第2章 线性规划
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第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
第2章 线性规划
目标函数下降
MAXZ=4X1-3X2 S.T. X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20
X2=4
B A
目标函数上升
C
X2 0
E
D
X1 X1=6
4X1-3X2=0
X1=1
对解的讨论： .唯一解 .无穷解 .无解： 可行域空集 可行域无界
X2 X1+2X2=10 X2=4
X1 0
a11 a12 a1n 约束方程组 A P1 , P2 , Pn 系数矩阵 a m1 a m 2 a mn
A为m ×n矩阵（ m为约束方程个数，n为变量个数）
a11 a12 a1n A P1 , P2 , Pn a m1 a m 2 a mn
消除负的右端常数项
MAXZ=-X1-3(X3-X4) S.T. 6X1+7(X3-X4)8 X1-3(X3-X4) ≥6 X1-(X3-X4)=3 X1、X3、X4 0
约束方程还不是等式约束
人为添加变量，成为等式约束
对于“≤”约束，添加松弛变量 对于“≥”约束，添加剩余变量
6X1=5X1+3X2 S.T. 3X1+5X215
max Z 5 x1 3 x 2 3 x1 5 x 2 x 3 15 5 x1 3 x 2 x 4 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
5X1+2X210
X1,X20
2、给出基本可行解
• 6．基本可行解：满足非负条件
对于D1 ，基变量为X4、X5，X1、X2、X3为非基变量，令 X1、X2、X3=0， X4 = 8、X5 = 1 对于D2 ，基变量为X1、X2，X3、X4、X5为非基变量，令 X3、X4、X5 =0， X1 = -13/4 、X2=15/4
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
第二章 线性规划
第二章线性规划一.线性规划所研究的问题可以归结为两方面：1）在现有的资源条件下，如何充分利用资源，使目标完成的最好。
（求极大问题）.2)在给定的目标和任务下，以最少的资源消耗或代价，去实现目标。
（求极小化问题）。
二.线性规划的标准型：1.标准型： max z=c1x1+c2x2+…+c n x ns.t. a11x1+a12x2+…a1n x1n=b1a21x1+a22x2+…+a2n x2=b2…a m1x1+a m2x2+…a mn x n=b mx1,x2,…,x n≥02.线性规划变换方法：1）min转换为max 目标函数乘以(-1);2）对于≤引进松弛变量，将其变成取等号。
对于≥引进剩余变量，将其变成取等号。
3）将变量中的非正限制或无限制转化为非负限制。
3.二维线性规划的图解法：1）正法向量：由目标函数系数组成的与等值线垂直的向量，称正法向量。
2）等值线：使目标函数取相等值的所有点的集合，称等值线。
4.二维线性规划解的形式：1）唯一最优解 2)无穷多个最优解 3)有可行解但无最优解 4）无可行解5.线性规划解的概念：1）解：满足约束方程条件的点。
2）可行解：满足所有约束条件的点。
（非负性约束）3）最优解：使目标函数得到极值的可行解。
4）基：由最大的线性无关的列向量所构成的子矩阵。
（基向量/非基向量）5）基变量：与基向量对应的变量称为基变量。
同理（非基变量）6）基本解：X=（B-1b）（ 0 ）7）基本可行解：对于基本解，同时又满足非负性要求称基本可行解。
（可行解与基本解之间相交的部分）有图。
8）可行基：基本可行解对应的基。
9）基本最优解：满足目标函数要求的基本解。
10）退化基本可行解：基本可行解中存在取值为零的基变量。
6.线性规划的基本定理：1）如果一个线性规划问题存在可行解，则一定有基本可行解。
2）若线性规划问题存在最优解，则一定存在最优基本可行解。
三 线性规划的求解1.单纯形方法（消去发）：1）标准化处理。
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
第2章 线性规划(对偶问题)
对偶问题（或原问题）
目标函数为 Min W
n个
约束条件
＝
m个
变量
0 0 无约束
约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题：
• 1.
max Z 2x1 x2 3x3 x4
x1 x2 x3 x4 5
s.t.
2x1 x2 3x3
原问题（对偶问题）
目标函数 限定向量 价值向量 技术系数 约束条件 变量数目 约束条件个数 变量正负
对偶问题（原问题）
目标函数 价值向量 限定向量 技术系数 对偶变量 约束条件个数 对偶变量数目 约束条件
非对称形式的对偶问题
• 在原线性规划问题为Max型，且变量非负 的前提下：
1. 原问题约束条件是“”型
x1
x3
x4
1
4
x1, x3 0, x2 , x4无约束
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
min W 5 y1 4 y2 y3
y1 2 y2 y3 2
s.t.
y1 y1
y2 1 3y2 y3
3
y1
y3
1
y1 0, yLeabharlann 0, y2无约束例：y1
0,
y3
0,
y2无约束
对偶的基本性质
• 原问题： Max Z=CTX
• 对偶问题： Min W=bTY
s.t. AXb X0
s.t. ATY C Y0
• ①对称性：对偶问题的对偶是原问题； • ②弱对偶性：若X是原问题的可行解，Y是
对偶问题的可行解，则CTX bTY
• 弱对偶性的证明： AX’ b X’TAT bT X’TATY’ bTY’
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
第2章—线性规划
§5 利用EXCEL求解线性规划模型（练习2）
数学模型
目标函数 ：
max z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 + 4x8 ≥ 100 x1 x8 ≥ 0
资源 设
产 品 备
Ⅰ 1 4 0
Ⅱ 2 0 4
拥有量 8台时 16 kg 12 kg
原材料 A 原材料 B
§1 线性规划问题—例1
如何用数学关系式描述这问题，必须考虑： 设 x1 , x2 分别表示计划生产产品Ⅰ、Ⅱ的数量，称它为 分别表示计划生产产品Ⅰ 决策变量；(确定决策变量阶段) 决策变量；(确定决策变量阶段) 生产 x1 , x2 数量的多少受资源拥有量的限制，这是约 束条件 x1 + 2 x2 ≤ 8; 4 x1 ≤ 16; 4 x2 ≤ 12；x1 , x2 ≥ 0 ； (确定 约束条件阶段) 约束条件阶段) 如何安排生产，使利润最大，这是目标 。(确定目 标函数阶段) 标函数阶段)
工厂1 工厂1： 工厂2 工厂2： 工厂3 工厂3：
x1 ≤ 4; 2 x2 ≤ 12； 3 x1 + 2 x2 ≤ 18
§1 线性规划问题—例3
可得上述问题的数学模型为：
max z = 3 x1 + 5 x2 x1 ≤ 4; 2 x ≤ 12； 2 s.t. 3 x1 + 2 x2 ≤ 18; x1 , x2 ≥ 0
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
第2章线性规划(对偶问题)
• 解：根据上述对偶关 系，可以写出原问题 的对偶问题：
m in W 5 y 1 4 y 2 y 3 y1 y1 s .t . y 1 y 1 y1 2 y2 y3 2 y2 1 3 y2 y3 3 y3 1 0 , y3 0 , y 2无 约 束
• 令y4=y2-y3 ，得：
• Min W=y1+2y4 S.t. y1+2y4 1 2y1-3y4 2 5y1-4y4 -3 y1 0, y4无符号约束
原问题与对偶问题的对应关系
原问题（或对偶问题） 目标函数为 Max Z 变量 n个 0 0 无约束 对偶问题（或原问题） 目标函数为 Min W n个 ＝ 约束条件
– 设X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行
解，当CTX*=bTY*时，X*，Y*是最优解。
– 证明：由弱对偶性，可知原问题的所有可行解
X’均满足 CT X’ bTY*
又因为CTX* = bTY* ，所以CT X’ CTX* ，即： X*是使目标函数取值最大的可行解。因而是最 优解。 同理可证Y*也是最优解。
m个 ＝ 价值系数cj 约束条件右端项bi 约束条件的系数矩阵A 约束 条件
m个 变量 0 0 无约束 约束条件右端项cj 价值系数bi 约束条件的系数矩阵AT
例：
• 写出下面线性规划问 题的对偶问题： • 1.
m a x Z 2 x1 x 2 3 x 3 x 4 x1 x 2 x 3 x 4 5 2 x x 3x 4 1 2 3 s .t . x1 x 3 x 4 1 x1 , x 3 0 , x 2 , x 4 无 约 束
第2章 线性规划及单纯形法1-2节
2x1+ x2 400
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
A
B
最优解 (50, 250)
x2 250
x1 + x2 300
C
100 —
50 —
可 行 域
x1+ x2=300 x2=250
O0 50x1 + 100x2 =0
| | | |D | | | | 50 100 150 200 250 300 350 400
x1
二、线性规划问题解的存在情况：
例5:
Max z =1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2≤ 65 (A) 2x1+x2≤ 40 (B) 3x2≤ 75 (C)
x1 ,x2 ≥0 (D、E)
B
x2
(5,25)T
A
40
C
25
目标函数 等值线
Z
0
20
Z
x1
存在唯一最优解
例6: 目标函数变为： Max z = 1500 x1 + 1000 x2
线性规划问题的规范形式和标准形式
规范形式：
Max Z =c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1 +a12x2 +…+a1nxn ≤b1 a21x1 +a22x2 +…+a2nxn ≤b2 am1x1 +am2x2 +…+amnxn ≤bm x1 , x2 ,… , xn ≥0
矩阵型式:
§2.3 线性规划的图解法
一、线性规划的图解法
概念
线性规划的图解法(解的几何表示)对于只有 两个变量的线性规划问题，可以在二维直角 坐标平面上作图表示线性规划问题的有关概 念，并求解。 图解法有助于理解LP问题的求解原理。
第2章-线性规划
第2章 线性规划§2.1 线性规划的基本定理2.1.1 线性规划发展简史• 19世纪末，康特罗维奇和F. L. Hitchcock 等研究运输问题，但其工作长期未被人们所知。
由于战争的需要，T. C. Koopmans 重新独立研究了运输问题。
• 1947年，G . B. Dantzig 发表单纯形法，应用于与国防有关的问题。
该法实用而有效。
单纯形法被认为是20世纪10大算法之一（其中还有快速Fourier 变换算法等）。
• 但1972年，V. Kell 和G. Minty 给出病态例子，用单纯形法求解可能要检查遍所有的顶点才能得到最优解，所用时间为)2(nO . 故单纯形法为指数时间算法。
• 1979年，前苏联数学家提出了一种求解LP 的椭球算法，计算复杂性为)(26L n O (L 为输入长度)。
该算法在理论上很重要，但计算效率远不如单纯形法有效。
• 能否找到有效的多项式时间算法？在此背景下，1984年，在美国贝尔实验室工作的印度数学家Karmarkar 给出了一个求解线性规划的新的多项式时间算法，计算复杂性为)(23.5L n O 。
通过例题试算，收敛到较好效果，人们希望借助这种算法解决一些领域中的大规模问题的计算。
• 对于现实生活中的大多数实际问题，单纯形法仍然有效. 基于单纯形法可以方便地讨论线性规划的对偶理论，而基于对偶理论可以设计求解LP 的对偶单纯形法和原始－对偶算法及其它算法，因此单纯形法是目前应用最广泛的算法之一。
• LP 之所以重要有以下方面的原因： ■ 理论算法发展较完善■ 现实生活中许多问题可用LP 近似建模■ 在非线性规划的求解中，将问题局部线性化处理2.1.2 标准形式与基本定理LP 标准形：n n x c x c x c +++ 2211mins.t. m i b x a x a x a i n in i i ,,1 ,2211 ==+++ n j x j ,,1 ,0 =≥LP 向量形式： x c Tmin s.t. b Ax = 0≥x 其中m n nm R b R x c RA ∈∈∈⨯ ,, ,.约定：j x 为决策变量，j c 为费用（价格）系数，x c T为目标函数，ij a 为技术系数，ib 为右端项.各种形式的线性规划都可以化为标准形：(i) cx max →x c )min(-(ii) i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211→(引入松弛变量)0' ,'2211≥=++++i i i n in i i x b x x a x a x a(iii) i n in i i b x a x a x a ≥+++ 2211→(引入剩余变量)0' ,'2211≥=-+++i i i n in i i x b x x a x a x a(iv) j x 无非负限制，令0'' ,0' ,'''≥≥-j j j j j y y y y x ＝ (v) )0(≠≥j j j h h x ，令0 ,≥-j j j j y h x y ＝(平移变换) 例 2121m in m ax x x x x --+s.t. 0 6323321≥+≤x x x x ，，＋ 0 ,474421≥≥x x x x ，－＋ 3221=-x x01≥x 令0'' ,0' ,'''22222≥≥-=y y y y x 标准形： '''m in 221y y x +--s.t. 6''3'323221，＋=+-x y y x 4''7'74221，＋=--x y y x3'''2221=+-y y x01≥x ，0 ,0 ,0'' ,0' 4322≥≥≥≥x x y y 图解法例 2152m ax x x +s.t. 8221≤+x x 41≤x 32≤x0 ,021≥≥x x有唯一最优解)3,2(。
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s.t.
max z 2 x1 3x2
线性规划数学模型缩略形式
x1 2 x2 8 4x 16 1 s.t. 4 x2 12 x1,x2 0
max ( min ) Z =
nபைடு நூலகம்
c x
j=1
i
n
j j
s.t.
2 m a x ， b ，i = 1，， ，
• 提问
• 1.线性规划模型？
•
•
2.线性规划图解法？
3.线性规划解的情况？
2.3 线性规划问题的标准型
一、什么是标准型？
• 线性规划问题的一般形式
*标准型模型的特征：
max（min）Z=
• 线性规划问题的标准型
j=1 ①目标函数求最大值；
c x
j
n
标准化
j
maxZ =
c x CX max Z
2.2 线性规划的图解法
一、解的概念
• 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值；
• 可行域：可行解的全体；
• 最优解：使目标函数达到最优的可行解；
• 最优值：最优解代入目标函数所得的值。
max z 2 x1 3x2
二、什么是图解法？
x2
最大截距 4 3 可行 域 0
x1 2 x2 8 4适用于求解16 x1 具有两个决 s.t. 策变量的线 4 x2 性规划模型 12 x1,x2 0
n j j j=1
②约束条件为线性等式； n
③右端常数项大于等于0； j=1 s.t.
2 m aij x j ， bi，i = 1，， ，
s.t.
2 m AX 1，， b a x b ，i = ，
n ij j i j=1
x j 0，j 1， ， 2， n ④所有变量全部大于等于0 。
业、国防建设和经济管理等方面，如能源供应
和能源价格变化怎样影响经济过程的问题、生
产计划的安排、车辆调度问题等。
2.1 线性规划及数学模型的建立
一、什么是线性规划？
• 当求解一般线性规划问题的单纯形法出 现后，线性规划才得到更进一步发展， 应用也越来越广泛。
• 例1.某工厂在计划期内要安排生产两种产品，已知 生产单位产品所需的设备台时及两种原材料的消耗 如表所示。 • 该工厂生产一件产品1可获得利润2元，每生产一件 产品2可获得利润3元，问应该如何安排生产计划， 使工厂获利最多?
. -2 . -1
x1
k = -1/2
• 总结
• 线性规划问题的可行域都是凸多边形（也可 能是无界）。 • 如果存在最优解，那么一定在可行域的某个 顶点达到。 • 如果在可行域的相邻两顶点处取得最优解， 那么两顶点连线上的任一点处也取得最优解， 即当最优解不唯一时，必定在可行域的某一 边界上的任意一点处取得。
· .
.
X * (4,2)
T
Z * 2 4 3 2 14
·
. 4
（4，2）
. 8
x1 k = -1/2
max z 2 x1 4 x2 x1 2 x2 8 三、线性规划模型解的情况有哪些呢？ 16 4 x1 s.t. 4 x2 12 唯一最优解：一定在可行 x1,x 域的某个顶点得到2 0 x2 无穷多最优解:多个决策 变量组合可选
max z 2 x1 3x2
线性规划数学模型一般形式
x1 2 x2 8 4x 16 1 s.t. 4 x2 12 x1,x2 0
max(min) Z c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ( )b1 a x a x ... a x ( )b 22 2 2n n 2 21 1 ........................ a x a x ... a x ( )b m2 2 mn n m m1 1 x1 ,x2 ,...,xn 0
max z 2 x1 3x2 研究在线性不等式或等式的限制条件下，
minZ 3x1 x2 x3
2.1 线性规划及数学模型的建立
一、什么是线性规划？
• 线性规划(Linear Programming)是运筹学理论 中最完善、方法最成熟，并具有广泛应用的一 个分支。广泛应用于工农业、交通运输业、商
• 求线性规划问题标准型
min z 2 x min z 3 x11 x2 3 x3 4 3
实际碰到的各种线 x1 3 - - 4 2 x1 x2 x22 x3 x3 6 12 性规划问题的数学 x -x x -2x 3x - 5 2 4 模型都应变换为标 11 2 2 3 x3 准形式后求解！ s. s.tt.. -2 x1 3 2 2 x1--2 xx2 x3 1 x 0 ,x 0 x3自由变量 x11 0 ,x22 0,,x3自由变量 max zz ' -2 x11- 2 '-'- 4x3x'- x3x3) ) max ' -3 x x x2 3( ( 3 '- " "
三、怎样建立线性规划数学模型？
步骤：
①设决策变量 xj（j =1，2，…，n） ②建立线性目标函数 Z ③建立约束条件 s.t.（subject to）
练习
• 1. M&D公司生产两种产品A和B，基于对现 有的存储水平和下一个月的市场潜力的分析， M&D公司管理层决定A和B的总产量至少要 达到350千克。此外，公司的一个客户订了 125千克A产品必须首先满足。A、B产品的 制造时间分别为2小时和1小时，总工作时间 为600小时。原材料成本分别为2元和3元。 确定在满足客户要求的前提下，成本最小的 产品计划。
x2
4
缺少必 要的约 束条件！
可行域 无界 x1
0
2
max z x1 x2
无可行解：
x2 无可行 域
k=1
x1 2 x2 2 s.t. - x1 x2 2 x ,x 0 1 2
存在相互矛 盾的约束条 件，导致可 行域为空集
2
.
. . 0 1 2 .
1
第2章 线性规划
• 2.1 线性规划及数学模型的建立* • 2.2 线性规划的图解法
• 2.3 线性规划问题的标准型
• 2.4 单纯形法*
第2章 线性规划
• 2.5 对偶问题的提出
• 2.6 线性规划的对偶理论*
• 2.7 对偶单纯形法
• 2.8 灵敏度分析*
2.1 线性规划及数学模型的建立
一、什么是线性规划？
3.同理，若约束为“≥bi”形式，则在左端-非负变量xn+1 变为 “=bi”，这个非负变量称为剩余变量或松弛变量； *松弛变量在目标函数中的系数为0。 4.若变量xj≤0，令xj’= - xj，则xj’≥0，将原模型中所有xj均以 -xj’代替，同时写出xj’≥0；
5.若变量xj无非负约束，则可令xj= xj’- xj”，其中xj’≥0， xj”≥0， 代入目标及约束中； 6.若bi≤0，则在等式两边各乘-1，其中-bi≥0。
A B C 3 1 0.5 2 0.5 1 1 0.2 0.2 6 2 2 18 0.5 0.8 700 30 200
价格/元
2
7
4
9
5
• 3. 星星制药厂用原料A、B、C加工成三种不 同牌号的药品甲、乙、丙。已知各种牌号药品 中的A、B、C的含量，原料成本，各种原料每 月的限制用量，三种牌号药品的单位加工费及 售价如下表所示。问该厂每月生产这三种牌号 药品各多少kg，使得到的利润为最大？
2 x1x- 3 x22'- 4( x33'- x33" )) x44 12 1 - x '- 2( x '- x " x 6 - x 2 x x 'x 5( xx'-'- x" " )- - x 2 - 3 '- ( x ) x 4 1 2 2 33 33 1 55 s.t. s.t. - 2 x11 - 22 '2 ' x3 '-'-3 " ) ) 1 x 3 x x ( ( x3 x x3 " 2 x1 x21',xx3,' ,xx3, x3 " ,, x45, 50 0 ,x , 2 ' 3 ' " , x4 x x
• 线性规划：
x 2 x 1 x1 2 x2 x2 38 11 使得某一个线性目标取得最优化的问题。 4 x x 2 x 3 4 x11 2 16 3 s.s.t. t • 线性规划模型都是线性的。 2 x1 4 x2 x3 1 12 1 , xx1,,x32 0 x 2 x 0
套裁方案 2.9 2.1 1.5 用料 余料
x12 2 x20 x4 1 x6 0100 1 2 x 2 x x2 x 1 100 1 0 2 13 5 63 24 0 1 s.t. 7.4 3 x1 x2 2 x3 3 x6.6 x6 6.5100 7.3 7.2 7.1 5 0 0.3 0.8 x0.1 x2 , x0.2, x4 , x5 , x6 0 0.9 , 3 1
1 0 3
1
minZ x1 x2 x3 x4 x5 x6
2 3 4 5 6
二、线性规划主要研究什么样的问题？
主要研究问题： ① max问题：给定了一定数量的人力物 力，研究如何充分合理地利用这些资 源，以取得最大的经济效益。