数学原理性知识的教学设计研究

收文日期： 2018-12-22； 修订日期： 2019-01-22 作者简介： 张 昆（ 1965—） ，男，安徽合肥人，中学高级教师． 研究方向： 数学教育．
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中学教研（ 数学）
2019 年第 4 期
因此，数学原理性知识的教学设计应该分为两 步走，即原理结论的发现过程与原理结论的证明过 程，数学教师尤其要重视原理结论发现这一步（ 数 学教育理论家对这一过程是非常重视的） ． 很多数 学教师在教学准备工作中，没有加深对于数学原理 性知识发现活动过程重要性的认识，在随堂（ 甚至 是大大小小的数学教学公开课，高师师范生教学技 能竞赛或教师招聘面试的无生授课） 听课、与一线 数学教师 研 究 数 学 教 学 活 动 的 数 学 说 课、为 准 备 “国培计划”的教学课程设置的调查等收集的大量 材料中，笔者了解到，一般教师普遍性地在施教数 学原理性知识时的着力点就是原理的证明过程，而 没有在“发现活动”这一十分重要的环节上给予相 应的努力，从而极大地萎缩了发现数学原理过程中 所蕴含的教学价值（ 在后文的课例中加以具体阐 述） ，影响了关于数学原理性知识课堂教学目标的 实现．
中图分类号： O124． 1
文献标识码： A
文章编号： 1003 － 6407（ 2019） 04-0001-04
贝尔在 其 名 著《中 学 数 学 的 教 与 学 》中，将 数 学知识的主要形式分成 4 类： 数学事实、数学概念、 数学技能、数学原理［1］． 笔者认为，数学事实过于 笼统（ 数学原理、数学概念等都可以看成是数学事 实） ，数学技能是偏向于处理数学问题的主体经由 训练所获得的个性肢体行为或心智行为的动作熟 练程度的主观 特 点，因 此，将 数 学 技 能 作 为 偏 于 客 观的数学知识一类属性是不合适的． 笔者受贝尔的 启发，对他的这种分类加以改进，试图将进入中学数 学课程的知识分为 3 类： 数学概念性知识、数学原理 性知识、数学问题解决性知识． 本文着重分析数学原 理性知识． 1 数学原理性知识教学设计准备工作的一般程序
摘 要： 进入数学课程的知识可以分为 3 类： 数学概念性知识、数学原理性知识、数学问题解决性知识． 其中，数学原
理性知识的教学途径可以次第分为两步： 原理命题的发现、原理命题的证明． 在实际课堂教学中，数学教师应该在原理命题
发现这一步上特别用力．
关键词： 数学原理性知识； 数学教学设计； 数学教学价值
众所周知，数学家关于原创性知识的探究与发 现活动中，组成要素具有 5 个次第发生的步骤（ 环 节） ： 其一，从面临问题的数学化信息中提出或发 现一个一般性的问题； 其二，利用数学学科的语言 或知识把这个一般性的问题重新叙述为可理解的 问题形式； 其三，琢磨出某种解决问题的方法； 其 四，使用这种琢磨出来的方法试图解决这个问题， 获得一些比较可靠的结论，从而对于这种方法及其 产生的结论正确与否加以检验； 其五，对成功解答 过程中所使用的方法加以评价与反思，纳入研究主 体的 认 知 结 构，为 将 来 解 决 新 问 题 增 加 新 的 工 具［3］． 数学知识原创者的数学创造性可以通过这 些环节发 挥 出 来，从 而 获 得 具 体 的 数 学 原 理 性 知 识，这为我 们 进 行 数 学 原 理 性 知 识 教 学 指 明 了 方 向．
数学原理性知识包括数学公理、数学公设、数 学定理、数学公式、数学法则、数学规律等具有数学 命题形式属性的知识． 这类知识的重要特点之一是 它的获得来源于长期的观察、总结、归纳等，首先通 过发现的途径得到命题，然后证明它是正确的． 关 于数学原理性知识的教学设计的探讨与研究，我们
要特别注意波利亚的告诫，生物学上的“遗传学 原理”： 在教授一门学科 （ 或 一 个 理 论，或 一 个 概 念） 的时候，我们应该让儿童（ 人类的后代） 重走人 类在大脑进化过程中走过的重大的几步． 当然，我 们不应该让他重复过去的成千上万的错误之处，只 须让他重走那些重大的几步［2］． 这就为数学原理 性知识的教学设计奠定了理论基础．
一般来说，关于数学原理性知识的教学活动， 必须要针对具体数学原理性知识的个性特点，既要 注意启发学生发现数学原理性知识结论（ 命题） 过 程中的某些重要环节，也要注意已经发现的这个数 学原理性知识结论（ 命题） 在证明过程的某些重要 环节，这两类不同属性的环节往往是学生发生原理 性知识认识时心理活动所绕不过去的． 这就构成了 数学原理性知识教学设计的关键环节，数学原理性 知识的教学价值也深蕴于其中，因此，它是实现数学 原理性知识教学目标的保证． 长期的教学经验也促 使笔者认识到，数学原理性知识教学可分为原理结 论（ 命题） 的发现与关于这个命题的证明两个部分．
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中学教研（ 数学）
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数学原理性知识的教学设计研究
●张 昆 （ 淮北师范大学，安徽 淮北 235000）
作者介绍： 张昆，男，54 岁． 中学高级教师，中师毕 业，一直通过自学的途径获得学历，最后在北京师范大学 攻读了硕士学位，在西南大学攻读博士学位，直到 2011 年获得博士学位． 教学过小学语文、初中数学、高中数学， 现在进入淮北师范大学进行数学教师培训工作． 从不放 弃教研与 数 学 教 学 论 文 写 作 活 动，已 在《中 学 教 研 （ 数 学） 》《课程教材教法》《中国教育学刊》《上海教育科研》 《数学教育学报》等刊物上发表数学教学、数学史等论文 300 余篇，其中 18 篇被人大复印资料全文收录．
笔者经由长期的教学经验认识到，在关于数学 原理性知识教学的 5 个环节中，第一个环节“提出 问题”的重要性首当其冲． 因为在一节课的课堂教 学中，“初始问题”不仅是“这出戏”（ 这节课） 的开 场锣鼓（ 教学的起点） ，而且也是“这出戏”（ 这节 课） 的本身．“初始问题”决定了一节课的节奏——— 几个小高潮（ 中间过渡性问题的关键性节点） 的组 成，并且基本上规划好了推进这一节课课堂上学生 思维活动的行进方向［4］． 有了恰当合适的“初始问 题”，之后的 4 个环节基本上可以由学生自己进行 相应的探究活动就能解决了． 教师应该相信学生的