电磁场及电磁波理论基础 曹建章 张正阶 李景镇 编著(第2章答案)

代入得到
⎡ ⎤ 1 ⎢ 8 ( 4e x − 4e z ) 4 ( 4e x − 4e y ) ⎥ E (r ) = − 3 3 ⎥ 4πε 0 ⎢ 4 2 4 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎡e x + e y − 2e z ⎤ = ⎦ 32 2πε 0 ⎣
(
)
(
)
2-7．一个点电荷+q 位于（-a, 0, 0）处，另一点电荷-2q 位于（a, 0, 0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？ 解 根据点电荷电位叠加原理，有
u ( 0, y,z ) =
Q 4πε 0
⎡1 1 1 1 ⎤ ⎢ − + − ⎥ ⎣ R1 R2 R3 R4 ⎦ 1 1
所以
⎧u x =0 = 0 , c2 = 0 ⎪ 1 ρ0 3 ⎛ U 0 ρ0 d ⎞ ⎪ u=− x +⎜ + ⎨ ⎟ xU 0 6 ε d d 6 ε ρd 0 ⎝ 0 ⎠ ⎪u = U 0 , c1 = + 0 x = d ⎪ d 6ε 0 ⎩
根据电位满足的边界条件
ε1
∂u1 ∂u − ε 2 2 = −ρ S ∂n ∂n
R2
Q(0, d , d)
R1
P(0, y, z )
r1¢
r
Y
R4
d
Q(0, d, d )
r3¢
R3
r4¢
Y
d
Q(0, -d, - d)
- Q(0, d, - d)
题 2-25 图
的下半空间填充 e0 的介质，并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。 利用点电荷叠加原理，得到四个点电荷在 P(0, y, z)点产生的电位为
Z
Q = ∫∫ �ρ S dS =
(S)
2π π
2π π
∫ ∫ρ
0 0
S0
cosθ r 2sinθ dθ dϕ
Y
题 2-1 图
=
∫
0 0
2 ∫ ρ S 0cosθ r sinθ dθ dϕ 2π π 2
= ρS 0r
∫ ∫ cosθ sinθ dθ dϕ
0 0 π 0
= ρ S 0 a 2π ∫ sin2θ dθ = 0
Z
r
解 首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电 场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且 在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等，根据高斯定理，有
(S)
l
X
Y
�D ⋅ dS = D2πρl = ρ l ∫∫
l
由此得到电通密度矢量
D=
而电场强度为
rl er 2pr
题 2-17 图
Ε=
（2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件
ε1
而
∂u1 ∂u − ε 2 2 = −ρS ∂n ∂n
⎧ ∂u ⎪ ⎪ ∂ρ ⎨ ⎪ ∂u ⎪ ∂ρ ⎩
所以
= 0, ρ ≤ a
ρ =a
= 2 A cos ϕ , ρ ≥ a
ρ =a
ρ S = −ε 0
∂u = −2ε 0 A cos ϕ ∂ρ
3 3 − − ⎞ ⎛ 2 2 + ⎜ − y ⎡( x + a ) + y 2 + z 2 ⎤ 2 + 2 y ⎡( x − a ) + y 2 + z 2 ⎤ 2 ⎟ e y ⎦ ⎣ ⎦ ⎟ ⎜ ⎣ ⎝ ⎠ 3 3 ⎫ − − ⎞ ⎛ 2 2 ⎪ + ⎜ − z ⎡( x + a ) + y 2 + z 2 ⎤ 2 + 2 z ⎡( x − a ) + y 2 + z 2 ⎤ 2 ⎟ e z ⎬ ⎜ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎭
⎡ ∂u ∂u ∂u ⎤ E(r ) = −∇u (r ) = − ⎢ e x + e y + e z ⎥ ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x 3 3 − − ⎞ q ⎧ 2 2 ⎪⎛ 2 2⎤ 2 2 2⎤ 2 ⎡ ⎡ =− − x + a) ( x + a) + y + z + 2 ( x − a) ( x − a ) + y + z e ⎨⎜ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎟ ⎜ ( ⎟ x 4πε 0 ⎩ ⎪⎝ ⎠
q1 R1 q R2 + 2 3 4pe0 R1 4pe0 R23
题 2-3 图
式中
R1 = r - r1 = 4e x - 4e z , R1 =
2 2 (4 - 0) + (0 - 4) = 4 2 2 2
R 2 = r - r2 = 4e x - 4e y , R2 = (4 - 0) + (0 - 4) = 4 2
X
U0
2-11．两无限大平行板电极，距离为 d，电位分别为 0 和 U0，两板间充满电荷密度为 ρ 0 x / d 的介质，如
O
ρ0 x d
d
图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。 题 2-11 图 解 由于两无限大平板间存在电荷密度分布， 电 位函数满足泊松方程。又平板沿 Y 和 Z 方向无穷大，电位分布与 x 和 z 无关，因此，有
X
题 2-15 图
分布具有柱对称性，电通密度矢量 D 仅有 e ρ 分量，由高斯定理
� ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρ
(S) (V )
V
dV
取圆柱面为高斯面，有
2π 2π ρ −ρ
∫ D ρ ldϕ = ∫ ∫ 20ρ e
ρ
0 0 0 2π ρ
ρ ldϕ d ρ
2πρ lDρ =
∫ ∫ 20ρ e
Z
1 u (r ) = 4πε 0
式中
⎡ q1 q2 ⎤ ⎢R + R ⎥ ⎣ 1 2⎦
+q
S1 (- a,0 ,0)
X
P (x, y , z )
R1
r
r2
R2
r1
- 2q
Y
R1 = r - r1 = (x + a)e x + ye y + e z
o
S 2 (a,0 ,0)
R1 =
(x + a ) + y 2 + z 2
R1
r1 r
r2
R2
Байду номын сангаас
q 2 = - 4C
Y
y = 4 处，求点 P(4, 0, 0) 处的电场强度。
解 根据点电荷电场强度叠加原理，P 点的电场强 度矢量为点 S1 和 S1 处点电荷在 P 处产生的电场强度的 矢量和，即
o
S 2 (0 , 4 , 0 )
X
P (4 , 0 , 0 )
E (r )=
rl er 2pe0 r
根据电位的定义，在径向选择一点 r 0 为参考点，则有
ρ0 ρ0 ρ2
U = u1 − u2 = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl
ρ1 ρ2 ρ1 ρ2
=
ρ1
∫ 2πε ρ e
0
ρl
ρ
⋅ eρ d ρ =
ρl ρ ln 2 2πε 0 ρ1
2-25．如图所示，电荷 Q 距离两无限大接地直角平面 XY 平面的垂直距离为 d，距离 XZ 平 面的垂直距离也是 d。利用镜像法求任一点 P(0, y, z)的电位和电场。 解 两个半无限大导体平面间的夹角 a = 90 ， n =
要是电场强度为零，必有
E x = 0, E y = 0, E z = 0
即
3 3 − − ⎧ 2 2 2 2⎤ 2 2 2⎤ 2 ⎡ ⎡ ⎪ − ( x + a ) ⎣( x + a ) + y + z ⎦ + 2 ( x − a ) ⎣( x − a ) + y + z ⎦ = 0 ⎪ 3 3 − − ⎪ 2 2 2 2⎤ 2 2 2⎤ 2 ⎡ ⎡ − y x + a + y + z + 2 y x − a + y + z =0 ) ) ⎨ ⎣( ⎦ ⎣( ⎦ ⎪ 3 3 − − ⎪ ⎡ 2 2 2 2⎤ 2 2 2⎤ 2 ⎡ ⎪ − z ⎣( x + a ) + y + z ⎦ + 2 z ⎣( x − a ) + y + z ⎦ = 0 ⎩
0
3600 = 4 ，则所需镜像电荷数为 900
3。首先，移去沿 Z 轴放置的导体平板，在 y < 0, z > 0 的空间填充 e0 的介质，并在与放置 +Q 对称的位置上放置等量异号电荷-Q， 如图所示。 其次， 移去 Y 轴放置的导体板， 在z< 0
Z Z
P(0, y, z)
r2¢
-Q(0, - d, d)
第二章 静电场 习题解答 2-1． 已知半径为 r = a 的导体球面上分布着面电荷密度为
ρ S = ρ S 0 cos ϑ 的电荷，式中的 ρ S 0 为常数，试计算球面
上的总电荷量。 解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。 由 球面积分，得到
X
r 2 sin qd qd j
q O
j
r= a
2
2
R 2 = r - r2 = (x - a )e x + ye y + ez
R2 = (x - a) + y 2 + z 2
代入得到
题 2-7 图
u (r ) =
⎡ q ⎢ 4πε 0 ⎢ ⎣
1
( x + a)
2
−
+ y2 + z2