值范围是________；(3)当抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x+n的下方时，n的取值范围________．23. 活动：观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大？91×99，92×98，93×97，94×96，95×95，96×94，97×93，98×92，99×91．请用二次函数的知识，找出积最大的算式.24. 在平面直角坐标系中，已知点A在抛物线y＝x2+bx+c(b>0)上，且A(1, −1)，(1)若b−c＝4，求b，c的值；(2)若该抛物线与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点C，则命题“对于任意一个k(0<k<1)，都存在b，使得OC=K×OB”是否正确？请证明；若不正确，请举反例；(3)将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过(1, −1)，点A的对应点A1(1−m, 2b−1)，时，求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标．当m≥−3225. 在菱形ABCD中，∠BAD=α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．(1)如图1，当α=β=90∘时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得△EMF≅△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为________．(2)如图2，当α=60∘，β=120∘时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究(1)的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；(3)小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足(1)中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：________.。
福州市2020年九年级上学期9月月考数学试题A卷
福州市2020年九年级上学期9月月考数学试题A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，，的顶点在上，交于点，若，则（）A．B．C．D．2 . 下列四种汽车标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3 . 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．B．C．D．4 . 利用如图所示的几何图形的面积可以表示的公式是（）．A．B．C．D．5 . 解关于x的不等式，正确的结论是（）A．无解B．解为全体实数C．当时无解D．当时无解二、填空题6 . 当______时，分式的值为0.7 . 如图，已知点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则▱ABCD面积的最大值为_____．8 . 函数y=kx+b的大致图象如图所示，则当x＜0时，y的取值范围是．9 . 如果对于大于1的整数w，存在两个正整数x，y，使得w＝x2－y2，那么这个数w叫做智慧数．把所有的智慧数按从小到大排列，那么第2 016个智慧数是________．10 . 若关于的分式方程有增根，则的值为________．三、解答题11 . 作图与探究（不写作法，保留作图痕迹，并用 0.5 毫米黑色签字笔描深痕迹）如图，∠DBC 和∠ECB 是△ABC 的两个外角°(1)用直尺和圆规分别作∠DBC 和∠ECB 的平分线，设它们相交于点 P；(2)过点 P 分别画直线 AB、AC、BC 的垂线段 PM、PN、PQ，垂足为 M、N、Q；(3) PM、PN、PQ 相等吗？（直接写出结论，不需说明理由）12 . （阅读理解）我们知道，，那么结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即；第2行两个圆圈中数的和为，即……第行个圆圈中数的和为（个），即.这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为.（规律探究）将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为、2、），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______；由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：______；因此，______.（解决问题）根据以上发现，计算的结果.13 . （1）因式分解：；（2）计算：14 . 先化简，再求值，其中满足方程。
2023-2024学年福建省福州市九年级上学期数学月考试题及答案
2023-2024学年福建省福州市九年级上学期数学月考试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC 的度数是（ ）A. 35°B. 140°C. 70°D. 110°【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系定理即可解决．【详解】解：∵∠ABC 是圆周角，所对的弧是 AC ，∠AOC 是圆心角，所对的弧是 AC ，∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．故选：B ．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角、圆心角之间的关系定理，记住同弧所对圆心角是圆周角的两倍，属于中考常考题型．2. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，点C 在⊙O 上，∠ABC＝30°，则AC 的长是( )A. 1D. 2【答案】D【解析】【详解】解：∵AB 是⊙O 直径,∴∠ACB=90°;的的Rt△ABC 中,∠ABC=30°,AB=4;∴AC=12AB=2．故选D ．考点：圆周角定理．3. 已知O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 与O 的位置关系是（ ）A. 点P 在O 外B. 点P 在O 上C. 点P 在O 内D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可得到答案．【详解】解：O 的半径分别是3，点P 到圆心O 的距离为4，d r ∴>，∴点P 与O 的位置关系是：点在圆外，故选：A ．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d ，半径为r ，当d r =时，点在圆上，当d r <时，点在圆内，当d r >时，点在圆外．4. A ，B 是切点，若70P ∠=︒，则ABO ∠=（ ）A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°【答案】B【解析】【分析】连接OA ，根据切线的性质和四边形的内角和为360︒，求出AOB ∠的度数，等边对等角求出ABO ∠的度数即可．【详解】解：连接OA ，则：OA OB =，∵A，B 是切点，∴,OA PA OB PB ⊥⊥，∴90OBP OAP ∠=∠=︒，∴360110AOB APB OBP OAP ∠=︒-∠-∠-∠=︒，∵OA OB =，∴()1180352ABO AOB ∠=︒-∠=︒；故选B ．【点睛】本题考查切线的性质．熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是解题的关键．5. 如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点，若6BC =，10AB =，OD BC ⊥于点D ，则OD 长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用圆周角定理和勾股定理求出AC 的长，再利用垂径定理和三角形的中位线定理求出OD 的长即可．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90BCA ∠=︒，∵6BC =，10AB =，∴8AC ==，∵OD BC ⊥，∴BD CD =，∵OA OB =，∴OD 是三角形ABC 的中位线，∴142OD AC ==；故选D ．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理和三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握相关定理，正确的计算．6. 正n 边形的中心角是30°，n =（ ）A 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D【解析】【分析】根据正n 边形的中心角是360n ︒，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：36030n ︒=︒，∴12n =；故选D ．【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握正n 边形的中心角是360n︒，是解题的关键．7. 如图，⊙O 的弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，⊙O 的半径为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】分析】当OM⊥AB 时值最小．根据垂径定理和勾股定理求解．.【【详解】解：根据直线外一点到直线的线段中，垂线段最短，知：当OM⊥AB时，为最小值4，连接OA，AB=3，根据垂径定理，得：BM=12根据勾股定理，得：=5，即⊙O的半径为5．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，主要运用了垂径定理、勾股定理求得半径．特别注意能够分析出OM的最小值．8. 如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（）A. 160oB. 120oC. 100oD. 80o 【答案】A【解析】AD BD利用圆的内接四边形的性质与一条弧所对的圆心角【分析】在⊙O取点D，连接,.是它所对的圆周角的2倍，可得答案．AD BD【详解】解：如图，在⊙O取点D，连接,.四边形ACBD为⊙O的内接四边形，180,∴∠+∠=︒ACB ADB∠=︒100,ACB80,D ∴∠=︒160.AOB ∴∠=︒ ．故选A【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，同弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍，掌握相关知识点是解题的关键．9. 圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（ ）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm 【答案】B【解析】【详解】试题分析：首先根据圆的周长公式求得圆锥的底面周长=6π，然后根据圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于底面周长，根据弧长公式180n r l π=即可求得母线长6l ππ=，可得母线长为6．故选B ．考点：圆锥的计算10. 如图，ABC 内接于O ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O 的直径，6AD =，则BC 长为（ ）A. 4B.C. 6D. 【答案】C【解析】【分析】等边对等角，得到30ABC ACB ∠=∠=︒，圆周角定理，得到30ADB ∠=︒，90BAD BCD ∠=∠=︒，利用含30 度角的直角三角形的性质，求出BD 的长，再根据含30 度角的直角三角形的性质，求出BC 的长即可．【详解】解：∵120BAC ∠=︒，AB AC =，∴30ABC ACB ∠=∠=︒，∴30ADB ACB ∠=∠=︒连接CD ，则：18060BDC BAC ∠=︒-∠=︒，∵BD 为O 的直径，∴90BAD BCD ∠=∠=︒，在Rt BAD 中，30ADB ∠=︒，∴2,6BD AB AD ===，∴AB =BD =，在Rt BCD 中，BD =，60BDC ∠=︒，∴30CBD ∠=︒，12CD BD ==，∴6BC ==；故选C ．【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度角的直角三角形．熟练掌握圆周角定理，是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 如图，已知点A ，B ，C 在O 上，AC OB ∥，40BOC ∠=︒，则ABO ∠=________．【答案】20︒##20度【解析】【分析】先根据圆周角定理求出20BAC =︒∠，再根据平行线的性质可证20ABO BAC ∠=∠=︒．【详解】解：∵40BOC ∠=︒，∴20BAC =︒∠，∵AC OB ∥，∴20ABO BAC ∠=∠=︒．故答案为：20︒【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，平行线的性质，熟记圆周角定理的含义是解本题的关键．12. 用反证法证明：“a 与b 不平行”，第一步假设为________．【答案】a 与b 平行【解析】【分析】反证法的第一步假设结论的对立面成立，作答即可．【详解】解：用反证法证明：“a 与b 不平行”，第一步假设为a 与b 平行；故答案为：a 与b 平行．【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的第一步为假设结论的对立面成立，是解题的关键．13. 在半径为3的圆中，150°的圆心角所对扇形的面积是________．【答案】154π【解析】【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【详解】解：由题意，得：150°的圆心角所对的扇形的面积是21501533604ππ⨯=；故答案为：154π．【点睛】本题考查求扇形面积．熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键．14. 如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，∠ABC＝90°，AD ＝3，CD ＝2，则⊙O 的直径的长是________．【解析】【详解】连接AC ，根据∠ABC=90°可得AC 为直径，则∠ADC=90°，根据Rt△ACD 的勾股定理可得：=15. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知6,1CD EB ==，则⊙O 的半径为__________．【答案】5【解析】【详解】解：设圆的半径为r ，连接OC ，根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，()22231r r \+-=，解得r=5．故答案为5．16. 平面直角坐标系内，A(-1,0)，B(1,0)，C(4，﹣3)，P 在以 C 为圆心 1 为 半径的圆上运动，连接 PA ，PB ，则22PA PB +的最小值是_______ .【答案】34【解析】【分析】设点P (x, y )，表示出22PA PB +的值，从而转化为求OP 的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可.【详解】解:设P (x ，y)∴222,OP x y =+∵A(-1,0)，B(1,0)，∴()()2222221, 1,PA x y PB x y =++=-+∴()22222222222PA PB x y x y+=++=++ ,∴22222,PA PB OP +=+当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值,∴OP 的最小值为OC-PC=5-1=4.∴22PA PB +最小值为22222224234,PA PB OP +=+=⨯+=.故答案为: 34.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解答本题的关键是设出点P 坐标，将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值，难度较大.三、解答题（共86分）17. 如图，在O 中，弦AC ∥半径OB ，40BOC ∠=︒，求AOC ∠的度数.【答案】100︒．【解析】【分析】先根据平行线的性质得到40OCA BOC ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOC ∠的度数．【详解】解：AC ∥半径OB ，40OCA BOC ∴∠=∠=︒，OA OC = ，40A OCA ∴∠=∠=︒，1801804040100AOC A OCA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点睛】本题考查了三角形内角和：三角形内角和是180︒．也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．18. 如图，5OA OB ==，8AB =，O 的直径为6．求证：直线AB 是O 的切线．【答案】见解析【解析】【分析】过点O 作OD AB ⊥于点D ，根据三线合一和勾股定理求出OD 的长，即可．【详解】解：过点O 作OD AB ⊥于点D ，∵5OA OB ==，8AB =，∴4AD BD ==，∴3OD ==，∵O 的直径为6，∴OD 为O 的半径，又OD AB ⊥，∴直线AB 是O 的切线．【点睛】本题考查切线的判定．熟练掌握切线的判定方法，是解题的关键．19. 如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，若AC⊥OD 于E ，且 =2AB AD ．请说明AB ＝2AE ．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据垂径定理得到 2AC AD =，AC ＝2AE ，从而得到 AC AB =，得到AC=AB ，故可求解.【详解】解：∵AC⊥OD，∴AC AD=，AC＝2AE，2∵=，2AB AD∴AC AB=，∴ AC＝AB，∴ AB＝2AE．【点睛】此题主要考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握相关知识并能灵活运用.20. 如图，AB是⊙O的切线．A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH=2，AB=12，BO=13，求⊙O的半径和AC的值【答案】5，．【解析】【分析】根据切线的性质可得△AOB是直角三角形，由勾股定理可求得OA的长，即⊙O的半径；在Rt△OAH中，由勾股定理可得AH的值，进而由垂径定理求得AC的长．【详解】解：①∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥AB，在Rt△AOB中，=5，∴⊙O的半径为5；②∵OH⊥AC，∴在Rt△AOH中，，又∵OH⊥AC，．【点睛】本题考查：切线的性质、勾股定理及垂径定理的综合运用等知识，解题关键是勾股定理的应用．21. 如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C．∠DAB=∠B=30°．（1）直线BD是否与⊙O相切？为什么？（2）连接CD，若CD=5，求AB的长．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）AB=15．【解析】【分析】（1）连接OD，通过计算得到∠ODB=90°，证明BD与⊙O相切．（2）△OCD是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长【详解】解：（1）直线BD与⊙O相切．如图连接OD，CD，∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=∠ADB﹣∠ODA=120°﹣30°=90°．所以直线BD与⊙O相切；（2）连接CD，∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°，又OC=OD∴△OCD是等边三角形，即：OC=OD=CD=5=OA，∵∠ODB=90°，∠B=30°，∴OB=10，∴AB=AO+OB=5+10=15．22. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接OC，交⊙O于点E，弦AD∥OC．（1）求证：点E是弧BD的中点；（2）求证：CD是⊙O的切线．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接OD．根据相等的圆心角所对的弧相等，证明∠COD＝∠COB后得证；（2）证明OD⊥CD即可．通过证明△COD≌△COB得∠ODC＝∠OBC＝90°得证．【详解】证明：（1）连接OD．∵AD∥OC，∴∠ADO＝∠COD，∠A＝∠COB．∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．∴∠COD＝∠COB．∴弧BE＝弧DE，即点E是弧BD的中点．（2）由（1）可知∠COD＝∠COB，在△COD 和△COB 中，0OD OB COD COB OC C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△COB，∴∠CDO＝∠CBO．∵BC 与⊙O 相切于点B ，∴BC⊥OB，即∠CBO＝90°．∴∠CDO＝90°，即DC⊥OD．∴CD 是⊙O 的切线．【点睛】此题考查了圆的有关性质及切线的判定方法等知识点．①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中成立；②要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23. 如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于点D ，E ，过点D 作DF⊥BC，垂足为点F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若等边三角形ABC 的边长为4，求DF 的长；(3)求图中阴影部分面积．【答案】（1）证明见解析；（2；（323π-. 【解析】【分析】（1）连接DO ，要证明DF 为⊙O 的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）由已知可得到CD ，CF 的长，从而利用勾股定理可求得DF 的长；（3）连接OE ，求得CF ，EF 的长，从而利用S 直角梯形FDOE -S 扇形OED 求得阴影部分的面积．的【详解】（1）连接DO.∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°.∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°-∠C=30°，∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=12AB=2，∴CD=AC-AD=2.在Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=12CD=1，；（3）连接OE.由（2）同理可知CE=2，∴CF=1，∴EF=1，∴S 直角梯形FDOE =12 ∴S 扇形OED =26022=3603ππ⨯∴S 阴影=S 直角梯形FDOE -S 扇形OED 23π-24. 已知二次函数22y ax ax c =-+图象与x 轴交于坐标原点O 和点A ，顶点为点P ．（1）求点P 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）已知点P 纵坐标与点A 横坐标相同，直线6y kx =-与抛物线交于M ，N 两点（点M 在点N 左侧），连接AM AN ，设直线AM 为11y k x m =+，直线AN 为22y k x n =+；①求P 点坐标．②求证：当3k ≠时，12k k 的值不变．【答案】（1）()1,a -（2）①点P 坐标为()1,2；②1212k k ⋅=-．【解析】【分析】（1）由抛物线经过原点可得0c =，将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）①由点P 纵坐标与点A 横坐标相同可求出A ，P 坐标；②由直线AM ，AN 经过点A 可得m ，n 与1k ，2k 的关系，设点M ，N 横坐标分别为1x ，2x ，令2624kx x x -=-+可得1242k x x -+=，213x x ⋅=-，用含1x ，2x 及k 的代数式分别表示1k ，2k ，进而求解．【小问1详解】抛物线经过原点，0c ∴=，()2221y ax ax a x a ∴=-=--，∴点P 坐标为()1,a -．【小问2详解】① 抛物线对称轴为直线1x =，∴点A 坐标为()2,0，点P 纵坐标与点A 横坐标相同，2a ∴-=，2a ∴=-，∴点P 坐标为()1,2．②令2624kx x x -=-+，整理得()22460x k x +--=，设点M 横坐标为1x ，点N 横坐标为2x ，1242k x x -∴+=，213x x ⋅=-， 点M 在直线6y kx =-与直线AM 上，把(2,0)代入11y k x m =+得12m k =-，1112y k x k ∴=-，令111162kx k x k -=-，可得11162kx k x -=-， 点N 在直线6y kx =-与直线AN 上，把(2,0)代入22y k x n =+得22n k =-，2222y k x k ∴=-，令222262kx k x k -=-，可得22262kx k x -=-，()()212121212121212636662224k x x k x x kx kx k k x x x x x x -++--∴⋅=⋅=---++，把1242k x x -+=，213x x ⋅=-代入()()21212121263624k x x k x x x x x x -++-++得1236123k k k k-⋅=-+，3k ∴≠时，1212k k ⋅=-．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数和方程的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系．25. ABC 内接于O ，点D 在BC 边上，射线AD 交O 于点E ，点F 在弧BE 上，连接AF ，ADB AFE ∠=∠.（1）如图1，求证：AB AC =；（2）如图2，BE 交弦AF 于点G ，BC 经过O 点，2AGE EAF ∠=∠，求证：AF BE =；（3）如图3，在（2）的条件下，H 为EG 的中点，连接OH 、CH ，若2180ACH ABE ∠+∠=︒，AB =，求线段OH 的长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3【解析】【分析】（1）连接CF ，得到CFE CAE ∠=∠，AFC ABC ∠=∠，即AEF ABC CAE ∠=∠+∠，然后根据ADB CAE ACB ADB AFE ∠=∠+∠∠=∠，，可得到结果；（2）连接BF ，找到角度之间的关系，结合（1）中的结论，可得到AG EG =，通过同弧所对的圆周角相等，可得到AFB EBF ∠=∠，进而得到BG GF =，即可求得结果；（3）延长CH 交FG 于点K ，过O 作OM BE ⊥于点M ，过A 作AN CE ⊥于点N ，则90N AGB ∠=︒=∠，然后根据（1）（2）中的条件判断出四边形CKFE 是平行四边形，四边形ANEG 是矩形，得到MH =【小问1详解】证明：连接CF ，，∵ CECE =，∴CFE CAE ∠=∠，∵ AC AC =，∴AFC ABC ∠=∠，∴AEF AFC CFE ABC CAE ∠=∠+∠=∠+∠，∵ADB CAE ACB ADB AFE ∠=∠+∠∠=∠，，∴A ABC CB =∠∠，∴AB AC =；【小问2详解】证明：连接BF ，，∵BC 是直径，∴90BAC ∠=︒，∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠==︒，∴18045135AGE EAF ∠+∠=︒-︒=︒，∵2AGE EAF ∠=∠，∴90AGE ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴AG EG =，∵ AB AB =， EFEF =，∴45AFB AEB ∠=∠=︒，45EBF EAF ∠=∠=︒，∴AFB EBF ∠=∠，∴BG GF =，∴AG GF EG GB +=+，∴AF BE =；【小问3详解】解：延长CH 交FG 于点K ，过O 作OM BE ⊥于点M ，过A 作AN CE ⊥于点N ，则90N AGB ∠=︒=∠，，∵»»AE AE =，∴45AFE ABE ABC CBE CBE ∠=∠=∠+∠=︒+∠，∵45ACH ACB BCH BCH ∠=∠+∠=︒+∠，∴()245245ACH ABE BCH CBE ∠+∠=︒+∠+︒+∠1352180BCH CBE =︒+∠+∠=︒，∴245BCH CBE ∠+∠=︒，∴45CHE CBE ∠+∠=︒，∵45BEF CBE BAF CAE ∠+∠=∠+∠=︒，∴CHE BEF ∠=∠，∴CK EF =，∵BC 是直径，∴90CEB AGB ∠=︒=∠，∴AF CE ∥，∴四边形CKFE 是平行四边形，∴CK KF =，∵H 是GE 的中点，∴CH KH =，∵90CEG KGH ∠=∠=︒，∴CHE KHG ∠=∠，∴CHE KHG ≌△△，∴CE KG KF ==，设CE x =，则2FG x =，由（2）得2BG x =，∵90N CEG AGE ∠=∠=∠=︒，∴四边形ANEG 是矩形，∵AG EG =，∴四边形ANEG 是正方形，∴AG AN EN EG ===，∵AB AC =，∴Rt AGB Rt ANC △≌△，∴2BG CN x ==，∴3AN EN x ==，∵AB AC ==，∴在Rt ACN V 中，由勾股定理可得()()22232x x +=，∴x =（舍）或x ，∴CE =EG =，则BE BG EG =+=，∴GH HG ==，∵OM BE ⊥，∴BM ME ==∴MH ==，∵OB OC =，∴OM 是BCE 的中位线，∴12OM CE ==，在Rt OMH 中，OH ===【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，其中有同弧所对的圆周角相等，垂线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是找到各个角度、边长之间的关系．。
2019届福建省九年级上学期第二次月考数学试卷【含答案及解析】
2019届福建省九年级上学期第二次月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 方程x2-2x=0的根是（）A．B．C．D．，2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）A． B． C． D．3. 小明从上面观察下图所示的两个物体，看到的是（）4. 下列性质中正方形具有而矩形没有的是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．四个角都是直角5. 如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（）A．逐渐变短 B．逐渐变长C．先变短后变长 D．先变长后变短6. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（）A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小7. 若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．-1 B．1 C．-4 D．48. 如图，小东用长为3．2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．8m D．7m9. 如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于（）A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶210. 下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A． B． C．D．二、填空题11. 有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为2，3，4，随意从每组中牌中抽取一张，数字和是6的概率是．12. 如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是．13. 若反比例函数的图象经过点（3，－4），则k= ．14. 如图，在矩形ABCD中，对角线与相交于点O，且AB=OA=2cm ，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm．15. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于．16. 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是．三、解答题17. （1）解方程：x-2=x（x-2）（2）计算：18. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．19. 如图所示，课外活动中，小明在离旗杆AB的10米C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角，已知测角仪器的高CD=1． 5米，求旗杆AB的高．（精确到0．1米）（供选用的数据：，，）20. 如图，已知菱形ABCD，AB=AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于P（-2，1）、Q（1，）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．22. 某市某楼盘准备以每平方米6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9．8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？23. 将一副三角尺如图①摆放（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°）点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°<α<60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。
2023-2024学年福建省福州市鼓楼区九年级上学期数学月考试题及答案
2023-2024学年福建省福州市鼓楼区九年级上学期数学月考试题及答案一、单选题（每题4分，共10题）1. 在平面直角坐标系中，点()4,2P -关于原点的对称点的坐标为（ ）A. ()4,2 B. ()4,2- C. ()4,2-- D. ()2,4-【答案】B【解析】【分析】根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均为相反数，进行求解即可．【详解】解：点()4,2P -关于原点的对称点的坐标为()4,2-；故选B ．【点睛】本题考查坐标与中心对称．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横纵坐标均为相反数，是解题的关键．2. 关于x 的方程221(21))10(k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是 （ ）A. 14k ≥且1k ≠± B. 14k ≥且1k ≠ C. 14k > D. 14k ≥【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论：①2(1)0k -=，为一元一次方程；②2(01)k -¹，为一元二次方程，根据根的判别式计算即可．【详解】解：①当2(1)0k -=时1k =，此时方程为310x +=，有实数根；②当2(01)k -¹时1k ≠，此时方程为为一元二次方程，∵方程有实数根∴22(21))1(04k k +--∆=≥，解得：14k ≥综上所述：14k ≥故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）根的判别式24b ac ∆=-：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根．分两种情况讨论是解题的关键．3. 某种音乐播放器3MP 原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分比为x ，则可列方程为（ ）A. ()4001256x -=B. ()24001256x -=C. ()2561400x -=D. ()22561400x -=【答案】B【解析】【分析】根据原价、降价的百分比、售价的关系列方程即可．【详解】解：第一次降价后的售价为()4001x -元，第二次降价后的售价为()24001x -元，因此可列方程为：()24001256x -=，故选B ．【点睛】本题考查列一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，找准等量关系．4. 关于二次函数 221y x =-+ 的图象，下列说法中，正确的是（ ）．A. 对称轴为直线 1x =B. 顶点坐标为()21-，C. 可以由二次函数 22y x =- 的图象向左平移1个单位得到D. 在y 轴的左侧，图象上升，在y 轴的右侧，图象下降【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的性质逐项判断即可．【详解】解：A.二次函数 221y x =-+ 的对称轴为直线0x =，故A 选项不符合题意；B. 二次函数 221y x =-+ 的顶点坐标()01，，故B 选项不符合题意；C. 二次函数 221y x =-+ 的图像可以由二次函数 22y x =- 的图像向上平移1个单位得到，故C 选项不符合题意；D. 二次函数221y x =-+ 的图像开口向下，在对称轴左侧，图像上升，在对称轴右侧，图像下降，故D 选项符合题意．故答案：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，理解二次函数图象与解析式系数的关系是解答本题的关键．5. 如图所示是一个中心对称图形，点A 为对称中心．若90C ∠=︒，30B ∠=︒，1BC =，则BB '的长为（ ）A. 4【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的特点可知：AB AB '=，再根据含30︒角的直角三角形的性质以及勾股定理求出AB =，问题随之得解．【详解】根据中心对称图形的特点可知：AB AB '=，∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴在Rt ABC △中，12AC AB =，∵在Rt ABC △中，222AB AC BC =+，1BC =，∴222112AB AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：AB =（负值舍去），∴AB AB '==，∴B AB AB B ='='+，故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的特点，含30︒角的直角三角形的性质以及勾股定理，为根据中心对称图形的特点得到AB AB '=，是解答本题的关键．6. 2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间的关系式为2h t bt =-+．已知足球被踢出9s 时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t 为（ ）A. 3sB. 3.5sC. 4sD. 4.5s 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得当9t =时，0h =，再代入，可得到该函数解析式为29h t t =-+，然后化为顶点式，即可求解．【详解】解：根据题意得：当9t =时，0h =，∴2099b =-+，解得：9b =，∴该函数解析式为29h t t =-+，∵()229 4.520.25h t t t =-+=--+，∴足球到达距离地面最大高度时的时间t 为4.5s ．故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．7. 如图，O 的半径为5,M 是圆外一点，6MO =，30,OMB MB ∠=︒交O 于点,A B ，则弦AB 的长为（ ）A. 4B. 6C.D. 8【答案】D【解析】【分析】过O 作OC AB ⊥于C ，连接OA ，根据含30︒角的直角三角形的性质得出132OC MO ==，根据勾股定理求出AC ，再根据垂径定理得出2AB AC =，最后求出答案即可．【详解】解：过O 作OC AB ⊥于C ，连接OA ，则90OCA ∠=︒，6MO = ，30OMA ∠=︒，132OC MO ∴==，在Rt OCA 中，由勾股定理得：4AC ===，OC AB ⊥ ，BC AC ∴=，即2248AB AC ==⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查了含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，解题的关键是能熟记垂直于弦的直径平分弦．8. 如图，O 是弧AD 所在圆的圆心．已知点B 、C 将弧AD 三等分，那么下列四个选项中不正确的是（ ）A. 2AC CD =B. 2AC CD =C. 2AOC COD ∠=∠D.2AOC COD S S =扇形扇形．【答案】B【解析】【分析】利用三等分点得到 AB BCCD ==，由此判断A ；根据AB=BC=CD ，得到AB+BC>AC ，由此判断B ；根据 2AC CD=即可判断C ；根据 AB BC CD ==，得到AOB BOC COD S S S ==扇形扇形扇形，由此判断D ．【详解】解：连接AB 、BC ，OB ，∵点B 、C 将弧AD 三等分，∴ AB BCCD ==，∴ 2AC CD=，故A 选项正确；∵ AB BCCD ==，∴AB=BC=CD，∵AB+BC>AC，∴AC<2CD，故B 选项错误；∵ 2AC CD=，∴2AOC COD ∠=∠，故C 选项正确；∵ AB BCCD ==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD，∴AOB BOC COD S S S ==扇形扇形扇形，∴2AOC COD S S =扇形扇形，故D 选项正确；故选：B ．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦定理：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦中有一个量相等，另两个量也对应相等．9. 一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（ ）A. 2.25米B. 2.2米C. 2.15米D. 2.1米【答案】A【解析】【分析】连接矩形门洞的对角线交于点O ，过点O 作OD BE ⊥于点D ，由圆周角定理得到AB 为圆O 的直径，勾股定理得到 2.5AB =米，则圆的半径1 1.252AB ==米，由中位线定理得到112OD BC ==米，即可得到改造后门洞的最大高度 1.251 2.25=+=米．【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O ，过点O 作OD BE ⊥于点D ，∴点O 为线段AB 中点，90ACB ∠=︒，∴AB 为圆O的直径，的∵宽为1.5米，高为2米，∴ 2.5AB ==（米），∴圆的半径1 1.252AB ==（米），∵OD BE ⊥，∴点D 为BE 的中点，又∵点O 为线段AB 的中点，∴OD 是BCE 的中位线，∴112OD BC ==（米），则改造后门洞的最大高度 1.251 2.25=+=（米）；故选：A ．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、中位线定理、矩形的性质等知识，求出圆的半径是解题的关键．10. 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠ 与x 轴交于点A(－1,0)，对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结论：①抛物线与x 轴的另一个交点是(3,0)；②点()11,C x y ，()22,D x y 在抛物线上，且满足121x x <<，则12y y >；③常数项c 的取值范围是23c ≤≤；④系数a 的取值范围是213a -≤≤-．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ①③④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的对称性对①进行判断；根据④的结论可知函数的开口方向，然后得到二次函数的增减性，即可对②进行判断；根据抛物线与y 轴的交点对c 进行判断即可判断③；由对称轴可得b=-2a ，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a ，又由③得到c 的取值范围，进而得到a 的取值范围．【详解】抛物线对称轴为x=1，且与x 轴交点为（-1，0），故与x 轴的另一个交点为（3,0），故①正确；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），且与y 轴交点B 在()0,2和()0,3之间（包含这两个点）运动，故c 的取值范围是23c ≤≤，故③正确；抛物线对称轴为x=1，得b=-2a ，由x=-1时，可得a-b+c=0，则c=-3a ，又由③已知23c ≤≤，故有2≤-3a≤3，故213a -≤≤-，故④正确；由④得结论可知，抛物线开口向下，且对称轴为x=1，得到当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故当121x x <<，有y 1<y 2，故②错误；综上正确的有①③④，故选D ．【点睛】本题考查二次函数一般式的基本性质，熟练掌握二次函数一般式各系数的意义是解题关键．二、填空题（每题4分，共8题）11. 已知点()2,2P a b --与点()6,2Q a b -+关于原点对称，则a b +=______.【答案】0【解析】【分析】根据中心对称的性质，构建方程组2(6)2(2)a b a b -=--⎧⎨+=--⎩，求解计算即可．【详解】解：由题意，2(6)2(2)a b a b -=--⎧⎨+=--⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩；∴0a b +=．故答案为：0．【点睛】本题考查中心对称的性质，理解中心对称的定义是解题的关键．12. 已知点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线23y x =-上，且120x x <<，则1y _________2y ．（填“<”或“>”或“=”）【答案】<【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．【详解】解：23y x =-的对称轴为y 轴，∵10a =>，∴开口向上，当0x >时， y 随x 的增大而增大，∵120x x <<，∴12y y <．故答案为：<．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．13. 新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x 人，则x 的值为______ ．【答案】14【解析】【分析】第一轮共感染()1x +人，第二轮共感染()()2111x x x x +++=+（人），根据经过两轮传染将会有225人感染，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：由题意得：()21225x +=，解得：114x =，216x =-（不合题意舍去），故答案为：14．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14. 如图，BD OD =，38B ∠=︒，则AOD ∠的度数为___________．【答案】28︒##28度【解析】【分析】根据等腰三角形性质可得38DOB B ∠=∠=︒，利用三角形外角的性质可得：的276ADO B ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：∵BD OD =，38B ∠=︒∴38DOB B ∠=∠=︒∴276ADO B ∠=∠=︒由题意可得：OA OD=∴76ADO DAO ∠=∠=︒∴180228AOD ADO ∠=︒-∠=︒故答案为：28︒【点睛】此题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．15. 如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 是O 上一点，55CDB ∠=︒，则ABC ∠=________︒．【答案】35【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等，得55,A CDB ∠=∠=︒再根据直径所对的圆周角为直角，得90ACB ∠=︒，然后由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：,A CDB ∠∠Q 是 BC所对的圆周角，55,A CDB ∴∠=∠=︒AB 是O 的直径，90ACB ∠=︒ ，在Rt ACB △中，90905535ABC A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故答案为: 35．【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．16. 二次函数2()y a x h =-的图象如图所示，已知1,2a OA OC ==，则该二次函数的解析式为________．【答案】21(2)2y x =-【解析】【分析】把a 的值代入二次函数解析式，根据OA OC =求出h 的值，即可确定出解析式．【详解】解：由题意，得(),0C h ，OA OC = ，()0,A h ∴，将点A 坐标代入抛物线解析式，得()2102h h =⨯-，解得：2h =或0(不合题意，舍去)，∴该抛物线的解析式为()2122y x =-，故答案为：()2122y x =-．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于把坐标代入解析式求解．17. 如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x 轴，拱桥的拱点O 为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数218y x =-表示（单位：m ）．已知目前桥下水面宽4m ，若水位下降1.5m ，则水面宽为______m ．【答案】8【解析】【分析】由目前桥下水面宽4m ，求得对应y 的值，再由水位下降1.5m ，得到此时y 的值，代入解析式即可求得x 的值，即可求出水面的宽．【详解】解：目前桥下水面宽4m ，即x=2时，221112=882=y x =--⨯-当水位下降1.5m ，即1= 1.522y --=-2128=x --4x ∴=±此时水面的宽为8m故答案为：8．【点睛】本题考查二次函数的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．18. 喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段MN ，先将线段MN 绕点M 逆时针旋转75︒，再绕点N 顺时针旋转75︒，旋转后的两条线段交于点P ，我们称点P 为线段MN 的“双旋点”，如图，已知直线2y x =+与x 轴和y 轴分别相交于点A ，点B ，则线段AB 的“双旋点”P 的坐标为______．【答案】(3-+【解析】【分析】根据直线2y x =+与x 轴和y 轴分别相交于点A ，点B ，得到()()2002A B -，，，，从而得到2,45OA OB OAB OBA AB ==∠=∠=︒==，得75PAB PBA ∠=∠=︒，继而得到30,120APB PAO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG AO ⊥于点G ，继而得到60,30PAG GPA ∠=︒∠=︒，过点B 作BQ AO 交PA 于点Q ，过点A 作AD BQ ⊥于点D ，解直角三角形计算即可．【详解】∵直线2y x =+与x 轴和y 轴分别相交于点A ，点B ，∴()()2002A B -，，，，∴2,45OA OB OAB OBA AB ==∠=∠=︒==，根据题意，得75PAB PBA ∠=∠=︒，∴30,120APB PAO ∠=︒∠=︒，过点P 作PG AO ⊥于点G ，∴60,30PAG GPA ∠=︒∠=︒，过点B 作BQ AO 交PA 于点Q ，∴60PAG AQB ∠=∠=︒，∴30PBQ AQB APB APB ∠=∠-∠=︒=∠，∴QP QB =，过点A 作AD BQ ⊥于点D ，∴四边形ADBO 是正方形，∴2AD DB BO OA ====，30DAQ ∠=︒，∴2AQ QD =，∴2224AQ QD AD -==，∴()2224QD QD -=，解得QD AQ ==∴2QP QB ==+，∴22PA ==+∴112GA PA ==∴3PG ==∴3GO AG OA =+=+，∴点(33P -+，故答案为：(3-+．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．三、解答题19. 解方程：（1）()22218x -=；（2）2260x x --=．【答案】（1）15=x ，21x =-（2）132x =-，22x =【解析】【分析】1（）利用直接开平方法解方程即可；2（）利用“十字相乘法”对等式左边进行因式分解，然后解方程．【小问1详解】由原方程，得()229x -=，开方，得23x -=±，解得15=x ，21x =-；的【小问2详解】由原方程，得()()2320x x +-=，解得132x =-，22x =．【点睛】本题考查了因式分解法、直接开平方法解一元二次方程．关键是根据方程的特点，合理地选择解方程的方法．20. 已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若12x x ，是原方程的两根，且12x x -=，求m 的值．【答案】（1）证明过程见详解（2）m 的值3或5-【解析】【分析】（1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解；（2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出12x x +，12x x ∙的值，由此即可求解．【小问1详解】解：原方程总有两个不相等的实数根，2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，∴2224(3)41(1)25b ac m m m m ∆=-=+-⨯⨯+=++，∴()2Δ140m =++>，∴无论m 取何值，原方程的判别式恒大于零，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：2(3)10x m x m ++++=中1a =，3b m =+，1c m =+，且12x x ，是原方程的两根，12x x -=，∴12(3)b x x m a +=-=-+，121c x x m a ∙==+，∴2222121122()2(3)x x x x x x m +=++=+，则22212(3)2(1)x x m m +=+-+，∵12x x -=，即(2212()x x -=，∴221212220x x x x +-=，∴2(3)2(1)2(1)20m m m +-+-+=，整理得，22150m m +-=，解方程得，13m =，25m =-，∴m 的值3或5-．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键．21. 如图，若将线段AB 绕点O 旋转180︒，得到点A 的对应点A '，点B 的对应点为B '．（1）画出旋转后的图形，并连接AB BA ''，；（2）四边形ABA B ''的形状一定为___________．（填写序号即可）①矩形；②菱形；③平行四边形；④不能确定形状的任意四边形【答案】（1）见解析 （2）③【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用平行四边形的判定证明即可．【小问1详解】解：旋转后的图形，如图所示：【小问2详解】解：结论：四边形ABA B ''是平行四边形．理由：∵OA OA '=，OB OB =¢，∴四边形ABA B ''是平行四边形．故答案为：③．【点睛】本题考查作图−旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．22. 如图，O 的半径为1，点A ，B ，C 是O 上的三个点，点P 在劣弧AB 上，120APB ∠=︒，PC 平分APB ∠．求证：（1）ABC 是等边三角形；（2）PA PB PC +=．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，以及角平分线平分角，推出60CAB CBA ∠=∠=︒，即可得证；（2）在PC 上截取PD AP =，易得APD △为等边三角形，证明CAD PAB ≌，得到CD PB =，即可得证．【小问1详解】证明：∵120APB ∠=︒，PC 平分APB ∠，∴60APC CPB ∠=∠=︒，∵CBA CPA CAB CPB ∠=∠∠=∠，，∴60CAB CBA ∠=∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∴ABC 是等边三角形；【小问2详解】证明：在PC 上截取PD AP =，∵60CPA ∠=︒，∴APD △为等边三角形，∴AD AP =，60DAP ∠=︒，由（1）知ABC 为等边三角形，∴AC AB =，60CAB DAP ∠=︒=∠，∴CAD BAP ∠=∠，∴CAD PAB ≌，∴CD PB =，∴PC CD PD PB PA =+=+．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知同弧所对的圆周角相等，以及等边三角形的判定和性质．23. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg ，销售价格不高于18元/kg ，且每售卖1kg 需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y （kg ）与销售价格x （元/kg ）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 的函数解析式．（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？【答案】（1）1003000y x =-+（2）当销售单价定为18元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元【解析】【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）设销售销这种荔枝日获利w 元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解．【小问1详解】解：设y 与x 的函数解析式为y kx b =+，∵改函数图象经过点()8,2200和点()14,1600∴82200141600k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1003000k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数解析式为1003000y x =-+；【小问2详解】解：设销售销这种荔枝日获利w 元，根据题意，得，()()621003000w x x =---+2100380024000x x =-+-()21001912100x =--+1000a =-< ，对称轴为直线19x =，∴在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∵销售价格不高于18元/kg ，∴当18x =时，w 有最大值为12000元，∴当销售单价定为18时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为12000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．24. 如图，正方形OEFG 绕着边长为a 的正方形ABCD 的对角线的交点O 旋转，边OE OG 、分别交边AD AB 、于点M 、N ．（1）求证：OM ON =；（2）问四边形OMAN 的面积是否随着a 的变化而变化？若不变，请用a 的代数式表示出来，若变化，请说明理由；（3）试探究PA PN BN 、、三条线段之间有怎样的数量关系，并写出推理过程．【答案】（1）证明见解析（2）不变，214OMAN S a =四边形 （3）222PN BN PA =+【解析】【分析】（1）连接AC BD 、，证明AOM BON≌()ASA ，即可得到OM ON =；（2）由AOM BON ≌可知AOM BON S S = ，则21144OMA OAN OBN OAN OAB ABCD OMAN S S S S S S S a =+=+=== 正方形四边形；（3）由（1）可知AOM BON ≌，则,AM BN OM ON ==，由四边形OEFG 是正方形得到45MOP NOP ∠=∠=︒，证明()SAS MOP NOP ≌，则PM PN =，由勾股定理得到222PM MA PA =+，等量代换后即可的结论【小问1详解】证明：连接AC BD 、，在正方形ABCD 中，45,OAM OAN OBN OA OB ∠=∠=∠=︒=，∵90AOM AON EOG ∠+∠=∠=︒，90BON AON AOB ∠+∠=∠=︒，∴AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中，OAM OBN OA OB AOM BON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOM BON≌()ASA ，∴OM ON =；【小问2详解】不变，214OMAN S a =四边形，∵AOM BON ≌，∴AOM BON S S = ，∴21144OMA OAN OBN OAN OAB ABCD OMAN S S S S S S S a =+=+=== 正方形四边形；【小问3详解】222PN BN PA =+，证明如下：如图，由（1）可知AOM BON ≌，∴,AM BN OM ON ==，∵四边形OEFG 是正方形，∴45MOP NOP ∠=∠=︒，在Rt MOP 和Rt NOP 中，OM ON MOP NOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MOP NOP ≌，∴PM PN =，在Rt AMP 中，由勾股定理得222PM MA PA =+，∴222PN BN PA =+．【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、矩形的判定和性质、图形的旋转、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．25. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为(4,3)．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD ∆面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为2134y x x =-++，直线l 的解析式为112y x =+；（2）PAD ∆的面积的最大值为274，15(1,)4P ．（3）Q 的坐标为13(0,)3或(0,9)-．【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点P 作PE∥y 轴交AD 于点E ．设P （m ，-14m 2+m+3），则E （m ，12m+1）．因为S △PAD =12•（x D -x A ）•PE=3PE ，所以PE 的值最大值时，△PAD 的面积最大，求出PE的最大值即可．（3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T （-5，6），设DT 交y 轴于点Q ，则∠ADQ=45°，作点T 关于AD 的对称点T′（1，-6），设DQ′交y 轴于点Q′，则∠ADQ′=45°，分别求出直线DT ，直线DT′的解析式即可解决问题．【详解】解：（1） 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，∴设抛物线的解析式为(2)(6)y a x x =+-，解得，2x =-，或6x =，(4,3)D 在抛物线上，3(42)(46)a ∴=+⨯-，解得14a =-，∴抛物线的解析式为211(2)(6)344y x x x x =-+-=-++， 直线l 经过(2,0)A -、(4,3)D ，设直线l 解析式为(0)y kx m k =+≠，则2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩，的解得，121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线l 的解析式为112y x =+；（2）如图1中，过点P 作//PE y 轴交AD 于点F ．设21(,3)4P m m m -++，则1,12F m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．()132PAD D A S x x PF PF ∆=⋅-⋅= ，PF ∴的值最大值时，PAD ∆的面积最大，()2221111193121424244PF m m m m m m =-++--=-++=--+ ，104-< ，1m ∴=时，PF 的值最大，最大值为94，此时PAD ∆的面积的最大值为274，15(1,4P ．（3）如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AT ，则(5,6)T -，设DT 交y 轴于点Q ，则45ADQ ∠=︒，(4,3)D ，∴直线DT 的解析式为11333y x =-+，13(0,)3Q ∴，作点T 关于AD 的对称点(1,6)T '-，则直线DT '的解析式为39y x =-，设DQ '交y 轴于点Q '，则45ADQ ∠'=︒，(0,9)Q ∴'-，综上所述，满足条件的点Q 的坐标为13(0,3或(0,9)-．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题．。
2019-2020学年福建福州九年级上数学月考试卷
4.
【答案】
【考点】
坐标与图形变化-旋转
【解析】
连接 ， ，线段 、 的垂直平分线的交点就是点 ．
【解答】
解：如图所示，点 的坐标是 ．
故答案是： ．
5.
【答案】
【考点】
旋转的性质
【解析】
由旋转性质知 ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ，再等腰 中得 ＝ ，据此可得答案．
【解答】
解：∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
【解答】
解： 由题意可得， ．
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
如图，
点 关于抛物线的对称轴对称的点是 ，
连接 交对称轴于点 ，
则点 就是使得 的值最小的点．
由 ，得对称轴是 ，
由 ， ，得
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 .
7.
【答案】
证明：∵线段 绕点 逆时针旋转 到 ，
， ，
∴ 是等边三角形， .
求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
当销售单价 定为每瓶多少元时，销售利润 最大？最大利润是多少？
9.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ，已知 ， ．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
D
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
【解析】
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形， 不合题意；
圆是中心对称图形，也是轴对称图形， 不合题意；
2019~2020第一学期鼓楼区九年级数学(上)期末试卷(含答案)
1． 2． 3． 鼓楼区九年级数学、选择题（本大题共 6小题，每小题 2分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相．应．位．置．上） 若关于 x 的方程 （ m － 1）x2＋ mx － 1＝ 0是一元二次方程，则 A ．m ≠1 B ．m ＝1 C ．m ≠0 已知△ ABC ，以 AB 为直径作⊙ O ，∠C ＝88°，则点 C 在 A ．⊙O 上B ．⊙O 外C ．⊙O 内 要得到函数 y ＝2（x －1）2＋3 的图像，可以将函数 y ＝ 2x 2的图像m 的取值范围是 m ≥1 D ． D ． A ． 向左平移 1 个单位长度， 再向上平移 3 个单位长度 B 向左平 1 个单位长再向下平移 3个单位长度 C ． 向右平移 1 个单位长度， 再向上平移 3个单位长度 D ． 向右平移 1 个单位长度， 再向下平移 3 个单位长度 如图， OA 、OB 是⊙ O 的半径， C 是⊙ O 上一点．若∠ OAC ＝16°， 4． ∠ OBC ＝54°，则∠ AOB 的大小是 A ．70° B ．72° C ．74° 无法确定 D ． 5．下图是甲、乙两人 2019年上半年每月电费支出的统计，则 他们 2019 年上半年月电费支出的方差 D ．无法确定C ． s 甲2< s乙222A ．s 甲>s 乙22B ．s 甲＝s乙s 甲2和 s 乙2的大小关系是6．已知关于 x 的函数 A ．m ≥1 y ＝x 2＋2mx ＋1，B ．m ≤1若 x>1 时， y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 C ． m ≥－ 1D ．m ≤－1二、填空题（本大题共 10小题，每小题 2分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答．题．卡．相．应．位．置．上）07．数据 2，3，5，5，4 的众数是 ▲ ．08．二次函数 y ＝x 2－4x+5 图像的顶点坐标为 ▲ ．09．若扇形的半径长为 3，圆心角为 60°，则该扇形的弧长为 ▲ ．10．某企业 2017 年全年收入 720 万元， 2019 年全年收入 845 万元，若设该企业全年收入的 年平均增长率为 x ，则可列方程 ▲ ．11．若 x 1，x 2是一元二次方程 2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则 x 1＋x 2＝ ▲ ． 12．一个不透明的袋中原装有 2 个白球和 1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红 球的概率为 23，则袋中应再添加红球 ▲ 个（以上球除颜色外其他都相同） ．3 13．如图，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点 A （ 3， 0），对称轴为直线 x ＝ 1，则方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0的根为 ▲ ．14．如图， A ⌒B 、C ⌒D 、 E ⌒F 所在的圆的半径分别为 r 1、r 2、r 3，则 r 1、r 2、r 3的大小关系是15．如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ，AD ∥BC ，直线 EF 是⊙O 的切线， B 是切点．若∠ C ＝ 80°，∠ADB ＝54°，则∠ CBF ＝ ▲ °．16．已知三点 A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ ABC 内心的坐标为 ▲ ． 三、解答题（本大题共 11小题，共 88 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列一元二次方程．（1）x 2＋x －6＝0；18．（6 分）二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 中的 x ， y 满足下表x－10 1 3y31不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质： （1） ▲ ； （2） ▲ ； （3）▲．19．（8 分）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的 500 名2）2（x －1）2－8＝0．▲ ．（用“<”连接） 第 14题） D第 15题）同学进行数学试卷第 2 页（共13 页）问卷测试，并随机抽取了 10 名同学的问卷，统计成绩如下：（ 1）计算这 10 名同学这次测试的平均得分；（ 2）如果得分不少于 9 分的定义为“优秀” ，估计这 500 名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）小明所在班级共有 40人，他们全部参加了这次测试，平均分为 7.8 分．小明的测试成绩是 8 分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？20．（ 8 分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）两辆车中恰有一辆车向左转；（2）两辆车行驶方向相同．21．（8分）如图， BD 是⊙ O的直径．弦 AC 垂直平分 OD ，垂足为 E．1）求∠ DAC 的度数；2）若 AC＝6，求 BE 的长．22．（8分）已知二次函数 y ＝ x 2－ 2x ＋ m （ m 为常数）的图像与 x 轴相交于 A 、B 两点． （ 1）求 m 的取值范围；（2）若点 A 、B 位于原点的两侧，求 m 的取值范围．23．（8 分）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段 OP 绕着端点 O 旋转1 周，端点 P 运动所形成的图形叫做圆． 类比圆的定义，给圆锥下定义 ▲ 2）已知 OB ＝2cm ，SB ＝3cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ▲24．（ 8 分）某果园有 100 棵橙子树，平均每棵结 600 个橙子．现准备多种一些橙子树以提高 果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验 估计，每增种 1 棵树，平均每棵树就少结 5 个橙子．设果园增种 x 棵橙子树，果园橙子的总产 量为 y 个． （1）求 y 与 x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上？A ．6cm ×4cmB ．6cm ×4.5 cmC ．7cm ×4cmD ．7 cm × 4.5 cm 第 23 题）25．（8分）（1）如图，已知 AB、CD是大圆⊙ O的弦， AB＝CD，M是AB的中点．连接 OM，以 O 为圆心， OM 为半径作小圆⊙ O ．判断 CD 与小圆⊙ O 的位置关系，并说明理由；2）已知⊙ O，线段 MN，P是⊙ O外一点．求作射线 PQ，使 PQ被⊙ O截得的弦长等于 MN．不写作法，但保留作图痕迹）B26．（10分）已知函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c为常数）的图像经过点 A（－1，0）、B （0，2）．（ 1） b＝▲ （用含有 a 的代数式表示）， c＝▲ ；（2）点 O是坐标原点，点 C是该函数图像的顶点，若△ AOC的面积为 1，则 a＝▲ ；（3）若 x>1时， y< 5．结合图像，直接写出 a 的取值范围．27．（10 分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图 1、图 2 所示，某喷灌设备由一根高度为 0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖 直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管 在喷灌区域上的占地面积均忽略不计） ，旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在 绿化带上喷灌出一块圆形区域． 现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离 3 m 处达到最高， 高度为 1m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为 16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带 吗？如果可以， 请说明理由； 如果不可以， 假设水管可以上下调整高度， 求水管高度为多少时， 喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带． （以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）图1示意图2鼓楼区 2019-2020 学年度第一学期期末调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标7．5 8．（ 2，1） 9．π 10．720（1＋x ）2＝845 11．－ 12 12．313．x 1＝－1，x 2＝3 14．r 2<r 1<r 315．4616．（ 6，4）三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．） 17．（本题 6 分） （1）解： x 2＋x － 6＝0（ x －2）（ x ＋ 3）＝0 ..................................... 1 分 x －2＝0 或 x ＋3＝0x 1＝2，x 2＝－3． ............................................. 3 分（2）2（x －1）2－ 8＝0（x － 1）2＝ 4x －1＝± 2 ................................................... 1 分 x 1＝－ 1， x 2＝ 3． ........................................... 3 分 18．（本题 6 分）本题答案不惟一，每条性质 2 分，例如：（1）该函数图像是抛物线，开口向下； （2）该函数图像关于直线 x ＝1 对称； （3）当 x<1时，y 随 x 的增大而增大；当 x>1时，y 随x 的增大而减小； （ 4）函数图像的顶点坐标为（ 1， 1）； （5）当 x ＝1时， y 有最大值 1． 19．（本题 8 分）10×3＋9×3＋8× 2＋7×1＋6×13＋3＋2＋1＋1答：这 10 名同学在这次测试中的平均得分是 8.6分．（2） ＝0.6，500× 0.6＝300（人）3＋3＋2＋1＋11） ＝8.6（分）........................ 3 分 、填空题 （本大题共 10小题，每小题 2 分，共 20分．）答：估计这 500 名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数约为 300人． . 5 分（3）不同意小明的观点，成绩中等偏上，指小明成绩超过了班级一半以上的同学，也就是说他的成绩应超过了中位数．小明的成绩超过了平均数，未必能超过中位数．................................................................... 8 分20．（本题 8 分）解：两辆车分别记为车 1 和车 2，可以用下表列举出所有等可能的结果．车1 车2车1左转直行右转左转（左，左）（直，左）（右，左）直行（左，直）（直，直）（右，直）右转（左，右）（直，右）（右，右）可以看出，两辆车经过这个十字路口时，可能出现的结果有 9 种，并且它们出现的可能性相等．................................................................... 4 分（1）两辆车中恰有一辆车向左转（记为事件 A）的结果有 4 种，即（直，左）、（右，左）、（左，4直）、（左，右），所以 P （A）＝49．................................................................... 6 分（2）两辆车行驶方向相同（记为事件B）的结果有 3种，即（直，直）、（左，左）、（右，右），31所以 P （B）＝39＝31．.............................................. 8 分21．（8 分）（ 1）连接 OA．∵ AC 垂直平分 OD ，∴ AO＝ AD ．又 OA＝ OD，∴ △OAD 是等边三角形．........................................... 2 分∴ ∠DAO＝ 60°．AC⊥ OD，AO＝AD，14分∠DAC＝∠ OAC＝× 60°＝ 30°．22) ∵ OD ⊥AC，AC＝6，1∴ AE＝2AC＝ 3．∵ AC 垂直平分 OD ，垂足为 E ，1∴ ∠ AEO ＝90°， OE＝2OD．第211∴ OE＝2OA．设 OE＝x，则 OA＝OB＝ 2x．在 Rt△AEO 中， AE2＋EO2＝AO2，即： 32＋x2＝（2x）2．............ 6分解得， x ＝ 3 ．∴ BE＝OE＋OB＝x＋2x＝3x＝3 3．............. 8 分22．（ 8 分）答案不惟一，例如：（1）解：令 y＝0，得 x2－2x＋m＝0． ................................. 1 分∵ 图像与 x 轴相交于点 A、 B，∴ 方程 x2－2x＋m＝ 0 有两个不相等的实数根．∴ b2－ 4ac＝ 4－ 4m> 0． .......................................... 2 分解得 m<1．......................................................... 4 分（2）本小题如学生结合函数图像、平移等解释正确也可得分．设 A（x1 ，0）、B（x2 ，0），则 x1、x2 是方程 x2－2x＋ m＝0 的两个实数根．∵ 点 A、B 位于原点的两侧，∴ x1?x2< 0． .......................... 6 分∴ m< 0．由（ 1）m< 1，∴ m< 0．........................................... 8 分23．（本题 8 分）答案不惟一，例如：解：（1）空间中，把直角三角形 SOB绕着直角边 SO旋转 1周，另外两边 SB、OB 旋转而成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3 分（2）① S＝πrl ＝π×2×3＝ 6π．............................ 5 分②B．...................................................... 8 分24．（ 8 分）（1）y＝（100＋x）（600－5x）＝－5x2＋100x＋60000 .... 3 分注：不化简不扣分．（2）令 y＝ 60 400，解得 x1＝10－2 5，x2＝10＋2 5． ....................... 5 分y＝－ 5x2＋100x＋60 000＝－ 5（x－ 10）2＋ 60 500．该函数图像关于直线 x＝10对称，当 x<10时，y随 x的增大而增大；当 x>10时，y随x的增大而减小；所以当 10－2 5<x<10＋2 5时， y> 60 500．.................................................................... 7 分增种的棵树为 6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在 60 400个以上．.................................................................... 8 分注：说理部分如果有草图，并结合图像说理正确，算对．25．（本题 8 分）（1）解： CD 与小圆⊙ O 相切，理由如下： 如图，连接 OA 、 OB ．在△ OAB 中， OA ＝OB ，M 是 AB 的中点， ∴ OM ⊥ AB ．∴ ∠ OMB ＝90°． .............. 过O 作 OG ⊥CD ，垂足为 G ．1∴ ∠OGD ＝90°，DG ＝2CD ． 1∵ AB ＝CD ，BM ＝2AB ，∴ BM ＝DG ． ........................................................ 3 分 连接 OD ， 又 OB ＝ OD ， ∴ Rt △OMB ≌Rt △ OGD ．∴ OG ＝OM ，即 OG 是小圆⊙ O 的半径．这样， CD 经过小圆⊙ O 的半径 OG 外端点 G ，并且垂直于半径 OG ，CD 与小圆⊙ O 相切． ........................................... 5 分 2）如图所示，射线 PQ 即为所求作． ................................ 8 分 26．（本题 10 分）（1）b ＝a ＋2；c ＝2． ............................................... 2 分（2）a ＝－2或 6－4 2或 6＋4 2． ................................... 6 分 （注：其中， a ＝－2占 4分中的 2分，其余一个 1分）（3）a ＜－8＋2 15． ............................................... 10 分 27．（本题 10 分）（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为 （3，1），过（ 0，0.64）．2分B代入（ 65， 0），解得， a ＝ 49－ 665250.64＋ 49－ 6 652565－ 6 65 2510 分答：水管高度为 65－ 6时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．................................................................... 1 分 可设该抛物线对应的函数表达式是 y ＝a （x －3） 2＋1，代入（ 0，0.64），所以 y ＝－ 215 （x －3） 2＋1． ....................................... 3 分 令y ＝0，解得 x 1＝－ 2（舍）， x 2＝ 8． ............................. 4 . 分4分 所以，喷灌出的圆形区域的半径为 8m ．（2）在边长为 16m 的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，................................................................... 6 分 如图 1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是 3810，8< 83 10，这样安装不能完全覆盖；如图 2，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是 65， 8< 65，这样安装也不能完全覆盖；65< 38 10，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最 小值应为 65 m ． ............................................ 8 分 设水管向上调整 am ，则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是 y ＝－ 1 （x －3） 2＋ 1＋ a ．25解得， a ＝－125图 1）（说明：正确画出两个图形 2分，每个图形各 1分；求出83 10、 65并进行正确判断2分，如未作出正确判断只得 1分；求出49－26565得1分，求出65－26565得2分．）。
2020年福建省福州市鼓楼区九年级(上)第三次月考数学试卷
月考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列数字图形”中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的为（）A. B. C. D.2.下列事件中,是必然事件的是A. 明天太阳从东方升起B. 射击运动员射击一次,命中靶心C. 随意翻到一本书的某页,这页的页码是奇数D. 经过有交通信号灯的路口,遇到红灯3.如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）A. B. C. D.4.一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（）A. x（x-1）=1980B. x（x-1）=1980C. x（x+1）=1980D. x（x+1）=19805.反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，x1x2＞0，则y1-y2的值是（）A. 正数B. 负数C. 0D. 非负数6.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=4，EF=3，那么CD的长是（）A. 12B. 9C. 6D. 167.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD的度数为（）A. 65°B. 50°C. 25°D. 12.5°8.2x…-2034…y…-7m n-7…则、的大小关系为（）A. m＞nB. m＜nC. m=nD. 无法确定9.如图，正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α （0°＜α＜90°），若DE⊥B′C′，则∠α为（）A. 36°B. 54°C. 60°D. 72°10.若满足1＜x≤2的任意实数x，都能使不等式x2-x-m＞成立，则实数m的取值范围是（）A. m≥-1B. m≥-2C. m≤-2D. m≤-1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是______ ．12.已知∠A是锐角，且sin A=，那么∠A=______．13.设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是______ ．14.如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，则OG= ______ cm．15.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为______．16.如图，等边△ABC的边长为10，点D．E．F分别在三边AC、AB、BC上，且AD=3，DF⊥DE，∠DEF=60°，则DF的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.（1）解方程x（x+3）=2x+6（2）计算：18.已知关于x的一元二次方程mx2-（m+3）x+3=0总有两个不相等的实数根．求m的取值范围．19.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=3，BD=6，求CD的长．20.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+m的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A，B两点，已知A（2，4），连接AO、BO，求△AOB的面积．21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=35°，BC=7．线段AD由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠DAE的大小；（2）求DE的长．22.在国内汽车市场中，国产SUV出现了持续不退的销售热潮，2019年国产SUV销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV分别在2018年与2019年7-11月的销售量对比表时间7月8月9月10月11月2018年（单位：2.83.9 3.54.45.4万辆）2019年（单位：3.8 3.94.5 4.95.4万辆）（）若从月至月中任选两个月，求其中至少有一个月这两年该国产品牌销量相同的概率；（2）若从2018年售出的每辆车获利3万元，2019年售出的每辆车获利2.5万元，试比较这两年7月至11月的月平均获利哪年高．23.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标分别是1和2，设A（n，y1）、B（n+1，y2），C（n+2，y3）在y=ax2+bx+c的图象上，其中n为正整数．（1）求出所有满足条件y2=3y1的n的值；（2）设a＞0，n≥5，求证：以y1，y2，y3为三条线段的长可以构成一个三角形．24.已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB⊥CD于E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为F．（1）如图，连接AC、AG，求证：AC=AG；（2）连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，圆O的半径为，求tan D和AH的长．25.已知一次函数y1=kx+n（n＜0）和反比例函数y2=（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n=-2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3=（x＞0）的图象相交于点C．①若k=2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m-n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m-n的值取不大于的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．设直线y1交y轴于点F，求DE的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确；B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】A【解析】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A正确；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；C、随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数是随机事件，故C错误；D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误；故选A．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可得答案．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了从三个方向看立体图形，比较简单.根据从正面看得到的图形可得答案.【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，故选D.4.【答案】B【解析】解：设有x个好友，依题意，x（x-1）=1980，故选B．每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x-1条消息，则发消息共有x（x-1）条．本题类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．先根据k＞0、x1＞x2，x1x2＞0，判断出反比例函数所在的象限，再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小．【解答】解：∵k＞0．∴图象分别位于第一、三象限，又∵在每个象限内y随x的增大而减小，x1＞x2，x1x2＞0，故y1＜y2，∴y1-y2的值为负数．故选：B．6.【答案】A【解析】解：AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠C=∠ABE，∠CDE=∠A，∴△ABE∽△DCE，∴，AB=4，∴BE•CD=4EC∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴，EF=3，∴BE•CD=3BC=3（BE+EC），∴4EC=3BE+3EC，∴EC=3BE，∴BC=4BE，，∴CD=12．答：CD的长为12．故选：A．根据相似三角形的判定和性质两次相似，然后找中间量等量代换即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理及垂径定理的知识，解题的关键是构造辅助线得到等弧所对的圆周角相等.连接AC，根据直径AB⊥弦CD于点H，利用垂径定理得到，从而利用等弧所对的圆周角相等得到∠CAB=∠DAB，利用圆周角定理得到∠BAD=∠BAC=25°.【解答】解：连接AC，∵直径AB⊥弦CD于点H，∴，∴∠CAB=∠DAB，∵∠BAC=∠BEC=25°，∴∠BAD=∠BAC=25°.故选C.8.【答案】A【解析】解：当x=-2和x=4时，y=-7，所以点（-2，-7）和点（4，-7）为对称点，所以抛物线的对称轴为直线x=1，而抛物线开口向下，点（0，m）到直线x=1的距离比点（3，0）到直线x=1的距离要小，所以m＞n．故选：A．先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，再比较点（0，m）和（3，n）到直线x=1的距离大小，然后根据二次函数的性质得到m、n的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．9.【答案】B【解析】解：DE与B′C′相交于点O，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠B=∠BAE=∠E==108°，∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′，旋转角为α（0°≤α≤90°），∴∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，∵DE⊥B′C′，∴∠B′OE=90°，∴∠B′AE=360°-∠B′-∠E-∠B′OE=360°-108°-108°-90°=54°，∴∠BAB′=∠BAE-∠B′AE=108°-54°=54°，即∠α=54°．故选：B．DE与B′C′相交于点O，如图，利用正五边形的性质计算出∠B=∠BAE=∠E=108°，再根据旋转的性质得∠BAB′=α，∠B′=∠B=108°，接着根据四边形内角和计算出∠B′AE 的度数，然后计算∠BAE-∠B′AE即可．本题考查了正多边形和旋转的性质．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．以及能够正确计算正五边形的内角．10.【答案】C【解析】解：∵1＜x≤2，∴1＜≤2，∵不等式x2-x-m＞对1＜x≤2的任意实数x都成立，令x=1，x2-x-m≥2，∴m≤-2，故选：C．求出1＜≤2，则将x2-x-m＞看成二次函数和反比例函数的关系，y=x2-x-m的最小值大于等于y=的最大值即可．本题考查二次函数与反比例函数的图象及性质；能够将所求不等式转为函数之间的关系，借助函数图象求解是解题的关键．11.【答案】x=1【解析】解：y=（x-1）2+2，对称轴是x=1．故答案是：x=1．抛物线y=a（x-h）2+k是抛物线的顶点式，抛物线的顶点是（h，k），对称轴是x=h．本题考查的是二次函数的性质，题目是以二次函数顶点式的形式给出，可以根据二次函数的性质直接写出对称轴．12.【答案】60°【解析】解：∵∠A是锐角，sin A=，∴∠A=60°．故答案为：60°．根据特殊角的三角函数值即可解答．考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．13.【答案】【解析】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有3种可能，∴概率==．故答案为：．让二等品数除以总产品数即为所求的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14.【答案】2【解析】解：∵AB⊥CD，OF⊥AB，OG⊥CD，∴AF=FB=AB=6，∴OG=EF=BF-BE=6-4=2（cm）．根据垂径定理求解．主要考查了垂径定理的运用．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，解：如图，连接AC与BD相交于点O，连接AC与BD相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，再利用勾股定理列式求出AC、BD，然后根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，由勾股定理得，AC==3，BD==，所以，BO=×=，CO=×3=，所以，tan∠DBC===3．故答案为：3．16.【答案】【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵∠DEF=60°，∴∠ADE=180°-60°-∠1，∠2=180°-∠1-60°，∴∠ADE=∠2，∴△ADE∽△BEF，∴==，∵DF⊥DE，∠DEF=60°，∴=，∴BE=2AD=6，AE=10-6-4，BF=8，过E作EG⊥BF于G，∵∠B=60°，BE=6∴BG=3，EG=3，∴FG=5，∴EF===2，∴DF=EF=，故答案为．根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B=60°，∠DEF=60°，根据相似三角形的性质得到BF=2AE，BE=2AD，过E作EG⊥BF于G，解直角三角形得到BG，FG，EG，求出EF 即可解决问题．本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据平角等于180°和三角形的内角和定理求出∠2=∠ADE是解题的关键，也是本题的难点．17.【答案】解：（1）∵x（x+3）=2（x+3），∴x（x+3）-2（x+3）=0，则（x+3）（x-2）=0，∴x+3=0或x-2=0，解得x=-3或x=2；（2）原式=1+-2×+4=1+-+4=5．【解析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：由题意可知：△=（m+3）2-12m=（m-3）＞0，∴m≠3，∵m≠0，∴m≠0且m≠3，【解析】根据根的判别式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．19.【答案】解：由射影定理得，CD2=AD•DB=3×6=18，∴CD==3．【解析】根据射影定理列式计算即可．本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．20.【答案】解：将A（2，4）代入y=-x+m与y=（x＞0）中得4=-2+m，4=，∴m=6，k=8，∴一次函数的解析式为y=-x+6，反比例函数的解析式为y=；由解得或，∴B（4，2）；设直线y=-x+6与x轴，y轴交于C，D点，易得D（0，6），∴OD=6，∴S△AOB=S△DOB-S△AOD=×6×4-×6×2=6．【解析】由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式；联立方程，解方程组即可求得点B的坐标，求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出S△AOD和S△BOD，继而求出△AOB的面积．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．21.【答案】解：（1）∵△EFG是由OABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，∴∠EAC+∠C=180°，又：∠C=90°，∴∠EAC=90°，又线段AD是由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，即∠DAC=125°，∴∠DAE=35°；（2）∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，EF∥AB，∴∠AED=∠F=∠ABC，又∵∠DAE=∠BAC=35°，AD=AC，∴△AED≌△ACB（AAS），∴DE=BC=7．【解析】（1）由平移的性质可知：AE∥CF，再利用平行线的性质即可求∠DAE的大小；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出DE=BC=7．．此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．22.【答案】解：（1）从7月至11月中任选两个月份，记为（a，b），所有可能的结果为：（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（8，9），（8，10），（8，11），（9，10），（9，11）．共10种情况记事件A为“至少有一个月这两年该国产品牌SUV销量相同”，则有：（7，8），（7，11），（8，9），（8，10），（8，11），（9，10），（9，11）．共7种情况，∴P（A）=，即至少有一个月这两年该国产品牌SUV销量相同的概率为．（2）2018年销售数据平均数为：=（2.8+3.9+3.5+4.4+5.4）=4万辆，20182018年月平均获利4×3=12亿元．2019年销售数据平均数为：=（3.8+3.9+4.5+4.9+5.4）=4.5万辆，20192018年月平均获利4.5×2.5=11.25亿元．12亿元＞11.25亿元，答：2018年7月至11月的月平均获利高．【解析】（1）根据列举法写出从7月至11月中任选两个月的结果，再求其中至少有一个月这两年该国产品牌SUV销量相同的情况，即可求解；（2）根据两年的销售数据平均数求得平均获利即可比较哪一年的高．本题考查了列举法与树状图法求概率，解决本题的关键是写出所有可能的结果．23.【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-2），∵A（n，y1）、B（n+1，y2）在y=ax2+bx+c的图象上，∴y1=a（n-1）（n-2），y2=a（n+1-1）（n+1-2）=an（n-1）∵y2=3y1，∴an（n-1）=3•a（n-1）（n-2），整理得n2-4n+3=0，解得n=1或n=3，即n的值为1或3；（2）证明：y1=a（n-1）（n-2），y2=an（n-1），y3=an（n+1），∵a＞0，n≥5，∴抛物线开口向上，点A、B、C在对称轴的右侧，∴y3＞y2＞y1，∵y1+y2-y3=a（n-1）（n-2）+an（n-1）-an（n+1）=a（n2-5n+2）=a[n（n-5）+2]＞0，∵较小两线段长的和大于第三条线段的长，∴以y1，y2，y3为三条线段的长可以构成一个三角形．【解析】（1）设交点式y=a（x-1）（x-2），则y1=a（n-1）（n-2），y2=an（n-1），再利用y2=3y1得到an（n-1）=3•a（n-1）（n-2），然后解关于n的方程即可；（2）利用二次函数的性质判断y3＞y2＞y1，再计算出y1+y2-y3=a（n-1）（n-2）+an（n-1）-an（n+1）=a[n（n-5）+2]＞0，然后根据三角形三边的关系可判断以y1，y2，y3为三条线段的长可以构成一个三角形．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质和三角形三边的关系．24.【答案】（1）证明：如图1，连接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG．（2）解：如图2，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵MC=5，AC=AG=4，∴AM===3，∴tan M==，∵∠D=∠M，∴tan∠D=tan∠M=，∵AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===，∴AB==10a，∴NB=6a，∴tan∠ABH===，过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，∴OP=aa，∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，∴25a2+a2=，∴解得：a=，∴AH=5a=．【解析】（1）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE （ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（2）首如图2，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，先求出AM的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．本题属于圆综合题，主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：（1）①n=-2将点A（3，4）代入一次函数y1=kx+n（n＜0）得：3k-2=4，解得：k=2，将点A（3，4）代入反比例函数得：m=3×4=12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；故答案为：x＞3；（2）①当x=1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD=|2+n-m|，BC=m-n，DC=2+n-n=2则BD=BC或BD=DC或BC=CD，即：|2+n-m|=m-n或|2+n-m|=2或m-n=2，即：m-n=1或0或2或4，当m-n=0时，m=n与题意不符，点D不能在C的下方，即BC=CD也不存在，n+2＞n，故m-n=2不成立，故m-n=1或4；②点E的横坐标为：，当点E在点B左侧时，d=BC+BE=m-n+（1-）=1+（m-n）（1-），m-n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1-=0时，此时k=1，从而d=1．当点E在点B右侧时，同理BC+BE=（m-n）（1+）-1，当1+=0，k=-1时，（不合题意舍去）故k=1，d=1，此时D（1，1+n），B（1，m），C（1，n），y1=x+n，∴∠DEB=45°，△DEB是等腰直角三角形，∴DE=BD=（1+n-m），BC=m-n∵m-n≤，∴BC的最大值为，∵DE+BC=1，∴DE的最小值为．【解析】（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式即可求解，将点A的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；②由图象可以直接看出；（2）①BD=2+n-m，BC=m-n，DC=2+n-n=2，由BD=BC或BD=DC或BC=CD得：m-n=1或0或2，即可求解；②点E的坐标为（，m），d=BC+BE=m-n+（1-）=1+（m-n）（1-），根据点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值，求出k，d的值即可解决问题．本题是反比例函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、反比例函数解析式的求法、一次函数和反比例函数的图形与性质、函数定值的求法等知识；关键是通过确定点的坐标，求出对应线段的长度，进而求解．。
福建省福州市鼓楼区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
福建省福州市鼓楼区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列电动车品牌标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.下列事件是必然事件的是()A. −4的相反数是−14B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C. 任意一个一元二次方程都有实数根D. 在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°3.已知点A(a,2015)与点A′(−2104,b)是关于原点O的对称点，则a+b的值为()A. 1B. −1C. 6D. 44.如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为()A. 4：9B. 2：3C. √2：√3D. 16：815.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为()A. 五丈B. 四丈五尺C. 一丈D. 五尺6.如图，在△ABC中，以边BC为直径做半圆，交AB于点D，交AC于点E，连接DE，若DE⏜=2BD⏜=2CE⏜，则下外说法正确的是()A. AB=√3AEB. AB=2AEC. 3∠A=2∠CD. 5∠A=3∠C7.对于二次函数y=−3(x−2)2+9，下列说法正确的是()A. 图象的开口向上B. 当x<2时，y随x的增大而增大C. 当x=2时，取得最小值为y=9D. 图象的对称轴是直线x=−28.已知−1是一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根，则a−b的值是()A. −1B. 0C. 1D. 无法确定(x>0)上的一点，过点A作AC⊥y轴，9.如图，点A是反比例函数y═6x垂足为点C，AC交反比例函数y=2的图象于点B，点P是x轴上的动x点，则△PAB的面积为()A. 2B. 4C. 6D. 810.二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为()A. 0B. −1C. −2D. −3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.抛物线y=ax2−2ax+5的对称轴是直线______．12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次(假设飞镖落在游戏板上)，则飞镖落在阴影部分的概率是________．13.已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是____度．14.关于x的方程x2+ax−2a=0的一个根为3，则该方程的另一个根是______．15.新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路(一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2)，其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米 2.则横向的甬路宽为______米．16.以坐标原点O为圆心，作半径为3的圆，若直线y=x−b与⊙O相交，则b的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若CD=2，求BE的长．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）18.用配方法解一元二次方程x2−2x−5=0．19.已知关于x的一元二次方程−x2+(3−k)x+k−1=0，其中k为常数．(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若函数y=−x2+(3−k)x+k−1的图象不经过第二象限，求k的取值范围．20.110“特色江苏，美好生活”，第十届江苏省园艺博览会在扬州举行.圆圆和满满同学分析网上关于园博会的信息，发现最具特色的场馆有：扬州园，苏州园，盐城园，无锡园.他们准备周日下午去参观游览，各自在这四个园中任选一个，每个园被选中的可能性相同．(1)圆圆同学在四个备选园中选中扬州园的概率是___________．(2)用树状图或列表法求出圆圆和满满他们选中同一个园参观的概率是多少？21.在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(Ⅰ)如图①，求证直线DE是⊙O的切线；(Ⅱ)如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB=5，AC=8，求DG的长．22.如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．(1)在图中画出：将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BEA；(2)连接EP，完成你的解答．23.19.已知，如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂直为D，两点，且与反比例函数y=nx若OB=2OA=3OD=6．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式；kx+b≤n的解集．x24.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE//AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．(1)求证：四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE．25.如图①，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2.答案：D解析：本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件的概念可得答案．解：A、是不可能事件，故A不符合题意；B、是随机事件，故B不符合题意；C、是随机事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D符合题意；故选D．3.答案：B解析：此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．解：∵点A(a,2015)与点A′(−2104,b)是关于原点O的对称点，∴a=2014，b=−2015，则a+b=2014−2015=−1．故选：B．4.答案：B解析：解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.答案：B解析：解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15=1.50.5，解得x=45(尺)．故选：B．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．6.答案：C解析：本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理，根据弧的关系分别求出∠BOD、∠EOC、∠DOE 是解题的关键．根据圆心角、弧、弦的关系分别求出∠BOD、∠EOC、∠DOE，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．解：∵DE⏜=2BD⏜=2CE⏜，∴∠BOD=∠EOC=1∠DOE，2∵∠BOD+∠EOC+∠DOE=180°，∴∠BOD=∠EOC=45°，∠DOE=90°，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=67.5°，同理，∠OEC=∠OCE=67.5°，∴∠A=45°，∵BC为直径，∴∠AEB=∠CEB=90°，∴AB=√2AE，故A、B错误；3∠A=135°，2∠C=135°，∴3∠A=2∠C，C正确；5∠A=225°，3∠C=202.5°，∴5∠A≠3∠C，D错误；故选：C．7.答案：B解析：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k).由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．解：∵y=−3(x−2)2+9，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,9)，∴A、C、D都不正确，∵二次函数的图象为一条抛物线，当x<2时，y随x的增大而增大，∴B正确，故选B．8.答案：A解析：解：把x=−1代入方程得：a−b+1=0，即a−b=−1，故选：A．把x=−1代入方程计算求出a−b的值即可．此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．9.答案：A解析：解：如图，连接OA、OB、PC．∵AC⊥y轴，∴S△APC=S△AOC=12×|6|=3，S△BPC=S△BOC=12×|2|=1，∴S△PAB=S△APC−S△BPC=2．故选：A．连接OA、OB、PC.由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC=S△AOC=3，S△BPC=S△BOC=1，然后利用S△PAB=S△APC−S△APB进行计算．本题考查了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|.也考查了三角形的面积．10.答案：B解析：解：二次函数y=−(x−1)2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n<1时，当x=m时y取最小值，即5m=−(m−1)2+5，解得：m=−2．当x=n时y取最大值，即2n=−(n−1)2+5，解得：n=2或n=−2(均不合题意，舍去)；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=−(m−1)2+5，解得：m=−2．当x=1时y取最大值，即2n=−(1−1)2+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=−(n−1)2+5，n=52，∴m=118，∵m<0，∴此种情形不合题意，所以m+n=−2+52=12．故选：B．条件m≤x≤n和mn<0可得m<0，n>0，所以y的最小值为5m为负数，最大值为5n为正数．最大值为5n分两种情况，(1)结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出．(2)结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．11.答案：x=1解析：此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键．直接利用二次函数对称轴公式计算得出答案．解：抛物线y=ax2−2ax+5的对称轴是直线：x=−−2a2a=1．故答案为：x=1．12.答案：49解析：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．解：∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是49，故答案为49．13.答案：120解析：本题主要考查扇形的面积公式.正确理解公式S=nπr2360是解题的关键，此题难度不大.设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．解：设扇形的圆心角是n°，根据题意可知：S=nπ32360=3π，解得n=120，故答案为120．14.答案：6解析：解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系得3+x1=−a，3x1=−2a，解得a=−9，x1=6．故答案为：6．根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．15.答案：3解析：解：设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，根据题意得：(20−2×2x)(12−3x)=144，整理得：x2−9x+8=0，解得：x1=1，x2=8．∵当x=8时，12−3x=−12，∴x=8不合题意，舍去，∴3x=3．即横向的甬路宽为3米．故答案为：3．设横向的甬路宽为3x米，则纵向的甬路宽为2x米，由剩余部分的面积为144米 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之并验证，取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.答案：−3√2<b<3√2解析：本题考查了切线的性质，根据OA=OB，得到△OAB是等腰直角三角形是解题的关键．求出直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、二、三象限，和当直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．解：当直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、二、三象限时，如图．在y=x−b中，令x=0时，y=−b，则与y轴的交点B(0,−b)，当y=0时，x=b，则与x轴交点A(b,0)，则OA=|b|=OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C，则OC=3．则OB=√2OC=3√2，即b=−3√2，同理，当直线y=x−b与圆相切，且函数经过一、三、四象限时，b=3√2．所以若直线y=x−b与⊙O相交，则b的取值范围是−3√2<b<3√2．故答案为：−3√2<b<3√2．17.答案：(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，又∵∠ADE=∠C，∴∠BDE=∠CAD．∴△BDE∽△CAD．(2)解：由(1)得DBBE =ACCD．∵AB=AC=5，BC=8，CD=2，∴DB=BC−CD=6．∴BE=DB×CDAC =6×25=2.4．解析：(1)由题中条件可得∠B=∠C，所以由已知条件，求证∠BDE=∠CAD即可；(2)由(1)可得△BDE∽△CAD，进而由相似三角形的对应边成比例，即可求解线段的长．本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，能够掌握并熟练运用．18.答案：解：x2−2x=5x2−2x+1=6(x−1)2=6x−1=±√6得x1=1+√6，x2=1−√6．解析：本题考查的是用配方法解一元二次方程．先移项，再配方求解即可．19.答案：(1)证明：∵△=(3−k)2−4×(−1)(k−1)=k2−2k+5=(k−1)2+4>0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；(2)解：∵二次函数y=−x2+(3−k)x+k−1的图象不经过第二象限，二次项系数a=−1，∴抛物线开口方向向下，∵△=(k−1)2+4>0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=3−k>0，x1⋅x2=−(k−1)≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1．解析：(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△>0，根据判别式的意义即可证明；(2)由于二次函数y=−x2+(3−k)x+k−1的图象不经过第二象限，又=(k−1)2+4>0，所以抛物线的顶点在x轴的上方经过一、三、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向下，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．20.答案：(1)14；(2)14解析：(1)直接根据概率公式进行求解即可．(2)列举出所有情况，看圆圆和满满他们选中同一个园参参观的情况占总情况的多少即可．【详解】解：(1)圆圆同学在四个备选园中选中扬州园的概率是14(2)画树状图分析如下：扬州园A，苏州园B，盐城园C，无锡园D．P=1 4本题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.答案：(Ⅰ)证明：连接OD，如图，∵AB=BC，∴∠A=∠C．∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∴∠C=∠ADO．∴OD//BC．∵DF⊥BC，∴∠ODE=90°．∴直线DE是⊙O的切线；(Ⅱ)解：连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵AB=BC，∴AD=DC．∵AC=8，∴AD=4．在Rt△ADB中，BD=√AB 2−AD2=√52−42=3，∵DG⊥AB于H，由三角形面积公式，得AB⋅DH=AD⋅DB．∴DH=4×35=125，∵AB⊥DG，∴DG=2DH=245．解析：(Ⅰ)连接OD，由AB=BC，OA=OD，得到∠A=∠C，∠A=∠ADO，则∠C=∠ADO，得到OD//BC；而DF⊥BC，则∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；(Ⅱ)连接BD，AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°.而AB=BC，则AD=DC= 4.在Rt△ADB中，利用勾股定理可计算出BD=3，再利用等积法得到AB⋅DH=AD⋅DB，可计算出DH，然后根据垂径定理得到DG=2DH．本题考查了圆的切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理的推论以及勾股定理．22.答案：解：(1)如图：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；(2)连EP，如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．解析：(1)根据题意，作出图形；(2)将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE =PB =4，∠BPE =60°，在△AEP 中，AE =5，AP =3，PE =4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠APE =90°，即可得到∠APB 的度数． 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 23.答案：(1)y =−2x +6．y =−20x ;(2)另一个交点坐标为(5,−4).(3) −2≤x <0或x ≥5．解析：试题分析：(1)先求出A 、B 、C 坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．(2)两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．(3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．试题解析：(1)∵OB =2OA =3OD =6，∴OB =6，OA =3，OD =2，∵CD ⊥OA ，∴DC//OB ，∴OB CD =AO AD ，∴6OD =35，∴CD =10，∴点C 坐标(−2,10)，B(0,6)，A(3,0)，∴{b =63k +b =0解得：{k =−2b =6,∴一次函数为y =−2x +6．∵反比例函数y =n x 经过点C(−2,10)，∴n =−20，∴反比例函数解析式为y =−20x ；(2)由{y =−2x +6y =−20x，解得{x =−2y =10或{x =5y =−4，故另一个交点坐标为(5,−4)； (3)由图象可知kx +b ≤nx 的解集：−2≤x <0或x ≥5．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24.答案：证明：(1)∵∠B =∠D ，∠B =∠E ，∴∠D =∠E .∵CE//AD ，∴∠E +∠DAE =180∘．∴∠D +∠DAE =180∘∴AE//DC ．∴四边形AECD 是平行四边形．(2)过点O 作OM ⊥EC ，ON ⊥BC ，垂足分别为M 、N ．∵四边形AECD 是平行四边形，∴AD =EC ．又AD =BC ，∴EC =BC ，∴OM =ON ，∴CO 平分∠BCE ．解析：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．(1)根据圆周角定理得到∠B =∠E ，得到∠E =∠D ，根据平行线的判定和性质定理得到AE//CD ，证明结论；(2)作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥CE 于N ，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．25.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3(a ≠0)与x 轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，∴{a −b +3=09a +3b +3=0， 解得{a =−1b =2， ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)存在．∵抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3，∴点C 的坐标为(0,3)，∵C(0,3)，B(3,0)，∴直线BC 的解析式为y =−x +3，∴过点O 与BC 平行的直线y =−x ，与抛物线的交点即为M ，解方程组{y =−x y =−x 2+2x +3， 可得{x =3+√212y =−3−√212或{x =3−√212y =−3+√212， ∴M 1(3+√212,−3−√212)，M 2(3−√212,−3+√212)；(3)存在．如图，设BP交轴y于点G，∵点D(2,m)在第一象限的抛物线上，∴当x=2时，m=−22+2×2+3=3，∴点D的坐标为(2,3)，把x=0代入y=−x2+2x+3，得y=3，∴点C的坐标为(0,3)，∴CD//x轴，CD=2，∵点B(3,0)，∴OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，∴△CGB≌△CDB(ASA)，∴CG=CD=2，∴OG=OC−CG=1，∴点G的坐标为(0,1)，设直线BP的解析式为y=kx+1，将B(3,0)代入，得3k+1=0，，解得k=−13x+1，∴直线BP的解析式为y=−13x+1=−x2+2x+3，令−13，x2=3，解得x1=−23=1左侧的一点，即x<1，∵点P是抛物线对称轴x=−b2a∴x=−2，3代入抛物线y=−x2+2x+3中，把x=−23解得y=119，∴当点P的坐标为(−23,119)时，满足∠PBC=∠DBC．解析：(1)根据抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(−1,0)，B(3,0)，可求得抛物线的表达式；(2)根据直线BC的解析式为y=−x+3，可得过点O与BC平行的直线y=−x，与抛物线的交点即为M，据此求得点M的坐标；(3)设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为(0,1)，得到直线BP的解析式为y=−13x+1，最后计算直线BP 与抛物线的交点P的坐标即可．本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算等重要知识点的综合应用，解决问题的关键是画出图形，找出判定全等三角形的条件．。